Закон сохранения момента импульса

Тема 6. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса

Закон сохранения момента импульса

Моментом импульсаматериальной точки, вращающейсяотносительно неподвижной оси OO,называется величина L,равнаяпроизведению импульса этой точки на расстояниеr от этой точкидо оси вращения: .

Момент импульсаявляется векторной величиной. Векторнаправлен по оси вращения в соответствиис правилом правого винта.

При вращениитвердого тела относительно неподвижнойоси отдельные его точки, находящиесяна различном расстоянии от оси вращения, имеют различные скорости.

Поэтому для того, чтобы найти моментимпульса твердого тела относительнонекоторой оси вращения, необходиморазбить это тело на элементарные объемытак, чтобы каждый элементарный объемможно было рассматривать как материальнуюточку массой ,находящуюся на расстоянииот оси вращения и движущаяся со скоростью.

Тогда моментимпульса твердого тела Lравен суммемоментовимпульсавсех nматериальных точек массами ,на которые разбито это тело:

.

Так как для твердоготела угловая скорость вращения всех материальных точек, на которыеразбито это тело, одинакова, то, используяформулу,получим

или в векторнойформе: .

Таким образом,момент импульса твердого тела относительнооси вращения равен произведению моментаинерции этого тела относительно той жеоси вращения на угловую скорость вращенияэтого тела.

Продифференцировавэто уравнение по времени, получим:

, откуда .

Тоесть

.

Это выражение –еще одна форма (называемая дифференциальной)уравнениядинамики вращательного движения твердоготела: скоростьизменения момента импульса твердоготела относительно оси вращения равнавекторной сумме моментов всех действующихна это тело сил относительно той же осивращения.

В замкнутой системевекторная сумма моментов внешних силравна нулю. Тогда и, следовательно,.

Таким образом,моментимпульса замкнутой системы сохраняется,что является закономсохранения момента импульса.

Тема 7. Механические колебания. Пружинный маятник

Механическимиколебанияминазываются движения, характеризующиесяопределенной повторяемостью во времени.

Колебанияназываютсясвободными(илисобственными),если они совершаются за счет первоначальносообщенной энергии при последующемотсутствии внешних воздействий наколебательную систему.

Гармоническимиколебаниями называютсяколебания,при которых колеблющаяся величинаизменяется со временем по закону синуса(или косинуса).

Пружинный маятник– это колебательная система, состоящаяиз груза массой т,закрепленного на пружине, и совершающаягармонические колебания под действиемупругой силы,зависящей отвеличины линейной деформации xв соответствиис законом Гука: Fx= kx,где kжесткость пружины.

Согласно второмузакону Ньютона уравнение движениямаятника:

.

Так как ускорениеaявляется второй производной от смещенияx(),то

или .

Если обозначить,то получим дифференциальное уравнениесвободных незатухающих гармоническихколебаний пружинного маятника:

.

Решением этогодифференциального уравнения являетсяфункция x(t):

,

где отклонениеколеблющегося тела от положенияравновесия в момент времени t;

Аамплитудаколебания,то есть максимальное отклонениеколеблющегося тела от положенияравновесия;

0– круговая(циклическая) частота;

(0t+0)– фазаколебанияв момент времени t;

0 начальнаяфаза колебания.

Круговая частота ,

где Тпериодколебаний,то есть время одного полного колебания.

Так как ,то период свободных незатухающихгармонических колебаний пружинногомаятника.

Кинетическаяэнергияколебаний пружинного маятника:

.

Потенциальнаяэнергия колебанийпружинного маятника:

.

Полная энергияколебаний пружинного маятника:

,

откуда видно, чтополная энергия свободных незатухающихгармонических колебаний пружинногомаятника остается постоянной.

Свободныезатухающие гармонические колебанияпружинного маятника (рис.6). Для пружинного маятника массой т,совершающего колебания под действиемупругой силы(Fx= – kx)с учетомсилысопротивления ,пропорциональной скорости движения груза (), второй закон Ньютона имеет вид:

,

где rкоэффициентсопротивления.

Обозначив и(–коэффициентзатухания),получим дифференциальное уравнениесвободных затухающих гармоническихколебаний пружинного маятника:

.

