Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме

Содержание
  1. Уравнения Максвелла в дифференциальной, интегральной и комплексной формах
  2. Вопрос 2. Первое уравнение Максвелла в интегральной и дифференциальной формах
  3. Вопрос 3. Второе уравнение Максвелла в интегральной и дифференциальной формах
  4. Вопрос 4. Третье уравнение Максвелла в интегральной и дифференциальной формах
  5. Вопрос 5. Четвёртое уравнение Максвелла в интегральной и дифференциальной формах
  6. Уравнение Максвелла в интегральной и дифференциальной форме. Их физический смысл, некоторые свойства уравнений Максвелла
  7. Уравнения Максвелла в дифференциальной и интегральной
  8. Система уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной формах. Электромагнитное поле
  9. ПОСМОТРЕТЬ ЁЩЕ:
  10. Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме
  11. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме
  12. Уравнения Максвелла в интегральной форме

Уравнения Максвелла в дифференциальной, интегральной и комплексной формах

Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме

Классификации сред по отношению к электромагнитному полю

Свойства среды по отношению к электромагнитному полю определяются параметрам

проводимость среды

Если эти параметры зависят от величины поля то линейная среда, а если хотя бы 1 параметр зависит от величины поля то среда является нелинейной.

Линейные среды делятся на 4 группы

1. Однородные, где эти параметры не зависят от координат.

2. Неоднородные, где эти параметры зависят от координат.

3. Изотропные, свойства одинаковы по всем направлениям.

4. Анизотропные, свойства различны по всем направлениям.


Уравнения Максвелла в дифференциальной, интегральной и комплексной формах

1 уравнение максвелла в дифференциальной форме: Электрический заряд является источником электрической индукции.

2 уравнение максвелла. Не существует магнитных зарядов

3 уравнение максвелла . Изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле

4 уравнение максвелла . Электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле

В том же порядке интегральная форма записи

Поток электрической индукции через замкнутую поверхность s пропорционален величине свободного заряда, находящегося в объёме v, который окружает поверхность s.

Поток магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю (магнитные заряды не существуют).

Изменение потока магнитной индукции, проходящего через незамкнутую поверхность s, взятое с обратным знаком, пропорционально циркуляции электрического поля на замкнутом контуре l, который является границей поверхности s.

Полный электрический ток свободных зарядов и изменение потока электрической индукции через незамкнутую поверхность s, пропорциональны циркуляции магнитного поля на замкнутом контуре l, который является границей поверхности s.

Уравнения максвелла для комплексных амплитуд

3.Уравнение баланса мгновенных значений мощности

Как уже отмечалось в 1.1, электромагнитное поле является одной из форм материи. Как и любая другая форма материи, оно обладает энергией. Эта энергия может распространяться в про­странстве и преобразовываться в другие формы энергии.

Сформулируем уравнение баланса для мгновенных значений мощности применительно к некоторому объему V, ограниченному поверхностью S (рис.1.23). Пусть в объеме V, заполненном од­нородной изотропной средой, находятся сторонние источники.

Из общих физических представлений очевидно, что мощность, выделяемая сторонними источниками, может расходоваться на джоулевы потери и на изменение энергии электромагнитного поля внутри V, а также может частично рассеиваться, уходя в ок­ружающее пространство через поверхность S.

При этом должно выполняться равенство

где Рст-мощность сторонних источников; РП-мощность джоулевых потерь внутри объема V; РΣ -мощность, проходящая через поверхность S; W-энергия электромагнитного поля, сосредоточен­ного в объеме V, a dW/dt- мощность, расходуе­мая на изменение энергии в объеме V.

В данном разделе будут использованы уравнения состояния (1.53). Эти уравнения не позволяют учесть потери энергии при поляризации и намагничивании среды. Поэтому слагаемое Рп в равенстве (1.120) фактически определяет мощность джоулевых потерь в объеме V, обусловленных током проводимости.

Уравнение (1.120) дает только качественное представление об энергетических соотношениях. Чтобы получить количественные соотношения, нужно воспользоваться уравнениями Максвелла. Рассмотрим первое уравнение Максвелла с учетом сторонних то­ков (1.111). Все члены этого уравнения — векторные величины, имеющие размерность А/м2.

Чтобы получить уравнение, аналогичное (1.120), нужно видо­изменить первое уравнение Максвелла (1.111) так, чтобы его члены стали скалярными величинами, измеряющимися в ваттах.

Для этого достаточно все члены указанного равенства скалярно умножить на вектор Е, а затем проинтегрировать полученное выражение по объему V.

После скалярного умножения на вектор Еполучаем

Используя известную из векторного анализа формулу div[E,H]= = Н rot Е — Е rot H, преобразуем левую часть соотношения (1.121) и заменим rot E его значением из второго уравнения Максвелла (1.39):

Подставляя это выражение в (1.121), получаем

В последнем слагаемом в правой части (1.122) изменен порядок сомножителей в скалярном произведении векторов dB/dt и Н. Это допустимо, так как НdB/dt = дВ/дt· H.

Данное изменение не яв­ляется принципиальным и не дает никаких преимуществ при выводе рассматриваемого здесь уравнения баланса для мгно­венных значений мощности. Однако при такой записи во всех членах уравнения (1.

122) второй сомножитель (векторы jст, j, BDIdt и Н) является вектором, входившим ранее в первое уравнение Максвелла. Это обстоятельство позволит в дальнейшем (см. 1.8.

