Закон распределения молекул по скоростям

Закон распределения молекул по скоростям

Закон распределения молекул по скоростям

Закон распределения молекул по скоростям описывает распределение частиц макроскопической системы при условии, что эта система находится в состоянии термодинамического равновесия, распределение является стационарным и внешние силы на систему не действуют. Данное распределение выполняется как для газов, так и жидкостей, если в них можно использовать законы классической механики.

Определить, каким образом распределены молекулы по скоростям, — это значит ответить на вопрос: «сколько молекул имеет ту или иную скорость при заданной температуре в состоянии равновесия?» Для разъяснения вопроса введем понятие: «пространство скоростей» (рис.1). В таком пространстве на декартовых осях отложены не координаты, а проекции скоростей.

Рис. 1

В таком случае поставленный вопрос изменится на вопрос о том, как распределены молекулы в пространстве скоростей. Понятно, что молекулы распределены неравномерно.

Если в пространстве скоростей выделить параллелепипед объема $dw=dv_xdv_ydv_z$, тогда количество молекул, которые попадут в него $dN_v.$ Предположим, что N- количество молекул газа, $f(v)$- некоторая функция скорости. Тогда

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Распределение Максвелла

Как было отмечено, газ находится в состоянии равновесия, все направления движения частиц равноправны, следовательно, распределение молекул в пространстве скоростей можно считать сферически симметричным (рис.2).

Рис. 2

Найдем число молекул в шаровом слое $dv$:

Разделим (2) на число частиц (N) и найдем вероятность$\ (dW_v)$ того, что модуль скорости молекулы находится в пределах от $v\ до\ v+dv$:

где $F\left(v\right)$- функция распределения вероятности значения $v.\ $Эту функцию теоретически получил Д. Максвелл.

Таким образом, распределение молекул по скоростям (вернее их модулям) запишем как:

\[dN_v=N4\pi {\left(\frac{m_0}{2\pi kT}\right)}{\frac{3}{2}}exp\left(-\frac{m_0v2}{2kT}\right)v2dv\ \left(5\right),\]

при этом $v=\sqrt{{v_x}2+{v_y}2+{v_z}2}$, $m_0$- масса молекулы, k — постоянная Больцмана.

Можно записать распределение Максвелла по проекциям скоростей:

\[dN=Nf\left(v_x\right)f\left(v_y\right)f\left(v_z\right)dv_xdv_ydv_{z\ }\left(6\right),\]

при этом

\[f\left(v_i\right)={\left(\frac{m_0}{2\pi kT}\right)}{\frac{1}{2}}exp\left(-\frac{m_0{v_i}2}{2kT}\right)\ \left(i=x,y,z\right)\left(7\right),\]

где $v_x,v_y,v_{z\ }$ — проекции скорости молекулы на оси координат.

Еще один из вариантов написания распределения Максвелла по модулям скоростей представлен в виде:

\[dN=N\frac{4}{\sqrt{\pi }{v_{ver}}3}{exp \left(-{\left[\frac{v}{v_{ver}}\right]}2v2\right)\ }dv\left(8\right),\]

где $v_{ver}$ — вероятнейшая скорость молекулы.

Рис. 3

На рисунке 3 изображена кривая закона распределения молекул по скоростям. Доля молекул газа, скорости которых лежат в интервале от $v\ до\ v+dv,$ пропорциональна заштрихованной площади dS под кривой.

Поскольку скорости всех молекул лежат в интервале от $0\ до+\infty $, то выполняется равенство:

\[\intolimits{\infty }_0{f\left(v\right)dv}=1\ \left(9\right).\]

Это так называемое условие нормировки функции распределения.

Таким образом, распределение Максвелла зависит от массы молекулы газа и его температуры. Давление и объем в распределение не входят.

Пример 1

Задание: Используя распределение Максвелла, найдите наиболее вероятную скорость молекул газа в равновесном состоянии газа при температуре T.

Решение:

За основу возьмем распределение молекул по модулям скоростей:

\[dN_v=N4\pi {\left(\frac{m_0}{2\pi kT}\right)}{\frac{3}{2}}exp\left(-\frac{m_0v2}{2kT}\right)v2dv\ \left(1.1\right).\]

Наиболее вероятной скорости соответствует максимум функции, то продифференцируем выражение (1.1) по скорости и приравняем к нулю, получим:

\[\frac{dN_v}{dv}=N4\pi {\left(\frac{m_0}{2\pi kT}\right)}{\frac{3}{2}}\left[2v_{ver}exp\left(-\frac{m_0{v_{ver}}2}{2kT}\right)-{v_{ver}}2\frac{m_02v_{ver}}{2kT}exp\left(-\frac{m_0{v_{ver}}2}{2kT}\right)\right]=0\to \] \[2v_{ver}-{v_{ver}}2\frac{m_02v_{ver}}{2kT}=0\to 1-{v_{ver}}2\frac{m_0}{2kT}=0\to {v_{ver}}2=\frac{2kT}{m_0}\] \[v_{ver}=\sqrt{\frac{2kT}{m_0}}\ (1.2)\]

Ответ: Наиболее вероятная скорость молекул газа $v_{ver}=\sqrt{\frac{2kT}{m_0}}.$

Пример 2

Задание: Пусть $Т_1

Решение:

Из формулы для наиболее вероятной скорости молекул газа, полученной в предыдущем примере:

\[v_{ver}=\sqrt{\frac{2kT}{m_0}}\ (2.1)\]

очевидно, что с увеличением температуры скорость растет, то есть максимум кривой смещается в сторону больших скоростей. Площадь под кривой распределения величина постоянная, следовательно, кривые изобразим следующим образом (рис.4).

