Уравнения гидродинамики

3. Основа гидродинамики — Курс гидравлики

Уравнения гидродинамики

Гидродинамика — раздел гидравлики, в котором изучаются законы движения жидкости и ее взаимодействие с неподвижными и подвижными поверхностями.

Если отдельные частицы абсолютно твердого тела жестко связаны между собой, то в движущейся жидкой среде такие связи отсутствуют. Движение жидкости состоит из чрезвычайно сложного перемещения отдельных молекул.

3.1. Основные понятия о движении жидкости

Живым сечением ω (м²) называют площадь поперечного сечения потока, перпендикулярную к направлению течения. Например, живое сечение трубы — круг (рис.3.1, б); живое сечение клапана — кольцо с изменяющимся внутренним диаметром (рис.3.1, б).

Рис. 3.1. Живые сечения: а — трубы, б — клапана

Смоченный периметр χ («хи») — часть периметра живого сечения, ограниченное твердыми стенками (рис.3.2, выделен утолщенной линией).

Рис. 3.2. Смоченный периметр

Для круглой трубы

если угол в радианах, или

Расход потока Q — объем жидкости V, протекающей за единицу времени t через живое сечение ω.

Средняя скорость потока υ — скорость движения жидкости, определяющаяся отношением расхода жидкостиQ к площади живого сечения ω

Поскольку скорость движения различных частиц жидкости отличается друг от друга, поэтому скорость движения и усредняется. В круглой трубе, например, скорость на оси трубы максимальна, тогда как у стенок трубы она равна нулю.

Гидравлический радиус потока R — отношение живого сечения к смоченному периметру

Течение жидкости может быть установившимся и неустановившимся. Установившимся движением называется такое движение жидкости, при котором в данной точке русла давление и скорость не изменяются во времени

υ = f(x, y, z)

P = φ f(x, y, z)

Движение, при котором скорость и давление изменяются не только от координат пространства, но и от времени, называется неустановившимся или нестационарным

υ = f1(x, y, z, t)

P = φ f1(x, y, z, t)

Линия тока (применяется при неустановившемся движении) это кривая, в каждой точке которой вектор скорости в данный момент времени направлены по касательной.

Трубка тока — трубчатая поверхность, образуемая линиями тока с бесконечно малым поперечным сечением. Часть потока, заключенная внутри трубки тока называется элементарной струйкой.

Рис. 3.3. Линия тока и струйка

Течение жидкости может быть напорным и безнапорным. Напорное течение наблюдается в закрытых руслах без свободной поверхности.

Напорное течение наблюдается в трубопроводах с повышенным (пониженным давлением). Безнапорное — течение со свободной поверхностью, которое наблюдается в открытых руслах (реки, открытые каналы, лотки и т.п.).

В данном курсе будет рассматриваться только напорное течение.

Рис. 3.4. Труба с переменным диаметром при постоянном расходе

Из закона сохранения вещества и постоянства расхода вытекает уравнение неразрывности течений. Представим трубу с переменным живым сечением (рис.3.4). Расход жидкости через трубу в любом ее сечении постоянен, т.е. Q1=Q2= const, откуда

Таким образом, если течение в трубе является сплошным и неразрывным, то уравнение неразрывности примет вид:

3.2. Уравнение Бернулли для идеальной жидкости

Уравнение Даниила Бернулли, полученное в 1738 г., является фундаментальным уравнением гидродинамики. Оно дает связь между давлением P, средней скоростью υ и пьезометрической высотой z в различных сечениях потока и выражает закон сохранения энергии движущейся жидкости. С помощью этого уравнения решается большой круг задач.

Рассмотрим трубопровод переменного диаметра, расположенный в пространстве под углом β (рис.3.5).

Рис.3.5. Схема к выводу уравнения Бернулли для идеальной жидкости

Выберем произвольно на рассматриваемом участке трубопровода два сечения: сечение 1-1 и сечение 2-2. Вверх по трубопроводу от первого сечения ко второму движется жидкость, расход которой равен Q.

