Закон Джоуля-Ленца и его дифференциальная форма

§ 13.6 Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца

Закон Джоуля-Ленца и его дифференциальная форма

Рассмотримоднородный проводник, к концам которогоприложено напряжение U.За время dtчерез сечение проводника переноситсязаряд dq=Idt. Так как ток представляет собойперемещение заряда dqпод действием электрического поля, то,по работа тока равна

dA=Udq=IUdt (13.28)

Если сопротивлениепроводника R,то, используя закон Ома, получим

(13.29)

Мощность тока

(13.30)

Если ток проходитпо неподвижному металлическомупроводнику, то вся работа тока идёт наего нагревание, и, по закону сохраненияэнергии,

(13.31)

Таким образом,используя выражение (13.28) и (13.31) , получим

(13.32)

Выражениепредставляет собой законДжоуля-Ленца,экспериментально установленныйнезависимо друг от друга Джоулем иЛенцом.

§ 13.7 Законы Ома и Джоуля-Ленца в дифференциальной форме

Подставиввыражение для сопротивления в законОма, получим

(13.33)

где величина ,обратная удельному сопротивлению,называется удельнойэлектрической проводимостьювещества проводника. Её единица – сименсна метр (См/м).

Учитывая, что- напряжённость электрического поля впроводнике, -плотность тока, формулу можно записатьв виде

j= γE (13.34)

Закон Джоуля-Ленца в дифференциальноё форме

Выделим впроводнике элементарный цилиндрическийобъём dV=dSdℓ(ось цилиндра совпадает с направлениемтока(рис.13.9)), сопротивление которого . По закону Джоуля-Ленца, за время в этомобъёме выделится теплота

(13.35)

Количествотеплоты, выделившееся за единицу временив единице объёма, называется удельнойтепловой мощностью тока.Она равна

ω=ρ∙j2 (13.36)

Используядифференциальную форму закона Ома (j= γE)и соотношение ,получим ω= j∙E=γ∙E2 (13.37)

Примеры решения задач

Пример . Силатока в проводнике равномерно растёт отI0=0до Imax=3Аза время τ=6с. Определите заряд Q,прошедший по проводнику.

Дано: I0=0; Imax=3А;τ=6с.

Найти:Q.

Решение. Заряд dQ,проходящий через поперечное сечениепроводника за время dt,

dQ=Idt

По условию задачисила тока растёт равномерно, т.е. I=kt, где коэффициент пропорциональности

.

Тогда можно записать

dQ=ktdt (1)

Проинтегрировав(1) и подставив выражение для k,найдём искомый заряд, прошедший попроводнику:

.

Ответ:Q=9Кл.

Пример . Пожелезному проводнику (ρ=7,87г/см3,М=56∙10-3кг/моль) сечением S=0,5мм2течёт ток I=0,1А.

определите среднюю скоростьупорядоченного (направленного) движенияэлектронов, считая, что число свободныхэлектронов в единице объёма проводникаравно числу атомов n'в единице объёма проводника

Дано: ρ=7,87г/см3,=7,87∙103 кг/м3; М=56∙10-3кг/моль; I=0,1A;S=0,5мм2=0,510-6 м2.

Найти:.

Решение.Плотность тока в проводнике

j=ne,

где — средняя скорость упорядоченногодвижения электронов в проводнике;n- концентрация электронов (числоэлектронов в единице объёма); e=1,6∙10-19Кл – заряд электрона.

Согласно условиюзадачи,

(2)

(учли, что ,где – масса проводника; М – его молярнаямасса;NA=6,02∙1023моль-1– постоянная Авогадро; — плотность железа).

Учитывая формулу(2) и то, что плотность тока ,выражение (1) можно записать в виде

,

Откуда искомаяскорость упорядоченного движенияэлектронов

Ответ:=14,8мкм/с.

Пример .Сопротивлениеоднородной проволоки R=36Ом. Определите, на сколько равных отрезковразрезали проволоку, если после ихпараллельного соединения сопротивлениеоказалось равным R1=1Ом.

ДаноR=36Ом; R1=1Ом.

Найти:N.

Решение.Неразрезаннуюпроволоку можно представить как Nпоследовательно соединённых сопротивлений.Тогда

R=Nr, (1)

где r– сопротивление каждого отрезка.

https://www.youtube.com/watch?v=WKRqCc8dnMo

В случае параллельногосоединения Nотрезков проволок

или (2)

Из выражений (1) и(2) найдём искомое число отрезков

Ответ:N=6

Пример .Определитеплотность тока в медной проволоке длинойℓ=100 м, если разность потенциалов на еёконцах φ12=10В.Удельное сопротивление меди ρ =17 нОм∙м.

Даноℓ=100 м; φ12=10В;ρ =17 нОм∙м=1,7∙10-8Ом∙м.

Найти:j.

Решение.Согласно закону Ома в дифференциальнойформе,

j=γE, (1)

где -удельная электрическая проводимостьпроводника;- напряжённость электрического полявнутри однородного проводника, выраженнаячерез разность потенциалов на концахпроводника и его длину.

Подставив записанныеформулы в выражение (1), найдём искомуюплотность тока

Ответ:j=5,88МА/м2.

