Закон Видемана – Франца

Закон Видемана-Франца. Затруднения классической электрон­ной теории

Закон Видемана – Франца

Известно,что металлы наряду с высокойэлектропроводностью обладают такжебольшой теплопроводностью. Видеман иФранц в 1853 г. эмпирически установилизакон: отношение коэффициентатеплопроводности χ к коэффициентуэлектропроводности γ для всех металловприблизительно одинаково и прямопропорционально аб­солютной температуре

.

Такимобразом, классическая электроннаятеория хорошо объясняет существованиеэлектрического сопротивления металлов,законы Ома и Джоуля-Ленца, позволяетвыразить удельную тепло­проводностьчерез атомарные постоянные металла,объясняет зави­симость электропроводностиот температуры и позволяет понять связьмежду теплопроводностью и электропроводностьюметаллов.

Однаков некоторых вопросах, классическаяэлектронная теория приходит к выводам,находящимся в противоречии с опы­том.

  1. Исходя из классической электронной теории, удельная электро-проводность равна

,

откуда

,но ,т.е. ∼ .

Следовательно,по теории ρ∼ ,тогда какна практике

,

т.е.удельное сопротивление пропорциональнопервой степени тем­пературы Т.

Крометого, согласно классической электроннойтеории удельное сопротивление ρ должномонотонно уменьшаться при охлаждении,оставаясь при всех температурах позначению конечным. Это и наблюдаетсяпри сравнительно высоких температурах.

Однако при достаточно низ­кихтемпературах удельное сопротивлениеперестает зависеть от температуры идостигает некоторого предельногозначения, кото­рое называютостаточнымсопротивлением(велико у сплавов, су­ществует у чистыхметаллов и тем меньше, чем чище металли меньше структурных дефектов).

Еслипонижать температуру еще ниже, то внекоторых веществах наблюдается явлениесверхпроводи­мости, т.е. удельноесопротивление внезапно скачкомуменьшается прак­тически до нуля(рис. 96). В сверхпро­водниках однаждывозбужденный электрический ток можетдлительно существовать без источникатока (в течение нескольких суток). Втаком состоянии не выполняется за­конОма.

2.Другим затруднением классическойэлектронной теории металлов можетслужить теория теплоемкости кристаллов.Со­гласно этой теории “электронныйгаз” металлов должен обладать молярнойтеплоемкостью .

Добавляя эту теплоемкость к тепло­емкостикристаллической решетки, составляющей3R,получим для молярной теплоемкостиметалла значение (9/2)R.Таким образом, согласно классическойэлектронной теории молярная теплоемкостьметалла должна быть в 1,5 раза выше, чему диэлектриков.

Однако на практике ихмолярные теплоемкости практически неразлича­ются. Объяснение этих различийи явлений дается в рамках кванто­войтеории металлов.

Вклассической теории неверным являетсяпредположение, что электроны проводимостиподчиняются законам статистикиМаксвелла-Больцмана и что для нихсправедлив закон распределе­ния поэнергии Максвелла. На самом деле ониподчиняются законам квантовой статистикии закону распределения по энергииФерми-Ди­рака.

Энергияэлектронов в металлах слабо зависит оттемпера­туры и теплоемкость электронногогаза оказывается близка к нулю, поэтомуналичие электронного газа в металлахпрактически не ска­зывается натеплоемкости.

Далее,в классической электронной теории неучитывается взаимодействие электроновдруг с другом, а их взаимодействие срешеткой металла описывается с помощьюпредставления о соуда­рениях.

Принизких температурах взаимодействиемежду электро­нами начинает игратьрешающую роль.

Кроме того, оказалось,что взаимодействие электронов с решеткойимеет иной характер – электроны движутсяв периодическом поле электрическогопотен­циала решетки.

И,наконец, движение электронов в металлахподчиняется законам квантовой,а не классической механики.

Электроннаяэмиссия. Ток в газах.

Работавыхода электронов из металла.Термоэлектронная эмиссия

Электроныпроводимости в металлах образуютсвоеобразный электронный газ и участвуютв тепловом движении.

