Вектор Умова-Пойнтинга

Вектор Умова-Пойнтинга

Вектор Умова-Пойнтинга

Определение 1

Вектор потока электромагнитной энергии, определяемый как:

\[\overrightarrow{P}=\left[\overrightarrow{E}\overrightarrow{H}\right](1)\]

называют вектором Умова — Пойнтинга (вектором Пойнтинга). Понятие вектора как потока энергии в разных веществах было введено Н.А. Умовым, а математическое выражение (1) получено Пойнтингом.

В электромагнитной волне векторы $\overrightarrow{E\ }\ и\ \overrightarrow{H}$ перпендикулярны, следовательно, модуль вектора $\overrightarrow{P}$ имеет выражение:

Направление вектора Умова — Пойнтинга перпендикулярно к векторам $\overrightarrow{E\ }и\ \overrightarrow{H}$, и со направленно с направлением распространения волны ($\overrightarrow{v}$).

Для плоской электромагнитной волны выражение для модуля вектора Умова — Пойнтинга имеет вид:

так как:

и между мгновенными значениями напряженности магнитного и электрического полей в электромагнитной волне существует соотношение:

откуда выражая напряженность магнитного поля, получаем:

Модуль вектора Умова — Пойнтинга можно выразить как:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

В диэлектрике объемная плотность электромагнитного поля равна:

Следовательно, сравнивая равенства (6) и (7), имеем:

В уравнения (2) -(8) входят мгновенные значения величин.

Векторы в световой волне совершают колебания с частотами около ${10}{15}Гц$, следовательно, весьма затруднительно следить за изменением величин во времени.

Поэтому обращаются к средним значениям, переходя от мгновенных величин. Если электромагнитная волна является плоской, то среднее значение по времени вектора Умова — Пойнтинга равно:

Вектор Умова — Пойнтинга связан с энергией, которую несет электромагнитная волна соотношением:

где $\frac{\partial W}{\partial t}$ — энергия, проходящая через площадку $S$ в единицу времени, $P_n=Pcos\alpha $ — проекция вектора $\overrightarrow{P}$ на нормаль $\overrightarrow{n}$ к площадке $S$. Направление вектора Умова — Пойнтинга дает характеристику движения энергии в электромагнитном поле.

Определение 2

Если представить линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлениями вектора $\overrightarrow{P}$, то такие линии есть пути распространения энергии электромагнитного поля. В оптике подобные линии называют лучами.

Теорема Пойнтинга

Теорема 1

Для теории электромагнитных полей формулировки законов сохранения энергии и импульса имеет весьма важное значение.

Теорема Пойнтинга — один из видов формулировок закона сохранения энергии: Скорость возрастания электромагнитной энергии внутри некоторого объема в сумме с энергией, которая вытекает за единицу времени через поверхность, ограничивающую тот же объем, равна полной работе, которую совершает поле над источниками внутри заданного объема, если взять ее со знаком минус.

Поясним данную формулировку. Выделим внутри некоторой среды объем $V$, который ограничивает поверхность $S$ (рис.1). Допустим, что полная энергия, которая заключена внутри объема, равна $W$. Тогда можно записать:

где $P_n$ — нормальная составляющая вектора Умова — Пойнтинга. Интегрирование в (4) производят по всей замкнутой поверхности $S$.

Положительным считают направление внешней нормали $\overrightarrow{n}$, что означает поток вектора $\overrightarrow{P}$ (выражение, которое стоит в формуле (4) в правой части) считают большим нуля, если линии потока энергии $\overrightarrow{P}$ выводят наружу из объема.

Рисунок 1.

При этом $-\frac{\partial W}{\partial t}$- величина, на которую уменьшатся, полная энергия внутри объема $V$ за единицу времени. По закону сохранения энергии она должна быть равна энергии, которая выходит через поверхность $S$ за единицу времени наружу. Следовательно, энергия, покидающая объем $V$ через поверхность $S$, выражена потоком вектора Умова — Пойнтинга.

