Уравнение Максвелла

МА́КСВЕЛЛА УРАВНЕ́НИЯ

Уравнение Максвелла

Авторы: В. С. Булыгин

МА́КСВЕЛЛА УРАВНЕ́НИЯ, ос­но­во­по­ла­гаю­щие урав­не­ния клас­сич. мак­ро­ско­пич. элек­тро­ди­на­ми­ки, опи­сы­ваю­щие за­ко­но­мер­но­сти элек­тро­маг­нит­ных яв­ле­ний в сплош­ной сре­де или ва­куу­ме (в пре­неб­ре­же­нии кван­то­вы­ми яв­ле­ния­ми). Тео­рия элек­тро­маг­нит­но­го поля бы­ла раз­ра­бо­та­на Дж. К. Мак­свел­лом в 1856–73. В М. у.

обоб­ще­ны ра­нее ус­та­нов­лен­ные опыт­ные за­ко­ны элек­трич. и маг­нит­ных яв­ле­ний, и эти за­ко­ны объ­е­ди­не­ны с кон­цеп­ци­ей М. Фа­ра­дея об элек­тро­маг­нит­ном по­ле, обес­пе­чи­ваю­щем взаи­мо­дей­ст­вие ме­ж­ду уда­лён­ны­ми за­ря­жен­ны­ми те­ла­ми (т. н. тео­рия близ­ко­дей­ст­вия).

В ори­ги­наль­ном из­ло­же­нии Мак­свел­ла бы­ло соз­на­тель­но при­ве­де­но из­бы­точ­ное чис­ло урав­не­ний; при этом Мак­свелл ис­поль­зо­вал ма­те­ма­тич. ап­па­рат ква­тер­нио­нов Га­миль­то­на. Совр. фор­му М. у. с ис­поль­зо­ва­ни­ем век­тор­но­го ис­чис­ле­ния при­да­ли Г. Р. Герц и О. Хе­ви­сайд. М. у.

свя­зы­ва­ют век­тор­ные по­ле­вые ве­ли­чи­ны (яв­ляю­щие­ся функ­ция­ми ко­ор­ди­нат и вре­ме­ни) с ис­точ­ни­ка­ми элек­тро­маг­нит­но­го по­ля – рас­пре­де­лён­ны­ми в про­стран­ст­ве и из­ме­няю­щи­ми­ся во вре­ме­ни элек­трич. за­ря­да­ми и то­ка­ми. М. у. име­ют вид (диф­фе­рен­ци­аль­ная фор­ма М. у.

в СИ): $$\textrm{rot}\,\boldsymbol E=-\frac{\partial \boldsymbol B}{\partial t},\quad \textrm{rot}\,\boldsymbol H=\boldsymbol j+\frac{\partial \boldsymbol D}{\partial t},\\ \textrm{div}\,\boldsymbol D=ρ,\quad \textrm{div}\,\boldsymbol B=0,$$ где $\boldsymbol E$ – на­пря­жён­ность элек­трич.

по­ля, $\boldsymbol B$ – маг­нит­ная ин­дук­ция, $\boldsymbol H$ – на­пря­жён­ность маг­нит­но­го по­ля, $\boldsymbol D$ – элек­трич. ин­дук­ция, $\boldsymbol j$ – плот­ность элек­трич. то­ка, $ρ$  – объ­ём­ная плот­ность элек­трич. за­ря­да.

