Волновая функция

Сорокина т.п., сорокин б.п. и др. физика

Волновая функция

4.4.1. Гипотеза де Бройля

4.4.2. Волновая функция и ее физический смысл

4.4.3. Соотношение неопределенностей

4.4.4.Уравнение Шредингера

4.4.5. Применение уравнения Шредингера к атому водорода. Квантовые числа

4.4.1. Гипотеза де Бройля

Важным этапом в создании квантовой механики явилось обнаружение волновых свойств микрочастиц. Идея о волновых свойствах была первоначально высказана как гипотеза французским физиком Луи де Бройлем.

В физике в течение многих лет господствовала теория, согласно которой свет есть электромагнитная волна. Однако после работ Планка (тепловое излучение), Эйнштейна (фотоэффект) и других стало очевидным, что свет обладает корпускулярными свойствами.

Чтобы объяснить некоторые физические явления, необходимо рассматривать свет как поток частиц-фотонов. Корпускулярные свойства света не отвергают, а дополняют его волновые свойства.

Итак, фотон-элементарная частица света, обладающая волновыми свойствами.

Логично считать, что и другие частицы-электроны, нейтроны- обладают волновыми свойствами.

Формула для импульса фотона

(4.4.1)

была использована для других микрочастиц массой m, движущихся со скоростью v:

,(4.4.2)

откуда

.(4.4.3)

По де Бройлю, движение частицы, например, электрона, подобно волновому процессу с длиной волны λ , определяемой формулой (4.4.3). Эти волны называют волнами де Бройля. Следовательно, частицы (электроны, нейтроны, протоны, ионы, атомы, молекулы) могут проявлять дифракционные свойства.

К.Дэвиссон и Л.Джермер впервые наблюдали дифракцию электронов на монокристалле никеля.

Может возникнуть вопрос: что происходит с отдельными частицами, как образуются максимумы и минимумы при дифракции отдельных частиц?

Опыты по дифракции пучков электронов очень малой интенсивности, то есть как бы отдельных частиц, показали, что при этом электрон не «размазывается» по разным направлениям, а ведет себя как целая частица.

Однако вероятность отклонения электрона по отдельным направлениям в результате взаимодействия с объектом дифракции различная. Наиболее вероятно попадание электронов в те места, которые по расчету соответствуют максимумам дифракции, менее вероятно их попадание в места минимумов.

Таким образом, волновые свойства присущи не только коллективу электронов, но и каждому электрону в отдельности.

4.4.2. Волновая функция и ее физический смысл

Так как с микрочастицей сопоставляют волновой процесс, который соответствует ее движению, то состояние частиц в квантовой механике описывается волновой функцией, зависящей от координат и времени: .

Если силовое поле, действующее на частицу, является стационарным, то есть не зависящим от времени, то ψ-функцию можно представить в виде произведения двух сомножителей, один из которых зависит от времени, а другой от координат:

(4.4.4)

В дальнейшем будем рассматривать только стационарные состояния; ψ-функция является вероятностной характеристикой состояния частицы. Поясним смысл этого утверждения.

Выделим в пространстве достаточно малый объем dV=dxdydz, в пределах которого значения ψ-функции можно считать одинаковыми. Вероятность нахождения dWв частицы в этом объеме пропорциональна объему и зависит от квадрата модуля ψ -функции:

.(4.4.5)

Отсюда следует физический смысл волновой функции:

.(4.4.6)

Квадрат модуля волновой функции равен плотности вероятности, то есть отношению вероятности нахождения частицы в объеме к этому объему.

Интегрируя выражение (4.4.5) по некоторому объему V, находим вероятность нахождения частицы в этом объеме:

(4.4.7)

4.4.3. Соотношение неопределенностей

Одним из важных положений квантовой механики являются соотношения неопределенностей, предложенные В.Гейзенбергом.

Пусть одновременно измеряют положение и импульс частицы, при этом неточности в определениях абсциссы и проекции импульса на ось абсцисс равны соответственно Δx и Δрx.

В классической физике нет каких-либо ограничений, запрещающих с любой степенью точности одновременно измерить как одну, так и другую величину, то есть Δx→0 и Δрx→0.

В квантовой механике положение принципиально иное: Δx и Δрx , соответствующие одновременному определению x и рx, связаны зависимостью

(4.4.8)

Таким образом, чем точнее определена координата x (Δx→0), тем не менее точно определена проекция рx(Δpx→ ±), и наоборот. Аналогично,

(4.4.9)

Формулы (4.4.8), (4.4.9) называют соотношениями неопределенностей.

Поясним их одним модельным экспериментом.

При изучении явления дифракции было обращено внимание на то, что уменьшение ширины щели при дифракции приводит к увеличению ширины центрального максимума.

Аналогичное явление будет и при дифракции электронов на щели в модельном опыте. Уменьшение ширины щели означает уменьшение Δ x (рис. 4.4.