Пример 1

Задание: Напишите выражение для вектора Умова — Пойнтинга, если энергию переносит волна, уравнение изменения вектора напряженности электрического поля которой задано как: $\overrightarrow{E}=10cos\left(\omega t-kx+\alpha \right)\overrightarrow{_z\ }(\frac{В}{м}).$ Учесть, что амплитуда вектора напряженности магнитного поля имеет вид: $H_m\overrightarrow{e_x}$, частота волны $\omega \ при\ ней\ \varepsilon =2,\ \mu \approx 1\ .$

Решение:

За основу решения задачи, примем определение вектора Умова — Пойнтинга:

\[\overrightarrow{P}=\left[\overrightarrow{E}\overrightarrow{H}\right]\left(1.1\right).\]

Из условий видим, что колебания вектора напряженности электрического поля происходят по $оси Z$, колебания вектора напряженности магнитного поля по $оси X$, следовательно, вектор Умова — Пойнтинга колеблется по $оси Y$.

Модуль искомого вектора можно найти как:

\[P=EH\left(1.2\right).\]

Найдем амплитуду вектора $\overrightarrow{H}$, если знаем, что амплитудные значения в нашем случае связаны соотношением:

\[\sqrt{\varepsilon {\varepsilon }_0}E_m=\sqrt{\mu {\mu }_0}H_m\left(1.3\right).\]

Выразим из (1.3) искомую амплитуду $H_m$, имеем:

\[H_m=\sqrt{\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0}{\mu {\mu }_0}}E_m\left(1.4\right).\]

При этом уравнение колебаний вектора напряженности запишем в виде:

\[\overrightarrow{H}=\sqrt{\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0}{\mu {\mu }_0}}E_mcos\left(\omega t-kx+\alpha \right)\overrightarrow{e_x\ }\left(1.5\right).\]

Используя уравнения (1.1), (1.5) и уравнение колебаний вектора напряжённости электрического поля из условий задачи, запишем выражение для вектора Умова — Пойнтинга:

\[P=\sqrt{\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0}{\mu {\mu }_0}}{E_m}2c{os}2\left(\omega t-kx+\alpha \right)\left(1.6\right),\]

где $\varepsilon =2,\ \mu =1,\ {\varepsilon }_0=\frac{1}{4\pi \cdot 9\cdot {10}9}\frac{Ф}{м},\ {\mu }_0=4\pi \cdot {10}{-7}\frac{Н}{А2}$, следовательно:

\[{E_m}2\sqrt{\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0}{\mu {\mu }_0}}=100\cdot \sqrt{\frac{2}{4\pi \cdot {10}{-7}\cdot 4\pi \cdot 9\cdot {10}9}}=0,37.\]

Ответ: $\overrightarrow{P}=\sqrt{\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0}{\mu {\mu }_0}}{E_m}2c{os}2\left(\omega t-kx+\alpha \right)\overrightarrow{e_y}.$

Пример 2

Задание: Плоский конденсатор, имеющий круглые обкладки заряжен постоянным током за время $t_0$ до напряжения $U$. Расстояние между пластинами конденсатора равно $d$.

Запишите выражение для вектора Умова — Пойнтинга для точек воображаемой цилиндрической поверхности радиуса $r$, которая находится между обкладками конденсатора.

Считайте, что радиус пластин конденсатора много больше, чем радиус воображаемого цилиндра.

Рисунок 2.

Решение:

За основу решения задачи, примем определение вектора Умова — Пойнтинга:

\[\overrightarrow{P}=\left[\overrightarrow{E}\overrightarrow{H}\right]\to P=EH\left(2.1\right).\]

Переменное электрическое поле, возникающее в результате разрядки конденсатора, вызывает переменное магнитное поле. Запишем уравнение из системы Максвелла, учитывая, что между обкладками конденсатора токов проводимости нет:

\[rot\overrightarrow{H}=\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}\left(2.2\right).\]

и материальное уравнение:

\[\overrightarrow{D}=\varepsilon {\varepsilon }_0\overrightarrow{E}={\varepsilon }_0\frac{U}{d}\frac{t}{t_0}\overrightarrow{e_z}\left(2.3\right).\]

Возьмем производную от $\overrightarrow{D}$ по времени:

\[\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}=\varepsilon_0\frac{U}{d}\frac{1}{t_0}\overrightarrow{e_z}=rot\overrightarrow{H}\left(2.4\right).\]

Возьмём интеграл от $rot\overrightarrow{H}$ по поверхности цилиндра радиуса $r$, применим теорему Стокса:

\[\int\limits_S{rot\overrightarrow{H}d\overrightarrow{S}}=\int\limits_S{\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}d\overrightarrow{S}}=\oint\limits_L{\overrightarrow{H}d\overrightarrow{l}\left(2.5\right),}\]

