Закон сохранения энергии для цепей постоянного тока

Закон сохранения энергии для цепей постоянного тока

Закон сохранения энергии для цепей постоянного тока

Закон сохранения энергии — всеобщий закон природы. Следовательно, он применим в том числе, и к электрическим явлениям. Рассмотрим два случая превращения энергии в электрическом поле:

  1. Проводники являются изолированными ($q=const$).
  2. Проводники соединены с источниками тока при этом не изменяются их потенциалы ($U=const$).

Закон сохранения энергии в цепях с постоянными потенциалами

Допустим, что имеется система тел, которая может включать в себя как проводники, так и диэлектрики. Тела системы могут совершать малые квазистатические перемещения.

Температура системы поддерживается постоянной ($\to \varepsilon =const$), то есть тепло подводится к системе, или отводится от нее при необходимости. Диэлектрики, входящие в систему будем считать изотропными, плотность их положим постоянной.

В этом случае доля внутренней энергии тел, которая не связана с электрическим полем изменяться не будет. Рассмотрим варианты превращений энергии в подобной системе.

На любое тело, которое находится в электрическом поле, действуют пондемоторные силы (силы, действующие на заряды внутри тел). При бесконечно малом перемещении пондемоторные силы выполнят работу $\delta A.\ $Так как тела перемещаются, то изменение энергии dW.

Так же при перемещении проводников изменяется их взаимная емкость, следовательно, для сохранение потенциала проводников неизменным, необходимо изменять заряд на них. Значит, каждый из источников тора совершает работу равную $\mathcal E dq=\mathcal E Idt$, где $\mathcal E $ — ЭДС источника тока, $I$ — сила тока, $dt$ — время перемещения.

В нашей системе возникнут электрические токи, и в каждой ее части выделится тепло:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

По закону сохранения заряда, работа всех источников тока равна механической работе сил электрического поля плюс изменение энергии электрического поля и тепло Джоуля — Ленца (1):

В случае если проводники и диэлектрики в системе неподвижны, то $\delta A=dW=0.$ Из (2) следует, что вся работа источников тока превращается в тепло.

Закон сохранения энергии в цепях с постоянными зарядами

В случае $q=const$ источники тока не войдут в рассматриваемую систему, тогда левая часть выражения (2) станет равна нулю. Помимо этого, тепло Джоуля — Ленца возникающее за счет перераспределения зарядов в телах при их перемещении обычно считают несущественным. В таком случае закон сохранения энергии будет иметь вид:

Формула (3) показывает, что механическая работа сил электрического поля равна уменьшению энергии электрического поля.

Применение закона сохранения энергии

Используя закон сохранения энергии в большом количестве случаев можно рассчитать механические силы, которые действуют в электрическом поле, при чем сделать это порой существенно проще, чем, если рассматривать непосредственное действие поля на отдельные части тел системы. При этом действуют по следующей схеме. Допустим необходимо найти силу $\overrightarrow{F}$, которая действует на тело в поле. Полагают, что тело перемещается (малое перемещение тела $\overrightarrow{dr}$). Работа искомой силы равна:

Далее находят все остальные изменения энергии (2) или (3), находят проекцию $F_r$ на направление $\overrightarrow{dr}$. Находят составляющие силы и саму силу.

Пример 1

Задание: Вычислите силу притяжения, которая действует между пластинами плоского конденсатора, который помещен в однородный изотропный жидкий диэлектрик с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon $. Площадь пластин S. Напряжённость поля в конденсаторе E. Пластины отключены от источника. Сравните силы, которые действуют на пластины при наличии диэлектрика и в вакууме.

Решение:

Так как сила может быть только перпендикулярна пластинам, то перемещение выберем по нормали к поверхности пластин. Обозначим через dx перемещение пластин, то механическая работа будет равна:

\[\delta A=Fdx\ \left(1.1\right).\]

Изменение энергии поля при этом составит:

\[dW=-\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0E2}{2}Sdx\ \left(1.2\right).\]

Следуя уравнению:

\[\delta A+dW=0\left(1.4\right)\]

получим:

\[Fdx=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0E2}{2}Sdx\ \to F=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0E2}{2}S\left(1.5\right).\ \]

Если между пластинами находится вакуум, то сила равна:

\[F'=\frac{\varepsilon_0E2}{2}S\left(1.6\right).\]

При заполнении конденсатора, который отключен от источника, диэлектриком напряженность поля внутри диэлектрика уменьшается в $\varepsilon $ раз, следовательно, уменьшается и сила притяжения пластин во столько же раз. Уменьшение сил взаимодействия между пластинами объясняется наличием сил электрострикции в жидких и газообразных диэлектриках, которые расталкивают пластины конденсатора.

Ответ: $F=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0E2}{2}S,\ F'=\frac{\varepsilon_0E2}{2}S.$

Пример 2

Задание: Плоский конденсатор частично погружен в жидкий диэлектрик (рис.1). При зарядке конденсатора жидкость втягивается в конденсатор. Вычислить силу f, с которой поле действует на единицу горизонтальной поверхности жидкости. Считать, что пластины соединены с источником напряжения (U=const).

Рис. 1

Решение:

Обозначим через h- высоту столба жидкости, dh — изменение (увеличение) столба жидкости. Работа искомой силы при этом будет равна:

\[dA=Sfdh\ \left(2.1\right),\]

где S — площадь горизонтального сечения конденсатора. Изменение электрического поля равно:

\[dW=\left(\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0E2}{2}-\frac{{\varepsilon }_0E2}{2}\right)Sdh\ \left(2.2\right).\]

На пластины перейдет дополнительный заряд dq, равный:

\[dq=\left(\varepsilon {\varepsilon }_0E-{\varepsilon }_0E\right)adh\ \left(2.3\right),\]

где $a$ — ширина пластин, учтем, что $E=\frac{U}{d}$ тогда работа источника тока равна:

\[\mathcal E dq=Udq=U\left(\varepsilon {\varepsilon }_0E-{\varepsilon }_0E\right)adh=E\left(\varepsilon {\varepsilon }_0E-{\varepsilon }_0E\right)d\cdot a\cdot dh=\left(\varepsilon {\varepsilon }_0E2-{\varepsilon }_0E2\right)Sdh\left(2.4\right).\]