Рис. 4

Пример 3

Задание: На рис. 5 представлен график функции распределения молекул по проекциям скорости $v_x$. Сравнить числа молекул, имеющих проекции скорости в интервалах: от 0 до $v_{x1}$и от $v_{x1}$ до $v_{x2}$.

Рис. 5

Решение:

Как уже отмечалось в теоретической части, доля молекул газа, скорости которых лежат в интервале от $0\ до\ v_{x1},$ пропорциональна площади $S_1$ фигуры, которая ограничена кривой распределения, вертикальной осью (0$\ \frac{1}{N}\frac{dN}{dv_x})$ и пунктирной вертикальной линией перпендикулярной оси проекций скоростей проходящей через точку $v_{x1}$. Во втором случае доля молекул газа, скорости которых лежат в интервале от $v_{x1}\ до\ v_{x2},$ пропорциональна площади $S_2$ фигуры, которая ограничена кривой распределения, вертикальной прямой параллельной оси (0$\ \frac{1}{N}\frac{dN}{dv_x}),\ проходящей\ через\ точку\ v_{x1}$ и пунктирной вертикальной линией перпендикулярной оси проекций скоростей, проходящей через точку $v_{x2}$. Очевидно, что $S_1>S_2.\ $ Следовательно, молекул, имеющих проекции скорости в интервалах: от 0 до $v_{x1}$ больше, чем молекул, имеющих проекции скорости в интервалах: от $v_{x1}$ до $v_{x2}$.

Ответ: Молекул, имеющих проекции скорости в интервалах: от 0 до $v_{x1}$ больше, чем молекул, имеющих проекции скорости в интервалах: от $v_{x1}$ до $v_{x2}$.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/molekulyarnaya_fizika/zakon_raspredeleniya_molekul_po_skorostyam/

Закон Максвелла о распределении молекул по скоростям. Опыт Штерна. Барометрическая формула. Распределение Больцмана. Опытное определение постоянной Авогадро

Закон распределения молекул по скоростям

§4 Закон Максвелла о распределении по скоростям и энергиям

  Закон распределения молекул идеального газа по скоростям, теоретически полученный Максвеллом в 1860 г. определяет, какое число dN молекул однородного  (p = const) одноатомного идеального газа из общего числа N его молекул в единице объёма имеет при данной температуре Т  скорости, заключенные в интервале от   v  до v + dv.  

    Для вывода функции распределения молекул по скоростям f(v) равной отношению числа молекул dN, скорости которых лежат в интервале v ÷ v + dv     к общему числу молекул N и величине интервала dv

Максвелл использовал два предложения:

а) все направления в пространстве равноправны и поэтому любое направление движения частицы, т.е. любое направление скорости одинаково вероятно. Это свойство иногда называют свойством изотропности функции распределения.

б) движение по трем взаимно перпендикулярным осям независимы т.е. х-компоненты скорости    не зависит от того каково значения ее компонент     или. И тогда вывод  f (v) делается сначала для одной компоненты  , а затем обобщается на все координаты скорости.

      Считается также, что газ состоит из очень большого числа N тождественных молекул находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при одинаковой температуре. Силовые поля на газ не действуют.

   Функции   f (v) определяет относительное число молекул dN(v)/N       скорости которых лежат в интервале от   v   до  v + dv   (например: газ имеет N = 106  молекул, при этом dN = 100

молекул имеют скорости от v =100  до  v + dv  =101 м/с (dv = 1 м) тогда .  

    Используя методы теории вероятностей, Максвелл нашел функцию f (v) — закон распределения молекул идеального газа по скоростям:

 f (v ) зависит от рода газа (от массы молекулы) и от параметра состояния (от температуры Т)

  f(v) зависит от отношения кинетической энергии молекулы, отвечающей рассматриваемой скорости   к величине kT характеризующей среднюю тепловую энергию молекул газа.

  При малых v   и функция f(v) изменяется практически по параболе  . При возрастании v множитель   уменьшается быстрее, чем растет множитель, т.е. имеется max  функции  f(v). Скорость, при которой функция распределения молекул идеального газа по скоростям максимальна, называется наиболее вероятной скоростью  найдем из условия

, следовательно, с ростом температуры наиболее вероятная скорость растёт,  но площадь S, ограниченная кривой функции распределения остаётся неизменной, так как из условия нормировки (так как вероятность достоверного события равна 1), поэтому при повышении температуры кривая распределения  f (v) будет растягиваться и понижаться.

В статистической физике среднее значение какой-либо величины определяется как интеграл от 0 до бесконечности произведения величины на плотность вероятности этой величины (статистический вес)

=

Тогда средняя арифметическая скорость молекул         

 и интегрируя по частям получили

Скорости, характеризующие состояние газа

§5 Экспериментальная проверка закона распределения Максвелла — опыт Штерна

Вдоль оси внутреннего цилиндра с целью натянута платиновая проволока, покрытая слоем серебра, которая  нагревается током. При нагревании серебро испаряется, атомы серебра вылетают через щель и попадают на внутреннюю поверхность второго цилиндра.

Если оба цилиндра неподвижны, то все атомы независимо от их скорости попадают в одно и то же место В. При вращении цилиндров с угловой скоростью ω атома серебра попадут в точки В’, B’’ и так далее.