1), это приводит к большему «размазыванию» пучка электронов, то есть к большей неопределенности импульса и скорости частиц.

Рис. 4.4.1.Пояснение к соотношению неопределенности.

Соотношение неопределенностей можно представить в виде

,(4.4.10)

где ΔE — неопределенность энергии некоторого состояния системы; Δt -промежуток времени, в точение которого оно существует. Соотношение (4.4.

10) означает, что чем меньше время существования какого-либо состояния системы, тем более неопределенно его значение энергии. Энергетические уровни Е1, Е2 и т.д. имеют некоторую ширину (рис.4.4.

2)), зависящую от времени пребывания системы в состоянии, соответствующем этому уровню.

Рис. 4.4.2.Энергетические уровни Е1, Е2 и т.д. имеют некоторую ширину.

«Размытость» уровней приводит к неопределенности энергии ΔE излучаемого фотона и его частоты Δν при переходе системы с одного энергетического уровня на другой:

(4.4.11)

Это проявляется в уширении спектральных линий.

4.4.4.Уравнение Шредингера

Так как состояние микрочастицы описывают ψ -функцией, то надо указать способ нахождения этой функции с учетом внешних условий. Это возможно в результате решения основного уравнения квантовой механики, предложенного Шредингером. Такое уравнение в квантовой механике постулируется так же, как в классической механике постулируется закон Ньютона.

Применительно к стационарным состояниям уравнение Шредингера может быть записано так:

(4.4.12)

или

,

где m- масса частицы; ; Е и Еn –ее полная и потенциальная энергии (потенциальная энергия определяется силовым полем, в котором находится частица, и для стационарного случая не зависит от времени)

Если частица перемещается только вдоль некоторой линии, например вдоль оси ОХ (одномерный случай), то уравнение Шредингера существенно упрощается и принимает вид

(4.4.13)

Одним из наиболее простых примеров на использование уравнения Шредингера является решение задачи о движении частицы в одномерной потенциальной яме.

4.4.5. Применение уравнения Шредингера к атому водорода. Квантовые числа

Описание состояний атомов и молекул с помощью уравнения Шредингера является достаточно сложной задачей. Наиболее просто она решается для одного электрона, находящегося в поле ядра.

Такие системы соответствуют атому водорода и водородоподобным ионам (однократно ионизированный атом гелия, двукратно ионизированный атом лития и т.п.).

Однако и в этом случае решение задачи является сложным, поэтому ограничимся лишь качественным изложением вопроса.

Прежде всего в уравнение Шредингера (4.4.12) следует подставить потенциальную энергию, которая для двух взаимодействующих точечных зарядов – e (электрон) и Ze (ядро), — находящихся на расстоянии r в вакууме, выражается следующим образом:

(4.4.14)

Состояние электрона в атоме характеризуется не одним, а несколькими квантовыми числами.

Первое из них — главное квантовое числоn =1, 2, 3, … Оно определяет уровни энергии электрона по закону

(4.4.15)

Это выражение является решением уравнения Шредингера и полностью совпадает с соответствующей формулой теории Бора (4.2.30)

На рис.4.4.3 показаны уровни возможных значений полной энергии атома водорода (Е1, Е2, Е3 и т.д.) и график зависимости потенциальной энергии Еn от расстояния r между электроном и ядром.

С возрастанием главного квантового числа n увеличивается r (см.4.2.26), а полная (4.4.15) и потенциальная энергии стремятся к нулю. Кинетическая энергия также стремится к нулю.

Заштрихованная область (Е>0) соответствует состоянию свободного электрона.

Рис. 4.4.3. Показаны уровни возможных значений полной энергии атома водорода

и график зависимости потенциальной энергии от расстояния r между электроном и ядром.

Второе квантовое число – орбитальное l, которое при данном n может принимать значения 0, 1, 2, …., n-1. Это число характеризует орбитальный момент импульса Li электрона относительно ядра:

.(4.4.16)

Третье квантовое число – магнитное ml, которое при данном l принимает значения 0, ±1, ± 2, …, ±l; всего 2l+1 значений. Это число определяет проекции орбитального момента импульса электрона на некоторое произвольно выбранное направление Z:

(4.4.17)

Четвертое квантовое число – спиновое ms. Оно может принимать только два значения (±1/2) и характеризует возможные значения проекции спина электрона:

.(4.4.18)

Состояние электрона в атоме с заданными n и l обозначают следующим образом: 1s, 2s, 2p, 3s и т.д. Здесь цифра указывает значение главного квантового числа, а буква – орбитальное квантовое число: символам s, p, d, f, соответствуют значения l=0, 1, 2. 3 и т.д.

