Уравнения Максвелла как обобщение экспериментальных данных

Содержание
  1. Уравнение Максвелла как обобщение электричества и магнетизма
  2. Нужно ли проходить в школе уравнения Максвелла?
  3. Почему же школьная физика не начинается с уравнений Максвелла?
  4. Особенно это становится заметно при изучении такой темы, как электромагнитные волны
  5. Так что же такое уравнения Максвелла?
  6. Быть может, они не совсем понятны школьникам?
  7. Поток напряженности электрического поляЕсквозь любую замкнутую поверхность = Заряд внутри этой поверхности / (Эпсилон-ноль)
  8. Циркуляция вектора напряженности Е по замкнутому контуру = Производной по времени от потока вектора магнитного поля В сквозь замкнутую поверхность, ограниченную этим контуром
  9. Поток вектора магнитного поля В сквозь любую замкнутую поверхность = 0
  10. Циркуляция вектора В по замкнутому контуру = Электрический ток сквозь поверхность, ограниченную этим контуром/ (квадрат скорости света * Эпсилон-ноль) + Производная по времени от потока вектораЕсквозь поверхность, ограниченную этим контуром/ (квадрат скорости света)
  11. Как проще и полезнее представить себе электрические и магнитные поля?
  12. Теперь разберемся со вторым и четвертым уравнениями
  13. Уравнения Максвелла как обобщение экспериментальных данных
  14. Уравнения Максвелла. Первое уравнение Максвелла
  15. I. Четвертое уравнение Максвелла как обобщение экспериментального закона Кулона

Уравнение Максвелла как обобщение электричества и магнетизма

Уравнения Максвелла как обобщение экспериментальных данных

Все основные законы электричества и магнетизма были обобщены в определение в 19 веке Максвеллом. По сути дела в этих четырёх уравнениях представлены все известные фундаментальные законы электричества и магнетизма.

Введём понятие ток смещения:

Исследуя вопрос о взаимосвязи электрического и магнитного поля максвеллом был проведён эксперимент:

Максвелл начал изучать поведение МП в процессе включения и выключения ключа К. Который подключает внешнюю электрическую цепь к конденсатору. При замыкании К во внешней электрической цепи появляется ЭТ.

Причиной его появления является разряд конденсатора через внешнюю электрическую цепь.

Так как любой ток создает вокруг себя магнитное поле, то максвеллом было легко обнаружено МП вокруг проводников внешней электрической цепи.

Согласно уравнению о природе вихрей МП создаёт циркуляцию МП по замкнутому контуру L который охватывает данный проводник с током.

Но Максвеллом было обнаружено МП в той области пространства которое охвачено конденсатором в момент включения и выключения ключа К.

Максвеллом было установлено что МП которое было обнаружено в области пространства между пластинами конденсатора было обусловлено изменяющимся электрическим полем которое изменяется в процессе включения и выключения внешней цепи подключённой к конденсатору.

Количественный анализ показал что между напряжённостью и изменяющимся во времени электрическим полем (его индукцией) существует следующая взаимосвязь:

Причём данное МП имело такое направление как будто бы оно создается током протекающим от одной пластины конденсатора к другой. Величину максвелл назвал током смещения. Он принципиально отличается от тока проводимости.

Ток проводимости можно трактовать как семейство заряженных частиц движущихся под действием внешнего ЭП. Ток смещения – это изменяющийся во времени поток вектора электрической индукции (электрического смещения) через некоторую поверхность S.

Общим для этих токов является лишь, то что как ток проводимости так и ток смещения создают вокруг себя МП. Но природа происхождения этих токов различается.

Ток смещения имеет ту же размерность что и ток проводимости. Таким образом Максвеллу удалось доказать взаимосвязь электрического и магнитного поля. Согласно закону электромагнитной индукции: Изменяющееся во времени МП порождает ЭП. Изменяющееся во времени ЭП порождает МП

Обобщение опытного факта о природе вихревого МП: (интегральная форма)

В том случае если величина тока смещения мала по сравнению с величиной тока проводимости.

И наоборот в отсутствии тока проводимости данное уравнение записывается так:

Используя формулу стокса можно перейти к дифференциальной форме данного уравнения:

— плотность тока; — плотность тока смещения.

Таким образом плотность тока смещения это изменяющаяся во времени индукция ЭП.

Уравнение максвелла обобщающее закон об электромагнитной индукции.

Знак минус говорит о правиле Ленца.

Даже при отсутствии проводящего контура в случае изменения магнитного потока через некоторую поверхность по контуру охватывающему данную поверхность будет происходить циркуляция вектора ЭП.

Вихревое ЭП отличается от ЭСП его силовые линии замкнуты. В то время как силовые линии ЭСП начинаются на положительных и заканчиваются на отрицательных зарядах. Вихревое электрическое поле не потенциально, в то время как ЭСП потенциально.

Это уравнение описывает потенциальность ЭСП. От интегральной формы можно перейти к дифференциальной форме.

Из учёта этих уравнений исходит взаимосвязь электрических и магнитных полей. И исходя из этой взаимосвязи была выведена теория о существовании электромагнитных волн.

Уравнение обобщающее закон кулона в интегральной форме:

Уравнение обобщающее закон кулона в дифференциальной форме:

Уравнение обобщающий опытный факт об отсутствии свободного магнитного заряда:

Уравнение максвелла обобщающее закон кулона для МП. Из данного уравнения следует замкнутость силовых линий МП. Если сколько линий вошло столько их и вышло, то суммарный поток равен нулю.

