Заполнение атомных состояний электронами. Атомные оболочки и подоболочки

Модель ядерных оболочек

Заполнение атомных состояний электронами. Атомные оболочки и подоболочки

    Экспериментальные исследования атомных ядер выявили некоторую периодичность в изменении индивидуальных характеристик (таких, как энергии связи, спины, магнитные моменты, четности, некоторые особенности α- и β-распадов) основных и возбужденных состояний атомных ядер. Эту периодичность (рис. 8) капельная модель ядра описать была не способна.
    Отмеченная периодичность подобна периодичности свойств электронных оболочек атома и определяется магическими числами нейтронов и протонов:

N 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126, 184(?)
Z 2, 8, 20, 28, 50, 82, 114(?)

    Магические числа нейтронов и протонов по аналогии с характеристиками основных состояний атомов соответствуют полностью заполненным ядерным оболочкам.
    Одночастичная модель оболочек атомных ядер была предложена М. Гепперт-Майер [5] и независимо О. Хакселем, Е.

 Иенсеном и Г. Зюссом [6]. Она явилась результатом систематизации и обобщения огромного количества экспериментальных данных.

    В основе модели лежит предположение, о том, что ядерное поле , действующее на нуклон k в ядре со стороны остальных нуклонов, состоит из трех частей

    Первый член V0(r) описывает центрально-симметричное поле, создаваемое всеми нуклонами ядра. Второй член V1(r)(ŝ) описывает спин-орбитальное взаимодействие нуклона. Третий член  описывает остаточное взаимодействие между нуклонами типа парных сил и характеризует отклонение от самосогласованного поля, создаваемого V0(r) и V1(r)(ŝ).

    Решающим шагом в развитии оболочечной модели ядра явилось понимание того, что спин-орбитальное взаимодействие нуклонов в среднем поле ядра приводит к расщеплению уровней с данным значением j на два уровня с j = l ±1/2, где j – спин нуклона, l – орбитальный момент нуклона.

    Величина спин-орбитального расщепления приближенно определяется соотношением

   В потенциале, учитывающем спин-орбитальное взаимодействие, в пределах одной оболочки снимается вырождение состояний по полному моменту j нуклона, который в зависимости от ориентации спина нуклона при данном l принимает 2 значения − j = l ± 1/2.

Происходит расщепление состояния с орбитальным моментом l на два состояния с разной взаимной ориентацией момента  и спина . Ниже по энергии опускается уровень с j = l + 1/2, так как в этом случае нуклон сильнее взаимодействует с остальными нуклонами ядра.

   Схема ядерных одночастичных уровней с учётом ls – расщепления показана на рис. 15.

Рис. 15. Одночастичные уровни в сферически симметричном оболочечном потенциале Вудса-Саксона: слева — без учета спин-орбитального взаимодействия, справа — с учетом. Фигурные скобки объединяют уровни, входящие в одну осцилляторную оболочку.

    Величина спин-орбитального расщепления тем больше, чем больше l. Начиная с уровня 1g, затем 1h и т.д., спин-орбитальное расщепление ls становится сравнимым с расстоянием между соседними осцилляторными оболочками.
    Количество нуклонов одного сорта на подоболочке nlj равно vj – числу проекций спина нуклона j на ось z:

vj= 2j + 1.

    Состояния ядра в одночастичной модели оболочекопределяются расположением нуклонов на одночастичных подоболочках и называются конфигурациями. Основное состояние ядра соответствует расположению нуклонов на самых нижних подоболочках.     Приведенная на Рис 15. последовательность уровней одинакова для протонов и нейтронов вплоть до Z = N = 50.

При Z и N, больших 50, последовательности уровней и порядок их заполнения для протонов и нейтронов различаются.

    Энергетическое положение ядерных подоболочек и, следовательно, последовательность их заполнения зависит от массового числа А. На рис. 16 показано, как изменяются положения одночастичных нейтронных подоболочек En в зависимости от массового числа А.

Рис. 16. Зависимость энергий нейтронных одночастичных подоболочек En от массового числа A.

    Между любой парой нуклонов одного типа на подоболочке помимо общего, сводящегося к центрально симметричному взаимодействию V(r), действует дополнительное взаимодействие, не сводимое к V(r), которое поэтому называется остаточным − Vост.

Свойства Vост таковы, что паре нуклонов одного сорта на одной подоболочке выгодно иметь результирующий момент J = 0. Это и есть эффект сил спаривания, упоминавшихся ранее при обсуждении формулы Вайцзеккера. Дополнительная энергия связи ядра за счёт этих сил имеет величину порядка 1 — 3 МэВ.

    Возникновение сил спаривания в ядрах обусловлено особенностями взаимодействия в системе нуклонов. На характерных ядерных расстояниях r ~ (1 – 2) Фм нуклоны притягиваются, и им энергетически выгодно находиться на подоболочке в состояниях, характеризуемых одними и теми же квантовыми числами nlj.

Наиболее связанной при этом оказывается пара нейтронов (протонов) с противоположно направленными моментами, т.е. с +jz и -jz Такая пара нуклонов обладает максимально возможным набором совпадающих квантовых чисел, и, соответственно, волновые функции нуклонов этой пары характеризуются наибольшим перекрытием.

Результирующий полный момент и чётность такого состояния — JP = 0+.
    Таким образом, в основном и низколежащих состояниях ядер нуклоны группируются парами nn и pp с противоположно направленными . Для того, чтобы разрушить каждую такую пару, в ядро нужно внести энергию 1 — 3 МэВ.

Возникаетсверхтекучесть ядерной материи.В трёх случаях одночастичная модель оболочек однозначно предсказывает спин и чётность основного состояния ядра.

    1.Ядро с заполненными оболочками. Так как в каждой заполненной оболочке заняты состояния со всеми возможными проекциями , результирующий момент подоболочки и полный момент ядра  равны нулю.

Каждому нуклону на подоболочке с проекцией +jz будет соответствовать нуклон с проекцией -jz, и суммарный момент нуклонов подоболочки будет равен нулю.

Проекция момента jz принимает следующие дискретные значения:

jz = ±j, ±(j-1), ±(j-2),…, ±1/2.

Чётность замкнутой подоболочки положительна, так как она содержит чётное число (2j + 1) нуклонов одинаковой чётности. Поэтому для замкнутой оболочки:

JP = 0+.