Если считать, что сопротивление проводов мало, то $\mathcal E $=U. Используем закон сохранения энергии для систем с постоянным током при условии постоянства разности потенциалов:

\[\sum{\mathcal E Idt=\delta A+dW+\sum{RI2dt\ \left(2.5\right).}}\]

получим:

\[\left(\varepsilon {\varepsilon }_0E2-{\varepsilon }_0E2\right)Sdh=Sfdh+\left(\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0E2}{2}-\frac{{\varepsilon }_0E2}{2}\right)Sdh\to f=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0E2}{2}-\frac{{\varepsilon }_0E2}{2}\ .\]

Ответ: $f=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0E2}{2}-\frac{{\varepsilon }_0E2}{2}.$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/postoyannyy_elektricheskiy_tok/zakon_sohraneniya_energii_dlya_cepey_postoyannogo_toka/

Эта формула выражает закон сохранения энергии для электрической цепи

Закон сохранения энергии для цепей постоянного тока

1.4. КЛАССИФИКАЦИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

В зависимости от того, для какого тока предназначается электрическая цепь, ее соответственно называют: «Электрическая цепь постоянного тока», «Электрическая цепь изменяющегося тока», «Электрическая цепь синусоидального тока», «Электрическая цепь не синусоидального тока».

Аналогично именуют и элементы цепей — машины постоянного тока, машины переменного тока, источники электрической энергии (ИЭЭ) постоянного тока, ИЭЭ переменного тока.

Элементы цепей и составленные из них цепи подразделяют и по виду вольт-амперной характеристики (ВАХ). При этом имеется ввиду зависимость их напряжения от тока U = f (I)

Элементы цепей, ВАХ которых линейны (рис.3, а), называют линейными элементами, и, соответственно, электрические цепи называют линейными.

Электрическую цепь, содержащую хотя бы один элемент с нелинейной ВАХ (рис.3, б), называют нелинейной.

а б

Рис. 3

Электрические цепи постоянного и переменного тока различают также по способу соединения их элементов — на неразветвленные и разветвленные.

Наконец, электрические цепи делят по числу источников электрической энергии — с одним или с несколькими ИЭЭ.

Различают активные и пассивные цепи, участки и элементы цепей.

Активными называют электрические цепи, содержащие источ­ники электрической энергии, пассивными — электрические цепи, не содержащие источников электрической энергии.

Для работы электрической цепи необходимо наличие активных элементов, т. е. источников энергии.

Простейшими пассивными элементами схемы электрической цепи являются сопротивление, индуктивность и емкость. С определенной степенью приближения они замещают реальные элементы цепи — резистор, индуктивную катушку и конденсатор соответственно.

В реальной цепи электрическим сопротивлением обладает не только резистор или реостат как устройства, предназначенные для использования их электрических сопротивлений, но и любой проводник, катушка, конденсатор, обмотка любого электромагнит­ного элемента и т. д.

Но общим свойством всех устройств, обладаю­щих электрическим сопротивлением, является необратимое преоб­разование электрической энергии в тепловую.

Действительно, из курса физики известно, что при токе i в резисторе, обладающем сопротивлением r, за время dt в соответствии с законом Джоуля-Ленца выделяется энергия

dw = ri2 dt,

или можно сказать, что в этом резисторе потребляется мощность

p = dw/dt = ri2 = ui,

где u — напряжение на зажимах резистора.

Тепловая энергия, выделяемая в сопротивлении, полезно исполь­зуется или рассеивается в пространстве: Но поскольку преобра­зование электрической энергии в тепловую в пассивном элементе носит необратимый характер, то в схеме замещения во всех случаях, когда необходимо учесть необратимое преобразование энергии, включается сопротивление.

В реальном устройстве, например в электромагните, электрическая энергия может быть преобразована в механическую (притяжение якоря), но в схеме замещения это устройство заменяется сопротивлением, в котором выделяется эквивалентное количество тепловой энергии.

И при анализе схемы нам уже безразлично, что в действительности является потребителем энергии: электромагнит или электроплитка.

Величина, равная отношению постоянного напряжения на участке пассивной электрической цепи к постоянному току в нем при отсутствии на участке э. д. с., называется электриче­ским сопротивлением постоянному току.

Оно отличается от сопротивления переменному току, определяемого делением активной мощности пассивной электрической цепи на квадрат действующего тока.

Дело в том, что при переменном токе из-за поверхностного эффекта, сущность которого состоит в вытесне­нии переменного тока из центральных частей к периферии сечения проводника, сопротивление проводника возрастает и тем больше, чем больше частота переменного тока, диаметр проводника и электрическая и магнитная проводимости его материала. Иначе говоря, в общем случае проводник всегда оказывает большее сопротивле­ние переменному току, чем постоянному. В цепях переменного тока сопротивление называется активным. Цепи, характеризую­щиеся только электрическими сопротивлениями их элементов, называются резистивными.

Индуктивность L, измеряемая в генри (Г), характеризует свойство участка цепи или катушки накапливать энергию магнитного поля.

В реальной цепи индуктивностью обладают не только индук­тивные катушки, как элементы цепи, предназначенные для использования их индуктивности, но и провода, и выводы конденсаторов, и реостаты.

Однако в целях упрощения во многих случаях полагают, что вся энергия магнитного поля сосредоточивается только в катушках.

При возрастании тока в катушке запасается энергия магнитного поля, которая может быть определена как wм = L i2 / 2.

Емкость С, измеряемая в фарадах (Ф), характеризует способ­ность участка цепи или конденсатора накапливать энергию элек­трического поля.

В реальной цепи электрическая емкость сущест­вует не только в конденсаторах, как элементах, предназначенных специально для использования их емкости, но и между проводни­ками, между витками катушек (межвитковая емкость), между про­водом и землей или каркасом электротехнического устройства. Однако в схемах замещения принято, что ем­костью обладают только конденсаторы.

