Уравнение непрерывности

Закон сохранения заряда. Уравнение непрерывности

Уравнение непрерывности

В данном вопросе рассматривается фундаментальное свойство электрических зарядов – принцип их локального сохранения, вводится уравнение непрерывности.

Из 1-го и 3-го уравнения Максвелла следует важный вывод, на котором хотелось бы остановиться поподробнее. Возьмем 1-е уравнение Максвелла:

.

Далее берем операцию div от обеих частей этого выражения:

.

Из высшей математики известно, что операция дивергенции ротора какой-либо векторной величины тождественна равна нулю, тогда:

,

или                              ,        

или                          .

Используя 3-е уравнение Максвелла , получаем:

.

Проинтегрируем по объему V обе части уравнения:

.

Применим к левой части теорему Остроградского-Гаусса, тогда:

,

или окончательно:

.                                   (28)

где: Iпр – ток, пересекающий замкнутую поверхность S, ограничивающую объем V, в котором находится заряд Q.

Полученное выражение (28) выражает закон сохранения заряда:

электрический ток I, выходящий за некоторый промежуток времени через замкнутую поверхность S, ограничивающую объем V, равен величине уменьшения находящегося в объеме заряда Q за тот же промежуток времени.

Закон сохранения заряда устанавливает, что заряд не может переместится из одной точки в другую не создав между ними тока. С другой стороны, если не происходит изменение заряда в объеме V, то ток проводимости равен нулю. Это означает в свою очередь, что:

либо ток вообще отсутствует;

либо распределение зарядов по всему объему проводника остается неизменным во времени, т.е.

количество зарядов поступивших за некоторый промежуток времени в замкнутый объем, в точности равно количеству зарядов, вытекающих за тот же промежуток времени из этого объема.

Очевидно, что это имеет место в случае постоянного электрического тока. Поэтому для постоянного электрического тока получаем:

.                                   (29)

Данное уравнение носит название уравнения непрерывности постоянного токав интегральной форме.

Из него следует (сравните, например, с 4-м уравнением Максвелла), что силовые линии плотности постоянного тока проводимости непрерывны, т.е. образуют замкнутые линии, и ток через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Полная система уравнений электродинамики. Уравнения Максвелла в комплексной форме

В этом вопросе обобщается физический смысл уравнений Максвелла, формулируются уравнения Максвелла для гармонических полей.

Сведем вместе основные уравнения макроскопической электродинамики, с помощью которых можно описать все многообразие свойств электромагнитных явлений. Эти уравнения, как показано в первых трех вопросах лекции, могут быть записаны либо в интегральной форме, либо в дифференциальной форме.

Интегральная форма записи уравнений устанавливает связь между величинами в разных пространственно разнесенных точках поля или на разных отрезках (поверхностях).

Дифференциальная форма описывает соотношение между величинами вблизи одной и той же точки поля в определенный момент времени.

Чаще всего именно это форма записи уравнений Максвелла используется на практике при исследовании электромагнитных полей, изменяющихся от точки к точке.

Запишем уравнения Максвелла в виде системы:                     

В дифференциальной форме:                    В интегральной форме:

1. rot  =                           1.  =

2. rot = —            (30)            2. = —   (31)

3. div = ρ                               3.

4. div  = 0    4.

Полная система уравнений электродинамики включает в себя: приведенные выше 4-ре уравнения Максвелла и уравнения (их называют материальными уравнениями), которые связывают между собой векторы  и ,  и , и .

В случае линейных изотропных сред, материальные уравнения имеют вид:

,        ,        .                (32)

Эти материальные уравнения показывают, что между величинами, входящими в уравнения Максвелла, существует взаимосвязь: а именно вектор электрической индукции связан с вектором напряженности электрического поля  через значение абсолютной диэлектрическую проницаемость среды, а вектор магнитной индукции  связан с вектором напряженности магнитного поля  через значения абсолютной магнитной проницаемости среды. И, наконец, последнее материальное уравнение показывает, что в проводниках существует связь между плотностью тока  и напряжённостью  электрического поля, в хорошем приближении выражаемая законом Ома.

