Задача двух тел

Задача трёх тел в двух словах

Задача двух тел

Задача трёх тел (в астрономии) — одна из задач небесной механики, состоящая в определении относительного движения трёх тел (материальных точек), взаимодействующих по закону тяготения Ньютона (например, Солнца, Земли и Луны)/. Фундаментальная проблема небесной механики: определение движения трех тел под влиянием только их взаимных гравитационных притяжений.

Со времен Ньютона удалось найти всего три класса стабильных орбит, по которым могут вращаться три притягивающих друг друга тела. Ученым из Белградского Института Физики с помощью компьютерного моделирования удалось найти еще тринадцать.

Со времен Ньютона классическая механика позволяет вычислять движения физических тел в пространстве. Даже появление теории относительности не поколебало успех классической механики — вдали от скорости света и сильных гравитационных полей она по-прежнему успешно применяется.

Кроме рассмотрения конкретных задач – например, движение кометы Галлея или летящего на Луну «Аполлона» с астронавтами — ученые ищут и общие решения. При этом интерес вызывают стабильные системы, в которых тела, с одной стороны, не разлетаются друг от друга в бесконечность, а с другой — не сталкиваются.

Первый закон Ньютона отвечает на вопрос о движении одного изолированного тела – оно либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно.

Если у нас есть два тела, то они бесконечно долго могут вращаться вокруг общего центра масс – как, например, двойные звезды.

При этом, если одно тело по массе во много раз превосходит другое, то центр масс лежит глубоко внутри него – и мы описываем такое движение как «вращение меньшего тела вокруг большего», будь то Луна и Земля или Земля и Солнце.

Собственно, еще до Ньютона решения этой так называемой «задачи двух тел» были открыты Иоганном Кеплером в виде законов движения планет.

А вот «задача трех тел» оказалась не в пример сложнее, хотя, казалось бы — что для великолепного аппарата классической механики «всего» еще одно тело? В восемнадцатом веке Эйлер и Лагранж нашли одно устойчивое решение, в котором все три тела не меняют своего положения друг относительно друга, оставаясь в вершинах треугольника. В общем же виде найти решение задачи трех тел, в отличие от задачи одного и двух тел, нельзя – это было доказано в 1887 году Генрихом Брунсом (кстати, некоторое время этот немецкий ученый работал в России). С тех пор физики и математики ищут частные решения. Надо сказать, не очень успешно – со времен Лагранжа найдено всего два новых класса решений. В середине 1970-х было открыто семейство орбит Бруке-Хено-Хаджидеметриу, а в 1993 Мур показал существоание стабильных орбит-«восьмерок», по которым три тела все время догоняют друг друга.

Пример орбиты из семейства Бруке-Хено-Хаджижеметриу:

Пример орбиты-«восьмерки», открытой в 1993 году Муром:

При таких небогатых результатах тем более удивительно открытие Милована Шувакова и Велько Дмитрашиновича из Белградского Института физики – они смогли найти целых тринадцать новых вариантов стабильных орбит для задачи трех тел! Правда, делали они это не как классические математики, строго доказывая существование орбиты. Сербские ученые находили решения «экспериментально».

Задав начальные положения тел и скорости, они с помощью компьютерных симуляций рассчитывали положение тел в любой последующий момент времени. Стоит отметить, что Шуваков и Дмитрашинович использовали весьма ограниченный набор условий: в начальный момент все три тела лежат на одной прямой, а их скорости — в одной плоскости, в которой и происходит всё последующее движение тел.

Кроме того, массы всех тел равны.

Даже при таких жестких начальных условиях ученым удалось обнаружить пятнадцать вариантов орбит, по которым тела могут вращаться неограниченно долгое время без столкновений, тринадцать из которых ранее не были известны.

Чтобы разобраться в этом неожиданно свалившемся на головы обилии, авторы изобразили получившиеся орбиты на так называемой «сфере форм». Это сфера, точки которой изображают взаимное положение трех тел: каждой точке соответствует возможный треугольник.

Последний может быть вырожденным в отрезок, если все точки лежат на одной прямой — этому соответствует экватор «сферы форм». Три точки на экваторе означают столкновение двух из трех тел.

Понятно, что стабильные орбиты, которые математики ищут вот уже несколько веков, не должны проходить через них.

Решение Эйлера-Лагранжа на «сфере форм» представляет собой одну точку — ведь треугольник из трех тяготеющих тел в этом случае не претерпевает каких-либо изменений.

На основе топологических особенностей траекторий на «сфере форм» авторы разделили получившиеся орбиты на четыре класса. Интересно, что все известные ранее решения оказались относящимися к одному и тому же классу!

Сами же орбиты оказались весьма замысловатыми.

Ниже приведены примеры орбит из каждого класса. Названия классов связаны с описывающими их алгебраическими группами симметрий, а вот названия орбит авторы придумывали сами. И они явно неравнодушны к энтомологии — четыре из семи названий представляют собой названия насекомых.

