Взаимосвязь спектра и корреляционной функции

Связь между корреляционными функциями и спектрами сигналов

Взаимосвязь спектра и корреляционной функции

Поскольку как корреляционные функции, так и спектры являются интегральными преобразованиями анализируемых сигналов, логично предположить, что эти характеристики как-то связаны друг с другом. Для выявления этой связи подвергнем взаимную корреляционную функцию преобразованию Фурье, считая, что сигналы s1(t) и s2(t) имеют спектральные функции и :

Напоминание:

Соответственно, S1(w)S2*(w) = W12(w).

B12(t) Û W12(w) º W*21(w). B21(t) Û W21(w) º W*12(w).

Полученный результат очень прост: ВКФ связана преобразованием Фурье с так называемым взаимным спектром сигналов.

Отсюда можно сделать очень важный вывод: если спектры сигналов не перекрываются, то их взаимный спектр равен нулю на всех частотах, а значит, равна нулю и их ВКФ при любых временных сдвигах τ. Таким образом, сигналы с неперекрывающимися спектрами являются некоррелированными. Это действительно как для детерминированных, так и для случайных сигналов и процессов.

Приняв s1(t) = s2(t) = s(t), получаем аналогичный результат для АКФ:

Итак, КФ сигнала связана преобразованием Фурье с квадратом модуля спектральной функции, или с энергетическим спектром сигнала.

ВКФ двух сигналов связана преобразованием Фурье с их взаимным спектром. Произведение S1(w)S2*(w) представляет собой взаимный энергетический спектр W12(w) сигналов s1(t) и s2(t). Запишем эту связь в виде формулы обратного преобразования Фурье:

Теперь подставим в эту формулу значение т = 0 и раскроем выражения для ВКФ и взаимного спектра. Получится соотношение, именуемое теоремой Рэлея:

Если теперь принять сигналы одинаковыми s1(t) = s2(t) = s(t), получится соотношение, позволяющее вычислять энергию сигнала как во временной, так и в частотной области и называемое равенством Парсеваля:

Следствия

Следовательно, КФ сигнала не зависит от его фазового спектра. Следовательно, сигналы, амплитудные спектры которых одинаковы, а фазовые различаются, будут иметь одинаковую КФ.

Еще одно следствие заключается в том, что по КФ нельзя восстановить исходный сигнал (опять же из-за утраты информации о фазе). Сигналы одной формы и сдвинутые во времени имеют одинаковые АКФ.

Больше того, сигналы разной формы могут иметь сходные АКФ, если имеют близкие спектры мощности.

Ограничения на вид АКФ

Последние выражение накладывает определенные ограничения на форму АКФ и методику их ограничения по длительности.

Энергетический спектр сигналов всегда положителен, мощность сигналов не может быть отрицательной. Следовательно, АКФ не может иметь формы прямоугольного импульса, т.к. преобразование Фурье прямоугольного импульса – знакопеременный интегральный синус.

На АКФ не должно быть и разрывов первого рода (скачков), т.к.

с учетом четности АКФ любой симметричный скачек по координате ±t порождает “разделение” АКФ на сумму определенной непрерывной функции и прямоугольного импульса длительностью 2t с соответствующим появлением отрицательных значений в энергетическом спектре. Пример последнего приведен на рис. 8.3.1 (графики функций приведены, как принято для четных функций, только своей правой частью).

АКФ достаточно протяженных сигналов обычно ограничиваются по размерам (исследуются ограниченные интервалы корреляции данных от –Т/2 до Т/2).

Однако усечение АКФ, это умножение АКФ на прямоугольный селектирующий импульс длительностью Т, что в частотной области отображается сверткой фактического спектра мощности со знакопеременной функцией интегрального синуса sinc(wT/2).

С одной стороны, это вызывает определенное сглаживание спектра мощности, что зачастую бывает полезным, например, при исследовании сигналов на значительном уровне шумов.

Но, с другой стороны, может происходить и существенное занижение величины энергетических пиков, если в сигнале имеются какие-либо гармонические составляющие, и появление отрицательных значений мощности на краевых частях пиков и скачков. Пример проявления данных факторов приведен на рис.

