Вынужденные колебания в контуре. Резонанс

2.3. Вынужденные колебания. Переменный ток

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс


Процессы, возникающие в электрических цепях под действием внешнего периодического источника тока, называются вынужденными колебаниями.

Вынужденные колебания, в отличие от собственных колебаний в электрических цепях, являются незатухающими. Внешний источник периодического воздействия обеспечивает приток энергии к системе и не дает колебаниям затухать, несмотря на наличие неизбежных потерь.

Особый интерес представляет случай, когда внешний источник, напряжение которого изменяется по гармоническому закону с частотой ω, включен в электрическую цепь, способную совершать собственные свободные колебания на некоторой частоте ω0.

Если частота ω0 свободных колебаний определяется параметрами электрической цепи, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешнего источника.

Для установления вынужденных стационарных колебаний после включения в цепь внешнего источника необходимо некоторое время Δt. Это время по порядку величины равно времени τ затухания свободных колебаний в цепи.

Электрические цепи, в которых происходят установившиеся вынужденные колебания под действием периодического источника тока, называются цепями переменного тока.

Рассмотрим последовательный колебательный контур, то есть RLC-цепь, в которую включен источник тока, напряжение которого изменяется по периодическому закону (рис. 2.3.1):
где 0 – амплитуда, ω – круговая частота.

Рисунок 2.3.1.Вынужденные колебания в контуре

Предполагается, что для электрической цепи, изображенной на рис. 2.3.1, выполнено условие квазистационарности. Поэтому для мгновенных значений токов и напряжений можно записать закон Ома:

Величина – это ЭДС самоиндукции катушки, перенесенная с изменением знака из правой части уравнения в левую. Эту величину принято называть напряжением на катушке индуктивности.

Уравнение вынужденных колебаний можно записать в виде

uR + uC + uL = e (t) = 0 cos ωt,

где uR (t), uC (t) и uL (t) – мгновенные значения напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке соответственно.

Амплитуды этих напряжений будем обозначать буквами UR, UC и UL. При установившихся вынужденных колебаниях все напряжения изменяются с частотой ω внешнего источника переменного тока.

Для наглядного решения уравнения вынужденных колебаний можно использовать метод векторных диаграмм.

На векторной диаграмме колебания определенной заданной частоты ω изображаются с помощью векторов (рис. 2.3.2).

Рисунок 2.3.2.Изображение гармонических колебаний A cos (ωt + φ1), B cos (ωt + φ2) и их суммы C cos (ωt + φ) с помощью векторов на векторной диаграмме

Длины векторов на диаграмме равны амплитудам A и B колебаний, а наклон к горизонтальной оси определяется фазами колебаний φ1 и φ2. Взаимная ориентация векторов определяется относительным фазовым сдвигом Δφ = φ1 – φ2. Вектор, изображающий суммарное колебание, строится на векторной диаграмме по правилу сложения векторов:

Для того, чтобы построить векторную диаграмму напряжений и токов при вынужденных колебаниях в электрической цепи, нужно знать соотношения между амплитудами токов и напряжений и фазовый сдвиг между ними для всех участков цепи.

Рассмотрим по отдельности случаи подключения внешнего источника переменного тока к резистру с сопротивлением R, конденсатору с емкостью C и катушки с индуктивностью L. Во всех трех случаях напряжение на резисторе, конденсаторе и катушке равно напряжению источника переменного тока.

1. Резистор в цепи переменного тока

Здесь через IR обозначена амплитуда тока, протекающего через резистор. Связь между амплитудами тока и напряжения на резисторе выражается соотношением

Фазовый сдвиг между током и напряжением на резисторе равен нулю.

Физическая величина R называется активным сопротивлением резистора.

2. Конденсатор в цепи переменного тока

Соотношение между амплитудами тока IC и напряжения UC:

Ток опережает по фазе напряжение на угол

Физическая величина называется емкостным сопротивлением конденсатора.

3. Катушка в цепи переменного тока

Соотношение между амплитудами тока IL и напряжения UL:

Ток отстает по фазе от напряжения на угол

Физическая величина XL = ωL называется индуктивным сопротивлением катушки.

Теперь можно построить векторную диаграмму для последовательного RLC-контура, в котором происходят вынужденные колебания на частоте ω.

Поскольку ток, протекающий через последовательно соединенные участки цепи, один и тот же, векторную диаграмму удобно строить относительно вектора, изображающего колебания тока в цепи. Амплитуду тока обозначим через I0. Фаза тока принимается равной нулю.

Это вполне допустимо, так как физический интерес представляют не абсолютные значения фаз, а относительные фазовые сдвиги. Векторная диаграмма для последовательного RLC-контура изображена на рис. 2.3.2.