На сайте Милована Шувакова можно найти и более подробную галерею, где приведены также траектории орбит на «сфере форм» и численные характеристики орбит, включая начальные координаты и скорости тел.

Следующая задача — выяснить, насколько эти орбиты устойчивы к возмущениям. То есть — переходя к реальности — если вблизи этой системы трех тел пролетит четвертое, то не развалится ли вся красивая картинка? А дальше — дело за астрономами. Им надо будет выяснить, существуют ли подобные орбиты в реальном космосе?

Статья принята к публикации в журнале Physical Review Letters

Автор публикации Сергей Лысенков. Источник: Научно-популярный журнал «Знание — сила»

Источник: https://pikabu.ru/story/zadacha_tryokh_tel_v_dvukh_slovakh_4350837

Василиса ЯВИКС — интеллектуальная поисковая система. Завтра уже здесь!

Задача двух тел

В классической механике, задача двух тел состоит в том, чтобы определить движение двух точечных частиц, которые взаимодействуют только друг с другом. Распространённые примеры включают спутник, обращающийся вокруг планеты, планета, обращающаяся вокруг звезды, две звезды, обращающиеся вокруг друг друга (двойная звезда), и классический электрон, движущийся вокруг атомного ядра.

Задачу двух тел можно представить как две независимые задачи одного тела, которые привлекают решение для движения одной частицы во внешнем потенциале.

Так как многие задачи с одним телом могут быть решены точно, соответствующая задача с двумя телами также может быть решена.

В отличие от этого, задача с тремя телами (и, более широко, задача n тел) не может быть решена, кроме специальных случаев.

Два тела с одинаковой массой, движущиеся вокруг общего центра масс по эллиптическим орбитам. Два тела с небольшой разницей в массах движущиеся по круговым орбитам вокруг общего центра масс. Этот специфический тип орбиты подобен системе Плутон — Харон.

Постановка задачи

Пусть и радиус-векторы двух тел, а и их массы. Наша цель определить траектории и для любого времени , при заданных начальных координатах

,

и скоростях

˙, ˙.

Второй закон Ньютона применительно к данной системе утверждает, что

¨¨

где

 — сила, действующая на первое тело из-за взаимодействия со вторым телом, и — сила, действующая на второе тело со стороны первого.

Складывая и вычитая эти два уравнения, можно разделить одну задачу на две задачи с одним телом, которые могут быть решены независимо. «Сложение» уравнений (1) и (2) приводит к уравнению, описывающему движение центра масс .

В отличие от этого, «вычитание» уравнения (2) из уравнения (1) приводит к уравнению, которое описывает, как вектор ≡− между массами изменяется со временем. Решение этих независимых задач может помочь в нахождении траекторий и .

Движение центра масс (первая задача)

Сложение уравнений (1) и (2) приводит к равенству

¨¨¨

где мы использовали третий закон Ньютона− и где

позиция центра масс системы. Уравнение в итоге запишется в виде

¨

Оно показывает, что скорость ˙ центра масс постоянна. Отсюда следует, что полный момент количества движения ˙˙ также сохраняется (сохранение импульса). Позиция и скорость центра масс может быть получена в любой момент времени.

Движение вектора смещения (вторая задача)

Вычитая уравнение (2) из уравнения (1) и преобразуя приходим к уравнению

¨−¨−

где мы снова использовали третий закон Ньютона − и где (определённый выше) — вектор смещения, направленный от второго тела к первому.

Сила между двумя телами должна быть функцией только а не абсолютных положений и ; в противном случае задача не имеет трансляционной симметрии, то есть законы физики менялись бы от точки к точке. Таким образом можно записать:

¨

где  — приведённая масса.

Как только мы найдём решение для и , первоначальные траектории можно записать в виде

как может быть показано подстановкой в уравнения для и .

Решение задачи двух тел для гравитационных сил

Пусть между телами действует гравитационное притяжение. Сила, действующая между ними, равна:

Уравнение движения запишется как

¨−

или

¨−μ     где     μ

Векторно умножая последнее уравнение на r и интегрируя, получим

ר×˙

Постоянный вектор h, являющийся постоянной интегрирования, называется кинетическим моментом системы. Взаимное движение тел происходит в плоскости, перпендикулярной этому вектору.

Введём систему цилиндрических координат r, φ, z. Единичные векторы вдоль радиальной, трансверсальной и вертикальной оси обозначим как i, j и k.

Проекции скорости на радиальную и трансверсальную оси составят

˙˙˙ϕϕ˙˙˙ϕ˙

Тогда

×˙×˙ϕ˙×ϕ˙ϕ˙ϕ˙

В левой части последнего выражения стоит удвоенная площадь треугольника, описываемого радиус-вектором r за единицу времени. Таким образом, это соотношение является математической записью второго закона Кеплера.