    2.Ядро с одним нуклоном сверх заполненных оболочек. Остов заполненных оболочек имеет характеристику 0+, а поэтому момент и чётность определяются квантовыми числами единственного внешнего нуклона. Если этот нуклон находится в состоянии nlj , то полный момент ядра J = j, а результирующая чётность ядра P = (-1)l. Поэтому для основного состояния ядра в этом случае имеем

    3. Ядро с «дыркой» в заполненной оболочке,т.е. с подоболочкой, в которой до заполнения не хватает одного нуклона.
    В этом случае имеем те же правила определения спина и чётности основного состояния, что и для ядра с одним нуклоном сверх заполненной оболочки:

    В одночастичной модели оболочек можно сформулировать следующие правила для спинов J и чётностей P в основном состоянии ядра:

  • чётно-чётное ядро JP = 0+;
  • нечётное ядро J = j, P = (-1)l;
  • нечётно-нечётное ядро|jp- jn| ≤J ≤jp+ jn,

где j, l, jp, lp, jn, lnотносятся к полному и орбитальному моменту нечётного нуклона (протона, нейтрона).Эти правила полностью описывают обнаруженные экспериментальные закономерности спинов и четностей атомных ядер.

Источник: http://nuclphys.sinp.msu.ru/anuc/anuc08.htm

5.6. Принцип Паули и валентность элементов

Заполнение атомных состояний электронами. Атомные оболочки и подоболочки

Мы видели, что орбитальный момент импульса характеризуется азимутальным квантовым числом, принимающим целые значения. Собственный спиновый момент электрона характеризуется спиновым квантовым числом s, равным 1/2. Спин — фундаментальное квантовое свойство всех элементарных частиц.

В соответствии со значением спинового квантового числа s частицы делятся на два класса: бозоны (целые s) и фермионы (полуцелые s). Другие значения s науке не известны. Примеры фермионов: электрон, мюон, нейтрино, кварки, частицы из трех кварков (протон, нейтрон).

Примеры бозонов: фотон, недавно открытые частицы W± и Z, частицы из двух кварков (p–мезоны и др.).

Бозоны и фермионы — это не имена собственные каких-то частиц, а названия целых семейств. Бозоны и фермионы подчиняются квантовым статистикам Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака соответственно, которые мы рассмотрим позднее.

Каждая микрочастица принадлежит одному из этих двух семейств и поменять принадлежность уже не в состоянии.

В теории элементарных частиц замечено, что из фермионов построено вещество, а бозоны являются переносчиками фундаментальных взаимодействий.

Рис. 5.24. Шатьендранат Бо́зе или Бо́шу 1894–1974

Рис. 5.25. Энри́ко Фе́рми, 1901–1954

Если собрать вместе несколько бозонов, то они не мешают друг другу занять низшее энергетическое состояние и, следовательно, все там окажутся.

Поведение коллектива фермионов регулируется принципом Паули:

Два одинаковых фермиона не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии. 

В применении к атому принцип Паули запрещает двум электронам иметь одинаковый набор квантовых чисел: состояния электронов должны отличаться значением хотя бы одного из них.

Если бы принципа Паули не существовало, то у всех атомов в основном состоянии все электроны находились бы на нижнем энергетическом уровне и атомы различных элементов были бы до ужаса похожи друг на друга.

Таким образом, известная нам химия, все разнообразие элементов и их свойств (в частности, гамма вкусовых ощущений, отличающая, скажем, вино от сыра) — следствия принципа Паули.

До сих пор мы в основном рассматривали только атом с одним электроном. Станем добавлять лишний электрон и, соответственно, увеличивать на единицу заряд ядра.

Иными словами, совершим прогулку по таблице Менделеева. Введем понятия оболочки как совокупности уровней с одинаковыми главными квантовыми числами п и подоболочки (уровни данной оболочки с одинаковыми l).

Традиционные обозначения оболочек следующие

n =1234
символKLMN

Число уровней в оболочке мы фактически уже подсчитали: оно равно кратности вырождения по m и l, умноженной на 2, в соответствии с двумя возможными направлениями спина электрона.

Таким образом, согласно принципу Паули, оболочка может вместить  электронов, а подоболочка — 2(2l + 1) электронов (число различных значений n, удвоенное по той же причине).

Итак, состояния электронов в атоме различаются квантовыми числами  и , и, по принципу Паули, лишь один электрон может иметь данный конкретный набор квантовых чисел.

Напомним: три квантовых числа  отражают трехмерность пространства,  — внутренние свойства электрона.

Порядок заполнения уровней в многоэлектронных атомах определяется энергией уровней с учетом влияния заполненных оболочек. Нижние оболочки частично экранируют заряд ядра, что ведет к некулоновскому полю для высших оболочек. Этим объясняется зависимость энергии уровней от квантового числа l.

Чем больше l (для электронов одной оболочки), тем дальше находится электрон от ядра и тем слабее его связь с ядром, то есть такой уровень лежит выше. При больших моментах (состояния d, f и т. д.) энергетические уровни данной оболочки близки или даже выше s-подуровней следующей оболочки.

В целом заполнение идет в таком порядке (случаются небольшие отклонения):

||1s||2s, 2p||3s, 3p||4s, 3d, 4p||5s, 4d, 5p||6s, 4f, 5d, 6p|| и т.д.

В этом ряду знаком || отделены периоды таблицы Менделеева.

В соответствии с полученными формулами для числа уровней в зависимости от n и l, первый период содержит 2 элемента, второй и третий — по 8, а четвертый и пятый — по 18 элементов.

Здесь «вклиниваются» заполнения d-подоболочек (по 10 элементов — переходные металлы). В шестом периоде добавляется заполнение f-подоболочки (14 элементов — лантаниды) и т. д.

Рис. 5.26. Схема заполнения одночастичных состояний в атомах

Рис. 5.27. Современная периодическая система элементов Д.И. Менделеева

Химические свойства зависят в основном от строения внешней электронной оболочки (валентных электронов). Отсюда и вытекает периодичность повторения свойств элементов. Так, у благородных газов заполнены внешние s- и p-подоболочки из 8 электронов.

У элементов первой группы (щелочные металлы) на внешней оболочке имеется всего один электрон, а галогенам (VIIгруппа) не хватает одного электрона для заполнения внешней p-подоболочки. Все эти рассуждения хорошо знакомы по курсу химии, но они носят качественный характер.

