Закон Стефана-Больцмана, формула смещения Вина

Закон Стефана-Больцмана. Закон смещения Вина

Закон Стефана-Больцмана, формула смещения Вина

Законы Стефана— Больцмана и смещения Вина

Из закона Кирхгофа (см. (198.1)) следует, что спектральная плотность энергетической светимости черного тела является универсальной функцией, поэтому нахождение ее явной зависимости от частоты и температуры является важной задачей теории теплового излучения.

Австрийский физик Й. Стефан (1835— 1893), анализируя экспериментальные данные (1879), и Л. Больцман, применяя термодинамический метод (1884), решили эту задачу лишь частично, установив зависимость энергетической светимости Re от температуры. Согласно закону Стефана — Больцмана,

(199.1)

т. е. энергетическая светимость черного тела пропорциональна четвертой степени его термодинамической температуры; — постоянная Стефана — Больцмана: ее экспериментальное значение равно 5,67×10-8 Вт/(м2×К4).

Закон Стефана — Больцмана, определяя зависимость Reот температуры, не дает ответа относительно спектрального состава излучения черного тела. Из экспериментальных кривых зависимости функции от длины волны при различных температурах (рис. 287) следует, что распределение энергии в спектре черного тела является неравномерным.

Рис. 287

Все кривые имеют явно выраженный максимум, который по мере повышения температуры смещается в сторону более коротких волн. Площадь, ограниченная кривой зависимости от и осью абсцисс, пропорциональна энергетической светимости Re черного тела и, следовательно, по закону Стефана — Больцмана, четвертой степени температуры.

Немецкий физик В. Вин (1864—1928), опираясь на законы термо- и электродинамики, установил зависимость длины волны , соответствующей максимуму функции , от температуры Т. Согласно закону смещения Вина,

(199.2)

т. е. длина волны , соответствующая максимальному значению спектральной плотности энергетической светимости черного тела, обратно пропорциональна его термодинамической температуре, b — постоянная Вина: ее экспериментальное значение равно 2,9×10-3м×К. Выражение (199.

2) потому называют законом смещения Вина, что оно показывает смещение положения максимума функции по мере возрастания температуры в область коротких длин волн.

Закон Вина объясняет, почему при понижении температуры нагретых тел в их спектре все сильнее преобладает длинноволновое излучение (например, переход белого каления в красное при остывании металла).

Несмотря на то, что законы Стефана — Больцмана и Вина играют в теории теплового излучения важную роль, они являются частными законами, так как не дают общей картины распределения энергии по частотам при различных температурах.

Формулы Рэлея — Джинса и Планка

Из рассмотрения законов Стефана — Больцмана и Вина следует, что термодинамический подход к решению задачи о нахождении универсальной функции Кирхгофа r не дал желаемых результатов.

Следующая строгая попытка теоретического вывода зависимости принадлежит английским ученым Д. Рэлею и Д.

Джинсу (1877—1946), которые применили к тепловому излучению методы статистической физики, воспользовавшись классическим законом равномерного распределения энергии по степеням свободы.

Формула Рэлея — Джинса для спектральной плотности энергетической светимости черного тела имеет вид

(200.1)

где = kT — средняя энергия осциллятора с собственной частотой . Для осциллятора, совершающего колебания, средние значения кинетической и потенциальной энергий одинаковы (см. §50), поэтому средняя энергия каждой колебательной степени свободы = kT .

Рис. 288

Как показал опыт, выражение (200.1) согласуется с экспериментальными данными только в области достаточно малых частот и больших температур.

В области больших частот формула Рэлея — Джинса резко расходится с экспериментом, а также с законом Вина (рис. 288). Кроме того, оказалось, что попытка получить закон Стефана — Больцмана (см. (199.1)) из формулы Рэлея — Джинса приводит к абсурду.

Действительно, вычисленная с использованием (200.1) энергетическая светимость черного тела (см. (198.3))

в то время как по закону Стефана — Больцмана Reпропорциональна четвертой степени температуры. Этот результат получил название «ультрафиолетовой катастрофы». Таким образом, в рамках классической физики не удалось объяснить законы распределения энергии в спектре черного тела.

Правильное, согласующееся с опытными данными выражение для спектральной плотности энергетической светимости черного тела было найдено в 1900 г. немецким физиком М. Планком.

Для этого ему пришлось отказаться от установившегося положения классической физики, согласно которому энергия любой системы может изменяться непрерывно, т. е. может принимать любые сколь угодно близкие значения.

Согласно выдвинутой Планком квантовой гипотезе, атомные осцилляторы излучают энергию не непрерывно, а определенными порциями — квантами, причем энергия кванта пропорциональна частоте колебания (см. (170.3)):

(200.2)

где h = 6,625×10-34Дж×с— постоянная Планка. Так как излучение испускается порциями, то энергия осциллятора может принимать лишь определенные дискретные значения, кратные целому числу элементарных порций энергии :

(n = 0, 1, 2, …).

