Явления переноса в газах

2.5. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА

Явления переноса в газах

До сих пор в предыдущих разделах мы вели речь только о равновесных состояниях термодинамических систем. Однако никакая система изначально не является равновесной.

К этому состоянию она должна прийти, а для этого в процессе установления состояния равновесия в системе неизбежны пространственные переносы энергии, массы или импульса.

Такие случаи перераспределения энергии, массы и импульса получили название явлений переноса. Они представляют собой необратимые процессы в термодинамически неравновесных системах, при которых происходит:

  1. Перенос энергии — явление теплопроводности.

      Тепловое равновесие газа (жидкости или твёрдого тела) может быть нарушено, если одной из его частей молекулам будет сообщена скорость, отличная от скоростей молекул окружающих областей; в результате через некоторое время молекулы всего газа будут двигаться с одной скоростью — произойдёт выравнивание температуры по всему доступному объёму;

  2. Переноса массы — явление диффузии.   Если создать повышенную концентрацию молекул одного газа в некоторой части другого, то движении молекул приводит через некоторое время к выравниванию концентрации смеси обоих газов во всём объеме;

  3. Переноса импульса от быстродвижущихся областей к медленным областям — явление вязкости (внутреннего трения).

Во всех этих процессах в газах решающую роль играют столкновения молекул. Как известно, по молекулярно-кинетической теории средняя кинетическая энергия молекулы равна

m0/2 = (3/2)kT.

Если рассчитать по этой формуле скорости молекул при комнатной температуре T = 300 К,  то, например, для воздуха получаем очень высокую скорость возд = 500 м/c.

Однако при нагревании одной части газа другая его часть нагревается относительно медленно, поскольку перенос энергии (нагрев более холодной части газа) происходит только в результате передачи энергии быстрых молекул более медленным при столкновениях.

Для простоты анализа этих ситуаций можно ограничиться рассмотрением их одномерных случаев, распространим далее их на все три измерения.

Эффективное сечение взаимодействия

Все названные явления происходят значительно медленнее, чем можно ожидать при столь высоких молекулярных скоростях.

Причиной такого  несоответствия являются столкновения молекул между собой, которые препятствуют их свободным движениям. В результате молекулы произвольно меняют направление своего движения — рассеиваются друг на друге.

Для характеристики этого процесса вводят понятие эффективной площади рассеяния (эффективного сечения взаимодействия).

 
При столкновении двух молекул радиуса r их центры не могут приблизиться друг к другу на расстояние меньшее, чем 2r.

В результате получается, что если посчитать какую-либо молекулу покоящейся, то любая другая молекула, центр которой попадёт в круг радиуса d = 2r, обязательно столкнётся с первой молекулой. Эта окружность площадью
 

называется эффективной площадью рассеяния или 
эффективным сечением молекулы
.

Обратите внимание, что эффективная площадь молекулы в четыре раза больше её площади сечения.

Интересен и ещё один факт. Если любая молекула, центр которой попал внутрь эффективного сечения, обязательно столкнётся с первой молекулой, то, следовательно, каждая молекула фактически изымает из общего объёма газа объём, равный

V = (4/3)d3 =8(4/3)r3 =8V0.(2)

То есть, 

в области пространства с объёмом,  превышающим в восемь раз объем одной молекулы может находиться только одна молекула.

Здесь V0 — объём одной молекулы.

Эта полезная информация нам ещё пригодится несколько позднее при рассмотрении свойств реальных газов.

Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега

Найдем среднее число столкновений z. Пусть две молекулы движутся со скоростями 1 и 2. Их относительная скорость равна

0 = 1 2

где 02 = 12 + 22 212 cos

Если состояние газа равновесное, то скорости молекул можно считать равными 12 = 22, а значит 12 + 22 = 22. Угол может быть любым, поэтому среднее значение его косинуса также можно принять равным нулю, то есть cos = 0. Тогда получаем

02 = 2кв2  и   

где кв — средняя квадратичная скорость молекул.

Пусть концентрация молекул равна n0 и все молекулы неподвижны.

Тогда, если одна из них двигается со скоростью 0, то за 1 секунду эта молекула столкнется со всеми другими молекулами, центры которых лежат в пределах цилиндра с площадью оснований и длиной 0. Следовательно, количество столкновений за 1 секунду, которое испытает движущаяся молекула, равно

z = 0n0 = n0

Учитывая, что  = d2 =4r2, получим

z = 4r2n0(3)

В результате этих столкновений траектория движения молекул становится ломаной. При этом расстояния, которые молекула проходит от одного столкновения до другого, то есть её длина свободного пробега , все время меняется. В итоге можно говорить только о средней длине свободного пробега

= / z,

где — средняя скорость молекулы, z — среднее число столкновений молекулы за 1 секунду. Или

= /(4r2n0)(4)
  Расстояние, проходимое молекулой между двумя столкновениями называется длиной свободного пробега.