Источник: http://www.kgau.ru/distance/2013/et4/001/04_04.htm

Волновая функция и ее статистический смысл. Условие нормировки волновой функции

Волновая функция

Как известно, основная задача классической механики заключается в определении положения макрообъекта в любой момент времени. Для этого составляется система уравнений, решение которой позволяет выяснить зависимость радиус-вектора от времени t. В классической механике состояние частицы при ее движении в каждый момент задается двумя величинами: радиус-вектором и импульсом .

Таким образом, классическое описание движения частицы правомерно, если оно происходит в области с характерным размером, много большим, чем длина волны де Бройля. В противном случае (например, вблизи ядра атома) следует принимать во внимание волновые свойства микрочастиц.

Об ограниченной применимости классического описания микрообъектов, имеющих волновые свойства, и говорят соотношения неопределенностей.

С учетом наличия у микрочастицы волновых свойств ее состояние в квантовой механике задается с помощью некоторой функции координат и времени (x, y, z, t), называемой волновой или — функцией.

В квантовой физике вводится комплексная функция, описывающая чистое состояние объекта, которая называется волновой функцией.

В наиболее распространенной интерпретации эта функция связана с вероятностью обнаружения объекта в одном из чистых состояний (квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности).

Отказавшись от описания движения частицы с помощью траекторий, получаемых из законов динамики, и определив вместо этого волновую функцию, необходимо ввести в рассмотрение уравнение, эквивалентное законам Ньютона и дающее рецепт для нахождения решения в частных физических задачах. Таким уравнением является уравнение Шрёдингера.

Теория, описывающая движение малых частиц с учетом их волновых свойств, называется квантовой, или волновой механикой. Многие положения этой теории кажутся странными и непривычными с точки зрения представлений, сложившихся при изучении классической физики.

Следует всегда помнить, что критерием правильности теории, какой бы странной она не казалась поначалу, является совпадение ее следствий с опытными данными.

Квантовая же механика в своей области (строение и свойства атомов, молекул и отчасти атомных ядер) прекрасно подтверждается опытом.

Волновая функция описывает состояние частицы во всех точках пространства и для любого момента времени. Для понимания физического смысла волновой функции обратимся к опытам по дифракции электронов. (Опыты Томсона и Тартаковского по пропусканию электронов через тонкую металлическую фольгу).

Оказывается, что четкие дифракционные картины обнаруживаются даже в том случае, если направлять на мишень одиночные электроны, т.е. когда каждый последующий электрон испускается после того, как предыдущий достигнет экрана.

После достаточной продолжительной бомбардировки картина на экране будет в точности соответствовать той, которая получается при одновременном направлении на мишень большого числа электронов.

Из этого можно сделать вывод о том, движение любой микрочастицы по отдельности, в том числе и место ее обнаружения, подчиняется статистическим (вероятностным) закономерностям, и при направлении на мишень одиночного электрона точку на экране, в которой он будет зафиксирован, заранее со 100%-й уверенностью предсказать невозможно.

В дифракционных опытах Томсона на фотопластинке образовывалась система темных концентрических колец. Можно с уверенностью сказать, что вероятность обнаружения (попадания) каждого испущенного электрона в различных местах фотопластинки неодинакова.

В области темных концентрических колец эта вероятность больше, чем в остальных местах экрана.

Распределение электронов по всему экрану оказывается таким же, каким является распределение интенсивности электромагнитной волны в аналогичном дифракционном опыте: там, где интенсивность рентгеновской волны велика, частиц в опыте Томсона регистрируется много, а там, где интенсивность мала — частицы почти не появляются.

С волновой точки зрения наличие максимума числа электронов в некоторых направлениях означает, что эти направления соответствуют наибольшей интенсивности волны де Бройля. Это послужило основанием для статистического (вероятностного) истолкования волны де Бройля.

Волновая функция как раз и является математическим выражением, которое позволяет описать распространение какой-либо волны в пространстве.

В частности, вероятность найти частицу в данной области пространства пропорциональна квадрату амплитуды волны, связанной с частицей.

Для одномерного движения ( например, в направлении оси Ox ) вероятность dP обнаружения частицы в промежутке между точками x и x + dx в момент времени t равна

dP = , (6.1)

где | (x,t)|2 = (x,t) *(x,t) — квадрат модуля волновой функции (значок * обозначает комплексное сопряжение).

В общем случае при движении частицы в трехмерном пространстве вероятность dP обнаружения частицы в точке с координатами (x,y,z) в пределах бесконечно малого объема dV задается аналогичным уравнением: dP = | (x,y,z,t)|2 dV. Впервые вероятностную интерпретацию волновой функции дал Борн в 1926г.