Решениемэтого дифференциального уравнения вслучае малых затуханий

являетсяфункция x(t):

,

где –амплитудазатухающихколебаний в момент времени t;

начальнаяамплитуда,т.е. амплитуда в момент времени t= 0,

круговая(циклическая) частота:

Периодзатухающих гармонических колебанийпружинного маятника:

.

Рис. 6

Декрементзатухания.Если A(tА(t+Т)амплитудыдвух последовательных колебаний (рис.6), то отношение этих величин называетсядекрементом затухания .

Логарифмназываетсялогарифмическим декрементом затухания:

Вынужденныегармонические колебания пружинногомаятника

Незатухающиегармонические колебания в реальнойколебательной системе можно получитьс помощью внешней вынуждающей силыF(t),изменяющейся по гармоническому закону: .

Колебания,возникающие под действием внешнейпериодически изменяющейся силы,называются вынужденнымиколебаниями.

Второй законНьютона для вынужденных колебанийпружинного маятника:

или

.

Полученное выражениепредставляет собой дифференциальноеуравнение вынужденных гармоническихколебаний пружинного маятника.

Решением этогодифференциального уравнения являетсяфункция :

.

При этом амплитудавынужденных колебаний определяется поформуле:

.

Из этой формулыследует, что амплитуда колебаний Аимеет максимум при частоте ,называемой резонансной частотой:

.

Явление резкоговозрастания амплитуды вынужденныхколебаний при приближении частотывынуждающей силы к частоте, равной илиблизкой собственной частоте колебательнойсистемы, называется резонансом.

Источник: https://studfile.net/preview/6334420/page:5/

Закон сохранения момента импульса. Кинетическая энергия абсолютно твёрдого тела, вращающегося относительно неподвижной оси — Класс!ная физика

Закон сохранения момента импульса

«Физика — 10 класс»

Почему для увеличения угловой скорости вращения фигурист вытягивается вдоль оси вращения.
Должен ли вращаться вертолёт при вращении его винта?

Заданные вопросы наводят на мысль о том, что если на тело не действуют внешние силы или действие их скомпенсировано и одна часть тела начинает вращение в одну сторону, то другая часть должна вращаться в другую сторону, подобно тому как при выбросе горючего из ракеты сама ракета движется в противоположную сторону.

Момент импульса.

Если рассмотреть вращающийся диск, то становится очевидным, что суммарный импульс диска равен нулю, так как любой частице тела соответствует частица, движущаяся с равной по модулю скоростью, но в противоположном направлении (рис. 6.9).

Но диск движется, угловая скорость вращения всех частиц одинакова. Однако ясно, что чем дальше находится частица от оси вращения, тем больше её импульс. Следовательно, для вращательного движения надо ввести ещё одну характеристику, подобную импульсу, — момент импульса.

Моментом импульса частицы, движущейся по окружности, называют произведение импульса частицы на расстояние от неё до оси вращения (рис. 6.10):

L = mvr.

Линейная и угловая скорости связаны соотношением v = ωr, тогда

L = mr2ω.

Все точки твёрдого дела движутся относительно неподвижной оси вращения с одинаковой угловой скоростью. Твёрдое тело можно представить как совокупность материальных точек.

Момент импульса твёрдого тела равен произведению момента инерции на угловую скорость вращения:

Момент импульса — векторная величина, согласно формуле (6.3) момент импульса направлен так же, как и угловая скорость.

Основное уравнение динамики вращательного движения в импульсной форме.

Угловое ускорение тела равно изменению угловой скорости, делённому на промежуток времени, в течение которого это изменение произошло: Подставим это выражение в основное уравнение динамики вращательного движения отсюда I(ω2 — ω1) = MΔt, или IΔω = MΔt.

Таким образом,

ΔL = MΔt.         (6.4)

Изменение момента импульса равно произведению суммарного момента сил, действующих на тело или систему, на время действия этих сил.

Закон сохранения момента импульса:

Если суммарный момент сил, действующих на тело или систему тел, имеющих неподвижную ось вращения, равен нулю, то изменение момента импульса также равно нулю, т. е. момент импульса системы остаётся постоянным.