Зависимость длины свободного пробега от температуры Т выражается формулой Сезерленда

= 0T /(C + T),(5)

где 
0 — длина свободного пробега при T = 300 К, 
С
— экспериментальная константа.

Зависимость от температуры объясняется тем, что с повышением T из-за возрастания скоростей молекул они могут ближе подойти друг к другу, то есть радиус эффективного сечения сечение уменьшается.

Длина свободного пробегаобратно пропорциональнадавлению (а значит и плотности) газа

При нормальных условиях имеем: 
r =
10-9м,  n0 1025м-3, 5102м/с, z1010с-1, 510-8м.

Ультраразрежённые газы. Понятие вакуума

Если средняя длина свободного пробега того же порядка, что и характерный линейный размер сосуда d, в котором заключён  газ, или больше, то состояние газа называют вакуумом 
(или как часто говорят — техническим вакуумом).

Понятие вакуума относительное. Воздух в комнате, например, при атмосферном давлении в состоянии вакуума не находится, так как в этом случае 10-5 см. Однако в сосуде,  линейные размеры которого меньше 10-5 см (поры дерева и многих других пористых тел), тот же самый воздух уже находится в условиях вакуума.

Кстати …
 
Термин технический вакуум подчёркивает, что вакуум — это не полное отсутствие газа в каком-либо объёме, а просто особое состояние газа, соотнесённое с размерами этого объёма.

Различают три вида вакуума

1)  низкий, когда меньше характерного размера сосуда d, но приближается к нему, 
2)  средний, когда сравнима с d,
3)  высокий(или глубокий), когда значительно больше d.  
Газ в состоянии высокого вакуума называется ультраразрежённым.

В плотных газах T2. В этом случае кинетическая энергия  W = (i /2)kT молекул газа слева будет больше, чем справа. Следовательно, в направлении слева-направо будет происходить перенос энергии. Тогда по аналогии с (6) можем записать

Энергия (NW), перенесённая молекулами за время dt через площадку dS, равняется количеству теплоты Q. Поэтому на основании (7) можем записать

Умножим и разделим правую часть на массу молекулы m.

Теперь, учитывая, что k = R/NA,   n0m = ,   NAm = ,   (i/2)R/ = CV, получим

Введём обозначение 

коэффициент теплопроводности.

Тогда

 (закон теплопроводности Фурье)  

Здесь

T/x — градиент температуры,
CV —  молярная теплоёмкость при постоянном объёме, то есть — количество теплоты, необходимое для нагревания 1 моля газа на 1 К.

Диффузия

Явление диффузии заключается в самопроизвольном проникновении и перемешивании частиц двух соприкасающихся газов, жидкостей и твёрдых тел.

Диффузия продолжается до тех пор пока существует градиент плотности и сопровождается переносом массы (обменом частицами) между телами и продолжается до тех пор, пока существует градиент плотности.

Пусть плотность (концентрация) частиц убывает в направлении оси Ox, то есть 1 >2. Если учесть, что = n0m, то (NW) = M — представляет собой массу, переносимую за время dt через площадку dS. То есть

Введя обозначение — коэффициент диффузии, получаем

 (закон диффузии Нернста-Фика)  

Вязкое трение

Если различные слои газа или жидкости с одинаковой концентрацией и температурой двигаются с различными скоростями (существует градиент скорости), то за счёт хаотического движения молекул происходит их взаимное проникновение из одного слоя в другой. При этом происходит перенос импульса. В результате

медленный слой ускоряется, а 
быстрыйзамедляет скорость своего движения (тормозится). 

Пусть скорость частиц убывает в направлении оси Ox, то есть 1 > 2. Изменение импульса частиц в соседних слоях p = (m) можно записать следующим образом:

(n0m) = n0m = n0p

С другой стороны (Np) = Fdt — представляет собой не что иное, как импульс силы взаимодействия слоёв. Следовательно,

Учитывая, что плотность = n0m, и обозначив

коэффициент вязкости

получаем выражение для силы внутреннего трения в виде

 (закон внутреннего трения Ньютона)  

Кстати …
 
Коэффициент вязкости иначе ещё называют динамической вязкостью или просто вязкостью.

Коэффициенты переноса

Если сравнить введённые нами выше коэффициенты переноса:

—  коэффициент теплопроводности,
—  коэффициент диффузии,
—  коэффициент вязкости,

то нетрудно заметить их сходство. Поэтому вполне логичной выглядит и возможность выражения одни коэффициентов переноса через другие:

!!! …
 
Законы, описывающие явления переноса были выведены ещё до появления молекулярно-кинетической теории.