  По величине ω, расстоянию ? и смещению х = ВВ’ можно вычислить скорость атомов, попавших в точку В’.

Изображение щели получается размытым. Исследуя толщину осаждённого слоя,  можно оценить распределение молекул по скоростям, которое соответствует максвелловскому распределению.

§6 Барометрическая формула

Распределение Больцмана

     До сих пор рассматривалось поведение идеального газа, не подверженного воздействию внешних силовых полей. Из опыта хорошо известно, что при действии внешних сил равномерное распространение частиц в пространстве может нарушиться.

Так под действием силы тяжести молекулы стремятся опуститься на дно сосуда. Интенсивное тепловое движение препятствует осаждению, и молекулы распространяются так, что их концентрация постепенно уменьшается по мере увеличения высоты.

     Выведем закон изменения давления с высотой предполагая, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова. Если атмосферное давление на высоте h  равно p, то на высоте h + dh оно равно  p + dp   (при dh > 0,  dp < 0, так как p уменьшается с увеличением h).

Разность давления на высотах h и  h+dh мы можем определить как вес молекул воздуха заключённого в объёме с площадью основания равного 1 и высотой  dh.

плотность на высоте h, и так как , то     = const.

Тогда     

Из уравнения Менделеева-Клапейрона.

Тогда   

Или 

С изменением высоты от h1 до h2 давление изменяется от p1  до p2

Пропотенцируем данное выражение   (

Барометрическая формула, показывает, как меняется давление с высотой

При

Тогда

Т.к.

,

а

то

n концентрация молекул на высоте h,

n0 концентрация молекул на высоте h =0.

Т.к 

то

потенциальная энергия молекул в поле тяготения

распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле. Из него следует, что при T = const  плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия молекул.

§7 Опытное определение постоянной Авогадро

     Ж. Перрен (французкий ученый) в 1909 г. исследовал поведение броуновских частиц в эмульсии гуммигута (сок деревьев) с размерами осматривались с помощью микроскопа, который имел глубину поля — 1мкм. Перемещая микроскоп в вертикальном направлении можно было исследовать распределение броуновских частиц по высоте.

Применив к ним распределение Больцмана можно записать

n=        — где  m-масса частицы

m — масса вытесненной жидкости:

Если  n1 и n2 концентрация частиц на уровнях  h1 и h2,  а   k=R/NA,  то

NA=

Значение хорошо согласуется со справочным значением , что подтверждает  больцмановское  распределение частиц

Источник: http://bog5.in.ua/lection/thermodynamics_lect/lect3_therm.html

Функция распределения молекул по скоростям (Максвелл) —

Закон распределения молекул по скоростям

Пусть имеется n тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при определенной температуре.

После каждого акта столкновения между молекулами, их скорости меняются случайным образом.

В результате невообразимо большого числа столкновений устанавливается стационарное равновесное состояние, когда число молекул в заданном интервале скоростей сохраняется постоянным.

       В результате каждого столкновения проекции скорости молекулы испытывают случайное изменение на Δυx, Δυy, Δυz, причем изменения каждой проекции скорости независимы друг от друга. Будем предполагать, что силовые поля на частицы не действуют.

Найдем в этих условиях, каково число частиц dn из общего числа n имеет скорость в интервале от υ до υ+Δυ.

При этом мы не можем ничего определенного сказать о точном значении скорости той или иной частицы υi, поскольку за столкновениями и движениями каждой из молекул невозможно проследить ни в опыте, ни в теории. Такая детальная информация вряд ли имела бы практическую ценность.  

Распределение молекул идеального газа по скоростям впервые было получено знаменитым английским ученым Дж. Максвеллом в 1860 году с помощью методов теории вероятностей.

Максвелл Джеймс Клерк (1831 – 1879) – английский физик. Работы посвящены электродинамике, молекулярной физике, общей статике, оптике, механике, теории упругости. Установил статистический закон, описывающий распределение молекул газа по скоростям. Самым большим достижением Максвелла является теория электромагнитного поля, которую он сформулировал в виде системы нескольких уравнений, выражающих все основные закономерности электромагнитных явлений.

     

       Вывод формулы функции распределения молекул по скоростям есть в учебнике Ю.И Тюрина и др. (ч. 1) или И.В. Савельева (т. 1). Мы воспользуемся результатами этого вывода.

       Скорость – векторная величина. Для проекции скорости на ось х (x-й составляющей скорости) из (2.2.1) имеем

тогда

(2.3.1)

где А1 – постоянная, равная 

       Графическое изображение функции показано на рисунке 2.2. Видно, что доля молекул со скоростью  не равна нулю. При ,  (в этом физический смысл постоянной А1).

 
Рис. 2.2       Приведённое выражение и график справедливы для распределения молекул газа по x-компонентам скорости. Очевидно, что и по y— и z-компонентам скорости также можно получить:       Вероятность того, что скорость молекулы одновременно удовлетворяет трём условиям: x-компонента скорости лежит в интервале от υх до υх+dυх; y-компонента, в интервале от υy до υy+dυy; z-компонента, в интервале от υz до υz+dυz будет равна произведению вероятностей каждого из условий (событий) в отдельности:где , или

(2.3.2)

       Формуле (2.3.2) можно дать геометрическое истолкование: dnxyz – это число молекул в параллелепипеде со сторонами dυx, dυy, dυz, то есть в объёме dV=dυxdυydυz(рис. 2.3), находящемся на расстоянии  от начала координат в пространстве скоростей.