Рисунок 2.3.3.Векторная диаграмма для последовательной RLC-цепи

Векторная диаграмма на рис. 2.3.2 построена для случая, когда или В этом случае напряжение внешнего источника опережает по фазе ток, текущий в цепи, на некоторый угол φ.

Из рисунка видно, что
откуда следует

Из выражения для I0 видно, что амплитуда тока принимает максимальное значение при условии
или

Явление возрастания амплитуды колебаний тока при совпадении частоты ω колебаний внешнего источника с собственной частотой ω0 электрической цепи называется электрическим резонансом. При резонансе

Сдвиг фаз φ между приложенным напряжением и током в цепи при резонансе обращается в нуль. Резонанс в последовательной RLC-цепи называется резонансом напряжений. Аналогичным образом с помощью векторной диаграммы можно исследовать явление резонанса при параллельном соединении элементов R, L и C (так называемый резонанс токов).

При последовательном резонансе (ω = ω0) амплитуды UC и UL напряжений на конденсаторе и катушке резко возрастают:

В § 2.2 было введено понятие добротности RLC-контура:

Таким образом, при резонансе амплитуды напряжений на конденсаторе и катушке в Q раз превышают амплитуду напряжения внешнего источника.

Рисунок 2.3.4.Резонансные кривые для контуров с различными значениями добротности Q

Рис. 2.3.4 иллюстрирует явление резонанса в последовательном электрическом контуре. На рисунке графически изображена зависимость отношения амплитуды UC напряжения на конденсаторе к амплитуде 0 напряжения источника от его частоты ω для различных значений добротности Q. Кривые на рис. 2.3.3 называются резонансными кривыми.

Можно показать, что максимум резонансных кривых для контуров с низкой добротностью несколько сдвинуты в область низких частот.

Модель. Вынужденные колебания в RLC-контуре




Лучшие школы, лагеря, ВУЗы за рубежом
Вентилируемый фасад
монтаж вентилируемых фасадов по выгодной цене
epifit.su
Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: online подготовка к ЕГЭ на College.ru, библиотека ЭОРов и обучающие программы на Multiring.ru.

Источник: https://physics.ru/courses/op25part2/content/chapter2/section/paragraph3/theory.html

Вынужденные гармонические колебания в колебательном контуре. Резонанс. Резонансные кривые для заряда конденсатора и силы тока в контуре

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс

Электромагнитные колебания — это колебания электрического и магнитного полей, которые сопровождаются периодическим изменением заряда, силы тока и напряжения. Простейшей системой, где могут возникнуть и существовать свободные электромагнитные колебания, является колебательный контур.

Колебательный контур — это цепь, состоящая из катушки индуктивности и конденсатора (рис. 29, а). Если конденсатор зарядить и замкнуть на катушку, то по катушке потечет ток (рис. 29, б). Когда конденсатор разрядится, ток в цепи не прекратится из-за самоиндукции в катушке.

Индукционный ток, в соответствии с правилом ленца, будет иметь то же направление и перезарядит конденсатор (рис. 29, в). Процесс будет повторяться (рис. 29, г) по аналогии с колебаниями маятниками.

Таким образом, в колебательном контуре будут происходить электромагнитные колебания из-за превращения энергии электрического поля конденсатора ( ) в энергию магнитного поля катушки с током ( ), и наоборот. Период электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре (т. Е.

В таком контуре, где нет потерь энергии) зависит от индуктивности катушки и емкости конденсатора и находится по формуле томсона . Частота с периодом связана обратно пропорциональной зависимостью .

В реальном колебательном контуре свободные электромагнитные колебания будут затухающими из-за потерь энергии на нагревание проводов.

Для практического применения важно получить незатухающие электромагнитные колебания, а для этого необходимо колебательный контур пополнять электроэнергией, чтобы скомпенсировать потери энергии.

Для получения незатухающих электромагнитных колебаний применяют индукционный генератор.

Согласно закону электромагнитной индукции, в нем возникает эдс с частотой 50 гц, изменяющаяся по гармоническому закону .

Под действием эдс и идет переменный ток с частотой 50 гц во всех лампочках, холодильниках и стиральных машинах в квартирах.

Переменный ток — это вынужденные электромагнитные колебания. Действительно, если ток изменится по гармоническому закону , то его магнитное поле также совершает гармоническое колебание с частотой . Причина тока — электрическое поле. Следовательно, с такой же частотой меняется электрическое поле в проводнике.

Явление резонанса заключается в том, что амплитуда установившихся вынужденных колебаний достигает наибольшего значения, когда частота вынуждающей силы равна собственной частоте колебательной системы.

Если активное сопротивление r в колебательном контуре мало, то, по аналогии с механической колебательной системой с малым коэффициентом трения μ, в нем возможен вполне отчетливый резонанс (рис. 3.71).