После своего развития МКТ позволила установить, что внешнее сходство математических уравнений, описывающих теплопроводность, диффузию и внутреннее трение, обусловлено общностью лежащего в их основе молекулярно-кинетического механизма перемешивания молекул в процессе их хаотического движения и столкновений друг с другом.

2.4. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
Общая характеристика явлений переноса. Эффективное сечение взаимодействия. Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега. Ультраразрежённые газы. Понятие вакуума. Время релаксации. Молекулярно-кинетическая теория явлений переноса. Теплопроводность. Диффузия. Вязкое трение. Коэффициенты переноса.

Источник: http://lib.kstu.kz:8300/tb/books/E-FIZIKA-1/Phys-I/2_4-book.htm

Явления переноса (диффузия, теплопроводность, вязкость)

Явления переноса в газах

В неравновесных системах возникают особые необратимые процессы, называемые явлениями переноса, в результате которых происходит пространственный перенос массы, энергии, импульса.

Диффузия обусловлена переносом массы, теплопроводность – переносом энергии, а вязкость – переносом импульса.

Для характеристики необратимых процессов переноса вводятся параметры теплового движения молекул: среднее число соударений молекулы в единицу времени и средняя длина свободного пробега молекул .

Среднее число соударений молекулы за 1 с : ,

где d – эффективный диаметр молекул, т.е. минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул,

– эффективное сечение молекул, – концентрация молекул,

– средняя арифметическая скорость молекул.

Средняя длина свободного пробега молекул , т.е. средний путь, проходимый молекулой между двумя последовательными столкновениями:

.

При рассмотрении одномерных явлений переноса система отсчета выбирается так, чтобы ось х была ориентирована в направлении переноса.

1. Диффузия. Явление диффузии заключается в том, что происходит самопроизвольное взаимопроникновение и перемешивание частиц двух соприкасающихся газов, жидкостей и даже твердых тел. Диффузия сводится к переносу массы, возникает и продолжается до тех пор, пока на границе соприкосновения двух сред градиент плотности отличен от нуля.

Градиент плотности вдоль выбранной оси х, перпендикулярной плоскости соприкосновения двух сред, обозначается как и показывает как быстро изменяется величина плотности от точки к точке вдоль оси х.

Количественно явление диффузии подчиняется закону Фика:

,

где – плотность потока массы, то есть величина, определяемая массой газа, диффундирующего через единичную площадку S в единицу времени,

градиент плотности газа в направлении x, перпендикулярном выбранной площадке S ,

D – коэффициент диффузии.

Знак минус в приведенной формуле означает, что перенос массы происходит в направлении убывания плотности.

Согласно молекулярно-кинетической теории идеального газа, коэффициент диффузии D: ,

где  – средняя скорость теплового движения молекул,

 – средняя длина свободного пробега молекул.

2. Теплопроводность.

Если в одной области газа температура больше,чем в другой, то с течением времени вследствие постоянных столкновений молекул происходит процесс выравнивания средних кинетических энергий молекул, то есть процесс выравнивания температуры. Этот процесс переноса энергии, называемый теплопроводностью, возникает и продолжается до тех пор, пока на границе соприкосновения двух частей газа градиент температуры отличен от нуля.

Градиент температуры Т газа вдоль выбранной оси х, перпендикулярной плоскости соприкосновения двух частей газа, имеющих различную температуру, обозначается как и показывает как быстро изменяется температура газа от точки к точке вдоль оси х.

Количественно теплопроводность подчиняется закону Фурье:

,

где– плотность теплового потока, определяемая энергией, переносимой в форме теплоты через единичную площадку S в единицу времени,

 – градиент температуры в направлении x, перпендикулярном выбранной площадке S,

 – коэффициент теплопроводности.

Знак минус в приведенной формуле означает, что при теплопроводности энергия переносится в направлении убывания температуры.

Согласно молекулярно-кинетической теории идеального газа, коэффициент теплопроводности: ,

где – удельная теплоемкость газа при изохорном процессе (количество теплоты, необходимое для изохорного нагревания 1 кг газа на 1 К),

– плотность газа,

– средняя скорость теплового движения молекул,

– средняя длина свободного пробега молекул.

3. Вязкость. Вязкость это свойство жидкости или газа, обусловленное внутренним трением между соприкасающимися параллельными слоями жидкости или газа, движущимися с различными скоростями.