В данном случае среднюю энергию осциллятора нельзя принимать равнойkT. Вероятность, что осциллятор находится в состоянии с энергией пропорциональна , но при вычислении средних значений (при дискретных значениях энергии) интегралы заменяются суммами. При данном условии средняя энергия осциллятора

а спектральная плотность энергетической светимости черного тела

Таким образом, Планк вывел для универсальной функции Кирхгофа формулу

(200.3)

которая блестяще согласуется с экспериментальными данными по распределению энергии в спектрах излучения черного тела во всем интервале частот и температур. Теоретический вывод этой формулы М. Планк изложил 14 декабря 1900 г. на заседании Немецкого физического общества. Этот день стал датой рождения квантовой физики.

В области малых частот, т.е. при >1) единицей в знаменателе формулы (16.19) можно пренебречь, тогда получим формулу

, (16.22)

которая совпадает с выражением (16.12), т.е. с формулой Вина, причем, функция F(ν/Т) представляет собой выражение

,

которое действительно зависит от отношения частоты к температуре. График функции Вина показан на рис. 16.5. Функции Вина совпадает с формулой Планка только в области больших частот.

Интегральную излучательную способность АЧТ (закон Стефана—Больцмана) можно получить, проинтегрировав выражение (16.20) по длинам волн в интервале от 0 до :

. (16.23)

Произведем замену переменной. Обозначим , тогда подстановка и приводит выражение (16.21) к виду

, (16.24)

где . Так как , то

. (16.25)

Как видим, величина s (постоянная Стефана-Больцмана) выражается через постоянные величины c, h, k.

Анологично, исследуя функцию (16.22) по переменной ν на экстремум, можно получить значение постоянной Вина, которая выражается также через постоянные с, h и k, и выполнить проверку закона смещения Вина.

Таким образом, формула Планка не только хорошо согласуется с

экспериментальными данными, но и содержит в себе частные законы теплового излучения. Следовательно, формула Планка является полным решением основной задачи теплового излучения, поставленной Кирхгофом. Ее решение стало возможным лишь благодаря революционной квантовой гипотезе Планка.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/19_239301_zakon-stefana-boltsmana-zakon-smeshcheniya-vina.html

Закон Стефана-Больцмана, формула смещения Вина

Закон Стефана-Больцмана, формула смещения Вина

Довольно долго теоретический вид функции $f\left(\omega ,T\right)=\frac{c}{4}w_{\omega }\left(\omega ,T\right)$ получить не удавалось.

Проводя анализ данных эксперимента, Стефан сделал вывод о том, что энергетическая светимость тела пропорциональна четвертой степени температуры (T). Стефан экспериментировал с нечерными телами.

Больцман, используя термодинамические законы, получил теоретически формулу для энергетической светимости абсолютно черного тела:

где $\sigma =5,67\cdot {10}{-8}\frac{Вт}{м2К4}$ — постоянная Стефана — Больцмана, $T$ — абсолютная температура. Выражение (1) называется законом Стефана — Больцмана.

Закон Стефана — Больцмана легко получить из формулы Планка.

где $k$ — постоянная Больцмана, $\hbar =1,05{\cdot 10}{-34}Дж\cdot с$. Вычислим энергетическую светимость:

Для вычисления интеграла в правой части выражения (3) сделаем замену переменных: $\xi =\frac{\hbar \omega }{kT},\ \to \omega =\frac{\xi kT}{\hbar }\to {\omega }3={\left(\frac{\xi kT}{\hbar }\right)}3,\ d\omega =\frac{kT}{\hbar }d\xi \ \left(4\right).$ Значит имеем:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

где $\int\limits{\infty }_0{\frac{{\xi }3d\xi }{{exp \left(\xi \right)\ }-1}=\frac{{\pi }4}{15},}$ подставим в выражение (4), получим:

вычислим коэффициент, который находится перед $T4$:

Формула смещения Вина

В. Вин доказал, что равновесное излучение, которое заключено в оболочке с идеально отражающими стенками, остается равновесным при квазистатическом сжатии или расширении оболочки. Значение теоремы Вина методическое.

Адиабатически и квазистатический изменяя объем равновесного излучения в оболочке, можно получить равновесное излучение любой плотности, значит и температуры. Энергию или температуру данного излучения находят, вычисляя работу, совершенную над исследуемым объемом в данном процессе.

Спектральный состав излучение будет найден, если вычислить доплеровское изменение частоты излучения при его отражении от движущейся оболочки. Так устанавливается соотношение параметров равновесного излучения в любой стадии процесса. В 1893 г. В.