Энергия электрического поля, запасаемая в конденсаторе при возрастании напряжения равна .

Таким образом, параметры электрической цепи характеризуют свойства элементов поглощать энергию из электрической цепи и преобразовывать в другие виды энергии (необратимые процессы), а также создавать свои собственные электрические или магнитные поля, в которых энергия способна накапливаться и при определенных условиях возвращаться в электрическую цепь. Элементы электрической цепи постоянного тока характеризуются только одним параметром — сопротивлением. Сопротивление определяет свойство элемента поглощать энергию из электрической цепи и преобразовывать ее в другие виды энергии.

1.5. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ ПОСТОЯННОГО ТОКА. ЗАКОН ОМА

При наличии электрического тока в проводниках движущиеся свободные электроны, сталкиваются с ионами кристаллической решетки, испытывают противодействие своему движению. Это противодействие количественно оценивается величиной сопротивления.

Рассмотрим электрическую цепь (рис. 4), на которой слева показан ИЭЭ (выделен штриховыми линиями) с э.д.с. Е и внутренним сопротивлением r, а справа приведена внешняя цепь — потребитель электрической энергии R. Для выяснения количественной характеристики этого сопротивления воспользуемся законом Ома для участка цепи.

Под действием э. д. с. в цепи ( рис.4) возникает ток, величина которого может быть определена по формуле:

I = U/R (1.6)

Это выражение является законом Ома для участка цепи: сила тока на участке цепи пря пропорциональна напряжению, приложенному к этому участку.

Из полученного выражения найдем R = U / I и U = I R.

Необходимо отметить, что приведённые выражения справедливы при условии, что R — величина постоянная т.е. для линейной цепи, характеризуемой зависимостью I = (l / R)U (ток линейно зависит от напряжения и угол φ наклона прямой на рис.3, а равен φ = arctg(1/R)). Отсюда следует важный вывод: закон Ома справедлив для линейных цепей, когда R = const.

За единицу сопротивления принято сопротивление такого участка цепи, в котором устанавливается ток в один ампер при напряжении в один вольт:

1 Ом = 1 В/1А.

Более крупными единицами измерения сопротивления являются килоом (кОм): 1 кОм = Ом и мегом (мОм): 1 мОм = Ом.

В общем случае R = ρ l/S , где ρ удельное сопротивление проводника с площадью поперечного сечения S и длиною l.

Однако в реальных цепях напряжение U определяется не только величиной э.д.с., но и зависит от величины тока и сопротивления r ИЭЭ, так как любой источник энергии имеет внутреннее сопротивление.

Рассмотрим теперь полную замкнутую цепь (рис. 4). Согласно закону Ома получим для внешнего участка цепи U = IR и для внутреннего U0 = I r. Атак как э.д.с. равна сумме напряжений на отдельных участках цепи, то

Е = U + U0 = IR + Ir

Отсюда

. (1.7)

Выражение (1. 7) является законом Ома для всей цепи: сила тока в цепи прямо пропорциональна э.д.с. источника.

Из выражения E = U + следует, что U = E — Ir, т.е. при наличии тока в цепи напряжение на ее зажимах меньше э.д.с. источника на величину падения напряжения на внутреннем сопротивлении r источника.

Измерить напряжения (вольтметром) на различных участках цепи можно только при замкнутой цепи. Э.д.с. же измеряют между зажимами источника при разомкнутой цепи, т.е. при холостом ходе, когда I ток в цепи равен нулю в этом случае E = U.

1.6. СПОСОБЫ СОЕДИНЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЙ

При расчете цепей приходится сталкиваться с различными схемами соединений потребителей.

В случае цепи с одним источником часто получается смешанное соединение, составляющее собой комбинацию параллельного и последовательного соединений, известных из курса физики.

Задача расчета такой цепи состоит в том, чтобы при известных сопротивлениях потребителей определить токи, протекающие через них, напряжения, мощности на них и мощность всей цепи (всех потребителей).

Соединение, при котором по всем участкам проходит один и тот же ток, называется последовательным соединением участков цепи. Любой замкнутый путь, проходящий по нескольким участкам, называют контуром электрической цепи. Например, цепь, показанная на рис. 4 является одноконтурной.

Рассмотрим различные способы соединения сопротивлений более подробно.

1.6.1 Последовательное соединение сопротивлений

Если два или несколько сопротивлений соединены, как показано на рис. 5, одно за другим без разветвлений и по ним проходит один и тот же ток, то такое их соединение называют последовательным.

По закону Ома можно определить напряжения на отдельных участках цепи (сопротивлениях)

U1= IR1 ; U2= IR2 ; U3= IR3.

Так как ток во всех участках имеет одинаковое значение, то напряжения на участках пропорциональны их сопротивлениям, т.е.

U1/U2 = R1/ R2; U2 /U3 = R2 / R3.

Мощности отдельных участков соответственно равны

P1= U1I; P2= U2I; P3= U3I.

А мощность всей цепи, равная сумме мощностей отдельных участков, определяется как

P = P1+ P2+ P3 = U1I + U2I + U3I = (U1+ U2+ U3)I = UI,

откуда следует, что напряжение на зажимах цепи U равно сумме напряжений на отдельных участках

U =U1+ U2 + U3.

Разделив правую и левую части последнего уравнения на ток, получим

R = R1+ R2+R3.

Здесь R = U/I — сопротивление всей цепи, или, как его часто называют, эквивалентное сопротивление цепи, т.е. такое равноценное сопротивление, заменяя которым все сопротивления цепи(R1, R2, R3) при неизменном напряжении на ее зажимах, получим то же самое значение тока.

1.6.2. Параллельное соединение сопротивлений

Параллельным соединением сопротивлений называется соединение (рис. 6), при котором один зажим каждого из сопротивлений присоединяется к одной точке электрической цепи, а другой зажим каждого из тех же сопротивлений присоединяется к другой точке электрической цепи. Таким образом, между двумя точкамэлектрической цепи будет включено несколько сопротивлений. образующих параллельные ветви.