В результате, импульс слоя, движущегося быстрее, уменьшается, а движущегося медленнее – увеличивается, что приводит к торможению слоя, движущегося быстрее, и ускорению слоя, движущегося медленнее.

Другими словами, внутреннее трение приводит к переносу импульса от одного движущегося слоя жидкости или газа к другому соприкасающемуся с ним слою.

Количественно сила внутреннего трения между двумя соприкасающимися слоями жидкости или газа подчиняется закону Ньютона:

,

где h – коэффициент динамической вязкости,

– градиент скорости, показывающий быстроту изменения скорости течения жидкости или газа от слоя к слою в направлении х, перпендикулярном направлению движения слоев,

S – площадь соприкосновения слоев жидкости или газа, на которые действует сила внутреннего трения F.

Закон Ньютона для внутреннего трения можно представить в виде:

,

где – плотность потока импульса – величина, определяемая импульсом, переносимым в единицу времени через единичную площадку S соприкосновения слоев жидкости или газа в направлении оси х, перпендикулярном направлению движения слоев жидкости или газа.

Знак минус в приведенной формуле означает, что импульс переносится от слоя к слою жидкости (газа) в направлении убывания скорости их движения.

Согласно молекулярно-кинетической теории идеального газа, коэффициент динамической вязкости идеального газа h определяется следующим образом:

,

где – плотность газа,

– средняя скорость теплового движения молекул,

– средняя длина свободного пробега молекул.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/2_61694_tema--yavleniya-perenosa-diffuziya-teploprovodnost-vyazkost.html

Явления переноса в газах

Явления переноса в газах

Л. П. СЕМИХИНА,

А. В. ШИРШОВА,

В.И. СЕМИХИН

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1КУРСА
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Кафедра механики многофазных систем

Л. П. Семихина

А. В. Ширшова,

В.И. Семихин

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1КУРСА

ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЮМЕНСКОГО ГОСУНИВЕРСИТЕТА 2002 г.

Явления переноса в газах

I. Теория явлений переноса в газах.

Средняя скорость теплового движения газовых молекул определяется формулой

= (1)

Уже при комнатной температуре она порядка скорости ружейной пули. Например, при Т=293К для паров воды средняя скорость движения ее молекул равна 587м/с, для воздуха — 462,5 м/с. На ранней стадии развития молекулярно-кинетической теории газов столь большие значения скоростей молекул некоторым физикам казались невозможными.

Если скорости молекул действительно так велики – говорили они, — то запах пахучего вещества должен был бы распространяться от одного конца комнаты к другому практически мгновенно. На самом деле при отсутствии конвективных потоков воздуха время распространения запаха на такие расстояния может составлять многие минуты, и даже часы.

Распространение запаха осуществляется посредством медленного процесса диффузии.

1.1. Средняя длина свободного пробега молекул.

Медленность процесса диффузии и аналогичных ей явлений Клаузиус объяснил столкновениями молекул. Молекула газа движется свободно только на коротком расстоянии между столкновениями с другими молекулами. В момент столкновения скорость молекулы резко меняется как по модулю, так и по направлению.

В результате молекула беспорядочно мечется, а ее общее продвижения по какому-то направлению происходит сравнительно медленно. Для количественного описания явления Клаузиус ввел понятие средней длины свободного пробега, равной среднему расстоянию, которое проходит молекула между столкновениями.

Для вычисления средней длины свободного пробега воспользуемся моделью твердых шаров. Между столкновениями молекулы-шары движутся прямолинейно и равномерно.

Для упрощения расчета рассмотрим сначала случай, когда движется только одна молекула, а молекулы мишени, с которыми она сталкивается — неподвижны.

Как видно из рисунка данная молекула столкнется с N молекулами, находящимися внутри цилиндра радиусом 2ro, где ro — радиус молекулы. Если число молекул в единице объема no, а длина цилиндра , то

N= (2ro)2no = no , (2)

где величина = (2ro)2 — называется поперечным сечением рассеяния. При N = 1 длина цилиндра равна средней длине свободного пробега . В таком случае из (2) имеем

= 1/ no (3)

За время =1сек молекула перемещается на расстояние равное = , претерпевая столкновения через =1/ no.

Отношение /= no = Z (4)

– есть число столкновений данной молекулы за время =1сек.

Учесть тот фактор, что двигается не только рассматриваемая молекула, но и молекулы мишеней, с которыми она сталкивается, можно достаточно просто, заменив в выражении (4) на среднее значение относительной скорости 2-х сталкивающихся между собой молекул. В таком случае

Z = (5)

По определению , т.е. вектор равен векторной сумме двух векторов и . Длину вектора можно найти по теореме косинусов:

=

-где -угол между векторами и

Учитывая, что среднее значение = 0, а = =, получаем: = (6)

Подставляя данное выражение в (5), имеем

Z =no (7)

Подставляя в соотношения (4) найденное для Z значение, получаем окончательное выражение для

=/ Z = = (8)

где — диаметр молекулы.