4) несколько упростить вывод уравнения баланса в случае моно­хроматического поля (уравнения баланса комплексной мощности). Интегрируя почленно уравнение (1.122) по объему V, получаем

где направление элемента dS совпадает с направлением внешней нормали к поверхности S. При переходе от.(1.122) к (1.123) ис­пользована теорема Остроградского-Гаусса для перевода объем­ного интеграла от div[E, H] в поверхностный интеграл от вектор­ного произведения [Е, Н]. Введем обозначение

и преобразуем подынтегральное выражение в последнем слагаемом в правой части (1.123):

Подставляя (1.124) и (1.125) в (1.123) и меняя порядок интег­рирования и дифференцирования, получаем

Выясним физический смысл выражений, входящих в уравнение (1.126).

Рассмотрим первое слагаемое в правой части (1.126). Пред­ставим объем V в виде суммы бесконечно малых цилиндров длиной dl, торцы которых (dS) перпендикулярны направлению тока (вектору j).

Тогда EjdV = EjdV=(Edl)(jdS) = dUdl = dPn, где dl =jdS — ток, протекающий по рассматриваемому бесконечно мало­му цилиндру; dU = Edl — изменение потенциала на длине dl, a dPn-мощность джоулевых потерь в объеме dV.

Следовательно, рас­сматриваемое слагаемое представляет собой мощность джоу­левых потерь Рп в объеме V. Используя соотношение j = σЕ, для Рпможно получить и другие представления:

Формулы (1.127) можно рассматривать как обобщенный закон Джоуля-Ленца, справедливый для проводящего объема V произ­вольной формы.

Интеграл в левой части (1.126) отличается от первого сла­гаемого в правой части только тем, что в подынтегральное выражение вместо j входит jcт. Поэтому он должен определять мощность сторонних источников.

Будем считать положительной мощность, отдаваемую сторонними токами электромагнитному по­лю. Электрический ток представляет собой упорядоченное дви­жение заряженных частиц. Положительным направлением тока считается направление движения положительных зарядов.

Ток отдает энергию электромагнитному полю при торможении обра­зующих его заряженных частиц. Для этого необходимо, чтобы вектор напряженности электрического поля Е имел составляющую, ориентированную противоположно направлению тока, т.е.

чтобы скалярное произведение векторов Е и jст было отрицательным (E jст

Источник: https://allrefrs.ru/4-30474.html

Вопрос 2. Первое уравнение Максвелла в интегральной и дифференциальной формах

Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме

Вопрос1. Электромагнитное поле. Векторы ЭМП.

Графическое изображение полейЭлектромагни́тное по́ле —фундаментальноефизическоеполе, взаимодействующее с электрическизаряженными телами, а также с телами,имеющими собственные дипольные имультипольные электрические и магнитныемоменты.

Представляет собой совокупностьэлектрическогоимагнитногополей,которые могут, при определённых условиях,порождать друг друга, а по сути являютсяодной сущностью, формализуемой черезтензорэлектромагнитного поля.

Векторыэлектромагнитного поля:

Электрическоеполе. Одной из основных векторныххарактеристик электромагнитного поляявляется напряженностьэлектрического поля. Под напряженностьюэлектрического поля подразумеваютсилу, с которой электрическое поледействует на положительный единичныйточечный заряд внесенный в поле.

(1)                       

Вфизике это уточняется: заряд q долженбыть достаточно малым с тем, чтобы можнобыло пренебречь изменением распределенияэлектрических зарядов формирующих этополе.

(2)

Рассмотримэтот процесс упрощенно в рамкахклассической теории:

Веществосостоит из атомов. Атом состоит изположительного ядра и отрицательныхэлектронов. Сочетание атомов образуютмолекулу. Различают вещества с полярнымии неполярными молекулами.

В случаенеполярных атомов или молекул точкаприложения равнодействующей всех сил,действующих на отрицательные заряды,совпадает с точкой приложенияравнодействующей всех сил, действующихна положительные заряды. Это возможнов том случае, если центр тяжести молекулысовпадает с центром тяжести протонов.

В полярных молекулах эти центры несовпадают и полярную молекулу можноуподобить элементарному диполю, т.е.системе состоящей из двух разноименныхзарядов, разнесенных в пространстве нарасстояние l.Диполи характеризуются дипольныммоментом:

(3)

Эффектполяризованности вещества характеризуютсуммарным дипольным моментом: врассмотренном объеме dV:

(4) — дипольный момент соответствующийотдельным атомам или молекулам. Формула(4)осуществляется геометрическимсуммирование в объеме V.

Нарядус напряженностью электрического поляиспользуют также еще одну векторнуювеличину: —вектор электрической индукции, либовектор электрического смещения:(8);;

Отсюдаследует, что при одинаковом расположениии величине электрических зарядоввекторное поле независит от свойств среды.

Какизвестно, сила, действующая на положительныйточечный электрический заряд движущийсяв магнитном поле определяется силойЛоренца:            (1),

где(2)(3); .

Магнитнаясила пропорциональна скорости перемещениязаряда и направлена перпендикулярнонаправлению движения заряда.

Физическийсмысл: величина называетсявектором магнитной индукции и равнасиле, с которой магнитное поле действуетна положительный точечный заряд,движущийся с единичной скоростью внаправлении, перпендикулярном.

