Векторный потенциал и его связь с вектором индукции магнитного поля

Векторный потенциал и его связь с вектором индукции магнитного поля

Векторный потенциал и его связь с вектором индукции магнитного поля

Одно из основных уравнений магнитостатики имеет вид:

Решение этого уравнения может быть определено как:

где вектор $\overrightarrow{A\ }$ называют векторным потенциалом магнитного поля. Из векторного анализа хорошо известно тождество:

Многозначность векторного потенциала

Поле, в котором известен вектор индукции ($\overrightarrow{B}$) может быть описано несколькими векторными потенциалами. Покажем, что если потенциал $\overrightarrow{A\ }$описывает поле с индукцией $\overrightarrow{B}$, то и другой потенциал $\overrightarrow{A'}$, в виде:

при любом $\varkappa$, описывает то же самое поле. Проведем операцию rot уравнения (4), получим:

так как $rot\left(grad\varkappa \right)\equiv 0.$

Многозначность векторного потенциала магнитного поля эквивалентна неоднозначности скалярного потенциала электростатического поля.

Разница состоит в том, что потенциал в электростатике определяется с точностью до произвольной постоянной, тогда как векторный потенциал магнитостатического поля, определятся с точностью до произвольной функции определённого класса.

Произвольность в выборе векторного потенциала показывает, что векторный потенциал имеет вспомогательное значение. Он не может быть измерен в эксперименте.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Калибровка векторного потенциала

В магнитостатике в качестве калибровочного условия для векторного потенциала используют уравнение:

Уравнение (6) называют условием калибровки потенциала.

Уравнение для векторного потенциала

Запишем теорему о циркуляции вектора $\overrightarrow{B}$ в дифференциальной форме:

где $\overrightarrow{j}$ — вектор плотности тока, ${\mu }_0$ — магнитная постоянная. Подставим (2) в уравнение циркуляции (7), получим:

Преобразуем выражение $rotrot\overrightarrow{A}$ согласно известному из векторного анализа соотношению:

$graddiv\overrightarrow{A}=0\ (из\ условия\ калибровки\ (6)\ ),$ следовательно, уравнение (8) приобретет вид:

В координатном представлении уравнение (10) запишется в форме:

В системе уравнений (11) мы получили, что каждая компонента векторного потенциала подчиняется уравнению Пуассона. Следовательно, можно предположить, что решение уравнений (11) можно записать в виде:

где $r$ — радиус вектор, который проведен из элемента тока в точку наблюдения. В векторной форме (12) запишем как:

Для тока в прямолинейном проводнике (линейного тока), можно записать, что векторный потенциал равен:

где $L_i$- контуры токов, $I_i$- силы токов в контурах.

Если найден векторный потенциал, то используя его определение можно отыскать соответствующую ему индукцию магнитного поля. Введение векторного потенциала существенно облегчает изучение магнитного поля постоянных токов.

Пример 1

Задание: Найдите вектор-потенциал магнитного поля, которое создается прямолинейным током проводника длинны L. Сила тока в проводнике I.

Решение:

Пусть начало координат находится в середине, рассматриваемого участка с током (рис.1).

Рис. 1

Магнитное поле прямолинейного проводника с током обладает цилиндрической симметрией, следовательно. Координаты точки в данной плоскости характеризуются расстоянием r от оси Y и координатой y. В качестве основы для решения задачи используем выражение:

\[\overrightarrow{A}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int\limits_L{\frac{I}{r}}d\overrightarrow{l}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\sum\limits_i{I_i}\int\limits_{L_i}{\frac{d\overrightarrow{l}}{r}}\left(1.1\right).\]

Из (1.1) следует, что не равна нулю только компонента $A_ye 0$. ($A_x=0{,A}_z=0$) так как ток течет только по оси Y. В таком случае запишем:

\[{A=A}_y=\frac{\mu_0I}{4 \pi}\int\limits{\frac{L}{2}}_{-\frac{L}{2}}{\frac{dy'}{\sqrt{{\left(y-y'\right)}2+r2}}}=\frac{\mu_0I}{4 \pi}ln\left(\frac{-y+\frac{L}{2}+\sqrt{{\left(y-\frac{L}{2}\right)}2+r2}}{-\left(y+\frac{L}{2}\right)+\sqrt{{\left(y+\frac{L}{2}\right)}2+r2}}\right)(1.2).\]

Для бесконечно длинного проводника векторный магнитный потенциал равен:

\[L\to \infty ;А=\frac{{\mu }_0I}{4\pi }lnr+const.\]

Ответ: A=$\frac{{\mu }_0I}{4\pi }ln\left(\frac{-y+\frac{L}{2}+\sqrt{{\left(y-\frac{L}{2}\right)}2+r2}}{-\left(y+\frac{L}{2}\right)+\sqrt{{\left(y+\frac{L}{2}\right)}2+r2}}\right).$

Пример 2

Задание: Используя результат решения задачи «Пример 1». Найдите индукцию магнитного поля, которое создается прямолинейным током проводника длинны L. Сила тока в проводнике I. (рис.1).