1.2. Общее уравнение переноса.

Упрощенный вывод. Система, предоставленная самой себе, стремится достигнуть наиболее вероятного равновесного состояния. В результате данного процесса все параметры системы достигают равновесных значений. Этот процесс описывается как перенос соответствующих молекулярных свойств. Нет смысла рассматривать каждое явление переноса в отдельности, получим обобщенное уравнение переноса.

Пусть G характеризует некоторое молекулярное свойство, отнесенное к одной молекуле. Этим свойством может быть энергия, импульс, концентрация и т.д. Рассмотрим площадку с площадью dS, перпендикулярную оси Х и находящейся в точке с координатой х.

В упрощенном выводе принимается, что молекулы, двигаясь в направлении выделенной площадки из точек с координатой x+и x- , где — средняя длина свободного пробега молекул, не претерпевают столкновений между собой во время этого движения.

В таком случае, при столкновении с площадкой dS эти молекулы будут передавать ей свойство, которое они имели в точке с координатой x+ и x- , т.е. G(x ). Т.к.

мало, величину G(x ) можно разложить в ряд Тейлора, ограничившись первым членом разложения: G(x )=G(x) (9)

Будем считать равновероятными все возможные направления движения. Тогда, как в положительном, так и отрицательном направлении оси Х, будет двигаться одинаковое количество молекул, равное 1/6 от всех молекул. Количество молекул dN, которое столкнется с площадкой dS за время dt, равно 1/6 от числа молекул, находящихся в объеме V= dS dt.

Тогда dN = no dS dt, где no — число молекул в единице объема

Количество молекул, пересекающих единичную площадку в единицу времени (dS=1, dt=1), называется потоком молекул IN.

Поток молекул в положительном направлении оси Х равен

IN(+)= no (10)

Каждая молекула, двигаясь в положительном направлении оси Х и сталкиваясь с площадкой dS, будет передавать ей свойство G(x ), которое она имела в точке с координатойx.В таком случае поток свойства G в положительном направлении оси Х равен:

IG(+) = no G(x ) = no {G(x) — } (11)

Поток этого же свойства в отрицательном направлении оси Х равен:

IG(-) = — no G(x + ) = — no {G(x) + } (12)

Появление знака (-) впереди полученного выражения связано с изменением знака скорости молекул, двигающихся по направлению к площадке dS. Суммарный поток G равен сумме обоих потоков

IG = IG(+) + IG(-) = — no (13)

Уравнение (13) является обобщенным уравнением процессов переноса.

Учет распределения молекул по скоростям при выводе обобщенного уравнения переноса. В упрощенном выводе, не рассматривалось распределение молекул по скоростям. Считалось, что в среднем все молекулы двигаются с одной и той же скоростью , поэтому в данном направлении двигается 1/6 от всех молекул.

При учете распределения молекул по скоростям оказывается, что поток молекул в направлении выделенной площадки равен не (no )/6, а (no)/4. Кроме того, последнее столкновение перед площадкой молекулы испытывают на расстоянии не , как мы считали выше, а 2 /3. (А.Н. Матвеев. Молекулярная физика, стр. 62, 70 -71).

С учетом данных фактов вместо уравнений (11-12) получаем

IG(+) = no G(x- ) = no {G(x) — } ( ) IG(-)=- no G(x+ )= — no {G(x)+ } ( )

Суммируя выражения ( ) и ( ) легко убедиться, что введенные уточнения не сказались на величине суммарного потока IG(+) + IG(-). Как видим, усложнение вывода не изменило конечного выражения, поэтому возможен и упрощенный вывод соотношения (13).

Из обобщенного уравнения переноса (13) можно получить выражения для потока массы ( явление диффузии), энергии ( явление теплопроводности) и импульса ( вязкое трение).

Явление диффузии – перенос количества молекул.

В этом случае G (x)= n(x)/no. Подставляя данное значение G(x) в уравнение (13), получаем выражение для потока массы:

I n = — no = — D (14)

Уравнение (14) называется уравнением Фика, где D – есть коэффициент диффузии D= (15)

Явление теплопроводности – перенос энергии.

В этом случае G (x)= – есть энергия одной молекулы, i – число степеней свободы молекулы.

G(x)= = T= T= T (16)

Подставляя это значение G(x) в уравнение (13), получаем выражение для потока энергии (или тепла)

= — no = — (17) = no = nom = (18)

Уравнение (17) называется уравнением Фурье, а величина — коэффициентом теплопроводности. В выражении (18) — молярная теплоемкость газа, а удельная, m – масса молекулы, — молярная масса, = nom – плотность газа.