1-ое и 2-ое уравнения Максвелла считаются основными уравнениями электродинамики, 3-е и 4-е – дополнительными, т.к. они вытекают из первых двух.

Сформулируем основные выводы (физический смысл), следующие из уравнений Максвелла:

1) Всякое изменение во времени электрического или магнитного поля приводит к возникновению соответственно вихревого магнитного или вихревого электрического поля. Независимое существование друг от друга переменных электрических и магнитных полей невозможно, они непрерывно переходят одно в другое.

2) Независимое существование электрических и магнитных полей возможно только в случае статических (неподвижных) зарядов и постоянных магнитов.

3) Источниками электрического поля являются заряды и токи, поэтому электрическое поле может быть как потенциальным (заряды), так и вихревым (токи).

4) Источниками магнитного поля являются движущиеся заряды (токи проводимости) или возмущение электрического поля (ток смещения), поэтому магнитное поле всегда имеет вихревой характер.

5) Силовые линии электрического поля могут иметь истоки и стоки, тогда как силовые линии магнитного поля всегда непрерывны, т.е. замыкаются на себя.

Перейдем к представлению уравнений Максвелла в комплексной форме. Необходимость такого представления связана с тем, что на практике очень часто приходится иметь дело с электромагнитными полями, создаваемыми периодически изменяющимися во времени токами и зарядами.

Любая, переменная во времени, величина может быть представлена рядом Фурье в виде суммы дискретных гармонических колебаний:

.                               (33)

В случае же монохроматических (“одноцветных”) гармонических колебаний:

.                                  (34)

Величина ω = 2πf = 2π/Τ – называется круговой частотой гармонических колебаний.

Анализ гармонических колебаний значительно упрощается при введении метода комплексных амплитуд («символический метод»). В основу этого метода положена формула Эйлера:

,            (35)

тогда гармоническую скалярную величину, например U(t), можно представить как вещественную часть следующей комплексной величины:

, (36)

где:  — комплексная амплитуда;  — комплексная скалярная величина.

Рассмотрим теперь представление векторной гармонической величины комплексным вектором.

В общем случае вектор , изменяющийся во времени по гармоническому закону в некоторой точке пространства, записывается в виде:

,                     (37)

где: Аmx,, Amy, Amz – амплитуды отдельных составляющих вектора; φx, φy, φz – их фазовые углы; , ,  – единичные орты в прямоугольной системе координат.

По сути (37) есть проекция вектора  на оси прямоугольной системы координат (x, y, z), см. рис. 9.

Рис. 9 – Проекции вектора  в прямоугольной системе координат

Представим теперь выражение для вектора (37) через комплексный вектор .

, (38)

где:  — комплексная амплитуда вектора,  — комплексный вектор

Если комплексный вектор  удовлетворяет некоторому линейному дифференциальному уравнению, то это означает, что данному уравнению удовлетворяет как вещественная часть, так и мнимая часть этого комплексного вектора.

Поэтому: если требуется найти решение дифференциального уравнения (а уравнения Максвелла как раз такими и являются) в виде комплексного вектора  (выражение (37)), то искать его проще, сначала в виде комплексного вектора , а затем уже взять от него вещественную часть.

Применим выше изложенное для полученных уравнений Максвелла в комплексной форме. Для этого представим векторы , , , и в виде комплексных векторов:

; .

Тогда, подставив их в дифференциальную форму уравнений Максвелла (30) получим:

;

;                                                                 (39)

;

.

Данные уравнения носят название уравнений Максвелла в комплексной форме. В дальнейшем, при использовании системы уравнений (39) индекс m (амплитуды) будем опускать.

Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 645;

Источник: https://studopedia.net/5_51687_zakon-sohraneniya-zaryada-uravnenie-neprerivnosti.html

Основные понятия гидродинамики. Уравнение непрерывности

Уравнение непрерывности

Как обычно, перед тем как изучать какое-то явление в деталях, вводится язык, на котором описывается это явление. Вот как раз сейчас будем этим заниматься. Давайте вспомним как изучали поступательное движение твердого тела. Мы заменили тело материальной точкой и рассматривали движение этой точки.