Вероятность обнаружить частицу во всем бесконечном пространстве равна единице. Отсюда следует условие нормировки волновой функции:

. (6.2)

Величина является плотностью вероятности, или, что то же самое, плотностью распределение координат частиц. В простейшем случае одномерного движения частицы вдоль оси ОX среднее значение ее координаты вычисляется следующим соотношением:

= . (6.3)

Чтобы волновая функция являлась объективной характеристикой состояния микрочастицы, она должна удовлетворять ряду ограничительных условий.

Функция Ψ, характеризующая вероятность обнаружения микрочастицы в элементе объема, должна быть конечной (вероятность не может быть больше единицы), однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной), непрерывной (вероятность не может меняться скачком) и гладкой (без изломов) во всем пространстве.

Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции: если система может находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями Ψ1, Ψ2 , Ψn , то она может находиться в состоянии, описываемом линейной комбинацией этих функций:

, (6.4)

где Cn (n = 1, 2, 3) – произвольные, вообще говоря, комплексные числа.

Сложение волновых функций (амплитуд вероятностей, определяемых квадратами модулей волновых функций) принципиально отличает квантовуютеорию от классической статистической теории, в которой для независимых событий справедлива теорема сложения вероятностей.

Волновая функция Ψ является основной характеристикой состояниямикрообъектов.

Например, среднее расстояние электрона отядра вычисляется по формуле:

,

где вычисления проводятся, как и в случае (6.3). Таким образом, точно предсказать в дифракционных опытах, в каком месте экрана будет зафиксирован тот или иной электрон, невозможно, даже заранее зная его волновую функцию.

Можно лишь с определенной вероятностью предположить, что электрон будет зафиксирован в определенном месте. В этом отличие поведения квантовых объектов от классических.

В классической механике при описании движения макротел мы со 100%-й вероятностью знали заранее, в каком месте пространства будет находиться материальная точка (например, космическая станция) в любой момент времени.

Де Бройль использовал представление о фазовых волнах (волнах вещества или волнах де Бройля) для наглядного толкования правила квантования орбит электрона в атоме по Бору в случае одноэлектронного атома. Он рассмотрел фазовую волну, бегущую вокруг ядра по круговой орбите электрона.

Если на длине орбиты укладывается целое число этих волн , то волна при обходе вокруг ядра будет всякий раз возвращаться в исходную точку с той же фазой и амплитудой. В этом случае орбита становится стационарной и не возникает излучения.

Де Бройль записал условие стационарности орбиты или правило квантования в виде:

, (6.5)

где R – радиус круговой орбиты, п – целое число (главное квантовое число). Полагая здесь и учитывая, что L = RP есть момент импульса электрона, получим:

, (6.6)

что совпадает с правилом квантования орбит электрона в атоме водорода по Бору.

В дальнейшем условие (6.5) удалось обобщить и на случай эллиптических орбит, когда длина волны меняется вдоль траектории электрона.

Однако, в рассуждениях де Бройля предполагалось, что волна распространяется не в пространстве, а вдоль линии – вдоль стационарной орбиты электрона.

Этим приближением можно пользоваться в предельном случае, когда длина волны пренебрежимо мала по сравнению с радиусом орбиты электрона.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/14_65967_volnovaya-funktsiya-i-ee-statisticheskiy-smisl-uslovie-normirovki-volnovoy-funktsii.html

Понятие о волновой функции

Волновая функция

       Экспериментальное подтверждение идеи Луи де Бройля об универсальности корпускулярно-волнового дуализма, ограниченность применения классической механики к микрообъектам, диктуемая соотношением неопределенностей, а также противоречия ряда экспериментов с применяемыми в начале XX века теориями привели к новому этапу развития квантовой физики – созданию квантовой механики, описывающей законы движения и взаимодействия микрочастиц с учетом их волновых свойств. Ее создание и развитие охватывает период с 1900 г. (формулировка Планком квантовой гипотезы) до 20-х годов XX века и связано, прежде всего, с работами австрийского физика Э. Шредингера, немецкого физика В. Гейзенберга и английского физика П. Дирака.

       Необходимость вероятностного подхода к описанию микрочастиц является важнейшей отличительной особенностью квантовой теории. Можно ли волны де Бройля истолковывать как волны вероятности, т.е.

считать, что вероятность обнаружить микрочастицу в различных точках пространства меняется по волновому закону? Такое толкование волн де Бройля уже неверно, хотя бы потому, что тогда вероятность обнаружить частицу в некоторых точках пространства может быть отрицательна, что не имеет смысла.

       Чтобы устранить эти трудности, немецкий физик М. Борн в 1926 г.

предположил, что по волновому закону меняется не сама вероятность, а величина, названная амплитудой вероятностии обозначаемая .

Эту величину называют также волновой функцией (или -функцией). Амплитуда вероятности может быть комплексной, и вероятность W пропорциональна квадрату ее модуля:

(4.3.1)

где , где – функция комплексно-сопряженная с Ψ.