Поляизображают с помощью силовых линий. Под“силовыми” подразумевают линии, вкаждой точке которых касательныеизображают направление изображаемогополя. Изменение амплитуды поля указываютчислом силовых линий, приходящихся наединицу площади поверхности перпендикулярносиловым линиям. Пусть имеется векторноеполе А,которое в каждой точке пространстваможет быть выражено в декартовой системе:

l- силовая линия поля А,- единичные орты. Получимдифференциальное уравнение силовойлинии: dr можно записать через егопроекцию:(1),

Предполагаем,что известна функция, описывающаясиловую линию:

(2).

Извекторного анализа известно, что двавектора параллельны, если равны отношениясоответствующих проекций:

(3).

Этои есть дифференциальное уравнениесиловой линии.

Первоеуравнение Максвелла является обобщениемзакона полного тока (закона Ампера). Вдомаксвелловской формулировке этоуравнение могло быть сформулированоследующим образом: циркуляция векторанапряженности Нмагнитного поля по замк­нутому контуруГ равна току /, пронизывающему данныйконтур:

ДоМаксвелла под током / понимали толькоток проводимости. В общем случаераспределение тока / внутри контура Гможет быть неравномерным. При этом

Вопрос 3. Второе уравнение Максвелла в интегральной и дифференциальной формах

Второеуравнение Максвелла является

обобщениемзакона индукции Фарадея, которыйформулируется следующим образом: еслизамкнутый контур Г пронизываетсяпеременным магнитным потоком Ф, то вконтуре возникает ЭДС е, равная скоростиизменения этого потока:

Знакминус в правой части формулы (1.34) означает,что возникающая в контуре ЭДС всегдакак бы стремится вос­препятствоватьизменению потока, пронизывающего данныйкон­тур. Это положение известно подназванием «правило Ленца».

Соотношение(1.37) сформулировано для контура конечныхразмеров и называется вторымуравнением Максвелла в интегральной форме.   Максвеллом это  уравнение  было  сформули­рованотакже в дифференциальной форме.

Вопрос 4. Третье уравнение Максвелла в интегральной и дифференциальной формах

Третьеуравнение Максвелла является обобщениемзакона Гаусса на случай переменныхпроцессов. Закон Гаусса связывает потоквектора электрического смещения черезпроизвольную замкнутую поверхность Sс зарядом Q,сосредоточенным внутри этой поверхности:

гдеdS= nodS;n0— орт внешней нормали к поверхности S.

Подставляя(1.41) в (1.40), получаем

Уравнение(1.43) обычно называют третьимуравнением Максвелла в интегральнойформе. Дляперехода к диффе­ренциальной форме

Эторавенство должно выполняться припроизвольном объеме V,чтовозможно только в том случае, если

Вопрос 5. Четвёртое уравнение Максвелла в интегральной и дифференциальной формах

Четвертоеуравнение Максвелла в интегральнойформе сов­падает с законом Гаусса длямагнитного поля, который можносформулировать следующим образом. Потоквектора Вчерез любую замкнутую поверхность Sравен нулю, т.е.

Этоозначает, что не существует линий вектораВ,которые только входят в замкнутуюповерхность S(или, наоборот, только выходят изповерхности S):они всегда пронизывают ее (рис. 1.9).

Уравнение(1.46) называют четвертымуравнением Макс­велла в интегральнойформе. Кдифференциальной форме урав­нения(1.46) можно перейти с помощью теоремыОстроградского-Гаусса так же, как этобыло сделано в случае третьего уравненияМаксвелла. В результате получим

divВ = 0,                                      (1.47)

Уравнение(1.47) представляет собой четвертоеуравнение Макс­велла. Оно показывает,что в природе отсутствуют уединенныемагнитные заряды одного знака. Из этогоуравнения также следует, что линиивектора В(силовые линии магнитного поля) являютсянепрерывными.

Источник: https://studfile.net/preview/3306448/

Уравнение Максвелла в интегральной и дифференциальной форме. Их физический смысл, некоторые свойства уравнений Максвелла

Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме

Уравне́ния Ма́ксвелла — система уравнений в дифференциальной или интегральной форме, которые описывают электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и сплошных средах.

Вместе с выражением для силы Лоренца образуют полную систему уравнений классической электродинамики, называемую иногда уравнениями Максвелла — Лоренца.

Уравнения, сформулированные Джеймсом Клерком Максвеллом на основе накопленных к середине XIX века экспериментальных результатов, сыграли ключевую роль в развитии представлений теоретической физики и оказали сильное, зачастую решающее, влияние не только на все области физики, непосредственно связанные с электромагнетизмом, но и на многие возникшие впоследствии фундаментальные теории, предмет которых не сводился к электромагнетизму (одним из ярчайших примеров здесь может служить специальная теория относительности).