Вин используя законы термодинамики и электромагнетизма показал, что функция спектрального распределения имеет вид:

где $F$ — некоторая функция отношения частоты к температуре. Если переписать выражение (6), используя функция для длины волны ($\varphi (\lambda ,T)$), то получим:

где $\Psi \left(\lambda ,T\right)$ — некоторая функция от произведения $\lambda T.$ Из выражения (7) можно вычислить длину волны, на которую приходится максимум функции $\varphi \left(\lambda ,T\right)$. Найдем производную $\frac{d\varphi }{d\lambda }$, имеем:

В максимуме выражение (8) равно нулю (${\left.\frac{d\varphi }{d\lambda }\right|}_{\lambda ={\lambda }_{max}}=0$). Выражение в квадратных скобках формулы (8) — некоторая функция $\theta (\lambda T)$, то есть:

Известно, что длина волны конечна, то есть ${\lambda }_{max}e \infty .$ Следовательно, выполняется условие:

Решение уравнения (10) по отношению к ${\lambda }_{max}T$ дает некоторое число, которое чаще всего в данном случае обозначают буквой b:

Выражение (11) называют законом (формулой) смещения Вина в его специальной форме. Формула (11) показывает результат смещения максимума излучения при изменении температуры (T). Эмпирическим путем, получена постоянная $b=2,9\cdot {10}{-3}м\cdot К$.

Закон Вина можно записать в другой форме:

где ${\omega }_m=\frac{2\pi с}{{\lambda }_{max}}$.

Пример 1

Какова мощность, требуемая для поддержания температуры расплавленного вещества $T=1500K$ постоянной, если площадь его поверхности равна $S=1м2?$ Считать, что мы имеем дела с абсолютно черным телом. Потери энергии малы. Решение:

Мощность излучения можно рассчитать по формуле:

\[N=R_eS\ \left(1.1\right).\]

Используем закон Стефана — Больцмана для нахождения энергетической светимости черного тела:

\[R_e=\sigma T4\left(1.2\right).\]

В таком случае искомая величина может быть вычислена с использованием выражения:

\[N=\sigma T4S.\]

Проведем вычисления:

\[N=5,7\cdot {10}{-8}\cdot {\left(1500\right)}4\cdot 1=2,9\cdot 105\left(Вт\right).\]

Ответ: $N=2,9\cdot 105Вт.$

Пример 2

Считая, что Солнце является черным телом, используя то, что его максимальная спектральная плотность энергетической светимости соответствует длине волны $500$нм, определить какова температура поверхности данной звезды.

Решение:

Для решения задачи используем закон смещения Вина:

\[{\lambda }_{max}T=b\left(2.1\right).\]

Выразим из него искомую температуру, получим:

\[T=\frac{b}{{\lambda }_{max}}\left(2.2\right).\]

Переведем длину волны света, соответствующую максимальной спектральной плотности энергетической светимости в систему СИ ${\lambda }_{max}=500\ нм=5\cdot {10}{-7}м.$ Проведем вычисления:

\[T=\frac{2,9\cdot {10}{-3}}{5\cdot {10}{-7}}=5,8\cdot {10}3\left(К\right).\]

Ответ: $T=5,8\cdot {10}3K.$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/optika/zakon_stefana-bolcmana_formula_smescheniya_vina/

Закон Кирхгофа, Стефана-Больцмана и Вина

Закон Стефана-Больцмана, формула смещения Вина

Интерференция света.

Интерференция светаЯвление интерференции свидетельствует о том, что свет — это волна.

Интерференциейсветовых волн называется сложение двух когерентных волн, вследствие которого наблюдается усиление или ослабление результирующих световых колебаний в различных точках пространства. Условия интерференции.

Волны должны быть когерентны. Когерентность— согласованность. В простейшем случае к огерентными являются волны одинаковой длины, между которыми существует постоянная разность фаз.

Использование интерференции в техники. Проверка качества обра­ботки поверхности до одной де­сятой длины волны. Несовершенство обра­ботки определяют но искрив­лению интерференционных по­лос, образующихся при отра­жении света от проверяемой поверхности. Интерферометры служат для точного измерения показателя преломления газов и других веществ, длин световых волн.

Просветление оптики. Объективы фотоаппаратов и кинопроекторов, перископы под­водных лодок и другие оптические устройства состоят из большого числа оптических стекол, линз, призм. Каждая отполиро­ванная поверхность стекла отражает около 5% падающего на нее света. Чтобы уменьшить долю отражаемой энергии, исполь­зуется явление интерференции света.

Дифракция света. Дифракционая решетка.

Характерным проявлением волновых свойств света является дифракция света — отклонение света от прямолинейного рас­пространения на резких неоднородностях среды. Дифракция была открыта Ф.Гримальди в конце XVII в.

Объяснение яв­ления дифракции света дано Т. Юнгом и О.

