Закон сохранения механической энергии с формулами

Закон сохранения механической энергии с формулами

Закон сохранения механической энергии с формулами

Законы сохранения имеют чрезвычайно большое значение для понимания хода процессов в физике. Даже, если неизвестен закон, по которому действуют силы, на основании законов сохранения можно сделать множество важных выводов о движении тела.

Законы сохранения и свойства пространства и времени

Существование законов сохранения энергии, импульса и момента импульса вызвано не свойствами конкретных сил и уравнений движения, а основными свойствами пространства и времени, так:

  1. Однородность пространства является основой законов сохранения импульса.
  2. Изотропность пространства – база закона сохранения момента импульса.
  3. Следствием однородности времени является закон сохранения энергии.

Закон сохранения энергии должен всегда выполняться, несоблюдение закона связано с конкретными изменениями свойств времени и пространства.

Симметрия пространства и времени — основа однородности пространства и времени и изотропности пространства. Следовательно, законы сохранения вызваны симметрией пространства и времени.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Механическая энергия и ее сохранение

Допустим, что в некоторой системе имеются только консервативные силы.

Определение 1

Физическую величину, равную сумме потенциальной ($E_p$) и кинетической энергии ($E_k$) называют механической энергией:$E=E_k+E_p (1).$

Рассматриваемую консервативную систему будем считать замкнутой.

Замечание 1

В замкнутой системе действуют исключительно внутренние силы.

Изменение кинетической энергии равно работе внутренних сил ($A$):

$A=E_{k2}- E_{k1}(2).$

Эта же работа равна изменению потенциальной энергии, взятой с обратным знаком:

$A=U_1-U_2 (3).$

Сравнивая выражения (2) и (3) сделаем вывод:

$ E_{k2}- E_{k1}= U_1-U_2 (4)$ или $ E_{k2}+ U_2 = U_1+ E_{k1} (4)$.

Формула (4) показывает, что механическая энергия системы не изменяется:

$E=\frac {m_0v2}{2}+E_p=const (5),$

где $E_k=\frac {m_0v2}{2}$ — кинетическая энергия.

Выражение (5) – это закон сохранения энергии в классической механике.

Закон сохранения энергии можно формулировать следующим образом:

В замкнутой консервативной системе механическая энергия не изменяется.

Выражение (5) отражает закон сохранения и превращения энергии, так как отражает взаимные переходы кинетической и потенциальной энергий.

Использование закона сохранения энергии

Закон сохранения энергии дает возможность проведения достаточно простого анализа общих закономерностей движения без досконального исследования уравнений, описывающих движение, при известной функции потенциальной энергии.

Изучим данный метод в случае одномерного перемещения тела. Учтем, что сила, которая зависит только от координат, по определению, это потенциальная сила. Поиск потенциальной энергии заключается в интегрировании известной силы. Следовательно, будем считать, что закон изменения потенциальной энергии нам известен и задан функцией на рис.1.

Рисунок 1. Функция. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Полная энергия материальной точки равна $E$. Наша точка может находиться между точками с координатами $x_1$ и $x_2$ или правее координаты $x_3$ (рис.1).

Из закона сохранения энергии следует, что кинетическая энергия равна:

$E_k=E-E_p (6),$

где $E_k>0.$

Из этого сделаем вывод о том, что области движения могут быть только те, в которых механическая энергия больше потенциальной. Так, перемещение в области между точками $x_2$ и $x_3$ не реализуемо, так как здесь кинетическая энергия точки была бы отрицательной.

Проведем анализ движения точки на участке между координатами $x_1$ и $x_2$. Допустим, что частица имеется в точке $x$. Кинетическая энергия равна $E-E_p$, перемещаться материальная точка могла бы и вправо, и влево.

При движении влево потенциальная энергия частицы увеличивается, значит, кинетическая энергия уменьшается (мы помним, что механическая энергия не изменяется). Из сказанного сделаем вывод о том, что скорость будет уменьшаться.

Значит, на материальную точку в $x$ оказывает воздействие сила, которая направлена направо. Это следует из выражения:

$F_x=-\frac{\partial E_p}{\partial x}(7).$

В точке $x$ потенциальная энергия уменьшается при увеличении $x$, значит $\frac{\partial E_p}{\partial x}

Материальная точка станет перемещаться до тех пор, пока ее скорость не станет равна нулю, при этом ее механическая энергия перейдет в потенциальную. На рис.1 это точка $x_1$.

При попадании в точку $x_1$ частица не попадет в состояние покоя, так как она испытает воздействие силы, направленной вправо. Данная сила заставит перемещаться вправо с увеличивающейся скоростью. Скорость станет максимальной по величине в точке $x’$, при наименьшей потенциальной энергии.

На отрезке от $x’$ до $x_2$ на частицу будет оказывать действие сила, которая направлена влево. Эта сила уменьшает скорость нашей точки до нуля в точке $x_2$.

После этого частица начинает перемещаться влево и так далее. На отрезке от $x_1$ до $x_2$ имеется одна точка в которой частица может находиться в состоянии покоя, это точка $x’$.

В ней потенциальная энергия наименьшая, то есть выполняется условие устойчивого равновесия.

Материальная точка, находясь левее $x_3$ способна перемещаться от $x_3$ и до бесконечности, если энергия потенциальная энергия не увеличивается больше, чем $E$.

Между точками $x_1$ и $x_2$ частица оказывается запертой (эта область потенциальной ямы). Область, которую материальная точка не может преодолеть (от $x_2$ до $x_3$) – потенциальный барьер.

Замечание 2

В механике Ньютона потенциальный барьер – это непреодолимое препятствие для движения частицы. В квантовой механике возможен туннельный эффект при котором частица может пройти сквозь потенциальный барьер.

