Вычислительная механика сплошных сред

Вычислительная механика сплошных сред

Вычислительная механика сплошных сред

Для механики сплошной среды применяются различные вычислительные методы, которые в полной мере отображают все характерные свойства физических тел, подверженных воздействию сплошной среды.

В настоящее время сформировались основные методы и алгоритмы решения различных задач в механике сплошной среды. Помимо численного анализа существует ряд современных разработок и достижений в области вычислительной механики.

Ее также называют континуальной механикой.

Методы вычислительной механики сплошных сред

Существует ряд методов, при помощи которых исследователи осуществляют численный анализ различных физических процессов, характерных для механики сплошных сред. Среди них выделяют:

  • проекционные методы;
  • методы интерполяции;
  • методы численного интегрирования;
  • методы дифференцирования.

В научной и образовательной литературе дается объемлющее понятие вычислительной механики при помощи различных вариантов методов исследования. Они играют большую и главную роль в процессе выбора базисного численного решения поставленных задач. От них зависит успех всего процесса изучения и получения удовлетворительного результата.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

В процессе изучения физических процессов механики сплошных сред за основу берется описание методов многомерного численного дифференцирования, которые базируются на:

  • методе аппроксимации;
  • вариационном методе;
  • методе отображений.

Также изучение подобного раздела физики бессмысленно без введения описания многомерной кусочно-полиномиальной аппроксимации функций, которое основано на площадных и объемных понятиях координат.

Оно пригодно для осуществления произвольных сеток без структуры и их создания.

В методе бессеточного численного интегрирования важным моментом является использование квадратурных формул, которые употребляются для независимых переменных.

Построение численного анализа можно свести к использованию систем алгебраических уравнений. Они вместе с традиционными вариантами решения задач употребляются в качестве решения линейных уравнений в алгебре. Также методы исключения представлены в виде перспективных итерационных безматричных методов расчета. Для алгебраических нелинейных задач используются:

  • методы ньютоновской квазилинеаризации;
  • методы погружения и продолжения по параметру;
  • приемы исследования вопросов существования и ветвления решений нелинейных уравнений в процессе численного решения.

Иногда задачи механики сплошных сред можно увидеть в виде приемов исследования вопросов существования. Для их последовательного решения даны описания методов поиска экстремальных точек функционалов. Это осуществляется наряду с теорией математического программирования.

Проекционные методы

Рисунок 1. Проекционные методы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Определение 1

Под проекционными методами вычислительной механики сплошных сред понимается всесторонний поиск решения поставленных задач в рамках и виде определенной линейной комбинации базисных функций.

Эта функция должна полностью или приблизительно удовлетворять уравнения, которые равны граничным и начальным условиям задачи. В континуальной механике подобные методы трактуются с точки зрения численных методов решения задач, что предполагает их рассмотрение в качестве частных случаев общей системы проекционных методов физики.

Сами проекционные методы предполагают создание общих основ численных методов континуальной механики. С их помощью можно приблизительно обрести понимание работы механики сплошных сред. Это не противоречит созданию новых методов с определенными свойствами, которые необходимо было выявить.

Это говорит о том, что сначала изучаются основы численных методов с точки зрения теории проекционных методов.

Метод интерполяции

Рисунок 2. Метод интерполяции. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Существует несколько способов задания функций. При аналитическом методе задействуется формула для вычисления значения функции по значению аргумента.

Если используется алгоритмический способ, то это предполагает использование последовательных математических действий, выражаемых в форме алгоритмов. С их помощью происходит вычисление функции по значению аргумента.

При табличном способе значение функций определяется интерполяцией. Это значит, что находятся значения в конечном числе точек по таблице.

В общем смысле интерполяцией называют алгоритмическое или аналитическое представление в приближенном виде о заданной в таблице функции. Оно позволяет определить значение функции в любой точке ее области определения.

Формулы интерполяции или заданные алгоритмы могут применяться для вычисления значений функций и за пределами ее области определения. Этот метод называют экстраполяцией.

Существует несколько основных типов интерполяции. В глобальной интерполяции применяются базисные функции, которые по своей сути отличны от нуля во всей области определения функции.

Пример 1

В качестве ярких примеров подобных типов интерполяции выступают тригонометрические и степенные функции. Зачастую глобальная интерполяция существует в виде бессеточной функции.

Другим типом интерполяции называют локальную интерполяцию. Она использует различные базисные функции, отличные от нуля в малой окрестности данной точке. Их активно могут использовать при численном моделировании, осуществляемом при помощи сеток, а также частиц. В качестве примера можно привести одномерную сеточную кусoчнo-линeйную интeрпoляцию.

Методы численного интегрирования

При решении различных практических задач вводится понятие методов численного интегрирования. Они при необходимости используются в линейных и подынтегральных выражениях и определяются численным образом.

В связи с этим область интегрирования должна выглядеть в виде суммы элементарных подобластей простой формы, которые никогда не пересекаются. Их также называют ячейками.