Так как при этом напряжение на всех ветвях будет одним и тем же, то токи в ветвях могут быть разными, в зависимости от величин отдельных сопротивлений. Эти токи можно определить по закону Ома:

; ; .

Напряжения между точками разветвления (А и Б рис.6 )

,

откуда

и ,

т.е. токи в параллельных ветвях распределяются обратно пропорционально их сопротивлениям.

Согласно первому закону Кирхгофа

,

или

.

Произведя сокращение на U, получим

.

Здесь R — сопротивление разветвленной цепи, или, как часто называют, эквивалентное сопротивление.

Эта формула дает возможность определить эквивалентное сопротивление цепи, например для трех параллельно соединенных сопротивлений.

Приведя правую часть уравнения к общему знаменателю, получим

откуда

.

Если сопротивление R1= R2=R3, то эквивалентное сопротивление цепи

,

а в общем случае при n параллельных ветвях

.

В случае двух параллельных ветвей

или ,

откуда

.

При параллельном соединении приемников энергии все они находятся под одним и тем же напряжением, и режим работы каждого из них не зависит от остальных.

Совершенно иначе дело обстоит при последовательном соединении приемников, при котором изменение сопротивления одного из них тотчас же влечет изменение напряжения на других, последовательно соединенных с ним.

Поэтому как лампы накаливания, так и двигатели, предназначенные для работы при определенном (номинальном) напряжении, всегда включаются параллельно.

Просмотров 1289 Эта страница нарушает авторские права

Источник: https://allrefrs.ru/3-13526.html

2.12 Закон сохранения и превращения энергии в электрических цепях

Закон сохранения энергии для цепей постоянного тока

2.12.1 Сторонний источник электромагнитного поля и электрического тока в электрической цепи.

☻ Сторонний источник является такой составной частью электрической цепи, без которой электрический ток в цепи не возможен.

Это делит электрическую цепь на две части, одна из которых способна проводить ток, но не возбуждает его, а другая “сторонняя”– проводит ток и возбуждает его.

Под действием ЭДС стороннего источника в цепи возбуждается не только электрический ток, но и электромагнитное поле, причем то и другое сопровождается при этом передачей энергии от источника в цепь.

2.12.2 Источник ЭДС и источник тока.

☻ Сторонний источник в зависимости от своего внутреннего сопротивления может быть источником ЭДСили источником тока

Источник ЭДС: ,

не зависит от.

Источник тока: ,

не зависит от.

Таким образом, любой источник, который выдерживает стабильное напряжение в цепи при изменении в ней тока, может рассматриваться как источник ЭДС. Это относится и к источникам стабильного напряжения в электрических сетях.

Очевидно, условия илидля реальных сторонних источников следует рассматривать как идеализированные приближения, удобные для анализа и расчета электрических цепей.

Так привзаимодействие стороннего источника с цепью определяется простыми равенствами

, ,.

      1. Электромагнитное поле в электрической цепи.

☻ Сторонние источники являются либо накопителями, либо генераторами энергии.

Передача энергии источниками в цепь происходит только через электромагнитное поле, которое возбуждается источником во всех элементах цепи, независимо от их технических особенностей и прикладного значения, а также от сочетания физических свойств в каждом из них.

Именно электромагнитное поле является тем первичным фактором, который задает распределение энергии источника по элементам цепи и определяет физические процессы в них, в том числе и электрический ток.

2.12.4 Сопротивление в цепях постоянного и переменного тока.

Рис 2.12.4

Обобщенные схемы одноконтурных цепей постоянного и переменного тока.

☻ В простых одноконтурных цепях постоянного и переменного тока зависимость тока от ЭДС источника можно выразить подобными формулами

, .

Это дает возможность и сами цепи представить подобными схемами, как это показано на рис.2.12.4.

Важно подчеркнуть, что в цепи переменного тока величина означает не активное сопротивление цепи, а импеданс цепи, который превосходит активное сопротивление по той причине, что индуктивные и емкостные элементы цепи оказывают переменному току дополнительное реактивное сопротивление, так что

,

где

, .

Реактивные сопротивления иопределяются частотой переменного тока, индуктивностьюиндуктивных элементов (катушек) и емкостьюемкостных элементов (кондесаторов).

2.12.5 Фазовый сдвиг

☻ Элементы цепи с реактивными сопротивлениями вызывают в цепи переменного тока особое электромагнитное явление- сдвиг по фазе между ЭДС и током

, ,

где — фазовый сдвиг, возможные значения которого определяются уравнением

.

Отсутствие фазового сдвига возможно в двух случаях, когда или когда емкостные и индуктивные элементы в цепи отсутствуют. Фазовый сдвиг затрудняет вывод мощности источника в электрическую цепь.

2.12.6 Энергия электромагнитного поля в элементах цепи.

☻ Энергия электромагнитного поля в каждом элементе цепи состоит из энергии электрического поля и энергии магнитного поля

.

Однако элемент цепи может быть так выполнен, что для него одно из слагаемых этой суммы будет доминирующим, а другое – не существенным. Так при характерных частотах переменного тока в конденсаторе , а в катушке, наоборот,. Поэтому можно считать, что конденсатор является накопителем энергии электрического поля, а катушка-накопителем энергии магнитного поля и для них соответственно

, ,

где учтено, что для конденсатора , а для катушки. Две катушки в одной цепи могут быть индуктивно независимыми или же индуктивно связанными через свое общее магнитное поле. В последнем случае энергия магнитных полей катушек дополняется энергией их магнитного взаимодействия

,

где

, .

Коэффициент взаимной индукции зависит от степени индуктивной связи между катушками, в частности от их взаимного расположения. Индуктивная связь может быть не существенной или отсутствовать полностью, тогда.

Характерным элементом электрической цепи является резистор сопротивлением . Для него энергия электромагнитного поля, т.к.. Поскольку в резисторе энергия электрического поля испытывает необратимое превращение в энергию теплового движения, то для резистора

,

где количество теплоты соответствует закону Джоуля-Ленца.

