Закон изменения механической энергии с формулами

Законы сохранения в механике – FIZI4KA

Закон изменения механической энергии с формулами

ЕГЭ 2018 по физике ›

Импульс тела – это векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость:

Обозначение – ​\( p \)​, единицы измерения – (кг·м)/с.

Импульс тела – это количественная мера движения тела. Направление импульса тела всегда совпадает с направлением скорости его движения.

Изменение импульса тела равно разности конечного и начального значений импульса тела:

где ​\( p_0 \)​ – начальный импульс тела,
​\( p \)​ – конечный импульс тела.

Если на тело действует нескомпенсированная сила, то его импульс изменяется. При этом изменение импульса тела равно импульсу подействовавшей на него силы.

Импульс силы – это количественная мера изменения импульса тела, на которое подействовала эта сила.

Обозначение – ​\( F\!\Delta t \)​, единицы измерения — Н·с.
Импульс силы равен изменению импульса тела:

Направление импульса силы совпадает по направлению с изменением импульса тела.

Второй закон Ньютона (силовая форма):

Важно!
Следует всегда помнить, что совпадают направления векторов:

• силы и ускорения: ​\( \vec{F}\uparrow\uparrow\vec{a} \)​;
• импульса тела и скорости: \( \vec{p}\uparrow\uparrow\vec{v} \)​;
• изменения импульса тела и силы: \( \Delta\vec{p}\uparrow\uparrow\vec{F} \);
• изменения импульса тела и ускорения: \( \Delta\vec{p}\uparrow\uparrow\vec{a} \).

Импульс системы тел

Импульс системы тел равен векторной сумме импульсов тел, составляющих эту систему:

При рассмотрении любой механической задачи мы интересуемся движением определенного числа тел. Совокупность тел, движение которых мы изучаем, называется механической системой или просто системой.

Рассмотрим систему, состоящую из трех тел. На тела системы действуют внешние силы, а между телами действуют внутренние силы.

​\( F_1,F_2,F_3 \)​ – внешние силы, действующие на тела;
​\( F_{12}, F_{23}, F_{31}, F_{13}, F_{21}, F_{32} \)​ – внутренние силы, действующие между телами.
Вследствие действия сил на тела системы их импульсы изменяются.

Если за малый промежуток времени сила заметно не меняется, то для каждого тела системы можно записать изменение импульса в виде уравнения:

В левой части каждого уравнения стоит изменение импульса тела за малое время ​\( \Delta t \)​.
Обозначим: ​\( v_0 \)​ – начальные скорости тел, а ​\( v{\prime} \)​ – конечные скорости тел.
Сложим левые и правые части уравнений.

Но силы взаимодействия любой пары тел в сумме дают нуль.

Важно!
Импульс системы тел могут изменить только внешние силы, причем изменение импульса системы пропорционально сумме внешних сил и совпадает с ней по направлению. Внутренние силы, изменяя импульсы отдельных тел системы, не изменяют суммарный импульс системы.

Закон сохранения импульса

Закон сохранения импульса
Векторная сумма импульсов тел, составляющих замкнутую систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой:

Замкнутая система – это система, на которую не действуют внешние силы.
Абсолютно упругий удар – столкновение двух тел, в результате которого в обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций.
При абсолютно упругом ударе взаимодействующие тела до и после взаимодействия движутся отдельно.

Закон сохранения импульса для абсолютно упругого удара:

Абсолютно неупругий удар – столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое.

Закон сохранения импульса для абсолютно неупругого удара:

Реактивное движение – это движение, которое происходит за счет отделения от тела с некоторой скоростью какой-то его части.

Принцип реактивного движения основан на том, что истекающие из реактивного двигателя газы получают импульс. Такой же по модулю импульс приобретает ракета.

Для осуществления реактивного движения не требуется взаимодействия тела с окружающей средой, поэтому реактивное движение позволяет телу двигаться в безвоздушном пространстве.

Реактивные двигатели Широкое применение реактивные двигатели в настоящее время получили в связи с освоением космического пространства. Используются они также для метеорологических и военных ракет различного радиуса действия. Кроме того, все современные скоростные самолеты оснащены воздушно-ракетными двигателями.

Реактивные двигатели делятся на два класса:

  • ракетные;
  • воздушно-реактивные.

В ракетных двигателях топливо и необходимый для его горения окислитель находятся непосредственно внутри двигателя или в его топливных баках.

Ракетный двигатель на твердом топливе
При горении топлива образуются газы, имеющие очень высокую температуру и оказывающие давление на стенки камеры.

Сила давления на переднюю стенку камеры больше, чем на заднюю, где находится сопло. Выходящие через сопло газы не встречают на своем пути стенку, на которую могли бы оказать давление.

В результате появляется сила, толкающая ракету вперед.

Сопло – суженная часть камеры, служит для увеличения скорости истечения продуктов сгорания, что, в свою очередь, повышает реактивную силу. Сужение струи газа вызывает увеличение его скорости, так как при этом через меньшее поперечное сечение в единицу времени должна пройти такая же масса газа, что и при большем поперечном сечении.

Ракетный двигатель на жидком топливе

В ракетных двигателях на жидком топливе в качестве горючего используют керосин, бензин, спирт, жидкий водород и др., а в качестве окислителя – азотную кислоту, жидкий кислород, перекись водорода и пр.