В этом случае интеграл, который необходимо найти, представляется в виде суммы интегралов, распределенных по ячейкам. В каждой из них применяется квадратурная формула определенного типа.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/mehanika_sploshnyh_sred/vychislitelnaya_mehanika_sploshnyh_sred/

Методы вычислительной механики сплошных сред

Среди используемых исследователями для численного анализа всевозможных физических процессов присущих механике сплошной среды выделяют следующие методы:

  • Дифференцирования;
  • Численного интегрирования;
  • Интерполирования;
  • Проецирования.

Понятие вычислительная механика в образовательной и научной литературе даётся как раздел объединяющий разнообразные варианты методов проведения исследований. Они играют важнейшую роль при определении ключевого численного разрешения выдвигаемых задач. Получение приемлемых результатов и успех процесса исследования полностью зависит от применяемых методов.

Взятое за основу для исследования присущих механике сплошных сред физических процессов многостороннее численное дифференцирование опирается на методы:

  • Варьирования;
  • Аппроксимации;
  • Отображения.

Кроме этого, невозможно представить процесс изучения этого раздела физики без описания функции многомерного кусочно-полиноминального аппроксимирования, базирующейся на понятиях координат на плоскости и в объёме. Оно применимо для создания сеток произвольно без их структуры. Для метода численного интегрирования без сеток важно использование формул квадратуры, используемых для независимой переменной.

Выполнение численного анализа может быть сведено к применению уравнений объединенных в систему. Их применяют для разрешения алгебраических линейных уравнений наряду с традиционно используемыми вариантами решения. Применение методов исключения сводится к использованию перспективных методов расчёта безматричных итераций. Решению нелинейных алгебраических задач призваны помочь методы:

  • Продолжения и погружения по параметру;
  • Ньютоновской квазилинеаризации;
  • Рассмотрения проблем наличия и разветвления решений уравнений в процессе расчёта.

В некоторых случаях наблюдаются задачи, касающиеся сплошных сред в плане их механики, в виде способов анализа проблем существования. Их последовательному решению способствует предоставление описаний методов для выявления экстремальных значений функций. Это выполняется одновременно с использованием теорий математического программирования.

Проекционные методы

Данные, предоставляемые для изучения, могут быть без структуры или со скрытой структурой.

Метод всестороннего поиска решений задач, стоящих перед вычислительной механикой сплошных сред, в пределах и форме линейного сочетания основных функций, называется проекционным.

Он должен приблизительно или полностью соответствовать уравнениям, описывающим начальные и конечные условия задачи. Трактовка подобных методов в континуальной механике предусматривает их рассмотрение с позиции численных способов решения задач, предусматривающих их рассмотрение как частных случаев общей для физики системы методов проекций.

Совокупность проекционных методов предусматривает построение базы численных методов вычислительной механики. Их применение позволяет примерно понять механические процессы в сплошных средах, не препятствуя появлению обладающих характерными свойствами новых методов, которые должны быть распознаны.

Все это свидетельствует о первостепенности исследования основ численных методов с позиций методов проекционных и теории на их основе.

Метод интерполяции

В случае необходимости нахождения одного значения функции при единственном значении аргумента удобнее применять интерполяционный метод полинома Лагранжа. В соответствии с ним полином n-1 степени имеет вид:

(y= yl+yl+…+yl+…+yl),

где l,l,…,l,…,l- полиномные зависимости.

Задание функций осуществляется несколькими способами. В случае применения аналитического метода привлекается формула вычисляющая, соответствующего значению аргумента значения функции.

Алгоритмический способ предусматривает использование последовательности математических действий выраженных в виде алгоритма вычисляющей значение функции по аргументу.

Методом, использующим таблицы, значение функции интерполируется, определяясь из находящегося в таблице конечного числа точек.

Интерполяция это аналитическое или алгоритмическое представление о функции заданной в таблице в приближенном виде, позволяющее определить её значение в произвольной точке входящей в область её определения.

Заданные алгоритмы или формулы интерполяции применимы для определения значений функции вне области её определения. Такой метод имеет название экстраполяции.

Различают несколько базовых интерполяционных типов. В случае глобальной интерполяции используют основные функции по сути отличные от нуля в любой точке её области определения.

Ярчайшим примером таких типов интерполяции являются степенные и тригонометрические функции. Глобальная интерполяция чаще всего бывает в форме бессеточной функции.

Локальная интерполяция относится к другому её типу. Она применяет разнообразные основные функции, имеющие не нулевое значение в точках находящихся не далеко от данной точки. Локальные интерполяции активно используют при численном моделировании с применением частиц и сеток. Примером может служить сеточная интерполяция кусочно-линейного типа.

Методы численного интегрирования

Методы численного интегрирования выделены в отдельное направление, используемое для практического решения задач при необходимости определения численным способом линейных и подынтегральных выражений.

Поэтому интегрируемая область должна иметь вид суммы никогда не пересекаемых простых элементарных подобластей, называемых ячейками. При этом определяемый интеграл имеет вид суммы распределённых по ячейкам интегралов.

Для каждой ячейки используется формула квадратуры определённого типа.

Источник: https://sciterm.ru/spravochnik/vichislitelnaya-mehanika-sploshnih-sred/

Booksm
Добавить комментарий