Но поскольку ониудерживаются в объеме металла, а неразлетаются из него, значит, вблизиповерхности металла существуют силы,действующие на элек­троны и направленныевнутрь металла.

Для того чтобы электронвы­вести за пределы металла необходимосовершить определенную ра­боту противудерживающих его сил.

Работой выходаА электронаиз металла называется работа, которуюнужно совершить при удалении электронаиз металла в ва­куум.

Электрон –заряженная частица и сила, препятствующаяего выходу из металла, имеет электрическуюприроду. Существуют две наиболеевероятные причины возникновения этойсилы, а следова­тельно, и работы выхода.

Электрон, обладаядостаточной кинетической энергией,может покинуть поверхность металла. Наповерхности металла в результате этогоиндуцируется положительный заряд,отчего между электроном и металломвозникает сила притяжения, препятствующаяудалению электрона. Работа этой силыпредставляет часть работы выхода.

Электроны вследствиехаотического движения способныпере­секать поверхность металла иудаляться от нее на малые расстояния.При этом число электронов, покидающихповерхность металла, равно числуэлектронов, возвращающихся в металл ина границе металл-ва­куум поддерживаетсядинамическое равновесие электронов.

Над поверхностьюметалла, таким образом, существуетэлек­тронная “атмосфера “, т.е. уповерхности образуется как бы двойнойэлектрический слой, напоминающийзаряженный плоский конденса­тор (рис.97 ).

Рис.97

Электрическоеполе такого двойного электрическогослоя заключено в малом зазоре надповерхностью металла, и прохождениеэлектрона через этот двойной электрическийслой сопровождается совершениемопределенной работы, связанной сразностью потенциалов А = е φ. Величинуφ называют потенциальным барьером.Полная работа вы­хода электронаобуславливается обеими этими причинами.

Если электронвнутри металла имеет кинетическуюэнергию

,

тоон может покинуть объем металла. Работавыхода для металлов имеет порядоквеличины несколько эВ. Энергия жетеплового движения электронов в металлепри комнатной температуре (Т ≃3000К)имеет величину порядка ∼0,03 эВ.По­этому подавляющее большинствоэлектронов будет связано в преде­лахметалла.

Однако, если электронам сообщитьдополнительную энергию, то часть из нихполучает возможность покинуть металли мы наблю­даем явление испусканияэлектронов, называемое электроннойэмис­сией.Различают различные типы электроннойэмиссии.

Если элек­троны получаютэнергию за счет тепловой энергии приповышении температуры, то такая эмиссияназывается термоэлектронной.При подведении энергии светом наблюдаетсяфотоэмиссия,при бомбар­дировке поверхностикакими-либо частицами наблюдаетсявторич­наяэлектронная эмиссия.

Эмиссия под действием сильногоэлек­трического поля называетсяавтоэлектронной.Термоэлектронную

эмиссию можнонаблюдать в электронной лампе –электрова­куумном диоде (рис. 98),состоящем из анода А и накаливаемогокатода К, включенных в элек­трическуюцепь.

Ток диода (анодный ток) зависитот величины анодного напряжения встепени 3/2, так называемый “закон трехвторых”: I= c·U3/2,где U– анодное напряжение; с – const.

Плотность тока насыщения, когда всевылетающие с катода электроны (придан­ной температуре катода) достигаютанода, определяют по формулеРичардсона-Дэшмана

,

где А – постояннаяРичардсона-Дэшмана =6,02·105А/м2·К2,Т – абсолютная температура катода, –работа выхода материала катода,k– постоянная Больцмана.

Источник: https://studfile.net/preview/3297804/page:15/

Закон Видемана – Франца

Закон Видемана – Франца

В металлах тепло и электричество проводят свободные электроны. Свободные электроны являются легкими и подвижными частицами, в этой связи металлы – это хорошие электро- и теплопроводники. В этих процессах ионы в металлах играют несущественную роль. В классической теории электропроводности совокупность свободных электронов в металле часто рассматривают как электронный газ.

Классическая теория электропроводности и закон Видемана – Франца

Из классической теории электропроводности следует, что электроны проводимости, свободно двигаясь в металле, несут с собой и электрический заряд, и свою энергию хаотического теплового движения. Следовательно, электроны переносят тепло.

