Уравнения Максвелла

Содержание
  1. Уравнения Максвелла
  2. Система уравнений Максвелла
  3. Полная система уравнений Максвелла в интегральном виде
  4. Примеры решения задач
  5. Нужно ли проходить в школе уравнения Максвелла?
  6. Почему же школьная физика не начинается с уравнений Максвелла?
  7. Особенно это становится заметно при изучении такой темы, как электромагнитные волны
  8. Так что же такое уравнения Максвелла?
  9. Быть может, они не совсем понятны школьникам?
  10. Поток напряженности электрического поляЕсквозь любую замкнутую поверхность = Заряд внутри этой поверхности / (Эпсилон-ноль)
  11. Циркуляция вектора напряженности Е по замкнутому контуру = Производной по времени от потока вектора магнитного поля В сквозь замкнутую поверхность, ограниченную этим контуром
  12. Поток вектора магнитного поля В сквозь любую замкнутую поверхность = 0
  13. Циркуляция вектора В по замкнутому контуру = Электрический ток сквозь поверхность, ограниченную этим контуром/ (квадрат скорости света * Эпсилон-ноль) + Производная по времени от потока вектораЕсквозь поверхность, ограниченную этим контуром/ (квадрат скорости света)
  14. Как проще и полезнее представить себе электрические и магнитные поля?
  15. Теперь разберемся со вторым и четвертым уравнениями
  16. Максвелла уравнения — Большая советская энциклопедия

Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла

Система уравнений Максвелла является обобщением основных законов об электрических и электромагнитных явлениях. Она описывает абсолютно все электромагнитные явления.

Являясь основой теории электромагнитного поля, эта система уравнений позволяет решать задачи, связанные с отысканием электрических и магнитных полей, создаваемых заданным распределением электрических зарядов и токов. Уравнения Максвелла были отправной точкой для создания общей теории относительности Эйнштейна.

В теории Максвелла раскрывается электромагнитная природа света. Уравнения сформулированы Дж. Максвеллом в шестидесятых годах 19 века на основе обобщения эмпирических законов и развития идей ученых, исследовавших электромагнитные явления до него (Законы Кулона, Био – Савара, Ампера и, в особенности, исследования Фарадея).

Сам Максвелл записал 20 уравнений с 20 неизвестными в дифференциальной форме, которые позднее были преобразованы. Современная форма Максвелла дана немецким физиком Г. Герцем и английским физиком О. Хевисайдом. Запишем уравнения используя систему единиц Гаусса.

В состав системы уравнений Максвелла входят четыре уравнения.

Первое уравнение:

\]

Это Закон Фарадея (Закон электромагнитной индукции).

где

-напряженность электрического поля,

-вектор магнитной индукции, c – скорость света в вакууме.

Это уравнение говорит, о том, что ротор напряженности электрического поля

равен потоку (т.е. скорости изменения во времени) вектора магнитной индукции

сквозь этот контур.Уравнение (1.1) представляет собой первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме.

Это же уравнение можно записать в интегральной форме, тогда оно примет следующий вид:

или

где

– проекция на нормаль к площадке dS вектора магнитной индукции,

– магнитный поток.

Уравнения Максвелла в интегральной формерис. 2.

Циркуляция вектора напряженности электрического поля вдоль замкнутого контура L (ЭДС индукции) определяется скоростью изменения потока вектора магнитной индукции через поверхность, ограниченную данным контуром. Знак минус по правилу Ленца означает направление индукционного тока.

Согласно Максвеллу закон электромагнитной индукции (а это именно он), справедлив для любого замкнутого контура, произвольно выбранного в переменном магнитном поле.

Смысл этого уравнения: Переменное магнитное поле в любой точке пространства создает вихревое электрическое поле.

Второе уравнение Максвелла:

где

-вектор магнитной напряженности,

— плотность электрического тока,

— вектор электрического смещения.

Данное уравнение Максвелла является обобщением эмпирического закона Био-Савара о том, что магнитные поля возбуждаются электрическими токами.

Смысл второго уравнения в том, что источником возникновения вихревого магнитного поля является также переменное электрическое поле, магнитное действие которого характеризуется током смещения.

( \frac{\partial \overline{D}}{\partial t}-плотность тока смещения).

В интегральном виде второе уравнение Максвелла (Теорема о циркуляции магнитного поля) представлено следующим образом:

или

Циркуляция вектора напряжённости магнитного поля по произвольному контуру равна алгебраической сумме токов проводимости и тока смещения, сцепленных с контуром.

Когда Максвелл вводил уравнения (более ста лет тому назад!), природа электромагнитного поля была не понятна. В настоящее время природа поля выяснена, и стало ясно, что I_{shift} может быть названo «током» лишь формально.

По pяду расчетных соображений такое название, не придавая ему прямого физического смысла, целесообразно сохранить, что в электротехнике и делается.

