Закон смещения Вина

Энергетическая светимость. Закон Стефана-Больцмана. Закон смещения Вина.Фотоэлектрический эффект. Опыты Герца и Столєтова. Законы внешнего фотоэффекту. Уравнение Эйнштейна

Закон смещения Вина

§ 4 Энергетическая светимость. Закон Стефана-Больцмана.

Закон смещения Вина

RЭ (интегральная энергетическая светимость) — энергетическая светимость определяет количество энергии, излучаемой с единичной поверхности за единицу времени во всем интервале частот от 0 до ∞ при данной температуре Т.

 — связь энергетической светимости и лу­чеиспускательной способности

[RЭ ] =Дж/(м2·с) = Вт/м2

Закон Й. Стефана (австрийский ученый) и Л. Больцмана (немецкий ученый)

где

σ = 5.67·10-8 Вт/(м2· К4) — постоянная Стефа­на-Больцмана.

Энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени термодинамической температуры.

Закон Стефана-Больцмана, определяя зависимость RЭ от температуры, не даёт ответа относительно спектрального состава излучения абсолютно черного тела.

Из экспериментальных кривых зависимости rλ,Т от λ при различных Т следует, что распределение энергии в спектре абсолютно черного тела являет­ся неравномерным. Все кривые имеют максимум, который с увеличением Т смещается в сторону коротких длин волн.

Площадь, ограниченная кривой за­висимости rλ,Т от λ, равна RЭ (это следует из геометрического смысла интегра­ла) и пропорциональна Т4.

Закон смещения Вина (1864 — 1928): Длина, волны (λmax), на которую приходится максимум лучеиспускательной способности а.ч.т. при данной тем­пературе, обратно пропорциональна температуре Т.

b = 2,9· 10-3 м·К — постоянная Вина.

Смещение Вина происходит потому, что с ростом температуры максимум излучательной способности смещается в сторону коротких длин волн.

§ 5 Формула Рэлея-Джинса, формула Вина и ультрафиолетовая катастрофа

            Закон Стефана-Больцмана позволяет определять энергетическую свети­мость RЭ а.ч.т. по его температуре.

Закон смещения Вина связывает темпера­туру тела с длиной волны, на которую приходятся максимальная лучеиспуска­тельная способность.

Но ни тот, ни другой закон не решают основной задачи о том, как велика лучеиспускательная, способность, приходящаяся на каждую λ в спектре а.ч.т. при температуре Т. Для этого надо установить функциональ­ную зависимость rλ,Т от λ и Т.

Основываясь на представлении о непрерывном характере испускания электромагнитных волн в законе равномерного распределения энергий по сте­пеням свободы, были получены две формулы для лучеиспускательной способ­ности а.ч.т.:

где а, b = const.

k = 1,38·10-23 Дж/K — постоянная Больцмана.

Опытная проверка показала, что для данной температуры формула Вина верна для коротких волн и даёт резкие расхождения с опытом в области длин­ных волн. Формула Рэлея-Джинса оказалась верна для длинных волн и не применима для коротких.

Исследование теплового излучения с помощью формулы Рэлея-Джинса показало, что в рамках классической физики нельзя решить вопрос о функции, характеризующей излучательную способность а.ч.т. Эта неудачная попытка объяснения законов излучения а.ч.т. с помощью аппарата классической физи­ки получила название “ультрафиолетовой катастрофы”.

Если попытаться вычислить RЭ с помощью формулы Рэлея-Джинса, то

  • “ультрафиолетовая катастрофа”

§6 Квантовая гипотеза и формула Планка.

В 1900 году М. Планк (немецкий ученый) выдвинул гипотезу, согласно которой испускание и поглощение энергии происходит не непрерывно, а оп­ределенными малыми порциями — квантами, причем энергия кванта пропор­циональна частоте колебаний (формула Планка):

h = 6,625·10-34 Дж·с — постоянная Планка или

где

Так как излучение происходит порциями, то энергия осциллятора (колеб­лющегося атома, электрона) Е принимает лишь значения кратные целому чис­лу элементарных порций энергии, то есть только дискретные значения

Е = n Ео = n hν.

ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ

Впервые влияние света на ход электрических процессов было изучено Герцем в 1887 году. Он проводил опыты с электрическим разрядником и об­наружил, что при облучении ультрафиолетовым излучением разряд происхо­дит при значительно меньшем напряжении.

В 1889-1895 гг. А.Г. Столетов изучал воздействие света на металлы, ис­пользуя следующую схему.

Два электрода: катод К из исследуемого металла и анод А (в схеме Столетова – металлическая сетка,  пропускающая свет) в ваку­умной трубке подключены к батарее так, что с помощью сопротивления R можно изменять значение и знак подаваемого на них напряжения.

При облу­чении цинкового катода в цепи протекал ток, регистрируемый миллиамперметром. Облучая катод светом различных длин волн, Столетов установил сле­дующие основные закономерности:

  • Наиболее сильное действие оказывает ультрафиолетовое излучение;
  • Под действием света из катода вырываются отрицательные заряды;
  • Сила тока, возникающего под действием света, прямо пропорциональна его интенсивности.

Ленард и Томсон в 1898 году измерили удельный заряд (е/m), вырывае­мых частиц, и  оказалось, что он равняется удельному заряду электрона, следо­вательно, из катода вырываются электроны.

§ 2 Внешний фотоэффект. Три закона внешнего фотоэффекта

Внешним фотоэффектом называется испускание электронов веществом под действием света. Электроны, вылетающие из вещества при внешнем фо­тоэффекте, называются фотоэлектронами, а образуемый ими ток называется фототоком.

 

С помощью схемы Столетова  была получена следующая зависимость фото­тока от

приложенного напряжения при неизменном световом потоке Ф (то есть была получена ВАХ – вольт- амперная характеристика):

 При некотором напряжении UН фототок достигает насыщения Iн – все электроны, испускаемые катодом, достигают анода, следовательно, сила тока насыщения Iн определяется количеством электронов, испускаемых катодом в единицу времени под действием света.

Число высвобождаемых фотоэлектро­нов пропорционально числу падающих на поверхность катода квантов света. А количество квантов света определяется световым потоком Ф, падающим на катод.

Число фотонов N, падающих за время t на поверхность определяется по формуле:   

где W – энергия излучения, получаемая поверхностью за время Δt,

— энергия фотона,

Фе – световой поток (мощность излучения).

1-й закон внешнего фотоэффекта (закон Столетова):

При фиксированной частоте падающего света фототок насыщения пропорционален падающему световому потоку:

Iнас ~ Ф, ν = const

Uз — задерживающее напряжение — напряжение, при котором ни одному электрону не удается долететь до анода. Следовательно, закон сохранения энергии в этом случае можно записать: энергия вылетающих электронов равна задерживающей энергии электрического поля

следовательно, можно найти максимальную скорость вылетающих фотоэлектронов Vmax

2- й закон фотоэффекта: максимальная начальная скорость Vmax фото­электронов не зависит от интенсивности падающего света (от Ф), а определя­ется только его частотой ν

3- й закон фотоэффекта: для каждого вещества существует «красная граница'' фотоэффекта, то есть минимальная частота νкp, зависящая от химической природы вещества и состояния его поверхности, при которой ещё возможен внешний фотоэффект.

Второй и третий законы фотоэффекта нельзя объяснить с помощью вол­новой природы света (или классической электромагнитной теории света).

Со­гласно этой теории вырывание электронов проводимости из металла является результатом их «раскачивания» электромагнитным полем световой волны.

При увеличении интенсивности света (Ф) должна увеличиваться энергия, переда­ваемая электроном металла, следовательно, должна увеличиваться Vmax, а это противоречат 2-му закону фотоэффекта.