Френелем, которые не только дали описание экспериментов по наблюдению явлений интерференции и дифракции света, но и объяснили свойство пря­молинейности распространения света с позиций волновой теории.

Дифракционная решетка — система препятствий (параллельных штрихов), сравнимых по размерам с длиной волны. Величина d = a + b называется постоянной (периодом) дифракционной решетки, где а — ширина щели; b — ширина непрозрачной части.

Угол φ — угол отклонения световых волн вследствие дифракции. Наша задача — определить, что будет наблюдаться в произвольном направлении φ — максимум или минимум. Оптическая разность хода Из условия максимума интерференции получим: . Следовательно: — формула дифракционной решетки.

Величина k — порядок дифракцион­ного максимума

( равен 0, ± 1, ± 2 и т.д.).

Дисперсия света.

Пучок света, проходя через треугольную призму, отклоняется к грани, лежащей напротив преломляющегося угла призмы.

Однако если это будет пучок именно белого света, то он, после того как пройдет через призму, не только отклонится, но и разложится на цветные пучки. Такое явление называется дисперсия света.

Оно было впервые изучено Исааком Ньютоном в 1666 году в серии замечательных опытов. Из всех проведенных опытов Ньютон сделал такие выводы:

1)белый свет по своей природе является сложным светом, который состоит из цветных лучей;

2)у лучей света различной цветности различны и показатели преломления вещества; в результате этого, когда пучок белого света отклоняется призмой, он разлагается в спектр;

3)если соединенить цветные лучи спектра, то вновь получится белый свет.

Таким образом, дисперсия света – это явление, которое обусловлено зависимостью показателя преломления вещества от длины волны (или частоты).

Поляризация света.

Поляриза́ция волн — характеристика поперечных волн, описывающая поведение вектора колеблющейся величины в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. В продольной волне поляризация возникнуть не может, так как направление колебаний в волнах этого типа всегда совпадает с направлением распространения.

Виды поляризации. Поперечная волна характеризуется двумя направлениями: волновым вектором и вектором амплитуды, всегда перпендикулярным к волновому вектору.

Волновой вектор показывает направление распространения волны, а вектор амплитуды показывает, в какую сторону происходят колебания.

В трёхмерном пространстве имеется ещё одна степень свободы — возможность вращения вектора амплитуды вокруг волнового вектора.

Причиной возникновения поляризации волн может быть:

1)несимметричная генерация волн в источнике возмущения;

2)анизотропность среды распространения волн;

3)преломление и отражение на границе двух сред.

Практическое значение. Скорость распространения волны может зависеть от её поляризации. Две волны, линейно поляризованные под прямым углом друг к другу, не интерферируют. Чаще всего это явление используется для создания различных оптических эффектов, а также в 3D-кинематографе.

Круговая поляризация применяется в антеннах космических линий связи. Вообще, круговая поляризация — вещь теоретическая. На практике говорят об антеннах эллиптической поляризации — с левым или правым направлением вращения.

Круговая поляризация света используется также в технологиях стереокинематографа.

Тепловые излучение.

Тепловое излучение представляет собой передачу тепловой энергии, представленную электромагнитными волнами, от одного тела к иному. Она возникает за счет внутренней энергии данного тела. Волны, которые имеют определенную длину, поглощаются телом и затем проходят через атмосферу.

Тепловое излучение можно происходить вследствие химических или ядерных реакций, электромагнитного рассеивания, а также при механическом воздействии на предмет.

При этом энергия, которая выделяется, может передаваться путем касания, то есть взаимодействия между предметами с высокой и низкой температурами, а также путем переноса при помощи жидкостей или газов.

Тепловое излучение и его характеристики. Известно, что элементы, которые нагреты до высокой температуры, светятся. Данное явление именуется тепловым излучением.

Так, при высокой температуре излучается короткие видимые волны, при низких – длинные инфракрасные.

Энергия теплового излучения, которая исходит от каждого тела, компенсируется за счет энергии, которая поглощается данным телом. Такой процесс называется равновесным тепловым излучением.

Закон Кирхгофа, Стефана-Больцмана и Вина.

1ый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю, то есть

Есть и другая формулировка этого закона: Сумма токов, входящих в узел, равна сумме токов, выходящих из узла.

2ой закон Кирхгофа: в замкнутом электрическом контуре алгебраическая сумма напряжений равна нулю.  

Закон Стефана — Больцмана:Мощность излучения абсолютно чёрного тела (интегральная мощность по всему спектру), приходящаяся на единицу площади поверхности, прямо пропорциональна четвёртой степени температуры тела:

где — мощность на единицу площади излучающей поверхности.

Закон Вина: Вин сформулировал закон теплового излучения, согласно которому длина волны λm, на которую приходится max излучательной способности абсолютно черного тела, обратно пропорциональна его абсолютной t.