По этой же причине вектор D, входящий в выражение для тока смещения, называют вектором электрического смещения.

Помимо первых двух уравнений в систему уравнений Максвелла входит теорема Гаусса-Остроградского для электрического и магнитного полей:

и

где

и

где

— поток магнитной индукции

сквозь замкнутую поверхность, охватывающую свободный заряд q.

Смысл уравнения 3.2. Электрический заряд – источник электрической индукции.

Уравнение 4.2 выражает факт отсутствия свободных магнитных зарядов.

Полная система уравнений Максвелла в дифференциальном виде (характеризует поле в каждой точке пространства):

Полная система уравнений Максвелла в интегральном виде
Полная система уравнений Максвелла в интегральном виде (интегральная форма записи уравнений облегчает их физическую интерпретацию так ка делает их визуально ближе к известным эмпирическим законам):

Систему уравнений Максвелла дополняют «материальными уравнениями», связывающими векторы

где

-удельная электропроводность,

– магнитная постоянная. Среда предполагается изотропной, неферрромагнитной, несегнетоэлектрической.

На границе раздела двух сред выполняются граничные условия:

где \sigma— поверхностная плотность свободных зарядов, n- единичный вектор нормали к границе раздела, проведенный из среды 2 в 1, \[\tau – единичный вектор, касательный к границе, \[j_{pov}— проекция вектора плотности поверхностных токов проводимости на единичный вектор.

Данные уравнения выражают непрерывность нормальных составляющих вектора магнитной индукции и скачок нормальных составляющих вектора смещения. Непрерывность касательных составляющих вектора напряженностей электрического поля на границе раздела и скачок этих составляющих для напряженности магнитного поля.

Источник: https://xn----ctbjzeloexg6f.xn--p1ai/%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE-%D0%B8-%D0%BC%D0%B0%D0%B3%D0%BD%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%B7%D0%BC/%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%BB%D0%B0.html

Система уравнений Максвелла

В состав системы уравнений Максвелла входят четыре уравнения.

Первое уравнение:

Это Закон Фарадея (Закон электромагнитной индукции).

где -напряженность электрического поля, -вектор магнитной индукции, c – скорость света в вакууме.

Это уравнение говорит, о том, что ротор напряженности электрического поля  равен потоку (т.е. скорости изменения во времени) вектора магнитной индукции  сквозь этот контур.Уравнение (1.1) представляет собой первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме.

Это же уравнение можно записать в интегральной форме, тогда оно примет следующий вид:

или

где  – проекция на нормаль к площадке dS вектора магнитной индукции,

 – магнитный поток.

рис. 2.

Циркуляция вектора напряженности электрического поля вдоль замкнутого контура L (ЭДС индукции) определяется скоростью изменения потока вектора магнитной индукции через поверхность, ограниченную данным контуром. Знак минус по правилу Ленца означает направление индукционного тока.

Согласно Максвеллу закон электромагнитной индукции (а это именно он), справедлив для любого замкнутого контура, произвольно выбранного в переменном магнитном поле.

Смысл этого уравнения: Переменное магнитное поле в любой точке пространства создает вихревое электрическое поле.

Второе уравнение Максвелла:

где -вектор магнитной напряженности, — плотность электрического тока, — вектор электрического смещения.

Данное уравнение Максвелла является обобщением эмпирического закона Био-Савара о том, что магнитные поля возбуждаются электрическими токами. Смысл второго уравнения в том, что источником возникновения вихревого магнитного поля является также переменное электрическое поле, магнитное действие которого характеризуется током смещения. ( -плотность тока смещения).

В интегральном виде второе уравнение Максвелла (Теорема о циркуляции магнитного поля) представлено следующим образом:

или

Циркуляция вектора напряжённости магнитного поля по произвольному контуру равна алгебраической сумме токов проводимости и тока смещения, сцепленных с контуром.

Когда Максвелл вводил уравнения (более ста лет тому назад!), природа электромагнитного поля была не понятна. В настоящее время природа поля выяснена, и стало ясно, что  может быть названo «током» лишь формально.

По pяду расчетных соображений такое название, не придавая ему прямого физического смысла, целесообразно сохранить, что в электротехнике и делается.

По этой же причине вектор D, входящий в выражение для тока смещения, называют вектором электрического смещения.

Помимо первых двух уравнений в систему уравнений Максвелла входит теорема Гаусса-Остроградского для электрического и магнитного полей:

и

где  —плотность электрического заряда.

Что в интегральном виде представляет собой следующее:

и

где -поток электрического смещения — поток магнитной индукции  сквозь замкнутую поверхность, охватывающую свободный заряд q.

Смысл уравнения 3.2. Электрический заряд – источник электрической индукции.

Уравнение 4.2 выражает факт отсутствия свободных магнитных зарядов.