Горючее и окислитель хранятся отдельно в специальных баках и с помощью насосов подаются в камеру сгорания, где температура достигает 3000 0С и давление до 50 атм.

В остальном работает так же, как и двигатель на твердом топливе.

Воздушно-реактивный двигатель

В носовой части находится компрессор, засасывающий и сжижающий воздух, который затем поступает в камеру сгорания. Жидкое горючее (керосин) попадает в камеру сгорания с помощью специальных форсунок.

Раскаленные газы выходят через сопло, вращают газовую турбину, приводящую в движение компрессор.

Основное отличие воздушно-реактивных двигателей от ракетных двигателей состоит в том, что окислителем для горения топлива служит кислород воздуха, поступающего внутрь двигателя из атмосферы.

Алгоритм применения закона сохранения импульса к решению задач:

  1. Запишите краткое условие задачи.
  2. Определите характер движения и взаимодействия тел.
  3. Сделайте рисунок, на котором укажите направление векторов скоростей тел до и после взаимодействия.
  4. Выберите инерциальную систему отсчета с удобным для нахождения проекций векторов направлением координатных осей.
  5. Запишите закон сохранения импульса в векторной форме.
  6. Спроецируйте его на выбранные координатные оси (сколько осей, столько и уравнений в системе).
  7. Решите полученную систему уравнений относительно неизвестных величин.
  8. Выполните действия единицами измерения величин.
  9. Запишите ответ.

Работа силы

Механическая работа – это скалярная векторная величина, равная произведению модулей вектора силы, действующей на тело, вектора перемещения и косинуса угла между этими векторами.

Обозначение – ​\( A \)​, единицы измерения – Дж (Джоуль).

1 Дж – это работа, которую совершает сила в 1 Н на пути в 1 м:

Механическая работа совершается, если под действием некоторой силы, направленной не перпендикулярно, тело перемещается на некоторое расстояние.

Зависимость механической работы от угла ​\( \alpha \)​

  • ​\( \alpha=0{\circ},\, \cos\alpha=1,\, A=FS,\,A>0; \)​
  • ​\( 0{\circ}

Источник: https://fizi4ka.ru/egje-2018-po-fizike/zakony-sohranenija-v-mehanike.html

Урок 13. работа. мощность. энергия. закон сохранения механической энергии — Физика — 10 класс — Российская электронная школа

Закон изменения механической энергии с формулами

Физика, 10 класс

Урок 13. Работа. Мощность. Энергия. Закон сохранения механической энергии

Перечень вопросов, рассматриваемых на уроке:

1. Работа

2. Мощность

3. Механическая энергия

4. Закон сохранения механической энергии.

Глоссарий по теме

Работа постоянной силы равна произведению модулей силы и перемещения точки приложения силы и косинуса угла между ними.

Мощность – отношение работы к интервалу времени, за который эта работа совершена.

Кинетическая энергия– энергия, которой обладает движущееся тело.

Кинетическая энергия материальной точки – величина равная половине произведения массы материальной точки на квадрат её скорости.

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии материальной точки при её перемещении равно работе, совершённой силой, действующей на точку при этом перемещении.

Если на точку действуют несколько сил, то изменение её кинетической энергии равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на неё.

Работа силы тяжести зависит только от положений начальной и конечной точек траектории и не зависит от формы траектории. При движении тела по замкнутой траектории работа силы тяжести равна нулю.

Консервативными силами называют силы, работа которых не зависит от формы траектории точки приложения силы и по замкнутой траектории равна нулю.

Работа силы упругости при растяжении пружины, т.е. когда направление силы противоположно перемещению тела, меньше нуля. Если начальное и конечное состояния пружины совпадают, то суммарная работа силы упругости при деформации пружины равна нулю.

Потенциальной энергией тела в поле силы тяжести называют величину, равную произведению массы тела на ускорение свободного падения и на высоту тела над поверхностью Земли.

Потенциальной энергиейупругодеформированного тела называют величину, равную половине произведения коэффициента упругости тела на квадрат удлинения или сжатия.

Потенциальная энергия – энергия взаимодействия тел, обусловленная их взаимным расположением или взаимным расположением частей тела.

Полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий тел, входящих в систему.

Закон сохранения энергии – энергия не создаётся и не уничтожается, а только превращается из одной формы в другую.

Основная и дополнительная литература по теме урока

Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б, Сотский Н.Н. Физика. 10 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.: Просвещение, 2017. С. 131-147.

Рымкевич А.П. Сборник задач по физике. 10-11 класс.-М.:Дрофа,2009. С.49-56.

ЕГЭ 2017. Физика. 1000 задач с ответами и решениями. Демидова М.Ю., Грибов В.А., Гиголо А.И. М.: Экзамен, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Влияние на тело сил, приводящее к изменению модуля их скорости, характеризуется величиной, которая зависит как от сил, так и от перемещения тел. Эта величина в механике называется работой силы, определяется по формуле:

Эта формула справедлива в случае, когда проекция силы на смещение постоянна.

Если есть угол между силой и смещением, то проекция силы равна произведению силы на косинус этого угла.

В этом случае работа постоянной силы равна произведению модулей силы и смещения точки приложения силы и косинуса угла между ними.

Работа по сравнению с силой и смещением — это не вектор, а скалярная величина. Она может быть, отрицательной равной нулю или положительной. Таким образом, знак работы определяется знаком косинуса угла между силой и перемещением.