Этот закон можно записать в виде

,

Закон Вина наз. законом смещения, подчеркивая тем самым, что при повышении t абсолютно черного тела положение максимума его излучательной способности смещается в область коротких длин волн.

Квантовый характер излучения. Формула Планка.

Для получения правильного вида немец. физик Макс Планк сформулировал квантовую гипотезу, согласно которой электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций энергии квантов, величина которых пропорциональна частоте излучения:

.

Константа — постоянная Планка.

Из гипотезы Планка может быть получено следующее выражение для средней энергии излучения с частотой :

.

Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 1084;

Источник: https://studopedia.net/2_53241_zakon-kirhgofa-stefana-boltsmana-i-vina.html

Вопрос 4. Закон Стефана-Больцмана. Законы Вина

Закон Стефана-Больцмана, формула смещения Вина

Физики C. Ленгли, Э. Прингсгейм, О. Люммер, Ф.Курлбаум и др., исследуя экспериментальнораспределение энергии излучения АЧТпо спектру, определили излучательныеспособности абсолютно черного тела R(λ,TR(ν,T).Результаты таких экспериментов приразличных значениях температурыприведены на рис. 16.4.

Рис.16.4

Врезультате экспериментальных итеоретических исследований, выполненныхЙ. Стефаном и Л. Больцманом был полученважный закон теплового излученияабсолютно черного тела. Этот законутверждает, что энергетическаясветимость абсолютно черного телапропорциональна четвертой степени егоабсолютной температуры,то есть

. (16.10)

По современным измерениям постоянная Стефана-Больцмана

σ= 5,6686·10-8.

Дляреальных тел закон Стефана-Больцманавыполняется лишь качественно, то естьс ростом температуры энергетическиесветимости всех тел увеличиваются.Однако, для реальных тел зависимостьэнергетической светимости от температурыуже не описывается простым соотношением (16.7), а имеет вид:

. (16.11)

КоэффициентА(T) в (16.11), всегда меньший единицы, можноназвать интегральной поглощательнойспособностью тела. Значения коэффициента А(T)известны для многих технически важныхматериалов. Так, в достаточно широкомдиапазоне температур для металлов А(T)= 0,1÷ 0,4, а для угля и окислов металлов А(T)= 0,5÷ 0,9.

Энергетическаясветимость АЧТ, численно равная площади подсоответствующими кривыми, сильно зависитот температуры. Максимум излучательнойспособности с увеличением температурысмещается в сторону коротких длин волн.

ЗаконСтефана-Больцмана не дает информациио спектральном составе излученияабсолютно черного тела.

В 1893 г. немецкий физик В.Вин теоретическирассмотрел термодинамический процесссжатия излучения, заключенного в полостис идеально зеркальными стенками, ипришел к выводу, что испускательнаяспособность абсолютно черного телапрямо пропорциональна кубу частоты иявляется функцией отношения ν/T:

, (16.12)

где α –постоянная величина, F— некоторая функция, конкретный видкоторой термодинамическими методамиустановить невозможно.

Переходяв этой формуле Вина от частоты к длиневолны, получим:

. (16.13)

Каквидно, в выражение для излучательнойспособности температура входит лишь в виде произведенияλT.Уже это обстоятельство позволилопредсказать некоторые особенностифункции .

В частности, эта функция достигаетмаксимума при определенной длине волныλm,которая при изменении температуры телаизменяется так, чтобы выполнялосьусловие: λmT= const.

Такимобразом, В. Вин сформулировал законтеплового излучения, согласно которомудлина волны λm,на которую приходится максимумизлучательной способности абсолютночерного тела, обратно пропорциональнаего абсолютной температуре. Этот законможно записать в виде

, (16.14)

где- постоянная Вина.

ЗаконВина называют закономсмещения,подчеркивая тем самым, что при повышениитемпературы абсолютно черного телаположение максимума его излучательнойспособности смещается в область короткихдлин волн. Результаты экспериментов,приведенные на рис. 16.4, подтверждаютэтот вывод не только качественно, но иколичественно, строго в соответствиис формулой (16.14).

Сростом температуры любого тела длинаволны, вблизи которой тело излучаетбольше всего энергии, также смещаетсяв сторону коротких длин волн. Этосмещение, однако, уже не описываетсяпростой формулой (16.14), которую дляизлучения реальных тел можно использоватьтолько в качестве оценочной, т.е. формула (16.14) остается в силе только при большихчастотах и низких температурах.

Кромезакона смещения (16.14) Вин получилвыражение для максимального значенияизлучательной способности АЧТ. Этузависимость называют вторым закономВина, согласно которому максимальноезначение испускательной способностиАЧТпрямо пропорционально абсолютнойтемпературе в пятой степени:

, (16.15)

где. Однако, получить теоретическоевыражение для универсальной функцииКирхгофа, хорошо описывающееэкспериментальные результаты во всемдиапазоне длин волн излучения тела,Вину не удалось.