ΔL = 0, L = const.

Изменение импульса системы равно суммарному импульсу сил, действующих на систему.

Вращающийся фигурист разводит в стороны руки, тем самым увеличивает момент инерции, чтобы уменьшить угловую скорость вращения.

Закон сохранения момента импульса можно продемонстрировать с помощью следующего опыта, называемого «опыт со скамьёй Жуковского». На скамью, имеющую вертикальную ось вращения, проходящую через её центр, встаёт человек. Человек держит в руках гантели.

Если скамью заставить вращаться, то человек может изменять скорость вращения, прижимая гантели к груди или опуская руки, а затем разводя их. Разводя руки, он увеличивает момент инерции, и угловая скорость вращения уменьшается (рис. 6.

11, а), опуская руки, он уменьшает момент инерции, и угловая скорость вращения скамьи увеличивается (рис. 6.11, б).

Человек может также заставить вращаться скамью, если пойдёт вдоль её края. При этом скамья будет вращаться в противоположном направлении, так как суммарный момент импульса должен остаться равным нулю.

На законе сохранения момента импульса основан принцип действия приборов, называемых гироскопами. Основное свойство гироскопа — это сохранение направления оси вращения, если на эту ось не действуют внешние силы. В XIX в. гироскопы использовались мореплавателями для ориентации в море.

Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела.

Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела равна сумме кинетических энергий отдельных его частиц. Разделим тело на малые элементы, каждый из которых можно считать материальной точкой. Тогда кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий материальных точек, из которых оно состоит:

Угловая скорость вращения всех точек тела одинакова, следовательно,

Величина в скобках, как мы уже знаем, это момент инерции твёрдого тела. Окончательно формула для кинетической энергии твёрдого тела, имеющего неподвижную ось вращения, имеет вид

В общем случае движения твёрдого тела, когда ось вращения свободна, его кинетическая энергия равна сумме энергий поступательного и вращательного движений. Так, кинетическая энергия колеса, масса которого сосредоточена в ободе, катящегося по дороге с постоянной скоростью, равна

В таблице сопоставлены формулы механики поступательного движения материальной точки с аналогичными формулами вращательного движения твёрдого тела.

Источник: «Физика — 10 класс», 2014, учебник Мякишев, Буховцев, Сотский

Назад в раздел «Физика — 10 класс, учебник Мякишев, Буховцев, Сотский»

Законы сохранения в механике — Физика, учебник для 10 класса — Класс!ная физика

Импульс материальной точки — Закон сохранения импульса — Реактивное движение. Успехи в освоении космоса — Примеры решения задач по теме «Закон сохранения импульса» — Механическая работа и мощность силы — Энергия.

Кинетическая энергия — Примеры решения задач по теме «Кинетическая энергия и её изменение» — Работа силы тяжести. Консервативные силы — Работа силы упругости. Консервативные силы — Потенциальная энергия — Закон сохранения энергии в механике — Работа силы тяготения.

Потенциальная энергия в поле тяготения — Примеры решения задач по теме «Закон сохранения механической энергии» — Основное уравнение динамики вращательного движения — Закон сохранения момента импульса.

Кинетическая энергия абсолютно твёрдого тела, вращающегося относительно неподвижной оси — Примеры решения задач по теме «Динамика вращательного движения абсолютно твёрдого тела»

Источник: http://class-fizika.ru/10_a227.html

Момент импульса. Закон сохранения момента импульса

Закон сохранения момента импульса

Моментом импульса материальной точки относительно некоторой точки О называется вектор , равный векторному произведению радиус-вектора материальной точки относительно точки О на импульс материальной точки

(2.3.2)

Модуль момента импульса

(2.3.3)

Направление момента импульса определяется по правилу правого винта (вектора и составляют правую тройку векторов).

Момент импульса системы материальных точек равен векторной сумме моментов импульсов отдельных материальных точек системы или векторному произведению радиус-вектора центра масс системы на импульс ее центра масс

(2.3.4)

Величина момента импульса твердого тела относительно оси вращения

(2.3.5)

где — момент инерции тела относительно оси z, w — угловая скорость тела.