Если сила F перпендикулярна перемещению тела, то работа, этой силой равна нулю. Это тот случай, когда действует сила, но тело не двигается.

Если на тело действует несколько сил, проекция результирующей силы на перемещение равна сумме проекций отдельных сил.

Fr = F1r+F2r+…

Поэтому суммарная работа, (алгебраическая сумма работ всех сил), равна работе результирующей силы.

В жизни важно те только совершение работы, но и время, за которое выполняется работа. Работу мы можем делать быстро и медленно. Отношение работы к временному интервалу, за который выполняется эта работа называется мощностью.

Как вы думаете, что необходимо для движения тела? Да, энергия необходима. Энергия характеризует способность тела (или системы тел) совершать работу. Кинетическая энергия – энергия, которой обладает движущееся тело

И энергия может быть кинетической и потенциальной.

Кинетическая энергия материальной точки равна половине массы материальной точки на квадрат её скорости:

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии материальной точки при её перемещении равно работе силы, действующей на точку во время этого перемещении.

Работа силы тяжести не зависит от формы траектории, а зависит только от положений начальной и конечной точек траектории

А = mgh1 – mgh2.

При движении тела по замкнутой траектории работа силы тяжести равна нулю.

Силы, работа которых не зависит от формы траектории точки приложения силы и на замкнутой траектории равна нулю, называют консервативными силами.

Работа при растяжении пружины силы упругости, когда направление силы совпадает с направлением движения тела, принимает положительные значения и определяется по формуле:

В случае при увеличении деформации пружины, когда сила упругости, действующая на тело со стороны пружины, направлена противоположно деформации, работа силы упругости отрицательна:

Согласно теореме, об изменении кинетической энергии ΔЕк = Ек2 – Ек1 работа силы, действующей на тело, равна изменению его кинетической энергии:

Если силы взаимодействия между телами консервативны, то работу сил можно представить, как разность двух значений некоторой величины, зависящей от взаимного расположения тел или частей одного тела: А = mgh1 – mgh2, работы силы тяжести

и работы силы упругости.

Величина, равная произведению массы m тела на ускорение свободного падения g и высоту h тела над поверхностью Земли, называется потенциальной энергией тела в поле силы тяжести.

Закон сохранения механической энергии:

В изолированной системе, в которой действуют консервативные силы, механическая энергия сохраняется.

Е = Ек + Еп = const

Закон сохранения механической энергии является частным случаем общего закона сохранения энергии: энергия не создаётся и не разрушается, а преобразуется из одной формы в другую.

Примеры и разбор решения заданий

1.

Тело движется вдоль оси ОХ под действием силы F = 2 Н, направленной вдоль этой оси. На рисунке приведён график зависимости проекции скорости vх тела на эту ось от времени t. Какую мощность развивает эта сила в момент времени t = 3 с?

Решение: по графику проекция скорости в момент времени 3с, равна 5 м/с. Мощность, развиваемая силой F для тела, движущегося со скоростью можно найти по формуле

Ответ: 10 Вт

2. Троллейбус массой 15 т трогается с места с ускорением 1,4 м/с2. Найти работу силы тяги и работу силы сопротивления на первых 10 м пути, если коэффициент сопротивления равен 0,05. Каково изменение кинетической энергии автобуса?

Дано:

m = 15т = 15 ·103кг

S = 10м

а = 1,4 м/с2

µ = 0,05

Найти: Ат; Ас; Ек

Запишем уравнение второго закона Ньютона:

в проекции на ось ОХ:

ma = Fт – Fтр

Fтр = µmg → Fт = ma + µmg = m(a+ µg);

По определению работы:

Ат = Fт S = m(a+ µg)S ;

Aт = 15 ·103 кг (1,4 м/с2+0,05 ·10 м/с2) ·10 м = 285 кДж

Работа силы сопротивления: Ас = -FтрS = — µmgS

Ас = -0,05·15·103 кг·10 м/с2·10м = -75 кДж

Кинетическая энергия определяется по формуле:

Ек = mv2/2. Скорость определим по формуле:

Ек = 15·103 кг·14 м/с2 = 210 кДж

Ответ: Ат = 285 кДж; Ас = -75 кДж; Ек = 210 кДж.

Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/6290/conspect/

Закон изменения механической энергии с формулами

Закон изменения механической энергии с формулами

Механической энергией называют энергию, которая связана с движением тел, их возможностью совершать механическую работу, взаимодействовать.

Подчеркнем, что наличие энергии у тела объясняют две причины:

  1. Перемещение тела с некоторой скоростью.
  2. Пребывание тела в потенциальном поле сил.

Энергия, связанная с движением тела называется кинетической энергией.

Потенциальную энергию называют энергией положения, она связывается с нахождением тела в поле сил.

Находят механическую энергию как сумму:

  • кинетической энергии тела (системы тел) ($E_k$) и
  • потенциальной энергии тела (системы) $E_p$.

Кинетическая энергия

Допустим, что материальная точка, имеющая массу $m$, перемещается. Ее скорость равна $\vec v$. Это тело воздействует на второе тело (рис.1), которое соприкасается с первым, с силой $\vec F$.