где

\[\oint\limits_L{\overrightarrow{H}d\overrightarrow{l}=2\pi rH\left(2.6\right),}\] \[\int\limits_S{\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}d\overrightarrow{S}}=\varepsilon_0\frac{U}{d}\frac{1}{t_0}\pi r2\left(2.7\right).\]

Приравняем правые части выражений (2.6), (2.7), согласно тому, что выполняется (2.5):

\[2\pi rH=\varepsilon_0\frac{U}{d}\frac{1}{t_0}\pi r2\to H=\frac{\varepsilon_0U}{2d}\frac{r}{t_0}\left(2.8\right).\]

Найдем модуль вектора Умова — Пойнтинга согласно выражениям (2.1) и (2.8):

\[P=\frac{U}{d}\frac{t}{t_0}\cdot \frac{{\varepsilon }_0U}{2d}\frac{r}{t_0}=\frac{{\varepsilon }_0r}{2}\frac{U2}{d2}\frac{t}{{t_0}2}.\]

Ответ: $P=\frac{\varepsilon_0r}{2}\frac{U2}{d2}\frac{t}{{t_0}2}.$

Пример 3

Задание: Плоская электромагнитная волна распространяется в вакууме по $оси X$. Чему равна средняя энергия, которая проходит через единицу поверхности в единицу времени?

Решение:

сли мы имеем плоскую электромагнитную волну, то модули напряженности полей $\overrightarrow{E}\ $и $\overrightarrow{H}$ в произвольной точке $x$ могут быть выражены как:

\[E=E_0{sin \left(\omega t-kx\right)\ }\left(1.1\right),\] \[H=H_0{sin \left(\omega t-kx\right)\ }\left(1.2\right),\]

где $k=\frac{2\pi }{\lambda }$. Следовательно, мгновенное значение вектора $\overrightarrow{P}$ можно записать в виде:

\[P=E_0{H_0{sin}2 \left(\omega t-kx\right)\ }\left(1.3\right).\]

По условию задачи волна распространяется в вакууме, следовательно, $\varepsilon =1,\ \mu =1\ $, имеем следующее соотношение между амплитудами полей:

\[\sqrt{{\varepsilon }_0}E_0=\sqrt{{\mu }_0}H_0\left(1.4\right).\]

Кроме того, известно, что среднее значение $\left\langle {sin}2\alpha \right\rangle =\frac{1}{2},$ тогда используем (1.3), (1.4) получаем среднее значение вектора Умова — Пойнтинга ($\left\langle P\right\rangle $) равно:

\[\left\langle P\right\rangle =\sqrt{\frac{{\varepsilon }_0}{{\mu }_0}}\frac{E2_0}{2}.\]

Ответ: Средняя энергия, которая проходит через единицу поверхности за единицу времени (интенсивность волны), равна $\left\langle P\right\rangle =\sqrt{\frac{{\varepsilon }_0}{{\mu }_0}}\frac{E2_0}{2}.$

Пример 4

Задание: Вычислите среднее значение вектора Умова — Пойнтинга в стоячей волне.

Решение:

Колебания электрического и магнитного полей можно представить в стоячей волне с использованием следующих гармонических законов:

\[E=2E_0{cos \left(kx-\frac{{\varphi }_E}{2}\right)\ }{sin \left(\omega t-\frac{{\varphi }_E}{2}\right)\ }\left(2.1\right),\] \[H=2H_0{cos \left(kx-\frac{{\varphi }_H}{2}\right)\ }{sin \left(\omega t-\frac{{\varphi }_H}{2}\right)\ }\left(2.2\right),\]

где ${\varphi }_E,\ \varphi_H$- запаздывание по фазе отраженной волны соответствующего поля, то есть:

\[{\varphi }_E=2\pi \frac{2l}{\lambda }+\theta (2.3),\] \[{\varphi }_H=2\pi \frac{2l}{\lambda }+ \vartheta(2.4),\]

здесь $\theta ,\vartheta $ — изменение фазы при отражении, они равны или $\pi ,\ $или 0. $l-$длина линии (если рассматривается свободная волна, то это расстояние от излучателя до поверхности отражения). Обозначим:

\[2E_0{cos \left(kx-\frac{{\varphi }_E}{2}\right)\ }=E_1\left(2.5\right),\] \[2H_0{cos \left(kx-\frac{{\varphi }_H}{2}\right)\ }=H_1\left(2.6\right),\]