Так как по волновой теории энергия, передаваемая электромагнитным полем пропорциональна интенсивности света (Ф), то свет любой; частоты, но достаточно большой интенсивности должен был бы вырывать электроны из металла, то есть красной границы фотоэффекта не существовало бы, что про­тиворечит 3-му закону фотоэффекта. Внешний фотоэффект является безынерционным. А волновая теория не может объяснить его безынерционность.

§ 3 Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта.

Работа выхода

В 1905 году А. Эйнштейн объяснил фотоэффект на основании квантовых представлений. Согласно Эйнштейну, свет не только испускается квантами в соответствии с гипотезой Планка, но распространяется в пространстве и поглощается веществом отдельными порциями — квантами с энергией E0 = hv. Кванты электромагнитного излучения называются фотонами.

Уравнение Эйнштейна (закон сохранения энергии для внешнего фото­эффекта):

Энергия падающего фотона hv расходуется на вырывание электрона из металла, то есть на работу выхода Авых, и на сообщение вылетевшему фотоэлектрону кинетической энергии .

Наименьшая энергия, которую необходимо сообщить электрону для того, чтобы удалить его из твердого тела в вакуум называется работой выхода.

Так как энергия Ферм к ЕF зависит от температуры и ЕF, также изменяется при изменении температуры, то, следовательно, Авых зависит от температуры.

Кроме того, работа выхода очень чувствительна к чистоте поверхности. Нанеся на поверхность пленку (Са, Sг, Ва) на W Авых уменьшается с 4,5 эВ для чистого W до 1,5 ÷ 2 эВ для примесного W.

Уравнение Эйнштейна позволяет объяснить вcе три закона внешнего фо­тоэффекта,        

1-й закон: каждый квант поглощается только одним электроном. Поэтому число вырванных фотоэлектронов должно быть пропорционально интен­сивности (Ф) света

2-й закон: Vmax ~ ν и т.к. Авых не зависит от Ф, то и Vmax не зависит от Ф

3-й закон: При уменьшении ν уменьшается Vmax и при ν = ν0  Vmax = 0, следовательно, hν0 = Авых, следовательно,  т.е. существует минимальная частота, начиная с которой возможен внешний фотоэффект.

Источник: http://bog5.in.ua/lection/quantum_optics_lect/lect2_quant.html

Вина закон смещения — Автоматизированная Интернет-система формирования баз данных репродуктивных и формализованных описаний естественнонаучных и научно-технических эффектов

Закон смещения Вина

Межотраслевая Интернет-система поиска и синтеза физических принципов действия преобразователей энергии

Общий каталог эффектов

  • Естественнонаучные эффекты (ЕНЭ)

Вина закон смещения

Зависимость длины волны максимума энергии в спектре равновесного излучения от температуры

Анимация

Описание

Максимум графика спектральной плотности энергетической светимостиφ(λ,Т) при повышении температуры смещается в область более коротких волн (рис.1).

Чтобы понять физический смысл функции φ(λ,Т) необходимо знать, что её интегрирование по всем длинам волн в излучении тела даёт энергетическую светимость тела.

Для нахождения закона, по которому происходит смещение максимума φ(λ,Т) в зависимости от температуры, надо исследовать функцию φ(λ,Т) на максимум. Определив положение этого максимума, мы получим закон его перемещения с изменением температуры.

Смещение в область более коротких длин волн с повышением температуры

Рис.1

Для исследования функции на максимум надо найти ее производную и приравнять последнюю к нулю:

Подставив сюда φ(λ,Т) и взяв производную, получим три корня алгебраического уравнения относительно переменной λ. Два из них (λ = 0 и λ = ∞) соответствуют нулевым минимумам функции φ(λ,Т). Для третьего корня получается приближенное выражение:

Введем обозначение:

Тогда положение максимума функции φ(λ,Т) будет определятся простой формулой:

Это и есть закон смещения Вина.
 