Как известно, валентность элемента определяется не столько количеством электронов, сколько степенью легкости, с которой их можно вырвать из атома. Понятно, что внешние электроны оторвать легче, но хотелось бы получить хоть какой-нибудь количественный критерий.

Таким критерием может служить потенциал ионизации, пропорциональный энергии, которую необходимо затратить, чтобы удалить электрон из атома. Расчет сложных атомов непрост, но в целом таблица Менделеева объясняется квантовой механикой. Мы ограничимся лишь самыми простыми атомами и точные расчеты заменим количественными оценками. Экспериментальные результаты представлены на рис. 5.28.

Рис. 5.28. Потенциал ионизации для элементов от водорода до урана. Ясно видна периодичность свойств элементов:
пики потенциала ионизации случаются для благородных газов, минимумы — для щелочных металлов

Эффективный заряд ядра, оценки потенциала ионизации и закон Мозли

Мы в деталях изучили энергетические уровни водородоподобных атомов, описываемые формулой Бора

Для более сложных систем со многими электронами эта формула неверна, но мы будем ее использовать, вводя поправку на экранировку ядра электронами путем замены заряда ядра Z нa некий эффективный заряд . Большой точности сравнения с экспериментальными данными так не добиться, но мы удовлетворимся совпадением по порядку величины.

Водород. Заряд ядра Z = 1, экранировки нет, в основном состоянии n = 1. Энергия основного уровня , минимальная энергия электрона, вырванного из атома, равна нулю.

Следовательно, ионизационный потенциал U — это абсолютное значение энергии основного состояния, выраженное в вольтах: U = 13,6 эВ.

Эта величина будет служить нам ориентиром, позволяющим не заблудиться в энергетической шкале микромира.

Положительный ион гелия. Ион  отличается от водорода только удвоенным зарядом ядра: Z = 2. Отсюда U = 13,6·4 = 54,4 эВ В.

Гелий. Нейтральный атом гелия в основном состоянии имеет два электрона на нижней оболочке (n = 1), отличающиеся проекциями спинов. Представим себе такую картину.

Когда второй электрон находится дальше от ядра, чем первый, то заряд ядра от него экранируется и равен (с его «точки зрения») единице. Когда же второй электрон располагается к ядру ближе первого, то «видимый» им заряд ядра равен двум.

Оба электрона равноправны, так что описанные ситуации равновероятны. Поэтому для оценки эффективного заряда у ядра мы возьмем среднее арифметическое:

Конечно, электрон не может полностью экранировать ядро от своего партнера. Конечно, надо принять во внимание энергию кулоновского отталкивания электронов. И все же получающаяся оценка не столь плоха:

Эксперимент дает

Бросается в глаза огромная величина ионизационного потенциала у гелия (самый большой в таблице Менделеева). Инертность гелия — прямое следствие этого факта.

Дважды ионизованный атом лития . Водородоподобная система с Z = 3. Поэтому

Ион лития. Ион  подобен атому гелия, но для него эффективный заряд ядра на единицу больше:

Отсюда

Эксперимент дает

Литий. Третий электрон в нейтральном атоме лития располагается на второй оболочке — уровне с n = 2. По этой причине два внутренних электрона почти полностью экранируют от него две единицы заряда ядра:

Отсюда

Эксперимент дает

Эти оценки очень показательны: насколько легче (в сравнении с водородом) оторвать от лития один электрон и как трудно удалить последующие. Поэтому литий — одновалентен.

Бериллий. Ионы  и  аналогичны водороду и гелию и имеют огромные потенциалы ионизации. Ион  похож на литий, но у него на единицу больше эффективный заряд ядра, «видимый» третьим электроном:

Получаем

Эксперимент дает 18,2 эВ. Это значение не намного больше потенциала ионизации атома водорода и заведомо много меньше потенциала ионизации иона . В нейтральном атоме Be на второй оболочке помещаются два электрона. Система похожа на ион , но эффективный заряд ядра на единицу больше:

Отсюда

Экспериментальное значение 10,4 эВ. Отсюда вывод: поскольку первые два электрона вырвать из атома бериллия гораздо легче, чем последующие, то бериллий — двухвалентен.

Понятие эффективного заряда ядра полезно также при рассмотрении свойств так называемого характеристического рентгеновского излучения, возникающего при переходе внешних электронов на свободное место на внутренних оболочках. Как мы выяснили, для электронов на КК оболочке

Рис. 5.29. Происхождение характеристического излучения. При столкновении с электроном в атоме мишени образуется вакансия во внутренней электронной оболочке. Эту вакансию заполняет электрон из другой оболочки. При этом излучается рентгеновский квант

5.4. Установка для исследования рентгеновского излучения.

5.5. Ослабление рентгеновского излучения различными веществами.

5.6. Коротковолновая граница спектра тормозного излучения.

5.7. Характеристическое рентгеновское излучение.

Пример. Для меди Сu Z = 29 и

При переходе внешних, далеких от ядра электронов с энергией, почти равной нулю, испускается фотон с энергией

Длина волны такого фотона

В 1913 г. был установлен закон Мозли, связывающий частоту n характеристического рентгеновского излучения элемента и его атомный номер Z:

где  — Ридберг, n — главное квантовое число оболочки, на которую совершается переход, а  — некая постоянная.

В этом законе легко теперь увидеть проявление экранирования ядра, то есть влияние на отдельный электрон атома всех остальных электронов.

Исторически закон Мозли окончательно подтвердил, что свойства элемента зависят от атомного номера Z, а не от атомной массы. Это устранило последние сомнения в правильности расположения элементов в периодической системе.

Рис. 5.30. Закон Мозли подтвердил правильность размещения элементов в таблице Д.И. Менделеева и содействовал выяснению физического смысла Z

5.8. Экспериментальная проверка закона Мозли.

Рис. 5.31. Ге́нри Гвин Дже́фрис Мо́зли, 1887–1915

Электронная конфигурация атомов

Для атома любого элемента мы можем указать его основную электронную конфигурацию. Теперь познакомимся с двумя правилами, позволяющими узнать для основного состояния каждого атома значение его суммарных моментов: спинового S, орбитального L и полного J.

Первое правило (правило Хунда)

Наименьшей энергией обладает атом с наибольшим возможным при данной электронной конфигурации значением S и наибольшим возможным при этом S значением L. 

Второе правило

Если в незаполненной подоболочке атома находится не более половины максимально возможного для нее числа электронов, то J = |L – S|. Если же подоболочка заполнена более чем наполовину, то J = L + S. 