Закон сохранения энергии в релятивистском случае

Считаем, что частица перемещается в поле потенциальной силы и принимая во внимание релятивистское уравнение движения:

$\frac {d}{dt}(\frac {m_0 \vec v}{\sqrt {1-\frac {v2}{c2}}})=\vec F (8),$

имеем закон сохранения в виде:

$\frac {m_0c2}{\sqrt {1-\frac {v2}{c2}}}+E_p=const (9).$

Выражение (9) отображает закон сохранения при движении частицы со скоростью близкой к скорости света. Потенциальная энергия обладает тем же смыслом, что и в классической теории, а величина, равная:

$E=\frac {m_0c2}{\sqrt {1-\frac {v2}{c2}}}(10)$-

это полная энергия тела.

Если тело находится в покое, то его энергия равна:

$E_0= m_0c2$

и называется энергией покоя.

Слова «полная энергия тела» в классической механике означают сумму кинетической и потенциальной энергий. В теории относительности полная энергия – это не только величина, указанная в формуле (10), но и ее сумма с потенциальной энергией.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/mehanicheskaya_energiya_polnaya_mehanicheskaya_energiya/zakon_sohraneniya_mehanicheskoy_energii_s_formulami/

Закон сохранения энергии

Закон сохранения механической энергии с формулами
Подробности Категория: Механика 20.08.2014 21:02 45737

Закон сохранения энергии утверждает, что энергия тела никогда не исчезает и не появляется вновь, она может лишь превращаться из одного вида в другой. Этот закон универсален. В различных разделах физики он имеет свою формулировку. Классическая механика рассматривает закон сохранения механической энергии.

Полная механическая энергия замкнутой системы физических тел, между которыми действуют консервативные силы, является величиной постоянной. Так формулируется закон сохранения энергии в механике Ньютона.

Замкнутой, или изолированной, принято считать физическую систему, на которую не действуют внешние силы.

В ней не происходит обмена энергией с окружающим пространством, и собственная энергия, которой она обладает, остаётся неизменной, то есть сохраняется.

В такой системе действуют только внутренние силы, и тела взаимодействуют друг с другом. В ней могут происходить лишь превращения потенциальной энергии в кинетическую и наоборот.

Простейший пример замкнутой системы – снайперская винтовка и пуля.

Виды механических сил

 

Силы, которые действуют внутри механической системы, принято разделять на консервативные и неконсервативные.

Консервативными считаются силы, работа которых не зависит от траектории движения тела, к которому они приложены, а определяется только начальным и конечным положением этого тела. Консервативные силы называют также потенциальными. Работа таких сил по замкнутому контуру равна нулю. Примеры консервативных сил – сила тяжести, сила упругости.

Все остальные силы называются неконсервативными. К ним относятся сила трения и сила сопротивления. Их называют также диссипативными силами.

Эти силы при любых движениях в замкнутой механической системе совершают отрицательную работу, и при их действии полная механическая энергия системы убывает (диссипирует). Она переходит в другие, не механические виды энергии, например, в теплоту.

Поэтому закон сохранения энергии в замкнутой механической системе может выполняться, только если неконсервативные силы в ней отсутствуют.

Полная энергия механической системы состоит из кинетической и потенциальной энергии и является их суммой. Эти виды энергий могут превращаться друг в друга.

Потенциальная энергия

Потенциальную энергию называют энергией взаимодействия физических тел или их частей между собой. Она определяется их взаимным расположением, то есть, расстоянием между ними, и равна работе, которую нужно совершить, чтобы переместить тело из точки отсчёта в другую точку в поле действия консервативных сил.

Потенциальную энергию имеет любое неподвижное физическое тело, поднятое на какую-то высоту, так как на него действует сила тяжести, являющаяся консервативной силой. Такой энергией обладает вода на краю водопада, санки на вершине горы.

Откуда же эта энергия появилась? Пока физическое тело поднимали на высоту, совершили работу и затратили энергию. Вот эта энергия и запаслась в поднятом теле. И теперь эта энергия готова для совершения работы.

Величина потенциальной энергии тела определяется высотой, на которой находится тело относительно какого-то начального уровня. За точку отсчёту мы можем принять любую выбранную нами точку.

Если рассматривать положение тела относительно Земли, то потенциальная энергия тела на поверхности Земли равна нулю. А на высоте h она вычисляется по формуле:

Еп = h,

где m – масса тела

ɡ — ускорение свободного падения

h – высота центра масс тела относительно Земли

ɡ = 9,8 м/с2

При падении тела c высоты h1 до высоты h2 сила тяжести совершает работу. Эта работа равна изменению потенциальной энергии и имеет отрицательное значение, так как величина потенциальной энергии при падении тела уменьшается.

A = — (Eп2 – Eп1) = — ∆ Eп ,

где Eп1 – потенциальная энергия тела на высоте h1 ,

Eп2 — потенциальная энергия тела на высоте h2.

Если же тело поднимают на какую-то высоту, то совершают работу против сил тяжести. В этом случае она имеет положительное значение. А величина потенциальной энергии тела увеличивается.

Потенциальной энергией обладает и упруго деформированное тело (сжатая или растянутая пружина). Её величина зависит от жёсткости пружины и от того, на какую длину её сжали или растянули, и определяется по формуле:

Еп = k·(∆x)2/2,

где k – коэффициент жёсткости,

∆x – удлинение или сжатие тела.

Потенциальная энергии пружины может совершать работу.

Кинетическая энергия

В переводе с греческого «кинема» означает «движение». Энергия, которой физическое тело получает вследствие своего движения, называется кинетической. Её величина зависит от скорости движения.

Катящийся по полю футбольный мяч, скатившиеся с горы и продолжающие двигаться санки, выпущенная из лука стрела – все они обладают кинетической энергией.

Если тело находится в состоянии покоя, его кинетическая энергия равна нулю. Как только на тело подействует сила или несколько сил, оно начнёт двигаться.

А раз тело движется, то действующая на него сила совершает работу.

Работа силы, под воздействием которой тело из состояния покоя перейдёт в движение и изменит свою скорость от нуля до ν, называется кинетической энергией тела массой m.

Если же в начальный момент времени тело уже находилось в движении, и его скорость имела значение ν1, а в конечный момент она равнялась ν2, то работа, совершённая силой или силами, действующими на тело, будет равна приращению кинетической энергии тела.