Особым элементом электрической цепи является ее электромеханический элемент, способный при прохождении через него электрического тока выполнять механическую работу.

Электрическим током в подобном элементе возбуждается сила или момент силы, под действием которых происходят линейные или угловые перемещения самого элемента или его частей относительно друг друга.

Эти механические явления, связанные с электрическим током, сопровождаются превращением энергии электромагнитного поля в элементе в его механическую энергию, так что

где работа выражается в соответствии с ее механическим определением.

2.12.7 Закон сохранения и превращения энергии в электрической цепи.

☻ Сторонний источник является не только источником ЭДС, но и источником энергии в электрической цепи. За время от источника в цепь поступает энергия, равная работе ЭДС источника

где — мощность источника, или что тоже, интенсивность поступления энергии от источника в цепь. Энергия источника превращается в цепи в другие виды энергии. Так в одноконтурной цепи с механическим элементом работа источника сопровождается изменением энергии электромагнитного поля во всех элементах цепи в полном соответствии с энергетическим балансом

.

Данное уравнение для рассматриваемой цепи выражает законы сохранения энергии. Из него следует

.

После соответствующих подстановок уравнение баланса мощности можно представить в виде

.

Это уравнение в обобщенной форме выражает закон сохранения энергии в электрической цепи на основе понятия мощности.

Кирхгофа

☻ После дифференцирования и сокращения тока из представленного закона сохранения энергии как следствии вытекает закон Кирхгофа

,

где в замкнутом контуре перечисленные напряжения на элементах цепи означают

, ,

, , .

2.12.9 Применение закона сохранения энергии для расчета электрической цепи.

☻ Приведенные уравнения закона сохранения энергии и закона Кирхгофа относятся только к квазистационарным токам, при которых цепь не является источником излучения электромагнитного поля. Уравнение закона сохранения энергии позволяет в простой и наглядной форме анализировать работу многочисленных одноконтурных электрических цепей как переменного, так и постоянного тока.

Полагая константы равными нулю по отдельности или в их сочетании, можно рассчитывать разные варианты электрических цепей, в том числе прии. Ниже рассматриваются некоторые варианты расчета таких цепей.

2.12.10 Цепь при

☻ Одноконтурная цепь, в которой через резистор заряжается конденсатор от источника с постоянной ЭДС (). Принимается: ,,, а такжепри. При таких условиях закон сохранения энергии для данной цепи может быть записан в следующих равнозначных вариантах

,

,

.

Из решения последнего уравнения следует:

, .

Источник: https://studfile.net/preview/4304264/page:13/

Гордюнин С.А. Закон сохранения энергии в электростатике // Квант

Закон сохранения энергии для цепей постоянного тока

Закон сохранения энергии определяет в самом общем виде энергетический баланс при всевозможных изменениях в любой системе. Запишем его следующим образом:

                                         (1)

где Aвнеш — работа, совершенная над рассматриваемой системой внешними силами, ΔW — изменение энергии системы, Q — количество теплоты, выделяемое в системе.

Договоримся, что если Aвнеш > 0, то над системой совершают положительную работу, а если Aвнеш < 0, положительную работу совершает система; если ΔW > 0, то энергия системы увеличивается, а если ΔW < 0, энергия уменьшается; наконец, если Q > 0, то в системе выделяется тепло, а если Q < 0, тепло системой поглощается.

В этой статье мы рассмотрим, как закон сохранения энергии «работает» в электростатике. В общем случае электростатическая система содержит взаимодействующие между собой заряды, находящиеся в электрическом поле.

Рассмотрим каждое слагаемое в уравнении (1) по отдельности.

Начнем с энергии. Энергия взаимодействия зарядов выражается через характеристики электрического поля этой системы зарядов. Так, например, энергия заряженного конденсатора емкостью C задается известным выражением

                                   (2)

где q — заряд обкладок, U — напряжение между ними. Напомним, что конденсатор — это система двух проводников (обкладок, пластин), обладающая следующим свойством: если с одной обкладки на другую перенести заряд q (т. е.

одну обкладку зарядить зарядом +q, а другую –q), то все силовые линии созданного таким образом поля будут начинаться на одной (положительно заряженной) обкладке и заканчиваться на другой.

Поле конденсатора существует только внутри него.

Энергию заряженного конденсатора можно представить также как энергию поля, локализованного в пространстве между пластинами с плотностью энергии  где E — напряженность поля.

В сущности, именно этот факт дает основание говорить о поле как об объекте, реально существующем, — у этого объекта есть плотность энергии.

Но надо помнить, что это просто эквивалентный способ определения энергии взаимодействия зарядов (которую теперь мы называем энергией электрического поля). Таким образом, мы можем считать энергию конденсатора как по формулам (2), так и по формуле

                                       (3)

где V — объем конденсатора. Последней формулой легко пользоваться, конечно, только в случае однородного поля, но представление энергии в такой форме очень наглядно, а потому удобно.

Конечно, кроме энергии взаимодействия зарядов (энергии электрического поля) в энергию системы может входить и кинетическая энергия заряженных тел, и их потенциальная энергия в поле тяжести, и энергия пружин, прикрепленных к телам, и т. п.

Теперь о работе внешних сил. Помимо обычной механической работы Aмех (например, по раздвиганию пластин конденсатора), для электрической системы можно говорить о работе внешнего электрического поля. Например, о работе батареи, заряжающей или перезаряжающей конденсатор.

Задача батареи — создать фиксированную, присущую данному источнику разность потенциалов между теми телами, к которым она присоединена. Делает она это единственно возможным способом — забирает заряд от одного тела и передает его другому. Источник никогда не создает заряды, а только перемещает их.

Общий заряд системы при этом сохраняется — это один из краеугольных законов природы.

В источниках разных конструкций электрическое поле, необходимое для перемещения зарядов, создают различные «механизмы».

В батареях и аккумуляторах — это электрохимические реакции, в динамомашинах — электромагнитная индукция. Существенно, что для выбранной системы зарядов (заряженных тел) это поле — внешнее, стороннее.