Сила тока при вынужденных колебаниях в контуре достигнет максимального значения, когда частота вынуждающих колебаний ω (частота приложенного к контуру переменного напряжения) сравняется с собственной частотой электрического колебательного контура ω0:

Амплитуда установившихся колебаний силы тока при резонансе равна:

При r → 0 резонансное значение силы тока неограниченно возрастает:

(im) рез→∞. Наоборот, при больших r говорить о резонансе не имеет смысла. Зависимости амплитуды силы тока от частоты (резонансные кривые) представлены на рис. 3.71. Они подобны резонансным кривым колебаний пружинного маятника (рис. 1.63), где хm = im, а номерам кривых 1, 2, 3 соответствуют сопротивления контура r1 < r2 < r3.

Амплитуда напряжения при резонансе растет одновременно с ростом силы тока. Напряжения на конденсаторе и катушке индуктивности становятся одинаковыми и во много раз превосходят внешнее напряжение. Так как

А внешнее напряжение связано с резонансным током соотношением um = im r, то при получим:

Волны, виды волн. Основные понятия (характеристики волны). Механические волны. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х. Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении. Уравнение сферической волны. Энергия механических волн, поток энергии, плотность потока энергии. Вектор умова.

Волны, виды волн.

Волна– процесс распространения колебаний в упругой среде.

Виды волн:

1. Продольные – частицы среды совершают колебания по направлению распространения волны – во всех упругих средах;

Волна,

x

Направление колебаний

Точек среды

Nt

2. Поперечные – частицы среды совершают колебания перпендикулярно направлению распространения волны – на поверхности жидкости.

x

Волна

T

Основные понятия (характеристики волны).

1. Скорость- — расстояние, которое проходит волна за единицу времени (1 сек.). В однородной среде скорость постоянна. Скорость зависит от свойств среды – упругости и плотности (чем больше плотность и упругость среды, тем больше скорость волны). Скорость в твёрдых телах выше скорости в жидких средах, а в жидких средах – выше, чем в газах. Скорость волны – отношение длины волны к периоду: .

2. Длина волны- — расстояние, которое прошла волна за время, равное периоду колебаний – расстояние между 2 точками, фазы которых в один и тот же момент времени отличаются на 2 . Единица измерения длины волны – метры.

3. Фронт волны– геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.

4. Уравнение волны– зависимость смещения колеблющейся точки, участвующей в волновом процессе, от координаты её равновесного положения и времени: .

y

Б

T1 t2

А б` x

Х

Пусть а колеблется по закону: .

Тогда в колеблется с запаздыванием на угол , где , т.е.

.

5. Энергия волны.

— полная энергия одной частицы. Если частицn, то , где — эпсилон,v– объём.

Эпсилон – энергия в единице объёма волны – объёмная плотность энергии.

Поток энергии волн равен отношению энергии, переносимой волнами через некоторую поверхность, к времени, в течение которого этот перенос осуществлён: , ватт; 1 ватт = 1дж/с.

6. Плотность потока энергии – интенсивность волны– поток энергии через единицу площади — величина, равная средней энергии, переносимой волной в единицу времени за единицу площади поперечного сечения.

[вт/м2]

.

Механические волны.

Механическая волна– механические возмущения, распространяющиеся в пространстве и несущие энергию.

Виды механических волн:

1. Упругие волны – распространение упругих деформаций;

2. Волны на поверхности жидкости.

Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х.

Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении.

Найдем уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении, образующем с осями координат х, у, z углы , и . Пусть колебания в плоскости, проходящей через начало координат (рис. 196), имеют вид

(79.1)

Возьмем волновую поверхность (плоскость)» отстоящую от начала координат на расстоянии l. Колебания в этой плоскости будут отставать от колебаний (79.1) на время ;

(79.2)

Рис. 196.

Выразим lчерез радиус-вектор r точек рассматриваемой поверхности. Для этого введем единичный вектор n нормали к волновой поверхности. Легко видеть, что скалярное произведение n на радиус-вектор r любой из точек поверхности имеет одно и то же значение, равное l;

(79.3)

Подставим выражение (79.3) для l в уравнение (79.2), внеся одновременно в скобки :

(79.4)

Отношение равно волновому числу k[см. (787)]. Вектор

Равный по модулю волновому числу и имеющий направление нормали к волновой поверхности, называется волновым вектором. Введя k в (79.4), получим:

(79.6)

Функция (79.6) дает отклонение от положения равновесия точки с радиусом-вектором r[1] в момент времени t.

Чтобы перейти от радиуса-вектора точки к ее координатам х, у, z, выразим скалярное произведение kr через проекции векторов на координатные оси

Kr=kxx+kyy+kzz.

Тогда уравнение плоской волны принимает вид

(79.7)

Где , , . Функция (79.7) дает отклонение точки с координатами х, у, z в момент времени t. В случае, когда n совпадает с осью х, kx=k, ky=kz=0, и уравнение (79.7) переходит в уравнение (78.8).