Ek = Ek2 — Ek1

Если направление силы совпадает с направлением движения, то совершается положительная работа, и кинетическая энергия тела возрастает. А если сила направлена в сторону, противоположную направлению движения, то совершается отрицательная работа, и тело отдаёт кинетическую энергию.

Закон сохранения механической энергии

Еk1+ Еп1 = Еk2+ Еп2

Любое физическое тело, находящееся на какой-то высоте, имеет потенциальную энергию. Но при падении оно эту энергию начинает терять. Куда же она девается? Оказывается, она никуда не исчезает, а превращается в кинетическую энергию этого же тела.

Предположим, на какой-то высоте неподвижно закреплён груз. Его потенциальная энергия в этой точке равна максимальному значению. Если мы отпустим его, он начнёт падать с определённой скоростью.

Следовательно, начнёт приобретать кинетическую энергию. Но одновременно начнёт уменьшаться его потенциальная энергия.

В точке падения кинетическая энергия тела достигнет максимума, а потенциальная уменьшится до нуля.

Потенциальная энергия мяча, брошенного с высоты, уменьшается, а кинетическая энергия возрастает. Санки, находящиеся в состоянии покоя на вершине горы, обладают потенциальной энергией. Их кинетическая энергия в этот момент равна нулю.

Но когда они начнут катиться вниз, кинетическая энергия будет увеличиваться, а потенциальная уменьшаться на такую же величину. А сумма их значений останется неизменной.

Потенциальная энергия яблока, висящего на дереве, при падении превращается в его кинетическую энергию.

Эти примеры наглядно подтверждают закон сохранения энергии, который говорит о том, что полная энергия механической системы является величиной постоянной. Величина полной энергии системы не меняется, а потенциальная энергия переходит в кинетическую и наоборот.

На какую величину уменьшится потенциальная энергия, на такую же увеличится кинетическая. Их сумма не изменится.

Для замкнутой системы физических тел справедливо равенство
Ek1 + Eп1 = Ek2 + Eп2,
где Ek1, Eп1 — кинетическая и потенциальная энергии системы до какого-либо взаимодействия, Ek2 , Eп2 — соответствующие энергии после него.

Процесс преобразования кинетической энергии в потенциальную и наоборот можно увидеть, наблюдая за раскачивающимся маятником.

Нажать на картинку

Находясь в крайне правом положении, маятник словно замирает. В этот момент его высота над точкой отсчёта максимальна. Следовательно, максимальна и потенциальная энергия. А кинетическая равна нулю, так как он не движется. Но в следующее мгновение маятник начинает движение вниз.

Возрастает его скорость, а, значит, увеличивается кинетическая энергия. Но уменьшается высота, уменьшается и потенциальная энергия. В нижней точке она станет равной нулю, а кинетическая энергия достигнет максимального значения. Маятник пролетит эту точку и начнёт подниматься вверх налево.

Начнёт увеличиваться его потенциальная энергия, а кинетическая будет уменьшаться. И т.д.

Для демонстрации превращений энергии Исаак Ньютон придумал механическую систему, которую называют колыбелью Ньютона или шарами Ньютона.

Нажать на картинку

Если отклонить в сторону, а затем отпустить первый шар, то его энергия и импульс передадутся последнему через три промежуточных шара, которые останутся неподвижными. А последний шар отклонится с такой же скоростью и поднимется на такую же высоту, что и первый. Затем последний шар передаст свою энергию и импульс через промежуточные шары первому и т. д.

Шар, отведенный в сторону, обладает максимальной потенциальной энергией. Его кинетическая энергия в этот момент нулевая. Начав движение, он теряет потенциальную энергию и приобретает кинетическую, которая в момент столкновения со вторым шаром достигает максимума, а потенциальная становится равной нулю.

Далее кинетическая энергия передаётся второму, затем третьему, четвёртому и пятому шарам. Последний, получив кинетическую энергию, начинает двигаться и поднимается на такую же высоту, на которой находился первый шар в начале движения. Его кинетическая энергия в этот момент равна нулю, а потенциальная равна максимальному значению.

Далее он начинает падать и точно так же передаёт энергию шарам в обратной последовательности.

Так продолжается довольно долго и могло бы продолжаться до бесконечности, если бы не существовало неконсервативных сил.

Но в реальности в системе действуют диссипативные силы, под действием которых шары теряют свою энергию. Постепенно уменьшается их скорость и амплитуда. И, в конце концов, они останавливаются.

Это подтверждает, что закон сохранения энергии выполняется только в отсутствии неконсервативных сил.

Источник: http://ency.info/materiya-i-dvigenie/mekhanika/329-zakon-sokhraneniya-energ

Закон сохранения механической энергии. урок. Физика 9 Класс

Закон сохранения механической энергии с формулами

Темой урока является один из фундаментальных законов природы – закон сохранения механической энергии.

Мы ранее говорили о потенциальной и кинетической энергии, а также о том, что тело может обладать вместе и потенциальной, и кинетической энергией. Прежде чем говорить о законе сохранения механической энергии вспомним, что такое полная энергия. Полной механической энергией называют сумму потенциальной и кинетической энергий тела.

Также вспомним, что называют замкнутой системой. Замкнутая система – это такая система, в которой находится строго определенное количество взаимодействующих между собой тел и никакие другие тела извне на эту систему не действуют.

Когда мы определились с понятием полной энергии и замкнутой системы, можно говорить о законе сохранения механической энергии. Итак, полная механическая энергия в замкнутой системе тел, взаимодействующих друг с другом посредством сил тяготения или сил упругости (консервативных сил), остается неизменной при любом движении этих тел.

Мы уже изучали закон сохранения импульса (ЗСИ):

Очень часто случается так, что поставленные задачи можно решить только с помощью законов сохранения энергии и импульса.

Рассмотреть сохранение энергии удобно на примере свободного падения тела с некоторой высоты. Если некоторое тело находится в состоянии покоя на некоторой высоте относительно земли, то это тело обладает потенциальной энергией. Как только тело начинает свое движение, высота тела уменьшается, уменьшается и потенциальная энергия.