Когда через источник с ЭДС  от отрицательного полюса к положительному протекает заряд Δq, сторонние силы совершают работу

                                              (4)

При этом если Δq > 0, то Aбат > 0 — батарея разряжается; если же Δq < 0, то Aбат < 0 — батарея заряжается и в ней накапливается химическая (или магнитная) энергия.

Наконец, о выделении тепла. Заметим только, что это джоулево тепло, т.е. тепло, связанное с протеканием тока через сопротивление.

Теперь обсудим несколько конкретных задач.

Задача 1. Два одинаковых плоских конденсатора емкостью C каждый присоединены к двум одинаковым батареям с ЭДС . В какой-то момент один конденсатор отключают от батареи, а другой оставляют присоединенным. Затем медленно разводят пластины обоих конденсаторов, уменьшая емкость каждого в n раз. Какая механическая работа совершается в каждом случае?

Если процесс изменения заряда на конденсаторе осуществляется все время медленно, тепло выделяться не будет. Действительно, если через резистор сопротивлением R протек заряд Δq за время t, то на резисторе за это время выделится количество теплоты

При достаточно больших t количество теплоты Q может оказаться сколь угодно малым.

В первом случае фиксирован заряд на пластинах (батарея отключена), равный  Механическая работа определяется изменением энергии конденсатора:

Во втором случае фиксирована разность потенциалов на конденсаторе и работает батарея, поэтому

Через батарею протекает заряд

Этот заряд меньше нуля, значит, батарея заряжается и ее работа

Энергия поля в конденсаторе уменьшается:

Таким образом,

Зарядка батареи происходит за счет работы по раздвиганию пластин и за счет энергии конденсатора.

Заметим, что слова про раздвигание пластин существенной роли не играют. Такой же результат будет при любых других изменениях, приводящих к уменьшению емкости в n раз.

Задача 2. В схеме, изображенной на рисунке, найдите количество теплоты, выделившееся в каждом резисторе после замыкания ключа. Конденсатор емкостью C1 заряжен до напряжения U1, а конденсатор емкостью C2 — до напряжения U2. Сопротивления резисторов R1 и R2.

Рис. 1

Закон сохранения энергии (1) для данной системы имеет вид

 т. е.

Начальная энергия конденсаторов равна

Для определения энергии в конечном состоянии воспользуемся тем, что суммарный заряд конденсаторов не может измениться.

Он равен  (для случаев, когда конденсаторы были соединены одноименно или разноименно заряженными пластинами соответственно).

После замыкания ключа этим зарядом оказывается заряжен конденсатор емкостью C1 + C2 (конденсаторы емкостями C1 и C2 соединены параллельно). Таким образом,

 и

Как и должно быть, в обоих случаях выделяется тепло — есть джоулевы потери. Замечательно, что выделившееся количество теплоты не зависит от сопротивления цепи — при малых сопротивлениях текут большие токи и наоборот.

Теперь найдем, как количество теплоты Q распределяется между резисторами. Через сопротивления R1 и R2 в каждый момент процесса перезарядки текут одинаковые токи, значит, в каждый момент мощности, выделяемые на сопротивлениях, равны

 и

Следовательно,

Кроме того, . Поэтому окончательно

Задача 3. В схеме на рисунке 2 конденсатор емкостью C заряжен до напряжения U. Какое количество химической энергии запасется в аккумуляторе с ЭДС  после замыкания ключа? Какое количество теплоты выделится в резисторе?

Рис. 2

Первоначальный заряд на конденсаторе . После окончания перезарядки заряд на конденсаторе станет равным . Протекший через батарею заряд в случае, когда к минусу батареи подключена отрицательно заряженная обкладка конденсатора, будет равен

В противном случае  и при этом аккумулятор будет разряжаться (Δq > 0). А в первом случае при  аккумулятор заряжается (Δq < 0), и количество химической энергии, запасенной в аккумуляторе после замыкания ключа, равно работе батареи:

Теперь запишем закон сохранения энергии (1) –

– и найдем выделившееся количество теплоты:

Задача 4. Плоский конденсатор находится во внешнем однородном поле с напряженностью , перпендикулярной пластинам. На пластинах площадью S распределены заряды +q и –q. Расстояние между пластинами d. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы поменять пластины местами? Расположить параллельно полю? Вынуть из поля?

Работа будет минимальной, когда процесс проводится очень медленно — при этом не выделяется тепло. Тогда, согласно закону сохранения энергии,

Чтобы найти ΔW, воспользуемся формулой (3). Поле между пластинами представляет собой суперпозицию поля  данного плоского конденсатора –

– и внешнего поля .

При перемене пластин местами поле  меняется на –, а поле снаружи не меняется, т. е. изменение энергии системы связано с изменением ее плотности между пластинами конденсатора:

Если направления векторов  и  были одинаковы, то плотность энергии между пластинами уменьшилась после перемены пластин местами, а если направления были противоположны, то плотность энергии увеличилась. Таким образом, в первом случае  — конденсатор хочет сам развернуться и его надо удерживать (A < 0), а во втором случае

Когда пластины конденсатора расположены параллельно полю  и  перпендикулярны друг другу. Энергия поля внутри конденсатора в этом случае равна . Тогда

Когда конденсатор вынули из поля, в том месте, где он был, поле стало , а в нем самом теперь поле , т.е. ΔW и Amin оказываются такими же, как и в предыдущем случае.

Задача 5. Конденсатор емкостью С без диэлектрика заряжен зарядом q. Какое количество теплоты выделится в конденсаторе, если его заполнить веществом с диэлектрической проницаемостью ε? То же, но конденсатор присоединен к батарее с ЭДС .

При заливании диэлектрика емкость конденсатора увеличилась в ε раз.

В первом случае фиксирован заряд на пластинах, внешних сил нет, и закон сохранения энергии (1) имеет вид

Отсюда

Тепло выделяется за счет уменьшения энергии взаимодействия зарядов.

