Волновое уравнение

Волновое уравнение

Волновое уравнение

Определение 1

В том случае если волна распространяется в однородной среде, то ее движение в общем случае описывают волновым уравнением (дифференциальным уравнением в частных производных):

\[\frac{{\partial }2\overrightarrow{s}}{\partial t2}=v2\left(\frac{{\partial }2\overrightarrow{s}}{\partial x2}+\frac{{\partial }2\overrightarrow{s}}{\partial y2}+\frac{{\partial }2\overrightarrow{s}}{\partial z2}\right)\left(1\right)\]

или

\[\triangle \overrightarrow{s}=\frac{1}{v2}\frac{{\partial }2\overrightarrow{s}}{\partial t2}\left(2\right),\]

где $v$ — фазовая скорость волны $\triangle =\frac{{\partial }2}{\partial x2}+\frac{{\partial }2}{\partial y2}+\frac{{\partial }2}{\partial z2}$ — оператор Лапласа. Решением уравнения (1,2) служит уравнение любой волны, данные уравнения удовлетворяют, например, и плоская и сферическая волны.

Если плоская волна распространяется вдоль оси $X$, то уравнение (1) представляется как:

Примечание 1

Если физическая величина распространяется как волна, то она обязательно удовлетворяет волновому уравнению. Справедливо обратное утверждение: если какая — либо величина подчиняется волновому уравнению, то она распространяется как волна. Скорость распространения волны будет равна квадратному корню из коэффициента, который стоит при сумме пространственных производных (в данном виде записи).

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Волновое уравнение играет очень большую роль в физике.

Решение волнового уравнения для плоской волны

Запишем общее решение уравнения (2), для световой волны, распространяющейся в вакууме в случае, если s скалярная функция зависит только от одной из декартовых переменных, например $z$, то есть $s=s(z,t)$, что означает, функция $s$ имеет постоянное значение в точках плоскости, которая перпендикулярна $оси Z$. Волновое уравнение (1) в этом случае примет вид:

где скорость распространения света в вакууме равна $c$.

Общим решением уравнения (4) при заданных условиях будет выражение:

где $s_1\left(z+ct\right)$- функция описывающая волну произвольной формы, которая перемещается со скоростью $c$ в отрицательном направлении по отношению к направлению $оси Z$, $s_2\left(z-ct\right)$ — функция описывающая волну произвольной формы, которая перемещается со скоростью $c$ в положительном направлении по отношению к направлению $оси Z$. Надо отметить, что в процессе движения значения $s_1$ и $s_2$ в любой точке волны и ее форма волны неизменны.

Получается, что волна, которую описывает суперпозиция двух волн (в соответствии с формулой (5)). Причем эти составляющие волны движутся в противоположных направлениях. В этом случае уже нельзя говорить о скорости или направлении волны. В самом простом случае получается стоячая волна. В общем случае необходимо рассматривать сложное электромагнитное поле.

Волновое уравнение и система уравнений Максвелла

Волновые уравнения для колебаний векторов напряженности электрического поля и вектора магнитной индукции магнитного поля легко получить из системы уравнений Максвелла в дифференциальной форме. Запишем систему уравнений Максвелла для вещества, в котором нет свободных зарядов и токов проводимости:

Применим операцию $rot$ к уравнению (7):

В выражении (10) можно изменить порядок дифференцирования в правой части выражения, так как пространственные координаты и время — независимые переменные, следовательно, имеем:

Примем во внимание то, уравнение (6), заменим $rot\overrightarrow{B}$ в выражении (11) на правую часть формулы (6), имеем:

Зная, что $rotrot\overrightarrow{E}=graddiv\overrightarrow{E}-{abla }2\overrightarrow{E}$, и используя $div\overrightarrow{E}=0$, получаем:

Аналогично можно получить волновое уравнение для вектора магнитной индукции. Оно имеет вид:

В выражениях (13) и (14) фазовая скорость распространения волны $(v)$ равна:

Пример 1

Задание: Получите общее решение волнового уравнения $\frac{{\partial }2s}{\partial z2}-\frac{1}{c2}\frac{{\partial }2s}{\partial t2}=0(1.1)$ плоской световой волны.