Явление вязкого трения – перенос импульса.

В этом случае G (x)= m – есть импульс одной молекулы, ее скорость. Подставляя данное значение G(x) в уравнение (13), получаем выражение для потока импульса

= — no = — (19)

= no m = (20)

Величина — есть коэффициент динамической вязкости. Уравнение (20) впервые получено Дж. Максвеллом в 1860 году.

Источник: https://poisk-ru.ru/s20428t4.html

Три вида процесса переноса

В молекулярной физике рассматривают три вида процесса переноса: диффузию, теплопроводность, вязкость.

В состоянии равновесия плотность каждой компоненты газа во всех точках системы одинакова. Перенос вещества (массы), который направлен на выравнивание концентрации газа, называют диффузией. Вообще говоря, диффузия может наблюдаться во всех состояниях вещества (и газах, и жидкостях, и твердых телах).

Пусть молекулы в некотором объеме газа распределены неравномерно. Неравновесную концентрацию обозначим $n_1(x)$. В уравнении (1) G — характеристика переносимого вещества, следовательно, в нашем случае:

где $n_0$ — равновесная концентрация. Тогда уравнение (1) примет вид:

где $D=\frac{1}{3}\left\langle v\right\rangle \left\langle \lambda \right\rangle $ — коэффициент диффузии. Уравнение (3) называется уравнением Фика. При постоянной температуре коэффициент диффузии обратно пропорционален давлению:

По сути, закон Фика описывает процесс самодиффузии. Мы имеем дело с молекулами одного газа. Если имеется два и более сортов молекул, процесс диффузии значительно усложняется.

Уравнение Фурье

В состоянии термодинамического равновесия температура T во всех точках системы одинакова.

Если температура в какой-то точке газа отличается температуры в другой точке системы, в системе возникает движение теплоты в таких направлениях, чтобы сделать температуру всех частей системы одинаковой.

Связанный с этим движением перенос тепла называют теплопроводностью. В случае с теплопроводностью мы имеем дела с переносом энергии и G уравнения (1), в этом случае средняя энергия кинетической энергии молекулы:

где $i$- число степеней свободы молекулы, k-постоянная Больцмана, T — термодинамическая температура, $R$ универсальная газовая постоянная, $c_{\mu V}$ молярная теплоемкость газа в изохорном процессе. При этом поток теплоты $I_q,\ $ если следовать уравнению (1) примет вид:

\[I_q=-\frac{1}{3}n_0\left\langle v\right\rangle \left\langle \lambda \right\rangle \frac{c_{\mu V}}{N_A}\frac{\partial T}{\partial x}=-\chi \frac{\partial T}{\partial x}\ \left(7\right),\]

где $\chi =\frac{1}{3}n_0\left\langle v\right\rangle \left\langle \lambda \right\rangle \frac{c_{\mu V}}{N_A}=\frac{1}{3}n_0\cdot m\cdot \left\langle v\right\rangle \left\langle \lambda \right\rangle \frac{c_{\mu V}}{mN_A}=\frac{1}{3}\rho c_V\left\langle v\right\rangle \left\langle \lambda \right\rangle $,

$\rho $ — плотность газа,

$c_V$ — удельная теплоемкость газа при изохорном процессе,

$\chi $- коэффициент теплопроводности.

Уравнение (7) называется уравнением Фурье для теплопроводности (или законом Фурье). Теплопроводность не зависит от давления.

В равновесном состоянии разные части фазы газа покоятся друг относительно друга. При относительном движении фаз вещества друг относительно друга возникают силы трения или вязкость. Эти силы стремятся уменьшить скорость движения фаз.

Явление вязкости объясняется тем, что в результате теплового движения молекулы газа перелетают из одного движущегося слоя в другой. Переносят свой импульс. В результате обмена импульсами молекулы, имеющие большую скорость тормозятся, а медленно движущееся молекулы, разгоняются.