Рис.. Вычисление энергетического спектра сигнала по АКФ разной длины.

Спектральная плотность мощности и автокорреляция

Спектральная плотность мощности Gx(f) особенно полезна в системах связи, поскольку она описывает распределение мощности сигнала по диапазону частот. Спектральная плотность мощности позволяет оценить мощность сигнала, который будет передаваться через сеть с известными частотными характеристиками.

Основные свойства функций спектральной плотности мощности можно сформулировать следующим образом.

1. Gx(f)>= 0 всегда принимает действительные значения

2. Gx(f) = Gx(-f) для Х(t), принимающих действительные значения

3. Gx(f) Rx(τ) автокорреляция и спектральная плотность мощности являются Фурье-образами друг друга

4. связь между средней нормированной мощностью и спектральной плотностью мощности.

Корреляция двух явлений, показывает, насколько близко они соотносятся по поведению или виду и насколько они совпадают. В математике автокорреляционная функция сигнала (во временной области) описывает соответствие сигнала самому себе, смещенному на некоторый промежуток времени.

Точная копия считается созданной и локализированной на минус бесконечности и путем последовательного перемещения копии в положительном направлении временной оси вычисляется величина похожести для каждого момента времени.

Корреляция между двумя сигналами изображается как функция времени, обозначаемого т; при этом время т можно рассматривать как параметр сканирования.

На рис., а—г изображена описанная выше ситуация в некоторые моменты времени. Рис., а иллюстрирует отдельный сигнал стационарного в широком смысле случайного процесса X(t).

Сигнал представляет собой случайную двоичную последовательность с положительными и отрицательными (биполярными) импульсами единичной амплитуды. Положительные и отрицательные импульсы появляются с равной вероятностью.

Длительность каждого импульса (двоичной цифры) равна Т секунд, а среднее, или величина постоянной составляющей случайной последовательности, равно нулю. На рис. 1.6, б показана та же последовательность, смещенная во времени на T секунд.

Согласно принятым обозначениям, эта последовательность обозначается X(t-τ1). Предположим, что процесс X(t) является эргодическим по отношению к автокорреляционной функции, поэтому для нахождения Rx(τ) мы можем использовать усреднение по времени вместо усреднения по ансамблю.

Значение Rx(τ) получается при перемножении двух последовательностей X(t) и X(t-τ1) с последующим нахождением среднего с помощью уравнения , которое справедливо для эргодических процессов только в пределе. Впрочем, интегрирование по целому числу периодов может дать нам некоторую оценку Rx(τ).

Отметим, что Rx(τ1) может быть получено при смещении X(t) как в положительном, так и отрицательном направлении. Подобный случай иллюстрирует рис. в, на котором использована исходная выборочная последовательность (рис. а) и ее смещенная копия (рис., б).

Заштрихованные области под кривой произведения X(t)X(t-τ1) вносят положительный вклад в произведение, а серые области — отрицательный. Интегрирование X(t) X(t-τ1) по времени передачи импульсов дает точку Rx(τ1) на кривой Rx(τ).

Последовательность может далее смещаться на τ2, τ3, …, и каждое такое смещение будет давать точку на общей автокорреляционной функции Rx(τ), показанной на рис., г.

Иными словами, каждой случайной последовательности биполярных импульсов соответствует автокорреляционная точка на общей кривой, приведенной на рис., г. Максимум функции находится в точке Rx(0) (наилучшее соответствие имеет место при τ, равном нулю, поскольку для всех τ Rx(τ)

Источник: https://megalektsii.ru/s39869t7.html

Корреляционная функция и спектральная плотность мощности стационарного случайного процесса

Взаимосвязь спектра и корреляционной функции

Прежде всего, определим понятие случайного процесса.

В общем случае случайный процесс определяют путем указания бесконечной совокупности различающихся между собой функций , которые могли бы наблюдаться при неоднократном воспроизведении одних и тех же условий эксперимента. Такие функции называются выборочными реализациями случайного процесса, а их совокупность – ансамблем реализаций.