Правило Хунда является эмпирическим (то есть не выведенным из теории, а установленным экспериментально); второе правило выводится из него и из полученной выше формулы (5.19) для скалярного произведения S·L. Для облегчения применения правила Хунда полезно запомнить, что:

  • надо рассматривать только незаполненную электронную подоболочку, так как моменты электронов в заполненных подоболочках взаимно компенсируются и суммарные моменты заполненных подоболочек всегда равны нулю;
  • значения S и L одинаковы для двух подоболочек, из которых одна имеет столько электронов, сколько не хватает для заполнения другой.

Для примера применения указанных правил рассмотрим атом серы. Его атомный номер Z = 16 и, следовательно, основная электронная конфигурация имеет вид 1s2 2s2 2p6 3s2 3p4. Индексы справа вверху обозначают числа электронов в указанных состояниях.

Видим, что незаполненной остается последняя подоболочка, на которой находятся четыре электрона с орбитальными моментами, равными единице. При данном L = 1 , согласно принципу Паули, параллельными могут быть лишь спины трех электронов, отличающихся значениями m = –1, 0, +1.

Спин четвертого электрона должен быть направлен в противоположную сторону, и потому максимально возможное значение суммарного спина для данной конфигурации равно

При этом значении S сумма проекций орбитальных моментов электронов с одинаково направленными спинами равна нулю, следовательно, максимально возможное значение проекции суммарного орбитального момента определяется четвертым электроном и равно единице. Поэтому L = 1. Так как внешняя подоболочка заполнена более чем наполовину, то J = L + S = 2. Мы пришли к выводу, что основным состоянием атома серы является .

Для сравнения найдем основное состояние атома кремния (Z = 14). От атома серы он отличается тем, что на внешней подоболочке у него находятся два, а не четыре p-электрона.

Для ее заполнения не хватает четырех электронов, то есть столько, сколько их имеется у серы. Поэтому для атома кремния получаем те же значения S = 1 и L = 1.

Внешняя подоболочка заполнена менее чем наполовину, откуда J = |L – S| = 0. Поэтому основным состоянием кремния является .

Рис. 5.32. Фридрих Хунд, 1896–1997

Источник: https://online.mephi.ru/courses/physics/atomic_physics/data/course/5/5.6.html

Заполнение атомных состояний электронами. Атомные оболочки и подоболочки

Заполнение атомных состояний электронами. Атомные оболочки и подоболочки

Атом является сложной системой. Электроны взаимодействуют между собой и перемещаются в поле ядра. Однако в атоме можно вводить понятие о состоянии движения каждого отдельного электрона.

При этом говорят о стационарных состояниях движения электрона в некотором поле, имеющем центральную симметрию. При этом поле создается ядром и остальными электронами.

В общем случае для каждого атома поля отличаются, но определяются одновременно. Такое поле называют самосогласованным.

Так как самосогласованное поле имеет центральную симметрию, то каждое состояние электрона определено величиной орбитального момента.

Состояние каждого электрона имеет номер (при заданном орбитальном квантовом числе ($l$) ) — это главное квантовое число ($n=l+1,\ l+2,\dots $). С увеличением главного квантового числа энергия электрона увеличивается.

В атоме водорода энергия не зависит от орбитального квантового числа. В многоэлектронных атомах уровень, например с $n=5,l=0$ расположен ниже по энергии, чем уровень $n=4,l=2$.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

В зависимости от значения орбитального квантового числа $l\ $состояние электрона в атоме обозначают разными буквами. Значениям $l=0,1,2,3,4,5\dots $ ставятся в соответствие буквы $s,p,d,f,g,h$ и по алфавиту.

Распределение электронов по состоянию в атоме записывают при помощи спектроскопических символов (Табл.1):

Рисунок 1.

Электронную структуру записывают так: число, находящееся слева — главное квантовое число ($n$), сам спектроскопический символ соответствует величине орбитального квантового числа ($l$).

Полное описание состояния атома требует вместе с указанием полных $L,S,J$ перечисления всех состояний электронов.

Так, например, запись: $1s2p3P_0$ обозначает состояние атома гелия, имеющего $L=1,S=1,J=0$ и два электрона в состояниях $1s$ и $2p$.

В том случае, если несколько электронов находятся в состояниях с одинаковыми $n\ и\ l\ $, то данный факт обозначают как степень. $2p3$ — три электрона в состоянии $2p$.

О распределении электронов в атоме по состояниям с разными $n\ и\ l$ говорят как об электронной конфигурации.

При известных $n\ и\ l$ электрон может иметь разные значения проекций орбитального момента ($m_l$) и спина ($m_s$) на ось $Z$.

В соответствии с принципом Паули: В атоме не может быть двух электронов, которые бы характеризовались одинаковыми четверками квантовых чисел ($n,l,m_l,\ m_s$), то есть в одном и том же состоянии не может находиться больше, чем один электрон.

Так, если два электрона имеют одинаковые главные квантовые числа ($n$) и орбитальные числа совпадают, то спины их должны быть ориентированы противоположно (то есть их квантовые числа $m_s\ равны\ \frac{1}{2}\ и-\frac{1}{2}$). Данный принцип использовался для обоснования периодической системы Менделеева, части закономерностей в спектрах.

Анализируя строение атома в первом приближении энергией взаимодействия электронов пренебрегают. Считают, что сумма энергия атома равна сумме энергий электронов в поле ядра, которая известна.

Значит, не составляет особого труда определить каково распределение электронов по разным состояниям, принимая во внимание принцип Паули.

Получается схема заполнения оболочек, которая, надо отметить, все же отличается от реальной, но является полезной.

По поводу взаимного расположения уровней с одинаковой конфигурацией, но разными $L,S$ имеется эмпирическое правило Хунда:

  • ниже по энергии расположен терм, мультиплетность которого максимальна;
  • если мультиплетности равны, то минимальна энергия у терма, которому принадлежит максимальная величина суммы орбитального момента.

Итак, заполнение электронных состояний определено двумя принципами:

  1. принципом Паули.

  2. принципом минимума энергии.

Атомные оболочки и подоболочки

Максимальное количество электронов при известном числе n равно $2n2$. Сумма электронов в много электронном атоме, которые имеют одинаковые главные квантовые числа ($n$) называют электронной оболочкой. В этих оболочках электроны распределены по подоболочкам, которые соответствуют орбитальному квантовому числу ($l$).

