Законы сложения сил в механике

Законы сложения сил в механике

Законы сложения сил в механике

При одновременном действии на одно тело нескольких сил тело движется с ускорением, являющимся векторной суммой ускорений, которые бы возникли под действием каждой силы в отдельности. Действующие на тело силы, приложенные к одной точке, складываются по правилу сложения векторов.

Векторная сумма всех сил, одновременно действующих на тело, называется равнодействующей силой и определяется правилом векторного сложения сил: $\overrightarrow{R}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2+{\overrightarrow{F}}_3+\dots +{\overrightarrow{F}}_n=\sumn_{i=1}{{\overrightarrow{F}}_i}$.

Равнодействующая сила оказывает на тело такое же действие, как сумма всех приложенных к нему сил.

Для сложения двух сил используется правило параллелограмма (рис.1):

Рисунок 1. Сложение двух сил по правилу параллелограмма

При этом модуль суммы двух сил находим по теореме косинусов:

\[\left|\overrightarrow{R}\right|=\sqrt{{\left|{\overrightarrow{F}}_1\right|}2+{\left|{\overrightarrow{F}}_2\right|}2+2{\left|{\overrightarrow{F}}_1\right|}2{\left|{\overrightarrow{F}}_2\right|}2{cos \alpha \ }}\]

Если нужно сложить более двух сил, приложенных в одной точке, то пользуются правилом многоугольника:~ из конца первой силы проводят вектор, равный и параллельный второй силе; из конца второй силы — вектор, равный и параллельный третьей силе и так далее.

Рисунок 2. Сложение сил по правилу многоугольника

Замыкающий вектор, проведённый из точки приложения сил к концу последней силы, по величине и направлению равен равнодействующей. На рис.

2 это правило проиллюстрировано на примере нахождения равнодействующей~~четырёх сил ${\overrightarrow{F}}_1,\ {\overrightarrow{F}}_2,{\overrightarrow{F}}_3,{\overrightarrow{F}}_4$.

Заметим, что при этом складываемые векторы не обязательно должны принадлежать одной плоскости.

Результат действия силы на материальную точку зависит только от ее модуля и направления. Твердое же тело имеет определенные размеры. Поэтому одинаковые по модулю и направлению силы вызывают различные движения твердого тела в зависимости от точки приложения. Прямая, проходящая через вектор силы, называется линией действия силы.

Рисунок 3. Сложение сил, приложенных к разным точкам тела

Если силы приложены к разным точкам тела и действуют не параллельно друг другу, то равнодействующая приложена к точке пересечения линий действия сил (рис.3).

Точка находится в равновесии, если векторная сумма всех сил, действующих на нее, равна нулю: $\sumn_{i=1}{{\overrightarrow{F}}_i}=\overrightarrow{0}$. В этом случае равна нулю и сумма проекций этих сил на любую ось координат.

Замену одной силы двумя, приложенными в той же точке и производящими на тело такое же действие, как и эта одна сила, называют разложением сил. Разложение сил производят, как и их сложение, по правилу параллелограмма.

Задача разложения одной силы (модуль и направление которой известны) на две, приложенные в одной точке и действующие под углом друг к другу, имеет однозначное решение в следующих случаях, если известны:

  1. направления обеих составляющих сил;
  2. модуль и направление одной из составляющих сил;
  3. модули обеих составляющих сил.

Пусть, например, мы хотим разложить силу $F$ на две составляющие, лежащие в одной плоскости с F и направленные вдоль прямых а и b (рис.4). Для этого достаточно из конца вектора, изображающего F, провести две прямые, параллельные a и b. Отрезки $F_A$ и $F_B$ изобразят искомые силы.

Рисунок 4. Разложение вектора силы по направлениям

Другой вариант этой задачи — нахождение одной из проекций вектора силы по заданным векторам силы и второй проекции. (рис.5 а).

Рисунок 5. Нахождение проекции вектора силы по заданным векторам

Задача сводится к построению параллелограмма по диагонали и одной из сторон, известному из планиметрии. На рис.5б построен такой параллелограмм и указана искомая составляющая ${\overrightarrow{F}}_2$ силы ${\overrightarrow{F}}$.

Второй способ решения: прибавить к силе силу, равную — ${\overrightarrow{F}}_1$ (рис.5в).В результате получим искомую силу ${\overrightarrow{F}}_2$.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Задача 1

Три силы~${\overrightarrow{F}}_1=1\ Н;;\ {\overrightarrow{F}}_2=2\ Н;;\ {\overrightarrow{F}}_3=3\ Н$ приложены к одной точке , лежат в одной плоскости (рис.6 а) и составляют углы~ с~ горизонталью $\alpha =0{}\circ ;;\beta =60{}\circ ;;\gamma =30{}\circ $соответственно. Найдите равнодействующую этих сил.