Дей­ст­вие диф­фе­рен­ци­аль­ных опе­ра­то­ров $\textrm{rot}$ и $\textrm{div}$ на век­то­ры элек­тро­маг­нит­но­го по­ля мо­жет быть вы­ра­же­но че­рез век­тор­ное и ска­ляр­ное про­из­ве­де­ния опе­ра­то­ра Га­миль­то­на $abla$ (на­бла) и со­от­вет­ст­вую­ще­го по­ле­во­го век­то­ра; в де­кар­то­вой сис­те­ме ко­ор­ди­нат$$abla=\boldsymbol e_x\frac{\partial}{\partial x}+\boldsymbol e_y\frac{\partial}{\partial y}+\boldsymbol e_z\frac{\partial}{\partial z}$$(где $\boldsymbol e_x, \boldsymbol e_y, \boldsymbol e_z$ – еди­нич­ные век­то­ры соот­вет­ст­вую­щих ко­ор­ди­нат­ных осей), и для про­из­воль­ной век­тор­ной функ­ции $\boldsymbol f=\boldsymbol e_xf_x+\boldsymbol e_yf_y+\boldsymbol e_zf_z$ по­лу­ча­ем:$$\textrm{rot}\,\boldsymbol f=[abla \boldsymbol f]=\boldsymbol e_x \left( \frac{\partial f_z}{\partial y}-\frac{\partial f_y}{\partial z} \right) + \boldsymbol e_y \left( \frac{\partial f_x}{\partial z}-\frac{\partial f_z}{\partial x} \right) + \boldsymbol e_z \left( \frac{\partial f_y}{\partial x}-\frac{\partial f_x}{\partial y} \right),\\ \textrm{div}\,\boldsymbol f=abla \boldsymbol f=\frac{\partial f_x}{\partial x} + \frac{\partial f_y}{\partial y} + \frac{\partial f_z}{\partial z}.$$

Для то­го что­бы М. у. об­ра­зо­ва­ли ма­те­ма­ти­че­ски пол­ную сис­те­му урав­не­ний, они долж­ны быть до­пол­не­ны фи­зич. урав­не­ния­ми свя­зи ме­ж­ду по­ле­вы­ми век­то­ра­ми $\boldsymbol E$ и $\boldsymbol B$ (дос­та­точ­ны­ми для опи­са­ния элек­тро­маг­нит­но­го по­ля в ва­куу­ме) и по­ле­вы­ми век­то­ра­ми $\boldsymbol D$ и $\boldsymbol H$, за­ви­ся­щи­ми от элек­трич.

и маг­нит­ных свойств ма­те­ри­аль­ной сре­ды, где рас­смат­ри­ва­ет­ся элек­тро­маг­нит­ное по­ле, а так­же урав­не­ния­ми свя­зи плот­но­сти то­ка $\boldsymbol j$, про­те­каю­ще­го в ма­те­ри­аль­ной сре­де, с элек­тро­маг­нит­ным по­лем.