Для измерения давления жидкости применяют пьезометры — тонкостенные стеклянные трубки, в которых жидкость поднимается на высоту . В каждом сечении установлены пьезометры, в которых уровень жидкости поднимается на разные высоты.

Кроме пьезометров в каждом сечении 1-1 и 2-2 установлена трубка, загнутый конец которой направлен навстречу потоку жидкости, которая называется трубка Пито. Жидкость в трубках Пито также поднимается на разные уровни, если отсчитывать их от пьезометрической линии.

Пьезометрическую линию можно построить следующим образом. Если между сечением 1-1 и 2-2 поставить несколько таких же пьезометров и через показания уровней жидкости в них провести кривую, то мы получим ломаную линию (рис.3.5).

Однако высота уровней в трубках Пито относительно произвольной горизонтальной прямой 0-0, называемой плоскостью сравнения, будет одинакова.

Если через показания уровней жидкости в трубках Пито провести линию, то она будет горизонтальна, и будет отражать уровень полной энергии трубопровода.

Для двух произвольных сечений 1-1 и 2-2 потока идеальной жидкости уравнение Бернулли имеет следующий вид:

Так как сечения 1-1 и 2-2 взяты произвольно, то полученное уравнение можно переписать иначе:

и прочитать так: сумма трех членов уравнения Бернулли для любого сечения потока идеальной жидкости есть величина постоянная.

С энергетической точки зрения каждый член уравнения представляет собой определенные виды энергии:

z1 и z2 — удельные энергии положения, характеризующие потенциальную энергию в сечениях 1-1 и 2-2;
 — удельные энергии давления, характеризующие потенциальную энергию давления в тех же сечениях;
 — удельные кинетические энергии в тех же сечениях.

Следовательно, согласно уравнению Бернулли, полная удельная энергия идеальной жидкости в любом сечении постоянна.

Уравнение Бернулли можно истолковать и чисто геометрически. Дело в том, что каждый член уравнения имеет линейную размерность. Глядя на рис.3.5, можно заметить, что z1 и z2 — геометрические высоты сечений 1-1 и 2-2 над плоскостью сравнения;  — пьезометрические высоты;  — скоростные высоты в указанных сечениях.

В этом случае уравнение Бернулли можно прочитать так: сумма геометрической, пьезометрической и скоростной высоты для идеальной жидкости есть величина постоянная.

3.3. Уравнение Бернулли для реальной жидкости

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости несколько отличается от уравнения

Дело в том, что при движении реальной вязкой жидкости возникают силы трения, на преодоление которых жидкость затрачивает энергию. В результате полная удельная энергия жидкости в сечении 1-1 будет больше полной удельной энергии в сечении 2-2 на величину потерянной энергии (рис.3.6).

Рис.3.6. Схема к выводу уравнения Бернулли для реальной жидкости

Потерянная энергия или потерянный напор обозначаются  и имеют также линейную размерность.

Уравнение Бернулли для реальной жидкости будет иметь вид:

Из рис.3.6 видно, что по мере движения жидкости от сечения 1-1 до сечения 2-2 потерянный напор все время увеличивается (потерянный напор выделен вертикальной штриховкой).

Таким образом, уровень первоначальной энергии, которой обладает жидкость в первом сечении, для второго сечения будет складываться из четырех составляющих: геометрической высоты, пьезометрической высоты, скоростной высоты и потерянного напора между сечениями 1-1 и 2-2.

Кроме этого в уравнении появились еще два коэффициента α1 и α2, которые называются коэффициентами Кориолиса и зависят от режима течения жидкости ( α = 2 для ламинарного режима, α = 1 для турбулентного режима ).

Потерянная высота  складывается из линейных потерь, вызванных силой трения между слоями жидкости, и потерь, вызванных местными сопротивлениями (изменениями конфигурации потока)

 = hлин + hместС помощью уравнения Бернулли решается большинство задач практической гидравлики. Для этого выбирают два сечения по длине потока, таким образом, чтобы для одного из них были известны величины Р, ρ, g, а для другого сечения одна или величины подлежали определению. При двух неизвестных для второго сечения используют уравнение постоянства расхода жидкости υ1ω 1 = υ2ω2.3.4. Измерение скорости потока и расхода жидкости

Для измерения скорости в точках потока широко используется работающая на принципе уравнения Бернулли трубка Пито (рис.3.7), загнутый конец которой направлен навстречу потоку.