Говоря не об одной выборочной реализации, а о процессе в целом, в каждый момент времени t мы имеем дело с некоторой случайной величиной , которая может быть описана плотностью распределения вероятности . В любые два момента времени и мы уже имеем дело с системой двух случайных величин и , которая описывается соответствующей двумерной плотностью распределения .

Далее можно произвольно увеличивать число моментов времени N и уточнять их положение на оси времени и при этом получать N-мерные случайные величины, для вероятностного описания которых требуется знание N-мерных совместных плотностей распределения .

Случайный процесс считается исчерпывающе описанным в вероятностном смысле только в том случае, если известны все такие конечномерные распределения при любых N.

Очевидно, что в общем случае задача получения такого исчерпывающего описания практически не может быть решена.

Поэтому в теории случайных процессов, исходя из особенностей подлежащих анализу экспериментальных сигналов, вводятся некоторые упрощающие предположения относительно вероятностных свойств порождающего их случайного процесса.

Одним наиболее часто используемых на практике предположений является предположение стационарности случайного процесса.

Стационарный случайный процесс определяют как случайный процесс, для которого все совместные плотности распределения любого порядка инвариантны к произвольному одновременному сдвигу всех моментов времени, в которые берутся случайные отсчеты :

. (1)

Другими словами, вероятностные свойства стационарного случайного процесса не меняются со временем.

Стационарность накладывает некоторые ограничения на моментные характеристики, которые часто используют для количественного описания случайных процессов. Так среднее значение процесса, определяемое в общем случае как момент первого порядка :

, (2)

где М – оператор математического ожидания, для стационарного процесса не зависит от времени, т.е. .

Корреляционная функция, которая в общем случае является функцией двух временных аргументов

, (3)

для стационарных процессов будет функцией только одного аргумента , т.е. при любых .

Подобные ограничения накладываются и на моментные характеристики третьего и последующего порядков. На практике, однако, обычно ограничиваются рассмотрением характеристик не старше второго порядка. В связи с этим в 30-х годах советским математиком Я.Хинчиным был введен класс т.н. стационарных в широком смысле случайных процессов, т.е.

процессов, для которых требование стационарности выполнено только для первых двух моментных характеристик – среднего и корреляционной функции. В этом смысле данный класс действительно шире, чем ранее определенный класс стационарных процессов. В связи с этим обычную стационарность еще иногда называют стационарностью в узком смысле.

Введение понятия стационарности в широком смысле и рассмотрение только первых двух моментных характеристик оправдано еще следующими двумя важными обстоятельствами. Многие шумоподобные экспериментальные сигналы можно с некоторым приближением считать нормальными, т.е.

предполагать, что все их конечномерные законы распределения являются нормальными (гауссовыми).

В качестве обоснования такого предположения часто просто ссылаются на центральную предельную теорему теории вероятностей, утверждающую, что закон распределения случайной величины, в формировании которой примерно в равной доле участвуют несколько случайных причин, стремится к нормальному.

Справедливо утверждение о том, что стационарный в широком смысле нормальный случайный процесс является стационарным и в узком смысле.

Более того, справедливо еще более сильное утверждение : знание среднего и корреляционной функции нормального стационарного случайного процесса позволяет однозначно восстановить все моментные функции более высоких порядков и в конечном итоге восстановить конечномерные распределения любого порядка. Иными словами, для нормального процесса среднее и корреляционная функция полностью определяют все его вероятностные свойства.

Несомненно, более содержательной статистической характеристикой стационарного случайного процесса является не среднее, а именно корреляционная функция

. (4)

Основные свойства корреляционной функции (КФ) стационарного случайного процесса:

1. КФ достигает максимума в точке , где она совпадает с дисперсией процесса: ;

2. КФ симметрична : ;

3. при .

Значение корреляционной функции при некотором представляет собой корреляционный момент между двумя сечениями случайного процесса, отстоящими на расстояние . Корреляционный момент учитывает степень выраженности линейной статистической зависимости двух случайных величин.

Эта зависимость может быть положительной и тогда превышение над средним уровнем в первом сечении влечет c большой вероятностью превышение уровня и в другом сечении .