В об­щем слу­чае эти урав­не­ния яв­ля­ют­ся слож­ны­ми ин­те­граль­ны­ми со­от­но­ше­ния­ми, учи­ты­ваю­щи­ми, что ис­ко­мые по­ле­вые век­то­ры в дан­ной точ­ке про­стран­ст­ва и в дан­ный мо­мент вре­ме­ни мо­гут за­ви­сеть от элек­тро­маг­нит­но­го по­ля во всём про­стран­ст­ве и во все пред­ше­ст­вую­щие мо­мен­ты вре­ме­ни с учё­том за­паз­ды­ва­ния, вы­зван­но­го ко­неч­ной ско­ро­стью рас­про­стра­не­ния элек­трич. и маг­нит­но­го взаи­мо­дей­ст­вий (про­стран­ст­вен­ная и вре­мен­на́я дис­пер­сии). В мак­ро­ско­пич. элек­тро­ди­на­ми­ке ма­те­ри­аль­ные урав­не­ния (урав­не­ния свя­зи) в ви­де $\boldsymbol D=\boldsymbol D(\boldsymbol E,\boldsymbol H),\,\boldsymbol B=\boldsymbol B(\boldsymbol E,\boldsymbol H)$ и $\boldsymbol j=\boldsymbol j(\boldsymbol E,\boldsymbol H)$ оп­ре­де­ля­ют­ся экс­пе­ри­мен­таль­но или вы­во­дят­ся на ос­но­ве вы­бран­ных мо­дель­ных пред­став­ле­ний и за­пи­сы­ва­ют­ся в ви­де (наи­бо­лее рас­про­стра­нён­ная фор­ма): $$\boldsymbol D=ε_0ε\boldsymbol E,\,\boldsymbol B=μ_0μ\boldsymbol H,\,\boldsymbol j=σ\boldsymbol E+\boldsymbol j_{стор},$$где $ε_0=1/μ_0c2$ – элек­трич. по­сто­ян­ная, $μ_0=4π·10{–7}$ Гн/м – маг­нит­ная по­сто­ян­ная, $c$ – ско­рость рас­про­стра­не­ния элек­тро­маг­нит­ных волн (ско­рость све­та) в ва­куу­ме, $ε$ – ди­элек­трич. про­ни­цае­мость, $μ$ – маг­нит­ная про­ни­цае­мость, $σ$ – элек­тро­про­вод­ность ма­те­ри­аль­ной сре­ды, $\boldsymbol j_{стор}$ – плот­ность элек­трич. то­ка (по­то­ка за­ря­жен­ных час­тиц), вы­зван­но­го не­элек­три­чес­ки­ми (сто­рон­ни­ми) при­чи­на­ми. Ма­те­ри­аль­ные ко­эф­фи­ци­ен­ты $ε$, $μ$ и $σ$ раз­ли­ча­ют­ся для раз­ных ма­те­ри­аль­ных сред и для кон­крет­ной сре­ды мо­гут быть кон­стан­та­ми или функ­ция­ми ко­ор­ди­нат и вре­ме­ни (ли­ней­ные сре­ды) или же до­пол­ни­тель­но за­ви­сеть от ве­ли­чин на­пря­жён­но­стей $\boldsymbol E$ и $\boldsymbol H$ (не­ли­ней­ные сре­ды). Для изо­троп­ных сред ма­те­ри­аль­ные ко­эф­фи­ци­ен­ты яв­ля­ют­ся ска­ля­ра­ми, для ани­зо­троп­ных (напр., кри­стал­ли­че­ских) – тен­зор­ны­ми ве­ли­чи­на­ми; для элек­тро­маг­нит­но­го по­ля в ва­куу­ме $ε=μ=1, σ=0$. Мик­ро­ско­пич. смысл ма­те­ри­аль­ных ко­эф­фи­ци­ен­тов и по­ле­вых век­то­ров $\boldsymbol D$ и $\boldsymbol H$, учи­ты­ваю­щих элек­тро­маг­нит­ные свой­ст­ва кон­крет­ной ма­те­ри­аль­ной сре­ды, вы­яв­ля­ет­ся при ус­ред­не­нии Ло­рен­ца – Мак­свел­ла урав­не­ний, рас­смат­ри­ва­ю­щих ма­те­ри­аль­ные сре­ды как со­во­куп­ность мик­ро­ско­пич. за­ря­жен­ных час­тиц.

При­ме­няя тео­ре­му Гри­на и фор­му­лу Га­ус­са – Ост­ро­град­ско­го к М. у. в диф­фе­рен­ци­аль­ной фор­ме, мож­но по­лу­чить М. у.

в ин­те­граль­ной фор­ме:$$\oint\limits_L \boldsymbol E d \boldsymbol l =-\frac{d}{dt}\int\limits_S \boldsymbol Bd\boldsymbol S,\qquad (1)\\ \oint\limits_L \boldsymbol Hd\boldsymbol l=\int\limits_S \left( \boldsymbol j+\frac{\partial \boldsymbol D}{dt}\right)d\boldsymbol S,\qquad(2)\\ \oint\limits_S \boldsymbol D d \boldsymbol S=\int\limits_V ρdV,\qquad(3)\\ \oint\limits_S \boldsymbol B d \boldsymbol S=0\qquad(4)$$ В урав­не­ни­ях (1) и (2) $S$ – по­верх­ность про­из­воль­ной фор­мы, ог­ра­ни­чен­ная замк­ну­тым кон­ту­ром $L, d\boldsymbol l$ – век­тор эле­мен­тар­ной час­ти кон­ту­ра, на­прав­лен­ный по на­прав­ле­нию его об­хо­да в про­цес­се ин­тег­ри­ро­ва­ния, $d\boldsymbol S$ – век­тор эле­мен­тар­ной пло­щад­ки по­верх­но­сти $S$, чис­лен­но рав­ный пло­ща­ди пло­щад­ки и на­прав­лен­ный пер­пен­ди­ку­ляр­но по­верх­но­сти в на­прав­ле­нии, со­гла­со­ван­ном с на­прав­ле­ни­ем об­хо­да по пра­ви­лу вин­та. В урав­не­ни­ях (3) и (4) $S$ – замк­ну­тая по­верх­ность, ох­ва­ты­ваю­щая объ­ём $V, d\boldsymbol S$ – век­тор эле­мен­тар­ной пло­щад­ки, на­прав­лен­ный пер­пен­ди­ку­ляр­но по­верх­но­сти на­ру­жу от ох­ва­ты­вае­мо­го объ­ё­ма.