Пусть требуется измерить скорость жидкости в какой-то точке потока.

Поместив конец трубки в указанную точку и составив уравнение Бернулли для сечения 1-1 и сечения, проходящего на уровне жидкости в трубке Пито получим

где Н — столб жидкости в трубке Пито.

Рис. 3.7. Трубка Пито и pасходомер Вентури

Для измерения расхода жидкости в трубопроводах часто используют расходомер Вентури, действие которого основано так же на принципе уравнения Бернулли.

Расходомер Вентури состоит из двух конических насадков с цилиндрической вставкой между ними (рис.3.7).

Если в сечениях I-I и II-II поставить пьезометры, то разность уровней в них будет зависеть от расхода жидкости, протекающей по трубе.

Пренебрегая потерями напора и считая z1 = z2 , напишем уравнение Бернулли для сечений I-I и II-II:

илиИспользуя уравнение неразрывностисделаем замену в получено выражении:Решая относительно Q, получим

Выражение, стоящее перед , является постоянной величиной, носящей название постоянной водомера Вентури.

Из полученного уравнения видно, что h зависит от расхода Q. Часто эту зависимость строят в виде тарировочной кривой h от Q, которая имеет параболический характер.

Источник: https://www.sites.google.com/site/kursgidravliki/osnova-gidrodinamiki

Уравнения гидродинамики

Уравнения гидродинамики

Определение 1

Гидродинамика – обширный и важный раздел гидравлики, исследующий основные законы движения идеальной жидкости и ее взаимосвязь с подвижными и неподвижными поверхностями.

Рисунок 1. Уравнение Бернулли. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Движение физического вещества состоит из достаточно сложного перемещения отдельных атомов молекул. В целях упрощения длительного расчета вводится определение струйчатой модели стабильности. Согласно этой модели, весь поток включает в себя отдельные элементарные струйки, рассмотрение которых в отдельности дает шанс понять закономерности потока жидкости в целом.

С точки зрения математической формулировки движения текучих и постоянных сред, нет разницы между газом и жидкостью. Иногда жидкостью называют несжимаемое пространство, а газом называют среду, у которой начальная плотность существенно меняется со временем.

Жидкость – такое состояние физического пространства, при котором она быстро и легко деформируется под влиянием внутренних и внешних сил.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

В отличие от твердого материального тела жидкость не оказывает особое сопротивления сдвиговым нагрузкам, и поэтому такому объему без труда можно придать любую форму.

В то же время жидкость может самостоятельно сопротивляться нормальным напряжениям сжатия или растяжения, иногда даже намного сильнее, чем физические вещества.

Данная особенность жидкости широко применяется в разнообразных гидравлических машинах и устройствах, например, в гидравлических домкратах и прессах.

Жидкость в основном характеризуется несколькими основными параметрами:

  • плотность $ρ$;
  • динамическая вязкость $μ$;
  • теплоемкость $c$;
  • теплопроводность $\lambda$.

В гидродинамике исследуются математические модели течений газа и жидкости в разных условиях. Эти модели в первую очередь представляют собой концепции дифференциальных уравнений при частных и производных обстоятельствах.

Основные уравнения гидродинамики

Главными гидродинамическими уравнениями являются уравнение неразрывности или сплочённости сред, а также уравнение Бернулли.

Уравнение неразрывности представляет собой формулу стабильности расхода и записывается следующим образом:

$dQ_1 + dQ_2 = dQ = const$, где:

$Q_1, Q_2, Q$ – скорости начального движения частиц жидкости в различных живых сечениях струйки.

Для потока уравнение сплоченности сред будет выглядеть так:

$Q_1 = Q_2 = Q$.

Замечание 1

Уравнение Бернулли считается фундаментальным законом гидродинамики. Оно устанавливает взаимосвязь между скоростью, давлением, и положение исследуемого элемента в пространстве. Посредством этого уравнения решается огромный круг сложных инженерных задач.