Решение

Проведём две взаимно перпендикулярные оси ОХ и OY так, чтобы ось ОХ совпадала с горизонталью, вдоль которой направлена сила ${\overrightarrow{F}}_1$. Спроецируем данные силы на оси координат (рис.6 б). Проекции $F_{2y}$ и $F_{2x}$ отрицательны.

Сумма проекций сил на ось ОХ равна проекции на эту ось равнодействующей: $F_1+F_2{cos \beta \ }-F_3{cos \gamma \ }=F_x=\frac{4-3\sqrt{3}}{2}\approx -0.6\ H$. Аналогично, для проекций на ось OY: $-F_2{sin \beta \ }+F_3{sin \gamma =F_y=\ }\frac{3-2\sqrt{3}}{2}\approx -0.

2\ H$. Модуль равнодействующей определяется по теореме Пифагора: $F=\sqrt{F2_x+F2_y}=\sqrt{0.36+0.04}\approx 0,64\ Н$. Направление равнодействующей определим с помощью угла между равнодействующей и осью (рис.

6 в): $tg\varphi =\frac{F_y}{F_x}=\ \frac{3-2\sqrt{3}}{4-3\sqrt{3}}\approx 0.4$

Задача 2

Сила $F = 1kH$ приложена в точке В кронштейна и направлена вертикально вниз (рис.7а). Найдите составляющие этой силы по направлениям стержней кронштейна. Необходимые данные указаны на рисунке.

Решение

Дано:

F = 1 кН = 1000Н

${\mathbf \beta }$ = $30{\circ}$

${\overrightarrow{F}}_1,\ {\overrightarrow{F}}_2$ — ?

Пусть стержни прикреплены к стене в точках A и C. Разложение силы ${\overrightarrow{F}}$ на составляющие вдоль направлений АВ и ВС представлено на рис.7б. Откуда видно, что $\left|{\overrightarrow{F}}_1\right|=Ftg\beta \approx 577\ H;\ \ $

\[\left|{\overrightarrow{F}}_2\right|=F{cos \beta \ }\approx 1155\ H. \]

Ответ: $\left|{\overrightarrow{F}}_1\right|$=577 Н; $\left|{\overrightarrow{F}}_2\right|=1155\ Н$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/dinamika/zakony_slozheniya_sil_v_mehanike/

Законы Ньютона. Правило сложения сил

Законы сложения сил в механике

Рассмотрим движение материальной точки (рис. 46) в инерциальной системе отсчёта под действием сил, обусловленных взаимодействием точек с другими точками и телами (т. е. возникающих в результате взаимодействия материальных объектов).

Рис.46.

Заметим, что при движении в неинерциальной системе отсчёта относительные движения частично определяются движением самой системы отсчёта.

Уравнения движения составляются на основе законов Ньютона.

Трактат «Математические начала натуральной философии»:

1687 г. – год возникновения теоретической механики.

Законы Ньютона – идеализированные законы природы, но для практики это допустимо в очень широких пределах.

Введём меры движения.

Количество движения – равно произведению массы m на вектор скорости точки:

,

где m = const > 0 – мера инертности материи.

Момент количества движения, относительно начала координат (рис. 47):

.

Рис.47.

Кинетическая энергия материальной точки:

(скаляр)

В дальнейшем покажем, что в ряде случаев движение точки наглядней описывается через или Т.

При формулировании законов Ньютона обозначаем:

— сила взаимодействия между точками и ;

— суммарная сила, приложенная к точке М , взаимодействующей со многими точками.

Первый закон Ньютона: материальная точка пребывает в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения относительно инерциальной системы отсчёта до тех пор, пока действующие на неё силы не изменят это состояние.

То есть изолированная точка либо покоится, либо движется прямолинейно и равномерно. Причина изменения движения – вне самой точки.

Второй закон Ньютона: производная по времени от количества движения материальной точки геометрически равна силе, приложенной к точке. Или, при постоянной массе, произведение массы точки на её абсолютное ускорение геометрически равно приложенной к материальной точке силе, т. е.

или , если m = const.

Связь кинематической величины – ускорения с динамической величиной – силой через коэффициент пропорциональности – массу.