В более сложной ситуации когда размерами тела уже нельзя пренебречь, мы рассматривали движение тела как совокупность двух одновременно происходящих движений — поступательное движение центра масс и вращение вокруг центра масс.

Такой способ нам подходил потому что мы имели дело с твердым телом и любое движение точки тела мы могли рассчитать относительно его центра массы.

Сейчас мы имеем дело с совершенно другим объектом. Жидкость или газом это не твердое тело, поэтому такой подход здесь не работает. И приходится вырабатывать совершенно новые подходы.

Жидкость и газ практически одно и тоже, но есть только одно существенное различие — газ можно сжать, жидкость считается несжимаемой. Значит разность между гидродинамикой и аэродинамикой состоит в том что плотность жидкости всегда одна и тоже, а плотность газа зависит от давления.

Это одна наука, но аэродинамика более усложненная. Поэтому когда мы говорим слово жидкость можно с таким же успехом говорить слово газ.

Первый подход к описанию движения

Берут какую-то частицу жидкости или газа, точнее очень малый объем, настолько не большой, что его размерами можно пренебречь относительно той области в которой он движется. И рассматривают силы, действующие на эту частицу. Что это за силы? Это сила тяжести и сила давления.

Зная силы действующие на частицу, с помощью 2-го закона Ньютона мы можем найти ускорение этой частицы. Зная ускорение, пользуясь аппаратом кинематики чисто математическим путем мы можем вычислить как меняется её скорость и направление.

Зная как меняется скорость мы можем найти перемещение частицы в любой момент времени, т.е. мы можем знать траекторию движения частицы. Это невообразимо сложная задача, потому что таких частиц очень много, они движутся одновременно.

Поэтому такой подход используется с помощью компьютерного моделирования. Именно такую задачу для огромного количества частиц решают суперкомпьютеры.

Второй подход к описанию движения

Этот подход более уместен, когда мы анализируем на теоретическом уровне движение жидкостей. Идея состоит в следующем. При первом подходе мы рассматриваем каждую частицу отдельно. При втором подходе мы рассматриваем жидкость как совокупность частиц. И в один момент времени смотрим как движутся частицы во всех точках жидкости сразу и рассматриваем систему как векторное поле скоростей.

Виды течения жидкостей и газов

Ламинарное течение — течение, при котором жидкость или газ перемещается слоями без перемешивания и пульсаций (то есть беспорядочных быстрых изменений скорости и давления).

Турбулентное течение — течение жидкости или газа, характеризующееся беспорядочным, нерегулярным перемещением его объёмов и их интенсивным перемешиванием, но в целом имеющее плавный, регулярный характер.

Стационарное течение — течение, в каждой точке которого, скорость жидкости не меняется во времени. Ламинарное течение может быть стационарным, турбулентное — не может.

Существует жидкое трение. При движении тела в жидкости или газе возникают силы сопротивления в виде силы жидкого трения.

Идеальная жидкость

Идеальная жидкость — жидкость в которой отсутствуют силы внутреннего трения.

Теперь сузим задачу. Из всех видов течения мы сосредоточимся на таком виде течения — стационарное, ламинарное течение идеальной несжимаемой жидкости. Вот о чем мы будем в дальнейшем говорить.

Понятно, что часть эффектов мы выбрасываем, например, то что жидкость несжимаема, то в ней не возможно существование волн, звук не может распространяться в несжимаемой жидкости, потому что звук — это волна сжатия. Но существует много явлений, которые стоит изучить в таком упрощенном варианте.

Мы должны формировать язык на котором мы будем описывать поведение и свойства жидкостей и газов. Дадим некоторые определения.

Поток жидкости. Объемный расход

Линия тока — траектория по которой движется данная частица жидкости. Скорость движения тока по отношению к траектории направлена по касательной. Линии тока не могут пересекаться, потому что в данной точке пространства скорость направлена только в одном направлении.