Он назван так в честь Вильгельма Вина, теоретически получившим в 1894 г. это соотношение. Постоянная в законе смещения Вина имеет следующее численное значение:

.
 

Ключевые слова

Разделы наук

Применение эффекта

Пользуясь законом смещения Вина, можно измерять высокие температуры тел на расстоянии, например, расплавленных металлов, космических тел.

Также факт смещения максимума излучения необходимо учитывать при разработки различного вида технических устройств (например, ИК-установок, лазеров). То есть, необходимо правильно подбирать матрериалы, использующиеся при изготовлении приборов, в соответсвии с требуемыми характеристиками.  

C использованием теории Вина удалось спроетировать высокочувствительный болометр, с помощью которого точность измерений энергии в спектре была доведена до 0,01 %.

Болометр — прибор для измерений энергии излучения, основанный на изменении электрического сопротивления термочувствительного элемента при нагревании его вследствие поглощения измеряемого потока излучения.

Болометр служит для измерения мощности интегрального (суммарного) излучения, а вместе со спектрометром — для измерения спектрального состава излучения. Термочувствительный элемент обычно представляет собой тонкий (0,1—1 мкм) слой металла (никель, золото, висмут и др.

), поверхность которого покрывается слоем черни, имеющим большой коэффициент поглощения в широкой области длин волн, или полупроводник с большим температурным коэффициентом сопротивления (0,04—0,06°С и более), или же диэлектрик.

Реализации эффекта

Изменения длины волны очевидны в электронагревательном элементе по мере возрастания температуры. Когда элемент становится достаточно горячим, он светится тусклым красным свечением (длинные волны).

Когда температура повышается, он меняет свечение на ярко-красное, затем оранжевое, далее желтое и, наконец, белое, поскольку длина волны становится все короче и короче. Белый цвет — это смесь многих длин волн.

Здесь присутствуют короткие волны в соответствии с законом Вина (длины волн по мере возрастания температуры становятся короче) и все волны, включая и менее длинные, которые обладают достаточной энергией, чтобы присутствовать в видимой компоненте в согласии с законом Стефана — Больцмана (общее количество излучаемой энергии возрастает с увеличением температуры).

При проектировании лечебных установок с использованием ИК-преобразователей необходимо учитывать еще один фактор. В соответствии с законом смещения Вина любое тело, нагретое выше температуры абсолютного нуля излучает энергию. Закон смещения Вина наглядно объясняет сдвиг в сторону коротких волн максимума (видимого или невидимого) излучения тел по мере их нагрева.

В связи с этим, при использовании селективного отражателя мы можем добиться нагревания отражателя той частью спектра, которая нам не нужна.

Это, в свою очередь, приведет в тому, что теперь уже сам отражатель начнет испускать излучение в неком диапазоне ИК, который будет определяться типом металла, используемого в качестве рефлектора и его температурой – чем выше температура, тем короче максимум излучения собственно отражателя.

Как уже указывалось, общий поток излучения у металлов пропорционален пятой степени температуры, а длина волны максимального излучения несколько сдвинута в сторону коротких волн: lМАКС=2660/Т (мкм)

Таким образом, при температуре излучателя 300К (27oС) мы будем иметь максимум излучения в районе 8,9 мкм, а при температуре 333К (60oС) – 8 мкм, что, в общем, вполне допустимо, так как излучение человека находится в зоне 9,36 нм. Однако, нагрев металла до 373(100oС) уже дает максимум длины волны излучения около 7 мкм.

Излучательная способность рефлектора в этом случае возрастет в (300/273)5=1,6 раз; для 333К – 2,7 раза; для 373К в 4,8 раз. При этом спектр излучения с поверхности рефлектора будет смещен в коротковолновую область.

Этот факт необходимо учитывать при проектировании эмиттеров предназначенных для применения в медицинской практике, так как получаемое в результате смещения излучение имеет квантовую энергию выше, чем излучение организма человека.