Полная система уравнений Максвелла в дифференциальном виде (характеризует поле в каждой точке пространства):

Полная система уравнений Максвелла в интегральном виде

Полная система уравнений Максвелла в интегральном виде (интегральная форма записи уравнений облегчает их физическую интерпретацию так ка делает их визуально ближе к известным эмпирическим законам):

Систему уравнений Максвелла дополняют «материальными уравнениями», связывающими векторы  c величинами, описывающими электрические и магнитные свойства среды.

где  – относительная диэлектрическая проницаемость,  – относительная магнитная проницаемость,  -удельная электропроводность,  – электрическая постоянная,  – магнитная постоянная. Среда предполагается изотропной, неферрромагнитной, несегнетоэлектрической.

На границе раздела двух сред выполняются граничные условия:

где — поверхностная плотность свободных зарядов, n- единичный вектор нормали к границе раздела, проведенный из среды 2 в 1,  единичный вектор, касательный к границе, — проекция вектора плотности поверхностных токов проводимости на единичный вектор.

Данные уравнения выражают непрерывность нормальных составляющих вектора магнитной индукции и скачок нормальных составляющих вектора смещения. Непрерывность касательных составляющих вектора напряженностей электрического поля на границе раздела и скачок этих составляющих для напряженности магнитного поля.

Примеры решения задач

Источник: http://xn--b1agsdjmeuf9e.xn--p1ai/%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D0%BF%D0%BE-%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B5/%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%BB%D0%B0/

Нужно ли проходить в школе уравнения Максвелла?

Уравнения Максвелла

«Ух ты, физика! Часть 21»

В курсе школьной элементарной физики ученики изучают очень мало по настоящему фундаментальных закономерностей, которые описывали бы широкий круг физических явлений.

В этом смысле, я думаю, самый важный и интересный раздел физики — уравнения Максвелла.

Четыре коротких и простых уравнения описывают все электромагнитные явления! Абсолютно все.

Будь моя воля, я бы начинал изучение физики в школе с уравнений Максвелла.

Я бы написал на доске уравнения и сказал примерно следующее:

«Ребята! Система из вот этих четырех коротких уравнений описывает абсолютно все электромагнитные явления в нашем с вами физическом мире. Абсолютно все! Телевидение, сотовую связь, освещение, современную медицину, и даже то, как мы с вами видим друг друга, все это описывается с помощью этих уравнений.

Разве это не здорово? И еще они очень простые. После того, как вы поймете их суть, суть вот этих вот значков на доске, вы сможете просто «в уме» решить большую половину всех экзаменационных задач на электричество и магнетизм.

Возможно только поэтому стоит уже потратить несколько часов, чтобы познакомиться с ними поближе.»

И дальше в этом же духе…

А поскольку наш курс рассчитан на опытных школьников, которые уже готовятся к финальным экзаменам, то мы можем себе позволить начать изучение основной теоретической части с разбора уравнений Максвелла.

Как показывает наша практика, такой подход оправдан. После разбора уравнений Максвелла детям гораздо проще понимать все остальные темы школьной физики, включая такие, как элементы теории относительности Эйнштейна и основы квантовой механики.

Почему же школьная физика не начинается с уравнений Максвелла?

К сожалению, в школьном курсе физики безраздельно царствуют механистическое упрощенчество физических законов и физических явлений.

Это, с одной стороны, действительно упрощает начальное знакомство с отдельными темами. И ускоряет приобретение навыков решения простых задач с помощью простых сокращенных формул.

С другой стороны, это закрывает дорогу к пониманию общих связей между явлениями и сводит всю школьную физику к набору мало связанных между собой простых частных случаев и мнемонических правил.

Особенно это становится заметно при изучении такой темы, как электромагнитные волны

Электростатика отдельно — вполне себе простая и понятная тема. Магнитостатика отдельно — тоже ничего сложного.

Но как только мы переходим к изучению электромагнитных волн, объяснения, приводимые в школьных учебниках становятся не просто очень далекими от действительности. Они напрочь запутывают учеников, не позволяя им прийти к качественному пониманию предмета.

Сам по себе рисунок того, как электромагнитные волны расширяются в виде сцепленных в перпендикулярных плоскостях колец, не просто странный. Он абсолютно не вносит никакой ясности в описанное явление. От него нет никакой практической пользы. Увы.

В итоге получается, что выдрессировать зубрежку определений и формул можно, но нельзя добиться понимания взаимосвязей между различными реальными физическими явлениями. И даже простых логических цепочек «что из чего следует» у школьников не будет при таком подходе.

Во всяком случае я точно помню, что в средней школе так и не смог понять в физике только одну вещь — как распространяются электромагнитные волны.

Это оставалось для меня тайной вплоть до знакомства с соответствующим разделом в курсе «Фейнмановских лекций по физике».