М. у. в ин­те­граль­ной фор­ме име­ют не­по­сред­ст­вен­ный фи­зич. смысл, пе­ре­но­си­мый и на со­от­вет­ст­вую­щие М. у. в диф­фе­рен­ци­аль­ной фор­ме.

Урав­не­ние (1) обоб­ща­ет за­кон элек­тро­маг­нит­ной ин­дук­ции Фа­ра­дея, свя­зы­ваю­щий ско­рость из­ме­не­ния маг­нит­но­го по­то­ка (по­то­ка век­то­ра маг­нит­ной ин­дук­ции $\boldsymbol B$), сце­п­лен­но­го с не­ко­то­рым кон­ту­ром, с эдс ин­дук­ции, на­ве­дён­ной в этом кон­ту­ре. В от­ли­чие от опы­тов М.

 Фа­ра­дея, где кон­тур пред­став­лял со­бой ме­тал­лич. про­вод­ник, по ко­то­ро­му про­те­кал ре­ги­ст­ри­руе­мый ин­дук­ци­он­ный ток, Мак­свелл сфор­му­ли­ро­вал ут­вер­жде­ние, что эдс ин­дук­ции бу­дет так­же воз­ни­кать и при из­ме­не­нии маг­нит­но­го по­то­ка в ва­куу­ме или иной не­про­во­дя­щей сре­де. Т. о.

, со­глас­но урав­не­нию (1), из­ме­не­ние маг­нит­но­го по­ля во вре­ме­ни вы­зы­ва­ет воз­ник­но­ве­ние элек­трич. по­ля (так­же из­ме­няю­ще­го­ся во вре­ме­ни).

Урав­не­ние (2) яв­ля­ет­ся обоб­ще­ни­ем Био – Са­ва­ра за­ко­на о воз­бу­ж­де­нии маг­нит­но­го по­ля элек­трич. то­ком. Ана­ли­зи­руя про­хо­ж­де­ние пе­ре­мен­но­го то­ка по це­пи с кон­ден­са­то­ром, Мак­свелл пред­по­ло­жил, что для замк­ну­то­сти элек­трич. то­ка, кро­ме то­ка про­во­ди­мо­сти, обу­слов­лен­но­го дви­же­ни­ем за­ря­дов по про­вод­ни­ку, дол­жен су­ще­ст­во­вать до­пол­нит. ток (на­зван­ный им то­ком сме­ще­ния), плот­ность ко­то­ро­го рав­на $

Источник: https://bigenc.ru/physics/text/2167197

7.5. Система уравнений Максвелла

Уравнение Максвелла

Уравнения Максвеллаявляются фундаментальными уравнениямиклассической макроскопическойэлектродинамики, описывающимиэлектромагнитные явления в любой средеи в вакууме. Они сформулированы Дж.

Максвеллом в 60-х годах XIXвека на основе обобщения эмпирическихзаконов электрических и магнитныхявлений и развития идеи М. Фарадея отом, что взаимодействия между электрическизаряженными телами осуществляютсяпосредством электромагнитного поля.

Они связывают величины, характеризующиеэлектромагнитное поле, с его источниками,т. е. с распределением в пространствеэлектрических зарядов и токов.

В вакуумеэлектромагнитное поле характеризуетсянапряженностью электрического поля Eи вектором магнитной индукции B,зависящими от пространственных координати времени.