Для упрощения изучения общих и важных закономерностей, присущих постоянно движущейся жидкости, ее часто представляют в виде неизменной среды, не обладающей внутренней энергией и трением. Такую жидкость в физике называют идеальной.

Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости чаще всего используется при расчетах и имеет следующий вид

$Z_1 + \frac{P_1} {y} + \frac{U_2}{y} = Z_2 + \frac{P_2}{y} + \frac{U}{2}{2}{2g} = idem$, где:

  • $Z$ – геометрический стабильный напор, или потенциальная удельная энергия начального положения;
  • $\frac{P}{y}$ — изометрический напор, или удельная сила давления;
  • $\frac{U}{2}{2}{2g}$ — cкоростной напор, или кинетическая энергия.

Это уравнение также считается формулой закона сохранения и удержания энергии для движущейся жидкости. В этом заключается ее основной физический смысл.

При длительном движении реальной жидкости, обладающей определенной вязкостью, часть ее внутренней энергии автоматически затрачивается на преодоление сил трения. Этот показатель в виде тепла рассеивается в окружающую среду. Такое явление необратимо и в науке называется диссипацией. Диссипируемую величину в гидродинамике называют гидравлическими потерями.

Уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости

Рисунок 2. Уравнение Навье-Стокса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Плотность несжимаемой жидкости в любых ситуациях постоянна, в математической модели она выступает как изначальный заданный параметр. Уравнение неразрывности при этом имеет такой вид

$\frac{d_vi }{d_xi } = 0$.

Система уравнений всегда замкнута, так как содержит 4 формулы для трёх компонент скорости и давления.

В развернутой форме для компонент скоростного вектора $v = G$ в декартовой системе координат $ x, y, z$ уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости с постоянной вязкостью записывается так:

$\frac{du}{dx} + \frac{dv}{dy} + \frac{dw}{dz} = 0$.

Взгляд на температуру как основную меру внутренней энергии, непосредственно связанную со скоростью движения атомов и молекул, используется в физике, а в гидродинамике был принят феноменологический метод, при котором исследуют макроскопические характеристики переноса тепла. В частности, вводится определение теплового потока между нагретыми частями сплошного пространства.

Тепловой поток $Q$ – это точное количество тепла, которое трансформируется в единицу времени $Q = \frac{Дж}{сВт}$.

Плотность теплового постоянного потока $q = \frac{Q}{S}$ – это протекающий через единицу площади поток.

Тепло в гидродинамике переносится разными механизмами:

  1. Молекулярная термодиффузия или теплопроводность. В горячей части определенной среды молекулы более подвижны, они возбуждают своим действием соседние, в результате чего повышается температура.
  2. Конвекция. Данный процесс вызван движением жидкости. Поток жидкости непосредственно переносит начальную температуру из одной части пространства в другую. Если среда нагрета равномерно, конвективного теплового поток не будет даже при наличии движения.
  3. Излучение. Это передача внутреннего тепла в виде электромагнитных волн. Например, тепло от раскаленной печки или солнечная энергия.

Закон Паскаля

В случае, когда все массовые силы отсутствуют, т.е. $g = 0$, из этих формул получается, что $p = 0$. откуда следует, что $p = const$. Это решение носит в науке название закона Паскаля, который предполагает, что в покоящейся жидкости (газе) при отсутствии массовых и постоянных сил давление постоянно.

Уравнение состояния идеального газа $p = ρRT$ , отсюда можно найти плотность газа в зависимости от начальной температуры

$P = \frac{p}{RT}$.

Это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка для внутреннего давления $p = z $. Оно решается согласно принципу разделения переменных:

$\frac{dp}{p} = \frac{dz}{RT}g$.

Закон Паскаля в гидродинамике даёт формулу изменения давления с высотой, если известно точное распределение температуры по заданной величине. В частном случае, это действует в случае, если считать атмосферу изотермической, когда $Т = const$.