При этом начинает нарастать скорость, появляется энергия кинетическая. Когда тело приблизилось к земле, то высота тела равна 0, потенциальная энергия тоже равна 0, а максимальной будет являться кинетическая энергия тела. Вот здесь и просматривается превращение потенциальной энергии в кинетическую (рис. 1).

То же самое можно сказать о движении тела наоборот, снизу вверх, когда тело бросают вертикально вверх.

Рис. 1. Свободное падение тела с некоторой высоты

Дополнительная задача 1. «О падении тела с некоторой высоты»

Задача 1

Условие

Тело находится на высоте  от поверхности Земли и начинает свободно падать. Определите скорость тела в момент соприкосновения с землей.

Решение 1:

Начальная скорость тела . Нужно найти .

Рассмотрим закон сохранения энергии.

Рис. 2. Движение тела (задача 1)

В верхней точке тело обладает только потенциальной энергией: . Когда тело приблизится к земле, то высота тела над землей будет равна 0, а это означает, что потенциальная энергия у тела исчезла, она превратилась в кинетическую:

Согласно закону сохранения энергии можем записать:

Масса тела сокращается. Преобразуя указанное уравнение, получаем: .

Окончательный ответ будет: . Если подставить все значение, то получим:.

Ответ:.

Пример оформления решения задачи:

Рис. 3. Пример оформления решения задачи № 1

Данную задачу можно решить еще одним способом, как движение по вертикали с ускорением свободного падения.

Решение 2:

Запишем уравнение движения тела в проекции на ось :

Когда тело приблизится к поверхности Земли, его координата будет равна 0:

Перед ускорением свободного падения стоит знак «-», поскольку оно направлено против выбранной оси .

Подставив известные величины, получаем, что тело падало на протяжении времени . Теперь запишем уравнение для скорости:

Полагая ускорение свободного падения равным  получаем:

Знак минус означает, что тело движется против направления выбранной оси.

Ответ:.

Пример оформления решения задачи № 1 вторым способом.

Рис. 4. Пример оформления решения задачи № 1 (способ 2)

Также для решения данной задачи можно было воспользоваться формулой, которая не зависит от времени:

Конечно, нужно отметить, что данный пример мы рассмотрели с учетом отсутствия сил трения, которые в реальности действуют в любой системе. Обратимся к формулам и посмотрим, как записывается закон сохранения механической энергии:

Дополнительная задача 2

Тело свободно падает с высоты . Определите, на какой высоте  кинетическая энергия равна трети потенциальной ().

Рис. 5. Иллюстрация к задаче № 2

Решение:

Когда тело находится на высоте , оно обладает потенциальной энергией, и только потенциальной. Эта энергия определяется формулой: . Это и будет полная энергия тела.

Когда тело начинает двигаться вниз, уменьшается потенциальная энергия, но вместе с тем нарастает кинетическая. На высоте, которую нужно определить, у тела уже будет некоторая скорость V. Для точки, соответствующей высоте h, кинетическая энергия имеет вид: 

Потенциальная энергия на этой высоте будет обозначена следующим образом: .

По закону сохранения энергии, у нас полная энергия сохраняется. Эта энергия  остается величиной постоянной. Для точки  мы можем записать следующее соотношение:  (по З.С.Э.).

Вспоминая, что кинетическая энергия по условию задачи составляет , можем записать следующее: .

Обратите внимание: масса и ускорение свободного падения сокращается, после несложных преобразований мы получаем, что высота, на которой такое соотношение выполняется, составляет .

Ответ:

Пример оформления задачи 2.

Рис. 6. Оформление решения задачи № 2

Представьте себе, что тело в некоторой системе отсчета обладает кинетической и потенциальной энергией. Если система замкнутая, то при каком-либо изменении произошло перераспределение, превращение одного вида энергии в другой, но полная энергия остается по своему значению той же самой (рис. 7).

Рис. 7. Закон сохранения энергии

Представьте себе ситуацию, когда по горизонтальной дороге движется автомобиль. Водитель выключает мотор и продолжает движение уже с выключенным мотором. Что в этом случае происходит (рис. 8)?

Рис. 8. Движение автомобиля

В данном случае автомобиль обладает кинетической энергией. Но вы прекрасно знаете, что с течением времени автомобиль остановится.

Куда девалась в этом случае энергия? Ведь потенциальная энергия тела в данном случае тоже не изменилась, она была какой-то постоянной величиной относительно Земли. Как произошло изменение энергии? В данном случае энергия пошла на преодоление сил трения.

Если в системе встречается трение, то оно также влияет на энергию этой системы. Посмотрим, как записывается в данном случае изменение энергии.

Изменяется энергия, и это изменение энергии определяется работой против силы трения. Определить работу силы трения мы можем с помощью формулы, которая известна из 7 класса (сила и перемещение направлены противоположно): 

Итак, когда мы говорим об энергии и работе, то должны понимать, что каждый раз мы должны учитывать и то, что часть энергии расходуется на преодоление сил трения. Совершается работа по преодолению сил трения. Работа является величиной, которая характеризует изменение энергии тела.

В заключение урока хотелось бы сказать, что работа и энергия по сути своей связанные величины через действующие силы.

Дополнительная задача 3

Два тела – брусок массой  и пластилиновый шарик массой  – движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями (). После столкновения пластилиновый шарик прилип к бруску, два тела продолжают движение вместе. Определить, какая часть механической энергии  превратилась во внутреннюю энергию этих тел, с учетом того что масса бруска в 3 раза больше массы пластилинового шарика (). 

Решение:

Изменение внутренней энергии можно обозначить . Как вы знаете, существует несколько видов энергии. Кроме механической, существует еще и тепловая, внутренняя энергия.

Рис. 9. Иллюстрация к задаче № 3

Запишем в выбранной системе отсчета закон сохранения импульса (с учетом направления скоростей и оси ): 

Вместо  мы подставим : 

Массы сокращаются. Преобразуя это выражение, получаем, что конечная скорость этих тел будет определяться следующим образом: 

Это означает, что скорость бруска и пластилинового шарика вместе будет в 2 раза меньше, чем скорость до соударения.