В случае значительной отрицательной корреляционной связи при превышении в первом сечении среднего уровня значение случайной реализации в другом сечении скорее всего будет ниже среднего уровня.

Проведенные выше рассуждения приводят к следующей полезной интерпретации корреляционной функции в целом при анализе случайных сигналов. Предположим, в реализациях исследуемого случайного процесса в силу тех или иных причин присутствует значительная квазигармоническая компонента определенной частоты.

Тогда отсчеты процесса, отстоящие по времени на половину периода квазигармонической компоненты, будут отрицательно коррелированы, отсчеты, отстоящие на полный период, снова положительно коррелированы и т.д. В целом корреляционная функция в этом случае будет знакопеременной.

Ее абсолютные значения будут убывать вследствие того, что из-за случайности зависимость между отсчетами случайного сигнала в среднем ослабевает. Скорость убывания этих абсолютных значений будет определяться мощностью и частотной локализованностью квазигармонической компоненты.

Квазигармонический процесс с другим основным периодом породит также знакопеременную корреляционную функцию, но с другой частотой осцилляций. Корреляционная функция может не содержать вообще отрицательных значений, что свидетельствует об отсутствии в сигнале каких-либо значительных квазигармонических компонент.

Таким образом, корреляционная функция “чувствует” частотную структуру случайного сигнала, что бывает очень важно для исследователя. Однако, хотелось бы иметь характеристику, более прямо дающую представление о частотном составе случайного сигнала.

Такая характеристика — спектральная плотность мощности (СПМ) стационарного случайного процесса — была введена Я.Хинчиным. Она может быть получена как Фурье-преобразование от корреляционной функции

. (5)

В свою очередь, корреляционная функция может быть восстановлена из спектральной плотности с помощью обратного преобразования Фурье :

. (6)

Пара преобразований (5, 6) носит название теоремы Винера-Хинчина. Название и содержательный смысл спектральной плотности мощности следует из последнего выражения при подстановке . Как отмечалось ранее, в этом случае мы получим выражение для дисперсии (полной мощности) случайного процесса :

. (7)

Таким образом, функция фактически описывает, как полная мощность случайного процесса распределена по частотам. NB. Есть еще одно полезное определение СПМ .

Всякий стационарный случайный процесс может быть представлен в виде интегральной суперпозиции синусоид всех возможных частот от 0 до , при этом каждая синусоида имеет случайную амплитуду и случайную фазу .

Математическое ожидание квадрата амплитуды синусоиды некоторой частоты есть средняя мощность данной синусоиды в случайном процессе . Суммируя мощности всех синусоидальных составляющих мы получаем полную мощность (дисперсию) случайного процесса .

СПМ симметрична : , поэтому ее обычно рассматривают только на положительных частотах.

При этом, если в случайном процессе присутствует мощная квазигармоническая компонента, то она проявится в СПМ в виде заметного пика на основной частоте квазигармонической компоненты.

Площадь под пиком определяет мощность этой компоненты, ширина пика характеризует степень монохромности (частотной локализованности) данной квазигармонической компоненты.

Если в сигнале присутствуют несколько квазигармонических компонент различных частот, то все они проявятся в СПМ. Таким образом, СПМ, будучи взаимно-однозначно связанной с корреляционной функцией (5,6), более наглядно описывает частотный состав случайных сигналов. Поэтому в системах анализа сигналов приоритет отдается именно спектральной плотности мощности.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/9_34201_korrelyatsionnaya-funktsiya-i-spektralnaya-plotnost-moshchnosti-statsionarnogo-sluchaynogo-protsessa.html

Взаимосвязь спектра и корреляционной функции

Взаимосвязь спектра и корреляционной функции

Пусть в точку ($А$), где наблюдаются колебания, две волны приходят в момент времени $t$.

Эти колебания испускают источники $S_1$ и $S_2$ в моменты времени $t-{\theta }_1$ и $t-{\theta }_2$, ${\theta }_1$,$\ {\theta }_2$ — время, которое тратится на то, чтобы свет дошел от источников до избранной точки пространства, где рассматриваются колебания.