Уравнение (3) умножаем скалярно на скорость и интегрируем. Получим

−μ

Последнее соотношение является выражением закона сохранения механической энергии в системе.

Движение двух тел в плоскости

Замечательно, что движение двух тел всегда происходит в плоскости. Определим линейный импульсμ˙ и угловой момент

×

Скорость изменения углового момента равна моменту силы

˙×μ˙×μ¨×

Однако законы движения Ньютона выполняются для всех физических сил, и гласят, что сила, действующая между двумя частицами (материальными точками) направлена по линии соединяющей их положения, то есть . Отсюда × и угловой момент сохраняется. Тогда вектор смещения и его скорость ˙ лежат в плоскости перпендикулярной постоянному вектору .

Общее решение для силы, зависящей от расстояния

Часто полезно перейти в полярные координаты, поскольку движение происходит в плоскости и для многих физических задач сила является функцией радиуса (центральные силы). Поскольку r-компонента ускорения равняется ¨−θ˙, уравнение для r-компоненты вектора смещения μ¨≡ можно переписать в виде

μ−μωμ−μ

где ω≡θ˙ и угловой момент μω сохраняется. Сохранение углового момента позволят найти решение для траектории θ используя замену переменных. Переходя от к θ

μθ

получим уравнение движения

θμθ−μ

Это уравнение становится квазилинейным при замене переменных ≡ и умножение обеих частей уравнения на μμ

θ−μ

Применение

Для сил обратно пропорциональных квадрату расстояния, таких как гравитация или электростатика в классической физике получим

αα

для некоторых констант α, уравнение для траекторий становится линейным

θαμ

Решение этого уравнения

θ≡θαμ⁡θ−θ

где и θ константы. Это решение показывает, что орбита представляет собой коническое сечение, то есть эллипс, гиперболу или параболу, в зависимости от того меньше выражения αμ, больше или равно.

Задача двух тел в ОТО

Основная статья: Задача Кеплера в общей теории относительности

Нормальная орбита любого тела, захваченного притяжением другого тела, представляет собой эллипс или окружность — именно такие орбиты мы наблюдаем в Солнечной системе.

Однако, общая теория относительности утверждает, что в окрестностях крайне массивных тел — там, где пространство оказывается сильно искривлено благодаря наличию колоссального гравитационного поля — спектр возможных стабильных орбит значительно расширяется, Напротив, устойчивые в классической задаче двух тел орбиты оказываются неустойчивыми в релятивистской задаче двух тел. При малых расстояниях от притягивающего центра исчезает существующий в классической кеплеровской задаче «центробежный барьер», не позволяющий пробной частице упасть на притягивающий центр.

На самом деле даже в относительно слабом гравитационном поле в Солнечной системе наблюдаются релятивистские отклонения от классических эллиптических орбит.

Такое отклонение для Меркурия (поворот перигелия орбиты со скоростью около 43 угловых секунд за столетие), не предсказываемое ньютоновской механикой, было известно задолго до создания общей теории относительности, которая смогла объяснить этот ранее загадочный эффект.

Пример

Любая классическая система, состоящая из двух частиц, по определению задача двух тел. Во многих случаях, однако, одно тело много тяжелее другого, как например в системе Земля и Солнце. В таких случаях более тяжёлая частица играет роль центра масс и задача сводится к задаче о движения одного тела в потенциальном поле другого тела.

Собственно, закон всемирного тяготения Ньютона рассматривает именно такую ​​ситуацию, до сих пор на планете его точности хватает с огромным избытком. Однако, при этом не следует забывать, что появляется риск потери требуемой для реальных действий точности расчетов — при злоупотреблении упрощением.

В частности, без учета взаимодействия масс или, другими словами, гравитационно-инерционных потенциалов обоих тел невозможны современные космические расчеты. Нахождение места центра вращения в более массивном теле расплывчато, и в реалиях ещё нужен учёт иных тел и полей.

Необходим предварительный анализ, особенно при расчёте устоявшихся и стационарных орбит: многократное вращение неизбежно накопит неточности до неприемлемой величины ошибки.

Литература

Источник: http://yavix.ru/%D0%B2%D0%B8%D0%BA%D0%B8%20%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0%202%20%D1%82%D0%B5%D0%BB

Задача двух тел. Приведенная масса

Задача двух тел

Рассмотрим задачу о движении двух взаимодействующих толь­ко между собой материальных точек. Вследствие однородности и изотропности пространства потенциальная энергия взаимодей­ствия может зависеть только от расстояния между точками. Функ­ция Лагранжа для данной задачи запишется в форме

(4.1)

Рассматриваемая система материальных точек замкнута. Поэтому ее импульс сохраняется, и система отсчета центра инерции являет­ся инерциальной системой отсчета. Задачу будем решать в систе­ме отсчета центра инерции. Начало координат поместим в центр инерции, что дает

(4.2)

Введем радиус-вектор , направленный от первой материальной точки ко второй:

(4.3)