       Таким образом, описание состояния микрообъекта с помощью волновой функции имеет статистический, вероятностный характер: квадрат модуля волновой функции (квадрат модуля амплитуды волны де Бройля) определяет вероятность нахождения частицы в момент времени в области с координатами x и dx, y и dy, z и dz.

Итак, в квантовой механике состояние частицы описывается принципиально по-новому – с помощью волновой функции, которая является основным носителем информации об их корпускулярных и волновых

.(4.3.2)

       Величина (квадрат модуля Ψ-функции) имеет смысл плотности вероятности, т.е. определяет вероятность нахождения частицы в единице объема в окрестности точки, имеющейкоординаты x, y, z. Таким образом, физический смысл имеет не сама Ψ-функция, а квадрат ее модуля , которым определяется интенсивность волн де Бройля.

       Вероятность найти частицу в момент времени t в конечном объеме V, согласно теореме о сложении вероятностей, равна:

.

       Т.к. определяется как вероятность, то необходимо волновую функцию Ψ представить так, чтобы вероятность достоверного события обращалась в единицу, если за объем V принять бесконечный объем всего пространства. Это означает, что при данном условии частица должна находиться где-то в пространстве. Следовательно, условие нормировки вероятностей:

(4.3.3)

где данный интеграл вычисляется по всему бесконечному пространству, т.е. по координатам x, y, z от до . Таким образом, условие нормировки говорит об объективном существовании частицы во времени и пространстве.

       Чтобы волновая функция являлась объективной характеристикой состояния микрочастицы, она должна удовлетворять ряду ограничительных условий. Функция Ψ, характеризующая вероятность обнаружения микрочастицы в элементе объема, должна быть:

       ·        конечной (вероятность не может быть больше единицы);

       ·        однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной);

       ·        непрерывной (вероятность не может меняться скачком).

       Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции: если система может находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями , , … , то она может находиться в состоянии, описываемом линейной комбинацией этих функций:

,

где (n = 1, 2, 3…) – произвольные, вообще говоря, комплексные числа.

       Сложение волновых функций (амплитуд вероятностей, определяемых квадратами модулей волновых функций) принципиально отличает квантовую теорию от классической статистической теории, в которой для независимых событий справедлива теорема сложения вероятностей.

       Волновая функция Ψ является основной характеристикой состояния микрообъектов. Например, среднее расстояние электрона от ядра вычисляется по формуле

,

где вычисления проводятся, как и в случае (4.3.3).

Источник: http://ens.tpu.ru/POSOBIE_FIS_KUSN/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F%20%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0.%20%D0%90%D1%82%D0%BE%D0%BC%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D0%B8%20%D1%8F%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0.%20%D0%A4%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0%20%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%86/04-3.htm

Волновая функция

Волновая функция

В соответствии с корпускулярно — волновым дуализмом в квантовой физике состояние частицы описывается при помощи волновой функции ($\psi (\overrightarrow{r},t)$- пси-функция).

Определение 1

Волновая функция — это функция, которая используется в квантовой механике. Она описывает состояние системы, которая имеет размеры в пространстве. Она является вектором состояния.

Данная функция является комплексной и формально имеет волновые свойства. Движение любой частицы микромира определено вероятностными законами.

Распределение вероятности выявляется при проведении большого числа наблюдений (измерений) или большого количества частиц. Полученное распределение аналогично распределению интенсивности волны.

То есть в местах с максимальной интенсивностью отмечено максимальное количество частиц.

Набор аргументов волновой функции определяет ее представление. Так, возможно координатное представление: $\psi(\overrightarrow{r},t)$, импульсное представление: $\psi'(\overrightarrow{p},t)$ и т.д.

В квантовой физике целью ставится не точность предсказания события, а оценка вероятности того или иного события. Зная величину вероятности, находят средние значения физических величин. Волновая функция позволяет находить подобные вероятности.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Так вероятность присутствия микрочастицы в объеме dV в момент времени t может быть определена как:

где $\psi*$- комплексно сопряженная функция к функции $\psi.$ Плотность вероятности (вероятность в единице объёма) равна:

Вероятность является величиной, которую можно наблюдать в эксперименте. В это же время волновая функция не доступна для наблюдения, так как она является комплексной (в классической физике параметры, которые характеризуют состояние частицы, доступны для наблюдения).

Условие нормировки $\psi$- функции

Волновая функция определена с точностью до произвольного постоянного множителя. Данный факт не оказывает влияния на состояние частицы, которую $\psi$- функция описывает. Однако волновую функцию выбирают таким образом, что она удовлетворяет условию нормировки:

где интеграл берут по всему пространству или по области, в которой волновая функция не равна нулю. Условие нормировки (2) значит то, что во всей области, где $\psie 0$ частица достоверно присутствует. Волновую функцию, которая подчинятся условию нормировки, называют нормированной. Если ${\left|\psi\right|}2=0$, то данное условие означает, что частицы в исследуемой области наверняка нет.