Концентрация электронов в металла очень большая, получается, что почти все тепло переносят именно электроны, ионная решетка минимально участвует в данном процессе.

Получается, что металлы, имеющие высокую теплопроводность, обладают хорошей электропроводностью и наоборот.

Опираясь на представление о совокупности электронов в металлах, как об электронном газе, выведем коэффициент теплопроводности ($\chi$) идеального одноатомного газа (электронного газа):

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

$\chi=\frac{nk v_{sr}l_{sr}}{2} (1),$

где $n$- концентрация электронов; $k$ — постоянная Больцмана; $v_{sr}$ — средняя скорость теплового движения молекул; $l_{sr}$ — средняя длина свободного пробега электрона в металле.

Длину свободного пробега электрона можно положить, равной:

$l_{sr}= v_{sr}\tau (2),$

где $\tau$ — время свободного пробега электрона в металле. Мы пренебрегаем скоростью дрейфа электронов ($v$) в сравнении с их скоростью теплового движения, так как даже в очень сильных электрических полях $v_{sr}\ll v$.

Удельная электропроводность металлов ($\lambda$) из классической теории проводимости металлов может быть представлена как:

$\lambda =\frac{1}{2}\frac{ne2}{m}\tau (3),$

где $e$ — заряд электрона; $m$ — масса электрона.

Найдем отношение коэффициента теплопроводности металла к коэффициенту его электропроводности, ориентируясь на выражения (1-3), имеем:

$\frac{\chi }{\lambda}=\frac{\frac{nk (v_{sr})2 \tau}{2}}{\frac{1}{2}\frac{ne2}{m}\tau}=\frac{mk (v_{sr})2}{e2}=\frac{mk(v_{sr})2}{e2}(4).$

Положим, что $(v_{sr})2\approx v2_{sr} (5)$ и, используя формулу для средней энергии теплового движения, электрона (помним, что один электрон имеет три степени свободы):

$\frac{1}{2}m v2_{sr}=\frac{3}{2}kT (6)$

выражение (4) получим в виде:

$\frac{\chi }{\lambda}=3(ke)2T (7)$.

Выражение (7) называют законом Видемана – Франца. Эти ученые пришли к данному закону посредством экспериментальных исследований.

Закон (7) указывает нам, что отношение коэффициента теплопроводности к удельной электрической проводимости для всех металлов:

  • при равных температурах одинаково;
  • оно растет прямо пропорционально термодинамической температуре ($T$);
  • коэффициент, связывающий отношение и температуру зависит только от постоянной Больцмана ($k$) и величины заряда электрона $e$, и, следовательно, не зависит от природы металла. Теоретическая величина, полученного коэффициента соответствует экспериментальным данным.

Формулу (7) теоретически получил П. Друде, который не учитывал распределение электронов по скоростям. Лоренц, принимая во внимание распределение Максвелла для тепловых скоростей электронов, вывел аналогичную формулу, но с коэффициентом 2, а не 3.

Замечание 1

В законе Видемана — Франца важно не значение числового коэффициента, а связь между температурой $T$ и отношением $\frac{\chi }{\lambda}$ и то, что при равных температурах оно не изменяется.

Закон Видемана – Франца долгое время считался фактом, подтверждающим истинность классической теории электропроводности и теплопроводности металлов, не смотря на то, что в вопросе теплопроводности в металлах данная теория противоречила эксперименту.

Теория Зоммерфельда и закон Видемана – Франса

Это противоречие установил Зоммерфельд, который использовал статистику Ферми – Дирака к проблеме проводимости, теплопроводности и теплоемкости электронного газа в металле. Зоммерфельд получил формулу (7) с коэффициентом $\frac{\pi2}{3}$.

Так классическая теория Друде и квантовая теория Зоммерфельда привели к фактически одинаковым результатам. Данное совпадение объяснялось тем, что классическая теория использовала неверные значения для теплоемкости электронного газа и $ v2_{sr}$. Эти ошибки взаимно компенсировали друг друга.