Решение:

Введем независимые переменные вида для функции $s$:

\[\xi =z-ct,\ \eta =z+ct\left(1.2\right).\]

В таком случае частная производная $\frac{\partial s}{\partial z}$ равна:

\[\frac{\partial s}{\partial z}=\frac{\partial s}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial z}+\frac{\partial s}{\partial \eta }\frac{\partial \eta }{\partial z}=\frac{\partial s}{\partial \xi}+\frac{\partial s}{\partial \eta }\left(1.3\right).\]

Частная производная $\frac{\partial s}{\partial t}$ равна:

\[\frac{\partial s}{\partial t}=\frac{\partial s}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial t}+\frac{\partial s}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial t}=-c\frac{\partial s}{\partial \xi}+c\frac{\partial s}{\partial \eta}\to \frac{1}{c}\frac{\partial s}{\partial t}=-\frac{\partial s}{\partial \xi}+\frac{\partial s}{\partial \eta}\left(1.4\right).\]

Вычтем почленно выражение (1.4) из выражения (1.3), имеем:

\[\frac{\partial s}{\partial z}-\frac{1}{c}\frac{\partial s}{\partial t}=2\frac{\partial s}{\partial \xi}\left(1.5\right).\]

Почленное сложение выражений (1.4) и (1.3) дает:

\[\frac{\partial s}{\partial z}-\frac{1}{c}\frac{\partial s}{\partial t}=2\frac{\partial s}{\partial \eta }\left(1.6\right).\]

Найдем произведение левых частей выражений (1.5) и (1.6) и учтем результаты, записанные в правых частях этих выражений:

\[\left(\frac{\partial s}{\partial z}-\frac{1}{c}\frac{\partial s}{\partial t}\right)\left(\frac{\partial s}{\partial z}-\frac{1}{c}\frac{\partial s}{\partial t}\right)=\frac{{\partial }2s}{\partial z2}-\frac{1}{с2}\frac{{\partial }2s}{\partial t2}=4\frac{\partial }{\partial \xi }\frac{\partial s}{\partial \eta }=0\left(1.7\right).\]

Если проинтегрировать выражение (1.7) по $\xi $, то получим функцию, которая не зависит от этой переменной, и может зависеть только от $\eta $, что значит, что она является произвольной функцией $\Psi(\eta )$. В этом случае уравнение (1.7) примет вид:

\[\frac{\partial s}{\partial \eta }=\Psi \left(\eta \right)\left(1.8\right).\]

Проведем интегрирование (1.8) по $\eta $ имеем:

\[s=\int{\Psi \left(\eta \right)d} \eta=s_1\left(\eta \right)+s_2\left(\xi \right)\left(1.9\right),\]

где $s_1\left(з\right)$ — первообразная, $s_2\left(\xi \right)$- постоянная интегрирования. Причем, функции $s_1$ и $s_2$ — произвольные. Учитывая выражения (1.2), общее решение уравнения (1.1) можно записать как:

\[s\left(z,t\right)=s_1\left(z+ct\right)+s_2\left(z-ct\right).\]

Ответ: $s\left(z,t\right)=s_1\left(z+ct\right)+s_2\left(z-ct\right).$

Пример 2

Задание: Определите из волнового уравнения, чему равна фазовая скорость распространения плоской световой волны.

Решение:

Сравнивая волновое уравнение, например, для вектора напряженности, полученное из уравнений Максвелла:

\[{abla }2\overrightarrow{E}-\varepsilon {\varepsilon }_0\mu {\mu }_0\frac{{\partial }2\overrightarrow{E}}{\partial t2}=0(2.1)\]

с волновым уравнением:

\[\triangle \overrightarrow{s}=\frac{1}{v2}\frac{{\partial }2\overrightarrow{s}}{\partial t2}(2.2)\]

позволяет сделать вывод о том, что скорость распространения волны $(v)$ равна:

\[v=\frac{1}{\sqrt{{\mu \varepsilon \mu }_0{\varepsilon }_0}}=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\varepsilon }_0}}\frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon }}=\frac{с}{\sqrt{\mu \varepsilon }}.\]

Но здесь требуется отметить, что понятие скорости электромагнитной волны имеет определенный смысл только с волнами простой конфигурации, под такие волны подходит, например категория плоских волн. Так $v$ не будет являться скоростью распространения волны в случае производного решения волнового уравнения, в состав которых входят, например, стоячие волны.

Ответ: $v=\frac{с}{\sqrt{\mu \varepsilon }}.$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/optika/volnovoe_uravnenie/

Частота, период, длина волны

Длина волны- это расстояние, на которое распространяется волна за один период колебаний.Так как,тоили.

Свойства волн

Генерация волн. Волны могут генерироваться различными способами.

Генерация локализованным источником колебаний (излучателем, антенной).

Спонтанная генерация волн в объёме при возникновении гидродинамических неустойчивостей. Такую природу могут иметь, например,волны на водепри достаточно большой скоростиветра, дующего над водной гладью.