Нормировка вида (2) возможна при дискретном спектре собственных значений.

Условие нормировки может оказаться не осуществимым. Так, если $\psi$ — функция является плоской волной де-Бройля и вероятность нахождения частицы является одинаковой для всех точек пространства. Данные случаи рассматривают как идеальную модель, в которой частица присутствует в большой, но имеющей ограничения области пространства.

Принцип суперпозиции волновой функции

Данный принцип является одним их основных постулатов квантовой теории. Его смысл в следующем: если для некоторой системы возможны состояния, описываемые волновыми функциями $\psi_1\ {\rm и}\ $ $\psi_2$, то для этой системы существует состояние:

где $C_{1\ }и\ C_2$ — постоянные коэффициенты. Принцип суперпозиции подтверждается эмпирически.

Можно говорить о сложении любого количества квантовых состояний:

где ${\left|C_n\right|}2$ — вероятность того, что система обнаруживается в состоянии, которое описывается волновой функцией $\psi_n.$ Для волновых функций, подчиненных условию нормировки (2) выполняется условие:

Стационарные состояния

В квантовой теории особую роль имеют стационарные состояния (состояния в которых все наблюдаемые физические параметры не изменяются во времени). (Сама волновая функция принципиально не наблюдаема). В стационарном состоянии $\psi$- функция имеет вид:

где $\omega =\frac{E}{\hbar }$, $\psi\left(\overrightarrow{r}\right)$ не зависит от времени, $E$- энергия частицы. При виде (3) волновой функции плотность вероятности ($P$) является постоянной времени:

Из физических свойств стационарных состояний следуют математические требования к волновой функции $\psi\left(\overrightarrow{r}\right)\to \ (\psi(x,y,z))$.

Математические требования к волновой функции для стационарных состояний

$\psi\left(\overrightarrow{r}\right)$- функция должна быть во всех точках:

  • непрерывна,
  • однозначна,
  • конечна.

Если потенциальная энергия имеет поверхность разрыва, то на подобных поверхностях функция $\psi\left(\overrightarrow{r}\right)$ и ее первая производная должны оставаться непрерывными. В области пространства, где потенциальная энергия становится бесконечной, $\psi\left(\overrightarrow{r}\right)$ должна быть равна нулю.

Непрерывность функции $\psi\left(\overrightarrow{r}\right)$ требует, чтобы на любой границе этой области $\psi\left(\overrightarrow{r}\right)=0$.

Условие непрерывности накладывается на частные производные от волновой функции ($\frac{\partial \psi}{\partial x},\ \frac{\partial \psi}{\partial y},\frac{\partial \psi}{\partial z}$).

Пример 1

Задание: Для некоторой частицы задана волновая функция вида: $\psi=\frac{A}{r}e{-{r}/{a}}$, где $r$ — расстояние от частицы до центра силы (рис.1), $a=const$. Примените условие нормировки, найдите нормировочный коэффициент A.

Рисунок 1.

Решение:

Запишем условие нормировки для нашего случая в виде:

\[\int{{\left|\psi\right|}2dV=\int{\psi\psi*dV=1\left(1.1\right),}}\]

где $dV=4\pi r2dr$ (см.рис.1 Из условий понятно, что задача обладает сферической симметрией). Из условий задачи имеем:

\[\psi=\frac{A}{r}e{-{r}/{a}}\to \psi*=\frac{A}{r}e{-{r}/{a}}\left(1.2\right).\]

Подставим $dV$ и волновые функции (1.2) в условие нормировки:

\[\int\limits{\infty }_0{\frac{A2}{r2}e{-{2r}/{a}}4\pi r2dr=1\left(1.3\right).}\]

Проведем интегрирование в левой части:

\[\int\limits{\infty }_0{\frac{A2}{r2}e{-{2r}/{a}}4\pi r2dr=2\pi A2a=1\left(1.4\right).}\]

Из формулы (1.4) выразим искомый коэффициент:

\[A=\sqrt{\frac{1}{2\pi a}}.\]

Ответ: $A=\sqrt{\frac{1}{2\pi a}}.$

Пример 2

Задание: Каково наиболее вероятное расстояние ($r_B$) электрона от ядра, если волновая функция, которая описывает основное состояние электрона в атоме водорода может быть определена как: $\psi=Ae{-{r}/{a}}$, где $r$- расстояние от электрона до ядра, $a$ — первый Боровский радиус?