Пример . Черезлампу накаливания течёт ток I=1А,Температура вольфрамовой нити диаметромd1=0,2мм равна 2000ºС. Ток подводится меднымипроводами сечением S2=5мм2.

Определите напряжённость электростатическогополя: 1) в вольфраме; 2) в меди.

Удельноесопротивление вольфрама при 0ºС ρ0=55нОм∙ м, его температурный коэффициентсопротивления α1=0,0045град-1,удельное сопротивление меди ρ2=17нОм∙м.

Дано: I=1А;d1=0,2мм=2∙10-4м;Т= 2000ºС; S2=5мм2=5∙10-6 м2; ρ0=55нОм∙ м= 5,5∙10-8Ом∙м:α1=0,0045ºС-1; ρ2=17нОм∙м=1,7∙10-8Ом∙м.

Найти:Е1;Е2.

Решение.Согласно закону Ома в дифференциальнойформе, плотность тока

(1)

где -удельная электрическая проводимостьпроводника; Е – напряжённостьэлектрического поля.

Удельное сопротивлениевольфрама изменяется с температуройпо линейному закону:

ρ=ρ0(1+αt). (2)

Плотность тока ввольфраме

(3)

Подставив выражение(2) и (3) в формулу (1) , найдём искомуюнапряжённость электростатическогополя в вольфраме

.

Напряжённостьэлектростатического поля в меди

(учли, что ).

Ответ: 1)Е1=17,5В/м; 2) Е2=3,4мВ/м.

Пример . Попроводнику сопротивлением R=10Омтечёт ток, сила тока возрастает при этомлинейно. Количество теплоты Q,выделившееся в проводнике за время τ=10с, равно 300 Дж. Определите заряд q,прошедший за это время по проводнику,если в начальный момент времени сила тока в проводнике равнанулю.

Дано: R=10Ом; τ=10с; Q=300Дж;I0=0.

Найти:q.

Решение.Из условия равномерности возрастаниясилы тока (при I0=0)следует, что I=kt,где k– коэффициент пропорциональности.Учитывая, что , можем записать

dq=Idt=ktdt. (1)

Проинтегрируемвыражение (1), тогда

(2)

Для нахождениякоэффициента kзапишем закон Джоуля-Ленца для бесконечногомалого промежутка времени dt:

dQ=I2Rdt.

Проинтегрировавэто выражение от0 до , получим количествотеплоты , заданное в условии задачи:

,

Откуда найдём k:

. (3)

Подставив формулу(3) в выражение (2), определим искомыйзаряд

Ответ: q=15Кл.

Пример .Определитеплотность электрического тока в медномпроводе (удельное сопротивлениеρ=17нОм∙м), если удельная тепловаямощность тока ω=1,7Дж/(м3∙с)..

Дано:ρ=17нОм∙м=17∙10-9Ом∙м;ω=1,7Дж/(м3∙с).

Найти:j.

Решение.Согласно законам Джоуля-Ленца и Ома вдифференциальной форме,

(1)

, (2)

где γ и ρ –соответственно удельные и сопротивлениепроводника. Из закона (2) получим, что Е= ρj.Подставив это выражение в (1), найдёмискомую плотность тока:

.

Ответ:j=10кА/м3.

Пример .Определитевнутреннее сопротивление источникатока, если во внешней цепи при сила токаI1=4Аразвивается мощность Р1=10Вт, а при силе тока I2=6А– мощность Р2=12Вт.

Дано: I1=4А;Р1=10Вт; I2=6А; Р2=12Вт.

Найти:r.

Решение.Мощность, развиваемая током,

и (1)

где R1и R2– сопротивления внешней цепи.

Согласно законуОма для замкнутой цепи,

; ,

где ε- ЭДС источника.Решив эти два уравнения относительноr,получим

(2)

Ответ:r=0,25Ом.

Пример.В цепь, состоящую из источника ЭДС ирезистора сопротивлением R=10Ом,включают вольтметр, сначала параллельно,а затем последовательно резистору,причём показания вольтметра одинаковы.Определите внутреннее сопротивлениеrисточника ЭДС, если сопротивлениевольтметра RV=500Ом.

Дано: R=10Ом; RV=500Ом; U1=U2.

Найти:r.

Решение.Согласно условию задачи, вольтметр одинраз подключают к резистору параллельно(рис.а), второй – последовательно (рис.б), причём его показания одинаковы.

Силу тока найдёмсогласно закону Ома для замкнутой цепи:

— при параллельномсоединении

— при последовательномсоединении

где ε – ЭДСисточника.

Падение напряженияна вольтметре

— при параллельномсоединении

(1)

(-сопротивлениепараллельно соединённых вольтметра ирезистора); — при последовательномсоединении

(2)

Приравняв выражение(1) и (2), согласно условию U1=U2,получим

или ,

Откуда послеэлементарных преобразований искомоевнутреннее сопротивление

Ответ:r=0,2 Ом.

Пример.Определите внутреннее сопротивлениеи ЭДС батареи, образованной тремяисточниками ЭДС (см.рисунок), если ЭДСисточников ε1=2В,ε2=4Ви ε3=6В,а их внутренние сопротивления одинаковыи равны 0,2 Ом..

