Закон Био-Савара-Лапласа и его полевая трактовка

Закон Био-Савара-Лапласа — Автоматизированная Интернет-система формирования баз данных репродуктивных и формализованных описаний естественнонаучных и научно-технических эффектов

Закон Био-Савара-Лапласа и его полевая трактовка

Межотраслевая Интернет-система поиска и синтеза физических принципов действия преобразователей энергии

Общий каталог эффектов

  • Естественнонаучные эффекты (ЕНЭ)

Закон Био-Савара-Лапласа

Создание магнитного поля проводником с электрическими токами

Описание

Одним из величайших прорывов в естествознании XIX века стала серия открытий, позволивших установить неразрывную связь между двумя, казалось бы, не связанными между собой природными феноменами — электричеством и магнетизмом, — которые на поверку оказались просто двумя сторонами одной медали.

Одним из первых фрагментов пазла, который предстояло собрать ученым, стало осознание того, что движущиеся электрические заряды (то есть электрический ток) могут порождать магнитное поле. Это открытие сделал датский ученый Ханс Кристиан Эрстед, а представил его в количественной форме французский ученый Андре-Мари Ампер.

Обобщением этой работы стал закон Био—Савара—Лапласа, содержащий окончательную формулировку соотношения между электрическими токами и магнитными полями, которые они производят.

Закон Био-Савара – определяет индукцию магнитного поля В, создаваемого прямолинейным постоянным током I. Экспериментально установлен Ж. Б. Био и Ф. Саваром в 1820 году. В более общей трактовке, принадлежащей П. Лапласу и потому часто называемой законом Био-Савара-Лапласа, определяет поле dВ элементарного отрезка тока Idlr на расстояние r от него:

 

Направление dB перпендикулярно dl и r, то есть перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции.

Это направление может быть найдено по правилу нахождения линий магнитной индукции (правилу правого винта): направление вращения головки винта дает направление dB, если поступательное движение буравчика соответствует направлению тока в элементе. Модуль вектора dB определяется выражением:

Поскольку потоянные токи всегда текут по замкнутым контурам, формула является вспомогательной и не допускает прямой проверки на опыте, но после интегрирования она дает правильный ответ для всей цепи.

Так, поле вблизи протяженного прямого тока (длина l>>l0, r – расстояние от оси), согласно Закону Био-Савара, убывает обратно пропорционально r0: H=2Iθ0/cr0 (θ0 – единичный азимутальный вектор в цилиндрических координатах r, θ, z, ось z вдоль тока); поле внутри длинного соленоида (l>> r0) с идеально плотной азимутальной намоткой равно: H=c-1πnIz0 (n – число витков на единицу длины); поле в центре одиночного витка с током радиуса R, лежащего в плоскости z=const, равно H=2πIz0/cR и т. д.

Применение закона Био-Савара-Лапласа

Рисунок 1

В случае произвольного распределения токов с плотностью j(r) Закон Био-Савара приводит к уравнению:

rotH=4πj/c,

полученному Дж.К. Максвеллом, а затем обобщенному им же на переменные поля путем добавления в правую часть (2) тока смещения.

Ключевые слова

Разделы наук

  • Магнитное поле
  • Электрический ток в твердых телах

Используется в научно-технических эффектах

Используется в областях техники и экономики

Используются в научно-технических эффектах совместно с данным эффектом естественнонаучные эффекты

Применение эффекта

Закон Био—Савара является наиболее полным формальным обобщением взаимосвязи между электрическим током и магнитным полем. Это значит, что можно взять проводник с током сколь угодно сложной и асимметричной конфигурации и разбить его на элементы тока. Каждый элемент вносит свой вклад в магнитное поле в рассчитываемой точке.

Сделав эти расчеты, мы можем затем просуммировать вклад от каждого элемента проводника и найти общее магнитное поле (этот процесс суммирования относится к области высшей математики и выглядит он достаточно сложно). Таким образом, закон Ампера является частным случаем закона Био—Савара для случая линейного проводника.

Закон Био—Савара предсказывает также направление получающегося магнитного поля. Это направление можно определить с помощью так называемого правила правой руки, ставшего настоящим бичом целых поколений студентов физических и технических вузов.

Правило гласит: если вытянутый указательный палец правой руки показывает направление электрического тока в элементе тока, а средний палец направлен на точку, в которой вы вычисляете магнитное поле, то выставленный под прямым углом к двум другим пальцам большой палец укажет направление магнитного поля.