Все стало просто и понятно, когда я узнал, что нет никаких перпендикулярных расширяющихся колец! А есть лишь набор явлений, которые с достаточной точностью описываются уравнениями Максвелла.

Так что же такое уравнения Максвелла?

Вот они:

Ну правда же, они красивы? Элегантны и просты!

И они описывают все электромагнитные явления в нашем с вами физическом мире. Абсолютно все!

Но самое замечательное, что с момента их написания 150 лет назад в них не пришлось вносить никаких изменений. Ньютоновская механика «пала» под натиском теории относительности. Многие другие теории подверглись уточнениям и доработкам. А уравнения Максвелла работают в своем первозданном виде везде, по крайней мере до расстояний десять в минус шестнадцатой степени метра!

Справедливости ради нужно отметить, что Максвелл написал несколько больше уравнений. Целых двадцать штук. (Кстати вопрос: почему двадцать?)

Он расписывал свои законы электромагнетизма покомпонентно. Это выглядело несколько громоздко и не столь элегантно.

В дифференциальной векторной записи они действительно симметричны и красивы!

Быть может, они не совсем понятны школьникам?

Исправим это. Запишем уравнения «человеческим» языком.

Поток напряженности электрического поля Есквозь любую замкнутую поверхность = Заряд внутри этой поверхности / (Эпсилон-ноль)

Смысл:

«Источником электрического поля является заряд»

Циркуляция вектора напряженности Е по замкнутому контуру = Производной по времени от потока вектора магнитного поля В сквозь замкнутую поверхность, ограниченную этим контуром

Смысл:

«Всякое изменение магнитного поля во времени вызывает появление вихревого электрического поля»

Поток вектора магнитного поля В сквозь любую замкнутую поверхность = 0

Смысл:

«Источники магнитного поля в виде магнитных зарядов не существуют в природе»

Циркуляция вектора В по замкнутому контуру = Электрический ток сквозь поверхность, ограниченную этим контуром/ (квадрат скорости света * Эпсилон-ноль) + Производная по времени от потока вектора Е сквозь поверхность, ограниченную этим контуром/ (квадрат скорости света)

Смысл:

«Протекание тока по проводникам и изменения электрического поля во времени приводят к появлению вихревого магнитного поля.»

Так, пожалуй, будет более понятно?

А теперь мы с вами разберемся с уравнениями Максвелла с точки зрения понимания физики и приложения этого понимания к решению физических задач.

Как проще и полезнее представить себе электрические и магнитные поля?

Через поле скоростей!

Представим себе, что у нас с вами есть некоторое пространство (например наша Вселенная), и в каждой точке этого пространства находится некая частица, которая имеет, в свою очередь, определенную характеристику — скорость. И еще у нашего пространства частиц есть такая характеристика, как плотность частиц в единице объема и она постоянна.

И, да! Еще наши частицы двигаются в пространстве каждая со своей скоростью. Это напоминает движение воды в сосуде, например, в океане.

И еще у нас есть «источники» частиц — такие области, в которых частицы появляются. И есть «приемники» частиц — такие области, в которых наши частицы исчезают.

Напоминает умывальник, правда? Кран — источник, раковина — пространство, сливное отверстие — приемник.

Так вот! В результате нашего мысленного построения каждой точке нашего пространства сопоставлен вектор скорости частицы, которая находится в этой точке пространства. Таким образом мы можем сказать, что у нас есть векторное поле скоростей. Векторное поле, прямо по-определению, это некоторая область, каждой точке которой сопоставлен некоторый вектор.

Если эти вектора, которые сопоставлены каждой точке, находятся в абсолютном беспорядке, то про них и сказать то нечего. Такое поле совершенно бесполезно.

Но на наши вектора мы наложили некоторые ограничения. Мы сказали, что их плотность всегда постоянна. Тогда движение частиц в нашем пространстве аналогично движению частиц идеальной несжимаемой жидкости. А уж как жидкость может двигаться в нашем пространстве, это мы себе прекрасно представляем.

И нам всего лишь останется понять, чем поведение электрических и магнитных полей (областей пространства каждой точке которых сопоставлены вектора Е и В ) отличается от поведения поля скоростей движущейся жидкости.

Итак, пусть у нас есть поле вектора А. Это поле скоростей наших частиц.

Тогда, дивергенция векторного поля в любой точке

это есть сумма частных производных вектора А в этой точке по координатам.

Это скалярная величина. Она показывает, как много наших частиц появляется или исчезает в данной точке пространства. Дивергенцию можно еще назвать «истечение». Если она положительна, то частицы «появляются».

И чем больше их появляется, тем выше их скорость, и тем, соответственно, длиннее вектора скорости.

Плотность у нас постоянна, частицам нужно куда то деваться и они должны тем быстрее «убегать» от этой точки, чем больше их образуется в единицу времени.

Понятно, в чем смысл дивергенции векторного поля?