Будем считать, что рассматриваемые колебания стационарны. Исследуемые колебания в точке $А$ обозначим как $E_1(t-{\theta }_1)$ и $E_2(t-{\theta }_2)$. Соответственно, суммарное колебание в точке $А$ можно записать как:

Для того чтобы найти интенсивность колебаний в избранной точке пространства, выражение (1) следует умножить на комплексно сопряженную величину к $E$ и провести усреднение по времени, то есть:

Так как мы рассматриваем стационарные колебания, то в среднем произведение $\overline{E_1\left(t-{\theta }_1\right){E_1}*\left(t-{\theta }_1\right)}$ не зависит от $t\ и\ {\theta }_1$. Это произведение представляет собой интенсивность $I_1$ первого колебания, которое пришло в точку $А$:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

где $\tau$ — размер временного интервала, по которому делается усреднение. Аналогичный вывод делаем по второму слагаемому правой части выражения (2):

где $I_2$ — интенсивность второго колебания.

Выражение $\overline{E_1\left(t-{\theta }_1\right){E_2}*\left(t-{\theta }_2\right)+{E_1}*\left(t-{\theta }_1\right)E_2\left(t-{\theta }_2\right)}$ в виду стационарности колебаний не зависит от t, ${\theta }_1$ и ${\theta }_2$ в отдельности, а зависит от $\theta ={\theta }_2-{\theta }_1$. Величина $\theta $ — время запаздывания второго колебания относительно первого. Введем следующее обозначение:

где $F_{12}\left(\theta \right)$ — комплексная функция, которая характеризует степень согласованности колебаний в заданной точке $A$. Эта функция называется корреляционной функцией (взаимной корреляционной функцией) колебаний $E_1\ и\ E_2\ $.

В том случае, если колебания исходят от одного источника, но идет в точку $А$ разными путями, при этом функции $E_1(t)\ и\ E_2(t)$ могут быть тождественными.

В таком случае $F_{11}\left(\theta \right)=F(\theta )$ называют автокорреляционной функцией.

Нормированная корреляционная функция, ее связь со спектром

Корреляционная функция зависит от интенсивностей суммируемых колебаний:

где $f_{12}\left(\theta \right)$ — нормированная корреляционная функция, зависящая только от времени запаздывания ($\theta $). С помощью нормированной корреляционной функции интенсивность результирующей волны в точке $А$ может быть записана как:

Если рассматриваемые нами волны являются квазимонохроматическими, то есть можно записать:

то найдем корреляционную функцию в соответствии с (5):

Из формулы (9) следует, что $f_{12}$ быстро изменяющаяся функция времени запаздывания $\theta $. Величина (${\gamma }_{12}$) равная:

называется комплексной степенью когерентности колебаний, ее модуль просто степенью когерентности колебаний в точке $А$:

Следовательно, получаем, что:

где ${\gamma }_{12}\left(\theta \right)$ — нормированная взаимная корреляционная функция для амплитуд $a_1\left(t\right)\ и\ a_2\left(t\right).$ Тогда интенсивность света в точке А запишем как:

Положим, что:

тогда в естественной форме выражение (13) представим как:

Величины вещественных амплитуд колебаний ($\left|a_1\right|\ и\ \left|a_2\right|\ $) и соответствующие интенсивности $I_1$ и $I_2$ не зависят от выбора промежуточной частоты ${\omega }_0$ в спектральном интервале $\triangle \omega $ квазимонохроматического света.

Не зависит от выбора ${\omega }_0$ полная фаза (${\omega }_0\theta +\delta $). Тогда как добавочная фаза $\delta $ зависит от выбора ${\omega }_0$.

Полная фаза определяет наиболее быстрые изменения интенсивности поля света в пространстве, то есть при переходе от одной интерференционной полосы к другой.

Функция $\left|{\gamma }_{12}\left(\theta \right)\right|$ при этом изменяется медленно, поэтому при таком переходе ей часто пренебрегают. Получаем, что в максимумах интенсивности $cos\left({\omega }_0\theta +\delta \right)=+1,\ $в минимумах $cos\left({\omega }_0\theta +\delta \right)=-1$. Следовательно:

Видность (V) интерференционных полос можно определить как:

В том случае, если $\left|{\gamma }_{12}\left(\theta \right)\right|=0$, интерференционных полос не получается. Колебания называют некогерентными.