С целью уменьшения искажения диапазона излучения с поверхности первичного источника необходимо при проектировании предусматривать систему обдува рефлектора для его охлаждения.

Кроме того, отражательную поверхность рефлектора необходимо покрыть керамическим материалом того же состава, который используется в качестве преобразователя. Это позволит избавиться от присутствия не желательной коротковолновой части спектра, так как его поглощение и преобразование спектра в необходимую нам длину волны будет идти и на поверхности рефлектора.

Литература

1. Большая Советская энциклопедия / Гл. ред. А.М. Прохоров. Ред. кол.: Н.К.Байбаков, В.Х. Василенко, Л.М. Володарский, В.В. Вольский и др.– М.: Советская энциклопедия. Том 4. Третье издание. Изд. «Советская энциклопедия». 1971 г. 599 с.

2. Д.В.Сивухин, Общий курс физики, том 4, оптика.

Источник: http://www.heuristic.su/effects/catalog/est/byId/description/416/index.html

Закон смещения Вина

Закон смещения Вина

Напомню, что испускательной способность абсолютно черного тела определяется универсальной функцией Кирхгофа.

При теоретических исследованиях для характеристики спектрального состава равновесного излучения удобнее использовать ее как функцию частоты: ${\varepsilon }_{u ,T\ }={\varepsilon }_{u ,T\ }(u ,T)$.

В экспериментальных работах чаще ее представляют, как функцию длины волны: ${\varepsilon }_{\lambda ,T\ }={\varepsilon }_{\lambda ,T\ }(\lambda ,T)$. Связь между этими функциями реализуется следующим образом.

Так, если по известной функции ${\varepsilon }_{u ,T\ }(u ,T)$ необходимо найти ${\varepsilon }_{\lambda ,T\ }$, надо провести следующую последовательность действий: в функции ${\varepsilon }_{u ,T\ }$частота $u $ заменяется на $\frac{2\pi c}{\lambda }$ и получившееся выражение умножается на $\frac{2\pi c}{{\lambda }2}$, то есть:

В 1893 г. Вин показал, что функция спектрального распределения должна иметь следующий вид:

где $F\left(\frac{u }{T}\right)$- неизвестная функция отношения частоты к термодинамической температуре. Для ${\varepsilon }_{\lambda ,T\ }$ согласно формуле (1) получается уравнение:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

где $\varphi \left(\lambda T\right)$ — неизвестная функция от произведения длины волны на температуру. Найдем длину волны (${\lambda }_m$), которой соответствует максимум функции ${\varepsilon }_{\lambda ,T\ }$. Для этого продифференцируем уравнение (3) по длине волны, получим:

Выражение $\lambda T{\varphi }'\left(\lambda T\right)-5\varphi \left(\lambda T\right)$ есть некоторая функция $\sigma (\lambda T)$. Понятно, что при $\lambda ={\lambda }_m$ $\frac{d{\varepsilon }_{\lambda ,T\ }}{d\lambda }=0$. Следовательно, запишем, что:

Так как длинна волны не может быть бесконечно большой, следовательно, равна нуль при $\lambda ={\lambda }_m$ функция $\sigma \left({\lambda }_mT\right)=0.$ Решение последнего уравнения относительно произведения ${\lambda }_mT\ $ дает некоторое постоянное число, которое обозначим буквой b. Так, получаем равенство:

Закон смещения Вина

\[{\lambda }_mT=b\left(8\right).\]

Уравнение (8) носит название закона смещения Вина.

Значение постоянной b, полученное в эксперименте равно: $b=2.9\cdot {10}{-3}м\cdot K$.

Закон смещения объясняет, причину преобладания в спектре тел длинных волн при понижении их температуры.

И так увеличением температуры абсолютно черного тела максимум плотности излучения в его спектре смещается на более короткие длины волн (или на большие частоты) (рис.1).