Соответственно выравнивается скорость движения слоев. Так, мы имеем дело с переносом импульса. В качестве G выступит выражение:

\[G=mv\ \left(8\right),\]

где $v$- скорость движения слоя газа. В этом случае уравнение (1) принимает вид:

\[I_v=-\frac{1}{3}n_0\left\langle v\right\rangle \left\langle \lambda \right\rangle m\frac{\partial v}{\partial x}=-\eta \frac{\partial v}{\partial x}=\tau =\frac{F_{tr}}{\triangle S}(9),\]

где $\eta =\frac{1}{3}n_0\left\langle v\right\rangle \left\langle \lambda \right\rangle m=\frac{1}{3}\rho \left\langle v\right\rangle \left\langle \lambda \right\rangle $, $\rho $ — плотность газа, $\tau $ — сила трения, действующая на единицу трущихся поверхностей слоев газа, $\eta $ — динамическая вязкость. Выражение для динамической вязкости было получено Дж. Максвеллом. Динамическая вязкость не зависит от давления и $\eta \sim \sqrt{T},\ $ если не учитывать уменьшение поперечного сечения молекул с ростом температуры. Наряду с динамической вязкостью используют понятие кинематической вязкости $u $:

\[u =\frac{\eta }{\rho }(10).\]

Пример 1

Задание: Идеальный газ находится в пространстве между двумя длинными коаксиальными цилиндрами$.\ $Средний радиус цилиндров R, $R_2-R_1=\triangle R$, причем $\Delta $R $

Рис. 1

Решение:

Выделим между имеющимися цилиндрами гипотетический цилиндрический слой газа радиуса R ($R_1 \[{\overrightarrow{M}}_{tr}=\left[\overrightarrow{F_{tr}}\overrightarrow{R}\right]\ \left(1.1\right).\]

Так как ${\overrightarrow{M}}_{tr}\bot \overrightarrow{R}$, то

\[M_{tr}=F_{tr}R\left(1.2\right).\]

Из основного уравнения, для потока вязкости:

\[-\eta \frac{\partial v}{\partial x}=\frac{F_{tr}}{\triangle S}\ (1.3)\]

Запишем модуль силы трения между слоями газа:

\[\left|F_{tr}\right|=\eta \frac{\partial v}{\partial x}\triangle S(1.4)\]

Так как скорость вращения по условиям задачи небольшая, и зная площадь поверхность цилиндрического слоя (помним, что цилиндры длинные, площадями оснований пренебрегаем), запишем, что:

\[\left|F_{tr}\right|=\eta \frac{wR}{\triangle R}2\pi RL\ \left(1.5\right).\]

Найдем момент сил трения из (1.2) и (1.5):

\[M_{tr}=\eta \frac{wR}{\triangle R}2\pi RLR=2\pi \eta \frac{wR3}{\triangle R}L\ \ \left(1.6\right).\]

Тогда момент сил трения, действующих на единицу длины внутреннего цилиндра равен:

\[{M_{tr}}'=\frac{M_{tr}}{L}=2\pi \eta \frac{w{R_1}3}{\triangle R}\approx 2\pi \eta \frac{wR3}{\triangle R}\ (1.7)\]

Ответ: Момент сил трения, действующих на единицу длины внутреннего цилиндра равен $\approx 2\pi \eta \frac{wR3}{\triangle R}$.

Пример 2

Задание: Пусть температура газа постоянна. Газ диффундирует. Как изменяется коэффициент диффузии с ростом давления?

Решение:

Запишем выражение, определяющее коэффициент диффузии:

\[D=\frac{1}{3}\left\langle v\right\rangle \left\langle \lambda \right\rangle \left(2.1\right)\]

Средняя скорость молекул идеального газа определяется формулой:

\[\left\langle v\right\rangle =\sqrt{\frac{8RT}{\pi \mu }}\left(2.2\right).\]

Из нее видно, что при постоянной температуре скорость постоянна.

\[\left\langle \lambda \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}n\pi d2}=\frac{kT}{\sqrt{2}p\pi d2}\sim \frac{1}{p}\to D\sim \frac{1}{p}\ \left(2.3\right).\]

Ответ: С ростом давления коэффициент диффузии уменьшается, при постоянной температуре обратно пропорционально давлению.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/molekulyarnaya_fizika/yavleniya_perenosa_v_gazah/

1.1. Теплопроводность

Теплопроводность — это процесс самопроизвольного переноса теплота от нагретых слоев газа к холодным вследствие теплового движения молекул.

Если в одной области газа средняя кинетическая энергия молекул больше, чем в другой, то с течением времени вследствие постоянных столкновений молекул происходит процесс выравнивания средних кинетических энергий молекул, то есть выравнивание температур. Теплопроводность возникает при наличии неоднородности температуры Т = Т(x,у,z), количественно характеризуемой градиентом.

gradTr = ∂∂Tx ir + ∂∂Ty rj + ∂∂Tz kr

где ir, rj , kr — единичные орты вдоль координатных осей х, у, z , соответственно.

Градиент температуры — вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону увеличения температуры и численно равный скорости изменения температуры в направлении этой нормали.