Вовсех разобранных выше случаях подходк изучению теплового излучения былтермодинамическим. У.Рэлей и Д.Джинсвпервые к этим явлениям применили методыклассической статистической физики.

Согласно закону о равномерном распределенииэнергии равновесной системы по степенямсвободы на каждую колебательную степеньсвободы осциллятора с собственнойчастотой νприходится энергия, равная =kT,где k−постояннаяБольцмана.

В соответствии с такимподходом У.Рэлей и Д.Джинс в 1905 г. получиливыражение для универсальной функцииКирхгофа:

=kT. (16.16) Здесь −общее число степеней свободы системы, приходящихся на единицу объема полости.

Однако,как показал опыт, формула Рэлея – Джинсахорошо согласуясь с опытными даннымитолько для малых частот (рис.16.5) и большихтемператур, не удовлетворяет законусмещения Вина, а также законуСтефана-Больцмана. Действительно, для абсолютно черного тела энергетическаясветимость R(T),определяемаяпо формуле Рэлея−Джинса (16.16), оказываетсяравной бесконечности:

Рис.16.5

.

Согласнозакону Стефана-Больцмана (1.10) энергетическаясветимость т.е. является конечной величиной.Поскольку вывод формулы (16.16) был безупречным в своей классическойстрогости и последовательности, решениепроблемы описания теплового излученияв рамках классической физики оказалосьневозможным в принципе.

Это обстоятельствополучило в физике образное название«ультрафиолетоваякатастрофа».Причина вышеуказанных трудностей,возникших при отыскании вида функцииКирхгофа, связана с одним из основныхположений классической физики, согласнокоторому энергия любой системы можетизменяться непрерывно, т.е.

можетпринимать любые сколь угодно близкиезначения.

Источник: https://studfile.net/preview/5240909/page:3/

chast5

Закон Стефана-Больцмана, формула смещения Вина

Проблема излучения абсолютно черного тела  состояла в том, чтобы теоретически получить зависимость φ(λ,Т) — спектральную плотность энергетической светимости абсолютно черного тела.

Казалось, что ситуация ясна: при заданной температуре Т молекулы вещества излучающей полости  имеют максвелловское распределение по скоростям и излучают электромагнитные волны в соответствии с законами классической электродинамики.

Излучение находится в термодинамическом равновесии с веществом, значит для нахождения спектральной плотности энергии излучения u(λ,T) и связанной с ней функции φ(λ,Т) можно использовать законы термодинамики  и классической статистики.

Однако, все попытки теоретиков получить на основе классической физики закон излучения абсолютно черного тела потерпели неудачу.

Частичный вклад в решение этой проблемы внесли Густав Кирхгоф, Вильгельм Вин, Иозеф Стефан, Людвиг Больцман, Джон Уильям Релей, Джеймс Хонвуд Джинс.

Проблема излучения абсолютно черного тела была решена Максом Планком. Для этого ему пришлось отказаться от классических представлений и сделать предположение о том, что заряд, совершающий колебания с частотой v, может получать или отдавать энергию порциями, или квантами.

Величина кванта энергии в соответствии с (1.2) и (1.4):

где h — постоянная Планка;    v — частота колебаний электромагнитной волны, излученной колеблющемся зарядом; ω = 2πv — круговая частота.

На основе представления о квантах энергии М. Планк, используя методы статистической термодинамики, получил выражение для функции u(ω,Т), дающей распределение плотности энергии в спектре излучения абсолютного черного тела:

Вывод этой формулы будет дан в лекции N 12, § 3 после того, как мы познакомимся с основами квантовой статистики.

Для перехода к спектральной плотности энергетической светимости f(ω,Т) запишем вторую формулу (1.19):

Используя это соотношение и формулу Планка (2.1) для u(ω,T), получим, что:

Это и есть формула Планка для спектральной плотности энергетической светимости f(ω,T).

Теперь мы получим формулу Планка для φ(λ,Т).Как мы знаем из (1.18), в случае абсолютно черного тела f(ω,T) = rω, а φ(λ,Т) = rλ.

Связь между rλ и rω дает формула (1.12), применяя ее мы получим:

Здесь мы аргумент ω функции f(ω,Т) выразили через длину волны λ. Подставляя сюда формулу Планка для f(ω,Т)из (2.2), получим формулу Планка для φ(λ,Т) — спектральной плотности энергетической светимости в зависимости от длины волны λ:

График этой функции хорошо совпадает с экспериментальными графиками φ(λ,Т) для всех длин волн и температур.

Это и означает, что проблем излучения абсолютно черного тела решена.

§ 2. Закон Стефана-Больцмана и закон Вина

Из (1.11) для абсолютно черного тела, когда rω = f(λ,Т), получим энергетическую светимость R(T), интегрируя функцию f(ω,Т) (2.2)  во всем интервале частот.