Систему уравнений максвелла можно добавить граничными условиями которые следуют из уравнений Максвелла.

Данное условие следует из закона обобщающего закон кулона: Нормальная составляющая вектора Д на границе раздела двух сред 1 и 2 претерпевают разрыв равный поверхностной плотности поверхностного заряда.

На границе раздела двух диэлектриков (на которой отсутствует объёмный заряд):

Для нормальной составляющей на границе раздела двух сред 1 и 2 можно получить граничные условия исходя из уравнений Максвелла обобщающего опытный факт об отсутствии свободного магнитного заряда.

Из уравнения максвелла об электромагнитной индукции:

Из уравнения Максвелла обобщающего опытный факт о природе вихрей МП на границе раздела двух сред

— плотность поверхностного тока (тока протекающего по поверхности раздела двух диэлектриков).

Источник: https://studopedia.su/3_44942_uravnenie-maksvella-kak-obobshchenie-elektrichestva-i-magnetizma.html

Нужно ли проходить в школе уравнения Максвелла?

Уравнения Максвелла как обобщение экспериментальных данных

«Ух ты, физика! Часть 21»

В курсе школьной элементарной физики ученики изучают очень мало по настоящему фундаментальных закономерностей, которые описывали бы широкий круг физических явлений.

В этом смысле, я думаю, самый важный и интересный раздел физики — уравнения Максвелла.

Четыре коротких и простых уравнения описывают все электромагнитные явления! Абсолютно все.

Будь моя воля, я бы начинал изучение физики в школе с уравнений Максвелла.

Я бы написал на доске уравнения и сказал примерно следующее:

«Ребята! Система из вот этих четырех коротких уравнений описывает абсолютно все электромагнитные явления в нашем с вами физическом мире. Абсолютно все! Телевидение, сотовую связь, освещение, современную медицину, и даже то, как мы с вами видим друг друга, все это описывается с помощью этих уравнений.

Разве это не здорово? И еще они очень простые. После того, как вы поймете их суть, суть вот этих вот значков на доске, вы сможете просто «в уме» решить большую половину всех экзаменационных задач на электричество и магнетизм.

Возможно только поэтому стоит уже потратить несколько часов, чтобы познакомиться с ними поближе.»

И дальше в этом же духе…

А поскольку наш курс рассчитан на опытных школьников, которые уже готовятся к финальным экзаменам, то мы можем себе позволить начать изучение основной теоретической части с разбора уравнений Максвелла.

Как показывает наша практика, такой подход оправдан. После разбора уравнений Максвелла детям гораздо проще понимать все остальные темы школьной физики, включая такие, как элементы теории относительности Эйнштейна и основы квантовой механики.

Почему же школьная физика не начинается с уравнений Максвелла?

К сожалению, в школьном курсе физики безраздельно царствуют механистическое упрощенчество физических законов и физических явлений.

Это, с одной стороны, действительно упрощает начальное знакомство с отдельными темами. И ускоряет приобретение навыков решения простых задач с помощью простых сокращенных формул.

С другой стороны, это закрывает дорогу к пониманию общих связей между явлениями и сводит всю школьную физику к набору мало связанных между собой простых частных случаев и мнемонических правил.

Особенно это становится заметно при изучении такой темы, как электромагнитные волны

Электростатика отдельно — вполне себе простая и понятная тема. Магнитостатика отдельно — тоже ничего сложного.

Но как только мы переходим к изучению электромагнитных волн, объяснения, приводимые в школьных учебниках становятся не просто очень далекими от действительности. Они напрочь запутывают учеников, не позволяя им прийти к качественному пониманию предмета.

Сам по себе рисунок того, как электромагнитные волны расширяются в виде сцепленных в перпендикулярных плоскостях колец, не просто странный. Он абсолютно не вносит никакой ясности в описанное явление. От него нет никакой практической пользы. Увы.

В итоге получается, что выдрессировать зубрежку определений и формул можно, но нельзя добиться понимания взаимосвязей между различными реальными физическими явлениями. И даже простых логических цепочек «что из чего следует» у школьников не будет при таком подходе.

Во всяком случае я точно помню, что в средней школе так и не смог понять в физике только одну вещь — как распространяются электромагнитные волны.

Это оставалось для меня тайной вплоть до знакомства с соответствующим разделом в курсе «Фейнмановских лекций по физике».

Все стало просто и понятно, когда я узнал, что нет никаких перпендикулярных расширяющихся колец! А есть лишь набор явлений, которые с достаточной точностью описываются уравнениями Максвелла.

Так что же такое уравнения Максвелла?

Вот они:

Ну правда же, они красивы? Элегантны и просты!

И они описывают все электромагнитные явления в нашем с вами физическом мире. Абсолютно все!

Но самое замечательное, что с момента их написания 150 лет назад в них не пришлось вносить никаких изменений. Ньютоновская механика «пала» под натиском теории относительности. Многие другие теории подверглись уточнениям и доработкам. А уравнения Максвелла работают в своем первозданном виде везде, по крайней мере до расстояний десять в минус шестнадцатой степени метра!

Справедливости ради нужно отметить, что Максвелл написал несколько больше уравнений. Целых двадцать штук. (Кстати вопрос: почему двадцать?)