Уравнение плоской волны иногда пишут в виде

(79.8)

Причем часто опускают знак re и пишут просто

(79.9)

Подразумевая, что берется только вещественная часть этого выражения.

Уравнение сферической волны.

В случае, когда скорость волны υ во всех направлениях постоянна, а источник точечный, волна будет сферической.

Предположим, что фаза колебаний источника равна wt (т.е. ). Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r, будут иметь фазу . Амплитуда колебаний здесь, даже если волна не поглощается средой, не будет постоянной, она убывает по закону.

Энергия механических волн, поток энергии, плотность потока энергии. Вектор Умова. Количество энергии, переносимой волной за единицу времени через некоторую поверхность называют потоком энергии.

Ф=dw/dt

1дж/1c=1вт

Количество энергии, переносимое волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространению волны, называют плотностью потока энергии

J = dф/(dt*s)

1вт на 1кв м

Плотность потока энергии волны

J=ecp*v

Вектор умова — вектор плотности потока энергии физического поля; численно равен энергии, переносимой в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению потока энергии в данной точке.

(рисунок не нашла,он на странице учебника 33)

Среднюю энергию ,переносимою волной за ед времени через ед площадку,перпендикулярно направлению распространения волны, называют интенсивностью волны.

I=w(cp)/(t*s)

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/19_94578_vinuzhdennie-garmonicheskie-kolebaniya-v-kolebatelnom-konture-rezonans-rezonansnie-krivie-dlya-zaryada-kondensatora-i-sili-toka-v-konture.html

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс

Вынужденными колебаниями называют периодические изменения параметров, которые описывают систему под влиянием внешней силы. Для реализации вынужденных электрических колебаний в $RLC$ контуре в него включают переменную ЭДС (рис.1).

Рисунок 1.

В общем случае вынужденные колебания в таком контуре можно записать как:

где $L$ — индуктивность, $R$ — сопротивление, $C$ — емкость, $U\left(t\right)$ — внешнее воздействие.

Рассмотрим случай, когда в контур подается переменное напряжение ($U$) изменяющееся по гармоническому закону:

Тогда уравнение колебаний запишется в виде:

где ${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$- собственная частота колебаний контура, $\beta =\frac{R}{2L}.$ По аналогии с механическими колебаниями можно записать частное решение данного уравнения как:

где $q_m=\frac{U_m}{\omega \sqrt{{R2+\left(\omega L-1/\omega C\right)}2}},\ tg\Psi=\frac{R}{\frac{1}{\omega C}-\omega L}$.

Как известно, общее решение неоднородного уравнения получают как сумму частного решения данного уравнения (в нашем случае это (4)) и общего решения соответствующего однородного уравнения. Так для уравнения:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

общим решением является выражение:

Так как выражение (6) содержит множитель $e{\left(-\beta t\right)}$, то при $t\to \infty ,\ $ $e{\left(-\beta t\right)}\to 0,$ поэтому для установившихся колебаний решением уравнения (3) считают функцию (4).

Сила тока для установившихся вынужденных колебаний может быть записана как:

где $I_m={\omega q}_m$, $\varphi =\Psi-\frac{\pi }{2}$ — сдвиг фаз между тока и приложенного напряжения. Соответственно:

Надо отметить, что выполняется равенство:

Выражение (9) означает, что сумма напряжений на каждом из элементов цепи в момент времени $t$ равна приложенному напряжению.

Резонанс

Появление сильных колебаний при частоте внешней силы равной (или почти равной) собственной частоте колебательного контура, называют резонансом. Суть явления заключается в том, что как бы одиночные «толчки» усиливают друг друга.

В таком случае получается, что энергия, которая вкладывается в систему, является максимальной. Амплитуда колебаний нарастает до тех пор, пока увеличивающиеся силы трения (в среднем) за период толчка не станут компенсировать действие каждого «толчка».

В этот момент устанавливается максимум энергии и максимум амплитуды.

Резонансной частотой для заряда (${\omega }_{qr}$) и напряжения (${\omega }_{Cr}$) на конденсаторе являются частоты, заданные уравнениями:

Резонансные кривые для заряда и напряжения на конденсаторе имеют одинаковый вид (рис.2).

Рисунок 2.

Если $\omega =0$ кривые (рис.2) сходятся в одной точке, при этом напряжение на конденсаторе равно напряжению, которое возникает на нем при подключении источника:

Максимум резонансной кривой выше и острее, чем меньше коэффициент затухания (меньше $R$, больше $L$).

Кривые для силы тока изображены на рис. 3. Амплитудное значение силы тока максимально, если $\omega L-\frac{1}{\omega C}=0.\ $Частота силы тока при резонансе (${\omega }_{Ir}$):

Рисунок 3.