Дифференциальная формаУравнения Максвелла представляют собой в векторной записи систему из четырёх уравнений, сводящуюся в компонентном представлении к восьми (два векторных уравнения содержат по три компоненты каждое плюс два скалярных[28]) линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка для 12 компонент четырёх векторных функций ( ):

Название СГС СИ Примерное словесное выражение
Закон Гаусса Электрический заряд является источником электрической индукции.
Закон Гаусса для магнитного поля Не существует магнитных зарядов.[~ 1]
Закон индукции Фарадея Изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле.[~ 1]
Теорема о циркуляции магнитного поля Электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле

Жирным шрифтом в дальнейшем обозначаются векторные величины, курсивом — скалярные. Введённые обозначения:

  • — плотность стороннего электрического заряда (в единицах СИ — Кл/м³);
  • — плотность электрического тока (плотность тока проводимости) (в единицах СИ — А/м²); в простейшем случае — случае тока, порождаемого одним типом носителей заряда, она выражается просто как , где — (средняя) скорость движения этих носителей в окрестности данной точки, — плотность заряда этого типа носителей (она в общем случае не совпадает с )[29]; в общем случае это выражение надо усреднить по разным типам носителей;
  • — скорость света в вакууме (299 792 458 м/с);
  • — напряжённость электрического поля (в единицах СИ — В/м);
  • — напряжённость магнитного поля (в единицах СИ — А/м);
  • — электрическая индукция (в единицах СИ — Кл/м²);
  • — магнитная индукция (в единицах СИ — Тл = Вб/м² = кг•с−2•А−1);
  • — дифференциальный оператор набла, при этом:

означает ротор вектора,

означает дивергенцию вектора.

Приведённые выше уравнения Максвелла не составляют ещё полной системы уравнений электромагнитного поля, поскольку они не содержат свойств среды, в которой возбуждено электромагнитное поле. Соотношения, связывающие величины , , , и и учитывающие индивидуальные свойства среды, называются материальными уравнениями.

Интегральная форма

При помощи формул Остроградского — Гаусса и Стокса дифференциальным уравнениям Максвелла можно придать форму интегральных уравнений:

Название СГС СИ Примерное словесное выражение
Закон Гаусса Поток электрической индукции через замкнутую поверхность пропорционален величине свободного заряда, находящегося в объёме , который окружает поверхность .
Закон Гаусса для магнитного поля Поток магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю (магнитные заряды не существуют).
Закон индукции Фарадея Изменение потока магнитной индукции, проходящего через незамкнутую поверхность , взятое с обратным знаком, пропорционально циркуляции электрического поля на замкнутом контуре , который является границей поверхности .
Теорема о циркуляции магнитного поля Полный электрический ток свободных зарядов и изменение потока электрической индукции через незамкнутую поверхность , пропорциональны циркуляции магнитного поля на замкнутом контуре , который является границей поверхности .

Поток электрического поля через замкнутую поверхность

Введённые обозначения:

  • — двумерная замкнутая в случае теоремы Гаусса поверхность, ограничивающая объём , и открытая поверхность в случае законов Фарадея и Ампера — Максвелла (её границей является замкнутый контур ).
  • — электрический заряд, заключённый в объёме , ограниченном поверхностью (в единицах СИ — Кл);
  • — электрический ток, проходящий через поверхность (в единицах СИ — А).

При интегрировании по замкнутой поверхности вектор элемента площади направлен из объёма наружу. Ориентация при интегрировании по незамкнутой поверхности определяется направлением правого винта, «вкручивающегося» при повороте в направлении обхода контурного интеграла по .

Словесное описание законов Максвелла, например, закона Фарадея, несёт отпечаток традиции, поскольку вначале при контролируемом изменении магнитного потока регистрировалось возникновение электрического поля (точнее электродвижущей силы). В общем случае в уравнениях Максвелла (как в дифференциальной, так и в интегральной форме) векторные функции являются равноправными неизвестными величинами, определяемыми в результате решения уравнений.

Рассмотрим физический смысл этих 4 уравнений: силовые линии электрического поля электромагнитной волны замкнуты, как и силовые линии магнитного поля.

Одно из уравнений гласит, что электрическое поле образуется зарядами и его силовые линии начинаются и заканчиваются на зарядах.

Другое уравнение описывает магнитные силовые линии — это кольцеобразные замкнутые линии.

Третье уравнение представляет собой общий случай закона электромагнитной индукции Фарадей: любое изменение магнитного поля генерирует в соответствии с этим уравнением вихревое электрическое поле.

Четвертое уравнение. До Максвелла была известно часть этого уравнения, которая годилась для постоянных токов — это закон Ампера, утверждающий, что текущие по проводам электрические заряды (т.е. постоянный ток) создают определяемое уравнением Ампера магнитное поле.

Связав с помощью уравнений открытые до него законы, Максвелл увидел, что система несовершенна. Чтобы система имела решение, Максвелл добавил в четвертое уравнение одно слагаемое, а именно к току движущихся зарядов (ток проводимости) добавил воображаемый им ток смещения. Так он назвал изменяющееся во времени электрическое поле.

Ток смещения подобно электрическому току зарядов порождает магнитное поле. Т.об. Максвелл ввел в уравнение Ампера слагаемое, которое убывает. Это волновое слагаемое — часть поля, которое угасает гараздо медленнее обратного квадрата расстояния.

17. Свободные колебания в колебательном контуре. Дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных колебаний и его решения.

Свободные колебания — колебания в системе под действием внутренних тел, после того как система выведена из положения равновесия. Колебания груза, подвешенного на нити, или груза, прикрепленного к пружине, — это примеры свободных колебаний.

После выведения этих систем из положения равновесия создаются условия, при которых тела колеблются без воздействия внешних сил. Система — группа тел, движение которых мы изучаем. Внутренние силы — силы, действующие между телами системы.

Внешние силы — силы, действующие на тела системы со стороны тел, не входящих в нее.

Условия возникновения свободных колебаний.

При выведении тела из положения равновесия в системе должна возникать сила, направленная к положению равновесия и, следовательно, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия.