Третий закон Ньютона: две любые материальные точки взаимодействуют друг с другом с силами, направленными по прямой, соединяющей эти точки, равными по величине и противоположно направленными (рис. 48).

Рис.48.

Рассмотрим воздействие точки M1 c остальными точками (рис. 49).

Для имеем ускорение:

Принцип независимости действия сил:ускорение , вызываемое силой , определяется только этой силой и не зависит от других сил.

Следствие:

; обозначая

Геометрическая сумма ускорений , вызываемых силами взаимодействия точки М1 с остальными точками, пропорциональна геометрической сумме сил взаимодействия – правило параллелограмма для сложения сил.

От чего зависит сила ?

1) от координат точки в данный момент времени;

2) от предистории движения (старение);

3) от окружающей среды (температура);

4) сопротивление воздуха.

и т. д.

Рис.50.

Идеализация: силы зависят только от координат точки, от первых производных и явно от времени:

На практике – допустимо.

Развитие физики привело к изменению некоторых устаревших представлений и к выяснению границ области, в пределах которой справедлива механика Ньютона: его понятие об абсолютном пространстве заменено теперь понятием инерциальной системы отсчёта; установлено, что механика Ньютона – классическая механика – неприменима, если относительные скорости точек сравнимы со скоростью света [это область релятивистской или эйнштейновской механики]; неприменима механика классическая и к изучению явлений микромира [это область квантовой механики]. Но они основаны на классической механики. В остальных областях => классическая механика даёт достаточно точные результаты.

Контрольные вопросы:

1. Что называют динамикой?

2. Перечислите меры движения материальной точки

3. Сформулируйте законы Ньютона.

4. Каковы границы области применения классической механики Ньютона

Рассмотрим движение свободной материальной точки в инерциальной системе отсчёта в декартовых координатах. Из 2-го закона Ньютона:

, ,

причём, Fx, Fy, Fz – могут зависеть от координат, первых производных, времени: .

Если известен закон движения (например из кинематики):

, , ,

то => Fx(t), Fy(t), Fz(t). Это первая (прямая) задача динамики точки.

Если известна сила, то для исследования движения необходимо интегрировать дифференциальные уравнения – это вторая (обратная) задача динамики точки.

Формы дифференциальных уравнений движения

1) 2-ой закон Ньютона – для количества движения.

2) Умножим на (векторно):

или — уравнение момента количества движения.

[Почему? – самостоятельно. Учесть ].

Производная по времени от момента количества движения геометрически равна моменту силы.

Подробная запись (координатная):

3) Умножим скалярно на элементарные перемещения :

.

уравнение кинетической энергии.

Дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе суммы сил, приложенных к точке, на действительном перемещении.

О первых интегралах (законы сохранения).

Из дифференциальных уравнений: функция координат, их производных по времени, являющаяся постоянной в силу уравнений (то есть её производная по времени равна нулю) => называется первым интегралом.

Получим такие условия.

Если — первый интеграл, то и

1) Если Fx = 0, то , — интеграл количества движения (закон сохранения количества движения).

2) Если (то есть проекция момента силы на ось z),

то из

,

— интеграл момента количества движения (закон сохранения момента количества движения).

3) Получим интеграл энергии.

.

Пусть правая часть есть полный дифференциал некоторой скалярной функции – потенциала силового поля .

Тогда:

, , .

Работа:

.

Чтобы было полным дифференциалом:

1) — то есть поле стационарно (не зависит от t).

2) , с условиями из высшей математики:

; ;

или

; ;

или

Иначе: если и , то и уравнение кинетической энергии будет в полных дифференциалах:

.

Интегрируя:

.

Введём потенциальную энергию:

.

Тогда: — интеграл энергии (закон сохранения механической энергии).

Если силовое поле потенциально и стационарно, то сумма кинетической и потенциальной энергий свободной материальной точки равна постоянной.

Е0 – механическая энергия; находится из начальных условий.

Энергия сохраняется, то есть консервируется => поле называется консервативным.

Покажем, что работа сил консервативного поля не зависит от вида траектории, а равна разности значений функции П в конце и начале перемещения (рис.51).

Рис.51.

Работа:

,

что и требовалось доказать.

.

Работа сил консервативного поля на замкнутом перемещении равна нулю (рис.52).

Рис.52.

Контрольные вопросы:

1. Сформулируйте прямую и обратную задачи динамики.

2. Напишите уравнение момента количества движения точки.

3. Что называется перовым интегралом дифференциального уравнения?

4. Какое силовое поле называется консервативным?