       Эта величина (dnxyz) не может зависеть от направления вектора скорости . Поэтому надо получить функцию распределения молекул по скоростям независимо от их направления, то есть по абсолютному значению скорости.

       Если собрать вместе все молекулы в единице объёма, скорости которых заключены в интервале от υ до υ+dυ по всем направлениям, и выпустить их, то они окажутся через одну секунду в шаровом слое толщиной dυ и радиусом υ (рис. 2.4). Этот шаровой слойскладывается из тех параллелепипедов, о которых говорилось выше.

Рис. 2.3Рис. 2.4

       Объём этого шарового слоя       Общее число молекул в слое, как следует из (2.3.2)       Отсюда следует закон распределения молекул по абсолютным значениям скоростей Максвелла:

(2.3.3)

где – доля всех частиц в шаровом слое объема dV, скорости которых лежат в интервале от υ до υ+dυ.

       При dυ = 1 получаем плотность вероятности, или функцию распределения молекул по скоростям:

(2.3.4)

       Эта функция обозначает долю молекул единичного объёма газа, абсолютные скорости которых заключены в единичном интервале скоростей, включающем данную скорость.

       Обозначим:  тогда из (2.3.4) получим:

(2.3.5)

       График этой функции показан на рисунке 2.5. 
Рис. 2.5       Выводы:

  • Вид распределения молекул газа по скоростям для каждого газа зависит от рода газа (m) и от параметра состояния (Т). Давление P и объём газа V на распределение молекул не влияют.
  • В показателе степени стоит отношение , т.е. кинетической энергии, соответствующей данной скорости υ к (kТ) – средней энергии теплового движения молекул при данной температуре, значит распределение Максвелла характеризует распределение молекул по значениям кинетической энергии (то есть показывает, какова вероятность при данной температуре иметь именно такое значение кинетической энергии).

       Рассмотрим пределы применимости классического описания распределения частиц по скоростям. Для этого воспользуемся соотношением неопределенностей Гейзенберга. Согласно этому соотношению координаты и импульс частицы не могут одновременно иметь определенное значение. Классическое описание возможно, если выполнены условия: 

       Здесь  – постоянная Планка – фундаментальная константа, определяющая масштаб квантовых (микроскопических) процессов.

       Таким образом, если частица находится в объеме , то в этом случае возможно описание ее движения на основе законов классической механики.

       Наиболее вероятная, среднеквадратичная и средняя арифметическая скорости молекул газа

       Рассмотрим, как изменяется с абсолютной величиной скорости число частиц, приходящихся на единичный интервал скоростей, при единичной концентрации частиц.

       График функции распределения Максвелла

,

приведен на рисунке 2.6. 
Рис. 2.6       Из графика видно, что при «малых» υ, т.е. при , имеем ; затем достигает максимума А и далее экспоненциально спадает .

       Величину скорости, на которую приходится максимум зависимости , называют наиболее вероятной скоростью.

       Найдем эту скорость из условия равенства производной .

,(2.3.6)

– наиболее вероятная скорость одной молекулы.

       Для одного моля газа:

.(2.3.7)

       Среднюю квадратичную скорость найдем, используя соотношение :

.– для одной молекулы;(2.3.8)
.(2.3.9)

       Средняя арифметическая скорость:

. .

где  – число молекул со скоростью от υ до υ+dυ. Если подставить сюда f(υ) и вычислить, то получим:

.– для одной молекулы;(2.3.10)
.(2.3.11)

       Все три скорости незначительно отличаются друг от друга множителем порядка единицы, причем 

Формула Максвелла для относительных скоростей

       Для решения многих задач удобно использовать формулу Максвелла, где скорость выражена в относительных единицах.

       Относительную скорость обозначим через u:

(2.3.12)

где . Тогда из (2.3.3), получим

.(2.3.13)

Это уравнение универсальное. В таком виде функция распределения не зависит ни от рода газа, ни от температуры.

       На рисунке 2.7 показано максвелловское распределение частиц f(υ), имеющих скорости от υ до υ+dυ. За единицу скорости здесь взята наиболее вероятная скорость.

       Полезно знать, что .

 
Рис. 2.7

Зависимость функции распределения Максвелла от массы молекул и температуры газа

       На рисунке 2.8 показана зависимость f(υ) при различных температурах и массах молекул газа.

 
Рис. 2.8       Из рисунка 2.8 можно проследить за изменением f(υ) при изменении m и T. В данном случае  (при T = const ) или  (при m = const). Площадь под кривой величина постоянная, равная единице (), поэтому важно знать как будет изменяться положение максимума кривой:

кроме того

       Максвелловский закон распределения по скоростям и все вытекающие следствия справедливы только для газа в равновесной системе. Закон статистический, и выполняется тем лучше, чем больше число молекул.

Источник: https://www.sites.google.com/site/proektergosfera/izbrannye-voprosy-i-zadaci-fiziki/funkcia-raspredelenia-molekul-po-skorostam-maksvell

Функция распределения Максвелла

Закон распределения молекул по скоростям

       Пусть имеется n тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при определенной температуре.

После каждого акта столкновения между молекулами, их скорости меняются случайным образом.

В результате невообразимо большого числа столкновений устанавливается стационарное равновесное состояние, когда число молекул в заданном интервале скоростей сохраняется постоянным.