Пример: при перемещении шарика, прикрепленного к пружине, влево и при его перемещении вправо сила упругости направлена к положению равновесия.

Трение в системе должно быть достаточно мало. Иначе колебания быстро затухнут или вовсе не возникнут.

Незатухающие колебания возможны лишь при отсутствии трения.

Если рассматривать колебательный контур, то для получения вынужденных колебаний (рис. 8.4), нужно включить последовательно с элементами контура переменную эдс или, разорвав контур, подать напряжение:

Рис. 8.4. Вынужденные колебания в колебательном контуре

U = Umcosw, тогда уравнение будет иметь вид:

, (8.15)

после замены получим

. (8.16)

Решение полученного неоднородного дифференциального уравнения находим прибавлением к его частному решению общего решения соответствующего однородного уравнения. Частное решение имеет вид

,

где .

Подставив в эти выражения значения , получим:

. (8.17)

Разделив заряд на емкость, получим напряжение на конденсаторе:

,

где . Установившийся ток в контуре . Амплитуда тока имеет вид

. (8.18)

Резонансная частота для контура

. (8.19)

Резонансные кривые для UC и тока I имеют такой вид, как показано на рис. 8.5.

Рис. 8.5. Явление резонанса напряжений и токов в колебательном контуре: кривые 1, 2, 3 соответствуют всё бóльшему активному сопротивлению контура

При резонансные кривые стремятся к Um – напряжению, возникающему на конденсаторе при подключению его к источнику постоянного напряжения. Максимум при резонансе получается тем выше и острее, чем меньше , т. е.

чем меньше активное сопротивление и больше индуктивность контура. Тогда амплитуда силы тока имеет максимальное значение при . Следовательно, резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой контура .

Источник: https://cyberpedia.su/15xbdd9.html

Уравнения Максвелла в дифференциальной и интегральной

Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме

Формах

Макроскопическая теория электромагнетизма основывается на уравнениях Максвелла, которые связывают между собой источники и векторы электромагнитного поля.

Основные законы электричества и магнетизма, кроме закона Фарадея, были получены при наблюдении стационарных полей. С логической точки зрения, априори не следует, что они остаются неизменными для полей, зависящих от времени.

Поэтому так велика заслуга Максвелла, который обобщил полученные до него экспериментальные закономерности на случай произвольного электромагнитного поля в произвольной среде, введя всего лишь одно дополнительное слагаемое в закон, открытый Ампером.

Система уравнений электромагнитного поля была постулирована Максвеллом, т.е. введена в теорию аксиоматически.

В любой физической теории аксиомами считаются те фундаментальные соотношения, из которых путем лишь математических преобразований выводятся остальные свойства изучаемых объектов.

Необъятное количество экспериментальных фактов, полученных после введения этих уравнений, не оставляют сомнений в их правильности, так как выводы электромагнитной теории находятся в неизменном соответствии с результатами опыта и практической деятельности.

Различают уравнения Максвелла в дифференциальной и интегральной формах (см. табл. 1.1).

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме уста­навливают связь между векторами и источниками электромагнитного поля в каждой точке пространства, а уравнения в интегральной форме связывают меж­ду собой источники и интегральные характеристики (потоки, циркуляции) электромагнитных полей. Переход от одной формы уравнений к другой осуществ­ляется простыми математическими преобразованиями (см. Приложение А).

Таблица 1.1 – Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме Уравнения Максвелла в интегральной форме
Первое уравнение Максвелла – закон полного тока Ампера-Максвелла
(I)
Второе уравнение Максвелла – закон электромагнитной индукции Фарадея-Максвелла
(II)
Третье уравнение Максвелла – обобщенная теорема Гаусса
(III)
Четвертое уравнение Максвелла – закон непрерывности магнитного потока
(IV)

Поясним физический смысл уравнений Максвелла.

Закон полного тока.

Из закона пол­ного тока в дифференциальной форме сле­дует, что вихри магнитного поля возникают только в тех точках пространст­ва, где имеется либо объемная плотность тока про­водимости , либо перемен­ное во вре­мени электрическое поле . Мож­но сказать иначе. Перемен­ное во времени электрическое поле возбуждает также, как и переменный ток проводимости, переменное во времени магнитное вихревое поле.

Из закона полного тока в интегральной форме следует, что цирку­ляция вектора напряженности магнитного поля по любому замкнутому контуру L равна полному току, протекающему через любую поверхность, опирающуюся на этот контур (рис. 1.1).

При этом полным током называется величина, равная:

. (1.12)

Соответственно объемная плотность полного тока равна:

. (1.13)

Величину, определяемую соотношением

, (1.14)

принято называть объемной плотностью тока смещения.

Из определения вектора следует, что плотность тока смещения определяется движением (смещением) электрических зарядов, связанных в молекулах вещества, и изменением электрического поля в вакууме.

Отметим, что закон полного тока был предложен Максвеллом путем обобщения закона Ампера (добавления в правую часть закона Ампера тока смещения) на случай полей, меняющихся во времени по произвольному закону.

Закон электромагнитной индукции. Из закона электромагнитной индук­ции в дифференциальной форме следует, что вихри электрического поля воз­никают в тех точках пространства, где имеется переменное во времени магнит­ное поле . Другими словами, переменное во времени магнитное поле возбуждает переменное во времени вихревое электрическое поле.