Если при этом ${\gamma }_{12}\left(\theta \right)=0$ при любых величинах $\theta $, то мы имеем дело с полной некогерентностью.

Когерентность называют полной, если $\left|{\gamma }_{12}\left(\theta \right)\right|=1$ при любом $\theta $. В таком случае интерференционные полосы максимально контрастны. При $0

Связь автокорреляционной функции и спектральной плотности излучения

Соотношение, связывающее автокорреляционную функцию $F(\theta )$ со спектральной плотностью излучения ($I_{\omega }(\omega )$) можно представить как:

Так как мы рассматриваем стационарный поток света, то пределы интегрирования в выражении (19) можно заменить любыми другими не изменяя при этом ширину интервала интегрирования. При этом условии выражение (19) можно записать как:

где $F*\left(\theta \right)=F\left(-\theta \right)$.

Справедливо обратное соотношение:

Данное соотношение позволяет найти функцию корреляции, используя эмпирические данные спектральной плотности $I_{\omega }\left(\omega \right)$.

Пример 1

Запишите выражение для степени когерентности в случае колебаний, которые представлены как $E\left(t\right)=sin({\omega }_0t)$ в интервале $0

Решение:

Представим заданное колебание в комплексной форме, получим:

Рисунок 1.

Будем считать, что промежуток, по которому производим усреднение, равен $\tau $. При этом произведение $E\left(t\right)E*\left(t-\theta \right)e 0$ для интервала времени $0\[\overline{E\left(t\right){E_1}*\left(t-\theta \right)}=\frac{1}{\tau }\int\limits{\tau }_0{e{i{\omega }_0\theta }dt=\frac{\tau -\theta }{\tau }}e{i{\omega }_0\theta }=F\left(\theta \right)=f\left(\theta \right)(1.2).\]

Получаем, что:

Рисунок 2.

Ответ:

Рисунок 3.

Пример 2

Получите формулу связи функции автокорреляции ($F(\theta )$) и спектральной плотности излучения ($I_{\omega }\left(\omega \right)$).

Решение:

В качестве основы для решения задачи используем определение автокорреляционной функции:

\[F\left(\theta \right)=\overline{E(t)E*(t-\theta )}=\frac{1}{\tau }\int\limits{\frac{\tau }{2}}_{-\frac{\tau }{2}}{E(t)E*(t-\theta)dt(2.1)}.\]

Для квазимонохроматических волн можно записать:

\[E=a{(t)e}{i\omega t},\ E*=a*{\left(t\right)e}{-i\omega t}\left(2.2\right).\]

Подставим (2.2) в (2.1), получим:

\[F\left(\theta \right)=\frac{1}{\tau }\int\limits{\frac{\tau }{2}}_{-\frac{\tau }{2}}{a{(t)e}{i\omega t}a*{\left(t\right)e}{-i\omega (t-\theta )}dt=\frac{1}{\tau }\int\limits{\frac{\tau }{2}}_{-\frac{\tau }{2}}{{a(t)a}*{\left(t\right)e}{i\omega (\theta )}dt}=\frac{2\pi }{\tau }\int\limits{\infty }_0{a\left(\omega \right)a*\left(\omega \right)e{i\omega \theta }d\omega }(2.3)}.\]

Где использована формула перехода для амплитуды:

\[a\left(\omega \right)=\frac{1}{2\pi }\int\limits{\frac{\tau }{2}}_{-\frac{\tau }{2}}{E(t)e{-i\omega t}dt}.\]

Учтем, что спектральная плотность излучения равна:

\[I_{\omega }\left(\omega \right)=\frac{2\pi }{\tau }a\left(\omega \right)a*\left(\omega \right)\left(2.4\right).\]

Получаем в результате:

\[F\left(\theta \right)=\int\limits{\infty }_0{I_{\omega }\left(\omega \right)}e{i\omega \theta}d \omega.\]

Что и требовалось получить.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/optika/vzaimosvyaz_spektra_i_korrelyacionnoy_funkcii/

Booksm
Добавить комментарий