Следующий шаг – это закон сохранения энергии.

В данном случае полная энергия – это сумма кинетических энергий двух тел. Тел, которые еще не соприкоснулись, не ударились. Что произошло после соударения? Посмотрите на следующую запись:

В левой части мы оставляем полную энергию, а в правой части мы должны записать кинетическую энергию тел после взаимодействия  и учесть, что часть механической энергии превратилась в тепло .

Таким образом, имеем:

Определим отношение :

В итоге получаем ответ.

Обратите внимание: в результате такого взаимодействия большая часть энергии превращается в тепло, т. е. переходит во внутреннюю энергию.

Ответ: 

Список литературы

  1. А так ли хорошо знакомы вам законы сохранения? // Квант. – 1987. – № 5. – с. 32–33.
  2. Городецкий Е.Е. Закон сохранения энергии // Квант. – 1988. – № 5. – с. 45–47.
  3. Соловейчик И.А. Физика. Механика. Пособие для абитуриентов и старшеклассников. – СПб.: Агенство ИГРЕК, 1995. – с. 119–145.
  4. Соколович Ю.А., Богданова Г.С. Физика: справочник с примерами решения задач. – 2-е издание, передел. – X.: Веста: издательство «Ранок», 2005. – 464 с.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал «fizikaklass.ru» (Источник)
  2. Интернет-портал «eduspb.com» (Источник)
  3. Интернет-портал «msk.edu.ua» (Источник)

Домашнее задание

  1. Тело массой 10 г колеблется по закону . Найдите полную энергию колеблющегося тела.
  2. Какие превращения энергии происходят при колебаниях? Что такое полная механическая энергия?
  3. Тело с некоторой высоты начало свободно падать, и в момент удара о землю его скорость была равна 20 м/с. С какой высоты упало тело?

Источник: https://interneturok.ru/lesson/physics/9-klass/mehanicheskie-kolebaniya-i-volny/zakon-sohraneniya-mehanicheskoy-energii

Закон сохранения механической энергии

Закон сохранения механической энергии с формулами
Для всех известных на сегодня видов энергии (механическая, внутренняя, электромагнитная, ядерная и др.) выполняется фундаментальный закон сохранения и превращения энергии.

Рассмотрим действие этого закона на примере механической энергии, в состав которой входят потенциальная и кинетическая энергии. Выясним, с помощью каких формул вычисляются разные виды механической энергии.

Понятие энергии тесно связано с понятием работы.

Механическая работа А — это физическая величина, равная произведению силы F, действующей на тело, на путь s, пройденный телом в направлении силы.

$ А = F * s $ (1)

Для совершения работы требуется нечто общее для всех случаев, что позволит оказать силовое воздействие на тело. Так было сформулировано понятие (определение) энергии: если тело или система тел, взаимодействующих между собой, способны совершить работу, то говорят, что они обладают энергией. Из этого определения также следует, что единица измерения энергии такая же, как у работы — джоуль.

Чем большей энергией обладает тело, тем большую работу оно способно совершить. То есть энергия это не что иное, как запас работы, которую может совершить тело, изменяя свое состояние.

Физическая величина, равная половине произведения массы тела m на квадрат его скорости v2, называется кинетической энергией тела Ek:

$ E_k = {m*v2\over 2} $ (2).

Тогда для работы A получим следующую формулу:

$ A = E_{k1} — E_{k0} $ (3),

где:

Eк0 — начальная кинетическая энергия тела;

Eк1 — конечная кинетическая энергия после действия силы, изменившей скорость тела.

Из формулы (3) следует, что работа силы, приложенной к телу, равна изменению кинетической энергии тела. Таким образом, любое движущееся тело обладает кинетической энергией.

Рис. 1. Примеры кинетической энергии

Потенциальная энергия — это энергия, которая зависит от взаимного расположения взаимодействующих тел (или частей одного тела).

Одиночное тело, не взаимодействующее с другими телами, не может обладать потенциальной энергией.

В состав механической энергии включают два вида потенциальной энергии: энергию тела, на которое воздействует сила земного притяжения и энергию упруго деформированного тела.

По аналогии с кинетической энергией определим работу A, совершенную силой тяжести FТ по перемещению тела массой m с высоты h2 от поверхности Земли до высоты h1. При этом, если h2 > h1, то значит, тело переместилось сверху вниз. Считаем силу тяжести постоянной, независящей от высоты и равной m*g, где g = 9,8 м/с2 — ускорение свободного падения. Тогда, воспользовавшись формулой (1), получим:

$ A = m*g*(h_2 — h_1) $ (4)

Таким образом, работа силы тяжести по перемещению тела с высоты h2 на высоту h1 равна изменению величины m*g*h, которая называется потенциальной энергией тела Ep:

$ E_p = { m*g*h }$ (5).

Величина работы есть не что иное, как изменение потенциальной энергии тела, которую называют гравитационной, так как он обусловлена силой притяжения к Земле (от латинского gravitas — притяжение):

$ A = E_{p2} — E_{p1} $ (6).

где:

Ep1 — потенциальная энергия тела на высоте h1;

Ep2 — потенциальная энергия тела на высоте h2.

Рис. 2. Потенциальная энергия тела в поле силы тяжести.

В отличие от кинетической энергии, которая может быть только положительной, потенциальная энергия тела может быть как положительной, так и отрицательной. Тело массой m, находящееся на глубине h от поверхности земли, обладает отрицательной потенциальной энергией. :

$ E_p = − { m*g*h }$

Примером этого вида потенциальной энергии может служить пружина, которая после деформации (сжатии или растяжения) приведет в движение прицепленный к ней груз, то есть совершит работу. Пользуясь формулой (1) и законом Гука для силы упругости, можно получить выражение для потенциальной энергии упруго деформированной пружины:

$ Ep = {k*x2\over 2} $ (7),

где: x — величина деформации (сжатие или удлинение пружины), k — коэффициент жесткости пружины.

Полная механическая энергия тела EM равна сумме потенциальной и кинетической энергий:

$ {E_м = E_p + Е_k} $ (8).