Так как $l$ изменяется от $0$ до $n-1$, то количество подоболочек равно порядковому номеру подоболочки. Число электронов в подоболочке определяет магнитное и магнитное спиновое квантовые числа. Максимальное количество электронов в подоболочке с известным $l$ равно $2(2l+1)$.

Обозначение оболочек и распределение электронов по оболочкам и подоболочкам сведены в табл. 2.

Рисунок 2.

Пример 1

Задание: Используя периодическую систему Д.И. Менделеева, запишите символически конфигурацию атомов: 1) неона, 2) криптона.

Решение:

  1. Номер неона в периодической системе Д.И. Менделеева — $10$, следовательно, атом имеет всего десять электронов, которые распределятся как:

    \[1s22s22p6.\]

  2. Номер криптона в периодической системе — $36$, значит, атом элемента имеет всего $36$ электронов. Их распределение запишем как:

    \[1s22s22p63s23p63d{10}4s24p6.\]

Ответ: 1) $Ne$ — $1s22s22p6.$ 2) $Kr$ — $1s22s22p63s23p63d{10}4s24p6.$

Пример 2

Задание: Электронная конфигурация некоторого элемента, записана как: $1s22s22p63s23p6$. Определите какой это элемент.

Решение:

Используя электронную конфигурацию элемента, сосчитаем число электронов, которыми обладает данный атом. Получаем:

\[2+2+6+2+6=18.\]

Ищем в таблице Менделеева элемент с порядковым номером $18$ — это аргон ($Ar$).

Ответ: Аргон.

Пример 3

Задание: Используя периодическую систему Д.И. Менделеева, определите порядковый номер элемента, у которого заполнены полностью $K, L, M$ оболочки и $4s$ — подоболочка.

Решение:

Воспользуемся таблицей (Табл.2) для того, чтобы найти суммарное количество электронов, которое имеет атом.

Из таблицы имеем максимальное количество электронов у полностью заполненной $K$ оболочки равно $2$, максимальное количество электронов у полностью заполненной $L$ оболочки равно $8$, максимальное количество электронов у полностью заполненной $M$ оболочки равно $18$. Кроме того имеем еще заполненную $4s$ подоболочку, на которой имеется согласно той же таблице — $2$ электрона. Найдем сумму всех электронов:

\[2+8+18+2=30.\]

Следовательно, порядковый номер элемента в таблице Менделеева равен $30$.

Ответ: $30$ — цинк.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/predmet_i_zadachi_atomnoy_fiziki/zapolnenie_atomnyh_sostoyaniy_elektronami_atomnye_obolochki_i_podobolochki/

1.1.1. Строение электронных оболочек атомов элементов первых четырех периодов. Электронная конфигурация атома. Основное и возбужденное состояние атомов

Заполнение атомных состояний электронами. Атомные оболочки и подоболочки

Химическими веществами называют то, из чего состоит окружающий нас мир.

Свойства каждого химического вещества делятся на два типа: это химические, которые характеризуют его способность образовывать другие вещества, и физические, которые объективно наблюдаются и могут быть рассмотрены в отрыве от химических превращений. Так, например, физическими свойствами вещества являются его агрегатное состояние (твердое, жидкое или газообразное), теплопроводность, теплоемкость, растворимость в различных средах (вода, спирт и др.), плотность, цвет, вкус и т.д.

Превращения одних химических веществ в другие вещества называют химическими явлениями или химическими реакциями. Следует отметить, что существуют также и физические явления, которые, очевидно, сопровождаются изменением каких-либо физических свойств вещества без его превращения в другие вещества. К физическим явлениям, например, относятся плавление льда, замерзание или испарение воды и др.

О том, что в ходе какого-либо процесса имеет место химическое явление, можно сделать вывод, наблюдая характерные признаки химических реакций, такие как изменение цвета, образование осадка, выделение газа, выделение теплоты и (или) света.

Так, например, вывод о протекании химических реакций можно сделать, наблюдая:

— образование осадка при кипячении воды, называемого в быту накипью;

— выделение тепла и света при горении костра;

— изменение цвета среза свежего яблока на воздухе;

— образование газовых пузырьков при брожении теста и т.д.

Мельчайшие частицы вещества, которые в процессе химических реакций практически не претерпевают изменений, а лишь по-новому соединяются между собой, называются атомами.

Сама идея о существовании таких единиц материи возникла еще в древней Греции в умах античных философов, что собственно и объясняет происхождение термина «атом», поскольку «атомос» в буквальном переводе с греческого означает «неделимый».

Тем не менее, вопреки идее древнегреческих философов, атомы не являются абсолютным минимумом материи, т.е. сами имеют сложное строение.

Каждый атом состоит из так называемых субатомных частиц – протонов, нейтронов и электронов, обозначаемых соответственно символами p+, no и e−. Надстрочный индекс в используемых обозначениях указывает на то, что протон имеет единичный положительный заряд, электрон – единичный отрицательный заряд, а нейтрон заряда не имеет.

Что касается качественного устройства атома, то у каждого атома все протоны и нейтроны сосредоточены в так называемом ядре, вокруг которого электроны образуют электронную оболочку.

Протон и нейтрон обладают практически одинаковыми массами, т.е. mp ≈ mn , а масса электрона почти в 2000 раз меньше массы каждого из них, т.е. mp/me ≈ mn/me ≈ 2000.

Поскольку фундаментальным свойством атома является его электронейтральность, а заряд одного электрона равен заряду одного протона, из этого можно сделать вывод о том, что количество электронов в любом атоме равно количеству протонов.

Так, например, в таблице ниже представлен возможный состав атомов:

атом1атом2атом3атом4
ядро1p+1p+, 1n04p+, 3n04p+, 4n0
оболочка1e−1e−4e−4e−

Вид атомов с одинаковым зарядом ядер, т.е. с одинаковым числом протонов в их ядрах, называют химическим элементом. Таким образом, из таблицы выше можно сделать вывод о том, что атом1 и атом2 относятся в одному химическому элементу, а атом3 и атом4 — к другому химическому элементу.

Каждый химический элемент имеет свое название и индивидуальный символ, который читается определенным образом.

Так, например, самый простой химический элемент, атомы которого содержат в ядре только один протон, имеет название «водород» и обозначается символом «Н», что читается как «аш», а химический элемент с зарядом ядра +7 (т.е. содержащий 7 протонов) — «азот», имеет символ «N» , который читается как «эн».