Применим теорию Зоммерфельда к выводу закона Видемана – Франса. За основу возьмем выражение для коэффициента теплопроводности, записанное в виде:

$\chi=\frac{1}{3}n v_{sr}c_{V}l_{sr}(8),$

где $c_V$ — теплоёмкость электронного газа при неизменном объеме.

Станем учитывать, что перенос теплоты в металлах реализуется электронами, которые находятся около границы Ферми, средняя кинетическая энергия таких электронов равна:

$\frac{mv2_sr}{2}=\mu(9)$.

В теории Зоммерфельда $c_V$ равна:

$c_V=\frac{12}{5}\frac{k2}{\mu}T (10)$.

Подставим в (8) вместо $c_V$ правую часть выражения (10), найдем отношение $\frac{\chi }{\lambda}$:

$\frac{\chi }{\lambda}=\frac{16}{5}(\frac{k}{e})2T (11).$

Коэффициент $\frac{16}{5}=3,2$ почти не отличается от $\frac{\pi2}{2}$, который Зоммерфельд получил в строгих расчетах и от коэффициента 3, полученного Друде.

Ошибки в классической теории электронной теплопроводности и электропроводности

Отметим, что классическая теория, получая верный результат для отношения $\frac{\chi }{\lambda}$, давала ему неправильное объяснение.

В соответствии с классической теорией пропорциональность $\frac{\chi }{\lambda}\sim T$ связывалась с тем, что средняя кинетическая энергия электрона равна $\frac{3}{2} kT$, то есть прямо пропорциональна температуре.

В действительности закон Видемана – Франца связан с тем, что абсолютной энергии пропорциональная не средняя энергия, а теплоемкость электрона. В классической теории теплоемкость электрона завышена.

Второй ошибкой классической теории стало то, что скорость электронов, которые переносят теплоту, равна средней скорости теплового движения $ (v_{sr}=\sqrt{\frac{kT}{m}}),$ тогда как скорость электронов определяется их кинетической энергией около границы Ферми. Так, скорость электронов в классической теории, которые переносят тепло, существенно занижалась.

Взаимная компенсация ошибок классической теории дает верный результат.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/mehanizmy_elektroprovodnosti/zakon_videmana_franca/

Видемана-Франца закон — Автоматизированная Интернет-система формирования баз данных репродуктивных и формализованных описаний естественнонаучных и научно-технических эффектов

Закон Видемана – Франца

Межотраслевая Интернет-система поиска и синтеза физических принципов действия преобразователей энергии

Общий каталог эффектов

  • Естественнонаучные эффекты (ЕНЭ)

Видемана-Франца закон

Зависимость теплопроводности металлов от их электропроводности

Анимация

Описание

Законом Видемана-Франца называют тот факт, что для большинства металлов отношение коэффициента теплопроводности l (называемого просто «теплопроводность») к их удельной проводимости s («электропроводность») прямо пропорционально абсолютной температуре, причем коэффициент пропорциональности одинаков для многих металлов.

Установлен в 1853 г. Видеманом и Францем опытным путем в виде:

l/s = a + bЧ(t 0С),  (1)

где t° C — температура в градусах Цельсия,

а и b — постоянные.

После работ Друде (1902г.) закон принято записывать в виде:

l/s = cT,  (2)

где Т — абсолютная температура;

с — постоянная величина, значение которой в интервале температур от 250 К до 450 К составляет для разных металлов практически одно и то же значение (2,35 ± 0,15)Ч10 -8 ВК -2.

Теоретическое обоснование закона стало возможным только после введения в физику понятия «электрон» и понимания структуры атомов и твердых тел.

Так, в частности, стало понятно, что большинство свойств металлов, в частности их высокая электро- и теплопроводность обуславливаются, в основном, движением свободных (валентных) электронов.

Друде ввел представление о свободных электронах в металле, как о своеобразном идеальном газе, заключенном в кристаллическую решетку ионов, находящихся в колебательном движении.

Согласно классическим представлениям о явлениях переноса в электронном идеальном газе коэффициент теплопроводности пропорционален средней скорости теплового движения электронов и теплоемкости электронного газа. Теплоемкость идеального газа является постоянной величиной и не зависит от температуры. Средняя скорость хаотического теплового движения прямо пропорциональна квадратному корню из абсолютной температуры.