Переход волн одного типа в волны другого типа. Например, при распространении электромагнитных волнв кристаллическом твёрдом теле могут генерироватьсязвуковыеволны.

Как правило, волны способны удалиться сколь угодно далеко от генератора колебаний. По этому причине иногда волнами называют «колебание, оторвавшееся от излучателя». Исключение составляют так называемые температурные волны, амплитуда которых экспоненциально спадает при удалении от излучателя.

Распространение. Большинство волн, по своей природе, являются не настоящими новыми физическими сущностями, а лишь условным названием для определённого вида коллективного движения.

Так, если в объёме газа возникла звуковая волна, то это не значит, что в этом объёме появились какие-то новые физические объекты.Звук— это лишь название для особого скоординированного типа движения тех же самых молекул. Т.е.

большинство волн — это колебания некоторойсреды. Вне этой среды волны данного типа (например, звук в вакууме) не существуют.

Имеются, однако, волны, которые являются не «рябью» какой-либо иной среды, а представляют собой именно новые физические сущности.

Так, электромагнитные волныв современной физике — это не колебание некоторой среды (называвшейся в XIX векеэфиром), а самостоятельное, самоподдерживающееся поле, способное распространяться в вакууме.

Аналогично обстоит дело и с волнами вероятности материальных частиц.

Распространение волн — это, как правило, равномерный процесс, т.е. волны обычно распространяются с некоторой определённой скоростью(которая, конечно же, может зависеть от многих параметров).

При распространении в некоторой средеамплитудаволны может затухать, что связано сдиссипативнымипроцессами внутри среды, сквозь которую проходят волны. В случае некоторых специальным образом подготовленных метастабильных сред амплитуда волны могут, наоборот, усиливаться (пример: генерациялазерного излучения).

Взаимодействие с телами и границами раздела. Наиболее «спокойным» образом волна распространяется в однородной, однотипной среде. Если же на пути волны встречается какой-либо дефект среды, тело, или граница раздела двух сред, то это приводит к нарушению нормального распространения волны. Результат этого нарушения часто проявляется в виде следующих явлений:

отражение

преломление

рассеяние

дифракция

Разумеется, конкретный вид законов, описывающих эти процессы, зависит от типа волны.

Пространственные размеры волны. Когда говорят опространственном размере волны, то имеют в виду размер той области пространства, где амплитуду колебания нельзя считать (в рамках рассматриваемой задачи) пренебрежимо малой.

Большинство волн могут, теоретически, обладать сколь угодно большим размером, как в направлении движения, так и поперёк него. В реальности же все волны обладают конечными размерами. Продольный размер волны, как правило, определяется длительностью процесса излучения волны.

Поперечный же размер определяется рядом параметров: размером излучателя, характером распространения волны (например, плоская, сферически расходящаяся волна и т.д.).

Некоторые виды волн, в частности, солитоны, являются ограниченными волнами по построению.

Волна ограниченного размера называется волновым пакетом, или цугом волн. В теории, волновой пакет описывается как сумма всевозможных плоских волн, взятых с определёнными весами. В случае нелинейных волн, форма огибающей волнового пакета эволюционирует с течением времени.

Поляризация. В каждой точке любой волны можно ввести некоторойвекторное поле. Так, если волна есть колебание некоторой среды, то этим вектором будет векторскоростичастицы этой среды в данной точке; если это электромагнитная волна, то этим вектором будетэлектрическое полеи т.д.

Направление этого вектора задаёт поляризацию волны. Если этот вектор параллелен направлению движения волны (т.е. если среда колеблется вдоль направления движения), то волна называетсяпродольной. Если вектор перпендикулярен направлению движения волны (т.е.

если среда колеблется поперёк направления движения), то волна называетсяпоперечной.

Поперечность или продольность волны определяется её природой. Так, например, плоские электромагнитные и гравитационные волны поперечны, звуковая волна в газе — продольна, а упругие волны в твёрдом теле могут быть как продольными, так и поперечными.

Фазовая когерентность.Когерентностьволны означает, что в различных точках волны осцилляции происходят синхронно, т.е. разность фаз между двумя точками не зависит от времени.

Отсутствие когерентности, следовательно, это ситуация, когда разность фаз между двумя точками не константа, а почти случайно «скачет» со временем (сбои фаз).

Такая ситуация может иметь место, если волна была сгенерирована не единым излучателем, а совокупностью одинаковых, но независимых (т.е. нескорелированных) излучателей.

Изучение когерентности световых волн приводит к понятиям временнойипространственной когерентности. При распространении электромагнитных волн вволноводахмогут иметь местофазовые сингулярности. В случае волн на воде когерентность волны определяет так называемаявторая периодичность.