Дано: ε1=2В;ε2=4В; ε3=6В;r1=r2=r3=r=0,2Ом.

Найти:rб;εб.

Решение.Общее внутреннее сопротивление научастке ВС (источники ε1 и ε2соединены параллельно)

,

Откуда

(1)

Внутреннеесопротивление батареи (она подключенамежду точками А и D)

[учли (1)].

Для участка ВСможем записать

,

откуда

[учли (1)].

Искомая ЭДС батареи

.

Из рисунка следует,что если считать ЭДС ε2и ε3положительный, то ЭДС ε1–отрицательна.

Ответ:rб=0,3Ом; εб=7В.

Пример.Два источника, ЭДС которых ε1=2Ви ε2=4В,соединены как показано на рисунке а.Внешнее сопротивление R=1Ом,авнутреннее сопротивление источниковr1=r2=0,5Ом. Определите силы токов, протекающихчерез источники и внешнее сопротивление.

Дано: ε1=2В;ε2=4В; R=1Ом; r1=r2=0,5Ом.

Найти:I1;I2;IR.

Решение.Выберемнаправление токов, как указано на рис.б. Согласно первому правилу Кирхгофадля узла А:

IR=I1+I2. (1)

Второе правилоКирхгофа для замкнутых контуров ε1,Rи ε2,R

I1r+IRR=ε1. (2)

I2r+IRR=ε2. (3)

Решая уравнения(1)-(3), получим (учли, что r1=r2=r)

, ,.

Вычисляя, получаемIR=2,4А; I1=-0,8А; I2=3,2А.

Знак «-» означает,что ток I1течёт внаправлении, обратном выбранному нарис.б.

Ответ:I1=-0,8А; I2=3,2А; IR=2,4А.

Источник: https://studfile.net/preview/6214973/page:5/

Закон джоуля – ленца

Закон Джоуля-Ленца и его дифференциальная форма

3)Затруднение возникло также с зависимостью сопротивления от температуры. Из (···) следует, что удельное сопротивление r =1/s~ , т. к.

скорость теплового движения u~ , а остальные величины практически не зависят от температуры. Но из опыта следовало, что r~ Т.

Квантовая механика разрешила и это затруднение (см. III часть курса).

Закон Джоуля – Ленца: «Если по проводнику протекает ток, в проводнике выделяется теплота Q». Найдем выражение для Q. Сначала получим закон в дифференциальной форме на основе электронной теории. Введем новое понятие:

(Дж/м3×с)удельная мощность – это энергия, выделяющаяся в единице объема проводника за единицу времени [22]
энергия, передаваемая одним электроном иону решетки за одно столкновение, т. е. за время t — время между двумя столкновениями.
энергия, передаваемая электронами, находящимися в единице объема проводника за одно столкновение (за время t), n— концентрация электронов
энергия, выделяющаяся в единице объема за единицу времени (формулы — см. закон Ома)
закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме

Чтобы найти количество теплоты, выделяющейся во всем проводнике за некоторое время нужно проинтегрировать и использовать закон Ома:

закон Джоуля — Ленца в интегральной форме при постоянной силе тока, R – общее сопротивление участка цепи
для случая, когда сила токазависит от времени

Электрическое сопротивление.

В законе Ома электрическое сопротивление R – коэффициент пропорциональности между разностью потенциалов, приложенной к концам проводника, и силой тока, возникающего при этом в проводнике. Исходя из этого, электрическое сопротивление можно определить следующим образом: это мера

того сопротивления, которое оказывает проводник попытке установления в нем тока. С позиций электронной теории сопротивление объясняется тем, что ионы решетки препятствуют движению электронов. Сталкиваясь с ионами, электроны теряют энергию, передавая ее ионам и меняют направление движения.

Электрическое сопротивление данного проводника зависит от его природы и размеров. Опытным путем установлено, что сопротивление R проводника прямо пропорционально его длине l и обратно пропорционально площади его поперечного сечения:

Эта формула применима только для однородного по составу проводника с постоянной площадью поперечного сечения.
r (Ом. м)- удельное сопротивление – это характеристика электрических свойствметалла, оно зависит от природы металла и от его температуры. По смыслу r — это электрическое сопротивление единицы длины проводника с единичной площадью поперечного сечения. (В СИ – это сопротивление, например, металлического куба с ребром 1м при условии, что ток распространяется параллельно ребру куба).

С увеличением температуры сопротивление металлов увеличивается. При умеренных температурах удельное сопротивление линейно зависит от температуры:

(1/К)зависимость удельного сопротивления металлов от температуры;r0 – удельное сопротивление при 0оС,a — температурный коэффициент сопротивления, определяющий относительное изменение сопротивления при нагревании проводника на один градус.

Зависимость сопротивления от температуры используется для точного измерения температуры с помощью термометров сопротивления. В простейшем виде – это намотанная на изолятор тонкая проволочка, сопротивление которой при различных температурах заранее известна. Для измерения температуры проволочка приводится в контакт с телом, температуру которого хотят измерить, и измеряется ее сопротивление.

При соединении сопротивлений выполняются следующие соотношения.