Пример 1

Задание: Получите функции $U_R(t),U_C(t),U_L(t)$ в $RCL$ контуре, если приложенное напряжение задано уравнением: $U=U_m{cos \left(\omega t\right)\ }.$

Решение:

В качестве основы для решения задачи используем выражение:

\[I\left(t\right)={I_m cos\ }\left(\omega t-\varphi \right)\left(1.1\right).\]

Исходя из (1.1) для напряжения на сопротивлении ($U_R$) в соответствии с законом Ома для участка цепи можно записать, что:

\[U_R\left(t\right)=RI\left(t\right)={{RI}_m cos\ }\left(\omega t-\varphi \right)\left(1.2\right).\]

Используя закон изменения заряда в контуре, заданном в условии:

\[q=q_m{cos \left(\omega t-\Psi\right)\ }(1.3)\]

найдем $U_C\left(t\right)$ как:

\[U_C\left(t\right)=\frac{q}{C}=\frac{q_m{cos \left(\omega t-\Psi\right)\ }}{C}=U_{mC}{cos \left(\omega t-\varphi -\frac{\pi }{2}\right)\ }\left(1.4\right),\]

где $U_{mC}=\frac{q_m}{C}=\frac{I_m}{С\omega }.$ Напряжение на катушке индуктивности найдем как:

\[U_L=L\frac{dI}{dt}=-L\omega {I_m sin\ }\left(\omega t-\varphi \right)=U_{Lm}{cos \left(\omega t-\varphi +\frac{\pi }{2}\right)\ }\left(1.5\right).\]

Ответ: $U_R\left(t\right)={{RI}_m cos\ }\left(\omega t-\varphi \right),\ U_C\left(t\right)=U_{mC}{cos \left(\omega t-\varphi -\frac{\pi }{2}\right)\ },\ U_L=U_{Lm}{cos \left(\omega t-\varphi +\frac{\pi }{2}\right).\ }$

Пример 2

Задание: Определите, во сколько раз напряжение на конденсаторе может превышать напряжение, которое приложено к $RLC$ контуру, если добротность контура равна $O$. Считать, что внешнее напряжение подчиняется гармоническому закону, затухание в контуре мало.

Решение:

Условие малости затухания для контура означает, что:

\[\beta \ll {\omega }_0(2.1)\]

и резонансную частоту можно считать равной собственной частоте.

Напряжение на конденсаторе можно выразить как:

\[U_{mC}=\frac{q_m}{C}=\frac{U_m}{\omega C\sqrt{{R2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)}2}}\left(2.2\right)\]

где $q_m=\frac{U_m}{\omega \sqrt{{R2+\left(\omega L-1/\omega C\right)}2}}$. Если при резонансе в нашем случае $\omega \approx {\omega }_0$, то максимальное напряжение на конденсаторе при резонансе равно ($U_{mCr}$):

\[U_{mCr}=\frac{U_m}{{\omega }_0C\sqrt{{R2+\left({\omega }_0L-\frac{1}{{\omega }_0C}\right)}2}}\ \approx \frac{U_m}{{\omega }_0RC}\left(2.3\right),\]

где при малом затухании можно считать, что ${\omega }_0L-\frac{1}{{\omega }_0C}\approx 0$

Найдем отношение $\frac{U_{mCr}}{U_m}$, получим:

\[\frac{U_{mCr}}{U_m}=\frac{1}{{\omega }_0RC}=O\left(2.4\right),\]

где $O=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$, ${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$.

Ответ: $\frac{U_{mCr}}{U_m}=O.$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/elektromagnitnye_kolebaniya/vynuzhdennye_kolebaniya_v_konture_rezonans/

4. Вынужденные колебания. Колебания. Физика. Курс лекций

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс

4.1. Общие признаки вынужденных механических и электромагнитных колебаний

4.2. Зависимости амплитуды вынужденных колебаний и сдвига фаз от частоты внешнего воздействия. Резонанс

До сих пор мы изучали процессы в механических системах под действием сил, развивающихся в самих системах. Каково будет поведение колебательных систем, к которым тем или иным способом приложена внешняя сила? Для электромагнитного контура аналогичная ситуация возникнет, если в цепь контура включить внешний источник ЭДС.

Рассмотрим явление колебаний, если внешняя (вынуждающая) сила или внешняя ЭДС изменяется в зависимости от времени по гармоническому закону. При этом в системах возникнут колебания, характер которых в той или иной мере повторит характер вынуждающей силы или ЭДС источника. Такие колебания называются вынужденными.

Рассматривая свободные колебания в механической и электромагнитной системах, мы убедились в полной аналогии законов колебаний. Такое же сходство наблюдали для механических и электромагнитных затухающих колебаний. Следует ожидать аналогии законов в механической и электромагнитной системах и при вынужденных колебаниях.