Источник: https://studfile.net/preview/864109/page:7/

2.2. Решение волнового уравнения

Волновое уравнение

Уравнение типа (2.2), описывающее колебания различных упругих сред, называется волновым уравнением. Запишем его формально в виде:

(2.16)

или

(2.16')

Введем теперь вместо (x, t) новые переменные:

(2.17)

Производные по новым переменным выражаются по стандартным правилам дифференцирования сложной функции:

Отсюда следует, что уравнение (2.16) в новых переменных записывается в виде:

(2.18)

Поскольку производная по  равна нулю,  

не зависит от этой переменной и, следовательно, является некоторой функцией w только от переменной :

(2.19)

Интегрируем теперь это уравнение:

(2.20)

Первое слагаемое в правой части является только функцией переменной , которую мы обозначим как . Второе слагаемое — постоянная интегрирования. Она не зависит от , являясь, стало быть, функцией только переменной :

Мы получили, что решение волнового уравнения имеет вид:

Подставляя сюда выражения (2.17), мы возвращаемся к прежним переменным (x, t):

(2.21)

Функции f1 и f2 — совершенно произвольны и должны быть определены из начальных и граничных условий.

Обсудим физический смысл полученных решений. Ограничимся сначала первым слагаемым. Пусть

В момент времени t = 0 функция f1(x) задает распределение смещений (профиль струны, деформацию твердого тела, распределение давления или частиц в газе и т. д.):

Предположим, например, что это распределение имеет максимум в точке  (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Движение волнового пакета f1(x – vt)

Такое распределение называют обычно волновым пакетом. В момент t максимум функции  по-прежнему будет в точке, в которой аргумент  равен , но теперь (в момент времени ) аргумент равен , таким образом:  или . Другими словами, за время от 0 до  волновой пакет сдвинется вправо на расстояние vt, так что максимум теперь придется на точку

Нетрудно сообразить, что форму свою волновой пакет при этом перемещении не изменит.

Мы видим, что начальное распределение движется вправо со скоростью . Аналогично, второе слагаемое, , описывает движение волнового пакета налево с той же скоростью . Общее решение (2.21) является суперпозицией двух этих решений.

В свою очередь, любой волновой пакет может быть представлен как суперпозиция гармонических функций. Отсюда — особая роль решений волнового уравнения вида:

(2.22)

Это решение описывает монохроматическую волну, распространяющуюся направо со скоростью

(2.23)

Действительно, выражение (2.22) можно представить в виде

что является одной из бесчисленных возможностей конкретного воплощения функции f(x–vt) в (2.21). Величина   – это циклическая частота колебаний, а k называется волновым числом.

Пусть наблюдатель находится в точке  и следит за колебаниями среды в этой точке. Он обнаружит, что колебательное движение происходит по закону

(2.24)

Наблюдатель в другой точке также обнаружит гармонические колебания с той же частотой, но с другой начальной фазой  . Чем правее точка наблюдения, тем большее запаздывание по фазе имеют там колебания. Соответственно, выражение

описывает монохроматическую волну, распространяющуюся налево.

Проведем теперь другой мысленный опыт: «сфотографируем» нашу волну в какой-то данный момент времени  (в случае колеблющейся струны для этого даже не нужно изощренных приборов). На снимке мы увидим периодическую пространственную структуру:

(2.25)

Эта структура имеет максимумы смещений (рис. 2.7) в точках с координатами хп, определяемыми из условия

Рис. 2.7. Смещение точек среды в момент времени t (сплошная кривая) и (пунктирная кривая).

Период повторения  тех же смещений в пространстве есть расстояние между ближайшими максимумами:

Получаем в итоге:

(2.26)

Величина   называется длиной волны.

Длина волны — это минимальное расстояние между двумя точками волны,  в которых колебания совершаются в одинаковой фазе.

Точнее, фазы колебаний в двух точках, отстоящих друг от друга на , отличаются на , что, учитывая периодичность синуса и косинуса, то же самое, что и равенство фаз. Напомним, что такие колебания чаще всего называют просто: синфазные колебания.

Если «сфотографировать» волну в близкий момент времени , то на снимке вся пространственная структура сдвинется как целое на расстояние . Скорость v называется фазовой скоростью волны, так как с такой скоростью движутся максимумы, минимумы и вообще все точки с данным значением фазы.

Фазовая скорость волны — это скорость, с которой  перемещаются точки волны, колеблющиеся в одинаковой фазе.