тогда колебания, исходя из (2.1) и (2.2) в точке $x$ можно записать как:

\[E=E_1{sin \left(\omega t-\frac{{\varphi }_E}{2}\right)\ }\left(2.7\right),\] \[H=H_1{sin \left(\omega t-\frac{{\varphi }_H}{2}\right)\ }\left(2.8\right),\]

при этом очевидно, что $E_1$ и $H_1$ не зависят от времени. Допустим, что $\theta =\pi $, тогда:

\[E=E_1{cos \left(\omega t-\frac{2\pi }{\lambda }l\right)\ }\left(2.9\right),\] \[H=H_1{sin \left(\omega t-\frac{2\pi }{\lambda }l\right)\ }\left(2.10\right).\]

Исходя из (2.9) и (2.10), для вектора Умова — Пойнтинга получим:

\[P=E_1{cos \left(\omega t-\frac{2\pi }{\lambda }l\right)H_1{sin \left(\omega t-\frac{2\pi }{\lambda }l\right)\ }=\frac{E_1H_1}{2}\ }{sin \left(2\omega t-\frac{4\pi l}{\lambda }\right)\ }\left(2.11\right).\]

Из формулы (2.11) следует, что колебания модуля вектора $\overrightarrow{P}$ происходят с частотой $2\omega $, при этом периодически изменяется знак. Следовательно, среднее значение вектора по времени равно $0$ ($\left\langle P\right\rangle =0$).

Ответ: В стоячей волне течения энергии нет, $\left\langle P\right\rangle =0$.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/optika/vektor_umova-poyntinga/

Энергия и импульс электромагнитного поля

Вектор Умова-Пойнтинга

      Мы уже много раз показывали, что электромагнитное поле обладает энергией. Значит, распространение электромагнитных волн связано с переносом энергии (подобно тому, как распространение упругих волн в веществе связано с переносом механической энергии). Сама возможность обнаружения ЭМВ указывает на то, что они переносят энергию.

      Для характеристики переносимой волной энергии русским ученым Н.А. Умовым были введены понятия о скорости и направлении движения энергии, о потоке энергии. Спустя десять лет после этого, в 1884 г., английский ученый Джон Пойнтинг описал процесс переноса энергии с помощью вектора плотности потока энергии.

      Введем вектор  — приращение плотности электромагнитной энергии, где сама величина w определяется интегралом:

.

      Объемная плотность энергии w электромагнитной волны складывается из объемных плотностей  и  электрического и магнитного полей:

.

      Учитывая, что , получим, что плотность энергии электрического и магнитного полей в каждый момент времени одинакова, т.е. . Поэтому

.

      Умножив плотность энергии w на скорость υ распространения волны в среде, получим модуль плотности потока энергии поток энергии через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны в единицу времени:

. (6.4.1)

      Так как векторы  и  взаимно перпендикулярны и образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему, то направление вектора [ ] совпадает с направлением переноса энергии, а модуль этого вектора равен EH (рис. 6.8).

Рис. 6.8

      Вектор плотности потока электромагнитной энергии называется вектором Умова–Пойнтинга:

. (6.4.2)

      Векторнаправлен в сторону распространения электромагнитной волны, а его модуль равен энергии, переносимой электромагнитной волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.

      В сферической электромагнитной волне, излучаемой ускоренно двигающимися зарядами, векторы  направлены по параллелям, векторы  — по меридианам, а поток энергии  — по нормали  (рис. 6.9).

Рис. 6.9

      Векторы Умова–Пойнтинга зависят от пространства и времени, так как от них зависят модули векторов напряженности электрического и магнитного полей. Поэтому часто пользуются параметром, называемым интенсивностью – модуль среднего значения вектора Умова–Пойнтинга:

. (6.4.3)

      Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды:

. (6.4.4)

      Зависимость интенсивности излучения от направления называют диаграммой направленности. Такая диаграмма для линейного излучателя показана на рис. 6.10.

Рис. 6.10

      Как доказал Герц, диполь сильнее всего излучает в направлении перпендикулярном по отношению к собственному направлению.

      Ускоренно двигающиеся заряды излучают электромагнитную энергию в окружающее пространство. Вектор  направлен вдоль радиуса  и убывает обратно пропорционально r2. Излучение максимально в направлении, перпендикулярном вектору , и отсутствует вдоль этого вектора. Поэтому диаграмма направленности диполя имеет вид двух симметричных лепестков, как показано на рис. 6.10.