1) Сила зависит только от времени – поле однородно, но не стационарно.

.

Тогда:

;

.

Аналогично, для y и z.

2) Проекции силы зависят только от соответствующих координат.

.

Умножая на dx и интегрируя:

.

Дифференцируем снова для проверки:

; .

Положим:

.

Тогда:

(знак берётся из начальных условий).

Разделяя переменные:

.

3) Проекция силы зависит лишь от проекции скорости на эту же ось.

.

Обозначая:

.

Разделяя переменные:

.

Таким образом, в каждом из трёх частных случаев силовых полей по заданным силе, массе и начальным условиям определены выражения для скорости и ускорения точки.

Контрольные вопросы:

1. В чём суть метода разделения переменных при решении дифференциальных уравнений?

2. В чём особенность интегрирования уравнения движения точки, если сила зависит только от координаты?

3. В каких реальных задачах сила зависит от скорости движения точки?

Рассмотрим движение n свободных материальных точек относительно инерциальной системы отсчёта (рис. 53).

Рис.53.

— масса точки .

Масса всей системы:

.

Центром масс системы назовём точку С, радиус – вектор которой равен

,

где .

Основные меры движения системы материальных точек:

1. Суммарное количество движения системы (геометрическая сумма количества движения материальных точек).

, где — скорость точки .

Рассмотрим систему точек с постоянными массами => дифференцируя :

;

где — скорость центра масс.

Итак,

Источник: https://studopedia.su/5_48406_zakoni-nyutona-pravilo-slozheniya-sil.html

Сила. Сложение сил – FIZI4KA

Законы сложения сил в механике

ОГЭ 2018 по физике ›

1. Ускорения взаимодействующих тел обратно пропорциональны их массам: ​\( \frac{a_1}{a_2}=\frac{m_2}{m_1} \)​. Преобразовав это равенство, получаем:​ \( m_1a_1=m_2a_2 \)​.

В правой и в левой частях равенства стоят одинаковые величины для двух взаимодействующих тел, причем значения ускорений тел не зависят от условий их взаимодействия.

Следовательно, можно считать, что произведение массы тела и его ускорения характеризует взаимодействие тел и это произведение равно силе, действующей на тело со стороны другого взаимодействующего с ним тела, т.е.: ​\( \vec{F}=m\vec{a} \)​.

Силой называют физическую величину, характеризующую взаимодействие тел и равную произведению массы тела и его ускорения. Поскольку ускорение векторная величина, а масса скалярная, то сила — векторная величина: \( \vec{F}=m\vec{a} \).

2. Единица силы, в отличие от единицы массы, является производной единицей СИ. ​\( [\,F\,]=[\,m\,][\,a\,] \)​; ​\( [\,F\,] \)​ = 1кг · 1 м/с2. \( [\,F\,] \) = 1 Н (1 ньютон).

Один ньютон — это такая сила, которая телу массой 1 кг сообщает ускорение 1 м/с2.

3. Результат действия силы зависит от её модуля, направления и точки приложения. Например, дверную ручку прикрепляют как можно дальше от петель, на которых она висит, поскольку, чем ближе к петлям подействовать силой, тем труднее дверь открыть.

4. Прибором для измерения силы служит динамометр. В соответствии с законом Гука удлинение пружины прямо пропорционально силе упругости, поэтому по удлинению пружины можно судить о приложенной к пружине силе, которая равна силе упругости.

5. Обычно на тело действуют несколько сил. Например, на тело, падающее в воздухе, действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха; на груз, висящий на нити, действуют сила тяжести и сила упругости нити.

При этом действие каждой силы не зависит от действия других, т.е. каждая сила сообщает телу такое ускорение, какое она сообщила бы ему в отсутствие действия других сил. Это утверждение носит название принципа независимости действия сил. Поэтому при расчёте ускорения движения тела все действующие на него силы заменяют одной силой.

Равнодействующей силой называют силу, которая оказывает на тело такое же действие, как и все действующие на него силы вместе.

Равнодействующую силу находят по правилу сложения векторов, она равна геометрической сумме действующих на тело сил.

Если силы, действующие на тело, направлены по одной прямой в одну сторону, то ​\( \vec{F}=\vec{F}_1+\vec{F}_2 \)​, а модуль равнодействующей равен сумме модулей действующих сил ​\( F=F_1+F_2 \)​ (рис. 30).