Полное математическое выражение закона Био—Савара требует довольно сложных вычислений, поскольку оно представляет собой интегральное уравнение. Оно является, по сути, общим решением четвертого уравнения Максвелла.

Реализации эффекта

Магнитное поле — составляющая электромагнитного поля, появляющаяся при наличии изменяющегося во времени электрического поля. Кроме того, магнитное поле может создаваться током заряженных частиц, либо магнитными моментами электронов в атомах (постоянные магниты).

Основной характеристикой магнитного поля является его сила, определяемая вектором магнитной индукции . В СИ магнитная индукция измеряется в Тесла (Тл).

Магнитное поле — это особый вид материи, посредством которой осуществляется взаимодействие между движущимися заряженными частицами или телами, обладающими магнитным моментом.

Свойства магнитного поля:

  1. Явление электромагнитной индукции. При всяком изменении магнитного потока, пронизывающего какой-либо контур, в нём наводится электродвижущая сила.
  2. Механическое взаимодействие м. п. с электрическим током. Минеральные частицы, попадая в магнитное поле, влияют на расположение его силовых линий. Магнитные частицы оказывают небольшое сопротивление магнитным силовым линиям, поэтому последние в них концентрируются. Устремляясь по кратчайшему пути, силовые линии втягивают магнитные частицы в пространство между полюсами. Немагнитные частицы ухудшают проводимость, поэтому силовые линии обходят их и выталкивают из поля.
  3. Физическая сущность магнитной сепарации состоит в том, что магнитное поле искажает гравитационную траекторию минералов, обладающих соответствующими магнитными свойствами, чем вызывает их извлечение из потока других минералов, которые таких свойств не имеют.

Магнитное поле формируется изменяющимся во времени электрическим полем либо собственными магнитными моментами частиц. Кроме того, магнитное поле может создаваться током заряженных частиц. В простых случаях оно может быть найдено из закона Био — Савара — Лапласа или теоремы о циркуляции (она же — закон Ампера). В более сложных ситуациях ищется как решение уравнений Максвелла

Магнитное поле проявляется в воздействии на магнитные моменты частиц и тел, на движущиеся заряженные частицы (или проводники с током). Сила, действующая на движущуюся в магнитном поле заряженную частицу, называется силой Лоренца. Она пропорциональна заряду частицы и векторному произведению вектора индукции поля и скорости движения частицы.

Расчет магнитного поля в зазоре между двумя постоянными цилиндрическими магнитами методом конечных элементов: распределение магнитного потока, магнитная индукция в зазоре. При конструировании некоторых типов систем на постоянных магнитах возникает задача: получить максимальную индукцию в зазоре.

Способом ее решения иногда выбирают использование стальных полюсных наконечников.

Но, насколько правильным является такое решение? Можно ли в действительности повысить магнитную инудкцию в зазоре заданной ширины между двумя постоянными магнитами при использовании стальных полюсных наконечников? Пусть имеется система, состоящая из двух цилиндрических соосно расположенных постоянных магнитов состава Ne-Fe-B (коэрцитивная сила по намагниченности ~880 кА/м), намагниченных аксиально в одном направлении. Типоразмер магнитов Д14 х 4 (диск диаметром 14 мм, высотой 4 мм). Ширина зазора между магнитами 6 мм. Для замыкания магнитного потока использован цилинд из низкоуглеродистой стали с толщиной стенки 2 мм. Эту систему будем дополнять стальными полюсными наконечниками из низкуглеродистой стали толщиной 2 мм. Для сохранения ширины зазора магниты придется раздвигать на 4 мм и на столько же увеличивать высоту замыкающего цилиндра. Расчеты велись методом конечных элементов. Результаты расчетов

На рисунке 1 показан результат расчета магнитного поля в магнитной системе без полюсных наконечников. Максимальное значение индукции ~0.56 Тл.

Распределение магнитного поля в магнитной системе без полюсных наконечников.

 

Рисунок 1

Литература

1. «Электрические ракетные двигатели космических аппаратов» — С. Д. Гришин, Л. В. Лесков, Научное издание. М.: Машиностроение, 1989.

2. Физическая энциклопедия. «Большая Российская Энциклопедия»: Научное издательство, том 1– Москва, 1998.

3. Иродов И.Е. Основные законы электромагнетизма. — М.: Высшая школа, 1983.