Эта формула доказывает, что давление в изотермической атмосфере постепенно убывает с высотой по экспоненциальному закону.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/mehanika_sploshnyh_sred/uravneniya_gidrodinamiki/

7 Основные уравнения гидродинамики

Уравнения гидродинамики

7.Основные уравнения гидродинамики

Уравнениенеразрывности

Выводосновных гидродинамических уравненийначнём с вывода уравнениянеразрывности,выражающего закон сохранения вгидродинамике.

Математическоеописание состояния движущейся жидкостиосуществляется с помощью функций,определяющих распределение скоростейикаких-либо двух термодинамическихвеличин, например, -давления и -плотности.

Скорость,давление и плотность жидкости будемотносить к данным точкам пространства,а не к определённым частицам жидкости,передвигающимся во времени и впространстве. То есть будем пользоватьсяпеременными Эйлера.

Рис. 11

Рассмотрим некоторый объём Vo пространства. Количество (масса) жидкости в этом объёме есть

.

Через элемент поверхности , ограничивающей рассматриваемый объём, в единицу времени протекает количество жидкости ( рис. 11).

Векторпоабсолютной величине равен площадиэлемента поверхности и направлен повнешней нормали к ней. Тогда положительно,если жидкость вытекает из объёма, иотрицательно, если жидкость втекает внего.

Полноеколичество жидкости, вытекающей вединицу времени из объёма Vo

.

гдеS— поверхность, ограничивающая выделенныйобъём Vo.

Сдругой стороны, уменьшение количестважидкости в объёме Voможнозаписать в виде

.

Приравниваяоба выражения, получаем:

.

Интегралпо поверхности преобразуем в интегралпо объёму

.

Такимобразом,

.

Посколькуэто равенство должно иметь место длялюбого выделенного объёма, то должнобыть равным нулю подынтегральноевыражение, т.е.

.

Получилиуравнение неразрывности.

Расписаввыражение можнозаписать

Вдекартовых координатах

.

Векторназываютплотностью потока жидкости.

Егонаправление совпадает с направлениемдвижения жидкости, а абсолютная величинаопределяет количество жидкости,протекающей в единице времени черезединицу площади, расположеннойперпендикулярно к скорости.

УравнениеБернулли

Уравнениягидродинамики заметно упрощаются вслучае стационарного течения жидкости.Под стационарным (или установившимся)подразумевают такое течение, при которомв каждой точке пространства, занятогожидкостью, скорость течения остаётсяпостоянной во времени. Скорость остаётсяфункцией только координат

,

.

Рассмотримнекоторые сведения о линиях тока. Линиитока это линии, касательные к которымуказывают направление вектора скоростив точке касания в данный момент времени.Уравнения линий тока определяютсясистемой дифференциальных уравнений

.

Пристационарном движении жидкости линиитока остаются неизменными во времении совпадают с траекториями частицжидкости.

Принестационарном течении такое совпадениене имеет места:

-касательные к линии тока дают направлениескорости различных частиц жидкости впоследовательных точках пространствав определённый момент времени

-касательные к траектории дают направлениескорости определённых частиц впоследовательные моменты времени.

Умножимуравнение Эйлера для стационарногопотока жидкости на единичный векторкасательной к линии тока в каждой еёточке .

Проекцияградиента на некоторое направлениеравна производной, взятой по этомунаправлению. Поэтому

.

Векторперпендикуляренвектору скорости, и поэтому его проекцияна направление равнанулю

.

Такимобразом, получаем

.

Откудаследует, что величина постояннавдоль линии тока

.

Значениеconst,вообще говоря, различно для разных линийтока. Это уравнение называют уравнениемБернулли.

Еслитечение жидкости происходит в поле силтяжести, то в правой части уравненийЭйлера есть ускорение силы тяжести .

Выберемнаправление силы тяжести в качественаправления оси z,причём положительные значения zотсчитываются вверх. Тогда проекциянаесть

.

Соответственноэтому будем иметь

.

Такимобразом, уравнение Бернулли гласит, чтовдоль линий тока остаётся постояннойдлина

.