Трубка тока — пучок линий тока ограниченный замкнутым контуром. За пределы трубки тока жидкость вытечь не может. Например — водопроводная труба или Гольфстрим.

Поток жидкости через данное сечение (объемный расход) (Q) — физическая величина, равная отношению объема жидкости (V) протекающей через это сечение за некоторый промежуток времени (t) к длительности этого промежутка (Q = V/t).

Q = V / t

Давайте выясним от чего зависит поток. Рассмотрим простую ситуацию. У нас есть труба с сечением площадью S. В ней движется поток со скоростью v. За время t жидкость проходит по трубе расстояние l или v*t. Объем расхода будет равный v*t*S. Подставляя значение в формулу получим Q = S*v.

Объемный расход трубы

Q = S⋅v = π⋅R2⋅v

S — площадь сечения трубы;v — скорость потока;

R — радиус трубы;

Что можно сказать об объемах жидкости прошедших через одно и тоже время через сечение S1 и через сечение S2? Они одинаковы, потому что жидкость несжимаема. Значит от сюда следует, что Q1 = Q2. От сюда следует S1*v1=S2*v2. Или для любого сечения с перпендикулярной скоростью потока S*v=const.

S — площадь сечения потока;
v — скорость потока.

Источник: http://DomChtoNado.ru/osnovnie-ponyatiya-gidrodinamiki-uravnenie-neprerivnosti.html

Уравнение непрерывности

Уравнение непрерывности

Допустим, что в некоторой среде течет ток, выделим в этой среде гипотетическую замкнутую поверхность S (рис.1).

Рис. 1

Исходя из закона сохранения заряда, как эмпирического факта, определим, что заряд, выходящий из объема V, который ограничен поверхностью S в единицу времени ($\frac{\partial q}{\partial t}$), будет равен:

Знак минус учитывает, что если положительный заряд внутри объема уменьшается, то плотность тока направлена из объема V. Напомним, что у замкнутых объёмов положительной нормалью считается внешняя нормаль. Получается, что вектор $d\overrightarrow{S}$ направлен по внешней нормали.

Представим элементарный заряд в виде:

Из выражения (1) получим:

Под знаком интеграла в правой части стоит частная производная, так как плотность заряда может зависеть не только от времени, но и координат. В левой части (3) перейдем от поверхностного интеграла к объемному, получим:

В таком случае выражение (3) можно представить как:

Уравнение (5) должно выполняться для любого объема, следовательно:

Выражение (6) носит название — уравнение непрерывности (уравнение неразрывности). Оно входит в систему уравнений Максвелла в неявном виде. Уравнение непрерывности выражает закон сохранения заряда. Согласно уравнению (6) в точках, которые являются источниками вектора плотности тока ($\overrightarrow{j}$), происходит убывание заряда.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Уравнение неразрывности для стационарных токов

В том случае, если токи не зависят от времени, то уравнение (1) переходит в следующее выражение:

А уравнение (6) в равенство:

Уравнение (8) показывает, что если ток является постоянным, то $\overrightarrow{j}$ не имеет источников. Это значит, что лини тока нигде не начинаются и нигде не заканчиваются.

Можно сделать вывод о том, что линии постоянного тока всегда замкнуты. Под линиями токов в данном случае следует понимать лини вектора $\overrightarrow{j}.

$ (касательные к которым совпадают с направлением вектора плотности тока в точке касания). Что напрямую следует из (7).

Благодаря замкнутости постоянных токов их можно разложить на совокупность бесконечных замкнутых тонких нитей тока.

Пример 1

Задание: Из уравнения$\ rot\overrightarrow{H}=\frac{4\pi }{c}\overrightarrow{j}+\frac{1}{c}\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}$, которое принадлежит системе уравнений Максвелла (СГС), получите уравнения непрерывности токов и закон сохранения заряда.

Решение:

Используем уравнение

\[rot\overrightarrow{H}=\frac{4\pi }{c}\overrightarrow{j}+\frac{1}{c}\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}\left(1.1\right),\]

где $\overrightarrow{H}$ — напряженность магнитного поля, $c-\ $скорость света в вакууме,$\ \overrightarrow{D}$ — вектор электрического смещения.