Источник: http://www.heuristic.su/effects/catalog/est/byId/description/688/index.htm

§2. Закон Био – Савара – Лапласа

Закон Био-Савара-Лапласа и его полевая трактовка

Автор
Чивилев Виктор Иванович 375 статей

В 1820 году французские учёные Ж. Био и Ф. Савар исследовали магнитные поля, создаваемые в воздухе прямолинейным током, круговым током, катушкой с током и т. д. На основании многочисленных опытов они пришли к следующим выводам:

– магнитная индукция в произвольной точке поля зависит от расположения этой точки по отношению к проводу с током;– магнитная индукция зависит от конфигурации (формы и размеров) провода с током;

– во всех случаях модуль вектора индукции магнитного поля, создаваемого тонким проводом с током, пропорционален силе тока.

Био и Савар пытались получить общий закон, позволяющий вычислить магнитную индукцию в каждой точке поля, создаваемого электрическим током, текущим в проводнике любой формы. Но сделать им это не удалось, и они обратились к известному французскому математику, физику и астроному П. Лапласу.

Лаплас учёл векторный характер магнитного поля и высказал важную гипотезу о том, что индукция B→\vec{B} в каждой точке магнитного поля любого проводника с током представляет собой векторную сумму индукций ΔB→i\Delta \vec{B}_i магнитных полей, создаваемых каждым достаточно малым участком проводника (элементом тока): 

Этим Лаплас предположил, что при наложении магнитных полей справедлив принцип суперпозиции, то есть принцип независимого действия магнитных полей, создаваемых несколькими источниками полей.

Обобщив результаты экспериментов Био и Савара, Лаплас пришёл к выводу, что модуль вектора магнитной индукции ΔB\Delta B поля, создаваемого элементом тока в исследуемой точке CC (рис. 3), пропорционален силе тока II, длине элемента тока Δl\Delta l, синусу угла α\alpha между направлением тока и направлением на исследуемую точку СС и обратно пропорционален квадрату расстояния rr до точки CC.

Направлен же вектор ΔB→\vec{\Delta B} перпендикулярно плоскости, проходящей через элемент тока и исследуемую точку, причём направление тока в элементе тока и направление поля в исследуемой точке СС связаны правилом буравчика: при движении острия буравчика в направлении тока вращение рукоятки буравчика показывает направление поля в точке CC. Остриё буравчика помещается, естественно, вблизи элемента тока. На рис. 3 поле в точке CC направлено за плоскость чертежа и обозначено поэтому крестиком.

Приведём для справки, но не для запоминания, полученную Лапласом формулу, выражающую закон Био – Савара – Лапласа:

|ΔB→|=kIΔlr2sinα.|\vec{\Delta B }| = k\dfrac{I \Delta l}{r2} \textrm{sin} \alpha .

Здесь коэффициент пропорциональности kk зависит от выбора системы единиц. В системе СИ k=10-7k=10{-7} ед. СИ. 

Следует заметить, что правило буравчика при установлении связи между направлением тока и поля можно применять и в обратном порядке, то есть вращать буравчик так, чтобы его остриё, помещённое в исследуемую точку, двигалось по направлению вектора индукции магнитного поля, а конец рукоятки двигался в направлении тока. Проверьте это для случая, изображённого на рис. 3. Такой подход особенно удобен для витка с током при нахождении направления магнитного поля внутри витка (рис. 4).

То, что в законе Био – Савара – Лапласа модуль вектора индукции магнитного поля, создаваемого элементом тока в некоторой точке, пропорционален силе тока и длине элемента тока, легко запомнить, так как это следует непосредственно из принципа суперпозиции магнитных полей.

Действительно, увеличим ток в элементе тока в два раза.

Тогда модуль вектора магнитной индукции поля, создаваемого в некоторой точке этим элементом, увеличится тоже в два раза, не изменив направления, поскольку элемент тока с током 2I2I можно представить как два плотно прижатых друг к другу элемента тока с токами II в каждом и применить принцип суперпозиции для полей, создаваемых этими двумя элементами. Аналогичные рассуждения будут и при увеличении тока в любое число раз. Это доказывает, что модуль вектора магнитной индукции пропорционален току. Похожие рассуждения можно провести и в отношении длины элемента тока.

Следует отметить одно полезное следствие из закона Био – Савара – Лапласа. Поле, создаваемое элементом тока в произвольной точке AA (рис. 3) на оси элемента, равно нулю, т. к. для этой точки sin α=0\textrm{sin}\: \alpha = 0.