последовательное соединение
параллельное соединение

[1] Ничего более конкретного сказать нельзя, т. к. по сути, мы не знаем, что такое электрический заряд. Это некое неотъемлемое свойство, присущее частицам, подобно психике у человека

[2] Существуют также частицы – кварки – с зарядами 1/3 е×и 2/3×е, но это виртуальные частицы, которые не могут длительное время находится в свободном состоянии.

[3] Электрические и магнитные явления существуют в неразрывном единстве. Однако общая теория электромагнитных явлений (релятивистская квантовая электродинамика) слишком сложна для курса общей физики, поэтому мы будем рассматривать электрические и магнитные явления традиционно, т. е. раздельно.

[4] Был установлен опытным путем фр. ученым Кулоном в 1785 г.

[5] В действительности, существует явление электрической индукции, т. е. взаимное влияние заряженных тел друг на друга (см. ниже).

[6] Циркуляция вектора напряженности электрического поля ¹ 0 (см. дальше в тексте)

[7] Различают электростатическое (потенциальное) и электрическое (вихревое) поля, оба поля характеризуют напряженностью Е, потенциал ×j — характеристика электростатического поля.

[8] grad или Ñ– это краткое обозначение математической операции:

[9] Не обязательно брать цилиндр, можно взять любую призму, важно, чтобы ее образующие были перпендикулярны торцевым сечениям и самой заряженной плоскости.

[10] Будем употреблять для краткости слово «емкость»

[11]Подумайте над вопросом: проводник заряжен зарядом 1 мкКл. Во сколько раз изменится его емкость, если заряд увеличить до 5 мкКл?

[12] Силы F2 и F1 направлены по касательным к силовым линиям, а не горизонтально, как показано на рис., но мы будем этим небольшим различием пренебрегать.

[13] Существуют также жидкие проводники, но мы их рассматривать не будем.

[14] Для газов использовать e неудобно, т. к. она очень мало отличается от единицы (для воздуха e = 1,000576), поэтому для газов чаще используют c.

[15] На границе двух диэлектриков силовые линии преломляются. При этом для вектора Е совпадают касательные составляющие, а отношение нормальных составляющих равно отношению диэлектрических проницаемостей. Для вектора D –наоборот (см. учебник).

[16] Для обоснования этого утверждения нужно снова рассмотреть все приведенные ранее случаи, вводя диэлектрик, и применять теорему Гаусса для D, а потом определять Е.

[17] Не приводим из-за громоздкости.

[18] Если бросить заряженный металлический предмет – его движение можно считать кратковременным током. Если

вблизи находится компас, его стрелка даст отклонение, т. к. она реагирует на магнитное поле тока.

[19] В металлах положительные заряды (ионы решетки) не могут перемещаться – они и есть сам металл.

[20]На вопрос, где работают сторонние силы ответить трудно. Натираем стеклянную палочку, дотрагиваемся до проводника, работают сторонние силы, а где? В батарейках сторонние силы работают только на границе проводника с электролитом. Внутри проводника всегда работают электростатические силы.

[21] Открыт опытным путем нем. учителем Омом в 1827 г. В приведенных формулах интегралов нет, но формулы можно вывести из дифференциальной формы закона путем интегрирования (см. дальше по тексту).

[22] W — большая печатная греческая буква «омега».

Источник: http://fiziku5.ru/uchebnye-materialy-po-fizike/zakon-dzhoulya-lenca-2

Закон Джоуля-Ленца: определение, формула, применение

Закон Джоуля-Ленца и его дифференциальная форма

Мы ежедневно пользуемся электронагревательными приборами, не задумываясь, откуда берётся тепло. Разумеется, вы знаете, что тепловую энергию вырабатывает электричество. Но как это происходит, а тем более, как оценить количество выделяемого тепла, знают не все. На данный вопрос отвечает закон Джоуля-Ленца, обнародованный в позапрошлом столетии.

В 1841 году усилия английского физика Джоуля, а в 1842 г. исследования русского учёного Ленца увенчались открытием закона, применение которого позволяет количественно оценить результаты теплового действия электрического тока [ 1 ]. С тех пор изобретено множество приборов, в основе которых лежит тепловое действие тока. Некоторые из них, изображены на рис. 1.

Рис. 1. Тепловые приборы

Определение и формула

Тепловой закон можно сформулировать и записать в следующей редакции: «Количество тепла, выработанного током, прямо пропорционально квадрату приложенного к данному участку цепи тока, сопротивления проводника и промежутка времени, в течение которого электричество действовало на проводник».

Обозначим символом Q количество выделяемого тепла, а символами I, R и Δt – силу тока, сопротивление и промежуток времени, соответственно. Тогда формула закона Джоуля-Ленца будет иметь вид: Q = I2*R*Δt

Согласно законам Ома I=U/R, откуда R = U/I. Подставляя выражения в формулу Джоуля-Ленца получим: Q = U2/R * Δt ⇒ Q = U*I*Δt.

Выведенные нами формулы – различные формы записи закона Джоуля-Ленца. Зная такие параметры как напряжение или силу тока, можно легко рассчитать количество тепла, выделяемого на участке цепи, обладающем сопротивлением R.