Если в общем случае фазу волны в точке с радиус-вектором  в момент времени  обозначить  и ввести поверхность постоянной фазы, во всех точках которой фаза имеет одно и то же постоянное значение

,

то фазовую скорость волны можно определить так: фазовая скорость волны есть скорость точки поверхности постоянной фазы.

Это скорость точки, принадлежащей поверхности постоянной фазы, сама эта поверхность не стационарна — её точки перемещаются.

В простейшем случае плоской волны вида  поверхность постоянной фазы есть плоскость перпендикулярная оси ОХ и перемещающаяся вдоль этой оси с фазовой скоростью . Действительно:

Используя (2.26) и (2.23), находим связь между характеристиками волны:

(2.27)

Здесь   — частота (в герцах) колебаний в волне.

Рис. 2.8.

Приведем численные примеры. Волна сгущений и разрежений в газе есть продольная упругая волна. Используя уравнение Менделеева-Клапейрона для газового состояния, можно записать скорость звуковой волны в газе (2.8) в виде:

(2.28)

где М — молярная масса, т — масса молекул, а T — абсолютная температура газа. С другой стороны, среднеквадратичная скорость молекул газа также определяется его абсолютной температурой

откуда

(2.29)

Иными словами, скорость звука в газе по порядку величины совпадает со скоростью теплового движения молекул. Молярная масса воздуха М=29·10-3 кг/моль, показатель адиабаты . Подставляя эти значения в (2.28), находим скорость звука в воздухе при комнатной температуре (T = 20 °С = 293 К):

(2.30)

Человеческое ухо воспринимает частоты в диапазоне от 20 Гц до 20 кГц. Соответствующие длины волн равны:

для низких частот и

— для высоких.

Для стали модуль Юнга равен Е = 20.6·1010 Н/м2, модуль сдвига G = 8·1010 Н/м2, а плотность . Соответственно, получаем из (2.14), (2.15) скорости распространения продольных и поперечных колебаний в стали :

(2.31)

Наконец, для воды роль модуля Юнга играет величина, обратная сжимаемости k=0.47·10-9 Па-1. Плотность воды кг/м3. Для скорости звука в воде получаем тогда:

(2.32)

Звук той же частоты будет иметь в воде и воздухе разные длины волн. Так, для  кГц получаем длину волны в воде:

что надо сравнить с мм в воздухе.

Рассмотрим несколько примеров для оценки длины звуковой волны в различных средах.

Пример 1. Для диагностики опухолей в мягких тканях применяется ультразвук с частотой  МГц. Найдем длину ультразвуковой волны в воздухе и в мягких тканях, где скорость распространения звука равна МГц = 1.5 км/с.

Длина ультразвуковой волны в воздухе

В мягких тканях длина ультразвуковой волны равна

Как мы увидим в дальнейшем, длина волны любого излучения накладывает естественный предел на размеры объектов, которые можно различить с его помощью. Данный пример показывает, что диагностика опухолей, размеры которых меньше миллиметра, с помощью ультразвука затруднительна.

Пример 2. Летучая мышь использует для ориентирования ультразвук с частотой кГц. Определим размеры препятствий, которые заведомо не будут замечены летучей мышью и ответим на тот же вопрос в отношении дельфинов, которые также используют эти частоты.

Длина волны, испускаемой летучей мышью, равна

Препятствия меньших размеров заведомо не могут быть замечены мышью с помощью испускаемой ультразвуковой волны.

Для дельфинов ответ иной из-за другой скорости распространения звука в воде. Скорость звука в воде 1.46 км/с. Тогда

Таким образом, летучая мышь может обнаружить насекомых, а дельфин — небольших рыбок.

Пример 3. Альпинист, спускающийся с отвесной скалы, висит на веревке длиной 30 м. Страхующий его партнер подает ему сигнал, дергая веревку. Найдем, за какое время сигнал достигнет альпиниста. Масса альпиниста 80 кг, масса одного метра веревки равна 75 г.

Так как нам дана линейная плотность веревки 7.5·10-2 кг/м и сила ее натяжения Т = тg, то по формуле (2.3) находим скорость распространения колебаний:

Отсюда определяем время прохождения сигнала:

Дополнительная информация

http://allphysics.ru/perelman/zvuk-volnoobraznoe-dvizhenie – Я.И. Перельман, «Занимательная физика». Звук, Волнообразное движение.

http://allphysics.ru/perelman/zvuk-i-slukh – Я.И. Перельман, «Занимательная физика». Звук и слух. Эхо.

http://etorealno.ru/2010/04/21/fizika-interesnye-fakty-2/ – Интересные факты о звуке и резонансе

http://sitefaktov.ru/index.php/home/542-ozvuke – Интересные факты о звуке

http://1interesnoe.info/2009/12/gerc-genrikh/ – Немного о Генрихе Герце

http://ligis.ru/effects/science/223/index.htm – Генерация ультразвука

http://allphysics.ru/feynman/zvyk-volnovoe-yravnenie – Фейнмановские лекции по физике. Звук. Волновое уравнение.