Решение:

Из симметрии магнитного поля данного проводника с током индукцию достаточно вычислить в точках плоскости XY. Будем вычислять ее по формуле:

\[\overrightarrow{B}=rot\overrightarrow{A\ }\left(2.1\right),\]

где из предыдущей задачи имеем:

\[A_y=\frac{\mu_0I}{4 \pi}ln\left(\frac{-y+\frac{L}{2}+\sqrt{{\left(y-\frac{L}{2}\right)}2+r2}}{-\left(y+\frac{L}{2}\right)+\sqrt{{\left(y+\frac{L}{2}\right)}2+r2}}\right)(2.2).\]

Удобнее индукцию, опять таки из соображений симметрии поля, записать в цилиндрических координатах. При этом будем иметь, что не равна нулю только проекция $B_{\varphi }$, где $\varphi $ — угол цилиндрической системы координат. При этом можно записать, что:

\[B_{\varphi }=-\frac{\partial A_y}{\partial r}\left(2.3\right).\]

На рис. 1 на плоскости XY $компонента\ B_{\varphi }$ направлена перпендикулярно плоскости в против оси Z. Подставим (2.2) в (2.3), получим:

\[B_{\varphi }=\frac{{\mu }_0I}{4\pi }\left\{\frac{-y+\frac{L}{2}}{\sqrt{{\left(y-\frac{L}{2}\right)}2+r2}}+\frac{y+\frac{L}{2}}{\sqrt{{\left(y+\frac{L}{2}\right)}2+r2}}\right\}.\]

Для бесконечного прямолинейного проводника имеем:

\[L\to \infty ;\ B_{\varphi }=\frac{{\mu }_0I}{2\pi r}.\]

Ответ: B=$B_{\varphi }=\frac{{\mu }_0I}{4\pi }\left\{\frac{-y+\frac{L}{2}}{\sqrt{{\left(y-\frac{L}{2}\right)}2+r2}}+\frac{y+\frac{L}{2}}{\sqrt{{\left(y+\frac{L}{2}\right)}2+r2}}\right\}.$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/postoyannoe_magnitnoe_pole/vektornyy_potencial_i_ego_svyaz_s_vektorom_indukcii_magnitnogo_polya/

3.7. Векторный потенциал

Векторный потенциал и его связь с вектором индукции магнитного поля

Теорема о циркуляции вектора ,выраженная в дифференциальной форме,ясно показывает, что магнитное полеявляетсявихревымв тех областях,где текут токи, ибезвихревым там,где токов нет.

Поэтому в пространственных областях,где нет токов (),можно ввести, аналогично тому, как этобыло сделано в электростатике, скалярнуюфункцию поля – магнитный потенциал.Тогда векторможет быть представлен в виде градиентамагнитного потенциала:

Однако такое преставление невозможнов тех областях, где текут токи (),поскольку, очевидно, что поле векторатам уже не потенциальное и, следовательно,циркуляция вектораотлична от нуля. В этом случае понятиемагнитного потенциалатеряет смысл.

Действительно, нетрудно показать,что для любой скалярной функции имеет место тождество

,

Тогда, если

,

то

,

с другой стороны

,

откуда ,что лишено смысла.

Вектор ,как и векторявляются силовыми характеристикамимагнитного и электрического полей,причем они позволяют полностью описатьсоответствующие силовые поля.

В то жевремя, как это было замечено вэлектростатике, энергетический подходк взаимодействию электрических зарядовдает возможность иначе взглянуть насамо электрическое поле как физическуюреальность и, что немаловажно, являетсявесьма плодотворным по своим практическимприменениям.

Теперь возникает естественныйвопрос, существует ли принципиальнаявозможность ввести для магнитного полясоответствующую энергетическуюхарактеристику, позволяющую достаточнопросто восстановить само поле вектора,и найти уравнение, решением которогоона бы являлась.

Как показали проведенные вышерассуждения, использование простойаналогии с электростатикой приводит кнеудаче. Поэтому подойдем к решениюэтой задачи с формальной точки зрения.

3.7.1.Векторный потенциал. Неоднозначность,калибровка и градиентная инвариантность.

Ранее для электростатического полямы записали

;

.

Введем для описания электрическогополя скалярную функцию — потенциал.

Для любой скалярной функции всегдаможно ввести ее градиент. Тогда, положив

,

автоматически удовлетворяем условию(потенциальность поля)

,

Действительно, ротор функции тождественно равен нулю:

. (3.7.2)

(функция не может измениться при движении позамкнутому контуру.)