Дифференциальная форма

Чтобы перейти к дифференциальной форме закона, проанализируем утверждение Джоуля-Ленца применительно к электронной теории.

Приращение энергии электрона ΔW за счёт работы электрических сил поля равно разности энергий электрона в конце пробега (m/2)*(u=υmax)2и в начале пробега (mu2)/2 , то есть

Здесь u – скорость хаотического движение (векторная величина), а υmax – максимальная скорость электрического заряда в данный момент времени.

Поскольку установлено, что скорость хаотического движения с одинаковой вероятностью совпадает с максимальной (по направлению и в противоположном направлении), то выражение 2*u*υmax в среднем равно нулю. Тогда полная энергия, выделяющаяся при столкновениях электронов с атомами, образующими узлы кристаллической решётки, составляет:

Это и есть закон Джоуля-Ленца, записанный в дифференциальной форме. Здесь γ – согласующий коэффициент,  E – напряжённость поля.

Интегральная форма

Предположим, что проводник имеет цилиндрическую форму с сечением S. Пусть длина этого проводника составляет l. Тогда мощность P, выделяемая в объёме V= lS составляет:

гдеR – полное сопротивление проводника.

Учитывая, чтоU = I×R, из последней формулы имеем:

  • P = U×I;
  • P = I2R;
  • P = U2/R.

Если величина тока со временем меняется, то количество теплоты вычисляется по формуле:

Данное выражение, а также вышеперечисленные формулы, которые можно переписать в таком же виде, принято называть интегральной формой закона Джоуля-Ленца.

Формулы очень удобны при вычислении мощности тока в нагревательных элементах. Если известно сопротивление такого элемента, то зная напряжение бытовой сети легко определить мощность прибора, например, электрочайника или паяльника.

Физический смысл

Вспомним, как электрический ток протекает по металлическому проводнику.

Как только электрическая цепь замкнётся, то под действием ЭДС движение свободных электронов упорядочивается, и они устремляются к положительному полюсу источника питания.

Однако на их пути встречаются стройные ряды кристаллических решёток, атомы которых создают препятствия упорядоченному движению, то есть оказывают сопротивление.

https://www.youtube.com/watch?v=kSBEYx5sMBA

На преодоление сопротивления уходит часть энергии движущихся электронов. В соответствии с фундаментальным законом сохранения энергии, она не может бесследно исчезнуть. Она-то и превращается в тепло, вызывающее нагревание проводника. Накапливаемая тепловая энергия излучается в окружающее пространство или нагревает другие предметы, соприкасающиеся с проводником.

На рисунке 2 изображёна схема опыта, демонстрирующего закон теплового действия тока, разогревающего участок провода в электрической цепи.

Рис. 2. Тепловое действие тока

Явление нагревания проводников было известно практически с момента получения электротока, но исследователи не могли тогда объяснить его природу, и тем более, предложить способ оценки количества выделяемого тепла. Эту проблему решает закон  Джоуля-Ленца, которым мы пользуемся по сегодняшний день.

Практическая польза закона Джоуля-Ленца

Присильном нагревании можно наблюдать излучение видимого спектра света, чтопроисходит, например, в лампочке накаливания. Слабо нагретые тела тоже излучаюттепловую энергию, но в диапазоне инфракрасного излучения, которого мы не видим,но можем ощутить своими тепловыми рецепторами.

Допускать сильное нагревание проводников нельзя, так как чрезмерная температура разрушает структуру металла, проще говоря – плавит его. Это может привести к выводу из строя электрооборудования, а также стать причиной пожара. Для того, чтобы не допустить критических параметров нагревания необходимо делать расчёты тепловых элементов, пользуясь формулами, описывающими закон Джоуля-Ленца.

Проанализировав выражение U2/R убеждаемся, что когда сопротивление стремится к нулю, то количество выделенного тепла стремится к бесконечности. Такая ситуация возникает при коротких замыканиях. В это основная опасность КЗ.

В борьбе с короткими замыканиями используют:

  • автоматические выключатели:
  • электронные защитные блоки;
  • плавкие предохранители;
  • другие защитные устройства.

Применение и практический смысл

Непосредственноепревращение электричества в тепловую энергию нельзя назвать экономическивыгодным. Однако, с точки зрения удобства и доступности современногочеловечества к источникам электроэнергии различные нагревательные приборыпродолжают массово применяться как в быту, так и на производстве.

Перечислим некоторые из них:

  • электрочайники;
  • утюги;
  • фены;
  • варочные плиты;
  • паяльники;
  • сварочныеаппараты и многое другое.

На рисунке 3 изображены бытовые нагревательные приборы, которыми мы часто пользуемся.

Рис. 3. Бытовые нагревательные приборы

Использование тепловых мощностей в химической, металлургической и в других промышленных отраслях тесно связно с использованием электрической энергии.

Без знания физического закона Джоуля-Ленца было бы невозможно сконструировать безопасный нагревательный прибор. Для этого нужны расчёты, которые невозможно сделать без применения рассмотренных нами формул. На основе расчётов происходит выбор материалов с нужным удельным сопротивлением, влияющим на нагревательную способность устройств.

Закон Джоуля-Ленца без преувеличения можно назвать гениальным. Это один из тех законов, которые повлияли на развитие электротехники.