С помощью формул (4.2) и (4.3) выразим векторы и через вектор :

; (4.4)

Потенциальная энергия теперь зависит только от величины век­тора . Выражая с помощью формул (4.4) скорости и через вектор , кинетическую энергию системы двух материальных точек можно записать как кинетическую энергию одной матери­альной точки массой

(4.5)

Выраженная через радиус-вектор функция Лагранжа (4.1) запи­шется в форме

(4.6)

Функция Лагранжа (4.6) — это функция Лагранжа одной мате­риальной точки массы , движущейся в потенциальном поле, за­висящем только от расстояния до начала координат. Такое потен­циальное поле называется центральным полем. Сила, действую­щая в центральном поле на материальную точку, направлена по прямой, соединяющей материальную точку с центром поля:

(4.7)

Масса , определенная согласно (4.5), называется приведенной массой. Следовательно, решение задачи двух тел эквивалентно решению задачи о движении в центральном поле материальной точки с массой, равной приведенной массе. После решения задачи о движении материальной точки в центральном поле координаты двух тел можно получить при помощи формул (4.4).

Если масса одной материальной точки, например , много больше массы другой материальной точки, то из формул (4.4) и (4.

5) получим, что приближенно , , , то есть центр инерции системы двух тел совпадает с более массивным те­лом, а приведенная масса равна массе менее массивного тела.

В этом случае задача двух тел сводится к задаче о движении одного тела в потенциальном поле, создаваемом другим телом.

Поскольку масса Солнца намного больше массы каждой из пла­нет Солнечной системы, то в первом приближении можно прене­бречь взаимодействием планет между собой и движением Солнца вокруг центра инерции Солнечной системы.

В этом приближении движение отдельной планеты рассматривается как движение ма­териальной точки в поле тяготения Солнца. Учет взаимодействия планет между собой приводит к задаче многих тел, взаимодейству­ющих между собой.

Эта задача не может быть сведена к квадра­турам и решается приближенными методами.

Движение в центральном поле

Вследствие сферической симметрии поля сохраняется вектор момента импульса , определенный относительно центра поля. Так как , то векторы и перпендикулярны посто­янному вектору и, следовательно, всегда лежат в плоскости, перпендикулярной ему.

Поэтому вся траектория лежит в этой плоскости и является плоской кривой. Направим ось OZ по век­тору . Тогда траектория будет лежать в плоскости XOY.

Выберем в этой плоскости полярную систему координат и функцию Лагранжа запишем в форме :

(4.8)

Координата является циклической. Сопряженный ей обобщен­ный импульс сохраняется:

(4.9)

Согласно формуле (3.34) обобщенный импульс для одной материальной точки

, (3.34)

Этот обобщенный импульс равен проек­ции момента импульса материальной точки на ось OZ. Будем счи­тать, что постоянная М положительна, что соответствует выбору положительного направления оси OZ по положительному напра­влению вектора момента импульса. В этом случае всегда и, следовательно, материальная точка в центральном поле движется так, что угол монотонно растет.

Закон сохранения (4.9) часто формулируется как закон площа­дей. Рассмотрим два положения материальной точки на траекто­рии в два бесконечно близких момента времени, как показано на рис. 4.1. Из рисунка видно, что площадь бесконечно малого секто­ра, ограниченного двумя положениями радиуса-вектора и участ­ком траектории, равна

. (4.10)

Из формул (4.9) и (4.10) находим скорость изменения площади с течением времени. Эта величина называется секторной скоростью и в центральном поле

(4.11)

За равные промежутки времени радиус-вектор материальной точ­ки заметает одинаковые площади. Это утверждение, известное как закон площадей, является другой формулировкой закона сохране­ния момента импульса. Закон площадей выполняется для любого центрального поля.

Так как функция Лагранжа материальной точки в центральном поле не зависит явно от времени, то сохраняется энергия матери­альной точки. В полярных координатах выражение для энергии записывается в форме

(4.12)

Из выражения (4.9) найдем производную и подставим ее в фор­мулу (4.12). В результате получим

(4.13)

где введено понятие эффективной потенциальной энергии , равной

(4.14)

Формула (4.13) для энергии совпадает с формулой для энергии материальной точки, движущейся по радиусу и находящейся в по­тенциальном поле с эффективной потенциальной энергией . Из соотношения (4.13) находим, что

(4.15)

Разделяя в выражении (4.15) переменные и интегрируя его, полу­чим неявную зависимость :

(4.16)

Выражение (4.15) и интеграл (4.16) имеют смысл только тогда, когда подкоренное выражение не отрицательно, то есть когда выполняется неравенство ). Исследование этого неравен­ства позволяет, не вычисляя интеграла, определить области про­странства, в которых возможно движение материальной точки при заданных энергии и моменте импульса .

Качественно такое исследование можно провести графическим путем, если построить график зависимости и на том же графике провести прямую . Пример такого построения приведен на рис.. На этом графике условия неравенства выполняются для значений радиуса в пределах .