Это легко запомнить, если учесть, что при попытке найти направление поля в точке АА с помощью правила буравчика мы столкнёмся с неопределённостью направления поля, что указывает на то, что поле в этой точке не имеет направления, то есть отсутствует.

Попробуйте применить правило буравчика в этом случае.

В качестве самостоятельного упражнения полезно объяснить с помощью закона Био – Савара – Лапласа и правила буравчика ход магнитных силовых линий на всех рисунках школьного учебника.

Источник: https://zftsh.online/articles/1178

Закон взаимодействия элементов тока (закон Лапласа-Био-Савара-Ампера). Полевая трактовка закона взаимодействия элементов тока. Релятивистская природа магнитного поля

Закон Био-Савара-Лапласа и его полевая трактовка

ЭкспериментыХ.Эрстеда и А.Ампера в 1820г. показали, чтомагнитная стрелка возле проводаповорачивается при пропускании токапо проводу, и два провода с токомпритягиваются или отталкиваются взависимости от направления токов в них.

Формулу длярасчета силы взаимодействия удалосьполучить только для элементов линейноготока в 1844 г.

РИС.68

— законБио-Савара-Лапласа-Ампера (формулаГрассмана). Гн/м

— сила, с которойэлемент тока первого контура действует на элемент тока второгоконтура.Если элементы токов лежат в плоскостирис. 68, то направление этой силы совпадаетс направлением нормали.

ЗаконБио-Савара-Лапласа–Ампера экспериментальнопроверить нельзя, но следствия из негоподтверждаются на практике.

Во всех точкахпространства, окружающего произвольныйток, всегда существует обусловленноеэтим током поле сил, которое по сложившейсяисторически терминологии называетсямагнитным полем.

Поаналогии с электростатикой можно ввестисиловую характеристику точки магнитногополя – вектор магнитной индукции:

— законБио-Савара-Лапласа для расчета индукциимагнитного поля, создаваемого элементомтока в некоторой точке.

Экспериментальнопроверить эту формулу нельзя, но можнорассчитать индукцию магнитного поля,созданного всем контуром с током,используя установленный на опыте принципсуперпозиции магнитных полей: .

-лишьформальная запись, на практикеинтегрирование возможно лишь дляпроекций вектора магнитной индукции.

Тл(Тесла).

Еслизадана объемная плотность тока,

то:. Тогда.

РИС.70

Магнитноеполе порождается движущимися зарядами(токами). Если скорость направленногодвижения зарядов в проводнике ,то. Тогда:

Индукциюмагнитного поля точечного заряда, движущегося с постоянной нерелятивистскойскоростью (рис.70) можно определить поформуле:

Вземли~5*10-5Тл,Вмозга~10-11Тл.

Вmax~150 Тл — получена в виде импульса.

из опыта (законКулона) непосредственно следует, чтонапряженность поля неподвижноготочечного заряда qна расстоянии rот него можно представить как

(5)

где k— постояннаявид, которой зависит от выбора системыотсчета, в системе СИ ;ε0— электрическаяпостоянная; —радиус-вектор, проведенный из центраполя, в котором расположен зарядq,до интересующей нас точки. Напряженностьполя в системе СИ выражается ввольтахна метр(В/м). В зависимости от знака заряда qвектор направлен так же, как и(дляположительного заряда), или противоположноему (для отрицательного заряда).

Рис. 4

По существу, формулавыражает не что иное, как законКулона,но в «полевой» форме.Вся совокупность экспериментальныхфактов показывает, что этот законсправедлив для расстояний от 10 см донескольких километров, и пока нет никакихоснований ожидать, что этот закон невыполняется и при больших расстояниях.

Принципсуперпозиции

Напряженностьполя системы точечных неподвижныхзарядов равна векторной сумменапряженностей полей, которые создавалибы каждый из зарядов в отдельности:

, (6)

Релятивистскаяприрода магнитного поля.

В ряде современныхучебных курсов по физике, изданных втечение последнего десятилетия появилосьи стремительно распространяетсявоззрение на магнитное поле как нарелятивистский эффект.

Магнитное полетрактуется не как самостоятельнаяфизическая материальная сущность идаже не как одна из форм проявленияэлектромагнитного поля, а лишь какпроцесс, релятивистский эффект,возникающий в пространстве, окружающемточечные заряды, вследствие конечнойскорости передачи изменений величиныэлектрического поля через пространство.