4.1. Общие признаки вынужденных механических и электромагнитных колебаний

1. Рассмотрим вынужденные механические колебаний пружинного маятника, на который действует внешняя (вынуждающая) периодическая сила . Силы, которые действуют на маятник, однажды выведенный из положения равновесия, развиваются в самой колебательной системе. Это сила упругости и сила сопротивления .

Закон движения (второй закон Ньютона) запишется следующим образом: .

Разделим обе части уравнения на m, учтем, что , и получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:

.

Обозначим (β – коэффициент затухания), (ω0 – частота незатухающих свободных колебаний), сила, действующая на единицу массы. В этих обозначениях дифференциальное уравнение вынужденных колебаний примет вид:

.

Это дифференциальное уравнение второго порядка с правой частью, отличной от нуля. Решение такого уравнения есть сумма двух решений

.

– общее решение однородного дифференциального уравнения, т.е. дифференциального уравнения без правой части, когда она равна нулю. Такое решение нам известно – это уравнение затухающих колебаний, записанное с точностью до постоянной, значение которой определяется начальными условиями колебательной системы:

, где .

Мы обсуждали ранее, что решение может быть записано через функции синуса.

Если рассматривать процесс колебаний маятника через достаточно большой промежуток времени Δt после включения вынуждающей силы (Рисунок 22), то затухающие колебания в системе практически прекратятся. И тогда решением дифференциального уравнения с правой частью будет решение .

Решение — это частное решение неоднородного дифференциального уравнения, т.е. уравнения с правой частью. Из теории дифференциальных уравнений известно, что при правой части, изменяющейся по гармоническому закону, решение будет гармонической функцией (sin или cos) с частотой изменения, соответствующей частоте Ω изменения правой части:

,

где Аампл. – амплитуда вынужденных колебаний, φ0 –сдвиг фаз, т.е. разность фаз между фазой вынуждающей силы и фазой вынужденных колебаний. И амплитуда Аампл., и сдвиг фаз φ0 зависят от параметров системы (β, ω0) и от частоты вынуждающей силы Ω.

Период вынужденных колебаний равен . График вынужденных колебаний на Рисунке 4.1.

Рисунок 4.1 – График вынужденных колебаний.

2. Электромагнитные вынужденные колебания.

Электромагнитная система, в которой развиваются вынужденные колебания, — это LCR – контур с включенным в него внешним источником. Рассмотрим случай, когда ЭДС источника изменяется по гармоническому закону:

.

Конденсатор, как рассматривалось ранее, заряжен и при его разрядке в контуре будет идти изменяющийся по времени электрический ток, что вызовет появление в катушке индуктивности ЭДС индукции (). Согласно второму закону Кирхгофа имеем:

,

где UC, UR – соответственно падение напряжения на конденсаторе и активном сопротивлении.

Учитывая, что , где I – сила тока в контуре, , где q – величина заряда на одной из обкладок конденсатора, — ЭДС индукции, запишем закон Кирхгофа в виде:

.

Записывая соотношения и , и преобразуя уравнение для закона Кирхгофа, мы получим дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний в виде:

Окончательно дифференциальное уравнений (при использовании обозначений , ) примет вид:

.

Вид дифференциального уравнения вынужденных электромагнитных колебаний такой же, как и вид дифференциального уравнения для вынужденных колебаний в механической системе.

Это дифференциальное уравнение второгопорядка с правой частью, поэтому все, что говорилось относительно его решений для механических колебаний верно и для электромагнитной системы.

Сначала в системе возникнут и затухающие, и вынужденные колебания, но спустя некоторый промежуток времени, переходный процесс закончится и в системе установятся вынужденные колебаний с той же частотой, что и частота изменения ЭДС источника:

.

φ0 — сдвиг фаз между изменением заряда конденсатора и действием внешней ЭДС источника.

4.2. Зависимости амплитуды вынужденных колебаний и сдвига фаз от частоты внешнего воздействия. Резонанс

1. Вернемся к механической системе пружинного маятника, на который действует внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону. Для такой системы дифференциальное уравнение и его решение соответственно имеют вид:

, .

Проанализируем зависимость амплитуды колебаний и сдвига фаз от частоты внешней вынуждающей силы, для этого найдем первую и вторую производную от х и подставим в дифференциальное уравнение.

,

,

Воспользуемся методом векторной диаграммы. Из уравнения видно, что сумма трех колебаний в левой части уравнения (Рисунок 4.1) должна быть равна колебанию в правой части. Векторная диаграмма выполнена для произвольного момента времени t. Из нее можно определить .

Рисунок 4.1

,

.

Учитывая значение , ,, получим формулы для φ0 и Аампл. механической системы:

,

.