Он расписывал свои законы электромагнетизма покомпонентно. Это выглядело несколько громоздко и не столь элегантно.

В дифференциальной векторной записи они действительно симметричны и красивы!

Быть может, они не совсем понятны школьникам?

Исправим это. Запишем уравнения «человеческим» языком.

Поток напряженности электрического поля Есквозь любую замкнутую поверхность = Заряд внутри этой поверхности / (Эпсилон-ноль)

Смысл:

«Источником электрического поля является заряд»

Циркуляция вектора напряженности Е по замкнутому контуру = Производной по времени от потока вектора магнитного поля В сквозь замкнутую поверхность, ограниченную этим контуром

Смысл:

«Всякое изменение магнитного поля во времени вызывает появление вихревого электрического поля»

Поток вектора магнитного поля В сквозь любую замкнутую поверхность = 0

Смысл:

«Источники магнитного поля в виде магнитных зарядов не существуют в природе»

Циркуляция вектора В по замкнутому контуру = Электрический ток сквозь поверхность, ограниченную этим контуром/ (квадрат скорости света * Эпсилон-ноль) + Производная по времени от потока вектора Е сквозь поверхность, ограниченную этим контуром/ (квадрат скорости света)

Смысл:

«Протекание тока по проводникам и изменения электрического поля во времени приводят к появлению вихревого магнитного поля.»

Так, пожалуй, будет более понятно?

А теперь мы с вами разберемся с уравнениями Максвелла с точки зрения понимания физики и приложения этого понимания к решению физических задач.

Как проще и полезнее представить себе электрические и магнитные поля?

Через поле скоростей!

Представим себе, что у нас с вами есть некоторое пространство (например наша Вселенная), и в каждой точке этого пространства находится некая частица, которая имеет, в свою очередь, определенную характеристику — скорость. И еще у нашего пространства частиц есть такая характеристика, как плотность частиц в единице объема и она постоянна.

И, да! Еще наши частицы двигаются в пространстве каждая со своей скоростью. Это напоминает движение воды в сосуде, например, в океане.

И еще у нас есть «источники» частиц — такие области, в которых частицы появляются. И есть «приемники» частиц — такие области, в которых наши частицы исчезают.

Напоминает умывальник, правда? Кран — источник, раковина — пространство, сливное отверстие — приемник.

Так вот! В результате нашего мысленного построения каждой точке нашего пространства сопоставлен вектор скорости частицы, которая находится в этой точке пространства. Таким образом мы можем сказать, что у нас есть векторное поле скоростей. Векторное поле, прямо по-определению, это некоторая область, каждой точке которой сопоставлен некоторый вектор.

Если эти вектора, которые сопоставлены каждой точке, находятся в абсолютном беспорядке, то про них и сказать то нечего. Такое поле совершенно бесполезно.

Но на наши вектора мы наложили некоторые ограничения. Мы сказали, что их плотность всегда постоянна. Тогда движение частиц в нашем пространстве аналогично движению частиц идеальной несжимаемой жидкости. А уж как жидкость может двигаться в нашем пространстве, это мы себе прекрасно представляем.

И нам всего лишь останется понять, чем поведение электрических и магнитных полей (областей пространства каждой точке которых сопоставлены вектора Е и В ) отличается от поведения поля скоростей движущейся жидкости.

Итак, пусть у нас есть поле вектора А. Это поле скоростей наших частиц.

Тогда, дивергенция векторного поля в любой точке

это есть сумма частных производных вектора А в этой точке по координатам.

Это скалярная величина. Она показывает, как много наших частиц появляется или исчезает в данной точке пространства. Дивергенцию можно еще назвать «истечение». Если она положительна, то частицы «появляются».

И чем больше их появляется, тем выше их скорость, и тем, соответственно, длиннее вектора скорости.

Плотность у нас постоянна, частицам нужно куда то деваться и они должны тем быстрее «убегать» от этой точки, чем больше их образуется в единицу времени.

Понятно, в чем смысл дивергенции векторного поля?

Из объема вокруг точки появления частиц они больше «истекают», чем «втекают».

Там где источника нет, «истечение» и «втечение» в сумме одинаково. Это, надеюсь, понятно.

Дифференциальная форма означает, что мы рассматриваем бесконечно малый объем вокруг некой точки. И смотрим на поведение нашего поля в этом бесконечно малом объеме. (За подробностями в наш учебник!)

Переходя к первому и третьему уравнению Максвелла, теперь можно применить наши знания о дивергенции к векторным полям Е и В.

Первое уравнение Максвелла говорит нам о том, что существуют такие точки в нашем с вами физическом пространстве, в которых ненулевая характеристика, называемая «электрический заряд» порождает «истечение» векторного поля Е из этой точки.

Мы с вами знаем, что заряд может быть положительный или отрицательный, тогда и «истечение» может быть положительным (из нашей точки наружу — оно же «истечение», а не «втечение») или отрицательным (это уже внутрь — типа «втечение»).

Действительно, линии векторного поля Е вытекают из «+» и втекает в «-«. Это можно посмотреть на картинках во всех учебниках.

Но только с помощью картинок линиями невозможно решать физические задачи, а вот с помощью уравнения Максвелла очень даже можно. И мы с вами с легкостью это проделаем в следующих параграфах.