Как можно заметить из представленной выше таблицы, атомы одного химического элемента могут отличаться количеством нейтронов в ядрах.

Атомы, относящиеся к одному химическому элементу, но имеющие разное количество нейтронов и, как следствие массу, называют изотопами.

Так, например, химический элемент водород имеет три изотопа – 1Н, 2Н и 3Н. Индексы 1, 2 и 3 сверху от символа Н означают суммарное количество нейтронов и протонов. Т.е.

зная, что водород – это химический элемент, который характеризуется тем, что в ядрах его атомов находится по одному протону, можно сделать вывод о том, что в изотопе 1Н вообще нет нейтронов (1-1=0), в изотопе 2Н – 1 нейтрон (2-1=1) и в изотопе 3Н – два нейтрона (3-1=2).

Поскольку, как уже было сказано, нейтрон и протон имеют одинаковые массы, а масса электрона по сравнению с ними пренебрежимо мала, это значит, что изотоп 2Н практически в два раза тяжелее изотопа 1Н, а изотоп 3Н — и вовсе в три раза.

В связи с таким большим разбросом масс изотопов водорода изотопам 2Н и 3Н даже были присвоены отдельные индивидуальные названия и символы, что не характерно больше ни для одного другого химического элемента. Изотопу 2Н дали название дейтерий и присвоили символ D, а изотопу 3Н дали название тритий и присвоили символ Т.

Если принять массу протона и нейтрона за единицу, а массой электрона пренебречь, фактически верхний левый индекс помимо суммарного количества протонов и нейтронов в атоме можно считать его массой, в связи с чем этот индекс называют массовым числом и обозначают символом А.

Поскольку за заряд ядра любого атома отвечают протоны, а заряд каждого протона условно считается равным +1, количество протонов в ядре называют зарядовым числом (Z).

Обозначив количество нейтронов в атоме буквой N, математически взаимосвязь между массовым числом, зарядовым числом и количеством нейтронов можно выразить как:

Согласно современным представлениям, электрон имеет двойственную (корпускулярно-волновую) природу. Он обладает свойствами как частицы, так и волны. Подобно частице, электрон имеет массу и заряд, но в то же время поток электронов, подобно волне, характеризуется способностью к дифракции.

Для описания состояния электрона в атоме используют представления квантовой механики, согласно которым электрон не имеет определенной траектории движения и может находиться в любой точке пространства, но с разной вероятностью.

Область пространства вокруг ядра, где наиболее вероятно нахождение электрона, называется атомной орбиталью.

Атомная орбиталь может обладать различной формой, размером и ориентацией. Также атомную орбиталь называют электронным облаком.

Графически одну атомную орбиталь принято обозначать в виде квадратной ячейки:

Квантовая механика имеет крайне сложный математический аппарат, поэтому в рамках школьного курса химии рассматриваются только лишь следствия квантово-механической теории.

Согласно этим следствиям, любую атомную орбиталь и находящийся на ней электрон полностью характеризуют 4 квантовых числа.

  • Главное квантовое число – n — определяет общую энергию электрона на данной орбитали. Диапазон значений главного квантового числа – все натуральные числа, т.е. n = 1,2,3,4, 5 и т.д.
  • Орбитальное квантовое число — l – характеризует форму атомной орбитали и может принимать любые целочисленные значения от 0 до n-1, где n, напомним, — это главное квантовое число.

Орбитали с l = 0 называют s-орбиталями. s-Орбитали имеют сферическую форму и не обладают направленностью в пространстве:

Орбитали с l = 1 называются p-орбиталями. Данные орбитали обладают формой трехмерной восьмерки, т.е. формой, полученной вращением восьмерки вокруг оси симметрии, и внешне напоминают гантель:

Орбитали с l = 2 называются d-орбиталями, а с l = 3 – f-орбиталями. Их строение намного более сложное.

3) Магнитное квантовое число – ml – определяет пространственную ориентацию конкретной атомной орбитали и выражает проекцию орбитального момента импульса на направление магнитного поля.

Магнитное квантовое число ml соответствует ориентации орбитали относительно направления вектора напряженности внешнего магнитного поля и может принимать любые целочисленные значения от –l до +l, включая 0, т.е. общее количество возможных значений равно (2l+1).

Так, например, при l = 0 ml = 0 (одно значение), при l = 1 ml = -1, 0, +1 (три значения), при l = 2 ml = -2, -1, 0, +1, +2 (пять значений магнитного квантового числа) и т.д.

Так, например, p-орбитали, т.е. орбитали с орбитальным квантовым числом l = 1, имеющие форму «трехмерной восьмерки», соответствуют трем значениям магнитного квантового числа (-1, 0, +1), что, в свою очередь, соответствует трем перпендикулярным друг другу направлениям в пространстве.

4) Спиновое квантовое число (или просто спин) — ms — условно можно считать отвечающим за направление вращения электрона в атоме, оно может принимать значения . Электроны с разными спинами обозначают вертикальными стрелками, направленными в разные стороны: ↓ и ↑.

Совокупность всех орбиталей в атоме, имеющих одно и то же значение главного квантового числа, называют энергетическим уровнем или электронной оболочкой. Любой произвольный энергетический уровень с некоторым номером n состоит из n2 орбиталей.

Множество орбиталей с одинаковыми значениями главного квантового числа и орбитального квантового числа представляет собой энергетический подуровень.

Каждый энергетический уровень, которому соответствует главное квантовое число n, содержит n подуровней. В свою очередь, каждый энергетический подуровень с орбитальным квантовым числом l, состоит из (2l+1) орбиталей.

Таким образом, s-подуровень состоит из одной s-орбитали, p-подуровень – трех p-орбиталей, d-подуровень – пяти d-орбиталей, а f-подуровень — из семи f-орбиталей.

Поскольку, как уже было сказано, одна атомная орбиталь часто обозначается одной квадратной ячейкой, то s-, p-, d- и f-подуровни можно графически изобразить следующим образом:

Каждой орбитали соответствует индивидуальный строго определенный набор трех квантовых чисел n, l и ml.

Распределение электронов по орбиталям называют электронной конфигурацией.