Рисунок 1. Кинетическая энергия. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

За промежуток времени $dt$ точка, к которой приложена сила (точка $A$ рис.1) совершит перемещение, равное:

$d\vec s=\vec v dt (1)$.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Это означает, что сила (материальная точка 1) совершает над телом 2 работу, равную:

$dA=\vec F d\vec s =\vec F \vec v dt(2).$

Материальная точка 1 выполняет работу, поскольку имеет запас энергии, мы знаем, что она перемещается, и, значит, у нее есть кинетическая энергия. При отсутствии движения мы имели бы $ds=0$, следовательно, была бы равна нулю работа $dA=0$.

На этом основании работу, которую совершает тело 1, будем считать равной уменьшению его кинетической энергии:

$dA=-dE_{k1}(3).$

Учитывая формулу (2) получим:

$ dE_{k1}=-\vec F \vec v dt (4)$.

Из третьего закона Ньютона имеем (рис.1):

$\vec F’ =- \vec F (5),$

в результате скорость материальной точки 1 изменяется на величину $d\vec v$ за отрезок времени $dt$:

$ d\vec v = \frac {1}{m}\vec F’ dt=-\frac {1}{m}\vec F dt (6).$

Запишем скалярное произведение обеих частей уравнения (6) на величину $m\vec v$:

$m\vec v d\vec v=-\vec F \cdot \vec v dt (7).$

Выполним сравнение выражений (2) и (7), имеем:

$d E_k=d(\frac{m v2}{2}) (8).$

Формула (8) показывает, что кинетическая энергия материальной точки определяется как:

$E_k=\frac{m v2}{2} = \frac {p2}{2m}(9),$

где $p$ — модуль импульса тела.

Закон изменения кинетической энергии

Работа, которую совершают над телом ($A’$), равна увеличению его кинетической энергии:

$\Delta E_k=E_{k2}-E_{k1}=A’(10).$

Для доказательства данного утверждения следует воспользоваться выражением для элемента работы, которое мы запишем в виде:

$dA’=\vec F’\vec v dt (11),$

где $\vec F’$ — сила, которая совершает работу над телом; $\vec v$ — скорость тела. Используем второй закон Ньютона в виде:

$\frac {d\vec p}{dt}=\vec F’ (12),$

следовательно, $m d\vec v=\vec F’ dt (13).$

Учитывая полученное в (13), имеем:

$dA’=m\vec v d\vec v=mvdv=d(\frac {mv2}{2})=d E_k (14)$.

Интегрирования выражения (14) приводит к результату:

$A’=\Delta E_k (15).$

Потенциальная энергия

Определение 1

Потенциальным полем называют силовое поле, которое выражается при помощи скалярной потенциальной функции ($U(x,y,z,t)$), зависящей от пространственных координат и времени. Данную функцию называют потенциальной. При этом сила, оказывающая воздействие на частицу, и потенциальная функция связаны соотношением:

$\vec F(x,y,z,t)=-(\frac{\partial U(x,y,z,t)}{\partial x}\vec i+\frac{\partial U(x,y,z,t)}{\partial y}\vec j+\frac{\partial U(x,y,z,t)}{\partial y}\vec k)=-grad U (16)$.

Градиент скалярной функции – это вектор, который направлен в сторону наиболее быстрого увеличения данной функции, равный по величине скорости ее увеличения в этом направлении. Знак минус в формуле (16) показывает то, что сила имеет направление в сторону наиболее быстрого уменьшения функции $U$.

Частным случаем потенциальных полей являются поля, которые не зависят в явном виде от времени. Такие поля именуют консервативными. Для консервативных полей $U=U(x,y,z)$.

Иначе говорят, что тело (частица) находится состоянии стационарных внешних условий, например, в постоянном поле гравитации. В этом случае потенциальную функцию $U$ называют потенциальной энергией частицы во внешнем консервативном поле.

Обозначим потенциальную энергию как $E_p$, в таком случае выполняется равенство:

$\vec F=- grad E_p (x,y,z)(17).$

Конкретный вид потенциальной энергии зависит от характера силового поля, в котором находится тело.

Потенциальную энергию имеют:

  • система тел, находящихся во взаимодействии;
  • тело в состоянии упругой деформации.

Закон изменения потенциальной энергии

Работа в потенциальном поле сил не зависит от пути.

Рассмотрим материальную точку, находящуюся в потенциальном поле сил. Каждую точку поля будем характеризовать значением $E_p(\vec r)$, где $\vec r$ — радиус – вектор точки поля.

Допустим, что величина функции $E_p(\vec r)$ в начальной точке равна:

$E_p(0)=E_{p0}.$

Для получения величины $ E_{p1} (\vec r_1)$ в некоторой точке 1 выполним следующее действие:

$E_{p1}(\vec r_1)= E_{p0}+A_{10}(18),$

где $ A_{10}$ — работа, которую совершают над материальной точкой силы поля, когда перемещают ее из начальной точки в точку 1.

Так как работа в поле потенциальных сил не зависима от пути, то величина E_{p1} является однозначной. Для второй точки по аналогии запишем:

$E_{p2}(\vec r_2)= E_{p0}+A_{20}(19).$

Найдем разность $ E_{p1}- E_{p2}$, используя формулы (18) и (19), принимая во внимание, что $A_{20}=-A_{02}$

$ E_{p1}- E_{p2}= A_{10}- A_{20}= A_{10}+A_{02}(20), $

где $ A_{10}+A_{02}$ — работа, которую выполняют силы поля, если совершают перемещения тела из точки 1 в точку 2 через начальную точку. Но мы помним, что работа консервативных сил не будет зависеть от траектории движения тела, то есть работа при непосредственном перемещении из 1 в 2 будет такой же как из1 в 0, а потом в 2. Поэтому:

$ A_{10}+A_{02}=A_{21} (21)$.