Третье уравнение Максвелла говорит нам о том, что линии магнитного поля всегда замкнуты. Догадайтесь сами, почему при нулевой дивергенции поля В его линии обязаны быть всегда замкнутыми? (Первый, кто ответит на этот вопрос аргументированно, со ссылкой на уравнение Максвелла, получит в качестве приза цифровую ручку от нашего генерального спонсора)

Кстати, постоянная «эпсилон-ноль» в уравнениях Максвелла, вводится только по причине выбранной нами системы СИ (чтобы возникли привычные единицы силы электрического тока). Теоретически, мы можем так выбрать размерности величин, что коэффициенты превратятся в единицу. Тогда симметрия уравнений будет еще нагляднее.

Теперь разберемся со вторым и четвертым уравнениями

С понятием ротора проще всего разобраться, рассматривая непосредственно электрическое поле Е.

Вспомним откуда вообще взялось понятие электрического поля. И что значит вектор Е в какой-то точке.

Если мы из правой части закона Кулона (все помнят, я надеюсь, закон «тяготения для заряженных частиц»)

уберем один из зарядов, то все, оставшееся в правой части после выноса второго заряда, есть вектор электрического поля Е оставшегося заряда

То есть вектор Е, по-простому говоря, вызывает ускорение заряженных частиц, соответственно, и движение таких частиц.

Если в электрическое поле поместить проводник, то по нему пойдет ток, который и есть упорядоченное движение заряженных частиц. О»кей!

Тогда проделаем такой мысленный эксперимент. Поместим в наше электрическое поле Е маленькую рамку из проводящего материала, например, из медной проволоки.

Рамка очень-очень маленькая (бесконечно малая), круглая, и центр этого круга находится в рассматриваемой нами точке пространства. Тогда возможно два случая, как бы мы не располагали нашу рамку, ток в ней не возникнет. Или второй случай, ток есть.

Мы можем найти такое положение рамки, в котором по ней течет максимальный ток. Максимальный по отношению ко всем другим положениям рамки с центром в нашей точке.

Про первый случай можно сказать, что «ротор векторного поля» Е в нашей точке равен нулю. А если ток есть, то «ротор векторного поля» Е в нашей точке ненулевой.

Причем «ротор» — это вектор! Направлен он перпендикулярно плоскости нашей рамки с током в направлении «правого винта». Что это такое, мы разберем после, или посмотрите в учебнике. А лучше не смотрите!

Потому, что этот «винт» — он как раз и вытекает из уравнений Максвелла. А направление вектора на самом деле определяется правильными знаками в векторных уравнениях.

Попробую это объяснить более наглядно.

Помните, мы с вами проходили понятие момента вращения произвольного твердого тела с произвольным количеством приложенных к нему сил?

Так вот представьте себе, что «точка подвеса» — это наша точка пространства, «радиус вектора» — это радиус вектора положений свободных единичных зарядов вокруг нашей точки, а «вектора сил» — это вектора сил, действующих на частицы со стороны электрического поля Е.Существенное замечание — тело бесконечно малое.

Тогда, скажу вам по секрету, ротор можно аналогично тому, как мы с вами считали вращающий момент. (Докажите, что это так! Или что это не так.

Первый, кто докажет, получит в качестве приза цифровую ручку от нашего генерального спонсора) Кто найдет существенную ошибку в изложении материала, также получит в качестве приза цифровую ручку от нашего генерального спонсора.

Продолжение следует.

Источник: https://zen.yandex.ru/media/id/5aec3f5edd248401aaf986db/5b1aa225c71a92586b3163a9

Уравнения Максвелла как обобщение экспериментальных данных

Уравнения Максвелла как обобщение экспериментальных данных

Основой электродинамики в неподвижных средах является система уравнений Дж Максвелла. Эти уравнения получены последовательной систематизацией, интеграцией и исследованием эмпирических фактов.

Прежде всего, необходимо решить, какие из известных ранее уравнений могут быть оставлены без изменений и оговорок, какие из них требуют обобщения, трансформации или вообще требуется отбросить.

В качестве ориентира в этом отношении используют следующее положение: исключаются из состава основных все уравнения, в основе которых лежат представления о непосредственном действии на расстоянии. К таким законам относят, например, закон Кулона, Био и Савара.

Эти законы не совмещаются с пониманием того, что электромагнитные взаимодействия распространяются с конечной скоростью, следовательно, не являются верными в абсолютно всех случаях. Сохраняют только те уравнения, которые не противоречат положениям теории поля.

В качестве гипотезы предполагается, что теорема Остроградского — Гаусса:

уравнение:

закон электромагнитной индукции (в формулировке Максвелла):

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

являются общими законами электродинамики. То, что они удовлетворяют требованиям теории поля, следует из существования этих же законов в дифференциальной (полевой) трактовке:

К основным уравнениям электродинамики добавляют закон сохранения заряда, который в дифференциальной форме представлен как:

В случае стационарности электромагнитного поля выражение (5) переходит в:

Теорема о циркуляции:

может быть также записана в дифференциальной форме:

следовательно, удовлетворяет требованиям теории поля. Тем не менее, она не входит в состав основных уравнений электродинамики. Если в выражении (8) провести операцию дивергенции для обеих частей равенства, то получим, что $div\overrightarrow{j}=0$, так как $div(rot\overrightarrow{H)}=0$. Однако, выражение (6) справедливо только для стационарных токов.