Решение:

Используем формулу, которая определяет вероятность присутствия микрочастицы в объеме $dV$ в момент времени $t$:

\[dP={\left|\psi\right|}2dV=\psi\psi*dV\left(2.1\right),\]

где $dV=4\pi r2dr.\ $Следователно, имеем:

\[dP=4\pi r2A2e{-{2r}/{a}}dr\left(2.2\right).\]

В таком случае, $p=\frac{dP}{dr}$ запишем как:

\[p=4\pi r2A2e{-{2r}/{a}}\left(2.3\right).\]

Для определения наиболее вероятного расстояния производную $\frac{dp}{dr}$ приравняетм к нулю:

\[{\left.\frac{dp}{dr}\right|}_{r=r_B}=8\pi rA2e{-{2r}/{a}}+4\pi r2A2e{-{2r}/{a}}\left(-\frac{2}{a}\right)=8\pi rA2e{-{2r}/{a}}\left(1-\frac{r}{a}\right)=0(2.4)\]

Так как решение $8\pi rA2e{-{2r_B}/{a}}=0\ \ {\rm при}\ \ r_B\to \infty $, нам не подходит, то отсается:

\[1-\frac{r_B}{a}=0\to r_B=a.\]

Ответ: $r_B=a.$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/predmet_i_zadachi_atomnoy_fiziki/volnovaya_funkciya/

Реальна ли волновая функция?

Волновая функция

Наиболее распространеннымзаблуждением среди диванных экспертов является утверждение о реальностиволновой функции. В СМИ ситуация озвучивается обычно так. Ученые разделились на2 лагеря и спорят вот уже почти 100 лет отражает ли волновая функция реальныйфизический мир или является лишь математическим инструментом для вычислениявероятностей.

На самом деле такая ситуация если ибыла, то только на заре рождения квантовой механики в первой половине прошлоговека. Действительно Шредингер изначально мыслил волновую функцию как волнуматерии, распределение в пространстве массы и заряда частицы. Но практическисразу было показано, что такое представление не согласуется с экспериментом.

Эйнштейн считал, что если неволновая функция, то что-то другое должно существовать для описанияобъективного физического мира. Даже Джон Белл вывел свои неравенства в надеждепоказать, что такое описание возможно.

Но как мы показали в 27 частинеравенства Белла нарушаются и само существование объективного реального мира,в отрыве от наблюдателя несовместимо с экспериментальными данными. Хотя к этомувремени никто в научном сообществе уже и так не сомневался, что квантоваямеханика верна, а все что дает предсказания отличные от нее, неверно.

Можнобыло и не проводить фактические эксперименты по проверке неравенств Белла. Практическис самого начала было ясно, что квантовая механика несовместима с идеей осуществовании объективного, не зависящего от наблюдателя мира.

Удивительно то, что спустя почти100 лет мы слышим, что ученые до сих пор спорят. Никто среди действительноученых не спорит. Все занимаются другими, актуальными на данный момент вещами.

Точто волновая функция является просто инструментом для вычисления вероятностейэто просто факт, известный еще с 20-х годов прошлого века. Волновая функцияотражает знания наблюдателя о системе.

Она позволяет вычислить вероятностиполучить тот или иной результат при измерении той или иной величины. Все!

Действительно график волновойфункции может напоминать график любой другой классической волны. Графикэлектрического и магнитного поля в световой волне, например. Она такжеподчиняется некоторому волновому уравнению – уравнению Шредингера. Но это двасовершенно разных объекта. В классической механике мы можем измерить величинуэлектрического поля, но мы не можем измерить волновую функцию.

Волновая функция — это простобесконечномерный вектор состояния. Все постулаты о которых мы говорили напримере двумерного вектора состояния — спина электрона — справедливы и дляволновой функции.

При измерении волновая функцияколлапсирует в собственную функцию оператора измеренной величины. Притом в ту,что соответствует измеренному собственному значению. Этот коллапс отражаетобновление знаний наблюдателя о системе при поступлении новых данных.

Скажем при измерении энергиигармонического осциллятора, о котором мы говорили в двух предыдущих частях,волновая функция коллапсирует в одну из собственных функций оператораГамильтона. Например, если измерена энергия третьего энергетического уровня, товолновая функция коллапсирует в собственную функцию, соответствующую третьемусобственному значению.

Если скажем затем наблюдатель хочетизмерить координату частицы, посмотреть где она сейчас находится, то волноваяфункция опять коллапсирует из третьей собственной функции оператора энергии водну из собственных функций оператора координаты. В ту, которая соответствуетизмеренной координате. В идеале это дельта-функция Дирака, но на практике получимкакое-то распределение в небольшой области пространства.

Как только наблюдатель измерилкоординату, он больше не знает энергию. Она опять стала неопределенной. Инеопределенной не в смысле, что неизвестно какой именно, а в смысле несуществующей объективно.

Все потому, что операторы координаты и энергии некоммутируют. Если операторы двух величин не коммутируют, то измерение однойприводит к тому, что другая становится неопределенной.

Перестает бытьобъективно существующей, даже если до этого и имела какое-то конкретноезначение.