Из закона электромагнитной индукции в интегральной форме следует, что циркуляция вектора по любому замкнутому контуру L равна взятой с обратным знаком скорости изменения магнитного потока, пронизывающего любую поверхность S, опирающуюся на этот контур.

Следует отметить существенную разницу в использовании одного и того же термина контур. В формулировке Фарадея контур – это замкнутая цепь, составленная из проводников. Максвелл обобщил закон Фарадея, понимая под контуром замкнутую линию, произвольно расположенную в пространстве.

Теорема Гаусса. Cоотношение (III) в интегральной форме известно из электростатики, как теорема Гаусса, и обобщено Максвеллом на случай полей, произвольно зависящих от времени.

Оно устанавливает, что электрические заряды служат истоками и стоками электрического поля; линии вектора электрической индукции выходят из областей, содержащих положительные заряды и входят в области, где находятся отрицательные заряды.

Из теоремы Гаусса в дифференциальной форме следует, что силовые линии вектора электрического смещения начинаются (заканчиваются) в тех точках пространства, где имеется электрический заряд с объемной плотностью ρ.

Точки, в которых силовые линии начинаются (ρ > 0), называются истоками вектора электрического смещения, а точки, в которых силовые линии заканчиваются (ρ < 0), называются стоками того же вектора.

Из теоремы Гаусса в интегральной форме следует, что поток вектора через любую замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме зарядов, заключенных в объеме V, ограниченном этой поверхностью.

Закон непрерывности магнитного потока. Из четвертого уравнения Максвелла в дифференциальной форме следует, что магнитное поле не имеет ни истоков, ни стоков. Отсюда следует, что силовые линии вектора магнитной индукции всегда замкнуты (поле соленоидально).

Из четвертого уравнения Максвелла в интегральной форме следует, что поток вектора сквозь любую замкнутую поверхность S всегда равен нулю.

Из уравнений Максвелла можно сделать вывод, что только в случае статических полей, создаваемых неподвижными и неизменными во времени зарядами, электрические и магнитные поля являются независимыми.

В общем случае, когда заряды меняются во времени, электрические и магнитные поля связаны между собой: наличие переменного электрического поля невозможно без существования переменного вихревого магнитного поля и, наоборот.

При решении конкретных задач электродинамики в уравнения Максвелла вводятся сторонние заряды и сторонние токи , которые являются первопричиной возбуждения электромагнитного поля. Задание сторонних источников производится добавлением в правые части уравнений (I) и (III) соответствующих слагаемых. При этом уравнения Максвелла в дифференциальной форме принимают следующий вид:

, (1.15)

, (1.16)

, (1.17)

. (1.18)

С формальной математической точки зрения уравнения (1.15) – (1.18) являются системой векторно-дифференциальных уравнений для определения векторов электромагнитного поля по заданным и . Система уравнений (1.15) – (1.18) совместно с материальными уравнениями (1.9) – (1.

11) является математически полной и позволяет ставить и решать конкретные задачи электродинамики. Используя совместно материальные уравнения и уравнения (1.15) – (1.18), можно получить векторные дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют каждый из векторов и .

В случае однородной изотропной среды без потерь эти уравнения для декартовой системы координат имеют следующий вид:

, (1.19)

, (1.20)

где – оператор Лапласа, который в декартовой системе координат имеет вид:

.

Источник: https://studopedia.org/13-128790.html

Система уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной формах. Электромагнитное поле

Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме

В законе электромагнитной индукции (ЭМИ) ℇ = —dФ/dt ЭДС можно представить по определению как циркуляцию поля сторонних сил

ℇ = (см. часть 2, лекция №20), в данном случае (ЭМИ) сторонние силы не связаны ни с химическими, ни с тепловыми процессами, они также не могут быть магнитными силами, по тому, что такие силы работу над зарядами не совершают. Остается заключить, что индукционный ток обусловлен возникающим в проводе электрическим полем, тогда ЭДС

ℇ = Магнитный поток по определению Ф = . Подставляя в закон ЭМИ получим

(30-4)

Это первое уравнение Максвелла.

Интеграл в правой части берется по произвольной поверхности S, опирающейся на контур (рис. 30.3).

(Поскольку в общем случае может быть

функцией и координат, то берем частную

производную )

Смысл первого уравнения соответствует

максвелловской трактовке явления ЭМИ, то

есть, изменяющееся со временем магнитное поле порождает вихревое электрическое поле.

Второе уравнение Максвелла

(30-5)

Это уравнение выражает тот факт, что силовые линии магнитного поля не имеют источника (нет «магнитных зарядов») и всегда замкнуты и, что оно имеет вихревой характер, поток вектора магнитной индукции равен нулю.

Третье уравнение Максвелла

(30-6)

Это обобщенный закон полного тока (см. часть 3, лекция №24), который подчеркивает тот факт, что магнитное поле может создаваться не только токами проводимости ( ), но и перемещенным электрическим полем («ток смещения» ).

Четвертая теорема Максвелла (см. часть 3, лекция №18).

(30-7)

Физически эта теорема подчеркивает тот факт, что электрическое поле может создаваться зарядами, то есть источниками силовых линий электрического поля являются электрические заряды.

Уравнения (30-3,5,6,7) представляют уравнения Максвелла в интегральной форме.

Уравнения Максвелла подчеркивают тот факт, что электрическое поле может создаваться как зарядами, так и переменным магнитным полем, а магнитное поле может создаваться как токами проводимости, так и переменным электрическим полем. При этом магнитное поле всегда носит вихревой характер, о чем говорит второе уравнение Максвелла.