Получается, что мы получено противоречие с уравнением (5) для общего случая. Полагать, что не выполняется закон (5) нельзя, так как это фундаментальный закон сохранения заряда. Значит, следует сделать вывод, что выражения (7) и (8) требуют обобщения. Это обобщение вводится в виде тока смещения.

Плотность тока смещения ($\overrightarrow{j_{sm}}$) определена как:

Максвелл назвал плотностью полного тока выражение $\ \overrightarrow{j}+\overrightarrow{j_{sm}}$ , причем:

Максвелл переписал выражение (8) в виде:

Доказательством истинности уравнения (11) служат опытные данные, которые подтверждают уравнение (11).

Определение 1

Итак, Максвелл дополнил основные положения электромагнетизма введением токов смещения и написал систему фундаментальных уравнений электродинамики. В настоящее время их четыре. В дифференциальной форме эта система имеет вид:

Рисунок 1.

В число фундаментальных уравнений не включено уравнение непрерывности (5), так как это уравнение — следствие уравнений, которые входят в систему Максвелла.

Замечание

Уравнения Максвелла показывают, что источниками электрического поля служат электрические заряды и переменные магнитные поля. Магнитные поля порождаются перемещающимися электрическими зарядами (токами) и переменными электрическими полями. Уравнения Максвелла не являются симметричными относительно магнитного и электрического полей.

Это произошло вследствие того, что электрические заряды в природе существуют, а магнитных зарядов считается, что не существует. Дирак, в свое время, стремясь придать уравнениям электродинамики симметрию, выдвинул гипотезу о существовании магнитных зарядов, назвал их единичными магнитными полюсами (монополиями). Логических противоречий этой гипотезе нет.

Существование таких зарядов потребовало бы обобщения уравнений Максвелла. Потребовалось бы к источникам магнитного поля добавить магнитные заряды, а к источникам электрических полей — магнитные токи. При этом справедливость уравнений Максвелла была бы ограничена областями, в которых магнитных зарядов и магнитных токов нет.

Однако попытки экспериментального обнаружения магнитных зарядов по сей день успехом не увенчались.

Замечание 1

Рассуждения, с помощью которых получена система уравнений Максвелла, не может служить доказательством. Принципиально новые положения старая теория никогда не содержит. В этом смысле нельзя вывести уравнения Максвелла логически. Данные уравнения следует рассматривать как основные аксиомы электродинамики, которые получены путем обобщения эмпирических данных.

Пример 1

Задание: Объясните, в чем разница между пониманием явления электромагнитной индукции Максвеллом и Фарадеем?

Решение:

Согласно представлениям Фарадея, электромагнитная индукция состоит в том, что переменное магнитное поле возбуждает электрический ток. Для того чтобы наблюдать это явление, обязательно требуется замкнутый проводник.

Максвелл видел суть электромагнитной индукции прежде всего в порождении электрического поля, следовательно, это явление можно наблюдать, когда в пространстве нет проводников вообще.

И возникновение электрического тока в проводнике — одно из проявлений электрического поля, которое появляется как следствие изменения магнитного поля. Это поле может выполнять и другие действия, например, поляризовать диэлектрик, ускорять заряженные частицы.

Предположение Максвелла подтверждают эксперименты, которые показывают, что ЭДС индукции не зависит от рода и состояния проводника (его температуры, однородности).

Это показывает, что причиной возникновения ЭДС заключается в появлении электрического поля под действием переменного магнитного поля, и проводник играет второстепенную роль и является детектором поля.

Важная особенность явления в том, что появляющееся электрическое поле не является электростатическим. Электрическое поле, которое появляется при электромагнитной индукции, имеет непрерывные линии напряженности (обладает вихревым характером).

Циркуляция вектора напряженности в таком поле отлично от нуля зависит от формы проводящего контура. Углубленное истолкование явления электромагнитной индукции ведет к основному положению теории Максвелла о том, что переменное магнитное поле вызывает появление вихревого электрического поля.

Что количественно отображается в уравнении:

\[rot\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}.\]

Пример 2

Задание: Что представляет собой система уравнений Максвелла для стационарных полей?

Решение:

В том случае, если мы рассматриваем стационарное магнитное и стационарное электрическое поля, то следует учесть, что:

\[\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}=\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}=0\ \left(2.1\right).\]

В таком случае, система уравнений Максвелла распадется на две группы независимых уравнений. Первая группа — уравнения электростатики:

\[rot\overrightarrow{E}=0,\ div\overrightarrow{D}=\rho \ \left(2.2\right).\]

Вторая группа — уравнения магнитостатики:

\[rot\overrightarrow{H}=\overrightarrow{j},\ div\overrightarrow{B}=0\ \left(2.3\right).\]

В случае стационарных полей электрическое и магнитное поля независимы друг от друга. Источниками электрического поля являются только электрические заряды, источники магнитного поля — токи проводимости.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/uravneniya_maksvella/uravneniya_maksvella_kak_obobschenie_eksperimentalnyh_dannyh/

Уравнения Максвелла. Первое уравнение Максвелла

Уравнения Максвелла как обобщение экспериментальных данных

Для описания электромагнитного поля было введено шесть векторов Е, Р, D, В, М и Н. Так как векторы электрического поля Е, Р, D связаны соотношением (1.4), а векторы магнитного поля В, М, Н – соотношением (1.

15), то для определения электромагнитного поля можно ограничиться нахождением четырех векторов. Обычно в качестве таких векторов используют векторы Е, D, В и Н. В линейных изотропных средах, для которых справедливы соот­ношения (1.5) и (1.