       В результате каждого столкновения проекции скорости молекулы испытывают случайное изменение на Δυx, Δυy, Δυz, причем изменения каждой проекции скорости независимы друг от друга. Будем предполагать, что силовые поля на частицы не действуют.

Найдем в этих условиях, каково число частиц dn из общего числа n имеет скорость в интервале от υ до υ+Δυ.

При этом мы не можем ничего определенного сказать о точном значении скорости той или иной частицы υi, поскольку за столкновениями и движениями каждой из молекул невозможно проследить ни в опыте, ни в теории. Такая детальная информация вряд ли имела бы практическую ценность.

       Распределение молекул идеального газа по скоростям впервые было получено знаменитым английским ученым Дж. Максвеллом в 1860 году с помощью методов теории вероятностей.

Максвелл Джеймс Клерк (1831 – 1879) – английский физик. Работы посвящены электродинамике, молекулярной физике, общей статике, оптике, механике, теории упругости. Установил статистический закон, описывающий распределение молекул газа по скоростям. Самым большим достижением Максвелла является теория электромагнитного поля, которую он сформулировал в виде системы нескольких уравнений, выражающих все основные закономерности электромагнитных явлений.

       Вывод формулы функции распределения молекул по скоростям есть в учебнике Ю.И Тюрина и др. (ч. 1) или И.В. Савельева (т. 1). Мы воспользуемся результатами этого вывода.

       Скорость – векторная величина. Для проекции скорости на ось х (x-й составляющей скорости) из (2.2.1) имеем тогда

(2.3.1)

где А1 – постоянная, равная

       Графическое изображение функции показано на рисунке 2.2. Видно, что доля молекул со скоростью не равна нулю. При , (в этом физический смысл постоянной А1).
Рис. 2.2        Приведённое выражение и график справедливы для распределения молекул газа по x-компонентам скорости.

Очевидно, что и по y— и z-компонентам скорости также можно получить:        Вероятность того, что скорость молекулы одновременно удовлетворяет трём условиям: x-компонента скорости лежит в интервале от υх до υх+dυх; y-компонента, в интервале от υy до υy+dυy; z-компонента, в интервале от υz до υz+dυz будет равна произведению вероятностей каждого из условий (событий) в отдельности: где , или

(2.3.2)

       Формуле (2.3.2) можно дать геометрическое истолкование: dnxyz – это число молекул в параллелепипеде со сторонами dυx, dυy, dυz, то есть в объёме dV=dυxdυydυz(рис. 2.3), находящемся на расстоянии от начала координат в пространстве скоростей.

       Эта величина (dnxyz) не может зависеть от направления вектора скорости . Поэтому надо получить функцию распределения молекул по скоростям независимо от их направления, то есть по абсолютному значению скорости.

       Если собрать вместе все молекулы в единице объёма, скорости которых заключены в интервале от υ до υ+dυ по всем направлениям, и выпустить их, то они окажутся через одну секунду в шаровом слое толщиной dυ и радиусом υ (рис. 2.4). Этот шаровой слой складывается из тех параллелепипедов, о которых говорилось выше.

Рис. 2.3Рис. 2.4

       Объём этого шарового слоя        Общее число молекул в слое, как следует из (2.3.2)        Отсюда следует закон распределения молекул по абсолютным значениям скоростей Максвелла:

(2.3.3)

где – доля всех частиц в шаровом слое объема dV, скорости которых лежат в интервале от υ до υ+dυ.

       При dυ = 1 получаем плотность вероятности, или функцию распределения молекул по скоростям:

(2.3.4)

       Эта функция обозначает долю молекул единичного объёма газа, абсолютные скорости которых заключены в единичном интервале скоростей, включающем данную скорость.

       Обозначим: тогда из (2.3.4) получим:

(2.3.5)

       График этой функции показан на рисунке 2.5.
Рис. 2.5        Выводы:

  • Вид распределения молекул газа по скоростям для каждого газа зависит от рода газа (m) и от параметра состояния (Т). Давление P и объём газа V на распределение молекул не влияют.
  • В показателе степени стоит отношение , т.е. кинетической энергии, соответствующей данной скорости υ к (kТ) – средней энергии теплового движения молекул при данной температуре, значит распределение Максвелла характеризует распределение молекул по значениям кинетической энергии (то есть показывает, какова вероятность при данной температуре иметь именно такое значение кинетической энергии).

       Рассмотрим пределы применимости классического описания распределения частиц по скоростям. Для этого воспользуемся соотношением неопределенностей Гейзенберга. Согласно этому соотношению координаты и импульс частицы не могут одновременно иметь определенное значение. Классическое описание возможно, если выполнены условия:

       Здесь – постоянная Планка – фундаментальная константа, определяющая масштаб квантовых (микроскопических) процессов.

       Таким образом, если частица находится в объеме , то в этом случае возможно описание ее движения на основе законов классической механики.

       Наиболее вероятная, среднеквадратичная и средняя арифметическая скорости молекул газа

       Рассмотрим, как изменяется с абсолютной величиной скорости число частиц, приходящихся на единичный интервал скоростей, при единичной концентрации частиц.

       График функции распределения Максвелла

,

приведен на рисунке 2.6.
Рис. 2.6        Из графика видно, что при «малых» υ, т.е. при , имеем ; затем достигает максимума А и далее экспоненциально спадает .

       Величину скорости, на которую приходится максимум зависимости , называют наиболее вероятной скоростью.