В результате мы имеем:

$ E_{p1}- E_{p2}=A_{12} (22)$.

Выражение (22) показывает нам, что при помощи потенциальной энергии имеется возможность найти работу, которую силы потенциального поля совершают над телом при любом пути из точки 1 в точку 2. Данная работа будет равна уменьшению потенциальной энергии.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/mehanicheskaya_energiya_polnaya_mehanicheskaya_energiya/zakon_izmeneniya_mehanicheskoy_energii_s_formulami/

Законы сохранения энергии — Электронный учебник по законам сохранения

Закон изменения механической энергии с формулами

Если тело некоторой массы m двигалось под действием приложенных сил, и его скорость изменилась от  до  то силы совершили определенную работу A.

Работа всех приложенных сил равна работе равнодействующей силы 

Работа равнодействующей силы. .A = F1s cos α1 + F2s cos α2 = F1ss + F2ss = Fрss = Fрs cos α

Между изменением скорости тела и работой, совершенной приложенными к телу силами, существует связь.

Эту связь проще всего установить, рассматривая движение тела вдоль прямой линии под действием постоянной силы  В этом случае векторы силы  перемещения  скорости  и ускорения  направлены вдоль одной прямой, и тело совершает прямолинейное равноускоренное движение.

Направив координатную ось вдоль прямой движения, можно рассматривать F, s, υ и a как алгебраические величины (положительные или отрицательные в зависимости от направления соответствующего вектора). Тогда работу силы можно записать как A = Fs. При равноускоренном движении перемещение s выражается формулой 

Отсюда следует, что 

Это выражение показывает, что работа, совершенная силой (или равнодействующей всех сил), связана с изменением квадрата скорости (а не самой скорости).

Физическая величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости, называется кинетической энергией тела: 

Работа приложенной к телу равнодействующей силы равна изменению его кинетической энергии. 

Это утверждение называют теоремой о кинетической энергии. Теорема о кинетической энергии справедлива и в общем случае, когда тело движется под действием изменяющейся силы, направление которой не совпадает с направлением перемещения.

Кинетическая энергия – это энергия движения. Кинетическая энергия тела массой m, движущегося со скоростью  равна работе, которую должна совершить сила, приложенная к покоящемуся телу, чтобы сообщить ему эту скорость: 

Если тело движется со скоростью  то для его полной остановки необходимо совершить работу 

В физике наряду с кинетической энергией или энергией движения важную роль играет понятие потенциальной энергии или энергии взаимодействия тел.

Потенциальная энергия определяется взаимным положением тел (например, положением тела относительно поверхности Земли). Понятие потенциальной энергии можно ввести только для сил, работа которых не зависит от траектории движения и определяется только начальным и конечным положениями тела. Такие силы называются консервативными.

Работа консервативных сил на замкнутой траектории равна нулю. Это утверждение поясняет рисунок ниже

Свойством консервативности обладают сила тяжести и сила упругости. Для этих сил можно ввести понятие потенциальной энергии.

Работа консервативной силы A1a2 = A1b2. Работа на замкнутой траекторииA = A1a2 + A2b1 = A1a2 – A1b2 = 0

Если тело перемещается вблизи поверхности Земли, то на него действует постоянная по величине и направлению сила тяжести  Работа этой силы зависит только от вертикального перемещения тела. На любом участке пути работу силы тяжести можно записать в проекциях вектора перемещения  на ось OY, направленную вертикально вверх: 

ΔA = Fт Δs cos α = –mgΔs y,

где Fт = Fтy = –mg – проекция силы тяжести, Δsy – проекция вектора перемещения. При подъеме тела вверх сила тяжести совершает отрицательную работу, так как Δsy > 0. Если тело переместилось из точки, расположенной на высоте h1, в точку, расположенную на высоте h2 от начала координатной оси OY , то сила тяжести совершила работу 

A = –mg (h2 – h1) = –(mgh2 – mgh1).

Эта работа равна изменению некоторой физической величины mgh, взятому с противоположным знаком. Эту физическую величину называют потенциальной энергией тела в поле силы тяжести 

Она равна работе, которую совершает сила тяжести при опускании тела на нулевой уровень.

Если рассматривать движение тел в поле тяготения Земли на значительных расстояниях от нее, то при определении потенциальной энергии необходимо принимать во внимание зависимость силы тяготения от расстояния до центра Земли (закон всемирного тяготени).

Для сил всемирного тяготения потенциальную энергию удобно отсчитывать от бесконечно удаленной точки, т. е. полагать потенциальную энергию тела в бесконечно удаленной точке равной нулю.

Формула, выражающая потенциальную энергию тела массой m на расстоянии rот центра Земли, имеет вид: 

где M – масса Земли, G – гравитационная постоянная.

Понятие потенциальной энергии можно ввести и для силы упругости. Эта сила также обладает свойством консервативности. Растягивая (или сжимая) пружину, мы можем делать это различными способами.