Во втором случае есть работа батареи и фиксировано напряжение на конденсаторе:

Тогда из уравнения (1) следует

Задача 6. Две соединенные проводником пластины площадью S каждая находятся на расстоянии d друг от друга (это расстояние мало по сравнению с размерами пластин) во внешнем однородном поле с напряженностью , перпендикулярной пластинам (рис. 3). Какую работу надо совершить, чтобы сблизить их до расстояния d/2?

Рис. 3

Пластины эквипотенциальны, и между ними поля нет. Результатом работы по сближению является создание поля с напряженностью Е в объеме . Тогда, в соответствии с уравнениями (1) и (3),

Упражнения

1. Два одинаковых плоских конденсатора емкостью С каждый соединены параллельно и заряжены до напряжения U. Пластины одного из конденсаторов медленно разводят на большое расстояние. Какая при этом совершается работа?

2. Два конденсатора, каждый емкостью С, заряжены до напряжения U и соединены через резистор (рис. 4). Пластины одного из конденсаторов быстро раздвигают, так что расстояние между ними увеличивается вдвое, а заряд на пластинах за время их перемещения не изменяется. Какое количество теплоты выделится в резисторе?

Рис. 4

3. Плоский воздушный конденсатор присоединен к батарее с ЭДС . Площадь пластин S, расстояние между ними d. В конденсаторе находится металлическая плита толщиной d1, параллельная пластинам (рис. 5). Какую минимальную работу нужно затратить, чтобы удалить плиту из конденсатора?

Рис. 5

4. Большая тонкая проводящая пластина площадью S и толщиной d помещена в однородное электрическое поле с напряженностью , перпендикулярной поверхности пластины. Какое количество теплоты выделится в пластине, если поле мгновенно выключить? Какую минимальную работу надо совершить, чтобы удалить пластину из поля?

5. Одна из пластин плоского конденсатора подвешена на пружине (рис. 6). Площадь каждой пластины S, расстояние между ними в начальный момент d. Конденсатор на короткое время подключили к батарее, и он зарядился до напряжения U. Какой должна быть минимальная жесткость пружины, чтобы не произошло касание пластин? Смещением пластин за время зарядки пренебречь.

Рис. 6

Ответы.

1.  (весь заряд оказывается на конденсаторе, пластины которого не раздвигали).

2.  (в первый момент после разведения пластин замкнутыми друг на друга оказываются конденсатор емкостью С с напряжением U и конденсатор емкостью С/2 с напряжением 2U).

3.  (минимальная работа по удалению плиты равна разности изменения энергии конденсатора и работы батареи).

4.  (сразу после выключения внешнего поля в пластине есть поле поляризационных зарядов, напряженность которого равна Е\ удаление пластины из поля эквивалентно созданию поля с напряженностью Е в объеме пластины).

5.  (результат получается из закона сохранения энергии  и из условия равновесия пластины ).

Источник: https://alsak.ru/item/281-7.html

Законы Ома, Кирхгофа и закон сохранения энергии

Закон сохранения энергии для цепей постоянного тока

Под напряжением на некотором участке электрической цепи понимают разность потенциалов между крайними точками этого участка. Пусть имеется некоторый участок цепи (рис. 1.7), крайние точки которого обозначены буквами а и b.

Пусть ток I течет от точки а к точке b (от более высокого потенциала к более низкому).

Следовательно, потенциал точки а(φa) выше потенциала точки b(φb) на значение, равное произведению тока I на сопротивление R: φa=φb+IR.

Рис. 1.7

В соответствии с определением напряжение между точками а и b Uab=φa-φb.

Следовательно, Uab=IR,т.е. напряжение на сопротивлении равно произведению тока, протекающего по сопротивлению, на значение этого сопротивления.

https://www.youtube.com/watch?v=bR_cJDOMjxo

В электротехнике разность потенциалов на концах сопротивления принято называть либо напряжением на сопротивлении, либо падением напряжения.

Положительное направление падения напряжения на каком-либо участке (направление отсчета этого напряжения), указываемое на рисунках стрелкой, совпадает с положительным направлением отсчета тока, протекающего по данному сопротивлению.

Рассмотрим вопрос о напряжении на участке цепи, содержащей кроме сопротивления R, ЭДС Е (рис. 1.8, а, б). Найдем разность потенциалов (напряжение) между точками а и с для этих участков. По определению Uaс=φa-φс. Выразим потенциал точки а через потенциал точки с.

При перемещении от точки с к точке b встречно направлению ЭДС Е (см. рис. 1.8, а) потенциал точки b оказывается меньше, чем потенциал точки с, на значение ЭДС Е: φb=φc-E. При перемещении от точки с к точке b согласно направлению ЭДС Е (рис.1.

8, б) потенциал точки b больше, чем потенциал точки с,на значение ЭДС: φb=φc+E.

Так как ток течет от более высокого потенциала к более низкому, в обеих схемах потенциал точки а выше потенциала точки b на величину падения напряжения на сопротивлении Rа=φb+IR.

а) б)

Рис. 1.8

Таким образом, для рис. 1.8, а:

(1.1)

для рис. 1.8, б:

(1.2)

Положительное направление напряжения Uaс показывают стрелкой от а к с. Согласно определению, Uса=φс-φа, поэтому Uас=-Uса, т.е. изменение чередования индексов равносильно изменению знака этого напряжения. Следовательно, напряжение может быть как положительной величиной, так и отрицательной.

Закон Ома для участка цепи, не содержащего ЭДС Е, устанавливает связь между током и напряжением на этом участке. Применительно к рис.1.7

или . (1.3)

Закон Ома для участка цепи, содержащего источник ЭДС Е, позволяет найти ток этого участка по известной разности потенциалов (φa-φс) на концах этого участка цепи и имеющейся на участке ЭДС Е.

Так, из уравнения (1.1) для схемы рис.1.8, а следует

.

Из уравнения (1.2) для схемы рис.1.8, б следует:

.