Следовательно, при обра­щении вокруг центра поля материальная точка будет то прибли­жаться к центру на расстояние , то удаляться от него на рассто­яние .

Найдем теперь уравнение траектории. Так как производные и известны, то исключим время путем деления одной производной на другую. В результате получим

(4.17)

Интегрируя выражение (4.17), находим уравнение траектории в полярных координатах:

( 4.18)

Интеграл можно вычислить только после задания потенциаль­ной энергии . Если положить , то изменение знака происходит одновременно с измене­нием знака . Знак меняется в точке, где и где, следова­тельно, материальная точка находится на минимальном или максимальном удалении от центра поля.

Точки минимального или максимального удаления материальной точки от центра поля на­зываются точками поворота. Таким образом при начало отсчета угла выбрано от прямой, проведенной от центра поля в точку поворота.

Поскольку в этом случае одинаковым значени­ям , лежащим по разные стороны от точки поворота, отвечают одинаковые абсолютные значения угла , то траектория матери­альной точки симметрична относительно направления на точку поворота.

Если при движении материальная точка уходит на бес­конечность, то траектория состоит из двух симметричных ветвей. При движении без ухода на бесконечность траектория получается многократным отражением участка кривой, расположенного ме­жду положениями и .

Рис. 4.3 Рис. 4.4

Примеры возможных траекторий приведены на рис. 4.3 и рис. 4.4. Угол между положениями и на рис. 4.4 дается формулой

(4.19)

Если при сложении нескольких получится угол, кратный , то материальная точка возвратится на уже пройденный участок траектории и сама траектория будет замкнутой кривой. Условие замкнутости траектории записывается в форме

(4.20)

где целые числа. Если это условие не выполняется, то траектория будет незамкнутой кривой, расположенной в кольце между окружностями с радиусами и .

Задача Кеплера

Рассмотрим важный случай центрального поля, когда потен­циальная энергия равна (4.21) Силу, действующую на материальную точку, найдем по формуле (4,22), где — единичный вектор, направленный по радиусу. Знак плюс относится к полю отталкивания, когда сила направлена от центра.

Знак минус — полю при­тяжения. Для рассматриваемого потенциального поля сила обрат­но пропорциональна квадрату радиуса. Такую зависимость силы от расстояния имеют поле тяготения сферически симметричной массы и электрическое поле точечн. или сферически симметрич­н. заряда.

Ур-ие траектории получим, вычисляя интеграл (4.18). За­пишем его для поля притяжения, выбирая знак минус в (4.21). Положим также постоянную =0 и выберем знак плюс перед интегралом. Такой выбор постоянной и знака перед инте­гралом соответствует выбору оси ОХ в направлении на положение минимального удаления материальной точки от центра. Тогда ин­теграл имеет вид

(4.23) Интеграл (4.23) приводится к табличному интегралу путем заме­ны и выделением полного квадрата под знаком корня. Результат интегрирования можно записать в форме(4.24)

где введены две новые постоянные: параметр и эксцентриситет . Они равны:

; (4.25) Уравнение (4.24) задает в полярных координатах одно из кони­ческих сечений: гиперболу, параболу или эллипс. Начало поляр­ной системы координат совпадает с одним из фокусов гиперболы или эллипса или с фокусом параболы. Вид конического сечения зависит от величины эксцентриситета . При уравнение зада­ет гиперболу. В этом случае положительна энергия материальной точки:(4.26)

Материальная точка, движущаяся по гиперболе, может уйти на бесконечность и будет иметь там ненулевую скорость. При второе слагаемое в (4.26) обращается в 0 и энергия материаль­ной точки равна ее кинетической энергии . Если , то эксцентриситет и уравнение (4.

24) задает пара­болу. Материальная точка по-прежнему может уйти на бесконеч­ность, но скорость ее на бесконечности =0. И наконец, при отрицательной энергии материальной точки ее эксцентри­ситет . Тогда уравнение (4.24) описывает эллипс.

Движение материальной точки ограничено областью вблизи центра поля.

Если пренебречь взаимодействием планет между собой, то по­лученные для поля притяжения с результаты можно применить к описанию движения планет Солнечной системы.

Так как масса Солнца >> массы планет Солнечной системы, то центр поля можно считать совпадающим с центром Солнца, а приведенную массу считать = массе планеты. Из з-на всемирного тяготения имеем .

Выразим измеряе­мые астрономами величины — большую полуось орбиты и период обращения планеты — через энергию и момент импульса планеты. Из рис. 4.5 траектории планеты видно, что

; (4.27)

Размер большой полуоси эллипса не зависит от момента импульса материальной точки и определяется только ее энергией. Период обращения материальной точки вокруг центра найдем путем инте­грирования соотношения (4.

11) закона площадей. За период обра­щения вокруг центра площадь, заметаемая радиусом-вектором ма­териальной точки, равна площади эллипса. Используя значения для и из (4.27), формулу для площади эллипса и закон площадей (4.