Магнитное поле имеет существенноиной характер, чем электрическое,

и описывается уравнениями

;

.

С другой стороны, по теореме Гаусса

.

Воспользуемся теперь известнымтождеством из векторного анализа:

. (3.7.4)

Это тождество справедливо для любоговектора . Поэтому из (3.7.4) следует, что индукциюмагнитного поляможно представить как ротор векторнойфункции:

. (3.7.5)

Т.о., вектор индукции магнитного поля,представленный выражением (3.7.5)автоматически удовлетворяет уравнению

.

Вектор получил названиевекторного потенциала

Выбор векторного потенциаланеоднозначен. Действительно, есливекторный потенциалописывает поле,тогда и потенциал

, (3.7.6) где- произвольная функция времени икоординат, описывает то же самое поле.

В самом деле, в силу (3.7.2) имеем

(3.7.7)

Преобразование (3.7.6) называют градиентным,а эквивалентность векторови-градиентной инвариантностью.

Неоднозначность определения векторногопотенциаласовершенно аналогична неоднозначностиопределению скалярного потенциалав теории электростатического поля.

Только потенциалопределен с точностью до произвольнойпостоянной, а векторный потенциал- с точностью до произвольной функцииопределенного класса.

Благодаря градиентному преобразованиюна векторный потенциал можно накладыватьдополнительные условия, которые могутбыть удовлетворены подбором скалярнойфункции .

Пример.Однородное магнитноеполе.

Пусть магнитное поле однородно и направлено вдоль осиz,т.е..

Тогда вектор вращается вокруг оси,а векторное уравнение«распадается» на следующие скалярныеуравнения, записанные в осях декартовойсистемы координат:

:,

Имеем три решения (как следствиенеоднозначности определения векторногопотенциала):

(1) ,

(2) ,

(3) ,,,или

Проверим третье решение.

Преобразуем сначала уравнение к виду:

,

подчеркивая тот факт, что поле однородно,т.е. и операторный множительдействует на радиус-вектор.Тогда

.

Раскрывая двойное векторноепроизведение по правилу ,мы руководствовались следующимтребованием:

выполняя операции с векторами,необходимо позаботиться, чтобы операторныймножитель всегда находился впереди техсомножителей, на которые он действуетв исходном выражении.

Вектор вращается вокруг оси:,где– радиус окружности с центром на осиz.

Вычислим циркуляцию вектора ,т.е. интегралпо этой окружности:

.

Т.о., мы получили поток вектора черезкруг радиуса.Этот результат закономерен, т.к.

. (3.7.8)

3.7.2. Уравнение для векторного потенциала.Векторный потенциал токов.

Обратимся снова к уравнениямэлектростатики. Посмотрим теперь, какможно формально получить уравнение дляпотенциала электростатического поля.

Выражая в уравнении

напряженность электрического полячерез потенциал, получаем

— уравнение Пуассона.

Решение этого уравнения мы знаем

.

Будем теперь конструировать уравнение,которому должна

удовлетворять функция векторный потенциал.

Поступим следующим образом. Заменимв уравнении

,

выражающем дифференциальную формутеоремы о циркуляции вектора ,вектор индукции магнитного поля навекторный потенциал поля в соответствиис

:

.

(Использовали правило и учли свойства операторного сомножителя).

Неоднозначность определениявекторного потенциала (калибровочнаяинвариантность) позволяет наложить напотенциал дополнительное условие – произвестикалибровку.

В магнитостатике обычно выбираютусловие:

, (3.7.9)

исходя из того соображения, что полевектора не имеет источников и стоков – его линиизамкнуты.

С учетом калибровки уравнение длявекторного потенциала магнитостатическогополя приобретает вид:

(3.7.10)

Поскольку это векторное уравнение, тоему соответствуют три скалярныхуравнения, записанных в проекциях наоси декартовой системы координат:

(3.7.11)

Каждое из этих трех уравнений формальносоответствует уравнению Пуассона вэлектростатике. Поэтому можно записатьих решения в виде:

,где.

Тогдадля вектора мы получаем следующее выражение,

называемое векторным потенциалом объемных токов:

(3.7.12)

Векторный потенциал линейныхтоковопределяется, соответственно,уравнением:

(3.7.13)

Убедимся, что векторный потенциал токовудовлетворяет условию калибровки :

,

т.к. на поверхности проводников .

Здесь оператор «градиент» осуществляетдифференцирование по точкам наблюдения:

Что же получается для вектора?

— закон Био-Савара.

О физическом смысле векторногопотенциала.