Можно просто удлинить пружину на величину x, или сначала удлинить ее на 2x, а затем уменьшить удлинение до значения x и т. д. Во всех этих случаях сила упругости совершает одну и ту же работу, которая зависит только от удлинения пружины x в конечном состоянии, если первоначально пружина была недеформирована. Эта работа равна работе внешней силы A, взятой с противоположным знаком : 

где k – жесткость пружины. Растянутая (или сжатая) пружина способна привести в движение прикрепленное к ней тело, т. е. сообщить этому телу кинетическую энергию. Следовательно, такая пружина обладает запасом энергии. Потенциальной энергией пружины (или любого упруго деформированного тела) называют величину 

Потенциальная энергия упруго деформированного тела равна работе силы упругости при переходе из данного состояния в состояние с нулевой деформацией.

Если в начальном состоянии пружина уже была деформирована, а ее удлинение было равно x1, тогда при переходе в новое состояние с удлинением x2 сила упругости совершит работу, равную изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком: 

Потенциальная энергия при упругой деформации – это энергия взаимодействия отдельных частей тела между собой посредством сил упругости.

Свойством консервативности наряду с силой тяжести и силой упругости обладают некоторые другие виды сил, например, сила электростатического взаимодействия между заряженными телами. Сила трения не обладает этим свойством. Работа силы трения зависит от пройденного пути. Понятие потенциальной энергии для силы трения вводить нельзя.

Сумма кинетической и потенциальной энергии тел, составляющих замкнутую систему и взаимодействующих между собой посредством сил тяготения и сил упругости, остается неизменной.

Это утверждение выражает закон сохранения энергии в механических процессах. Он является следствием законов Ньютона. Сумму E = Ek + Ep называют полной механической энергией. Закон сохранения механической энергии выполняется только тогда, когда тела в замкнутой системе взаимодействуют между собой консервативными силами, то есть силами, для которых можно ввести понятие потенциальной энергии.

Пример применения закона сохранения энергии – нахождение минимальной прочности легкой нерастяжимой нити, удерживающей тело массой m при его вращении в вертикальной плоскости (задача Х. Гюйгенса). Рис. 1.20.1 поясняет решение этой задачи.

К задаче Христиана Гюйгенса.  – сила натяжения нити в нижней точке траектории

Закон сохранения энергии для тела в верхней и нижней точках траектории записывается в виде: 

Обратим внимание на то, что сила  натяжения нити всегда перпендикулярна скорости тела; поэтому она не совершает работы.

При минимальной скорости вращения натяжение нити в верхней точке равно нулю и, следовательно, центростремительное ускорение телу в верхней точке сообщается только силой тяжести: 

Из этих соотношений следует: 

Центростремительное ускорение в нижней точке создается силами  и  направленными в противоположные стороны: 

Отсюда следует, что при минимальной скорости тела в верхней точке натяжение нити в нижней точке будет по модулю равно 

Прочность нити должна, очевидно, превышать это значение.

Очень важно отметить, что закон сохранения механической энергии позволил получить связь между координатами и скоростями тела в двух разных точках траектории без анализа закона движения тела во всех промежуточных точках. Применение закона сохранения механической энергии может в значительной степени упростить решение многих задач.

В реальных условиях практически всегда на движущиеся тела наряду с силами тяготения, силами упругости и другими консервативными силами действуют силы трения или силы сопротивления среды.

Сила трения не является консервативной. Работа силы трения зависит от длины пути.

Если между телами, составляющими замкнутую систему, действуют силы трения, то механическая энергия не сохраняется. Часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию тел (нагревание).

При любых физических взаимодействиях энергия не возникает и не исчезает. Она лишь превращается из одной формы в другую.

Этот экспериментально установленный факт выражает фундаментальный закон природы – закон сохранения и превращения энергии.

Одним из следствий закона сохранения и превращения энергии является утверждение о невозможности создания «вечного двигателя» (perpetuum mobile) – машины, которая могла бы неопределенно долго совершать работу, не расходуя при этом энергии

Один из проектов «вечного двигателя». Почему эта машина не будет работать?

История хранит немалое число проектов «вечного двигателя».

В некоторых из них ошибки «изобретателя» очевидны, в других эти ошибки замаскированы сложной конструкцией прибора, и бывает очень непросто понять, почему эта машина не будет работать.

Бесплодные попытки создания «вечного двигателя» продолжаются и в наше время. Все эти попытки обречены на неудачу, так как закон сохранения и превращения энергии «запрещает» получение работы без затраты энергии.

Источник: https://www.sites.google.com/site/zakonifizika/home/zakony-sohranenia-energii

Глава 6. Работа, мощность, энергия. Закон сохранения и изменения механической энергии

Закон изменения механической энергии с формулами

При решении задач единого государственного экзамена на работу, мощность и энергию необходимо знать следующие законы и определения. Во-первых, это определения всех перечисленных величин, причем глубокого понимания того, что такое потенциальная энергия, в общем-то, не требуется: достаточно помнить формулы потенциальных энергий тела в однородном поле тяжести и деформированной пружины.

Определение работы достаточно знать только для постоянной силы и помнить формулу для работы силы упругости. Во-вторых, необходимо знать и уметь применять в простейших случаях теорему об изменении кинетической энергии. И, в-третьих, нужно знать закон сохранения механической энергии, а также понимать, в каких случаях этот закон выполняется, а когда нарушается.

Сформулируем эти определения и законы.

Кинетической энергией тела массой , движущегося со скоростью , называется величина

(6.1)

Пусть тело при своем движении совершает перемещение . Если в процессе этого движения на тело действует постоянная сила , то работой этой силы называется величина

(6.1)

где — угол между векторами силы и перемещения .