Для одномерного случая, когда температура изменяется только вдоль оси x

gradTr = ∂∂Tx ir

Перенос тепла между слоями газа количественно описывается экспериментальным законом Фурье:

Количество теплоты dQ, прошедшее между двумя слоями газа, пропорционально градиенту температуры, площади соприкосновения слоев S и времени dt . Коэффициент пропорциональности δ называется коэффициентом теплопроводности. Молекулярно — кинетическая теории показывает, что коэффициент теплопроводности зависит от рода газа и определяется следующим выражением:

δ =

1

C

V

ρυλ

, [δ ]=

Вт

(1.2)

3

м К

где Сv — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме (количество теплоты, необходимое для нагревания 1 кг газа на 1 K при постоянном объеме), ρ — плотность газа,

υ — средняя скорость теплового движения молекул, λ — средняя длина свободного пробега молекул.

4

Так как

υ =

8RT , C

V

=

i

R

, ρ =

MP

(1.3)

πM

2 M

RT

где P — давление газа, R

— молярная

газовая постоянная,

то коэффициент

теплопроводности δ обратно пропорционален квадратному корню из молярной массы M . Следовательно, лучшими проводниками тепла являются легкие газы.

1.2. Диффузия

Диффузия — это процесс самопроизвольного переноса массы из одной области в другую вследствие молекулярного движения. При диффузии происходит самопроизвольное перемешивание молекул двух соприкасающихся газов, жидкостей и твердых тел.

Диффузия возникает при наличии градиента плотности вещества ddxρ и описывается экспериментальным законом Фика

Масса газа dm, перенесенная в результате диффузии через площадку S , перпендикулярную оси X, пропорциональна градиенту плотности, площади соприкосновения слоев S и времени dt. Величина D называется коэффициентом диффузии и зависит от рода газа. Молекулярно-кинетическая теория связывает коэффициент диффузии с параметрами газа

D =

1

υλ , [D]=

м2

(1.5)

3

с

Коэффициент диффузии, как и коэффициент теплопроводности, обратно пропорционален корню квадратному из молярной массы. Это позволяет использовать газовую диффузию для разделения изотопов.

1.3. Внутреннее трение (вязкость)

Если газ движется в направлении оси X так, что разные слои перемещаются с разными скоростями (рис.1), то между слоями действуют силы внутреннего трения.

Механизм возникновения внутреннего трения заключается в том, что из-за хаотического теплового движения происходит обмен молекулами между слоями. В результате этого обмена импульс слоя, движущегося медленнее, увеличивается.

Перенос импульса приводит к торможению слоя, движущегося быстрее, и

ускорению слоя, движущегося медленнее. Сила внутреннего трения выражается экспериментальным законом Ньютона

Сила трения F между слоями газа пропорциональна градиенту скорости слоев du / dy и

площади соприкосновения слоев S . Сила внутреннего трения направлена в сторону, противоположную движению газа. Внутреннее трение возникает при наличии градиента скорости. Градиент скорости направлен перпендикулярно поверхности, разделяющей слои газа, в сторону увеличения скорости направленного движения слоев u (рис.1).

Коэффициент пропорциональности η называется коэффициентом внутреннего трения

(коэффициентом вязкости). Он зависит от рода газа и согласно молекулярно-кинетической теории

η =

1

ρυλ , [η]= Па .

(1.7)

3

1.4. Средняя длина свободного пробега и эффективный диаметр молекул

Из анализа формул. (1.2), (1.5) и (1.7) следует, что коэффициенты переноса δ , D и η

связаны cо средней длиной свободного пробега молекул газа λ . При хаотическом тепловом движении молекулы газа непрерывно сталкиваются друг с другом и меняют направление своего движения. Наименьшее расстояние, на которое сближаются при столкновениях центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы d. Указанная величина имеет порядок 10-10 м.

Между двумя последовательными столкновениями молекула движется в основном равномерно и прямолинейно, проходя при этом путь, который называется длиной свободного пробега.

В общем случае длина пути между последовательными столкновениями различна, но так как система состоит из огромного числа молекул и она находятся в беспорядочном движении, то целесообразно говорить о средней длине свободного пробега молекул λ. Расчеты показывают, что

то есть λ обратно пропорционально концентрации молекул n . Так как давление газа

P0 = nkT

где k — постоянная Больцмана, T — термодинамическая температура, тo

λ =

k T

(1.9)

π d 2

2

P

0

В зависимости от давления λ может изменяться в широких пределах. Так для кислорода

при комнатной температуре и давлении 105 Па λ = 7.1 10−8 м. Уменьшение давления приводит к соответствующему возрастанию длины свободного пробега.

Источник: https://studfile.net/preview/4295123/

Booksm
Добавить комментарий