Из объема вокруг точки появления частиц они больше «истекают», чем «втекают».

Там где источника нет, «истечение» и «втечение» в сумме одинаково. Это, надеюсь, понятно.

Дифференциальная форма означает, что мы рассматриваем бесконечно малый объем вокруг некой точки. И смотрим на поведение нашего поля в этом бесконечно малом объеме. (За подробностями в наш учебник!)

Переходя к первому и третьему уравнению Максвелла, теперь можно применить наши знания о дивергенции к векторным полям Е и В.

Первое уравнение Максвелла говорит нам о том, что существуют такие точки в нашем с вами физическом пространстве, в которых ненулевая характеристика, называемая «электрический заряд» порождает «истечение» векторного поля Е из этой точки.

Мы с вами знаем, что заряд может быть положительный или отрицательный, тогда и «истечение» может быть положительным (из нашей точки наружу — оно же «истечение», а не «втечение») или отрицательным (это уже внутрь — типа «втечение»).

Действительно, линии векторного поля Е вытекают из «+» и втекает в «-«. Это можно посмотреть на картинках во всех учебниках.

Но только с помощью картинок линиями невозможно решать физические задачи, а вот с помощью уравнения Максвелла очень даже можно. И мы с вами с легкостью это проделаем в следующих параграфах.

Третье уравнение Максвелла говорит нам о том, что линии магнитного поля всегда замкнуты. Догадайтесь сами, почему при нулевой дивергенции поля В его линии обязаны быть всегда замкнутыми? (Первый, кто ответит на этот вопрос аргументированно, со ссылкой на уравнение Максвелла, получит в качестве приза цифровую ручку от нашего генерального спонсора)

Кстати, постоянная «эпсилон-ноль» в уравнениях Максвелла, вводится только по причине выбранной нами системы СИ (чтобы возникли привычные единицы силы электрического тока). Теоретически, мы можем так выбрать размерности величин, что коэффициенты превратятся в единицу. Тогда симметрия уравнений будет еще нагляднее.

Теперь разберемся со вторым и четвертым уравнениями

С понятием ротора проще всего разобраться, рассматривая непосредственно электрическое поле Е.

Вспомним откуда вообще взялось понятие электрического поля. И что значит вектор Е в какой-то точке.

Если мы из правой части закона Кулона (все помнят, я надеюсь, закон «тяготения для заряженных частиц»)

уберем один из зарядов, то все, оставшееся в правой части после выноса второго заряда, есть вектор электрического поля Е оставшегося заряда

То есть вектор Е, по-простому говоря, вызывает ускорение заряженных частиц, соответственно, и движение таких частиц.

Если в электрическое поле поместить проводник, то по нему пойдет ток, который и есть упорядоченное движение заряженных частиц. О»кей!

Тогда проделаем такой мысленный эксперимент. Поместим в наше электрическое поле Е маленькую рамку из проводящего материала, например, из медной проволоки.

Рамка очень-очень маленькая (бесконечно малая), круглая, и центр этого круга находится в рассматриваемой нами точке пространства. Тогда возможно два случая, как бы мы не располагали нашу рамку, ток в ней не возникнет. Или второй случай, ток есть.

Мы можем найти такое положение рамки, в котором по ней течет максимальный ток. Максимальный по отношению ко всем другим положениям рамки с центром в нашей точке.

Про первый случай можно сказать, что «ротор векторного поля» Е в нашей точке равен нулю. А если ток есть, то «ротор векторного поля» Е в нашей точке ненулевой.

Причем «ротор» — это вектор! Направлен он перпендикулярно плоскости нашей рамки с током в направлении «правого винта». Что это такое, мы разберем после, или посмотрите в учебнике. А лучше не смотрите!

Потому, что этот «винт» — он как раз и вытекает из уравнений Максвелла. А направление вектора на самом деле определяется правильными знаками в векторных уравнениях.

Попробую это объяснить более наглядно.

Помните, мы с вами проходили понятие момента вращения произвольного твердого тела с произвольным количеством приложенных к нему сил?

Так вот представьте себе, что «точка подвеса» — это наша точка пространства, «радиус вектора» — это радиус вектора положений свободных единичных зарядов вокруг нашей точки, а «вектора сил» — это вектора сил, действующих на частицы со стороны электрического поля Е.Существенное замечание — тело бесконечно малое.

Тогда, скажу вам по секрету, ротор можно аналогично тому, как мы с вами считали вращающий момент. (Докажите, что это так! Или что это не так.

Первый, кто докажет, получит в качестве приза цифровую ручку от нашего генерального спонсора) Кто найдет существенную ошибку в изложении материала, также получит в качестве приза цифровую ручку от нашего генерального спонсора.

Продолжение следует.