Если в процессе движения тела сила изменяется, для вычисления работы необходимо разбивать траекторию на такие малые участки, что силу или угол на каждом из них можно считать постоянными, находить работу силы на каждом участке, а затем суммировать. Если на тело действуют несколько сил, то работа, совершенная равнодействующей силой, равна сумме работ, совершенных отдельными силами.

Все силы в природе можно разделить на две группы — потенциальные и непотенциальные. К непотенциальным силам относятся силы сопротивления или трения, к потенциальным — все остальные.

Для вычисления работ, которые совершают потенциальные силы, вводится понятие потенциальной энергии. Потенциальной энергией тела называется такая функция координат, разность значений которой для начала и конца траектории равна совершенной работе.

Для решения задач школьного курса физики необходимо знать, что потенциальная энергия тела в поле силы тяжести равна

(6.3)

где — масса тела, — ускорение свободного падения, — высота расположения тела по отношению к некоторому уровню, который считается начальным (может быть выбран любым). Знак «+» в этой формуле следует взять, когда тело находится выше начального уровня, знак «–», если ниже. Потенциальная энергия сжатой, или растянутой пружины определяется соотношением

(6.4)

где — коэффициент жесткости пружины, — ее деформация. Следует иметь в виду, что эта формула справедлива независимо от того, сжата пружина или растянута. Следует также помнить, что для непотенциальных сил ввести потенциальную энергию нельзя.

Через изменение потенциальной энергии можно найти работу соответствующей силы. Если, например, тело переместилось из точки, в которой его потенциальная энергия равнялась , в точку, в которой его потенциальная энергия равняется , то отвечающая этой потенциальной энергии сила совершила работу

(6.5)

Если некоторая сила совершает работу за время , то мощностью этой силы называется отношение

(6.6)

которое имеет смысл работы, совершаемой в единицу времени. В связи с формулой (6.6) можно говорить о средней или мгновенной мощности, когда интервал времени стремится к нулю.

Для любого движения тела справедливо утверждение, которое называется теоремой об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии тела равно сумме работ всех сил, действующих на тело

(6.7)

где и — скорости тела в начале и конце некоторого участка пути, , , … — работы всех сил, действующих на тело. Рассматриваемый в теореме (6.

7) участок пути может быть выбран произвольно, но работы должны вычисляться именно на этом участке.

Теорема об изменении кинетической энергии позволяет находить начальную или конечную скорость тела (при известных работах), либо работу какой-то силы (при известных скоростях).

Теорему об изменении кинетической энергии можно сформулировать и на другом языке. Если на тело действуют только потенциальные силы, то их работу можно выразить через разности начальной и конечной потенциальной энергий. Тогда уравнение (6.7) можно представить в виде

(6.8)

где , , … — потенциальные энергии сил, действующих на тело (в начальном и конечном положениях тела). Сумма Кинетической и потенциальной энергии тела называется его механической энергией. Из формулы (6.

8) заключаем, что если на тело действуют только потенциальные силы, его механическая энергия не изменяется. Формула (6.8) называется законом сохранения механической энергии.

Если на тело действуют и непотенциальные силы, то механическая энергия не сохраняется, но ее приращение равно работе непотенциальных сил.

Разберем на основе этих определений и законов задачи, приведенные в первой части.

В задаче 6.1.1 из формул для величины импульса и кинетической энергии

получаем , откуда находим (ответ 2).

Из формулы для кинетической энергии

заключаем, что размерность квадрата импульса, деленная на размерность массы, дает размерность энергии, т.е. Джоуль (задача 6.1.2 — правильный ответ 1). Обратим внимание читателя, что названия всех единиц измерений, данные в ответах к этой задаче, представляют собой фамилии выдающихся физиков.

Поскольку плита в задаче 6.1.3 поднимается медленно, сила, с которой трос действует на плиту, равна силе тяжести. Поэтому работа, которую совершает подъемный кран, равна изменению потенциальной энергии тела Дж, где — масса плиты, — ускорение свободного падения, — высота подъема (ответ 2).

В задачах по физике часто приходится вычислять работу, которую совершает над каким-то телом сила тяжести.

Следует запомнить, что независимо от траектории тела эта работа равна , где — масса тела, — ускорение свободного падения, — разность уровней начального и конечного положения тела.

Знак «+» в этой формуле следует взять, когда тело спускается (начальное положение выше конечного), знак «–», если поднимается. Например, в задаче 6.1.4 тело массой 2 кг спускается на расстояние (по вертикали)3 м. Поэтому сила тяжести совершает работу (ответ 2).

Из формулы (6.3) для потенциальной энергии силы тяжести заключаем, что потенциальная энергия мяча из задачи 6.1.5 увеличивается на 12 Дж (ответ 2).

Человек из задачи 6.1.6 массой = 70 кг, поднявшись на пятый этаж ( = 15 м), совершает работу не меньше, чем 10500 Дж. Поскольку человек затрачивает на подъем время t = 14 с, то средняя мощность, развиваемая этим человеком, равна N = 10500/14 = 750 Вт.

Переводя это значение в лошадиные силы, заключаем, что средняя мощность, развиваемая человеком в течение рассматриваемого интервала времени, примерно равна одной лошадиной силе (правильный ответ 4).