2. Исследуем зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы и величины силы сопротивления в колеблющейся механической системе, по этим данным построим график .

Результаты исследования отражены в Рисунке 4.2, по ним видно, что при некоторой частоте вынуждающей силы амплитуда колебаний резко возрастает. И это возрастание тем больше, чем меньше коэффициент затухания β.

При амплитуда колебаний становится бесконечно большой .

Явление резкого возрастания амплитудывынужденных колебаний при частоте вынуждающей силы, равной , называется резонансом.

Кривые на Рисунке 4.2 отражают зависимость и называются амплитудными резонансными кривыми.

Рисунок 4.2 – Графики зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы.

3. Используем данные об амплитуде и сдвиге фаз вынужденных колебаний для механической системы и выразим эти же характеристики для аналогичных величин электромагнитной системы (LCR– контур с включенным в его цепь внешним источником ЭДС, величина которой изменяется по гармоническому закону):

,

.

5. Сила тока при установившихся в контуре колебаниях равна:

,

где — амплитуда силы тока, ψ0 – сдвиг фаз между силой тока и внешнейЭДС в контуре. Амплитуда силы тока и ψ0 находятся по формулам:

,

, .

График зависимости представлен на Рисунке 4.3.

Рисунок 4.3

Источник: https://siblec.ru/estestvennye-nauki/kolebaniya/4-vynuzhdennye-kolebaniya

Вынужденные колебания. Переменный ток

Вынужденные колебания в контуре. Резонанс

Дадим определение понятию вынужденных колебаний.

Определение 1

Вынужденные колебания – это процессы, которые происходят в электрических цепях под воздействием периодического источника тока.

Основным отличием вынужденных колебаний по сравнению с собственными колебаниями в электрических цепях является то, что они являются незатухающими. Неизбежные потери энергии компенсируются за счет внешнего источника периодического воздействия, который не позволяет колебаниям затухать.

Что такое переменный ток?

Определение 2

Переменный ток — электрический ток, который с течением времени изменяется по величине и направлению или, в частном случае, изменяется по величине, сохраняя своё направление в электрической цепи неизменным.

Рассмотрим случай, когда электрическая цепь способна совершать собственные свободные колебания с некоторой частотой ω0. Предположим, что к этой цепи подключен внешний источник, напряжение которого изменяется по гармоническому закону с частотой ω.

Частота свободных колебаний в электрической сети ω0 будет определяться параметрами этой сети. Вынужденные колебания, которые установятся при подключении внешнего источника ω, будут происходить на частоте этого внешнего источника.

Частота вынужденных колебаний устанавливается не сразу после включения внешнего источника, а спустя некоторое время Δt. По порядку величины это время будет равно времени затухания свободных колебаний в сети τ.

Цепи переменного тока

Определение 3

Цепи переменного тока – это такие электрические цепи, в которых под воздействием периодического источника тока происходят установившиеся вынужденные колебания.

Рассмотрим устройство колебательного контура, в который включен источник тока с напряжением, изменяющимся по периодическому закону:

e(t)=ε0cos ωt,

где ε0 – амплитуда, ω – круговая частота.

Фактически, это будет RLC-цепь.

Рисунок 2.3.1. Вынужденные колебания в контуре.

Будем считать, что для изображенной на этом рисунке электрической цепи выполняется условие квазистационарности. Это позволит нам записать закон Ома для мгновенных значений токов и напряжений:

RJ+qC+LdJdt=ε0coc ωt.

Величину LdJdt принято называть напряжением на катушке индуктивности. Фактически, это ЭДС самоиндукции катушки, которую мы для простоты вычислений перенесли с противоположным знаком в левую часть уравнения из правой.

Уравнение вынужденных колебаний можно записать в виде:

uR+uC+uL=e(t)=ε0cos ωt.

где uR (t), uC (t) и uL (t) – мгновенные значения напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке соответственно. Амплитуды этих напряжений будем обозначать буквами UR, UC и UL. Напряжения при установившихся вынужденных колебаниях изменяются с частотой внешнего источника переменного тока ω.

Векторная диаграмма токов и напряжений

Для решения уравнения вынужденных колебаний мы можем использовать достаточно наглядный метод векторных диаграмм. Для этого используем векторную диаграмму, на которой с помощью векторов изобразим колебания определенной заданной частоты ω.

Давайте посмотрим, как построить векторную диаграмму токов и напряжений.

Рисунок 2.3.2. Векторная диаграмма, на которой с помощью векторов изображены гармонические колебания A cos(ωt+φ1), B cos(ωt+φ2) и их суммы C cos(ωt+φ).