Источник: https://online.mephi.ru/courses/physics/optics/data/course/2/2.2.html

Инвариантные преобразования

Ур-ние (1) инвариантно (т. е.

сохраняет свою структуру) относительно линейных преобразований координат и времени, объединённых в 10-параметрическую Пуанкаре группу (3 вращения вокруг пространственных осей, 3 равномерных движения вдоль них, объединяемые в Лоренца преобразования ,а также 4 смещения начала координат и времени). В 1910 Г. Бейтмен (H. Bateman) показал, что волновое уравнение инвариантно относительно 15-параметрич. конформной группы, содержащей в качестве подгруппы группу Пуанкаре. Из др. инвариантных преобразований следует выделить:

/

где f1 и f2 — произвольные функции своих аргументов: . Прямые =const, =const наз. характеристиками; в этих координатах одномерное волновое уравнение (1) факторизуется .

Следовательно, преобразование (4) означает, что любая функция характеристики сама является характеристикой. Разделение переменных. Ур-ние (1) всегда допускает разделение переменных, т. е. факторизацию решения по координатам и времени , при этом

т. е. для функции получается ур-ние осциллятора (6), а для и(r) — трёхмерное Гелъмголъца уравнение, в двумерном случае его называют также ур-нием мембраны, а в одномерном — ур-нием осциллятора (но уже пространственного, а не временного).

В декартовых координатах волновое уравнение (1) можно свести к набору четырех ур-ний осцилляторов: трёх пространственных и одного временного (6). Постоянные разделения kx, ky, kz можно интерпретировать как компоненты нек-рого вектора k, наз. волновым вектором, поскольку плоская волна вида

является собств. решением (1) при условии: . Комплексная запись (7) включает в себя сразу два решения, соответствующие действительной и мнимой частям. Помимо декартовой системы координат, переменные в ур-нии Гельмгольца (5) разделяются в цилиндрических (полярной, эллиптич. и параболич.), сферической и сфероидальных (вытянутой и сплюснутой) системах.

Неоднородное волновое ур-ние содержит в правой части функцию источника

и наз. Д-Аламбера ур-нием. Его решение состоит из собств. мод — решений однородного ур-ния (1) и из вынужденного решения, связанного с источником.

В силу линейности (8) справедлив суперпозиции принцип, поэтому функцию f можно разложить по любой полной системе функций (обычно выраженных через координаты, допускающие разделение переменных) или представить в виде интеграла (суммы) по элементарным источникам.

Часто в качестве элементарного источника берётся дельта-функция Дирака, а соответствующее решение наз. Грина функцией. Всплеск от элементарного возмущения, имевшего место в начале координат в момент t=0, возбуждает волны, уходящие (бегущие, распространяющиеся) от источника.

В одномерном случае их величина постоянна, в двумерном и трёхмерном — она монотонно убывает с удалением от центра. Для двумерного пространства характерно возникновение бесконечно длящегося последействия, благодаря к-рому отклик не повторяет функцию источника.

Обычно для волнового уравнения рассматривают Коши задачу, описывающую распространение волн в n-мерном пространстве. Классич. решением задачи Коши наз.

непрерывно дифференцируемую функцию , удовлетворяющую волновому уравнению в полупространстве t > 0 и нач. условиям , где — заданные функции. Классич.

решение даётся Кирхгофа формулой (п = 3), Пуассона формулой (n=2) или Д-Аламбера формулой (n=1). Рассматривают также смешанную задачу, описывающую колебания ограниченного объёма V.

Имеется много приближённых методов решения волнового уравнения. В т. н. KB-асимптотике рассматривают параболического уравнения приближение ,к-рое позволяет анализировать свойства волновых пучков и волновых пакетов, т. е. волновых образований, локализованных в пространстве и во времени, и геометрической оптики метод.

В системах с дисперсией волн возникает искажение профиля волны, обусловленное зависимостью скорости распространения её разл. участков от их крутизны, и решение в виде (2) становится невозможным.

Если такую волну представить в виде суперпозиции синусоидальных мод типа (7), то дисперсия проявляется как зависимость фазовых скоростей с этих мод от частоты.

Тогда соотношение следует рассматривать как дисперсионное уравнение, заменяющее исходное волновое уравнение (1) и в нек-ром смысле обладающее даже большей общностью, поскольку учёт зависимости можно провести только в рамках ур-ния Гельмгольца, т. е. после введения синусоидальной зависимости от времени.