Конечно, подняться на пятый этаж за 14 с непросто, но вполне возможно для тренированного человека.

Поскольку тело поднимается равномерно, сила, действующая на тело со стороны троса лебедки, равна силе тяжести. Поэтому мощность, развиваемая лебедкой (задача 6.1.7), равна

(ответ 3).

Поскольку при движении тела по шероховатой горизонтальной поверхности сила трения не изменяется, работа силы трения равна , где — коэффициент трения, — масса тела, — ускорение свободного падения, — пройденный путь. Знак «–» в этой формуле есть следствие противоположных направлений силы трения и скорости тела. В задаче 6.1.8 согласно этой формуле получим = – 10 Дж (ответ 4).

Пусть на тело, движущееся со скоростью , начинает действовать некоторая сила, которая останавливает это тело. Тогда из теоремы об изменении кинетической энергии заключаем, что

где — работа этой силы. Отсюда следует, что работа, которую нужно совершить, чтобы остановить тело, пропорциональна квадрату его скорости (задача 6.1.9 — правильный ответ 3). Аналогично в задаче 6.1.10 находим, что работа силы трения равна = – 1 Дж (ответ 1).

В задаче 6.2.1 используем теорему об изменении кинетической энергии для рассматриваемого в условии груза

где — работа силы тяжести, — работа данной силы . На участке пути 3 м эти силы совершают над грузом работы

Отсюда заключаем, что изменение кинетической энергии тела равно 120 Дж (ответ 2).

Формулу для работы, совершаемой силой упругости, нужно запомнить. Если пружина растягивается или сжимается из недеформированного состояния, то сила упругости совершает работу

(правильный ответ в задаче 6.2.24).

Используя формулу (6.4) для потенциальной энергии пружины, находим энергию пружины, растянутой на величину , и сжатой на величину . Вычитая вторую величину из первой, находим, что потенциальная энергия пружины, растянутой на величину , больше на , чем потенциальная энергия этой же пружины, сжатой на величину (задача 6.2.3 — ответ 2).

При столкновениях тел механическая энергия может сохраняться (в этом случае говорят об абсолютно упругом столкновении), а может и не сохраняться (неупругое столкновение).

В этом случае механическая энергия переходит в другие формы, и в частности, в тепло.

При этом согласно закону сохранения энергии количество выделившейся теплоты равно разности начальной и конечной механической энергии тела. Поэтому в задаче 6.2.4 получаем

где и — начальная и конечная кинетические энергии мяча, и — начальная и конечная скорости мяча. Подставляя в эту формулу данные условия, получаем = 0,375 Дж (ответ 4).

Пусть при торможении автомобиля его скорость снизилась от до (задача 6.2.5). Тогда по теореме об изменении кинетической энергии имеем

где — тормозной путь автомобиля при таком торможении, — сила трения, действующая на тело. Если скорость автомобиля снижается от до нуля, теорема об изменении кинетической энергии дает

Отсюда заключаем, что тормозной путь в первом случае больше тормозного пути во втором в 3 раза (ответ 3).

При бросании тела со скоростью под углом к горизонту (задача 6.2.6) его начальная кинетическая энергия равна

Скорость в верхней точке траектории равна , и потому кинетическая энергия в верхней точке —

Отсюда по теореме об изменении кинетической энергии находим работу силы тяжести

(ответ 1).

До попадания тела на ленту транспортера в задаче 6.2.7 тело имело кинетическую энергию 0,5 Дж, после остановки относительно ленты – 4,5 Дж, причем единственной силой, которая совершала работу (изменила скорость тела) является сила трения между телом и лентой. Поэтому по теореме об изменении кинетической энергии получаем (ответ 1).

Запишем для участка движения тела от начала контакта с пружиной до остановки (задача 6.2.8) закон сохранения механической энергии

Здесь нуль в левой части — это потенциальная энергия недеформированной пружины (до момента контакта тела с пружиной), а нуль в правой части — кинетическая энергия тела в момент остановки (именно это положение тела отвечает максимальному сжатию пружины). Отсюда находим (ответ 1).

Задача 6.2.9 является достаточно сложной для школьников, поскольку правильный ответ (который мгновенно получается по теореме об изменении кинетической энергии ) кажется

бессмысленным. С одной стороны, раз , то стенка ничего «не делала», с другой стороны, понятно, что именно она останавливала тело. Тем не менее, этот ответ правильный, а стенка совершала работу дважды. Сначала она остановила тело (т.е.

изменила его скорость от до нуля) и совершила работу , затем разогнала — от нулевой скорости до и совершила при этом работу . Поэтому суммарная работы силы, действующей на тело со стороны стенки, равна нулю.

В этом решении ярко проявляется невекторный (скалярный) характер энергии: кинетическая энергия тела, движущегося в направлении стенки и от нее, одинакова.

В задаче 6.2.10 необходимо найти мгновенную мощность, развиваемую силой тяжести. Пусть в некоторый момент времени тело имеет скорость . Тогда за малый интервал времени , за который его скорость не успевает измениться, тело проходит расстояние .

Следовательно, работа силы тяжести за этот интервал времени будет равна , а мощность, развиваемая силой тяжести, . А поскольку для падающего из состояния покоя тела , получаем .

Это значит, что мощность силы тяжести линейно возрастает со временем (ответ 3).

Источник: https://online.mephi.ru/courses/sge/data/reference_book/6/p6.html

Booksm
Добавить комментарий