Если силы, действующие на тело, направлены в разные стороны, то \( \vec{F}=\vec{F}_1+\vec{F}_2 \), а модуль равнодействующей равен разности модулей действующих сил: \( F=F_1-F_2 \) (рис. 31 ).

Если силы направлены под углом друг к другу, то равнодействующая равна диагонали параллелограмма, построенного на действующих на тело силах как на сторонах, или стороне треугольника, начало которой совпадает с началом вектора ​\( \vec{F}_1 \)​, а конец с концом вектора \( \vec{F}_2 \) (рис. 32).

  • Примеры заданий
  • Ответы

Часть 1

1. Ускорение движения парашютиста с раскрытым парашютом определяется его взаимодействием

1) только с Землёй 2) только с Землёй и с воздухом 3) только с Землёй и с парашютом

4) с Землёй, воздухом и парашютом

2. Сила — это мера

1) быстроты движения 2) инертности 3) взаимодействия

4) быстроты изменения скорости

3. Какие из приведённых ниже величин всегда совпадают по направлению?

1) сила и скорость 2) сила и перемещение 3) сила и ускорение

4) ускорение и перемещение

4. На рисунке а) показаны направления силы, действующей на тело, и его скорости. Какой из четырёх векторов, приведённых на рисунке б), указывает направление ускорения, с которым движется это тело?

1) 1 2) 2 3) 3

4) 4

5. На тело, находящееся на полу движущегося лифта, действуют сила тяжести 90 Н и сила упругости со стороны пола лифта, равная 75 Н. Чему равна равнодействующая этих сил и как она направлена?

1) 45 Н, направлена в ту же сторону, что и сила тяжести 2) 45 Н, направлена в ту же сторону, что и сила упругости 3) 125 Н, направлена в ту же сторону, что и сила тяжести

4) 125 Н, направлена в ту же сторону, что и сила упругости

6. На тело действуют две силы модули которых, — ​\( F_1 \)​ = 30 Н и \( F_2 \) = 40 Н, направленные под углом 90° друг к другу. Чему равна равнодействующая этих сил?

1) 70 Н 2) 50 Н 3) 40 Н

4) 10 Н

7. Чему равна равнодействующая сил, действующих на тело (рис.), если ​\( \vec{F}_1 \)​ = 4 Н, \( \vec{F}_2 \) = 16 Н, \( \vec{F}_3 \) = 22 Н, \( \vec{F}_4 \) = 6 Н?

1) 48 Н 2) 34 Н 3) 28 Н

4) 20 Н

8. Чему равна сила, под действием которой тело массой 8 кг получает ускорение 4 м/с2?

1) 32 Н 2) 8 Н 3) 2 Н

4) 0,5 Н

9. Результат действия силы зависит от

А. Её направления
Б. Точки приложения

Правильный ответ:

1) только А 2) только Б 3) и А, и Б

4) ни А, ни Б

10. На наклонной плоскости покоится брусок, на который действуют сила тяжести ​\( \vec{F} \)​, сила реакции опоры \( \vec{N} \) и сила трения покоя \( \vec{F}_{тр} \). Чему равна равнодействующая этих сил?

1) 0
2) ​\( F+N+F_{тр} \)​
3) ​\( F_{тр} \)​
4) ​\( F + N \)​

11. Установите соответствие между физическими величинами в левом столбце и их единицами в правом столбце. В таблице под номером физической величины левого
столбца запишите соответствующий номер выбранной вами единицы величины из правого столбца.

ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА A) масса Б)сила

B)ускорение

ЕДИНИЦА ВЕЛИЧИНЫ 1) Ньютон (Н)

2) метр в секунду в квадрате (м/с2)

3) килограмм (кг)

12. Из приведённых высказываний выберите два верных и запишите их номера.

1) Из двух тел разной массы при действии на них одинаковой силы большее ускорение приобретет тело большей массы. 2) Сила равна произведению массы тела и его ускорения. 3) Направление движения тела всегда совпадает с направлением силы.

4) Сила — причина ускорения тела.

Часть 2

13. На автомобиль массой 1 т действуют сила тяги 1700 Н и сила трения 200 Н. С каким ускорением движется автомобиль?

Ответы

{a_2}=\frac{m_2}{m_1} \)​. Преобразовав это равенство, получаем:​ \( m_1a_1=m_2a_2 \)​. В правой и в левой частях…»,»word_count»:920,»direction»:»ltr»,»total_pages»:1,»rendered_pages»:1}

Источник: https://fizi4ka.ru/ogje-2018-po-fizike/sila-slozhenie-sil.html

Booksm
Добавить комментарий