Проведем для него операцию дивергенции ($div\ или\ abla $). Получим:

\[abla \left(rot\ \overrightarrow{H}\right)=0\left(1.2\right).\] \[\ abla \left(\frac{4\pi }{c}\overrightarrow{j}+\frac{1}{c}\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}\right)=\frac{1}{с}\left(4\pi abla \overrightarrow{j}+\frac{\partial }{\partial t}abla \overrightarrow{D}\right)(1.3).\]

мы знаем, что:

\[abla \overrightarrow{D}=4\pi \rho \left(1.4\right).\]

Подставим (1.4) в (1.3) получим:

\[\frac{1}{с}\left(4\pi abla \overrightarrow{j}+\frac{\partial }{\partial t}4\pi \rho \right)=0\left(1.5\right).\]

от сюда следует:

\[abla \overrightarrow{j}+\frac{\partial }{\partial t}4\pi \rho =0\left(1.6\right).\]

или в интегральной форме:

\[\ointolimits_S{jdS}+\frac{\partial }{\partial t}\intolimits_V{\rho dV}=0\left(1.7\right).\]

Соответственно для замкнутых изолированных областей получим:

\[\ointolimits_S{jdS}=0\ (1.8)\] \[\intolimits_V{\rho dV}=const\ (1.9)\]

Это уравнение непрерывности для тока, содержащее в себе закон сохранения заряда — один из фундаментальных принципов, который подтверждается экспериментом.

Пример 2

Задание: Объясните, как ведет себя нормальная составляющая вектора плотности тока при переходе через границу двух проводящих сред, для стационарных токов. Что можно сказать относительно нормальной составляющей плотности тока для проводника, который находится в непроводящей среде?

Решение:

На поверхности соприкосновения двух проводников может испытывать разрыв непрерывности. Но, его нормальная составляющая ($j_n$) должна быть одинаковой по обе стороны границы сред. В противном случае количество электричества, которое притекает к одной стороне не равно, количеству электричества, которое вытекает с другой стороны. Значит:

\[j_{1n}=j_{2n}\ \left(2.1\right),\]

где $j_{1n}-$нормальная составляющая плотность тока в среде (1), $j_{2n}-$нормальная составляющая плотность тока в среде (2).

В непроводящей среде $\overrightarrow{j}=0$. Следовательно, нормальная составляющая к поверхности проводника плотности тока также должна быть равна нулю:

\[j_n=0\ \left(2.2\right).\]

Ответ: $j_{1n}=j_{2n}.j_n=0\ .$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/postoyannyy_elektricheskiy_tok/uravnenie_nepreryvnosti/

Лекция 5 Энергия электрического поля

Уравнение непрерывности

Ранее было определенодля энергии взаимодействия системыточечных зарядов

.

Если зарядыраспределены непрерывно, то, разлагаясистему зарядов на совокупностьэлементарных зарядов и переходя от суммирования к интегрированию,получаем

, где

потенциал,создаваемый всеми зарядами системы вэлементе объёмом .

Аналогично можнозаписать для распределения заряда наповерхности

.

Для уединённогопроводника, имеющего заряд и потенциал, потенциал можно вынести из под знакаинтеграла и получить

.

Для конденсатора

.

Подставив ввыражение формулу для плоского конденсатора, получаем

.

Если поле неоднородно,то для изотропных диэлектриков

.

Последнее выражениенаводит на мысль, что носителем энергииявляется само электрическое поле, чтона практике подтверждается на примереэлектромагнитных волн.

Для изотропныхдиэлектриков можно найти объёмнуюплотность электрической энергии

.

Постоянный электрический ток –

– это направленноедвижение заряженных частиц (электроновили ионов) под действием электрическогополя или сторонних сил. Количественноймерой электрического тока служит силатока , т.е. заряд, переносимый сквозьрассматриваемую поверхностьв единицу времени:

(ампер).

Для постоянноготока .