К середине XIX века физики разных стран на основании многочисленных исследований физических и химических процессов сформулировали закон сохранения и превращения энергии. В общем виде закон звучит так:

При любых физических взаимодействиях энергия не возникает и не исчезает, а только превращается из одной формы в другую.

Действие этого закона для механической энергии рассмотрим на классическом примере подброшенного вертикально вверх металлического шарика. При подъеме шарика его скорость убывает, так как на него действует сила земного тяготения. Согласно формулы (2) убывает и кинетическая энергия Ек. В то же время, с ростом высоты h растет потенциальная энергия Ep (см. формулу (5)).

Воспользовавшись формулами (2), (4) и (5) можно получить, что в любой точке уменьшение величины Ек равно увеличению величины Ep. В момент прекращения движение вверх (в верхней точке подъема), вся кинетическая энергия полностью перейдет в потенциальную.

При движении (падении) тела вниз происходит обратный процесс: потенциальная энергия тела Ep превращается в кинетическую Ек.

Приведенный пример иллюстрирует выполнение закона сохранения и превращения механической энергии, так как при подъеме уменьшение кинетической энергии полностью компенсируется ростом потенциальной (при падении — наоборот). Если потенциальная энергия у поверхности земли равна нулю, (т.к. h=0). то на любой высоте будет выполняться равенство:

$ {E_м = E_p + Е_k = {m*v_02\over 2}} $ (9),

где: v0 — начальная скорость шарика.

Рис. 3. Сохранение механической энергии подброшенного шарика.

Для случая механической энергии закон сохранения можно сформулировать так: если между телами системы действуют исключительно силы упругости и силы тяготения, то сумма потенциальной и кинетической энергий остается постоянной, то есть механическая энергия сохраняется.

Если между телами кроме сил тяготения и упругости действуют силы трения, то механическая энергия не сохраняется. Часть механической энергии будет превращаться во внутреннею энергию тел, то есть перейдет в тепло. Общий закон сохранения энергии, конечно, остается в силе. Происходит только перераспределение части механической энергии в тепловую (внутреннею).

Итак, при изучении данной темы мы узнали что механическая энергия тела состоит из кинетической и потенциальной энергий. Энергия — это запас работы, которую может совершить тело, изменяя свое состояние.

Закон сохранения энергии в механике утверждает, что энергия не возникает и не исчезает, а только превращается из одной формы (потенциальной энергии) в другую — кинетическую.

Механическая энергия сохраняется в случае отсутствия силы трения.

Средняя оценка: 4.2. Всего получено оценок: 161.

Источник: https://obrazovaka.ru/fizika/zakon-sohraneniya-mehanicheskoy-energii-formula.html

Закон сохранения полной механической энергии

Закон сохранения механической энергии с формулами

Эта тема неразрывно связана с предыдущей темой «Кинетическая и потенциальная энергия». Фактически она является логическим и необходимым продолжением предыдущей темы.

Наверное, вы помните (а если не помните, то посмотрите тему «Кинетическая и потенциальная энергия»), что работа равнодействующей силы (то есть силы, являющейся векторной суммой всех сил, приложенных к телу) равна изменению (разности) кинетических энергий:

A=mV222−mV122=Ek2−Ek1A=\frac{mV_22}{2}-\frac{mV_12}{2}=E_{k2}-E_{k1}A=2mV22​​−2mV12​​=Ek2​−Ek1​.

Если в системе действуют только потенциальные силы, то та же работа может быть расписана по другой формуле, которую мы тоже получили в предыдущей теме: работа потенциальной силы равна «минус» изменению потенциальной энергии (пусть это будет потенциальная энергия силы тяжести):

Amg=−(mgh2−mgh1)=mgh1−mgh2A_{mg}=-(mgh_2-mgh_1)=mgh_1-mgh_2Amg​=−(mgh2​−mgh1​)=mgh1​−mgh2​.

Но работа совершается одна и та же. Значит, работы можно приравнять:

A=AmgA=A_{mg}A=Amg​,

mV222−mV122=mgh1−mgh2\frac{mV_22}{2}-\frac{mV_12}{2}=mgh_1-mgh_22mV22​​−2mV12​​=mgh1​−mgh2​.

Перенесем все слагаемые, у которых есть индекс 1, вправо, а все слагаемые с индексом 2 — влево:

mV222+mgh2=mV122+mgh1\frac{mV_22}{2}+mgh_2=\frac{mV_12}{2}+mgh_12mV22​​+mgh2​=2mV12​​+mgh1​.

И что мы видим? А мы видим то, что сумма кинетической и потенциальной энергии в первом состоянии равна сумме кинетической и потенциальной энергии во втором состоянии.

Сумма потенциальной и кинетической энергии носит особое название — название полной механической энергии.

Eполн.мех.=mV22+mghE_{полн.мех.}=\frac{mV2}{2}+mghEполн.мех.​=2mV2​+mgh.

Как правильно понять равенство

mV222+mgh2=mV122+mgh1\frac{mV_22}{2}+mgh_2=\frac{mV_12}{2}+mgh_12mV22​​+mgh2​=2mV12​​+mgh1​?

А понять можно следующим образом.

Если тело переместилось из состояния 1 в состояние 2 и на тело действовали только потенциальные силы, а другие типы сил либо не действовали, либо их работы были равны нулю, то оказывается, что суммирование потенциальной и кинетической энергии в первом состоянии даст такой же результат, что и суммирование потенциальной и кинетической энергии во втором состоянии.

Например, пусть тело (неважно каким способом) переместилось из точки 1, которая находится на высоте h1h_1h1​ и в которой тело имело скорость V1V_1V1​, в точку 2, которая находится на высоте h2h_2h2​ и в которой тело будет иметь скорость V2V_2V2​:

Тогда будет справедливо равенство:

mV222+mgh2=mV122+mgh1\frac{mV_22}{2}+mgh_2=\frac{mV_12}{2}+mgh_12mV22​​+mgh2​=2mV12​​+mgh1​.