Рис. 1

Площадь, которая ограничена кривой функции ${\varepsilon }_{u ,T~}(u )$ и осью абсцисс, пропорциональна температуре в четвертой степени.

Пример 1

Задание: Максимум спектральной плотности энергетической светимости звезды приходится на длину волны ${\lambda }_m=580\ нм.$ Считая, что звезда излучает как абсолютно черное тело, определить температуру поверхности звезды.

Решение:

В качестве основы для решения задачи используем закон смещения Вина:

\[{\lambda }_mT=b\ \left(1.1\right).\]

Выразим из него искомую температуру, получим:

\[T=\frac{b}{{\lambda }_m}\ \left(1.2\right).\]

Переведем длину волны в СИ, получим: ${\lambda }_m=580\ нм=580\cdot {10}{-9}м.$ Помним, что постоянная Вина $b=2.9\cdot {10}{-3}м\cdot K.$ Подставим численные значения величин, проведем расчет:

\[T=\frac{2.9\cdot {10}{-3}}{580\cdot {10}{-9}}=5\cdot {10}3\ \left(К\right).\]

Ответ: Температура поверхности этой звезды равна 5 кК.

Пример 2

Задание: Энергетическая светимость абсолютно черного тела равна${\varepsilon }_T=3\cdot {10}4\frac{Вт}{м2}$. Какова длина волны максимума испускательной способности данного тела?

Решение:

В качестве основы для решения задачи используем закон Стефана — Больцмана и закон смещения Вина.

Первый из них:

\[{\varepsilon }_T= \sigma T4\left(2.1\right),\]

где $\sigma=5,67{\cdot 10}{-8}(Вт\cdot м{-2}\cdot К{-4})$- постоянная Стефана — Больцмана.

Второй из используемых законов:

\[{\lambda }_mT=b\ \left(2.2\right).\]

Выразим температуру тела из (2.1), получим:

\[T=\sqrt[4]{\frac{{\varepsilon }_T}{\sigma}}\ \left(2.3\right).\]

Из (2.2) выразим длину волны, получим:

\[{\lambda }_m=\frac{b}{T}\ \left(2.4\right).\]

Подставляя в (2.4), температуру, полученную в (2.3), получим выражение искомой длины волны:

\[{\lambda }_m=b\sqrt[4]{\frac{\sigma}{{\varepsilon }_T}}\]

Постоянная Вина равна $b=2.9\cdot {10}{-3}м\cdot K.$ Подставим численные значения величин, проведем расчет:

\[{\lambda }_m=2.9\cdot {10}{-3}\sqrt[4]{\frac{5,67{\cdot 10}{-8}}{3\cdot {10}4}}=3,4{\cdot 10}{-6}(м)\]

Ответ: Длина волны 3,4 мкм.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/termodinamika/zakon_smescheniya_vina/

Вопрос 4. Закон Стефана-Больцмана. Законы Вина

Закон смещения Вина

Физики C. Ленгли, Э. Прингсгейм, О. Люммер, Ф. Курлбаум и др., исследуя экспериментально распределение энергии излучения АЧТ по спектру, определили излучательные способности абсолютно черного тела R(λ,T) и R(ν,T). Результаты таких экспериментов при различных значениях температуры приведены на рис. 16.4.

Рис. 16.4

В результате экспериментальных и теоретических исследований, выполненных Й. Стефаном и Л. Больцманом был получен важный закон теплового излучения абсолютно черного тела. Этот закон утверждает, что энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его абсолютной температуры, то есть

. (16.10)

По современным измерениям постоянная Стефана-Больцмана

σ = 5,6686·10-8 .