Давление света

      Если электромагнитные волны поглощаются или отражаются телами (эти явления подтверждены опытами Герца), то из теории Максвелла следует, что электромагнитные волны должны оказывать на тела давление.

Давление ЭМВ объясняется тем, что под действием электрического поля волны заряженные частицы вещества начинают упорядоченно двигаться и подвергаются со стороны магнитного поля действию силы.

Однако, значение этого давления ничтожно мало.

      Давление света и электромагнитный импульс настолько малы, что непосредственное их измерение затруднительно.

Так, зеркало, расположенное на расстоянии 1 м от источника света в миллион свечей (кандел), испытывает давление 10-7 Н/м2.

Давление излучения Солнца на поверхность Земли равно 4,3×10-6 Н/м2, а общее давление излучения Солнца на Землю равно 6×108 Н, что в 1013 раз меньше силы притяжения Солнца.

      Световое давление было впервые обнаружено и измерено в 1899 г. в Москве русским ученым П.Н. Лебедевым (1866-1912). Его результаты, как и более точные измерения последующих исследователей, согласуются с теорией в пределах ошибок опыта — до 2 %.

Рис. 6.11

      На рис. 6.11 изображен прибор, с помощью которого было измерено давление света, – радиометр. Свет, отраженный посеребренной поверхностью каждой лопасти 2, 3, передает вдвое больший импульс по сравнению со светом, поглощенным зачерненной поверхностью 1, 4. Вследствие этого лопасти начинают вращаться по часовой стрелке.

      Давление света можно рассчитать по формуле:

,

      где J– интенсивность света, K – коэффициент отражения.

      Опыты Лебедева имели огромное значение для утверждения выводов теории Максвелла о том, что свет представляет собой ЭМВ.

      Давление света играет существенную роль в двух противоположных по масштабу областях явлений.

      Так, например, гравитационное притяжение верхних слоев звезд к центру в значительной мере уравновешивается силой давления светового потока, идущего от центра звезды наружу.

В атомных процессах существенной является отдача, испытываемая возбужденным атомом при излучении им света в силу малости массы атома.

Световое давление может создавать ускорение атомов до , где g – ускорение свободного падения.

      Впервые гипотеза о световом давлении была высказана в 1619 г. немецким ученым И. Кеплером (1571-1630) для объяснения отклонения хвостов комет, пролетающих вблизи Солнца (рис. 6.12).

Рис. 6.12

      Возможными областями физического применения светового давления могут служить процессы разделения смеси изотопов газов, ускорение микрочастиц и создание условий для протекания управляемой термоядерной реакции.

Электромагнитная масса и импульс

      Существование давления ЭМВ приводит к выводу о том, что электромагнитному полю присущ механический импульс.

      Выражая импульс как  (поле в вакууме распространяется со скоростью света с), получим

,

      отсюда

. (6.4.5)

      Это соотношение между массой и энергией ЭМП является универсальным законом природы, справедливым для любых тел независимо от их внутреннего строения.

      Импульс электромагнитного поля, связанного с движущейся частицей, – электромагнитный импульс – оказался пропорциональным скорости частицы υ, что имеет место и в выражении для обычного импульса mυ, где m – инертная масса заряженной частицы. Поэтому коэффициент пропорциональности в полученном выражении для импульса  называют электромагнитной массой:

, (6.4.6)

      где е – заряд движущейся частицы, а – ее радиус.

      И даже если тело не обладает никакой иной массой, оказывается, что между импульсом и скоростью заряженной частицы существует соотношение:

. (6.4.6)

      Это соотношение как бы раскрывает происхождение массы – это электродинамический эффект. Движение заряженной частицы сопровождается возникновением магнитного поля.

Магнитное поле сообщает телу дополнительную инертность – при ускорении затрачивается работа на создание магнитного поля, при торможении –работа против затормаживающих сил индукционного происхождения.

По отношению к движущемуся заряду электромагнитное поле является средой, неотделимой от заряда.

      В общем случае можно записать, что полный импульс равен сумме механического и электромагнитного импульсов; возможно, что другие поля вносят и иные вклады в полную массу частицы, но, определенно, в полной массе есть электромагнитная часть:

, .