Электрическое поле, создаваемое зарядами и переменным магнитным полем носят различный характер.Силовые линии в первом случае начинаются и кончаются на зарядах (четвертое уравнение Максвелла).

А электрическое поле, создаваемое переменным магнитным полем не имеет источников и носит вихревой характер, также как магнитное поле (первое уравнение Максвелла).

В вакууме, где нет зарядов и токов, магнитное поле может создаваться только переменным электрическим полем, а электрическое поле только переменным магнитным полем.

Эту совокупность непрерывно изменяющихся и порождающих друг друга электрического и магнитного полей Максвелл назвал электромагнитным полем.

Кроме четырех рассмотренных уравнений в полную систему уравнений Максвелла входят еще три уравнения, называемых материальными. В них входят характеристики вещества («материи»), такие как диэлектрическая и магнитная проницаемости ℰ и µ, проводимость σ.

ℰℰ

Связь и (лекция №18, часть 3)

μμ

Связь и (лекция №23, часть 3)

σ

Закон Ома в локальной форме (лекция №20, часть 3)

Уравнения Максвелла (30-4) ÷ (30-7) можно представить в дифференциальной форме, т.е. в виде системы дифференциальных уравнений. Для этого используем теоремы Стокса

(30-8)

и Остроградского – Гаусса:

(30-9)

где — некоторый вектор в нашем случае: (О функции rot см. примечание к п.2).

Первое уравнение Максвелла

С другой стороны, используя теорему Стокса, получим

Поскольку равны левые части, равны и правые

откуда следует

(30-10)

Второе уравнение Максвелла

С другой стороны из теоремы Остроградского – Гаусса

получаем (30-11)

Третье уравнение запишем, предварительно выразив токи проводимости через плотность токов проводимости

,

тогда

с другой стороны

получим

(30-12)

Аналогичный подход для четвертого уравнения дает систему уравнений

,

(в последнем уравнении мы заменили — объемная плотность заряда) из которой следует:

(30-13)

Сведем четыре уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной формах, а также три материальных уравнения в таблицу:

Уравнения Максвелла

Интегральная форма Дифференциальная форма  

ℰℰ ; μμ ; σ

Отметим, что физический смысл уравнений в дифференциальной форме такой же, что и соответствующих уравнений в интегральной форме. Интегрируя их, можно получить , , , .

Примечание.Вихревое электрическое поле характеризуется особой векторной величиной, называемой ротором напряженности поля: . Вектор ротора приложен в центре поля перпендикулярно плоскости его силовых линий (в случае круговых линий – в центре окружностей) и направлен относительно них согласно правилу правого винта.

По определению

.

Наглядное представление о роторе вектора можно получить, представив себе небольшую легкую турбинку, помещенную в данную точку текущей жидкости.

3. Волновые уравнения для электромагнитного поля и их решения. Скорость распространения электромагнитных волн в средах. Основные свойства электромагнитных волн.

Пусть имеется однородная и изотропная среда вдали от зарядов и токов. Возбудим в какой-либо точке пространства переменное электрическое гармоническое поле (Предположим Для простоты рассматриваем этот частный случай).

Из уравнений Максвелла при условии сделанных предположений можно получить волновые уравнения электромагнитного поля

, (30-14)

где — скорость распространения электро-

магнитной волны.

Процесс распространения электромагнитного поля в пространстве называется электромагнитной волной.

Подставим ℰ = 8,85 μ = в выражение для скорости u. Если среда – вакуум, то ℰ = 1, μ = 1, тогда получим u = ,то есть скорость электромагнитной волны в вакууме равна скорости света в вакууме. Это обстоятельство приводит к выводу, что свет — электромагнитная волна.

Решения уравнений (30-14)

(30-15)

Выражения (30-15) – уравнения электромагнитной волны. Их графическое

Как показывает опыт, электромагнитные волны проходят через диэлектрики и отражаются от металлов. Для них свойственны такие явления как интерференция, дифракция, поляризация, дисперсия (рассмотрим далее в разделе «Оптика»).

Итак, из решения уравнений Максвелла получаются следующие выводы:

– если в какой-либо ограниченной области пространства возникает электромагнитное поле, то оно не остается локализованным в этой области, а распространяется с конечной скоростью, зависящей от свойств среды;

– если электрическое и магнитные поля меняются по простому гармоническому закону, то электромагнитное поле распространяется в пространстве в виде плоской электромагнитной волны.

Дата добавления: 2019-04-03; просмотров: 231; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

ПОСМОТРЕТЬ ЁЩЕ:

Источник: https://helpiks.org/9-63856.html

Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме

Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме

Введение тока смещения позволило Дж. Максвеллу создать теорию, которая объяснила все известные на тот момент явления из области электромагнетизма и позволила выдвинуть ряд новых гипотез, которые позднее были подтверждены.

В основу данной теории легли уравнения Максвелла, которые в электромагнетизме играют такую же роль, как начала в термодинамике или законы Ньютона в классической механике.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

В настоящей интерпретации система уравнений Максвелла имеет четыре структурных векторных уравнения:

Первое уравнение устанавливает связь между полным током (суммой тока проводимости и током смещения) и магнитным полем, которое они вызывают.

Второе уравнение является выражением закона электромагнитной индукции в интерпретации Максвелла (переменное магнитное поле — один из источников возникновения электрического поля).