Удельная проводимость металлов (по классической теории Друде) обратно пропорциональна скорости хаотического движения. Таким образом отношение теплопроводности к электропроводности пропорционально квадрату средней скорости теплового движения, то есть абсолютной температуре. В этих предположениях значение коэффициента с в законе Видемана-Франца получилось равным:

3(k/e)2 = 2,23Ч10 -8 ВК -2,

где k — постоянная Больцмана;

е — заряд электрона.

Это достаточно близко к опытным значениям. Однако уточнение теоретического вывода, полученного Лорентцем с учетом максвелловского распределения по скоростям, дало значение коэффициента С, равное 1,47Ч10 -8 ВК -2, что значительно ухудшило совпадение теории с опытом.

Это расхождение стало одним из серьезных недостатков классической теории электронного газа в металле.

Другим недостатком этой теории является и то, что в ней электронный газ металла обладает теплоемкостью, сравнимой с атомной теплоемкостью кристаллической решетки, тогда как опыт свидетельствует о практически полном отсутствии теплоемкости электронного газа у металлов.

Снятие этих затруднений классической физики при объяснении закона Видемана-Франца стало возможным только после создания квантовой механики и квантовой статистики, и применения этих теорий к физике твердого тела. Впервые это было сделано Зоммерфельдом в 1928г.

Оказалось, что средняя скорость движения свободных электронов, переносящих хаотическую энергию (теплопроводность) и направленный импульс (электропроводность) определяется их кинетической энергией вблизи границы Ферми и от температуры практически не зависит.

Теплоемкость же электронного газа (производная от средней кинетической энергии хаотического движения) прямо пропорциональна температуре, хотя является очень малой величиной по сравнению с теплоемкостью кристаллической решетки.

Таким образом, отношение коэффициента теплопроводности к удельной проводимости в квантовой теории также остается прямо пропорциональным абсолютной температуре с коэффициентом пропорциональности 2,43Ч10 -8 ВК -2, что вполне хорошо совпадает с опытным значением.

Классическое объяснение закона Видемана-Франца является примером того, как неправильный вывод может привести к правильному результату (хотя бы качественному) вследствие скомпенсированности двух ошибочных положений.

Квантовое же объяснение этого закона служит еще одним примером справедливости и обширных возможностей современной квантовой физики.

Отклонения от закона Видемана-Франца, наблюдающееся для многих металлов при низких (ниже 200 К) температурах, а также полное неподчинение этому закону некоторых металлов (бериллия, марганца) дают в современной теории возможность для построения уточненных моделей поведения электронов в металле.

Таким образом, для развития современной физики имеет значение не сам закон Видемана-Франца, а отклонения от нее. С этой точки зрения этот закон может быть классифицирован как псевдоэффект.

Установление опытным путем:

Г. Видеман (G. Widemann; 1826-1899) и Р. Франц (R. Franz; 1828-1876).

Классическое теоретическое обоснование:

П. Друде (P. Drude; 1863-1906).

Квантовомеханическое теоретическое обоснование:

А. Зоммерфельд (A. Sommerfeld; 1868-1951).

Ключевые слова

Разделы наук

Применение эффекта

Зависимость, отраженная в законе Видемана-Франца, используется в расчетах характеристик металлов, применяемых в электротехнических и теплотехнических устройствах.

Реализации эффекта

Техническая реализация

Данный эффект можно наблюдать, меняя температуру металлического стержня и измеряя его электропроводность и теплопроводность.

Литература

1. Физический энциклопедический словарь.- М.: Энциклопедия, 1966.- Т1.- С.264.

2. Сивухин Д.В. Общий курс физики.- М.: Наука, 1976.- Т.3. Электричество.

3. Беккер Р. Электронная теория / Пер. с нем.- Л., М., 1936.

4. Зейтц Ф. Современная теория твердого тела / Пер. с англ.-  М., Л., 1949.

Источник: http://www.heuristic.su/effects/catalog/est/byId/description/1342/index.htm

Booksm
Добавить комментарий