      Если учесть релятивистские эффекты сокращения длины и преобразования электрических и магнитных полей, то для электромагнитного импульса получается также релятивистски  инвариантная формула:

. (6.4.7)

      Таким же образом изменяется релятивистский механический импульс.

Источник: http://ens.tpu.ru/posobie_fis_kusn/%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B1%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%B8%20%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8B.%20%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F%20%D0%B8%20%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F%20%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/06-4.htm

Вектор Умова-Пойнтинга. Излучение диполя

Вектор Умова-Пойнтинга

Первые опыты с электромагнитными волнами в радиодиапазоне были осуществлены Г. Герцем в 1888 г. С помощью изобретенного им вибратора Герц получил направленные плоские волны длиной от 0,6 до 10 м.

Он установил, что скорость распространения этих волн близка к скорости световых волн, а также доказал их поперечность. В 1896 г. А.С. Попов впервые передал на расстояние (~250 м) сообщение с помощью электромагнитных волн. Это были слова: «Генрих Герц«.

Тем самым было положено начало радиотехнике.

Энергия электромагнитных волн. Ранее были получены выражения для плотности энергии электрического (134) и магнитного полей по отдельности (151). Когда оба поля существуют одновременно, плотность энергии такого электромагнитного поля равна сумме энергий электрической и магнитной составляющих

. (169)

Поскольку в электромагнитной волне фазы Е и Н совпадают, следовательно, для любых значений Е и Н, взятых в один момент времени, ee0Е2=mm0Н2. Значит, плотности энергий электрической и магнитной составляющих одинаковы

, (170)

где v — скорость волны. Покажем, что v — это также скорость распространения электромагнитной энергии.

Введем вектор S, направленный вдоль скорости v, величина которого определяет энергию, переносимую волной в единицу времени через единичную площадку s, перпендикулярную v (рис.51),

.

Мы умножили числитель и знаменатель дроби на Dх, чтобы выделить w. Последнее верно и в векторной форме (так как векторы Е, Н и v — взаимно перпендикулярны и образуют правовинтовую систему)

S = [E´H]. (171)

Вектор S называется вектором Умова-Пойнтинга и представляет собой плотность потока электромагнитной энергии

. (172)

Излучение диполя. Простейшей системой, излучающей электромагнитные волны, является колеблющийся электрический диполь (рис.52).

Свяжем систему отсчета с положительным зарядом диполя, тогда положение отрицательного заряда будет определяться радиус-вектором r. Пусть дипольный момент этой системы изменяется по закону

p= —qr = —qlercos wt = pm cos wt,

где l — амплитуда колебаний (длина диполя); er — единичный вектор вдоль r; pm=-qler.

Рассмотрим излучение малого по сравнению с длиной волны диполя(ll . Расчет показывает, что если такая волна распространяется в однородной изотропной среде, то ее фронт будет сферическим (рис.53), а амплитуда по мере роста r постепенно убывает.

При этом vS) совпадает с направлениемr, а Е и Н перпендикулярны v, образуя правовинтовую систему. В каждой точке векторы Е и Н колеблются по закону cos(wtkr).

Амплитуды Еm и Нm зависят от угла J и убывают обратно пропорционально r

. (173)

Среднее значение плотности потока энергии ~ЕmНm, поэтому

. (174)

Максимальную энергию диполь излучает в направлении, перпендикулярном своей оси (J =p/2), а вдоль оси (J = 0; p) — не излучает вообще.

Расчет показывает, что мощность излучения диполя N пропорциональна квадрату второй производной дипольного момента по времени

N ~ ( )2 = .

Усредняя по времени, получаем среднюю мощность

. (175)

Таким образом, средняя мощность излучения диполя пропорциональна квадрату амплитуды дипольного момента и четвертой степени частоты.

Например, для частоты переменного тока 50 Гц, считая, что амплитуда дипольного момента имеет порядок величины pm~10-27 Кл×м (как у типичных полярных молекул), получим, что один грамм вещества излучает ~10-25Вт! Обычно такие потери для линий электропередач можно считать незначительными по сравнению с тепловыми потерями.

Так как р=-qr (по определению дипольного момента), то

. (176)

Таким образом, средняя мощность излучения пропорциональна квадрату ускорения заряженной частицы. Расчеты показывают, что это верно не только для колебательного, но и для любого движения зарядов, а именно: всякий заряд, движущийся с ускорением, излучает электромагнитные волны, причем мощность этого излучения пропорциональна квадрату его ускорения.