11), получим

(4.28) Подставляя в (4.28) значения и из формул (4.27), найдем период обращения: (4.29)

Для планет Солнечной системы отношение . Lля них период обращения зависит только от величины большой полуоси орбиты. Эти рез-ты для движения материальной точки по эллипсу в центральном поле в приложении к движению планет Солнечной системы открыты Кеплером. За­коны Кеплера

Закон 1. Планета движется по эллипсу, в одном из фокусов ко­торого находится Солнце.

Закон 2. Площади, заметаемые радиусом-вектором планеты за одинаковые промежутки времени, равны.

Закон 3. Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы их больших полуосей. Уравнение траектории для поля оттал­кивания, когда . : (4.30) и даются формулой (4.25). Единственно возможной траекторией в этом случае является гипербола, для которой и .



Источник: https://infopedia.su/1x58f4.html

Задача двух тел

Задача двух тел

Решение уравнений динамики системы материальных точек встречает непреодолимые математические трудности, т.к. точного решения этих уравнений для произвольных сил не найдено уже в случае трех материальных точек.

В связи с этим важна задача о замкнутой системе двух точек, называемая задачей двух тел.

Она имеет простое и исчерпывающее решение — сводится к основной задаче динамики одной материальной точки.

Решение задачи двух тел используется в небесной механике, описывающей движение планет и их спутников в Солнечной системе, в задачах на столкновение частиц, в статистической физике и других вопросах.

Определение 1

Рассмотрим замкнутую систему двух материальных точек, взаимодействующих между собой. Как известно центр масс такой системы движется равномерно и прямолинейно (или покоится). Задача просто решается в системе с началом в центре масс, движущейся поступательно (такая система называется Ц-системой).

Рисунок 1.

Обозначим массы частиц через $m_{1} $ и $m_{2} $ и их радиус-векторы, проведенные от центра масс, соответственно $\overline{r_{1} }$ и $\overline{r_{2} }$. Пусть $\overline{r}$- вектор, проведенный от точки $m_{2} $ к $m_{1} $. Из определения радиус-вектора центра масс имеем:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Непосредственно из рисунка следует соотношение между радиус-векторами:

$\overline{r}_{1} =\overline{r}_{2} +\overline{r}$. (1)

Два последних равенства позволяют выразить радиус-векторы $\overline{r_{1} }$ и $\overline{r_{2} }$ через вектор $\overline{r}$, соединяющий точки $m_{2} $ и $m_{1} $. Имеем:

$\overline{r}_{1} =\frac{m_{2} }{m_{1} +m_{2} } \overline{r}$, $\overline{r}_{2} =\frac{m_{1} }{m_{1} +m_{2} } \overline{r}$. (2)

Запишем основные уравнения для движения обеих точек в Ц-системе:

$\begin{array}{l} {m_{1} \overline{\ddot{r}_{1} }=\overline{F}_{2,1} (r)} \\ {m_{2} \overline{\ddot{r}_{2} }=\overline{F}_{1,2} (r)} \end{array}$ (3)

Силы в уравнениях (3) зависят от расстояния между точками, а не от расстояния до центра масс, т.е. решать уравнения (1) отдельно для каждой точки нельзя.

Пользуясь выражениями для радиус-векторов (2), исключим из основных уравнений (3) $\overline{r_{1} }$ и $\overline{r_{2} }$. Тогда получаем уравнения движения:

Так как по третьему закону Ньютона $\overline{F}_{2,1} (r)=-\overline{F}_{1,2} (r)$, оба уравнения становятся тождественными, и движение системы двух точек, в результате их взаимодействия эквивалентно движению одной точки в соответствии с уравнением:

$\frac{m_{1} B_{2} }{m_{1} +m_{2} } \overline{\ddot{r}}=\overline{F}(r)$. (4)

Уравнение (4) отличается от известного уравнения движения материальной точки в поле заданной силы только тем, что вместо массы $m$здесь выступает комбинация масс двух точек:

$m'=\frac{m_{1} B_{2} }{m_{1} +m_{2} } $ (5)

Величина $m'$ называется приведенной массой.

Итак, задача двух тел свелась к задаче о движении одной материальной точки с приведенной массой в Ц-системе под действием центральной силы; уравнение движения имеет обычный вид:

$m'\overline{\ddot{r}}=\overline{F}(r)$ (6)

Но при использовании результатов решения уравнения (6) необходимо помнить, что точка $m'$, движущаяся на конце радиус-вектора $\overline{r}$под действием силового центра в начале координат Ц-системы, является не реальной, а изображающей движение системы. От ее движения, после того как уравнение (6) проинтегрировано, следует переходить к реальному движению двух материальных точек $m_{2} $ и $m_{1} $.

Движение двух материальных точек в системе центра масс

Движение изображающей точки в соответствии с уравнением (6) будет плоским. Пусть кинематическое уравнение движения найдено: $\overline{r}=\overline{r}(t)$.