17), электромагнитное поле может быть пол­ностью определено двумя векторами (обычно Е и Н).

Все электромагнитные процессы, относящиеся к макроскопи­ческой электродинамике, подчиняются законам, впервые сформу­лированным в виде дифференциальных уравнений Дж.К. Макс­веллом, которые были опубликованы им в 1873 г. Эти уравнения были получены в результате обобщения накопленных к тому времени экспериментальных данных и называются уравнениями Максвелла.

Первое уравнение Максвелла является обобщением закона полного тока (закона Ампера). В домаксвелловской формулировке это уравнение могло быть сформулировано следующим образом: циркуляция вектора напряженности Н магнитного поля по замк­нутому контуру Г равна току I, пронизывающему данный контур:

(1.25)

где dl= τdlэлемент контура Г, направленный по касательной к Г; τ0 орт этой касательной, положительное направление кото­рого выбирается в соответствии с обходом контура Г. В каче­стве контура Г может быть взят любой одновитковый замкнутый контур.

До Максвелла под током I понимали только ток проводимости. В общем случае распределение тока I внутри контура Г может быть неравномерным. При этом

(1.26)

где j – вектор плотности тока проводимости; S – произвольная поверхность, опирающаяся на контур Г; dS = n0dS, a n0 – орт нормали к поверхности S (рис. 1.6). Направление вектора n0 определяется направлением обхода контура Г.

Пусть для оп­ределенности все точки поверхности S расположены с одной стороны относительно контура Г. Тогда, если смотреть вдоль вектора n0, обход контура Г будет идти по часовой стрелке.

Такую взаимосвязь направлений вектора n0 и обхода контура для краткости будем условно называть правовинтовой системой. Подставляя (1.26) в (1.25), получаем

(1.27)

Рис. 1.6. Орт нормали к поверхности S

Уравнение (1.27), справедливое при постоянном токе, ока­зывается неверным в случае переменных процессов. Дейст­вительно, рассмотрим конденсатор, включенный в цепь пере­менного тока (рис. 1.7). Пусть Г – замкнутый контур, охваты­вающий провод, по которому течет переменный ток. Правая часть уравнения (1.

27) представляет собой интеграл от плотности тока проводимости j по произвольной поверхности S, опирающейся на контур Г. Эту поверхность можно провести так, чтобы она либо пересекла провод (поверхность S1 на рис. 1.7), либо прошла между обкладками конденсатора (поверхность S2).

Интеграл в правой части уравнения (1.27) в первом случае равен току I, а во втором обращается в нуль. В то же время циркуляция напряженности магнитного поля по контуру Г (левая часть уравнения) не зависит от того, как проведена поверхность S.

Это противоречие сви­детельствует о непригодности уравнения (1.27) для описания переменных полей.

Рис. 1.7. Конденсатор, включенный в цепь пере­менного тока

Максвелл дал обобщенную формулировку закона полного тока. Он ввел фундаментальное понятие тока смещения и, ос­новываясь на работах Фарадея, предположил, что в случае переменных полей ток смещения с точки зрения образования магнитного поля равноценен току проводимости.

Примером эле­ктрической системы, в которой преобладают токи смещения, может служить рассмотренный выше конденсатор в цепи пе­ременного тока.

Переменный ток может циркулировать между обкладками конденсатора даже в том случае, когда они разделены идеальным диэлектриком или находятся в вакууме и, следо­вательно, образование тока проводимости невозможно.

Соеди­нительный провод, по которому течет ток проводимости, окружен кольцевыми линиями магнитного поля, которые как бы образуют «оболочку» вокруг всего провода. Максвелл предположил, что эта «оболочка» не обрывается у пластин конденсатора, а образует непрерывную поверхность, т.е.

изменяющееся электрическое поле конденсатора также окружено кольцевыми линиями магнитного поля. Таким образом, переменное электрическое поле, так же как и ток проводимости, сопровождается появлением магнитного поля. Это дало основание ввести понятие о новом виде тока, получившем название тока смещения. Плотность тока смещения определяется формулой:

. (1.28)

Как и плотность тока проводимости, она измеряется в А/м2.

Подчеркнем, что ток проводимости и ток смещения в вакууме имеют различную физическую сущность. Ток проводимости – это упорядоченное движение свободных электрических зарядов.

Ток смещения в вакууме соответствует только изменению электри­ческого поля и не сопровождается каким-либо движением электрических зарядов. В вакууме D = ε0Е и уравнение (1.28) принимает вид .

Ток смещения в вакууме не сопровождается выделением тепла.

Рассмотрим общий случай, когда ток смещения возникает в какой-либо среде. Вектор электрического смещения связан с векторами Е и Р соотношением (1.4). Подставляя это соотношение в (1.28), получаем

.

Первое слагаемое в правой части этой формулы совпадает с выражением для плотности тока смещения в вакууме, т.е. определяет как бы «чистый» ток смещения, не связанный непо­средственно с движением зарядов.

Второе слагаемое определяет ток смещения, обусловленный движением зарядов, связанных с атомами вещества, в результате действия переменного поля.

Эту составляющую тока смещения можно рассматривать как свое­образный ток проводимости, так как она, по существу, обусловлена упорядоченным перемещением связанных зарядов. На ее под­держание в реальной среде затрачивается некоторая часть энергии электромагнитного поля.