Источник: https://zen.yandex.ru/media/id/5aec3f5edd248401aaf986db/5b1aa225c71a92586b3163a9

Максвелла уравнения — Большая советская энциклопедия

Уравнения Максвелла

Ма́ксвелла уравнения

Фундаментальные уравнения классической макроскопической электродинамики (См. Электродинамика), описывающие электромагнитные явления в произвольной среде. М. у. сформулированы Дж. К. Максвеллом в 60-х годах 19 века на основе обобщения эмпирических законов электрических и магнитных явлений.

Опираясь на эти законы и развивая плодотворную идею М. Фарадея (См. Фарадей) о том, что взаимодействия между электрически заряженными телами осуществляются посредством электромагнитного поля (См. Электромагнитное поле), Максвелл создал теорию электромагнитных процессов, математически выражаемую М. у. Современная форма М. у.

дана немецким физиком Г. Герцем и английским физиком О. Хевисайдом.

М. у. связывают величины, характеризующие электромагнитное поле, с его источниками, то есть с распределением в пространстве электрических зарядов и токов.

В пустоте электромагнитное поле характеризуется двумя векторными величинами, зависящими от пространственных координат и времени: напряжённостью электрического поля Е и магнитной индукцией В.

Эти величины определяют силы, действующие со стороны поля на заряды и токи, распределение которых в пространстве задаётся плотностью заряда ρ (зарядом в единице объёма) и плотностью тока j (зарядом, переносимым в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению движения зарядов). Для описания электромагнитных процессов в материальной среде (в веществе), кроме векторов Е и В, вводятся вспомогательные векторные величины, зависящие от состояния и свойств среды: электрическая индукция D и напряжённость магнитного поля Н.

М. у. позволяют определить основные характеристики поля (Е, В, D и Н) в каждой точке пространства в любой момент времени, если известны источники поля j и ρ как функции координат и времени. М. у. могут быть записаны в интегральной или в дифференциальной форме (ниже они даны в абсолютной системе единиц Гаусса; см. СГС система единиц).

М. у. в интегральной форме определяют по заданным зарядам и токам не сами векторы поля Е, В, D, Н в отдельных точках пространства, а некоторые интегральные величины, зависящие от распределения этих характеристик поля: циркуляцию (См. Циркуляция) векторов Е и Н вдоль произвольных замкнутых контуров и Потоки векторов D и B через произвольные замкнутые поверхности.

Первое М. у. является обобщением на переменные поля эмпирического Ампера закона о возбуждении магнитного поля электрическими токами. Максвелл высказал гипотезу, что магнитное поле порождается не только токами, текущими в проводниках, но и переменными электрическими полями в диэлектриках или вакууме.

Величина, пропорциональная скорости изменения электрического поля во времени, была названа Максвеллом током смещения. Ток смещения возбуждает магнитное поле по тому же закону, что и ток проводимости (позднее это было подтверждено экспериментально).

Полный ток, равный сумме тока проводимости и тока смещения, всегда является замкнутым.

Первое М. у. имеет вид:

, (1, a)

то есть циркуляция вектора напряжённости магнитного поля вдоль замкнутого контура L (сумма скалярных произведений вектора Н в данной точке контура на бесконечно малый отрезок dl контура) определяется полным током через произвольную поверхность S, ограниченную данным контуром.

Здесь jn — проекция плотности тока проводимости j на нормаль к бесконечно малой площадке ds, являющейся частью поверхности S, — проекция плотности тока смещения на ту же нормаль, а с = 3․1010 см/сек — постоянная, равная скорости распространения электромагнитных взаимодействий в вакууме.

Второе М. у. является математической формулировкой закона электромагнитной индукции Фарадея (см. Индукция электромагнитная) записывается в виде:

, (1, б)

то есть циркуляция вектора напряжённости электрического поля вдоль замкнутого контура L (эдс индукции) определяется скоростью изменения потока вектора магнитной индукции через поверхность S, ограниченную данным контуром. Здесь Bn — проекция на нормаль к площадке ds вектора магнитной индукции В; знак минус соответствует Ленца правилу (См. Ленца правило) для направления индукционного тока.

Третье М. у. выражает опытные данные об отсутствии магнитных зарядов, аналогичных электрическим (магнитное поле порождается только токами):

, (1, в)

то есть поток вектора магнитной индукции через произвольную замкнутую поверхность S равен нулю.

Четвёртое М. у. (обычно называемое Гаусса теоремой (См. Гаусса теорема)) представляет собой обобщение закона взаимодействия неподвижных электрических зарядов — Кулона закона:

, (1, г)

то есть поток вектора электрической индукции через произвольную замкнутую поверхность S определяется электрическим зарядом, находящимся внутри этой поверхности (в объёме V, ограниченном данной поверхностью).