       Найдем эту скорость из условия равенства производной .

,(2.3.6)

наиболее вероятная скорость одной молекулы.

       Для одного моля газа:

.(2.3.7)

       Среднюю квадратичную скорость найдем, используя соотношение :

.– для одной молекулы;(2.3.8)
.– для одного моля газа.(2.3.9)

       Средняя арифметическая скорость:

. .

где – число молекул со скоростью от υ до υ+dυ.

Если подставить сюда f(υ) и вычислить, то получим:

.– для одной молекулы;(2.3.10)
.– для одного моля газа.(2.3.11)

       Все три скорости незначительно отличаются друг от друга множителем порядка единицы, причем

Формула Максвелла для относительных скоростей

       Для решения многих задач удобно использовать формулу Максвелла, где скорость выражена в относительных единицах.

       Относительную скорость обозначим через u:

(2.3.12)

где . Тогда из (2.3.3), получим

.(2.3.13)

Это уравнение универсальное. В таком виде функция распределения не зависит ни от рода газа, ни от температуры.

       На рисунке 2.7 показано максвелловское распределение частиц f(υ), имеющих скорости от υ до υ+dυ. За единицу скорости здесь взята наиболее вероятная скорость.

       Полезно знать, что .
Рис. 2.7

Зависимость функции распределения Максвелла от массы молекул и температуры газа

       На рисунке 2.8 показана зависимость f(υ) при различных температурах и массах молекул газа.
Рис. 2.8        Из рисунка 2.8 можно проследить за изменением f(υ) при изменении m и T. В данном случае (при T = const ) или (при m = const).

Площадь под кривой величина постоянная, равная единице (), поэтому важно знать как будет изменяться положение максимума кривой:

кроме того

       Максвелловский закон распределения по скоростям и все вытекающие следствия справедливы только для газа в равновесной системе.

Закон статистический, и выполняется тем лучше, чем больше число молекул.

Источник: http://ens.tpu.ru/POSOBIE_FIS_KUSN/%D0%9C%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0.%20%D0%A2%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BA%D0%B0/02-3.htm

Закон Максвелла распределения молекул по скоростям

Закон распределения молекул по скоростям

При введении средней квадратичной скорости справедливо полагалось, что даже в состоянии термодинамического равновесия молекулы обладают различными скоростями. Закон Максвелла позволяет определить число молекул идеального газа, значения скоростей которых лежат в некотором интервале.

¨ Функция распределения молекул по скоростям — это относительное число молекул, скорости которых лежит в интервале от до

.

Здесь — число молекул в некотором объёме газа, dN— число молекул, скорости которых лежат в интервале от до .

¨ Закон распределения молекул идеального газа по скоростям получен Максвеллом с применением методов теории вероятностей

,

где — масса молекулы, — постоянная Больцмана, Т— абсолютная температура.

¨ График функции распределения (рис. 8.2) имеет явный максимум:

  • Относительное число молекул со скоростями в интервале от до определяется площадью заштрихованной криволинейной трапеции, т.к. .
  • Число молекул с очень малыми и очень большими скоростями крайне мало, т.к. при этих скоростях .
  • Площадь (рис. 8.2), ограниченная кривой и осью скоростей равна единице, т.к. число молекул, скорости которых лежат в интервале до , равно числу молекул системы ,т.е. .
  • С увеличением температуры газа максимум кривой (рис. 8.3) смещается в сторону больших скоростей, а его высота уменьшается, т.к. площадь под кривой должна оставаться равной единице при любой температуре.

¨ Наиболее вероятная скорость молекул — скорость, при которой функция распределения (рис. 8.2) принимает максимальное значение

.

Найдем , исследуя на экстремум. При этом коэффициент, независящий от скорости не учитываем.

Полученное выражение равно нулю при и . Однако при таких скоростях функция распределения, как было отмечено выше, стремится к минимуму. Следовательно, указанные решения не имеют физического смысла. Тогда должно выполняться условие

, т.к. и .

Наиболее вероятная скорость — это скорость, которой обладает наибольшее число молекул газа.

¨ Средняя арифметическая скорость молекул определяется по формуле

.

Действительно, . Подставив сюда , получим .Значения средней арифметической скорости больше наиболее вероятной, но меньше средней квадратичной скорости: .

Барометрическая формула

Атмосфера Земли существует за счет земного притяжения молекул воздуха и их теплового движения.

¨ Барометрическая формула — это закон изменения атмосферного давления с высотой

.

Здесь — давление на высоте , — молярная масса воздуха, ускорение свободного падения, R— универсальная газовая постоянная. Эта формула позволяет вычислить давление на заданной высоте и, наоборот, по известному давлению определять высоту.

¨ Вывод барометрической формулы.

Полагаем, что атмосфера представляет собой идеальный газ с одинаковой массой всех его молекул. Ускорение свободного падения и температура не зависят от высоты.

Давление столба газа (жидкости) высотой h: . При увеличении высоты на атмосферное давление уменьшится на , следовательно: .

Выразим плотность из уравнения Клапейрона-Менделеева . Тогда , или . Полагая , интегрируем обе части уравнения, считая, что с изменением высоты от до давление меняется от до :

. Воспользовавшись определением логарифма, получим барометрическую формулу.

¨ Распределение Больцмана для внешнего потенциального поля: при постоянной температуре плотность ( — концентрация) газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул

.