В таком случае с помощью формулы (2) находим кинематическое уравнение движения обеих материальных точек в Ц-системе:

$\overline{r}_{1} =\frac{m_{2} }{m_{1} +m_{2} } \overline{r}(t),$ $\overline{r}_{2} =\frac{m_{1} }{m_{1} +m_{2} } \overline{r}(t)$. (7)

Очевидно, что траектория движения изображающей точки и точек $m_{2} $ и $m_{1} $ будут подобными кривыми относительно центра масс, а отношение подобия есть обратное отношение масс, т.е.:

$\frac{r_{1} }{r_{2} } =\frac{m_{2} }{m_{1} } $ (8)

Нетрудно найти и скорости движения точек. Дифференцируя (7) по времени, имеем:

$\overline{v}_{1} =\frac{m_{2} }{m_{1} +m_{2} } \overline{v},$ $\overline{v}_{2} =\frac{m_{1} }{m_{1} +m_{2} } \overline{v}$. (9)

Задача двух тел решена.

Пример 1

Момент импульса для системы двух точек имеет вид: $\overline{L}=m_{1} \left|\overline{r}_{1} \overline{v}_{1} \right|+m_{2} \left|\overline{r}_{2} \overline{v}_{2} \right|$. Необходимо записать выражение для собственного момента импульса системы через приведенную массу.

Дано:

Момент импульса системы двух точек: $\overline{L}=m_{1} \left|\overline{r}_{1} \overline{v}_{1} \right|+m_{2} \left|\overline{r}_{2} \overline{v}_{2} \right|$.

Найти: собственный момент импульса системы — ?

Момент импульса системы двух точек:

\[\overline{L}=m_{1} \left|\overline{r}_{1} \overline{v}_{1} \right|+m_{2} \left|\overline{r}_{2} \overline{v}_{2} \right|.\]

Внесем сюда выражения $\overline{r_{1} }$ и $\overline{r_{2} }$через вектор $\overline{r}$, выражающийся формулой (7) и получим равенство:

\[\overline{L}=\frac{m_{1} m_{2} }{m_{1} +m_{2} } \left|\overline{r}\overline{v}_{1} \right|-\frac{m_{1} m_{2} }{m_{1} +m_{2} } \left|\overline{r}\overline{v}_{2} \right|=\frac{m_{1} m_{2} }{m_{1} +m_{2} } (\overline{r}\left|\overline{v}_{1} -\overline{v}_{2} \right|).\]

Вектор $\overline{v}_{1} -\overline{v}_{2} $ есть скорость $\overline{v'}$первой частицы относительно второй или скорость изображающей точки $\overline{v}$ и окончательный результат выражается равенством:

\[\overline{L}=m'[\overline{r}\overline{\cdot v}].\]

Ответ: собственный момент импульса системы $\overline{L}=m'[\overline{r}\overline{\cdot v}]$

Замечание 1

Выводы:

  • задача о движении двух тел сводится к задаче о движении одной точки под действием заданной силы;
  • особую роль при этом играет приведенная масса системы, через нее выражаются основные динамические параметры системы — энергия, импульс, момент импульса.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/dinamika/zadacha_dvuh_tel/

Невозмущенное движение. Задача двух тел

Задача двух тел

Наиболее популярной и наиболее изученной задачей небесной механики является задача двух тел: изучить движение материальной точки в гравитационном поле другой материальной точки, если известны массы этих точек, а также их положения и скорости в некоторый заданный момент времени.

К задаче двух тел относятся, очевидно, задачи расчета движения небесного тела в гравитационном поле другого небесного тела, если несферичностью формы и несферичностью распределения плотности этих двух тел, а также воздействием гравитационных полей всех прочих небесных тел можно пренебречь.

Определение 3.1. Движение материальной точки в гравитационном поле другой материальной точки в условиях задачи двух тел называется невозмущенным или кеплеровым движением, а траектория этой материальной точки — орбитой кеплерова движения или, короче, кеплеровой орбитой.

Важным частным случаем задачи двух тел является задача изучения движения спутника в гравитационном поле некоторого притягивающего центра с известной массой. Эта задача называется ограниченной задачей двух тел.

Рассмотрим задачу двух тел подробнее. Пусть C и S — две материальные точки массами M и m соответственно, ro(C) и ro(S) — радиус-векторы этих точек в некоторой инерциальной системе координат Oxo yo zo (рис. 3). Положение точки S относительно точки C будем определять вектором r = ro(S) – ro(C).

Согласно закону всемирного тяготения (2.3), на точку S со стороны точки C будет действовать сила гравитационного притяжения

где r = /r/; r/r — вектор единичной длины, определяющий направление гравитационной силы; μs = Gm — постоянная, называемая гравитационным параметром точки S. Соответственно на точку C со стороны точки S будет действовать такая же по величине и обратная по направлению сила

где μc = GM — гравитационный параметр точки C. Тогда уравнения движения точек S и C в системе координат Oxyz запишутся в виде

Рассмотрим некоторую декартову систему координат Cxyz, начало которой совпадает с притягивающим центром C.