Интегрирование дает:

Введем обозначение:

тогда выражение для энергетической светимости R примет следующий вид:

Это и есть закон Стефана-Больцмана.

М. Стефан на основе анализа опытных данных пришел в 1879 г. к выводу, что энергетическая светимость любого тела пропорциональна четвертой степени температуры.

Л. Больцман в 1884 г. нашел из термодинамических соображений, что такая зависимость энергетической светимости от температуры справедлива лишь для абсолютно черного тела.

Постоянная σ носит название постоянной Стефана-Больцмана. Ее экспериментальное значение:

Вычисления по теоретической формуле дают для σ результат очень хорошо согласующийся с экспериментальным.

Отметим, что графически энергетическая светимость равна площади, ограниченной графиком функции f(ω,Т), это иллюстрирует  рисунок 2.1.

Рис. 2.1

Максимум графика спектральной плотности энергетической светимости φ(λ,Т) при повышении температуры смещается в область более коротких волн (рис. 2.2). Для нахождения закона, по которому происходит смещение максимума φ(λ,Т) в зависимости от температуры, надо исследовать функцию φ(λ,Т) на максимум. Определив положение этого максимума, мы получим закон его перемещения с изменением температуры.

Рис. 2.2

Как известно из математики, для исследования функции на максимум надо найти ее производную и приравнять к нулю:

Подставив сюда φ(λ,Т) из (1.23) и взяв производную, получим три корня алгебраического уравнения относительно переменной λ. Два из них (λ = 0 и λ = ∞) соответствуют нулевым минимумам функции φ(λ,Т). Для третьего корня получается приближенное выражение:

Введем обозначение:

тогда положение максимума функции φ(λ,Т) будет определятся простой формулой:

Это и есть закон смещения Вина.

Он назван так в честь В. Вина, теоретически получившим в 1894 г. это соотношение. Постоянная в законе смещения Вина имеет следующее численное значение:

Итоги лекции N 2

  1. Проблема излучения абсолютно черного тела состояла в том, что все попытки получить на основе классической физики зависимость φ(λ,Т) — спектральную плотность энергетической светимости абсолютно черного тела потерпели неудачу.

  2. Эту проблему решил в 1900 г. М. Планк на основе своей гипотезы квантов: заряд,  совершающий колебания с частотой v, может получить или отдавать энергию порциями или квантами. Величина кванта энергии:

    здесь h = 6,626 ·10-34 — постоянная Планка, величина  Дж·с также называется постоянной Планка [«аш» с чертой], ω — круговая (циклическая) частота.

  3. Формула Планка для спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела имеет следующий вид (см. (2.4):

    здесь λ — длина волны электромагнитного излучения, Т — абсолютная температура, h — постоянная Планка, с — скорость света в вакууме, k — постоянная Больцмана.

  4. Из формулы Планка следует выражение для энергетической светимости R абсолютно черного тела:

    которое позволяет теоретически вычислить постоянную Стефана-Больцмана (см. (2.5)):

    теоретическое значение которой хорошо совпадает с ее экспериментальным значением:

    в законе Стефана-Больцмана (см.(2.6)):

  5. Из формулы Планка следует закон смещения Вина, определяющий λmax — положение максимума функции φ(λ,Т) в зависимости от абсолютной температуры (см. (2.9):

    Для b — постоянной Вина — из формулы Планка получается следующее выражение (см. (2.8)):

           Постоянная Вина имеет следующее значение  b = 2,90 ·10-3 м·К.

Источник: http://lib.ssga.ru/fulltext/UMK/200501/2%20%D1%81%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D1%80/%D0%A4%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0/200501%20%D0%9A%D1%83%D1%80%D1%81%20%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9%205%20%D0%A4%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0%202005/2.html

Закон Стефана-Больцмана и смещение Вина

Закон Стефана-Больцмана, формула смещения Вина

Из закона Кирхгофа следует, что спектральная плотность энергетической светимости черного тела является универсальной функцией, поэтому нaхождение ее явной зависимости от частоты и температуры является важ­ной задачей теории теплового излучения.

Австрийский физик Й. Стефан, анализируя экспериментальные данные, и Л. Больцман, применяя термодинамический метод, решили эту задачу лишь частично, установив зависимость энергетической светимости R от тем­пературы. Согласно закону Стефана-Больцмана,

, (5.3.1)

т.е. энергетическая светимость черного тела пропорциональна четвертой степени его термодинамической температуры; s -постоянная Стефана-Больцмана: ее экспериментальное значение равно 5,7×l0 Вт (м2×К4 ).

Закон Стефана — Больцмана, определяя зависимость от температуры, не дает ответа относительно спектрального состава излучения черного те­ла. Из экспериментальных кривых зависимости функции rl,Т от длины волны l при различных температурах (рис.5.3.