Вернемся к закону полного тока. Как уже указывалось, Макс­велл предположил, что уравнение (1.25) имеет частный характер, так как не учитывает токов смещения. Для того чтобы оно было справедливым и в случае переменных полей, нужно в его правую часть помимо тока проводимости I ввести ток смещения Iсм:

. (1.29)

Ток смещения выражается через плотность тока смещения jcмсоотношением:

. (1.30)

Подставляя формулы (1.26) и (1.30) в (1.29), получаем

. (1.31)

Уравнение (1.31) сформулировано применительно к контуру конечных размеров. Оно представляет собой первое уравнение Максвелла в интегральной форме.

Максвеллом этот закон был сформулирован также в диф­ференциальной форме. Для перехода к дифференциальной фор­ме воспользуемся теоремой Стокса (П. 20). Заменяя в уравнении (1.31) циркуляцию вектора Н интегралом от rot H по поверхности S, получаем

. (1.32)

Так как S-произвольная поверхность, то равенство (1.32) возможно только в том случае, если

. (1.33)

Равенство (1.33) называют первым уравнением Максвелла. Векторное уравнение (1.33) эквивалентно трем скалярным урав­нениям, которые в декартовой системе координат х, у, z имеют вид

Источник: https://3ys.ru/osnovy-teorii-elektromagnitnogo-polya/uravneniya-maksvella-pervoe-uravnenie-maksvella.html

I. Четвертое уравнение Максвелла как обобщение экспериментального закона Кулона

Уравнения Максвелла как обобщение экспериментальных данных

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

План:

I. Полевая трактовка закона Кулона. Напряженность и индукция поля
точечного заряда.

II. 2-я (электростатическая) теорема Остроградского-Гаусса.

III. 4-е уравнение Максвелла как обобщение закона Кулона.

1. Закон Кулона — закон взаимодействия неподвижных точечных зарядов.

Точечный заряд — это абстракция. Точечным зарядом можно считать заряд тела, размерами которого можно пренебречь или, например, размеры взаимодействующих заряженных тел достаточно малы по сравнению с расстоянием между ними.

Рассмотрим два точечных заряда и , находящихся на расстоянии (рис. 3).

рис 3. Два точечных заряда.

Сила, действующая на , по закону Кулона равна:

— коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц.
В СИ: , где — диэлектрическая проницаемость вакуума.

В гауссовой системе . В дальнейшем используется гауссова система единиц – для преемственности с другими разделами теоретической физики.
Тогда закон кулона записывается так:

(1.1)

Формула 1.1 показывает, что может происходить как притяжение, если и разноименные заряды, так и отталкивание, если и — одноименные.

Закон Кулона соответствует концепции дальнодействия, так как сила, действующая на , имеет причину — заряд , находящийся от на расстоянии .

Наша «сверхзадача» — перейти к такой форме, которая связывала бы причину и следствие в одной точке пространства. Для этого вводим понятие поля.

Сначала определим вектор напряженности поля заряда в точке 2, где

находится заряд :

Эта формула не совсем удобна, так как имеет разное значение в разных средах (зависит от ). Введем вектор электрической индукции поля
заряда , равный:

Проведем обобщение этой формулы:

1) сначала отвлечемся от точки 2 и напишем формулу для любой точки поля: ,

2) затем напишем для любого заряда , создающего поле:

(1.2)

Формула (1.2) означает, что поле вектора обладает сферической
симметрией. (Рис.4, а и б).

а)

б)

Рис 4. Силовые линии точечного заряда: а) положительный заряд, б) отрицательный заряд.

Это хорошо известные «школьные» картинки. Они показывают, что силовые линии могут выходить (» вытекать» ) из заряда — случай a), могут входить (» втекать») в заряд — случай б).

Что является дифференциальной причиной такого «истока» и «стока» в данной точке поля, нам и предстоит выяснить.

Но сначала докажем интегральную теорему для потока вектора электрической индукции, это и есть 2-я (электростатическая) теорема Остроградского-Гаусса.

II. 2-я (электростатическая) теорема Остроградского-Гаусса

Необходимо вычислить поток вектора электрической индукции через
произвольную замкнутую поверхность в случае произвольного распределения заряда, т.е. . Вычисление проведем в несколько этапов, постепенно обобщая результаты.

I. Сначала вычислим элементарный поток вектора электрической индукции т.е. поток вектора через элементарную площадку отстоящую от точечного заряда на расстоянии .

Для определенности пусть заряд — положительный. Тогда (см. рис. 5)

Рис.5

где — элементарная площадка, перпендикулярная радиусу-вектору и равная .

Подставляем вместо его значение для точечного заряда, т.е. и получаем, что поток равен , где — элемент телесного угла, под которым из точки, где расположен заряд , видны поверхности и . При этом равен

(1.3).

Обратите внимание на эту формулу. Она показывает, что может
иметь разные знаки, а именно:

(1.4а)

(1.4б)

Учитывая (1.3) получаем для потока выражение:

(1.5)

2. Вычислим поток вектора электрической индукции через произвольную
замкнутую поверхность от одного точечного заряда. Для этого используем только что доказанный результат. Рассмотрим два случая:

а) Заряд находится внутри замкнутой поверхности S. Тогда согласно рис. 6:

поскольку полный телесный угол, под которым изнутри видна замкнутая поверхность, равен .

рис 6.