Изотропность пространства (осевая симметрия пространства) приводит к закону сохранения момента импульса: в замкнутых системах момент импульса сохраняется.

В незамкнутых системах закон сохранения момент импульса выполняется в следующих случаях:

1 Если суммарный момент внешних сил равен нулю, то момент импульса системы сохраняется.

2 Если существует ось Z такая, что сумма проекций моментов внешних сил на эту ось равна нулю, то сохраняется проекция момента импульса системы на эту ось.

3 Момент импульса системы сохраняется, если время действия внешних сил мало.

Закон сохранения момента импульса является фундаментальным законом природы, выполняющимся при любых взаимодействиях в мега-, макро- и микромире.

Законом сохранения момента импульса объясняются, в частности, плоская форма галактик, орбитальное движение планет Солнечной системы (второй закон Кеплера), изменение угловой скорости вращения фигуриста при изменении положения его рук и т.д.

Многие элементарные частицы обладают внутренним моментом импульса (спином). Суммарный спин системы взаимодействующих частиц сохраняется при любых процессах слабого и сильного взаимодействий.

Работа, мощность, энергия

Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы.

Механическая работа – это скалярная величина, равная скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения точки

Работа переменной силы на пути S

(2.3.6)

В частном случае постоянной силы, действующей под неизменным углом a к перемещению,

(2.3.7)

В системе СИ работа измеряется в джоулях (Дж). Работа может быть положительной (α < π/2) и отрицательной (α > π/2). Работа силы, перпендикулярной перемещению (например, силы притяжения Земли к Солнцу), равна нулю.

Мощностью называется величина, определяемая работой, совершаемой в единицу времени:

(2.3.8)

В случае постоянной мощности

N = А/t, (2.3.9)

где А — работа, совершаемая за время t. В системе СИ мощность измеряется в ваттах (Вт).

Энергия – это единая количественная мера различных форм движения и взаимодействия всех видов материи. Под движением в широком смысле слова понимают любое изменение материи.

Различным формам движения соответствуют разные формы энергии: механическая, тепловая, электромагнитная, ядерная и т.д.

Внутренней(тепловой) энергией называется сумма кинетической энергии теплового движения атомов и молекул тела и потенциальной энергии их взаимодействия. Электромагнитное поле является носителем электромагнитнойэнергии.

Частным видом электромагнитной энергии является энергия электрического тока, широко используемая человеком. Ядерная энергия связана с взаимодействием протонов и нейтронов в ядре и может высвобождаться, например, при реакциях деления тяжелых ядер или при синтезе легких.

Механическая энергия – энергия тел при их механическом движении. Она характеризует способность тела совершать механическую работу.

Механическая энергия подразделяется на кинетическую(Т.) и потенциальную(П.).

Полная механическая энергия тела Ем складывается из кинетической и потенциальной энергии

Ем= Т+П (2.3.10)

Кинетическая энергия – это энергия, которой обладает движущееся тело. Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно со скоростью V

(2.3.11)

Кинетическая энергия зависит от системы отсчета и в этом смысле является относительной величиной. Так, сидящий человек массой 60 кг не имеет кинетической энергии в СО, связанной с земной поверхностью, но в системе отсчета, связанной с Солнцем, обладает кинетической энергией Т≈33 МДж.

Кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме кинетических энергией отдельных точек системы.

Кинетическая энергия тела с моментом инерции I, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ω, определяется по формуле:

(2.3.12)

В общем случае тело может участвовать как в поступательном, так и во вращательном движении (колесо велосипеда). Тогда кинетическая энергия этого тела складывается из кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения.

Потенциальная энергия – часть механической энергии системы, связанная с взаимным расположением частей системы и определяемая характером сил, действующих между ними. Для каждого вида взаимодействия существует своя формула потенциальной энергии. Потенциальной энергией обладает тело, поднятое над поверхностью Земли, деформированная пружина и т.д.

Потенциальная энергия тела массы m, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, находится по формуле

П = mgh, (2.3.13)

где g – ускорение свободного падения.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела рассчитывается по формуле

(2.3.14)

где x – величина деформации, k – коэффициент упругости.