В общем случае

. (1.4)

Все электрические цепи подчиняются первому и второму законам Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа можно сформулировать двояко:

1) алгебраическая сумма токов, подтекающих к какому-либо узлу схемы, равна нулю;

2) сумма подтекающих клюбому узлу токов равна сумме утекающихот этого узла токов.

Рис. 1.9

Применительно к рис.1.

9, если подтекающие токи к узлу считать положительными, а вытекающие — отрицательными, то согласно первой формулировке I1-I2-I3-I4=0; согласно второй I1=I2+I3+I4.

Физически первый закон Кирхгофа означает, что движение электрических зарядов в цепи происходит так, что ни в одном из узлов они не скапливаются. В противном случае изменялись бы потенциалы узлов и токи в ветвях.

Второй закон Кирхгофа также можно сформулироватьдвояко:

1) алгебраическая сумма падений напряженияв любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в данный контур:

, (1.5)

где m — число резистивных элементов; п – число ЭДС в контуре (в каждую из сумм соответствующие слагаемые входят со знаком плюс, если они совпадают с направлением обхода контура, и со знаком минус, если они не совпадают с ним);

2) алгебраическая сумма напряжений вдоль любого замкнутого контура

,(1.6)

где т — число элементов контура.

Второй закон Кирхгофа является следствием равенства нулю циркуляции вектора напряженности электрического поля вдоль любого замкнутого контура в безвихревом поле.

Законы Кирхгофа справедливы длялинейных и нелинейных цепей при любом характере изменения во времени токов и напряжений.

При протекании токов по сопротивлениям в них выделяется теплота. На основании закона сохранения энергииколичество теплоты, выделяющееся в единицу времени в сопротивлениях цепи, должно равняться энергии, доставляемой за то же время источником питания.

Если направление тока I, протекающего через источник ЭДС E, совпадает с направлением ЭДС, то источник ЭДС доставляет в цепь энергию в единицу времени, равную EI, и произведение ЕI входит в уравнение энергетического баланса с положительным знаком.

Если же направление тока I встречно ЭДС Е, то источник ЭДС не поставляет энергию, а потребляет ее (например, заряжается аккумулятор), и произведение ЕI войдет в уравнение энергетического баланса с отрицательным знаком.

Уравнение энергетического баланса при питании только от источников ЭДС имеет вид

. (1.7)

В случае питания электрической цепи не только источниками ЭДС, но и источниками тока, при составлении уравнения энергетического баланса необходимо учесть и энергию, доставляемую источниками тока.

Предположим, что к узлу а схемы подтекает ток J от источника тока, а от узла b этот ток утекает. Доставляемая источником тока мощность равна UаbJ.

Общий вид уравнения энергетического баланса:

. (1.8)

1.4. Эквивалентные преобразования пассивных участков

электрической цепи

При наличии в цепи только одного источника энергии в большинстве случаев цепь можно рассматривать как смешанное соединение источника и приемников энергии, т.е. нескольких резисторов, соединенных между собой параллельно, включенных последовательно с другими сопротивлениями (рис.1.10).

Расчет смешанного соединения целесообразно начинать с определения эквивалентной проводимости параллельного соединения, а на основании этой проводимости легко найти обратную величину — эквивалентное сопротивление разветвления R. Для схемы, приведенной на рис. 1.

10, а:

После замены разветвления эквивалентным сопротивлением (рис. 1.10, б) цепь можно рассчитывать как последовательное соединение; ток в неразветвленной части цепи:

а) б)

Рис. 1.10

В ряде случаев расчет сложной схемы, состоящей из линейных сопротивлений, существенно упрощается, если в этой схеме заменить группу сопротивлений другой эквивалентной группой, в которой сопротивления соединены иначе, чем в замещаемой группе. Взаимная эквивалентность двух групп сопротивлений выразится в том, что после замены электрические условия во всей остальной схеме не изменятся.

Рассмотрим преобразование звезды в треугольник и треугольника в звезду. Соединение трех сопротивлений, имеющих вид трехлучевой звезды, называют звездой (рис. 1.11), а соединение трех сопротивлений так, что они образуют собой стороны треугольника, — треугольником (рис.1.12).

Обозначим токи, подтекающие к узлам 1, 2, 3, через I1, I2 и I3. Выведем формулы преобразования.

С этой целью выразим токи I1, I2 и I3 в звезде и в треугольнике через разности потенциалов точек и соответствующие проводимости.

Рис. 1.11

Для звезды:

, (1.9)

; ; , (1.10)

гдеφо,φ1,φ2,φ3 —потенциалы в точках 0, 1, 2, 3 соответственно. Подставим (1.10) в (1.9) и найдем φ0:

.

Откуда

. (1.11)

Подставим jо в выражение (1.10) для тока I1:

. (1.12)

С другой стороны, для треугольника в соответствии с обозначениями на рис. 1.12

. (1.13)

Рис.1.12

Так как ток I1 в схеме рис. 1.11 равен току I1 в схеме рис. 1.12 при любых значениях потенциалов j1, j2 и j3, то коэффициент при j2 в правой части формулы (1.13) равен коэффициенту при j2 в правой части уравнения (1.12), а коэффициент при j3 в правой части формулы (1.13) равен коэффициенту при j3 в правой части уравнения (1.12). Следовательно,

(1.14)

. (1.15)

Аналогично

. (1.16)

Формулы (1.14), (1.15) дают возможность определить проводимости сторон треугольника через проводимости лучей звезды.

Из уравнений (1.14)—(1.16) выразим сопротивления лучей звезды ; ; через сопротивления сторон треугольника:

; ; .

С этой целью запишем дроби, обратные уравнениям (1.14)-(1.16):

; (1.17)

, (1.18)

где

; (1.19)

. (1.20)

Подставив формулы (1.17), (1.19) и (1.20) в выражение (1.18), получим

.

Следовательно,

.

Подставив m в выражение (1.19), найдем

. (1.21)

Аналогично:

; (1.22)

. (1.23)

Структура формул (1.21)—(1.23) аналогична структуре формул (1.14) -(1.16).



Источник: https://infopedia.su/1x381e.html

Booksm
Добавить комментарий