Итак, в этом случае поток равен

(1.6)

б) Заряд находится вне замкнутой поверхности S. Тогда поток

Рассмотрим два элемента поверхности и , которые из точки, где расположен заряд, видны под одним и тем же по величине телесным углом (рис.7).

рис 7.

Однако площадка видна под положительным телесным углом , потому что нормаль образует острый угол с радиусом-вектором. Площадка видна под отрицательным телесным углом , так как нормаль образует тупой угол с радиусом-вектором. В сумме же эти два телесных угла компенсируют друг друга, т.е. . В итоге . Тогда поток будет равен

(1.7)

Рассматривая совместно (1.6) и (1.7), запишем:

(1.8)

Итак, для одного точечного заряда теорема доказана.

3. Пусть имеется система точечных зарядов . Вычислим
поток вектора электрической индукции через произвольную замкнутую, поверхность для системы точечных зарядов.

Согласно принципу суперпозиции каждый заряд независимо от других создает свою и соответственно свой поток через поверхность . Но учитывать надо только заряды, находящиеся внутри поверхности согласно (1.

8), так как заряды, находящиеся вне поверхности вклада в поток не дадут. Тогда каждый заряд, находящийся внутри поверхности дает поток:

, …,

.

Просуммируем эти потоки:

где и , .

Тогда поток равен:

(1.9)

Формально получен такой же результат, что и в (1.6) , но он применим,
для более общего случая.

4. Рассмотрим непрерывное распределение заряда по объему V,
ограниченному поверхностью . Характеристикой такого распределения
является объемная плотность электрического заряда , определяемая
следующим образом:

(1.10)

При этом элемент объема имеет заряд , заряд же всего
объема вычисляется , где в общем случае может зависеть как от координат, так и от времени, т.е. .

Разбиваем мысленно объем V на элементарные объемы такие, что заряд объема можно было бы считать точечным. Тогда этот заряд равен . Согласно доказанной ранее теореме каждый такой точечный заряд создает свой поток, равный:

Здесь — вектор электрической индукции, создаваемой зарядом . Для этих зарядов так же выполняется принцип суперпозиции. Просуммируем все потоки от зарядов и перейдем к пределу суммы:

(1.11)

Рассмотрим по отдельности каждое выражение, вспоминая, что предел
такой суммы — соответствующий интеграл:

,

. (1.12)

Тогда вместо (1.11) на основании равенств (1.12) получаем, что

(1.13)

Итак, в случае произвольного распределения заряда (см. (1.9), (1.13)) поток вектора электрической индукции через произвольную замкнутую поверхность равен , где — заряд, находящийся внутри поверхности .

Если внутри данной поверхности нет зарядов, то поток равен нулю. Это и есть 2-я теорема Остроградского-Гаусса. Она позволяет достаточно просто вычислять значение вектора для ряда случаев, т.е.

решать конкретные задачи.

III. Переходим к нахождению 4-го уравнения Максвелла. Для этого рассмотрим совместно две интегральные теоремы — I-ю и 2-ю теоремы Остроградского-Гаусса. По 1-й теореме (из векторного анализа) запишем для потока любого вектора :

.

Для потока вектора получаем, полагая :

(1.14)

По 2-й теореме для потока вектора .

Будем считать, что заряд распределен по объему с плотностью .
Тогда для потока вектора можно записать:

(1.15)

В левой части (1.14) и (1.15) поток вектора , следовательно, можно
приравнять и правые части:

.

Для элемента объема получаем:

, ,

откуда следует, что

(1.16)

Это и есть искомое четвертое уравнение Максвелла.

Выясним его физический смысл. В теоретической физике уравнения записываются следующим образом: в правой части – причина, в левой – следствие. Согласно (1.16) в левой части стоит .

Как известно из векторного анализа дивергенция характеризует источник поля данного вектора. Нас интересует, что является причиной образования источника поля в данной точке. Ответ в правой части уравнения (1.

16) — причиной является объемная плотность заряда в этой же самой точке поля.

Итак, причиной источника поля является объемная плотность заряда в этой же самой точке. При этом возможны три случая:

1) если (положительные заряды), то — это означает, что в данной точке «исток» («начало» силовых линий );

2) если (отрицательные заряды ), то — это означает «сток» (конец силовых линий );

3) если , то , но — это означает, что линии идут непрерывно:

4-е уравнение Максвелла является обобщением закона Кулона. 1 закон Кулона соответствует концепции дальнодействия, как это уже

отмечалось, потому что причина – заряд и следствие — сила, действующая на заряд , находятся в разных точках пространства.

4-е уравнение Максвелла соответствует концепции близкодействия, так как
причина — объемная плотность заряда и следствие — связаны
в одной и той же точке. Таким образом, 4-е уравнение Максвелла описывает любую точку поля, даже такую, в которой отсутствует заряд (см. случай 3).

2 закон Кулона — закон взаимодействия точечных зарядов. 4-е уравнение
Максвелла применимо для любого распределения зарядов и даже тогда, когда .

3 закон Кулона — это закон электростатики. Так взаимодействуют неподвижные заряды.

4-е уравнение Максвелла — уравнение электродинамики. Оно применимо и в
случае .

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Дата добавления: 2015-10-19; просмотров: 1122. Нарушение авторских прав

Рекомендуемые страницы:

Источник: https://studopedia.info/10-34963.html

Booksm
Добавить комментарий