/Цитата 1/ Изформул полей (8.1) и (8.2) вытекает весьмазамечательный вывод: возникновениемагнитного поля является чисторелятивистским эффектом, вследствиеналичия в природе предельной скорости,равной скорости света в вакууме.

Если бы этаскорость была бесконечной (соответственнои скорость распространения взаимодействий),никакого магнетизма вообще не существовалобы.

В самом деле,рассмотрим свободный электрическийзаряд. В системе отсчета где он покоится, существует толькоэлектрическое поле. А это значит, согласно(8.1), что в любой другой-системе отсчета, если бы,никакого магнитного поляне возникало бы. Оно возникает толькоиз-за конечности,т.е. в конечном счете вследствиерелятивистского эффекта

Формулы (8.1) и (8.2)в источнике представлены так

(8.1)

(8.2)

где -скорость заряда относительно наблюдателя,

— скорость света,

,отношение скорости заряда к скоростисвета,

и — напряженность электрического поля ииндукция магнитного поля соответственно.

Заметим, что условиехарактерно для концепции дальнодействия.Но в рамках этой концепции магнитноеполе не исчезает и не утрачивает своейроли. И только идея представлениямагнетизма как релятивистского эффектаставит под сомнение его существованиепри этом условии.

/Цитата 2/Таким образом, появление магнитногополя токов есть чисто релятивистскийэффект и никакой новой физическойсубстанции (например, в виде магнитныхзарядов) появляться не должно, что иподтверждается экспериментально

/Цитата 3/ Врезультате магнитное поле можнорассматривать как неизбежный релятивистскийрезультат движения электрич.зарядов(тока)и нестационарности создаваемого имиэлектрич.поля (токасмещения

В приведенных вышецитатах, взятых из разных источников,присутствует общая идея, которую можносформулировать так: «реальные» поля вприроде неизменно должны иметькорпускулярный источник. Поля, не имеющиетакого источника суть эффекты илипроцессы, происходящие в «реальных»полях. Здесь под «реальными» понимаютсяполя, признаваемые как самостоятельныематериальные сущности.

Источник: https://studfile.net/preview/5623519/page:4/

1.3 Закон Био — Савара — Лапласа и его применение к расчету магнитного поля

Закон Био-Савара-Лапласа и его полевая трактовка

1.3.  Закон Био – Савара – Лапласа и его применение к расчету магнитного поля.

Французские физики Ф. Савар и Ж.Б. Био изучали магнитное поле, создаваемое проводниками с постоянным током различной формы. На основании многочисленных опытов они пришли к выводу, что магнитная индукция поля проводника с током пропорциональна силе тока I, зависит от формы и размеров проводника, а также от расположения рассматриваемой точки по отношению к проводнику.

Био и Савар пытались получить самый общий закон – для проводника любой формы  и любой точки поля. Однако сделать это им не удалось. По их просьбе этой проблемой занялся французский математик П.С.Лаплас. Он высказал важную гипотезу о том, что при наложении магнитных полей справедлив принцип суперпозиции, т.е. принцип независимости действия полей.

Если имеется несколько проводников с током, каждый из которых создает в исследуемой точке магнитное поле с индукциями …, то результирующая магнитная индукция будет равна векторной сумме всех:  .

  Если перейти к малым отрезкам провода с током, то суммирование надо заменить интегрированием и тогда индукция , создаваемая всем проводником с током I, будет равна:  где– индукция, создаваемая элементом длины проводника dℓ, интегрирование проводится по всей длине проводника.

            Лаплас обобщил экспериментальные результаты Био и Савара в виде  дифференциального закона, называемого законом Био – Савара – Лапласа, по которому магнитная индукция , создаваемая в некоторой точке А элементом проводника dℓ с током I, определяется формулой

Выберем произвольную точку А вблизи проводника.

Вектор  направлен в точке А перпендикулярно плоскости, построенной на векторах  и по правилу правого винта (буравчика), и совпадает с направлением касательной к линии индукции в точке А (пунктирный круг) (рис.1.7).

Коэффициент пропорциональности k зависит от выбора системы единиц. В СИ это размерная величина, равная μ0/4π, где μ0  — магнитная постоянная, равная 4π∙10-7Гн/м. Все выше изложенное относится к вакууму.

Таким образом, магнитную индукцию поля, создаваемую в вакууме током I, текущим по проводу конечной длины ℓ и любой формы, можно найти по формуле

Магнитное поле в центре кругового проводника с током. Рассмотрим круговой проводник с током, изображенный на рис.1.8.