Действительно, т.к. уравнение состояния , где — концентрация молекул на высоте , то барометрическая формула принимает вид: . Распределение Больцмана получим, преобразуя показатель степени и учитывая, что и : , где — потенциальная энергия молекулы.

Распределение Максвелла — распределение молекул по значениям кинетической энергии, а распределение Больцмана — по значениям потенциальной энергии.

Явления переноса

Процессы, протекающие в неравновесных газовых системах, носят необратимый характер. К таким процессам относятся явления переноса: диффузия, теплопроводность и внутреннее трение. Любая система при нормальных условиях состоит из огромного числа ( — число Лошмидта) молекул диаметром м.

¨ Среднее число столкновений молекулы газа за единицу времени

определяется количеств ом молекул, находящихся (рис. 8.4) в цилиндре объемом , т.е. , где — диаметр и — средняя арифметическая скорость молекулы, п— концентрация молекул. С учетом движения остальных молекул число столкновений увеличится в .

Здесь учтено, что образующая цилиндра (рис. 8.4) равна расстоянию, проходящему молекулой за одну секунду, т.е. численно равна средней арифметической скорости. При нормальных условиях м/с и за с молекула претерпевает столкновений.

¨ Средняя длина свободного пробега молекулы — это расстояние, пройденное между двумя последовательными соударениями

.

Считая, что за 1с молекула пройдет путь, равный средней арифметической скорости , испытав при этом соударений, получаем искомое соотношение. При нормальных условиях м.

¨ Диффузия— это выравнивание плотности системы, обусловленное переносом массы вещества.

Диффузия — самопроизвольное проникновение частиц соприкасающихся веществ друг в друга. При этом происходит перенос вещества из областей с большей концентрацией в области с меньшей концентрацией молекул. Рассмотрим простейший одномерный случай диффузии, когда плотность газа меняется только вдоль одной координаты: . Ось ориентирована в направлении переноса.

Явление диффузии для однородного газа подчиняется закону Фика:

.

Здесь — плотность потока массы — массы вещества, диффундирующего в единицу времени через единицу площади, перпендикулярную направлению переноса, т.е. оси ; — коэффициент диффузии.

Коэффициент диффузии зависит от природы газов и физических условий, т.е. давления, температуры системы. Несмотря на огромную скорость молекул газа, диффузия протекает медленно. Это объясняется непрерывными столкновениями молекул, приводящими к зигзагообразному их движению.

— градиент плотности — скорость изменения плотности вдоль направления диффузии. Знак минус означает, что масса переносится в сторону убывания плотности.

¨ Теплопроводность — это выравнивание температуры системы, обусловленное переносом энергии.

Если в одной области газа средняя кинетическая энергия молекул (температура) больше, чем в другой, то с течением времени вследствие постоянных столкновений молекул происходит процесс выравнивания кинетических энергий молекул. Осуществляется перенос энергии в форме теплоты. Полагаем, что температура меняется только вдоль одной координаты: .

Теплопроводность подчиняется закону Фурье:

.

Здесь — плотность теплового потока — количество энергии, переносимой в форме теплоты, в единицу времени через единицу площади, перпендикулярную направлению переноса; — коэффициент теплопроводности.

Коэффициент теплопроводности зависит от природы газа и физических условий: давления, температуры, плотности и молярной теплоемкости при постоянном объеме.

— градиент температуры — скорость изменения температуры в направлении теплопроводности. Знак минус означает, что энергия переносится в направлении убывания температуры.

¨ Внутреннее трение — выравнивание скоростей молекул различных слоев системы, обусловленное переносом импульса.

Внутреннее трение возникает между параллельными слоями жидкости или газа, движущимися с различными скоростями. В каждом слое молекулы участвуют в двух движениях: тепловом хаотическом и направленном вместе со слоем. Тепловое движение перебрасывает молекулы из одного слоя в другой. При этом импульс слоя, движущегося быстрее, уменьшается, а движущегося медленнее — увеличивается.

Внутреннее трение подчиняется закону Ньютона:

.

Здесь — плотность потока импульса — полный импульс, переносимый в единицу времени через единицу площади, перпендикулярную направлению переноса; — коэффициент внутреннего трения (динамическая вязкость); — градиент скорости. Знак минус указывает, что импульс переносится в направлении убывания скорости, — скорость слоя газа существенно меньше скорости теплового движения молекул.

Процессы переноса переводят материю в состояние предельной дезорганизации (хаоса), которым является термодинамическое равновесие.

Глава 9

ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

Термодинамика изучает наиболее общие свойства физических систем, не рассматривая внутреннее микроскопическое строение вещества. В основе термодинамики лежат фундаментальные законы или начала, установленные в результате обобщения экспериментальных данных.

Внутренняя энергия

¨ Число степеней свободы— это число независимых координат, определяющих положение молекулы в пространстве.

Материальная точка, движущаяся вдоль одной оси координат, имеет одну степень свободы. Материальная точка на плоскости имеет две степени свободы, т.к. для определения ее положения нужно знать две координаты и .

· Одноатомная молекула (рис. 9.1) имеет , т.к. это материальная точка, способная двигаться вдоль осей .

· Двухатомная молекула (рис. 9.2) имеет , т.к. состоит из 2-х жестко связанных материальных точек, способных двигаться вдоль трех координатных осей и вращаться вокруг двух — (вращение вокруг третьей оси лишено смыслы, т.к. момент инерции );

· Многоатомная молекула обладает — три поступательных и три вращательных.