Заполнение атомных орбиталей электронами происходит в соответствии с тремя условиями:

  • Принцип минимума энергии: электроны заполняют орбитали, начиная с подуровня с наименьшей энергией. Последовательность подуровней в порядке увеличения их энергий выглядит следующим образом: 1s

Источник: https://scienceforyou.ru/teorija-dlja-podgotovki-k-egje/1-1-1-stroenie-jelektronnyh-obolochek-atomov-jelementov-pervyh-chetyreh-periodov

Распределение электронов в атоме по состояниям. Принцип Паули. Периодическая система Д.И. Менделева

Заполнение атомных состояний электронами. Атомные оболочки и подоболочки

 В квантовой механике тождественные частицы полностью теряют свою индивидуальность и становятся неразличимыми.В зависимости от характера симметрии все элементарные частицы и построенные из них системы (атомы, молекулы) делятся на два класса: частицы с полуцелым спином (например электроны, нейтроны и протоны) описываются антисимметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Ферми–Дирака; эти частицы называются фермионамиЧастицы с нулевымили целочисленным, спином (например фотоны, мезоны) описываются симметричными функциями (волновымии подчиняются статистике Бозе–Эйнштейна; эти частицы называются бозонами.       Сложные частицы (например атомные ядра), составленные из нечетного числа фермионов, являются фермионами (суммарный спин – полуцелый), а из четного –бозонами (суммарный спин – целый).
Принцип Паули. Распределение электронов в атоме по состояниям
     Обобщая опытные данные, В. Паули сформировал принцип исключения, согласно которому системы фермионов встречаются в природе только в состояниях, описываемых антисимметричными волновыми функциями (квантово-механическая формулировка принципа Паули).
Паули Вольфганг (1900–1958) – физик-теоретик. Работы относятся ко многим разделам современной теоретической физики, в развитии которых он принимал непосредственное участие, в частности квантовой механике, квантовой электродинамике, теории относительности, квантовой теории поля, ядерной физике, физике элементарных частиц.

       Из этого положения вытекает более простая формулировка принципа Паули, которая и была введена им в квантовую теорию (1925 г.) еще до построения квантовой механики: в системе одинаковых фермионов любые два из них не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии. Отметим, что число одинаковых бозонов, находящихся в одном и том же состоянии, не лимитируется.

       Напомним, что состояние электрона в атоме однозначно определяется набором четырех квантовых чисел:

       ·      главного n  ;

       ·     орбитального l  , обычно эти состояния обозначают 1s, 2d, 3f;

       ·      магнитного  (  );

       ·      магнитного спинового  (  ).

       Распределение электронов в атоме по уровням энергии осуществляется в соответствии с принципами:

1. Принцип Паули. В одном атоме не может быть двух и более электронов, находящихся в одинаковом стационарном состоянии, то есть с одинаковым набором всех четырёх квантовых чисел.

2. Принцип минимума энергии. В первую очередь заполняются уровни с минимальной энергией, то есть с наименьшими квантовыми числами nlmlms.

       Максимальное число  электронов, находящихся в состояниях, описываемых набором трех квантовых чисел nl и m, и отличающихся только ориентацией спинов электронов равно:

,(8.2.1)

       ибо спиновое квантовое число может принимать лишь два значения 1/2 и –1/2.

       Максимальное число  электронов, находящихся в состояниях, определяемых двумя квантовыми числами n и l:

.(8.2.2)

       При этом вектор орбитального момента импульса электрона  может принимать в пространстве (2l + 1) различных ориентаций (рис. 8.1).

Рис. 8.1

       Максимальное число электронов, находящихся в состояниях, определяемых значением главного квантового числа n, равно:

.(8.2.3)

       Совокупность электронов в многоэлектронном атоме, имеющих одно и то же главное квантовое число n, называется электронной оболочкой или слоем.

       В каждой из оболочек электроны распределяются по подоболочкам, соответствующим данному l.

       Область пространства, в которой высока вероятность обнаружить электрон, называют подоболочкой или орбиталью. Вид основных типов орбиталей показан на рис. 8.1.

       Поскольку орбитальное квантовое число принимает значения от 0 до  , число подоболочек равно порядковому номеру n оболочки. Количество электронов в подоболочке определяется магнитным и магнитным спиновым квантовыми числами: максимальное число электронов в подоболочке с данным l равно 2(2l + 1). Обозначения оболочек, а также распределение электронов по оболочкам и подоболочкам приведено в табл. 1.

Таблица 1

Главное квантовое число n12345
Символ оболочкиKLMNO
Максимальное число электроновв оболочке28183250
Орбитальное квантовое число l001012012301234
Символ подоболочки1s2s2p3s3p3d4s4p4d4f5s5p5d5f5g
Максимальное числоэлектронов вподоболочке226261026101426101418

В нормальном (невозбуждённом) состоянии атома электроны располагаются на самых низких доступных для них энергетических уровнях. Совокупность электронов, имеющих одинаковые n и l, образуют оболочку. Совокупность оболочек с одинаковым n образуют слой. Подразделение возможных состояний в атоме на оболочки и слои показано  на рис.23.1.  

За некоторыми исключениями, энергия состояния сильнее возрастает с увеличением числа n, чем с увеличением l. Поэтому, как правило, состояние с большим n обладает, независимо от значения l, большей энергией.

В атоме водорода в основном состоянии имеется один электрон (1s). Если заряд ядра увеличить на единицу и добавить один электрон, получится атом гелия. Оба электрона в атоме гелия в основном состоянии находятся в K-слое. Электронная конфигурация записывается как 1s2. На атоме гелия заканчивается заполнение K-слоя. Третий электрон атома лития может занять лишь уровень n=2; электронная конфигурация 1s22s. Третий электрон лития, занимая более высокий энергетический уровень, чем остальные два электрона, оказывается слабее, чем они, связанным с ядром атома. В результате он определяет оптические и химические свойства атома.

У четвертого элемента, бериллия, полностью заполняется оболочка 2s. У последующих шести элементов (B, C, N, O, F, Ne) заполняется оболочка 2p. Неон имеет полностью заполненные слои K (двумя электронами) и L (восемью электронами), образующие устойчивую систему, подобную системе гелия, чем обуславливаются специфические свойства инертных газов.

Одиннадцатый элемент, натрий, имеет один электрон в оболочке 3s. Электронная конфигурация имеет вид 1s22s22p63s. Внешний электрон 3s связан с ядром слабее других и является валентным или оптическим электроном. Химические и оптические свойства натрия подобны свойствам лития.