Среди возможных состояний системы особое значение имеет состояние устойчивого равновесия – состояние, которое не изменяется при малом внешнем воздействии на систему.

В состоянии устойчивого равновесия потенциальная энергия системы минимальна, многие явления природы объясняются стремлением потенциальной энергии к минимуму.

Так, шарообразность массивных небесных тел (звезд, планет) объясняется тем, что этой формой достигается минимум потенциальной гравитационной энергии взаимодействия частиц этих тел.

Закон сохранения энергии

Однородность времени (сдвиговая симметрия) приводит к закону сохраненияэнергии: при любых процессах полная энергия изолированной системы не изменяется; энергия может только превращаться из одного вида в другой и передаваться от одного тела системы к другому. Закон сохранения энергии – фундаментальный закон природы, выполняющийся на всех структурных уровнях организации материи. Не существует явлений и процессов, для которых этот закон не имел бы места. Нарушение закона сохранения энергии свидетельствовало бы о нарушении однородности времени.

Все явления и процессы в природе – от самых простых до самых сложных – протекают с сохранением энергии. Общий запас энергии во Вселенной с момента ее образования до наших дней остается постоянным.

Появление высокоупорядоченных структур (от атомов и молекул до звезд и галактик) и явление жизни связано с последовательными превращениями одних форм энергии в другие.

Часть энергии обязательно переходит в самую низшую форму – теплоту.

Большое значение для практической деятельности человека имеет частный случай − закон сохранения механической энергии, выполняющийся в поле консервативных сил.

Консервативной называется сила, работа которой не зависит от траектории, а определяется начальным и конечным состояниями системы. Работа консервативной силы по замкнутой траектории равна нулю. Консервативными являются сила тяжести, упругости, сила взаимодействия электрических зарядов и др.

Сила, работа которой зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, называется диссипативной. Примером диссипативной силы является сила трения; работа силы трения по любой замкнутой траектории меньше нуля.

Силовые поля, в которых действуют консервативные силы (например, поле гравитационных или поле упругих сил), называются потенциальными.

Закон сохранения механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется (не изменяется со временем)

Ем= Т+ П=const. (2.3.15)

В консервативных системах происходят превращения кинетической энергии в потенциальную и наоборот, при этом полная механическая энергия остается постоянной.

В диссипативных системах механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы. Этот процесс называется диссипацией (или рассеянием) энергии. Так, если в механической системе есть сила трения, то механическая энергия частично превращается в тепловую.

Контрольные вопросы

1 Что такое симметрия? Приведите примеры операций симметрии.

2 Сформулируйте теорему Нетер. Какова связь между симметрией и законами сохранения?

3 Сформулируйте закон сохранения импульса. С каким свойством пространства связан этот закон?

4 Приведите примеры явлений, объясняющихся законом сохранения импульса.

5 Сформулируйте закон сохранения момента импульса. С каким свойством пространства связан этот закон?

6 Приведите примеры явлений, объясняющихся законом сохранения момента импульса.

7 Дайте определения энергии, мощности и работы. В чем заключается различие между понятиями энергии и работы?

8 Сформулируйте закон сохранения энергии. С каким свойством времени он связан?

9 В чем заключается закон сохранения механической энергии? В каких системах выполняется этот закон?

10 Какие силы называются консервативными? Диссипативными? Приведите примеры консервативных и диссипативных сил.



Источник: https://infopedia.su/5x6b19.html

Закон сохранения момента импульса

Закон сохранения момента импульса

Вращающееся вокруг своей оси тело при отсутствии тормозящих вращение сил так и будет продолжать вращаться.

Физики привычно объясняют этот феномен тем, что такое вращающееся тело обладает неким количеством движения, выражающимся в форме углового момента количества движения или, кратко, момента импульса или момента вращения.

Момент импульса вращающегося тела прямо пропорционален скорости вращения тела, его массе и линейной протяженности. Чем выше любая из этих величин, тем выше момент импульса.

Если теперь допустить, что тело вращается не вокруг собственного центра массы, а вокруг некоего центра вращения, удаленного от него, оно всё равно будет обладать вращательным моментом импульса.