Все элементы данного проводника dℓ создают в его центре (точке А) магнитные поля  одинакового направления – вдоль нормали к площади витка.

Поэтому, как и в предыдущем случае, сложение векторов можно заменить сложением их модулей. Элементы dℓ перпендикулярны R и sinα=1. Используя закон Био-Савара-Лапласа, получим:

Магнитное поле прямолинейного проводника с током. Представим себе ток, текущий по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 1.9). Возьмем произвольную точку А на расстоянии R от проводника.

Согласно правилу правого винта (буравчика), векторы  от каждого элемента тока dℓi имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа (на нас). Поэтому сложение векторов  можно заменить сложением их модулей.

При суммировании всех  будет меняться угол α между r  и dℓ, поэтому выберем α в качестве переменной интегрирования. Выразим через α все остальные величины, полагая, что отрезок АD ≈ r из-за малости dℓ.

            Итак, из треугольника АСЕ выразим r через известное нам расстояние R и переменную α:

По закону Био-Савара-Лапласа получим:

В данном выражении α1 и α2 — значения угла α для крайних точек проводника. Если прямолинейный проводник бесконечно длинный, то α1 = 0, α2 = π. Магнитная индукция в любой точке поля такого проводника с током: 

Напомним, что линии магнитной индукции поля прямого тока представляют собой систему охватывающих провод концентрических окружностей.

Магнитное поле соленоида.  Если витки соленоида расположены вплотную друг к другу, то соленоид можно рассматривать как систему последовательно соединенных круговых токов одинакового радиуса с общей осью.

Обозначим через L длину соленоида, а через n —  число витков, приходящихся на единицу длины соленоида. Магнитная индукция поля соленоида  В равна геометрической сумме магнитных индукций Вi полей всех его витков.

Если L>>R (радиуса витков), тогда В в точке А, лежащей на оси вдали от концов такого соленоида, вычисляется по формуле (без вывода):  В = μ0nI.

Источник: https://studizba.com/lectures/73-fizika/1059-magnetizm/19290-13-zakon-bio-savara-laplasa-i-ego-primenenie-k-raschetu-magnitnogo-polya.html

Закон Био-Савара-Лапласа и его полевая трактовка

Закон Био-Савара-Лапласа и его полевая трактовка

Уравнение, описывающее возникновение магнитного поля электрическим током, называется законом Био-Савара-Лапласа. Био и Савар установили его экспериментально, Лаплас облек в его математическую форму. Для замкнутого тока данный закон записывается как:

где $\overrightarrow{r}$ — радиус-вектор, проведенный от элемента тока $Id\overrightarrow{l}$ к точке, в которой ищется индукция магнитного поля ($\overrightarrow{B}$), ${\mu }_0=4\pi \cdot {10}{-7}\frac{Гн}{м}(в\ СИ)$ — магнитная постоянная. Интегрирование проводят по замкнутому контуру тока. Считается, что ток является линейным. Для объемных токов закон Био — Савара-Лапласа записывается в несколько ином виде:

В формуле (2) интегрирование проводят по всем областям пространства, где присутствуют объемные токи, $\overrightarrow{j}$- плотность тока. Оба выражения (1) и (2) применимы только для постоянных токов.

Элементарная формулировка закона

Элементарном виде закон Био-Савара — Лапласа записывают соответственно:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

где модуль элемента индукции магнитного поля равен:

или

Постоянные токи всегда замкнуты. Все наблюдаемые величины остались бы неизменными, если в правую часть формулы (3) добавить произвольное слагаемое, интеграл от которого по замкнутому контуру обращается в ноль.

Из этого следует, что в рамках учения о постоянных токах элементарный закон Био — Савара — Лапласа в формах (3) и (5) принципиально невозможно проверить опытным путем. Нельзя выделить на практике отдельные элементы постоянных токов и проводить с ними эксперименты.

Опытной проверке можно подвергнуть только интегральные формы данного закона (1), (2).

Закон Био — Савара — Лапласа применяют для расчета магнитных полей. Векторы $d\overrightarrow{B},d\overrightarrow{l\ }и\ \overrightarrow{r}\ $ связаны правилом правого винта. Вектор $d\overrightarrow{B}$ перпендикулярен плоскости в которой находятся $d\overrightarrow{l\ }и\ \overrightarrow{r}$.