Источник: https://www.asutpp.ru/zakon-dzhoulya-lentsa.html

Закон Джоуля-Ленца в дифференцированной и интегральной форме

Закон Джоуля-Ленца и его дифференциальная форма

Опытом установлено, что если в проводнике течет ток, то работа сторонних сил расходуется на его нагревание. Предполо­жим, что на концах участка проводника имеется разность потен­циалов U = φ1 – φ2.

Тогда работа по переносу заряда Q на этом участке равна:

A = Q (φ1 – φ2) = QU.

Если ток постоянный, то:

и

A = I · U · t.

Эта работа равна количеству теплоты Q, и формула Q = I · U · t вы­ражает закон Джоуля-Ленца в интегральной форме.

Используя выражение закона Ома получим:

.

Преобразуем закон Джоуля–Ленца. Введем плотность тепловой мощности w – величину, равную энергии, выделяемой за время t прохождения тока в единице объема проводника:

,

где S — сечение, l — длина проводника. Подставляя Q = I2 R t и , получим .

Здесь — плотность тока, , и учитывая, что j = γE, получим

.

Это есть выражение закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме. Плотность тепловой мощности в проводнике, по которому течет ток, прямо пропорциональна квадрату напряженности поля в проводнике. Коэффициентом пропорциональности является удель­ная проводимость проводника.

Вывод законов Ома и Джоуля-Ленца из классических электрон­ных представлений

Какова природа носителей тока в металлах? В 1901 г. Рикке проделал опыты: через 3 цилиндра, установленных друг на друга в течение 3-х лет пропускал постоянный ток. Был пропущен заряд, равный 3,5 ·106 Кл.

Взвешивание показало неизменный вес цилинд­ров. Исследование торцов цилиндров не показало следов переноса вещества. Из этого был сделан вывод, что носители заряда не ионы, а открытые Томпсоном в 1897 г. электроны.

Чтобы отождествить носители заряда с электронами, нужно было определить знак и величину удельного заряда носителей.

Если в металле имеются легко перемещающиеся заряженные частицы, то при торможении металлического проводника эти час­тицы должны некоторое время продолжать двигаться по инерции, в результате чего в проводнике возникнет импульс тока и будет пе­ренесен некоторый заряд.

Мандельштам и Папалекси в 1913 г. проделали такой опыт – они приводили в быстрое крутильное колебание катушку с прово­дом вокруг ее оси. К концам катушки подключили телефон, в кото­ром был слышен звук, обусловленный импульсами тока. Был полу­чен качественный результат – зарегистрирован импульс тока.

Толмен и Стюарт в 1916 г. получили количественный ре­зультат. Катушка с проводом длиной 500 м приводилась во враще­ние со скоростью v=300 м/с.

Катушка резко тормозилась и с по­мощью баллистического гальванометра измеряли заряд, протекав­ший в цепи во время торможения. Вычисленное значение отношения заряда к массе e/m полу­чалось очень близким для электронов.

Таким образом было доказано, что носителем тока являются электроны.

Исходя из представлений о свободных электронах была создана классическая теория электро­проводности металлов в предположении, что:

— электроны в металле ведут себя подобно молекулам иде­ального газа;

— движение электронов подчиняется законам классической механики;

— взаимодействие электронов сводится к соударениям с ио­нами кристаллической решетки;

— силами взаимодействия между электронами можно пре­небречь и они между собой не сталкиваются;

— электроны в отсутствие электрического поля движутся хаотически.

Вычислим плотность тока j в проводнике, возникающего под действием поля напряженностью Е.

По определению плотность тока j = n·e· — это заряд, переносимый через единицу площади S = 1м2 за единицу времени t=1 с; n – концентрация электронов, е – заряд элек­трона, · — средняя скорость упорядоченного движения электро­нов.

На каждый электрон действует сила F = eE = ma, поэтому электрон приобретает ускорение: и к концу свободного про­бега он достигнет скорости:

, а средняя скорость

=vmax/2

Если — средняя скорость теплового хаотичного движе­ния электронов, а средняя длина свободного пробега электронов , то среднее время между соударениями = .

Подставляя в формулу для получим:

.

Подставляя в формулу для j, получим:

,

т.е. плотность тока прямо пропорциональна Е, а это и есть выраже­ние закона Ома в дифференциальной форме. Если положить, что:

то

j= γ E.

Удельная проводимость γ ~ n и < λ>, ~ T, поэтому проводимость снижа­ется с ростом температуры, а удельное сопротивление по­вышается с ростом температуры. К концу свободного пробега электрон приоб­ретает кинетическую энергию

Предполагается, что вся энергия при соударении передается узлу кристаллической решетки и переходит в тепло. За 1 с электрон ис­пытывает / < λ > cоударений, а значит выделяет во столько же раз больше тепла. Если в единице объема n электронов, то в еди­нице объема за единицу времени выделится количество тепла

.

Таким образом, — выражение закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

Закон Видемана-Франца. Затруднения классической электрон­ной теории

Известно, что металлы наряду с высокой электропроводностью обладают также большой теплопроводностью. Видеман и Франц в 1853 г. эмпирически установили закон: отношение коэффициента теплопроводности χ к коэффициенту электропроводности γ для всех металлов приблизительно одинаково и прямо пропорционально аб­солютной температуре

.