Для реальных тел закон Стефана-Больцмана выполняется лишь качественно, то есть с ростом температуры энергетические светимости всех тел увеличиваются. Однако, для реальных тел зависимость энергетической светимости от температуры уже не описывается простым соотношением (16.7), а имеет вид:

. (16.11)

Коэффициент А(T) в (16.11), всегда меньший единицы, можно назвать интегральной поглощательной способностью тела. Значения коэффициента А(T) известны для многих технически важных материалов. Так, в достаточно широком диапазоне температур для металлов А(T) = 0,1 ÷ 0,4, а для угля и окислов металлов А(T) = 0,5 ÷ 0,9.

Энергетическая светимость АЧТ, численно равная площади под соответствующими кривыми, сильно зависит от температуры. Максимум излучательной способности с увеличением температуры смещается в сторону коротких длин волн.

Закон Стефана-Больцмана не дает информации о спектральном составе излучения абсолютно черного тела.

В 1893 г. немецкий физик В.Вин теоретически рассмотрел термодинамический процесс сжатия излучения, заключенного в полости с идеально зеркальными стенками, и пришел к выводу, что испускательная способность абсолютно черного тела прямо пропорциональна кубу частоты и является функцией отношения ν/T:

, (16.12)

где α – постоянная величина, F — некоторая функция, конкретный вид которой термодинамическими методами установить невозможно.

Переходя в этой формуле Вина от частоты к длине волны, получим:

. (16.13)

Как видно, в выражение для излучательной способности температура входит лишь в виде произведения λT. Уже это обстоятельство позволило предсказать некоторые особенности функции . В частности, эта функция достигает максимума при определенной длине волны λm, которая при изменении температуры тела изменяется так, чтобы выполнялось условие: λmT = const.

Таким образом, В. Вин сформулировал закон теплового излучения, согласно которому длина волны λm, на которую приходится максимум излучательной способности абсолютно черного тела, обратно пропорциональна его абсолютной температуре. Этот закон можно записать в виде

, (16.14)

где — постоянная Вина.

Закон Вина называют законом смещения, подчеркивая тем самым, что при повышении температуры абсолютно черного тела положение максимума его излучательной способности смещается в область коротких длин волн. Результаты экспериментов, приведенные на рис. 16.4, подтверждают этот вывод не только качественно, но и количественно, строго в соответствии с формулой (16.14).

С ростом температуры любого тела длина волны, вблизи которой тело излучает больше всего энергии, также смещается в сторону коротких длин волн. Это смещение, однако, уже не описывается простой формулой (16.14), которую для излучения реальных тел можно использовать только в качестве оценочной, т.е. формула (16.14) остается в силе только при больших частотах и низких температурах.

Кроме закона смещения (16.14) Вин получил выражение для максимального значения излучательной способности АЧТ. Эту зависимость называют вторым законом Вина, согласно которому максимальное значение испускательной способности АЧТпрямо пропорционально абсолютной температуре в пятой степени:

, (16.15)

где . Однако, получить теоретическое выражение для универсальной функции Кирхгофа, хорошо описывающее экспериментальные результаты во всем диапазоне длин волн излучения тела, Вину не удалось.

Во всех разобранных выше случаях подход к изучению теплового излучения был термодинамическим. У.Рэлей и Д.Джинс впервые к этим явлениям применили методы классической статистической физики.

Согласно закону о равномерном распределении энергии равновесной системы по степеням свободы на каждую колебательную степень свободы осциллятора с собственной частотой ν приходится энергия, равная < > = kT, где k −постоянная Больцмана.

В соответствии с таким подходом У.Рэлей и Д.Джинс в 1905 г. получили выражение для универсальной функции Кирхгофа:

= kT. (16.16) Здесь − общее число степеней свободы системы, приходящихся на единицу объема полости.

Однако, как показал опыт, формула Рэлея – Джинса хорошо согласуясь с опытными данными только для малых частот (рис.16.5) и больших температур, не удовлетворяет закону смещения Вина, а также закону Стефана-Больцмана. Действительно, для абсолютно черного тела энергетическая светимость R(T), определяемая по формуле Рэлея−Джинса (16.16), оказывается равной бесконечности:

Рис. 16.5

.