В тех случаях, когда проводник с током и точка, где ищется поле, лежат в одной плоскости, все элементарные векторы поля направлены вдоль одной прямой. В остальных случаях $d\overrightarrow{B}$ не лежат не одной прямой. Магнитное поле элемента тока имеет осевую симметрию.

Если магнитное поле имеет осевую симметрию, точка в которой ищут поле лежит на этой оси, то искомый вектор индукции магнитного поля направлен вдоль оси симетрии.

Полевая трактовка закона

Аналогично электростатике взаимодействие элементов тока представляют двумя стадиями.

  1. Один из элементов тока ($I_1dl_1$) создает магнитное поле в точке, где находится второй ток ($I_2dl_2$):
  2. \[d\overrightarrow{B_{12}}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{I_1\left[d\overrightarrow{l_1}\overrightarrow{r_{12}}\right]}{{r_{12}}3}\left(6\right).\]

  3. Второй элемент тока ($I_2dl_2$) взаимодействует с магнитным полем $d\overrightarrow{B_{12}}$, что ведет к возникновению силы $d\overrightarrow{F_{12}}:$
  4. \[d\overrightarrow{F_{12}}=I_2dl_2\times d\overrightarrow{B_{12}}\ \left(7\right).\]

Пример 1

Задание: По плоскому контуру, который изображен на рис.1 течет постоянный ток силы I. Угол, между прямолинейными участками контура равен 900. Радиусы контуров $R_1$ и $R_2$. Какова магнитная индукция в точке C?

Рис. 1

Решение:

В точке С магнитное поле создают четыре проводника с током. Два из них прямолинейные, конечной длины, два являются частями витков с током.

В качестве основы для решения задачи используем закон Био — Савара — Лапласа в виде:

\[\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\oint{\frac{I\left[d\overrightarrow{l}\overrightarrow{r}\right]}{r3}}\left(1.1\right).\]

Выделим в интеграле (1.1) четыре интеграла, по количеству участков — проводников:

\[\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\left(\int\limits_1{\frac{I\left[d\overrightarrow{l}\overrightarrow{r}\right]}{r3}}+\int\limits_2{\frac{I\left[d\overrightarrow{l}\overrightarrow{r}\right]}{r3}}+\int\limits_3{\frac{I\left[d\overrightarrow{l}\overrightarrow{r}\right]}{r3}}+\int\limits_4{\frac{I\left[d\overrightarrow{l}\overrightarrow{r}\right]}{r3}}\right)\left(1.2\right).\]

В подынтегральном выражении мы имеем векторное произведение, модуль которого равен:

\[\left|d\overrightarrow{l}\times \overrightarrow{r}\right|=\left|d\overrightarrow{l}\right|\left|\overrightarrow{r}\right|{sin \left(\widehat{\overrightarrow{l}\overrightarrow{r}}\right)\ }\left(1.3\right).\]

В таком случае, получим, что

\[\int\limits_2{\frac{I\left[d\overrightarrow{l}\overrightarrow{r}\right]}{r3}}=0\ (1.4)\]

так как для данного участка проводника $d\overrightarrow{l}\uparrow \downarrow \overrightarrow{r}$, следовательно, угол между этими векторами равен 1800, следовательно, $sin\pi =0.$

\[\int\limits_4{\frac{I\left[d\overrightarrow{l}\overrightarrow{r}\right]}{r3}}=0(1.5).\]

для данного участка проводника $d\overrightarrow{l}\uparrow \uparrow \overrightarrow{r}$, следовательно, угол между этими векторами равен 00, следовательно, $sin0=0.$

В соответствии с приведенными выше рассуждениями получаем, что поле в точке С можно найти как сумму двух интегралов:

\[\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\left(\int\limits_1{\frac{I\left[d\overrightarrow{l}\overrightarrow{r}\right]}{r3}}+\int\limits_3{\frac{I\left[d\overrightarrow{l}\overrightarrow{r}\right]}{r3}}\right)\left(1.6\right).\]

Или как сумму полей двух токов, которые текут в двух дугах окружностей. Для дуги окружности запишем:

\[r=R,\overrightarrow{dl}\bot \overrightarrow{R},\ sin\frac{\pi }{2}=1,\ sin\frac{d\alpha }{2}=\frac{dl}{2R},d\alpha -мал,sin\frac{d\alpha }{2}\approx \frac{d\alpha }{2}\ \to Rd\alpha =dl.\]

Для части окружности с током элемент поля для точки в центре можно записать как:

\[dB=\frac{{\mu }_0I}{4\pi }\frac{R}{R2}d\alpha =\frac{{\mu }_0I}{4\pi R}d\alpha (1.7),\]

где ${\alpha }_1\le \alpha \le {\alpha }_2$.