По виду дисперсионного ур-ния (в частности, если оно представляется полиномами конечных степеней по w и k) можно восстановить вид исходного дифференц. ур-ния, описывающего данный класс волн ; эти ур-ния могут существенно отличаться от стандартного ур-ния (1). Наиб.

важной и наглядной иллюстрацией являются волны на поверхности жидкости .Напр., длинным (по сравнению с глубиной бассейна) волнам при небольших амплитудах соответствует дисперсионное ур-ние вида , по к-рому легко восстанавливается исходное дифференц. ур-ние . Это т. н. линеаризованное Кортевега-де Фриса уравнение, один из возможных вариантов обобщения ур-ния (3) на системы с дисперсией.

Нелинейные волновые уравнения

При перечислении нелинейных обобщений В. у. необходимо проявлять нек-рую сдержанность, с тем чтобы при этом не утрачивалась связь с исходным В. у. В этом смысле единственным терминологически точным обобщением является внесение зависимости скорости с от волновой функции в ур-ния (1), (3) или (8).

Однако часто к нелинейным В. у. относят любые ур-ния, вырождающиеся в линейные В. у. при устранении нелинейности или линеаризации. Наиб.

известны нелинейное ур-ние Клейна-Гордона , обобщающее линейное Клейна-Гордона уравнение, и нелинейное ур-ние Гельмгольца , учитывающее зависимость волнового числа от квадрата волновой функции.

Нелинейные В. у. позволяют описать взаимодействие волн (в т. ч. и квазимонохроматических), возникновение и эволюцию ударных волн и солитонов, самофокусировку и самоканализацию и т. д.

Литература по волновым уравнениям

  1. Морс Ф., Фешбах Г., Методы теоретической физики, пер. с англ., т. 1-2, M., 1958-60;
  2. Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 4 изд., M., 1981;
  3. Уизем Дж., Линейные и нелинейные волны, пер. С англ., M., 1977.

M. А. Миллер, E. И. Якубович

к библиотеке   к оглавлению   FAQ по эфирной физике   ТОЭЭ   ТЭЦ   ТПОИ   ТИ  

Знаете ли Вы, что такое «Большой Взрыв»?Согласно рупору релятивистской идеологии Википедии «Большой взрыв (англ. Big Bang) — это космологическая модель, описывающая раннее развитие Вселенной, а именно — начало расширения Вселенной, перед которым Вселенная находилась в сингулярном состоянии. Обычно сейчас автоматически сочетают теорию Большого взрыва и модель горячей Вселенной, но эти концепции независимы и исторически существовало также представление о холодной начальной Вселенной вблизи Большого взрыва. Именно сочетание теории Большого взрыва с теорией горячей Вселенной, подкрепляемое существованием реликтового излучения…»В этой тираде количество нонсенсов (бессмыслиц) больше, чем количество предложений, иначе просто трудно запутать сознание обывателя до такой степени, чтобы он поверил в эту ахинею.На самом деле взорваться что-либо может только в уже имеющемся пространстве.Без этого никакого взрыва в принципе быть не может, так как «взрыв» — понятие, применимое только внутри уже имеющегося пространства. А раз так, то есть, если пространство вселенной уже было до БВ, то БВ не может быть началом Вселенной в принципе. Это во-первых.Во-вторых, Вселенная — это не обычный конечный объект с границами, это сама бесконечность во времени и пространстве. У нее нет начала и конца, а также пространственных границ уже по ее определению: она есть всё (потому и называется Вселенной).В третьих, фраза «представление о холодной начальной Вселенной вблизи Большого взрыва» тоже есть сплошной нонсенс.

Что могло быть «вблизи Большого взрыва», если самой Вселенной там еще не было? Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

НОВОСТИ ФОРУМАРыцари теории эфира

Источник: http://bourabai.ru/physics/0560.html

Дифференциальное волновое уравнение и его решение. Фазовая скорость. Уравнение плоской и сферической волн

Волновое уравнение

Продольные волны могут распространяться как в твердых телах, так и в жидкостях или газах. Пример продольных волн — звуковые волны в жидкостях и газах. Они представляют собой колебания давления, распространяющиеся в этих средах.

Волновой процесс. Понятие волнового фронта.

МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В УПРУГОЙ СРЕДЕ

ЛЕКЦИЯ 9

Тело, колеблющееся в упругой среде, периодически воздействует на прилегающие к нему частицы среды, выводя их из положений равно­весия и заставляя совершать вынужденные колебания, возмущающие частицы среды..