У следующих за натрием элементов нормально заполняются оболочки 3s и 3p. Оболочка 3d оказывается энергетически выше оболочки 4s, поэтому при незавершённом в целом заполнении слоя M начинается заполнение слоя N – это калий и кальций. Оболочка 4p лежит уже выше, чем 3d, так что после 4s заполняется оболочка 3d (скандий – никель).

Аналогично осуществляется застройка электронных уровней всех атомов. Энергия оболочек увеличивается в последовательности (см. рис.23.1):

1s

Источник: http://mini-fizik.blogspot.com/2016/06/blog-post_91.html

Строение ядерных оболочек в атомах

Заполнение атомных состояний электронами. Атомные оболочки и подоболочки

Известно, что лауреат Нобелевской премии 1963 года Мария Гепперт-Майер предложила ещё в 1951 году оболочечную модель атомного ядра, основанную на боровской теории электронной структуры атома, согласно которой каждый электрон движется в усреднённом потенциальном поле и занимает лишь одно положенное ему устойчивое состояние с наименьшей энергией.

И это так, ибо Марие Гепперт-Майер действительно удалось создать простую и наглядную (anschaulich) модель ядерных оболочек, основанную на так называемой, «электронной структуре атома», согласно которой соответствующее число электронов распределяется в потенциальном поле атома на самом нижнем энергетическом уровне так, что соблюдается принцип Паули – «каждую орбиту может занимать лишь один электрон с заданным направлением спина».

Справка: Спин (от англ. spin – вращаться, вертеться), собственный момент количества движения элементарных частиц, имеющий квантовую природу и не связанный с перемещением частицы как целого. При введении понятия «спин» предполагалось, что электрон можно рассматривать как «вращающийся волчок», а его «спин» – как характеристику такого вращения.

Спин измеряется в единицах постоянной Планка (h) и равен jh, где j – характерное для каждого сорта частиц целое (в т. ч. нулевое) или полуцелое положительное число, называемое спиновым квантовым числом. Соответственно говорят, что частица обладает целым или полуцелым спином.

Например, фермионы (электрон, протон, нейтрон) имеют полуцелый спин: 0,5h.

Что же касается ядер, то здесь основное состояние должно заполняться уже не только протонами, но и нейтронами.

Поэтому, Мария Гепперт-Майер допустила, чтобы на одном и том же уровне находился уже не один фермион, как того требует принцип Паули, а два (нейтрон и протон).

Нам неизвестно, как автор модели расположила эти фермионы относительно друг друга, но выводы, сделанные на основе её модели, хорошо согласуются с экспериментальными данными.

Волновая теория поля, в отличие от модели Марии Гепперт-Майер, допускает присутствие в одной оболочке трёх (!) наборов нейтронных, протонных (или смешанных) волн. При этом, на одном уровне могут присутствовать не только наборы основных волн, но и их «дубли».

Пример: У радона (Rn) на третьей оболочке M (см.

таблицу 4) размещён один набор протонных волн с гармониками: 3s – первая гармоника с двумя протонами, 3p – третья с шестью и 3d – пятая, с десятью протонами.

Здесь же находятся ещё и два (основной и «дубль») аналогичных по составу гармоник набора нейтронных волн. Аналогия наблюдается и в других оболочках.

Векторы орбитальных моментов каждого набора протонных и нейтронных волн в одной оболочке представляют собой координатные оси X, Y, Z, выходящие из центра сферы, что способствует образованию формы ядра, похожей на сферическую. Представьте себе три одинаковых тора (проще – бублика), расположенных перпендикулярно друг другу.

Однако форма тяжёлых ядер (особенно – у «лантаноидов» и «актиноидов») напоминает эллипсоид вращения и это объясняется тем, что седьмая гармоника нейтронных волн в четвёртой и пятой оболочках (4f и 5f) не имеет «дубля», а в шестой оболочке не имеют «дублей» третья и пятая гармоники: 6p и 6d (см. таблицу 3).

Следует отметить ещё одну особенность: протонные волны, интерферируя с электронными, образуют нейтронные стоячие волны.

При этом, массы электронов и протонов суммируются, а их электрические заряды компенсируются.

Однако масса нейтрона заметно больше масс протона и электрона вместе взятых, поэтому на их синтез затрачивается некоторая энергия. Распад нейтрона (ß – распад), наоборот, высвобождает эту энергию.

Эта особенность объясняет исчезновение протонной волны первой гармоники в оболочке K уже в третьем периоде (см. таблицу 2). Протон совместно с электроном, образуют здесь «дубль» нейтронной волны.

В результате, в данной оболочке формируется остов ядра из одних нейтронов с гармониками 1s, 1s и 1s (см. таблицу 4). Аналогично исчезает и первая гармоника протонной волны в следующей оболочке L.

В последующих оболочках исчезают подобным образом только «дубли» протонных волн.

Примечание:

1. Потенциальное поле вокруг атомного ядра представляет собой стоячие волны с набором нечётных гармоник (1-я, 3-я, 5-я и 7-я), количество которых в каждом наборе определяет главное квантовое число n. Волны распределены по оболочкам K, L, M, N, O, P и Q.

Здесь каждая оболочка представляет собой эквипотенциальную поверхность, а каждая полуволна обладает квантом электрического заряда (заряд электрона) и квантом массы поля (масса электрона). Такую полуволну мы называем электроном.

Распределение электронов по оболочкам дано в таблице 1.

2. Протонная полуволна тоже обладает квантом электрического заряда (заряд электрона, но с положительным знаком) и квантом массы вещества (атомная единица массы). Такую полуволну мы называем протоном.
Распределение протонов по оболочкам в ядре дано в таблице 2. Здесь указаны завершающие гармоники для «магических» чисел (2, 8, 20, 28, 50, 82, 114).

3. Распределение нейтронов по оболочкам в ядре дано в таблице 3 с указанием «магических» чисел (2, 8, 20, 28, 50, 82, 126).

4. Периодическая система элементов Менделеева с отражением электронных, протонных и нейтронных оболочек приводится в таблице 4.

Из доклада на Международной научной конференции MSCMP 201017 сентября 2010 года (10 часов 50 минут – 11 часов 25 минут)Академия Наук Республики МолдоваКишинев, ул. Академическая, 5А (Актовый зал – 1 этаж)

Докладчик – Пивоваров Валерий Иванович

Источник: https://zen.yandex.ru/media/id/5c1757309ccc0700ae5f4f82/5da748c75eb26800ae8a20f5

Booksm
Добавить комментарий