УравнениеЭйлера

Выделимв жидкости конечный объём. Полная сила,действующая на выделенный объём жидкости,равна интегралу

.

взятомупо поверхности рассматриваемого объёма.Преобразуем его в интеграл по объёму,имеем

.

Отсюдавидно, что на каждый элемент объёмажидкостидействует со стороны окружающей егожидкости сила — .

Тогдана единицу объёма жидкости действуетсила.

Мыможем теперь написать уравнение движенияэлемента объёма жидкости, приравнявсилу произведениюмассы единицыобъёма жидкости на её ускорение

.(1)

Стоящаяздесь производная определяетне изменение скорости жидкости в даннойнеподвижной точке пространства, аизменение скорости определённойпередвигающейся в пространстве частицыжидкости. Эту величину необходимовыразить через величины, относящиесяк неподвижным в пространстве точкам.

Изменениескорости даннойжидкой частицы в течение временискладываетсяиз двух частей:

-из изменения скорости вданной точке пространства в течениевремени ;

-из разности скоростей (в один и тот жемомент времени) в двух точках, разделённыхрасстоянием ,пройденным рассматриваемой частицейв течение времени.

Перваяиз этих частей равна

,

гдепроизводная берётся припостоянных x,y,z,т.е. в заданной точке пространства.

Втораячасть изменения скорости равна

.

Такимобразом,

,

или,разделив обе скорости равенства на dt

.

Подставивполученное соотношение в (1), получим

.

Полученноеуравнение движения жидкости — уравнениеЭйлера (1755), и является одним из основныхв гидродинамике.

Еслижидкость находится в поле тяжести, тона каждую единицу её объёма действуетещё сила, гдеесть ускорение силы тяжести. Эта силадолжна быть прибавлена к правой сторонеуравнения, и уравнение принимает вид:

.

Привыводе уравнений движения мы совершенноне учитывали процессов диссоциацииэнергии, которые могут иметь место втекущей жидкости вследствие внутреннеготрения (вязкости) в жидкости и теплообменамежду различными её участками.

Отсутствиетеплообмена между отдельными участкамижидкости означает, что движение происходитадиабатически. Таким образом, движениеидеальной жидкости следует рассматриватькак адиабатическое.

Приадиабатическомдвиженииэнтропия каждого участка жидкостиостаётся постоянной при перемещениипоследнего в пространстве. ОбозначаяS энтропию, отнесённую к единице массыжидкости, мы можем выразить адиабатичностьдвижения уравнением

.

полнаяпроизводная по времени означает изменениеэнтропии заданного перемещающегосяучастка жидкости. Эту производную можнозаписать в виде

.

Этоесть общее уравнение, выражающее собойадиабатичность движения идеальнойжидкости. С помощью уравнения неразрывностиего можно написать в виде уравнениянеразрывности для энтропии.

,

где-плотность потока энтропии.

Иногдаэто условие используют в более простойформе. Если в некоторый момент времениэнтропия одинакова во всех точках объёмажидкости, то она остаётся везде одинаковойи неизменной со временем и при дальнейшемдвижении жидкости.

Вэтих случаях уравнение адиабатичностизаписывается в виде

S=const.

Изэнтропичностьюдвижения можно воспользоваться ипредставить уравнения Эйлера в другомвиде. Из термодинамических соотношенийизвестно

,

гдеw— тепловая функция единицы массы жидкости,V— удельный объём, Т-температура.

ПосколькуS=const,имеем просто

,

ипоэтому

.

УравненияЭйлера можно записать в виде

.

Воспользуемсяизвестной формулой векторного анализа

.

уравнениеЭйлера можно записать в другом виде

.

Куравнениям движения необходимо добавитьграничные условия, которые должнывыполняться на ограничивающих жидкостьграницах. Для идеальной жидкости этоусловие должно выражать собой простотот факт, что жидкость не может проникнутьза твёрдую поверхность.

Нанеподвижных стенках это означает, чтодолжна обращаться в нуль нормальная кстенке компонента вектора скорости:

.

Источник: https://studfile.net/preview/6318511/

Booksm
Добавить комментарий