Тогда полученное равенство является выражением для ускорения точки S в системе координат Cxyz и приводит к важному выводу: движение материальной точки массой m относительно другой материальной точки массой M в задаче двух тел эквивалентно движению спутника в ограниченной задаче двух тел относительно притягивающего центра массой M + m. Величина гравитационного параметра спутника в ограниченной задаче двух тел будет равна μ = G(M + m). Так как масса спутника пренебрежимо мала по сравнению с массой притягивающего центра, то можно считать μ ≈ GM и

Это равенство называется уравнением движения спутника в ограниченной задаче двух тел.

Обозначим через    вектор скорости спутника и рассмотрим вектор , называемый вектором состояния. Рассмотрим также вектор

Тогда уравнение (3.1) в векторной форме будет записываться в виде

Интеграл энергии.

Умножим обе части уравнения (3.1) скалярно на величину

Это равенство можно записать в виде

Интегрируя левую и правую части последнего равенства по времени, получим выражение

где h — некоторая постоянная величина. Данное выражение называется интегралом энергии.

Первое слагаемое в левой части представляет собой удвоенную кинетическую энергию единицы массы спутника, а второе слагаемое — удвоенную потенциальную энергию единицы массы спутника.

Следовательно, постоянная h равна удвоенной величине полной энергии единицы массы спутника. Эта величина называется постоянной энергии.

Из формулы (3.2) следует, что полная энергия в задаче двух тел является постоянной величиной. В частности, это означает, что при удалении спутника от притягивающего центра его скорость уменьшается, а при приближении к притягивающему центру — увеличивается.

Интеграл площадей.

Предположим вначале, что векторы r и υ неколлинеарны, т. е. . Умножим обе части уравнения движения спутника (3.1) векторно на величину r:

так как по определению векторного произведения

Продифференцируем теперь по времени выражение :

где c — некоторый постоянный вектор. Полученное равенство называется векторным интегралом площадей, а вектор c — векторной постоянной площадей. Как видно из последнего равенства, вектор r во время движения всегда остается ортогональным вектору c, т. е.

вектор r всегда находится в плоскости, проходящей через притягивающий центр и определяемой нормальным к ней постоянным вектором c. Таким образом, интеграл площадей показывает, что движение спутника в ограниченной задаче двух тел происходит в одной плоскости, проходящей через притягивающий центр. Эта плоскость, т. е.

плоскость движения спутника, называется неизменяемой плоскостью Лапласа. Равенство (3.3) является общим уравнением плоскости Лапласа в векторной форме.

Введем в пространстве декартову систему координат Cxyz с началом в притягивающем центре C, причем оси Cx и Cy расположим в плоскости движения спутника, ось Cz направим вдоль вектора c (рис. 4).

Пусть радиус-вектор r и вектор скорости υ спутника в этой системе имеют координаты

                                                      (3.4)

Введем в плоскости движения полярные координаты , полагая

Подставляя эти равенства в выражение для третьей координаты в равенстве (3.4), получим после преобразований соотношение

которое называется полярной формой интеграла площадей. Эта формула имеет несколько важных следствий:

1. Если направление оси Cz совпадает с направлением вектора c, т. е. c > 0, то в любой момент времени t справедливо условие . Это означает, что угол наклона радиус-вектора спутника по отношению к оси Cx постоянно возрастает и движение спутника происходит в положительном направлении (т.

е. в направлении против часовой стрелки, если смотреть на плоскость Cxy со стороны положительного направления оси Cz). Такое движение спутника называется прямым. Если же c < 0, то движение спутника все время происходит в отрицательном направлении, и такое движение называется обратным.

2. Из полярной формы интеграла площадей (3.5) следует выражение для угловой скорости спутника

которое показывает, что, чем дальше спутник от притягивающего центра, тем меньше его угловая скорость.

3. Пусть радиус-вектор спутника за время Δt успел описать некоторый угол ∆J и «замести» некоторую площадь ΔS. Площадь заметенного сектора ΔS приближенно равна

т. е. секториальная скорость невозмущенного движения спутника относительно притягивающего центра постоянна.

Полученный результат выражает второй закон Кеплера: за равные промежутки времени радиус-вектор спутника заметает сектора равной площади.

Замечание 3.1. При выводе формулы интеграла площадей предполагалось, что векторы r и υ неколлинеарны. Легко показать, что в случае коллинеарности этих векторов спутник будет совершать прямолинейное движение в направлении своего радиус-вектора, и понятие плоскости движения теряет смысл..

Интеграл Лапласа.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/20_2052_nevozmushchennoe-dvizhenie-zadacha-dvuh-tel.html

Booksm
Добавить комментарий