Например, электроны, ускоренные в бетатроне (см. лекцию 8), излучают электромагнитные волны за счет центростремительного ускорения =v2/R, теряя при этом мощность ~v4. Поэтому возможное ускорение электронов ограничено пределом ~500 МэВ , когда потери на излучение становятся равными энергии, сообщаемой электронам вихревым электрическим полем.

В соответствии с выражением (176), заряд, движущийся без ускорения, не излучает энергии. В частности, электрон, движущийся с постоянной скоростью, не излучает электромагнитных волн. Однако в 1934 г. С.А. Вавиловым и П. А.Черенковым было обнаружено, что это правило нарушается для электрона, движущегося со скоростью, большей скорости света в данной среде .

Электрические колебания. Заряд, совершающий гармонические колебания, излучает монохроматическую волну с частотой, равной частоте колебаний заряда. Электрические колебания могут возникать в колебательном контуре – цепи, содержащей индуктивность и емкость (рис.55).

Если повернуть ключ K в положение 1, то конденсатор зарядится до напряжения, равного величине эдс источника. Замкнем ключ в положение 2. В начальный момент (t=0) вся энергия будет сосредоточена в электрическом поле конденсатора (ситуация 1 на рис.56).

Конденсатор начнет разряжаться, через катушку L потечет ток, и электрическая энергия конденсатора начнет преобразовываться в энергию магнитного поля катушки. Когда конденсатор полностью разрядится (рис.56,2), ток в цепи достигнет максимума. Затем ток начнет убывать, не меняя направления, причем постепенно, так как его будет поддерживать эдс самоиндукции.

Этот ток будет перезаряжать конденсатор, возникнет электрическое поле противоположного направления по сравнению с начальным, так как теперь положительно будет заряжена нижняя пластина. Это поле будет стремиться ослабить ток, который прекратится в момент, когда заряд на конденсаторе достигнет максимума (Рис.56,3).

После этого конденсатор опять начнет разряжаться, ток потечет в обратном направлении (Рис.56,4), после чего возникнет состояние, идентичное исходному (Рис.56,5). Далее процесс будет повторяться. Так возникают периодические колебания (заряда на обкладках конденсатора, напряжения на конденсаторе и тока через катушку).

Найдем дифференциальное уравнение колебаний в контуре, содержащем емкость С, индуктивность L, активное сопротивление R и источник переменной эдс e (рис.57).

Будем считать положительным направление обхода контура по часовой стрелке. Пусть q — заряд верхней обкладки (тогда знаки тока и заряда совпадают).

В соответствии с законом Ома для участка цепи 1®R®L®2

RI = j1 — j2 + es + e,

где es — эдс самоиндукции es=-L×dI/dt=-L×d2q/dt2; j2j1=q/C (так как для q>0 должно быть j2>j1). Следовательно,

. (177)

Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Ему можно придать канонический вид

, (178)

если ввести обозначения 2b = R/L, w = 1/LC. Здесь имеется полная аналогия с механическими затухающими колебаниями, где w0 — собственная частота, b — коэффициент затухания. Если e=0, то такие колебания называются свободными.

Свободные незатухающие колебания. Это — частный случай уравнения (178) при e=0 и R=0

. (179)

Решение этого уравнения рассматривалось в механике

q = qm cos(wot + a). (180)

Величины qm и a определяются начальными условиями. Поскольку =(LC)-1, собственная частота определяется только свойствами контура. Отсюда легко получить выражение для То (То=2p/wо) — собственного периода колебаний, называемое формулой Томпсона

. (181)

Дифференцируя выражение (180) по времени, можно найти ток

I = dq/dt = -qm wosin(wot + a). (182)

Так как функция sin сдвинута относительно cos на p/2, ток в контуре опережает заряд по фазе на p/2 (и напряжение U=q/C, которое меняется в одной фазе с зарядом на конденсаторе).

Свободные затухающие колебания. Реальный контур всегда обладает некоторым активным сопротивлением, которое нагревается при прохождении тока. Переход части электромагнитной энергии в тепловую необратим, поэтому энергия колебаний будет уменьшаться со временем. Положив в (178) e=0, получим однородное дифференциальное уравнение

. (183)

Нетрудно убедиться, что решение этого уравнения (при b2

Источник: https://helpiks.org/4-82921.html

Booksm
Добавить комментарий