Наклон векторов к горизонтальной оси определяется фазой колебаний φ1 и φ2, а длины векторов соответствуют амплитудам колебаний A и B. Относительный фазовый сдвиг определяет взаимную ориентацию векторов: ∆φ=φ1-φ2. Для того, чтобы построить вектор, изображающий суммарное колебание, нам необходимо использовать правило сложения векторов: C→=A→+B→.

При вынужденных колебаниях в электрической цепи для построения векторной диаграммы напряжений и токов нам необходимо знать соотношения между амплитудами токов и напряжений и фазовый сдвиг между ними для любого участка цепи.

Источник переменного тока может быть подключен к:

  • катушке индуктивности L;
  • резистору с сопротивлением R;
  • конденсатору с емкостью С.

Рассмотрим эти три примера подробнее. Будем считать, что напряжение на резисторе, катушке и конденсаторе во всех трех случаях равно напряжению внешнего источника переменного тока.

Резистор в цепи переменного тока

JRR=uR=URcos ωt; JR=URRcos ωt=IRcos ωt

Мы обозначили амплитуду тока, который протекает через резистор, через IR. Соотношение RIR=UR выражает связь между амплитудами тока и напряжения на резисторе. Фазовый сдвиг в этом случае равен нулю. Физическая величина R – это активное сопротивление на резисторе.

Конденсатор в цепи переменного тока 

Запишем формулу:

uC=qC=UCcos ωt

JC=dqdt=CduCdt=CUC(-ωsin ωt)=ωCUCcosωt+π2=ICcosωt+π2.

Соотношение между амплитудами тока IC и напряжения UC: 1ωCIC=UC.

Ток опережает по фазе напряжение на угол π2.

Определение 4

 Физическая величина XC=1ωC — это емкостное сопротивление конденсатора.

Катушка в цепи переменного тока

Запишем формулы:

UL=LdJLdt=ULcos ωt;JL=∫ULLcos ωt dt=ULωLsin ωt=ULωLcos ωt-π2=ILcosωt-π2

Соотношение между амплитудами тока IL и напряжения UL: ωLIL=UL.

Ток отстает по фазе от напряжения на угол π2.

Определение 5

Физическая величина XL=ωL — это индуктивное сопротивление катушки.

Построим векторную диаграмму для последовательного RLC-контура, частота вынужденных колебаний в котором ω.

При построении диаграммы будем учитывать, что через различные участки цепи протекает один и тот же ток. Удобнее делать это будет относительно вектора, который изображает колебания тока в цепи.

Для амплитуды тока введем обозначение I0. Фазу тока примем равной нулю, так как в данном случае нас интересуют не столько абсолютные значения фаз, сколько относительные фазовые сдвиги.

Рисунок 2.3.3. Векторная диаграмма для последовательной RLC-цепи.

Данная диаграмма построена для случая, когда ωL>1ωC или ω2>ω02=1LC.

По фазе напряжение внешнего источника опережает ток, который течет в цепи, на некоторый угол φ. 

Из рисунка видно, что

ε02=UR2+(UL-UC)2, откуда следует, что

I0=ε0R2+ωL-1ωC2; tg φ=ωL-1ωCR.

Из выражения для I0 видно, что амплитуда тока принимает максимальное значение при условии 

ωL-1ωC=0 или ω2=ωрез2=ω02=1LC.

Понятие электрического резонанса

Определение 6

Электрический резонанс – это физическое явление возрастания амплитуды колебаний тока в случае совпадения частоты колебаний внешнего источника ω и собственной частоты электрической цепи ω0 .

При резонансе I0рез=ε0R.

При резонансе сдвиг фаз φ между приложенным напряжением и током в цепи равен нулю. Если речь идет о последовательной RLC-цепи, то такой резонанс называется резонансом напряжения.

С помощью векторной диаграммы явление резонанса можно исследовать аналогичным образом при другой последовательности элементов. Параллельное соединение элементов R, L и C позволяет получить резонанс токов.

При последовательном резонансе (ω=ω0) амплитуды UC и UL напряжений на конденсаторе и катушке резко возрастают: ULрез=UCрез=ω0L(I0)рез=ε0RLC.

Ранее было введено понятие добротности RLC-контура: Q=1RLC.

Таким образом, при резонансе амплитуды напряжений на конденсаторе и катушке в Q раз превышают амплитуду напряжения внешнего источника.

Рисунок 2.3.4. Резонансные кривые для контуров с различными значениями добротности Q.

Рисунок иллюстрирует процессы, происходящие в последовательном электрическом контуре, а также зависимость между такими величинами как амплитуды UC напряжения на конденсаторе к амплитуде ε0 напряжения источника от его частоты ω для различных значений добротности Q. В контурах с низкой добротностью максимум резонансных кривых сдвинут в область низких частот.

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/fizika/elektromagnitnye-kolebanija-volny/vynuzhdennye-kolebanija-peremennyj-tok/

Booksm
Добавить комментарий