Если считать, что векторы электромагнитного поля (Е, В, D, Н) являются непрерывными функциями координат, то, рассматривая циркуляцию векторов Н и Е по бесконечно малым контурам и потоки векторов B и D через поверхности, ограничивающие бесконечно малые объёмы, можно от интегральных соотношений (1, а — г) перейти к системе дифференциальных уравнений, справедливых в каждой точке пространства, то есть получить дифференциальную форму М. у. (обычно более удобную для решения различных задач):

rot ,

rot , (2)

div ,

div .

Здесь rot и div — дифференциальные операторы ротор (см. Вихрь) и Дивергенция, действующие на векторы Н, Е, B и D. Физический смысл уравнений (2) тот же, что и уравнений (1).

М. у. в форме (1) или (2) не образуют полной замкнутой системы, позволяющей рассчитывать электромагнитные процессы при наличии материальной среды. Необходимо их дополнить соотношениями, связывающими векторы Е, Н, D, В и j, которые не являются независимыми. Связь между этими векторами определяется свойствами среды и её состоянием, причём D и j выражаются через Е, а B — через Н:

D = D (E), B = B (Н), j = j (E). (3)

Эти три уравнения называются уравнениями состояния, или материальными уравнениями; они описывают электромагнитные свойства среды и для каждой конкретной среды имеют определённую форму. В вакууме D ≡ Е и B ≡ Н. Совокупность уравнений поля (2) и уравнений состояния (3) образуют полную систему уравнений.

Макроскопические М. у. описывают среду феноменологически, не рассматривая сложного механизма взаимодействия электромагнитного поля с заряженными частицами среды. М. у. могут быть получены из Лоренца — Максвелла уравнений (См.

Лоренца — Максвелла уравнения) для микроскопических полей и определённых представлений о строении вещества путём усреднения микрополей по малым пространственно-временным интервалам.

Таким способом получаются как основные уравнения поля (2), так и конкретная форма уравнений состояния (3), причём вид уравнений поля не зависит от свойств среды.

Уравнения состояния в общем случае очень сложны, так как векторы D, B и j в данной точке пространства в данный момент времени могут зависеть от полей Е и Н во всех точках среды во все предшествующие моменты времени.

В некоторых средах векторы D и B могут быть отличными от нуля при Е и H равных нулю (Сегнетоэлектрики и Ферромагнетики).

Однако для большинства изотропных сред, вплоть до весьма значительных полей, уравнения состояния имеют простую линейную форму:

D = εE, B = μH, j = σE + jcтр. (4)

Здесь ε (x, у, z) — Диэлектрическая проницаемость, а μ (x, у, z) — Магнитная проницаемость среды, характеризующие соответственно её электрические и магнитные свойства (в выбранной системе единиц для вакуума ε = μ = 1); величина σ(x, у, z) называется удельной электропроводностью; j cтр — плотность так называемых сторонних токов, то есть токов, поддерживаемых любыми силами, кроме сил электрического поля (например, магнитным полем, диффузией и т. д.). В феноменологической теории Максвелла макроскопические характеристики электромагнитных свойств среды ε, μ и σ должны быть найдены экспериментально. В микроскопической теории Лоренца — Максвелла они могут быть рассчитаны.

Проницаемости ε и μ фактически определяют тот вклад в электромагнитное поле, который вносят так называемые связанные заряды, входящие в состав электрически нейтральных атомов и молекул вещества.

Экспериментальное определение ε, μ, σ позволяет рассчитывать электромагнитное поле в среде, не решая трудную вспомогательную задачу о распределении связанных зарядов и соответствующих им токов в веществе. Плотность заряда ρ и плотность тока j в М. у.

— это плотности свободных зарядов и токов, причём вспомогательные векторы Н и D вводятся так, чтобы циркуляция вектора Н определялась только движением свободных зарядов, а поток вектора D — плотностью распределения этих зарядов в пространстве.

Если электромагнитное поле рассматривается в двух граничащих средах, то на поверхности их раздела векторы поля могут претерпевать разрывы (скачки); в этом случае уравнения (2) должны быть дополнены граничными условиями:

[nH]2 — [nH]1 = ,

[nE]2 — [nE]1 = 0, (5)

(nD)2 — (nD)1 = 4πσ,

(nB)2 — (nB)1 = 0.

Здесь jпов и σ — плотности поверхностных тока и заряда, квадратные и круглые скобки — соответственно векторное и скалярное произведения векторов, n — единичный вектор нормали к поверхности раздела в направлении от первой среды ко второй (1→2), а индексы относятся к разным сторонам границы раздела.

Основные уравнения для поля (2) линейны, уравнения же состояния (3) могут быть и нелинейными. Обычно нелинейные эффекты обнаруживаются в достаточно сильных полях. В линейных средах [удовлетворяющих соотношениям (4)] и, в частности, в вакууме М. у. линейны и, таким образом, оказывается справедливым Суперпозиции принцип: при наложении полей они не оказывают влияния друг на друга.