В математическом представлении момент импульса L тела, вращающегося с угловой скоростью ω, равен L = Iω, где величина I, называемая моментом инерции, является аналогом инерционной массы в законе сохранения линейного импульса, и зависит она как от массы тела, так и от его конфигурации — то есть, от распределения массы внутри тела. В целом, чем дальше от оси вращения удалена основная масса тела, тем выше момент инерции.

Сохраняющейся или консервативной принято называть величину, которая не изменяется в результате рассматриваемого взаимодействия.

В рамках закона сохранения момента импульса консервативной величиной как раз и является угловой момент вращения массы — он не изменяется в отсутствие приложенного момента силы или крутящего момента — проекции вектора силы на плоскость вращения, перпендикулярно радиусу вращения, помноженной на рычаг (расстояние до оси вращения).

Самый расхожий пример закона сохранения момента импульса — фигуристка, выполняющая фигуру вращения с ускорением.

Спортсменка входит во вращение достаточно медленно, широко раскинув руки и ноги, а затем, по мере того, как она собирает массу своего тела всё ближе к оси вращения, прижимая конечности всё ближе к туловищу, скорость вращения многократно возрастает вследствие уменьшения момента инерции при сохранении момента вращения. Тут мы и убеждаемся наглядно, что чем меньше момент инерции I, тем выше угловая скорость ω и, как следствие, короче период вращения, обратно пропорциональный ей.

Следует отметить, однако, что не любая приложенная извне сила сказывается на моменте вращения. Предположим, вы поставили свой велосипед «на попа» (колесами вверх) и сильно раскрутили одно из его колес.

Понятно, что, приложив тормозящую силу трения к любой окружности колеса (нажав на ручной тормоз, приложив руку к резине или вращающимся спицам), вы, тем самым, снизите угловую скорость его вращения.

Однако, сколько бы вы ни старались, вы не остановите вращения колеса, пытаясь воздействовать на ось вращения.

Иными словами, для изменения момента вращения необходима не просто сила, а момент силы — то есть, сила, приложенная по направлению, отличному от направления оси вращения, и на некотором удалении от нее. Поэтому закон сохранения момента вращения можно сформулировать и несколько иначе: момент вращения тела изменяется только в присутствии момента силы, направленной на его изменение.

И тут возникает важное дополнительное замечание. До сих пор мы говорили об изменении момента вращения в плане ускорения или замедления вращения, как такового, но при этом тело продолжало вращаться всё в той же плоскости, и ось вращения не изменяла своей ориентации в пространстве.

Теперь предположим, что момент силы приложен в плоскости, которая отличается от плоскости, в которой вращается тело. Такое воздействие неизбежно приведет к изменению направления оси вращения. В отсутствие же внешних воздействий закон сохранения момента импульса подразумевает, что направление оси вращения остается неизменным.

Этот принцип широко используется в так называемых гироскопических навигационных приборах.

В их основе лежит массивное, быстро вращающееся колесо — гироскоп, — которое не изменяет своей ориентации в пространстве, благодаря чему прибор стабильно указывает заданное направление, вне зависимости от угла поворота субмарины, самолета или спутника, на котором он установлен.

С технической точки зрения гироскоп представляет собой массивный диск на осевых подшипниках низкого трения, раскрученный с очень большой скоростью. Идеальный гироскоп — это диск бесконечной массы, вращающийся с бесконечной скоростью в идеальном вакууме.

В таком случае закон сохранения момента импульса подскажет нам, что направление оси такого идеального гироскопа не отклонится от исходной ни на одну угловую секунду, и он вечно будет указывать нам на изначально заданную точку. Искусственные спутники Земли, как правило, оснащаются несколькими независимыми гироскопами, вращающимися в разных плоскостях, и бортовая электроника, сопоставляя данные нескольких гироскопических компасов и усредняя поправки на возможные отклонения их показаний, безошибочно определяет координаты и ориентацию спутника в околоземном пространстве.

См. также:

Источник: https://elementy.ru/trefil/21065/Zakon_sokhraneniya_momenta_impulsa

Booksm
Добавить комментарий