Наблюдатель может предсказать какбудет меняться волновая функция с течением времени. Для этого надоподействовать на нее оператором эволюции во времени. Таким образом можно узнатькак вероятности будут перераспределяться с течением времени.

Наблюдатель может захотеть опятьизмерить энергию. Но теперь она не обязана опять оказаться равной величинетретьего энергетического уровня. Она не определена и может оказаться любой изнабора разрешенных значений – собственных значений оператора энергии.

 Квантовая механика позволяет найти амплитудывероятностей, того что энергия окажется равной тому или иному энергетическомууровню. Достаточно вычислить скалярные произведения текущей волновой функции ссобственными функциями оператора энергии.

Для непрерывных волновых функций оноопределяется через интеграл, как мы говорили в 43 части.Возведение абсолютного значения получившихся комплексных чисел в квадрат,согласно правилу Борна дает вероятности при измерении получить ту или инуюэнергию.

При реальном измерении реализуетсяодна из возможностей. Скажем наблюдателем измерен четвертый энергетическийуровень.

Тогда волновая функция коллапсирует в четвертую собственную функциюГамильтониана, что отражает изменившиеся знания наблюдателя о системе.

Предполагать, что до измерения энергия уже соответствовала четвертому уровнюнельзя. Иначе мы получим расхождения с экспериментальными данными.

Вообще предположение осуществовании объективных свойств объекта до измерения приводит к расхождению спредсказаниями квантовой механики и экспериментом.

Проще всего это показываетсяна примере квантовой запутанности, многократно обсуждаемой нами ранее. Новообще это свойство самой квантовой механики.

Характеристики любого объекта,даже ни с чем не запутанного в общем случае не определены до измерения.

Если до измерения общая для всехобъективная реальность отсутствует, то не существует и математического объекта,который описывал бы эту реальность. Волновая функция не исключение – она неописывает реальность.

Из квантовой механики нельзя убратьнаблюдателя. Без понятий наблюдение и наблюдатель квантовая механиканевозможна. Квантовая механика субъективна. Все ее предсказания касаютсясубъекта – наблюдателя.

Волновая функция отражает знание наблюдателя о системеи изменения этих знаний при получении новой информации.

Но не надо думать, чтонаблюдателем может быть только человек или что сознание влияет на реальность.

Схожая ситуация появляется и втеории относительности, когда говоря о длинах или интервалах времени необходимопредварительно выбрать систему отсчета. Для одного наблюдателя событие А можетпроизойти до события Б. А для другого наоборот, событие Б наступает перед А.

Однако релятивистские поправкиплавно уменьшаются при переходе к малым скоростям. В квантовой механике коллапспроисходит резко, при получении новых данных наблюдателем. Все другие слагаемыесуперпозиции кроме реализовавшейся сразу становятся нулевыми. Не просто малыми,а именно нулевыми.

Интерференция в двухщелевомэксперименте исчезает если становится доступна информация о том через какую изщелей прошла частица. Макрочастицы сложнее изолировать от окружающей среды, взаимодействиес которой оставляет информацию о реализовавшейся альтернативе. Именно поэтомумакрообъекты при обычных условиях не интерферируют, а не потому, что они неописываются квантовой механикой.

Квантовая механика не делит мир наклассический и квантовый, как многие утверждают. Нет! Мир не может быть наполовинуклассическим, а наполовину квантовым. Все в Природе подчиняется квантовымзаконам, в том числе и макроскопические тела. Именно поэтому даже не имея нанастоящий момент квантовой теории гравитации никто из ученых не сомневается вее существовании.

Смешно выглядят попытки ввести вквантовую механику старые классические понятия типа дополнительных скрытыхпеременных, волны-пилота, бесконечности классических параллельных миров ипрочие ненаблюдаемые в принципе вещи.

Такие попытки напоминают введение в19 веке эфира для объяснения существования электромагнитных волн. Никто никогдане видел этот эфир, но раз есть волна, значит есть и среда в которойраспространяется эта волна. Но Эйнштейн показал, что нет необходимости вводитьэтот никак не проявляющий себя эфир для объяснения результатов экспериментов.

Или как во времена Кеплера когдамногие объясняли движение планет и звезд тем, что их толкают ангелы. Раз телодвижется значит его кто-то толкает, так ведь. Ньютон показал, что нет, не так.Нет необходимости привлечения ненаблюдаемых ангелов для объяснения движенияпланет.

Так же и сейчас. Ну не выглядит рациональнымвведение бесконечности ненаблюдаемых миров только для объяснения эффектов,которые квантовая механика и без них объясняет. В эти ненаблюдаемые миры можнотолько верить. Также как можно верить в Бога. Но такая вера несовместима снаучным методом.

Источник: http://LightCone.ru/%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0-%D0%BB%D0%B8-%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F-%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F/

Booksm
Добавить комментарий