Это равенство называется законом сохранения полной механической энергии. Следует сказать, что в качестве потенциальной энергии может быть не только потенциальная энергия силы тяжести, но и потенциальная энергия растянутой/сжатой пружины или же сумма потенциальной энергии поля тяготения Земли и энергии деформированной пружины.

На приведенном выше рисунке видно, что высота H2>h2h_1>h_2h1​>h2​. Что это означает? Это значит, что потенциальная энергия уменьшилась.

Такое развитие событий понятно для нас из нашего жизненного опыта.

Если поднять мячик над Землей (то есть сообщить ему потенциальную энергию), а после — отпустить его, то в верхней точке потенциальная энергия максимальна, а начальная скорость шарика и, следовательно, кинетическая энергия равны нулю.

По мере падения шарика высота уменьшается, а скорость его возрастает — при этом потенциальная энергия переходит в кинетическую. В самом низу (непосредственно перед ударом о землю) потенциальная энергия будет отсутствовать — она полностью перейдет в кинетическую энергию — в энергию движения.

Или же другой пример: заряженный детский пружинный пистолет с шариком внутри него.

Сжатая пружина обладает потенциальной энергией. Если пружина распрямится, то шарик приобретет скорость — потенциальная энергия полностью перейдет в кинетическую энергию.

После таких примеров становится понятным слово «потенциальный», «потенциальная». В обыденной жизни мы часто говорим, что, например, «потенциально этот человек мог бы быть лидером, мог бы сделать что-то» и т.д.

То есть «потенциальная» энергия — это энергия возможности. Возможности перейти во что-то другое. Возможности совершить работу и перейти в кинетическую энергию, например.

Итак, потенциальная энергия — это энергия возможностей.

Чтобы закон сохранения полной механической энергии стал понятнее, разберем несколько задач.

Условие

Тело, брошенное вертикально вверх от поверхности Земли, достигло максимальной высоты 202020 м. С какой начальной скоростью тело было брошено вверх? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение

Шаг 1. Давайте сделаем рисунок. Это позволит нам лучше понять, что происходит в задаче.

Шаг 2. В задаче действовала только сила тяжести Земли (сопротивлением воздуха по условию задачи можно и нужно пренебречь). Значит, для решения можно попробовать использовать закон сохранения полной механической энергии:

mV122+mgh1=mV222+mgh2\frac{mV_12}{2}+mgh_1=\frac{mV_22}{2}+mgh_22mV12​​+mgh1​=2mV22​​+mgh2​.

Шаг 3. Из рисунка видно и из текста задачи понятно, что в нижнем положении была скорость, а высота была равна нулю. То есть была только кинетическая энергия. Высота была равна нулю — потенциальной энергии не было.

В верхней точки была «высота» — то есть была потенциальная энергия, а скорости не было — не было кинетической энергии. Поэтому наш закон сохранения полной механической энергии перепишется в следующем виде:

mV22+mg⋅0=m(0)22+mgh\frac{mV2}{2}+mg\cdot 0=\frac{m(0)2}{2}+mgh2mV2​+mg⋅0=2m(0)2​+mgh,

mV22=mgh\frac{mV2}{2}=mgh2mV2​=mgh.

Шаг 4. Осталось только найти скорость из полученного нами равенства.

Шаг 5. Найдем скорость:

V=2gh=2⋅10мс2⋅20м=400м2с2=20мсV=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot 10\frac{м}{с2}\cdot 20м}=\sqrt{400\frac{м2}{с2}}=20\frac{м}{с}V=2gh​=2⋅10с2м​⋅20м​=400с2м2​​=20см​.

Ответ. 202020 м/с.

Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно, а потом посмотрите на наше решение.

Камень брошен вертикально вверх со скоростью v0=10v_0=10v0​=10 м/с. На какой высоте hhh кинетическая энергия камня равна его потенциальной энергии? Ответ выразите в метрах.

(Источник: Рымкевич А.П. Сборник задач по физике)

Теперь разберем более сложную задачу.

Условие

Цирковой артист массой 606060 кг падает в натянутую сетку с высоты 444 м. С какой силой действует на артиста сетка, если она прогибается при этом на 111 м?

(Источник: Рымкевич А.П. Сборник задач по физике)

Решение

Шаг 1. Сделаем схематичный рисунок. Постараемся отметить некоторые характерные точки в падении.

В процессе падения можно условно выделить три состояния:

1 — человек находится на самой вершине; готов прыгнуть;

2 — человек падает и вот-вот коснется сетки;

3 — человек упал и прогнул сетку.

Шаг 2. Попробуем записать закон сохранения энергии для перемещения из точки 1 в точку 2.

Шаг 3. Однако это не всё. Цирковой артист продолжает падать дальше вниз, пока сетка не растянется настолько, что сможет остановить его. Это движение от точки 2 до точки 3.

Шаг 4. Мы получили равенства

mgh=mV22mgh=\frac{mV2}{2}mgh=2mV2​

и

mV22+mgx=k⋅x22\frac{mV2}{2}+mgx=\frac{k\cdot x2}{2}2mV2​+mgx=2k⋅x2​.

Заменим mV22\frac{mV2}{2}2mV2​ во втором равенстве:

mgh+mgx=k⋅x22mgh+mgx=\frac{k\cdot x2}{2}mgh+mgx=2k⋅x2​,

mg(h+x)=k⋅x22mg(h+x)=\frac{k\cdot x2}{2}mg(h+x)=2k⋅x2​.

Примечание. Это равенство можно было получить быстрее, приравняв полную механическую энергию системы «артист-сетка» в точках 1 и 3 (даже без анализа точки 2).

Шаг 5. В задаче нас спрашивают про силу, с которой сетка действует на артиста.