¨ Закон равнораспределения энергии по степеням свободы:на каждую степень свободы

молекулы приходится в среднем кинетическая энергия , где — постоянная Больцмана, R— газовая постоянная, NA— число Авогадро.

¨ Внутренняя энергия идеального газа U — это кинетическая энергия поступательного и вращательного движения всех его молекул.

.

Т.к. для Nмолекул газа счислом степеней свободы , где — количества вещества, т.е. число молей газа.

Внутренняя энергия системы зависит только от абсолютной температуры . В общем случае внутренняя энергия — это энергия теплового хаотического движения микрочастиц системы, а также энергия взаимодействия этих частиц.

Поскольку молекулы идеального газа не взаимодействуют между собой на расстоянии, то их потенциальная энергия равна нулю. Колебательные движения молекул идеального газа не учитываются, т.к.

считается, что атомы молекул жестко связаны между собой.



Источник: https://infopedia.su/14xf55b.html

Распределение Максвелла

Поскольку, как мы уже отмечали, газ находится в равновесном состоянии, то направления движений частиц являются равноправными. Значит, допустимо считать, что в пространстве скоростей распределение молекул является симметричным и имеет сферическую форму.

Рисунок 2

Определим, из скольких молекул состоит шаровой слой dυ. Разделим найденное выше число на количество частиц (N) и получим вероятность dWυ того, что пределы модуля скорости молекулы равны υ — υ+dv.

Здесь F(v) является функцией распределения вероятности значения v. Впервые данная функция теоретически была получена Д. Максвеллом.

Определение 2

Таким образом, закон распределения молекул по модулям скоростей имеет следующий вид:

dNυ=N4πm02πkT32exp-m0υ22kTυ2dυ.

Здесь υ=υx2+υy2+υz2, масса молекулы равна m0, а k – постоянная Больцмана.

По проекциям скоростей распределение Максвелла может быть записано так:

dN=Nfυxfυyfυzdυxdυydυz.

Важно учесть, что:

fυi=m02πkT12exp-m0υi22kT (i=x,y,z).

Параметры υx, υy, υz означают проекции скоростей молекул на оси координат.

Также возможен следующий вариант записи распределения Максвелла:

dN=N4πυver3exp-υυver2υ2dυ.

Здесь υυer обозначает наиболее вероятную скорость движения молекулы.

Как выглядит распределение Максвелла на графике

Кривая распределения молекул по скоростям на графике выглядит так:

Рисунок 3

При этом доля тех молекул, которые движутся со скоростями в интервале от υ до υ+dυ будет пропорциональна площади dS, которая на графике обозначена штриховкой.

Определение 3

Скорости всех молекул принадлежат интервалу от нуля до плюс бесконечности, значит, будет верным равенство:

∫0∞f(υ)dυ=1.

Оно называется условием нормировки функции распределения.

Следовательно, распределение Максвелла по скоростям имеет зависимость от температуры газа и массы его молекул. Объем и давление можно не учитывать.

Пример 1

Условие: вычислите, какова будет наиболее вероятная скорость молекул газа при температуре Т в равновесном состоянии.

Решение

Нам потребуется распределение Максвелла (распределение по модулям скоростей).

dNυ=N4πm02πkT32exp-m0υ22kTυ2dυ.

Максимум функции будет соответствовать самой вероятной скорости. Дифференциация выражения по скорости и сравнение ее с нулем даст нам следующий результат:

dNυdυ=N4πm02πkT322υυerexp-m0υυer22kT-υυer2m02υυer2kTexp-m0υυer22kT=0;

2υυer-υυer2m02υυer2kT=0→1-υυer2m02kT=0→υυer2=2kTm0.

υυer=2kTm0.

Ответ: наиболее вероятно, что скорость газа будет равна υυer=2kTm0.

Пример 2

Условие: изобразите кривые распределения скоростей молекул газа при росте температуры Т.

Решение

Возьмем формулу наиболее вероятной скорости из предыдущей задачи.

υυer=2kTm0

Понятно, что чем больше будет температура, тем выше будет скорость молекул, т.е. произойдет смещение максимума в сторону больших скоростей. Поскольку площадь под кривой распределения является постоянной величиной, кривые на графике будут показаны следующим образом:

Рисунок 4

Пример 3

Условие: дан график функции, по которой молекулы будут распределяться с учетом проекций скорости υx. Сопоставьте количества молекул, проекции скорости которых будут принадлежать интервалам от нуля до υx1 и от υx1 до υx2.

Рисунок 5

Решение

Как мы уже указывали ранее, доля молекул газа, скорости которых лежат в первом интервале, будет пропорциональна площади фигуры, образуемой кривой распределения, вертикальной осью 0 1NdNdυx и вертикальным пунктиром, перпендикулярным оси проекций.

Во втором интервале нужная доля будет пропорциональна площади фигуры, ограниченной кривой распределения и вертикальной прямой, параллельной оси ох и проходящей через точку υx1. Очевидно, что площадь первой фигуры будет меньше площади второй.

Значит, и молекул, проекции скоростей которых лежат в первом интервале, будет меньше, чем во втором.

Ответ: молекул, имеющих проекции скорости в интервалах: от 0 до υx1 меньше, чем молекул, имеющих проекции скорости в интервалах: от υx1 до υx2.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/fizika/molekuljarno-kineticheskaja-teorija/zakon-raspredelenija-molekul-po-skorostjam/

Booksm
Добавить комментарий