Согласно закону Стефана-Больцмана (1.10) энергетическая светимость т.е. является конечной величиной. Поскольку вывод формулы (16.16) был безупречным в своей классической строгости и последовательности, решение проблемы описания теплового излучения в рамках классической физики оказалось невозможным в принципе.

Это обстоятельство получило в физике образное название «ультрафиолетовая катастрофа». Причина вышеуказанных трудностей, возникших при отыскании вида функции Кирхгофа, связана с одним из основных положений классической физики, согласно которому энергия любой системы может изменяться непрерывно, т.е.

может принимать любые сколь угодно близкие значения.

Вопрос 5. Формула Планка.

Выход из создавшейся ситуации нашел немецкий физик М. Планк.

В 1900 г. он впервые выдвинул гипотезу о дискретных значениях энергии осциллятора.

Согласно этой гипотезе энергия осциллятора с собственной частотой ν может принимать лишь определенные дискретные (квантованные) значения, отличающиеся на целое число элементарных порций − квантов энергии: εν = , где h= 6,625·10-34 Дж·спостоянная Планка (квант действия). Тогда полная энергия осциллятора будет равна целому числу квантов

, ( ). (16.17)

Согласно этой гипотезе Планк моделировал реальное твердое тело с помощью системы квантовых осцилляторов. Выполнив усреднение энергии осциллятора с помощью распределения Больцмана, Планк получил выражение для среднего значения энергии, приходящейся на одну колебательную степень свободы осциллятора:

. (16.18)

Подставив соотношение (16.18) в формулу Рэлея – Джинса (16.14), Планк получил формулу для излучательной способности АЧТ как функцию от частоты излучения:

. (16.19)

Эта формула как функция от длины волны излучения имеет вид:

, (16.20)

именно ее чаще всего используют в экспериментальных работах.

Из формулы Планка вытекают все законы теплового излучения тел.

В области малых частот, т.е. при условии, что квант энергии во много раз меньше средней энергии осциллятора (h , формула Планка совпадает с формулой Релея—Джинса. Для доказательства этого разложим функцию eh в ряд:

eh =1+ ) + ( ) +… (16.21)

и, ограничившись первыми двумя членами разложения, из (16.19) получаем формулу Релея—Джинса (16.14):

R( = .

В предельном случае больших частот ( >>1) единицей в знаменателе формулы (16.19) можно пренебречь, тогда получим формулу

, (16.22)

которая совпадает с выражением (16.12), т.е. с формулой Вина, причем, функция F(ν/Т) представляет собой выражение

,

которое действительно зависит от отношения частоты к температуре. График функции Вина показан на рис. 16.5. Функции Вина совпадает с формулой Планка только в области больших частот.

Интегральную излучательную способность АЧТ (закон Стефана—Больцмана) можно получить, проинтегрировав выражение (16.20) по длинам волн в интервале от 0 до :

. (16.23)

Произведем замену переменной. Обозначим , тогда подстановка и приводит выражение (16.21) к виду

, (16.24)

где . Так как , то

. (16.25)

Как видим, величина s (постоянная Стефана-Больцмана) выражается через постоянные величины c, h, k.

Анологично, исследуя функцию (16.22) по переменной ν на экстремум, можно получить значение постоянной Вина, которая выражается также через постоянные с, h и k, и выполнить проверку закона смещения Вина.

Таким образом, формула Планка не только хорошо согласуется с

экспериментальными данными, но и содержит в себе частные законы теплового излучения. Следовательно, формула Планка является полным решением основной задачи теплового излучения, поставленной Кирхгофом. Ее решение стало возможным лишь благодаря революционной квантовой гипотезе Планка.

Дата добавления: 2014-12-09; просмотров: 6763; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

ПОСМОТРЕТЬ ЁЩЕ:

Источник: https://helpiks.org/1-47596.html

Booksm
Добавить комментарий