Шаг 6. Из условия задачи нам не известна жесткость kkk сетки. Давайте выразим ее и подставим в наш закон сохранения энергии:

k=Fx,mg(h+x)=k⋅x22k=\frac{F}{x},\,\,\,mg(h+x)=\frac{k\cdot x2}{2}k=xF​,mg(h+x)=2k⋅x2​,

mg(h+x)=Fx⋅x22mg(h+x)=\frac{\frac{F}{x}\cdot x2}{2}mg(h+x)=2xF​⋅x2​,

mg(h+x)=F⋅x2mg(h+x)=\frac{F\cdot x}{2}mg(h+x)=2F⋅x​,

F⋅x2=mg(h+x)\frac{F\cdot x}{2}=mg(h+x)2F⋅x​=mg(h+x),

F=2mg(h+x)xF=\frac{2mg(h+x)}{x}F=x2mg(h+x)​.

Подставим численные значения:

F=2mg(h+x)x=2⋅60 кг⋅10мс2(4 м+1 м)1 м=1200⋅5 Н=6000 НF=\frac{2mg(h+x)}{x}=\frac{2\cdot 60\text{ кг}\cdot 10\frac{м}{с2}(4\text{ м}+1\text{ м})}{1\text{ м}}=1200\cdot 5\text{ Н}=6000\text{ Н}F=x2mg(h+x)​=1 м2⋅60 кг⋅10с2м​(4 м+1 м)​=1200⋅5 Н=6000 Н.

Ответ. F=6000F=6000F=6000 Н.

Напоследок разберем задачу из части 3 ЕГЭ.

Условие

На гладкой горизонтальной плоскости стоит гладкая горка высотой H=24H=24H=24 см и массой M=1M=1M=1 кг, а на ее вершине лежит небольшая шайба массой m=200m=200m=200 г (см. рисунок). После легкого толчка шайба соскальзывает с горки и движется перпендикулярно стенке, закрепленной в вертикальном положении на плоскости. С какой скоростью vvv шайба приближается к стенке на плоскости?

(Источник: ЕГЭ-2010. Физика. Диагностическая работа 2, задание С2)

Решение

Шаг 1. Прежде всего, давайте подумаем, почему шайба начинает двигаться. Если она начинает двигаться — значит, у нее появляется скорость VVV. Если есть скорость, то есть и кинетическая энергия Ek=m⋅V22E_k=\frac{m\cdot V2}{2}Ek​=2m⋅V2​.

Шаг 2. Сделаем рисунок, который покажет, как будут развиваться события в этой системе.

Что самое интересное на этом рисунке? То, что горка начинает тоже двигаться с какой-то своей скоростью. Почему она двигается? В условии написано, что горка стоит на гладкой плоскости, то есть может скользить по ней. Грубо говоря, горку на плоскости ничего не держит. Нет никакого упора, который бы препятствовал движению горки.

Напомним, что по закону сохранения импульса, если суммарный импульс «до» был нулевой — то и «после» он должен остаться таким же. Шайба приобрела скорость — приобрела импульс. Чтобы суммарный импульс системы «горка-шайба» остался нулевым, нужно, чтобы горка приобрела «противо-импульс», который был бы направлен противоположно импульсу шайбы и полностью его компенсировал бы.

Шаг 3. Запишем закон сохранения полной механической энергии для этой системы тел.

Шаг 4. Вроде бы все готово для того, чтобы найти скорость шайбы из закона сохранения полной механической энергии. Но откуда взять скорость горки?

Теперь надо переписать закон сохранения импульсов в проекциях на ось OXOXOX.

Шаг 5. Собираем всё вместе.

0=mV−MU⇒mV=MU⇒U=mVM0=mV-MU\,\,\Rightarrow\,\,mV=MU\,\,\Rightarrow\,\,U=\frac{mV}{M}0=mV−MU⇒mV=MU⇒U=MmV​.

Подставим выражение для UUU в закон сохранения полной механической энергии:

mgH=mV22+MU22⇒mgH=mV22+M(mVM)22⇒mgH=\frac{mV2}{2}+\frac{MU2}{2}\,\,\Rightarrow\,\,mgH=\frac{mV2}{2}+\frac{M(\frac{mV}{M})2}{2}\,\,\RightarrowmgH=2mV2​+2MU2​⇒mgH=2mV2​+2M(MmV​)2​⇒

⇒mgH=mV22+Mm2V22M2⇒mgH=mV22+m2V22M⇒\Rightarrow\,\,mgH=\frac{mV2}{2}+\frac{Mm2V2}{2M2}\,\,\Rightarrow\,\,mgH=\frac{mV2}{2}+\frac{m2V2}{2M}\,\,\Rightarrow⇒mgH=2mV2​+2M2Mm2V2​⇒mgH=2mV2​+2Mm2V2​⇒

⇒gH=V22+mV22M⇒gH=V22(1+mM)⇒\Rightarrow\,\,gH=\frac{V2}{2}+\frac{mV2}{2M}\,\,\Rightarrow\,\,gH=\frac{V2}{2}(1+\frac{m}{M})\,\,\Rightarrow⇒gH=2V2​+2MmV2​⇒gH=2V2​(1+Mm​)⇒

⇒V2=2gH(1+mM)⇒V=2gH(1+mM)\Rightarrow\,\,V2=\frac{2gH}{(1+\frac{m}{M})}\,\,\Rightarrow\,\,V=\sqrt{\frac{2gH}{(1+\frac{m}{M})}}⇒V2=(1+Mm​)2gH​⇒V=(1+Mm​)2gH​​.

Шаг 6. Подставим числа:

V=2gH(1+mM)=2⋅10м/с2⋅0,24м1+0,2кг1кг=2 м/сV=\sqrt{\frac{2gH}{(1+\frac{m}{M})}}=\sqrt{\frac{2\cdot 10м/с2\cdot 0,24м}{1+\frac{0,2кг}{1кг}}}=2\text{ }м/сV=(1+Mm​)2gH​​=1+1кг0,2кг​2⋅10м/с2⋅0,24м​​=2 м/с.

Задачи для самостоятельного решения: #закон сохранения энергии

Источник: https://lampa.io/p/%D0%B7%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD-%D1%81%D0%BE%D1%85%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D0%B9-%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B9-%D1%8D%D0%BD%D0%B5%D1%80%D0%B3%D0%B8%D0%B8-0000000088cb9d521529503d2228721b

Booksm
Добавить комментарий