Сила тока являетсяскалярнойвеличиной.

Для детальнойхарактеристики тока вводят векторплотности тока .Модуль этого вектора –, где– сила тока через элементарную площадку,расположенную в данной точке перпендикулярнонаправлению движения носителей тока.

Если объёмные плотности положительного иотрицательного зарядов-носителей, аскорости их упорядоченного движения,то

.

В проводникахносителями тока являются электроны

, где

п – концентрацияэлектронов в проводнике.

Поле вектора можно изобразить графически с помощьюлиний тока.

Зная распределениевектора плотности тока в каждой точкеинтересующей нас поверхности , можно найти силу тока через этуповерхность как поток вектора:

.

Уравнение непрерывности

Выберем в проводящейсреде замкнутую поверхность . Интеграл определяет заряд, выходящий из объёма,охватываемого поверхностью в единицу времени:

.

Это соотношениеназывают уравнениемнепрерывности(или уравнением неразрывности). Знак «– » показывает, что этот интеграл равенубылизаряда в единицу времени внутри объёма .

В случае постоянноготокараспределение зарядов в пространстведолжно оставаться неизменным, т.е.

И говорят, что дляпостоянного тока поле вектора не имеет источников.

ЗаконОма открытый экспериментально, гласит: силатока, протекающего по однородномупроводнику, пропорциональна разностипотенциалов на его концах (напряжению)– U:

, где

R– электрическое сопротивление проводника, Ом.

Для цилиндрическогопроводника , гдеудельное электрическое сопротивление,Ом .м.

Если в окрестностинекоторой точки проводящей средывыделить элементарный цилиндрическийобъём , и принимая,получаемзакон Ома в локальной форме:

, где

удельнаяэлектропроводимость среды. См/м (сименс на метр).

Подставив в уравнение непрерывности для постоянноготока, получаем для однородного проводника

.

По теореме Гаусса . Видно, что избыточный заряд внутрипроводника равен нулю. Избыточный зарядможет появиться тольконаповерхностиоднородного проводника, в местахсоприкосновения с другими проводниками,а также там, где проводник имеетнеоднородности.

Электрическоеполе проводника с током.Т.к. на поверхности проводника выступаетизбыточный заряд, то существует , а из закона Ома следует наличие,т.е. векторвблизи поверхности проводника составляетс нормалью к нему уголα отличный от нуля.

Электростатическоеполе внутри проводника равно нулю, аэлектрическое поле стационарных токовсуществует и внутри проводника с током.Оно также как и электростатическое естькулоновское поле, однако заряды, еговозбуждающие, находятся в движении.

Сторонниесилы.

Для обеспеченияпротекания постоянного электрическоготока в замкнутой цепи наряду с участками,где положительные носители тока движутсяв сторону уменьшения потенциала ,должны иметься участки, на которыхперенос положительных носителейпроисходит в сторону возрастания,т.е. против сил электрического поля.

Перенос носителей на этих участкахвозможен лишь с помощьюстороннихсил неэлектростатического происхождения,которые могут быть вызваны, например,химической и физической неоднородностьюпроводника (гальванические элементы,аккумуляторы, фотоэлементы) илипроводников различной температуры(термоэлементы) и др.

Для количественнойхарактеристики сторонних сил вводятпонятие напряжённости поля стороннихсил (вектор численно равный сторонней силе,действующей на единичный положительныйзаряд). Для неоднородного участкапроводящей среды, т.е. для участка цепи,на котором действуют сторонние силы,получаем обобщённый закон Ома влокальной(дифференциальной)форме:

,

а для провода междуточками 1 и 2

или

, где

;

;

ξ12 – электродвижущая сила (ЭДС), действующаяна данном участке цепи.

Если ЭДС способствуетдвижению положительных носителей токав выбранном направлении, то ξ12 > 0,если же препятствует, то ξ12< 0.

ЗаконОма для неоднородного участка цепи

IR =φ1– φ2+ ξ12

Источник: https://studfile.net/preview/1672846/page:7/

Booksm
Добавить комментарий