Третье уравнение — указывает на факт отсутствия магнитных зарядов.

Четвертое уравнение говорит о том, что источниками электрического поля являются электрические заряды.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Уравнения (1) — (4) являются уравнениями Максвелла в дифференциальной форме. Каждое из векторных уравнений эквивалентно трем скалярным уравнениям, которые связывают компоненты векторов в правых и левых частях выражений.

Для того, чтобы применять систему уравнений Максвелла для расчета конкретных полей, уравнения данной системы дополняются материальными уравнениями, которые связывают векторы $\overrightarrow{D}\ и\ \overrightarrow{j}$ c вектором $\overrightarrow{E}$, а вектор $\overrightarrow{H}$ c вектором $\overrightarrow{B}$. Эти равнения имеют вид:

где величины $\varepsilon $,$\ \mu $, $\sigma $ — материальные постоянные, характеризующие свойства среды.

Если уравнения (1) — (4) являются фундаментальными, то относительно уравнений (5) надо отметить, что они выполняются совсем не всегда. Так, если речь идет о нелинейных явлениях, получение материальных уравнений составляет отдельную научную задачу.

Уравнения Максвелла в интегральной форме

Систему структурных уравнений Максвелла можно представить в интегральной форме. Так, если проинтегрировать уравнение (1) по произвольной поверхности $S$:

По теореме Стокса левая часть выражения (6) преобразуется к виду:

где интеграл в правой части берется по контуру $L$, который ограничивает поверхность $S$. Если считать, что контур и поверхность неподвижны, то операции дифференцирования по времени и интегрирования по поверхности можно поменять местами в выражении (6) левой части, получим:

здесь интеграл $\int\limits_S{\overrightarrow{D}d\overrightarrow{S}}$ является функцией только от времени, поэтому можно заменить частную производную обычной. Интегрируя уравнение (2) подобным образом, получим второе уравнение системы Максвелла:

Если проинтегрировать уравнение (3) по объему $V$, и использовать для преобразования левой части теорему Остроградского — Гаусса в интеграл по замкнутой поверхности $S$, которая ограничивает объем $V$, то получим:

Аналогичную процедуру проводят с уравнением (4). Получается:

Так получают систему уравнений Максвелла в интегральной форме:

Замечание

Уравнения Максвелла применимы к поверхностям любого размера. Эти уравнения описывают электрические и магнитные поля в покоящихся средах.

Пример 1

Задание: Ток, текущий по обмотке прямого соленоида, который имеет радиус $R$, изменяется так, что модуль индуктивности магнитного поля внутри соленоида растет в соответствии с законом: $B=Ct2,\ $где $C=const.$ Запишите функцию тока смещения $j_{sm}\left(r\right),$ где $r$ — расстояние от оси соленоида.

Решение:

По определению, плотность тока смещения можно записать как:

\[j_{sm}=\frac{\partial D}{\partial t}\left(1.1\right).\]

Используя одно из уравнений системы Максвелла:

\[\int\limits_S{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{l}}=-\int\limits_S{\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}d\overrightarrow{S}}\ (1.2),\]

найдем напряженность электрического поля, которое порождается переменным магнитным полем, а зная связь напряжённости электрического поля и электрического смещения:

\[\overrightarrow{D}=\varepsilon {\varepsilon }_0\overrightarrow{E}(1.3)\]

получим функцию $D(r)$.

Итак, используя уравнение изменения индукции магнитного поля из условий задачи, найдем частную производную $\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}:$

\[\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}=2Ct\left(1.4\right).\]

Для $r\[2\pi rE=-\pi r22Ct\to E=-rCt\to D=-C\varepsilon {\varepsilon }_0rt\to j_{sm}=-C\varepsilon {\varepsilon }_0r.\]

Для $r>R$, из (1.2) — (1.4) получим:

\[2\pi rE=-\pi R22Ct,\ E=-C\frac{R2t}{r}\to j_{sm}=-C\varepsilon {\varepsilon }_0\frac{R2}{r}.\]

Для $r=R$, из (1.2) — (1.4) найдем ток смещения:

\[E=-RCt\to D=-C\varepsilon {\varepsilon }_0Rt\to j_{sm}=-C\varepsilon {\varepsilon }_0R.\]

Ответ: $j_{sm}=-C\varepsilon {\varepsilon }_0r\ \left(rR\right),\ j_{sm}=-C\varepsilon {\varepsilon }_0R\ \left(r=R\right).$

Пример 2

Задание: Запишите систему уравнений Максвелла для стационарных полей ($\overrightarrow{E}=const,\overrightarrow{H}=const\ $) в интегральной форме.

Решение:

В том случае, если поля стационарны, система уравнений максвелла распадается на две группы независимых уравнений. Первую группу составляют уравнения электростатики:

\[\int\limits_S{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{l}}=0\ \ и\] \[\oint\limits_S{\overrightarrow{D}d\overrightarrow{S}=\int\limits_V{\rho }dV.}\]

Вторая группа — уравнения магнитостатики:

\[\int\limits_L{\overrightarrow{H}d\overrightarrow{l}}=\int\limits_S{\overrightarrow{j}d\overrightarrow{S}}\ и\] \[\oint\limits_S{\overrightarrow{B}d\overrightarrow{S}=0}.\]

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/uravneniya_maksvella/uravneniya_maksvella_v_integralnoy_i_differencialnoy_forme/

Booksm
Добавить комментарий