Тогда для части окружности с радиусом $R_1$ запишем, что элемент поля в точке С равен:

\[B_1=\frac{{\mu }_0I}{4\pi R_1}\int\limits{\frac{\pi }{2}}_0{d\alpha }=\frac{{\mu }_0\pi I}{8\pi R_1}\ \left(1.8\right)\]

для части окружности с радиусом $R_2$ запишем, что элемент поля в точке С равен:

\[B_2=\frac{{\mu }_0I}{4\pi R_2}\int\limits0_{\frac{\pi }{2}}{d\alpha }=-\frac{{\mu }_0\pi I}{8\pi R_2}\ \left(1.9\right).\]

Результирующее поле равно:

\[\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0I\overrightarrow{e_z}}{8}\left[\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right],\]

где $\overrightarrow{e_z}$- единичный орт, направленный перпендикулярно плоскости чертежа.

Ответ: $\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0I\overrightarrow{e_z}}{8}\left[\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right].$

Пример 2

Задание: Проводник имеет сечение формы тонкого полукольца с радиусом R. По нему течет ток силой I. Найдите индукцию магнитного поля в точках на оси полого полуцилиндра.

Решение:

Рис. 2

Для решения задачи, данный проводник необходимо рассматривать как совокупность множества нитей с током, которые имею форму полуокружностей. Результирующая магнитная индукция будет направлена вдоль оси X (рис.2).

Индукцию одной нити будем искать с помощью закона Био — Савара — Лапласа.

Для части окружности с током элемент поля для точки в центре можно записать как:

\[dB'=\frac{{\mu }_0I}{4\pi }\frac{dlcos\varphi }{r2}(2.1),\]

где $cos\varphi =sin (\alpha )$, где $\alpha $ — угол между элементом тока и радиус-вектором точки ($\overrightarrow{r}$), где ищем поле. Рассматривая треугольник, который построен на элементе dl, в котором можно записать:

\[l=rsin\varphi ,\ Rtg\varphi =l\to dl=R\frac{d\varphi }{{cos}2\varphi }\] \[r=\frac{R}{cos\varphi }\left(2.2\right).\]

Тогда в центре полуокружности одна нить с током создает магнитное поле с индуктивностью равной:

\[B'=\frac{{\mu }_0I}{4\pi }\int\limits{\frac{\pi }{2}}_{-\frac{\pi }{2}}{\frac{Rcos\varphi d\varphi }{{cos}2\varphi R2}{cos}2\varphi =\frac{{\mu }_0I}{4\pi }\int\limits{\frac{\pi }{2}}_{-\frac{\pi }{2}}{\frac{cos\varphi d\varphi }{R}}=}\frac{{\mu }_0I}{4\pi R}sin{\left.\varphi \right|}{\frac{\pi }{2}}_{-\frac{\pi }{2}}=\frac{{\mu }_0I}{2R}\left(2.3\right).\]

Индукцию всего проводника найдем как:

\[B=\int\limits{\pi }_0{dB'}sin\beta \left(2.4\right),\]

где $dB'$- запишем как:

\[dB'=\frac{\mu_0dI}{2\pi R}\left(2.5\right).\]

Элемент тока в нашем случае можно записать как:

\[dI=\frac{I}{l}dl=\frac{I}{l}Rd\beta \left(2.6\right).\]

Подставим (2.6) в (2.5), за тем в (2.4), найдем искомую величину:

\[B=\int\limits{\pi }_0{\frac{{\mu }_0IRd\beta }{2R\pi l}}sin\beta =\frac{{\mu }_0I}{2\pi l}\int\limits{\pi }_0{sin\beta d\beta }=\frac{{\mu }_0I}{2\pi l}(-cos\beta ){\pi }_0=\frac{{\mu }_0I}{\pi l}\left(2.7\right).\]

Длина полуокружности равна:

\[l=\pi R\ \left(2.8\right).\]

Ответ: $B=\frac{{\mu }_0I}{{\pi }2R}.$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/postoyannoe_magnitnoe_pole/zakon_bio-savara-laplasa_i_ego_polevaya_traktovka/

Booksm
Добавить комментарий