1) следует, что распределение энергии в спектре черного тела является неравномерным. Все кривые имеют явно выраженный максимум, который по мере повышения температуры смещается в сторону более коротких волн.

Площадь, ограниченная кривой зависимости rl,т и осью абсцисс, пропорциональна энергетической светимости черного тела и, следовательно, по закону Стефана — Больцмана, четвертой степени температуры.

Немецкий физик В.Вин, опираясь на законы термо- и электродина-мики, установил зависимость длины волны lmax, соответствующей максимуму функции rl,т от температуры Т. Согласно закону смещения Вина,

, (5.3.2)

т.e.

длина волны lmax, соответствующая максимальному значению спектральной плотности энергетической светимости rl,т черного тела, обратно пропорциона-льна его термодинамической темпера-туре; b — постоянная Вина: ее экспериментальное значение равно 2,9×10 м×к. Выражение (5.3.2) потому называют законом смещения Вина, что оно показывает смещение положения максимума функции rl,т по мере возрастания температуры в области коротких длин волн. Этот закон объясняет, почему при понижении температуры нагретых тел в их спектре все сильнее преобладает длинноволновое излучение. Несмотря на то, что законы Стефана-Больцмана и Вина играют в теории теплового излучения важную роль, они являются частными законами, т.к. не дают общей картины распределения энергии по частотам при различных температурах.

рис 5.3.1.

Формула Рэлея-Джинса и Планка.

Из законов Стефана — Больцмана и Вина следует, что термо­динамический подход к решению задачи о нахождении универсальной функции rn,т Кирхгофа не дал желаемых результатов.

Следующая строгая попытка тео­ретического вывода зависимости rn,т принадлежит английским ученым Д. Рэлею и Д.

Джинсу, которые применили к тепловому излучению методы стати­стической физики, воспользовавшись классическим законом равномерного рас­пределения энергии по степеням свободы.

Формула Рэлея-Джинсадля спектральной плотности энергетической све­тимости черного тела имеет вид

, (5.4.1)

где < e > = КТ — средняя энергия осциллятора с собственной частотой. Для осциллятора, совершающего колебания, средние значения кинети­ческой и потенциальной энергии одинаковы, поэтому средняя энергия каждой колебательной степени свободы < e >=КТ.

Как показал опыт, выражение (5.4.1) согласуется с эксперимен-тальными данными только в области достаточно малых частот и больших температур. В области больших частот формула Рэлея — Джинса приводит к абсурду. Действительно, вычисленная с использованием (5.4.1) энергетическая светимость черного тела

,

в то время как по закону Стефана-Больцмана Rе пропорциональна чет­вертой степени температуры. Этот результат получил название «ультрафио­летовой катастрофы». Таким образом, в рамках классической физики не удалось объяснить законы распределения энергии в спектре черного тела.

Правильное, согласующееся с опытными данными, выражение для спектральной плотности энергетической светимости черного тела было найдено в 1900 г. немецким физиком М. Планком.

Для этого ему пришлось отказаться от установившегося положения классической физики, согласно которому энер­гия любой системы может изменяться непрерывно, т.е. принимать любые сколь угодно близкие значения.

Согласно выдвинутой Планком квантовой гипотезе, атомные осцилляторы излучают энергию не непрерывно, а определенными порциями — квантами, причем энергия кванта пропорцио­нальна частоте колебания:

, (5.4.2)

где h=6,625*10 Дж * с – постоянная Планка.Так как излучение ис-пускается порциями, то энергия осциллятора e может принимать лишь определенные дискретные значения, кратные целому числу элемен-тарных порций энергии :

e=nhn (n=0,1,2,…).

Планк вывел для универсальной функции Кирхгофа формулу

, (5.4.3)

которая блестяще согласуется с экспериментальными данными по распреде­лению энергии в спектрах излучения черного тела во всем интервале час­тот и температур. Теоретический вывод этой формулы М. Планк изложил в 1900 г. ставшим датой рождения квантовой физики.

Из формулы Планка, зная универсальные постоянные h, k и с, можно вычислить постоянные sСтефана-Больцмана и b Вина. А зная экспериментальные значения sи b, можно вычислить значения h и k.

Таким образом, формула Планка не только хорошо согласуется с экспериментальными данными, но и содержит в себе частные законы теплового из­лучения. Следовательно, полное решение основной задачи теплового излучения, поставленной Кирхгофом, стало воз­можным лишь благодаря революционной квантовой гипотезе Планка.

Предыдущая123456789Следующая

Дата добавления: 2015-06-01; просмотров: 2367; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

ПОСМОТРЕТЬ ЁЩЕ:

Источник: https://helpiks.org/3-66181.html

Booksm
Добавить комментарий