Таким образом, классическая электронная теория хорошо объясняет существование электрического сопротивления металлов, законы Ома и Джоуля-Ленца, позволяет выразить удельную тепло­проводность через атомарные постоянные металла, объясняет зави­симость электропроводности от температуры и позволяет понять связь между теплопроводностью и электропроводностью металлов.

Однако в некоторых вопросах, классическая электронная теория приходит к выводам, находящимся в противоречии с опы­том.

1. Исходя из классической электронной теории удельная электропроводность равна:

,

откуда

, но ,

т.е. ∼ .

Следовательно, по теории ρ ∼ , тогда как на практике

,

т.е. удельное сопротивление пропорционально первой степени тем­пературы Т.

Кроме того, согласно классической электронной теории удельное сопротивление ρ должно монотонно уменьшаться при охлаждении, оставаясь при всех температурах по значению конечным. Это и наблюдается при сравнительно высоких температурах.

Однако при достаточно низ­ких температурах удельное сопротивление перестает зависеть от температуры и достигает некоторого предельного значения, кото­рое называют остаточным сопротивлением (велико у сплавов, су­ществует у чистых металлов и тем меньше, чем чище металл и меньше структурных дефектов).

Если понижать температуру еще ниже, то в некоторых веществах наблюдается явление сверхпроводи­мости, т.е. удельное сопротивление внезапно скачком уменьшается прак­тически до нуля (рис. 96). В сверхпро­водниках однажды возбужденный электрический ток может длительно существовать без источника тока (в течение нескольких суток). В таком состоянии не выполняется за­кон Ома.

2. Другим затруднением классической электронной теории металлов может служить теория теплоемкости кристаллов. Со­гласно этой теории “электронный газ” металлов должен обладать молярной теплоемкостью .

Добавляя эту теплоемкость к тепло­емкости кристаллической решетки, составляющей 3R, получим для молярной теплоемкости металла значение (9/2)R. Таким образом, согласно классической электронной теории молярная теплоемкость металла должна быть в 1,5 раза выше, чем у диэлектриков.

Однако на практике их молярные теплоемкости практически не различа­ются. Объяснение этих различий и явлений дается в рамках кванто­вой теории металлов.

В классической теории неверным является предположение, что электроны проводимости подчиняются законам статистики Максвелла-Больцмана и что для них справедлив закон распределе­ния энергии Максвелла. На самом деле они подчиняются законам квантовой статистики и закону распределения энергий Ферми-Ди­рака.

Энергия электронов в металлах слабо зависит от темпера­туры и теплоемкость электронного газа оказывается близка к нулю, поэтому наличие электронного газа в металлах практически не ска­зывается на теплоемкости.

Далее, в классической электронной теории не учитывается взаимодействие электронов друг с другом, а их взаимодействие с решеткой металла описывается с помощью представления о соуда­рениях.

При низких температурах взаимодействие между электро­нами начинает играть решающую роль.

Кроме того, оказалось, что взаимодействие электронов с решеткой имеет иной характер – электроны движутся в периодическом поле электрического потен­циала решетки.

И, наконец, движение электронов в металлах подчиняется законам квантовой, а не классической механики.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/10_122608_zakon-dzhoulya-lentsa-v-differentsirovannoy-i-integralnoy-forme.html

Закон Джоуля-Ленца и его дифференциальная форма

Закон Джоуля-Ленца и его дифференциальная форма

Форма энергии, которая выделяется при прохождении по проводнику электрического тока, зависит от природы физических факторов, которые вызывают падение потенциала. Так, например, изменение потенциала на сопротивлении проводов сопровождается выделением тепла, падение напряжения на клеммах двигателя постоянного тока связано с производством механической работы.

Допустим, что участок цепи — неподвижный проводник. Вся работа тока превращается в тепло, которое на проводнике выделяется. Если проводник однороден, подчиняется закону Ома:

где $R$ — сопротивление проводника, то можно записать, что работа (А) электрического тока равна:

где $t$ — время прохождения током рассматриваемого проводника, то вся выделенная на проводнике энергия в виде тепла равна:

Формула (3) есть закон Джоуля — Ленца в интегральной форме. Этот закон открыт в 1841 г. Джоулем и позднее Ленц подробно исследовал его.

В том случае, если сила тока не постоянна во времени, то количество тепла, которое выделяется на проводнике можно рассчитать в соответствии с формулой:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Необходимо отметить, что эффект нагревания проводника током находит применение на практике. Наиболее известное из них — лампы накаливания.

Закон Джоуля — Ленца в дифференциальной форме

Над электроном, который движется в проводнике со скоростью $\overrightarrow{v'}=\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}\right),$ где $\overrightarrow{v}$ — скорость теплового движения молекул, $\overrightarrow{u}$ — скорость упорядоченного движения носителей тока при наличии поля за единицу времени (t=1с), совершается работа равная ($A_q$):

Примем, что $\overrightarrow{F}$=const, усредним выражение (4), получим:

где $\left\langle \overrightarrow{v}\right\rangle $=0. Если через n- обозначим концентрацию электронов, то работа над электронами в единице объема металла ($A'$) за единицу времена равна:

где $\overrightarrow{j}$ — плотность тока, $\sigma $ — удельная проводимость проводника.