Из М. у. вытекает ряд законов сохранения. В частности, из уравнений (1, а) и (1, г) можно получить соотношение (так называемое уравнение непрерывности):

, (6)

представляющее собой закон сохранения электрического заряда: полный ток, протекающий за единицу времени через любую замкнутую поверхность S, равен изменению заряда внутри объёма V, ограниченного этой поверхностью. Если ток через поверхность отсутствует, то заряд в объёме остаётся неизменным.

Из М. у. следует, что электромагнитное поле обладает энергией и импульсом (количеством движения). Плотность энергии ω (энергии единицы объёма поля) равна:

, (7)

Электромагнитная энергия может перемещаться в пространстве. Плотность потока энергии определяется так называемым вектором Пойнтинга

. (8)

Направление вектора Пойнтинга перпендикулярно как Е, так и Н и совпадает с направлением распространения электромагнитной энергии, а его величина равна энергии, переносимой в единицу времени через единицу поверхности, перпендикулярной к вектору П.

Если не происходит превращений электромагнитной энергии в другие формы, то, согласно М. у., изменение энергии в некотором объёме за единицу времени равно потоку электромагнитной энергии через поверхность, ограничивающую этот объём.

Если внутри объёма за счёт электромагнитной энергии выделяется тепло, то закон сохранения энергии записывается в форме:

(9)

где Q — количество теплоты, выделяемой в единицу времени.

Плотность импульса электромагнитного поля g (импульс единицы объёма поля) связана с плотностью потока энергии соотношением:

. (10)

Существование импульса электромагнитного поля впервые было обнаружено экспериментально в опытах П. Н. Лебедева по измерению давления света (1899).

Как видно из (7), (8) и (10), электромагнитное поле всегда обладает энергией, а поток энергии и электромагнитный импульс отличны от нуля лишь в случае, когда одновременно существуют и электрическое и магнитное поля (причём эти поля не параллельны друг другу).

М. у. приводят к фундаментальному выводу о конечности скорости распространения электромагнитных взаимодействий (равной с = 3․1010 см/сек).

Это означает, что при изменении плотности заряда или тока в некоторой точке пространства порождаемое ими электромагнитное поле в точке наблюдения изменяется не в тот же момент времени, а спустя время τ = R/c, где R — расстояние от элемента тока или заряда до точки наблюдения.

Вследствие конечной скорости распространения электромагнитных взаимодействий возможно существование электромагнитных волн (См. Электромагнитные волны), частным случаем которых (как впервые показал Максвелл) являются световые волны.

Электромагнитные явления протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчёта (См. Инерциальная система отсчёта), то есть удовлетворяют принципу относительности. В соответствии с этим М. у. не меняют своей формы при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой (релятивистски инвариантны).

Выполнение принципа относительности для электромагнитных процессов оказалось несовместимым с классическими представлениями о пространстве и времени, потребовало пересмотра этих представлений и привело к созданию специальной теории относительности (А. Эйнштейн, 1905; см. Относительности теория). Форма М. у.

остаётся неизменной при переходе к новой инерциальной системе отсчёта, если пространств, координаты и время, векторы поля Е, Н, В, D, плотность тока j и плотность заряда ρ изменяются в соответствии с Лоренца преобразованиями (выражающими новые, релятивистские представления о пространстве и времени). Релятивистски-инвариантная форма М. у.

подчёркивает тот факт, что электрическое и магнитное поля образуют единое целое.

М. у. описывают огромную область явлений. Они лежат в основе электротехники и радиотехники и играют важнейшую роль в развитии таких актуальных направлений современной физики, как физика плазмы (См. Плазма) и проблема управляемых термоядерных реакций (См.

Термоядерные реакции), Магнитная гидродинамика, Нелинейная оптика, конструирование ускорителей заряженных частиц (См. Ускорители заряженных частиц), астрофизика и т. д. М. у.

неприменимы лишь при больших частотах электромагнитных волн, когда становятся существенными квантовые эффекты, то есть когда энергия отдельных квантов электромагнитного поля — фотонов — велика и в процессах участвует сравнительно небольшое число фотонов.

Лит.: Максвелл Дж. К., Избранные сочинения по теории электромагнитного поля, перевод с английского, М., 1952; Тамм И. Е., Основы теории электричества, 7 изд., М., 1957; Калашников С. Г., Электричество, М., 1956 (Общий курс физики, т.

2); Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М., Фейнмановские лекции по физике, (перевод с английского], в. 5, 6, 7, М., 1966; Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Теория поля, 5 изд., М., 1967 (Теоретическая физика, т. 2); их же, Электродинамика сплошных сред, М.

, 1959.

Г. Я. Мякишев.

Источник: Большая советская энциклопедия на Gufo.me

Источник: https://gufo.me/dict/bse/%D0%9C%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%BB%D0%B0_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F

Booksm
Добавить комментарий