Механические возмущения (деформации), распространяющиеся в упругой среде, называются упругими волнами.

Геометрическое место точек среды, в которых фаза колебаний частиц одинакова, называется волновым фронтом или волновой поверхностью. Например, существуют сферические волны, исходящие от точечного источника колебаний, волновая поверхность которых представляет собой сферу.

Упругая волна называется продольной, если колебания частиц среды происходят в направлении распространения волны. Если же частицы среды колеблются в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны, то такая волна называется поперечной.

Поперечные волны могут возникать только в такой среде, которая обладает упругостью формы, т. е. способна сопротивляться деформации сдвига. Поэтому поперечные волны могут существовать лишь в твердых телах. Таковы, например, волны, распространяющиеся вдоль струн музыкальных инструментов.

В отличие от других видов механического движения среды (например, ее течения) распространение упругих волн в среде не связано с переносом вещества.

Частицы, отстоящие друг от друга на расстоянии uT (u ‑ скорость распространения, T – период колебаний), колеблются в одинаковой фазе. Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны l.

l = uT или u =λν,

где n ‑ частота колебаний.

Рассмотрим распространение продольной волны в тонком упругом стержне, которая создается источником колебаний, расположенном в некоторой точке пространства (x = 0). Выделим объем стержня длиной Δx (рис.9.1).. Под действием упругих сил, возникающих в точках x и xx, рассматриваемыйобъембудет испытывать деформации растяжения и сжатия.

Пусть s — упругое смещение границ выделенного объема от положений равновесия. Применение к данному объему закона движения центра масс приводит к дифференциальному уравнению

, (9.1)

где t –время, ρ –плотность материала стержня, E – модуль Юнга.

Рис.9.1

Уравнение (9.1) называется дифференциальным волновым уравнением, котороезаписано в одномерном виде.

Решение уравнения (9.1) для волны, распространяющейся в направлении оси x, имеет вид:

, (9.2)

где A – амплитуда колебаний частиц среды (амплитуда волны); w – циклическая частота колебаний источника, которая равна частоте колебаний частиц среды, вызванных волной.

Можно показать, что данное уравнение имеет общий характер,. В трехмерном виде волновое уравнение имеет следующий вид:

, (9.3)

где Ñ2 ‑ оператор Лапласа:

.

Решением этого уравнения является смещение s частиц среды от положений равновесия, как функция координат и времени. s = s(x,y,z, t).

Определим смысл величины u в уравнениях (9.2) и (9.3), имеющей размерность скорости. Зафиксируем какое-либо значение фазы, в уравнении (9.2), положив

. (9.4)

Выражение (9.4) описывает распространение волнового фронта. Продифференцировав (9.4), получим

. (9.5)

Скорость распространения волны u в приведенных выше уравнениях есть скорость перемещения фазы, поэтому эту скорость называют фазовой скоростью.

Из уравнения (9.1) следует

.

Т.е.фазовая скорость продольных волн в твердых телах зависит от модуля Юнга E и плотности среды r.

Можно показать, что скорость поперечных волн определяется модулем сдвига:

.

Скорость волн в идеальном газе для адиабатического процесса распространения зависит от абсолютной температуры:

,

где γ – показатель адиабаты (отношение изобарной и изохорной теплоемкостей газа, γ=сp/сV), R – универсальная газовая постоянная, T — абсолютная температура, μ – молярная масса газа.

Функция (9.2) описывает плоскую волну, так как волновой фронт представляет собой плоскость.

Уравнение плоской волны можно представить в симметричном виде относительно t и х. Для этого вводится понятие волнового числа k:

. (9.6)

Используя (9.7), получим выражение для скорости u:

. (9.7)

Тогда уравнение волны описывается соотношением

s = Acos(wtkx). (9.8)

Если волну рассматривать на расстоянии значительно большем, чем размеры источника, то источник можно считать точечным. В этом случае в изотропной среде волна будет сферической. Такую волну описывает решение дифференциального уравнения (9.3), представленное в сферических координатах. Уравнение сферической волны имеет вид:

. (9.9)

Из (9.9) видно, что амплитуда сферической волны изменяется обратно пропорционально расстоянию от волнового фронта до источника.

Зависимость амплитуды волны от расстояния обусловлено тем, что по мере удаления фронта волны от источника за равные промежутки времени в колебательное движение вовлекаются все возрастающие объемы среды.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/3_168296_differentsialnoe-volnovoe-uravnenie-i-ego-reshenie-fazovaya-skorost-uravnenie-ploskoy-i-sfericheskoy-voln.html

Booksm
Добавить комментарий