В металлах эта работа идет на приращение внутренней энергии, так как прохождение электрического тока по проводнику не сопровождается изменением структуры металла. Значит, можно записать, что удельное количество тепла (удельная мощность тепловыделения) $Q_{ud}$, которое выделяется на проводнике в единице объема за единицу времени равно:

Формула (8) закон Джоуля — Ленца в локальной (дифференциальной) форме. В форме (8) данный закон не зависит от природы сил, которые порождают ток, значит, в такой формулировке носит общий характер. В том случае, если сила, которая действует на электроны исключительно электрической природы, то есть:

выражение (8) можно представить как:

Закон Джоуля — Ленца справедлив и для электролитов. Что означает, работа электрического поля не тратится на образование ионов. Ионы в растворе образуются в результате диссоциации молекул, когда происходит процесс растворения.

Пример 1

Задание: Электрический ток проходит по спирали с сопротивлением R. Ток равномерно убывает до нуля за время $\triangle t$. За обозначенный период времени через спираль проходит заряд q. Какое количество тепла выделится на спирали за данный промежуток времени?

Решение:

В качестве основы для решения задачи примем закон Джоуля Ленца в виде:

\[Q=\int\limitst_0{I2Rt}\left(1.1\right).\]

Из определения силы тока запишем:

\[I=\frac{dq}{dt}\ \left(1.2\right),\]

следовательно, заряд, который проходит через проводник, равен:

\[q=\int\limits{t_2}_{t_1}{Idt}\left(1.3\right).\]

В условии задачи сказано, что ток убывает равномерно, следовательно, закон убывания тока ищем в виде:

\[I=at+b\left(1.4\right),\]

где $a,b$ постоянные. За начальный момент времени примем $t_1$=0, тогда $t_2=\triangle t.\ $Подставим (1.4) в (1.3) проведем интегрирование:

\[q=\int\limits{\triangle t}_0{\left(at+b\right)dt=a\frac{{\triangle t}2}{2}}+b\triangle t\left(1.5\right).\]

По условию задачи в некоторый момент времени $t_2$ ток стал равен нулю, то есть:

\[I=a\triangle t+b=0\ \left(1.6\right),\]

Получим:

\[b=-a\triangle t(1.7)\]

Найдем коэффициент a из (1.5), учитывая (1.7):

\[q=a\frac{{\triangle t}2}{2}-a\triangle t\triangle t=\frac{a}{2}{\triangle t}2\to a=\frac{2q}{{\triangle t}2}\left(1.8\right).\]

Подставим (1.8) в (1.1), получим искомое тепло:

\[Q=\int\limits{\triangle t}_0{{\left(at+b\right)}2Rdt}=R\int\limits{\triangle t}_0{\left(a2t2+2abt+b2\right)dt=}R\left(\frac{a2{\left(\triangle t\right)}3}{3}+2ab\frac{{\left(\triangle t\right)}2}{2}+b2\triangle t\right)\left(1.9\right)\] \[Q=R\left(\frac{{\left(\frac{2q}{{\triangle t}2}\right)}2{\left(\triangle t\right)}3}{3}+2\frac{2q}{{\triangle t}2}\left(-\frac{2q}{{\triangle t}2}\triangle t\right)\frac{{\left(\triangle t\right)}2}{2}+\left({\left(-\frac{2q}{{\triangle t}2}\right)}2{\triangle t}2\right)\triangle t\right)=R\left(\frac{4q2}{3\triangle t}-\frac{4q2}{\triangle t}+\frac{4q2}{\triangle t}\right)=\frac{4q2}{3\triangle t}R.\]

Ответ: Q=$\frac{4q2}{3\triangle t}R.$

Пример 2

Задание: Сравните удельную мощность тепловыделения электрического поля для сечений $S_1$ и $S_2$ (рис.1) проводника. Если по проводнику течет постоянный ток ($I=const$).

Рис. 1

В качестве основания для решения используем локальную формулировку закона Джоуля Ленца:

\[Q_{ud}=\frac{1}{\sigma }j2\left(2.1\right).\]

Для проводника в месте сечения $S_1$ можно записать, что:

\[j_1=\frac{I}{S_1}\left(2.2\right).\]

Для проводника в месте сечения $S_2$ можно записать, что:

\[j_2=\frac{I}{S_2}\left(2.3\right).\]

Тогда формула (2.1) преобразуется к виду:

\[Q_{ud1}=\frac{1}{\sigma }{\left(\frac{I}{S_1}\right)}2\left(2.4\right),\] \[Q_{ud2}=\frac{1}{\sigma }{\left(\frac{I}{S_2}\right)}2\left(2.5\right).\]

Мы получили, что удельное количество тепла обратно пропорционально площади сечения проводника.

Ответ: $Q_{ud1}>Q_{ud2}$.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/postoyannyy_elektricheskiy_tok/zakon_dzhoulya-lenca_i_ego_differencialnaya_forma/

Booksm
Добавить комментарий