В классической физике векторныйпотенциал обычно рассматривается как вспомогательнаяфункция, не имеющая физического смысла,т.е.не наблюдаемая и не измеряемая.Такая интерпретация восходит к работамХевисайда и Герца, рассматривавшихэлектромагнитное поле довольно формальнои интересовавшихся больше методамирасчетов, чем физическими свойствамивекторного потенциала.

Однако Максвелл вводил векторныйпотенциал как величину, пропорциональнуюимпульсу (количеству движения) сгусткаэлектромагнитного поля, сопровождающегодвижущийся электрический заряд.

В середине ,теперь уже прошлого, века Ааронов и Бомпредсказали интересный эффект, позжеобнаруженный экспериментально:вобласти пространства, где индукциямагнитного поля равна нулю (),изменение векторного потенциалавлияет на движение электронов, поскольку влечет за собой изменение импульсасгустка электромагнитного поля,сопровождающего электрон.

Качественная иллюстрация этогоэффекта приведена на рисунке.

В отсутствие тока в катушке электронныеволны (мы исходим из того, что электроны,наряду с корпускулярными, обладаютволновыми свойствами – т.н.корпускулярно-волновой дуализм), огибаясоленоид (в детали не будем вдаваться),создают на экране некоторую интерференционнуюкартину.

При включении тока в соленоидеиндукция магнитного поля отлична от нуля и терпит на границесоленоида конечный скачок, обращаясьв нуль().

При этом векторный потенциал, связанныйс индукцией магнитного поля соотношением,может не обращаться в нуль, а приниматьнекоторое постоянное значение,т.е. зависимостьвсего лишь меняет наклон. Т.о.

, векторныйпотенциал, вообще говоря, отличен отнуля как внутри, так и вне соленоида,т.е. там, где индукция магнитного поляобращается в нуль. Приведенные на рисункезависимостииявляются довольно грубыми, т.к.

неучитывают некоторых деталей, но даютправильное качественное представление,- радиус соленоида.

В эксперименте было обнаружено, чтопри появлении в соленоиде токаинтерференционная картина сдвигается,хотяэлектроны по- прежнему движутсяв области, где индукция магнитного поляравна нулю.

Это можно объяснить следующимобразом: изменение векторного потенциалав пространстве, окружающем соленоид,меняет фазы электронных волн, что иприводит к изменению наблюдаемой наэкране интерференционной картины.

Следовательно, по изменениюинтерференционной картиныможноопределить изменение векторногопотенциала. Т.о.,изменение векторногопотенциала магнитного поля оказываетсянаблюдаемой, измеряемой физическойвеличиной.

Отметим, что строгое объяснениеэффекта Ааронова – Бома возможно толькопри учете квантовых законов, описывающихдвижение электронов в магнитном поле.

3.7.3. Векторный потенциал и магнитноеполе витка с током.

Используем векторный потенциал прямоготока для вычисления магнитного потенциалаи индукции магнитного поля, создаваемоговитком с током.

(*) (в СИ:).

Пусть ,т.е. будем рассматривать случай, когдарасстояние от

контура до интересующей нас точки многобольше размеров самого

контура (поле, создаваемое малым контуромна больших расстояниях).

Разложим знаменатель выражения (*) вряд:

и ограничимся его первыми двумя членами.Подставляя теперь в (*), имеем

.

Первое слагаемое обращается в нуль:

.

Разберемся со вторым слагаемым:

.

Пусть для простоты начало координатлежит внутри контура, а оси (,)- в плоскости контура, т.е.

и;

.

Понятно, что “перекрестные” членыскалярного произведения ортогональныхвекторов обращаются в нуль, а лежащийв плоскости контура вектор

,

тогда

,

Считаем отдельно:

;

В первом интеграле знак “ – ” обусловлентем, что там, где.площадьконтура, причем индексподчеркивает тот факт, что плоскостьконтура перпендикулярна оси.

Итак, для компонент векторногопотенциала имеем

В общем случае для векторного потенциаламалого витка с током можно записать

, (в СИ:)

где мы ввели магнитный моментвиткас током:

. (в СИ:)

Заметим, что уравнение для векторногопотенциала витка с током можно получитьпрямо из выражения ,

если воспользоваться известным векторнымтождеством для произвольного вектора,проводя интегрирование по контуруплощадью:

.

Отсюда сразу получаем

.

Сосчитаем теперь магнитноеполе витка с током:

.

Первое слагаемое равно нулю, т.к., какбыло показано в электростатике, .

Напомним

.

Для второго слагаемого, определяющегополе витка, получаем

.

Итак, выражение, описывающее магнитноеполе ,созданное витком с током, по форме вточности совпадает с выражением длянапряженности электрического поляэлектрического диполя:

.

Источник: https://studfile.net/preview/3160295/page:5/

Booksm
Добавить комментарий