Эти величины определяют силы,действующие со стороны поля на зарядыи токи, распределение которых впространстве задается объемной плотностьюзаряда и плотностью электрического тока j.

Для описания электромагнитных процессовв материальной среде, кроме векторов Eи B,вводятся вспомогательные векторныевеличины, зависящие от состояния исвойств среды: индукция электрическогополя Dи напряженность магнитного поля H.

Уравнения Максвеллапозволяют определить основныехарактеристики электромагнитного поля(E,B,Dи H)в каждой точке пространства в любоймомент времени, если известны плотностьтока и объемная плотность заряда какфункции координат и времени. Они могутбыть записаны в интегральной илидифференциальной форме.

7.5.1.Система уравнений Максвелла в интегральнойформе

Уравнения Максвеллав интегральной форме определяют невекторы E,B,Dи Hв отдельных точках пространства, анекоторые интегральные величины,зависящие от распределения этиххарактеристик поля: циркуляцию векторовEи Hвдоль произвольных замкнутых контурови потоки векторов Bи Dчерез произвольные замкнутые поверхности.

1.Первое уравнениеявляется обобщением на переменныеэлектромагнитные поля эмпирическогозакона Био-Савара-Лапласа о возбуждениимагнитного поля электрическими токами.

Оно показывает, что источниками магнитногополя могут быть не только движущиеся впроводниках электрические заряды(электрические токи), но и изменяющиесяво времени электрические поля вдиэлектриках или вакууме.

Величина,пропорциональная скорости измененияэлектрического поля во времени, быланазвана Максвеллом током смещения,который возбуждает магнитное поле потому же закону, что и ток проводимости.Полный ток, равный сумме тока проводимостии тока смещения, всегда являетсязамкнутым.

Первое уравнение Максвелласвидетельствует о том, чтоциркуляция вектора напряженностимагнитного поля вдоль замкнутого контураLопределяется полным током черезпроизвольную поверхность S,ограниченную данным контуром. Первоеуравнение Максвелла имеет вид

, (7.24)

где — циркуляция вектора напряженностимагнитного поля;

— проекция вектораплотности тока на направление положительнойнормали к бесконечно малой площадкеdS,являющейся частью поверхности S;

— проекция вектораплотности тока смещения на ту же нормаль.

2.Второе уравнениеявляется математической формулировкойзакона электромагнитной индукции изаписывается в виде

, (7.25)

где — циркуляция вектора напряженностирезультирующего поля, потенциальногои вихревого;

Bn– проекция вектора индукции магнитногополя на направление положительнойнормали к бесконечномалой площадке dS,являющейся частью поверхности S;

Знак «минус» –соответствует закону (правилу) Ленцадля определения направления индукционноготока.

Уравнение (7.25)утверждает, что циркуляциявектора напряженности результирующегоэлектрического поля вдоль замкнутогоконтура L(ЭДС индукции) определяется скоростьюизменения потока вектора магнитнойиндукции через поверхность S,ограниченную замкнутым контуром L.

3.Третье уравнениеотражает то свойство вектора B,что его линии замкнуты или уходят вбесконечность (теорема Остроградского-Гауссадля магнитного поля). Это уравнениеотображает опытные данные об отсутствиимагнитных зарядов, аналогичныхэлектрическим зарядам. Магнитное полепорождается только электрическим током.Математически его можно записать так:

. (7.26)

Таким образом,поток векторамагнитной индукции через произвольнуюзамкнутую поверхность Sравен нулю.

4.Четвертое уравнениепоказывает, что линии вектора Dмогут начинаться и оканчиваться назарядах (теорема Остроградского-Гауссадля вектора D).Данное уравнение представляет собойобобщение закона взаимодействиянеподвижных электрических зарядов(закона Кулона):

. (7.27)

Поток вектораиндукции электрического поля черезпроизвольную замкнутую поверхность Sопределяется электрическим зарядом,находящимся внутри этой поверхности(в объеме V,ограниченном поверхностью S).

7.5.2.Система уравнений Максвелла вдифференциальной форме

Если считать, чтовекторы электромагнитного поля E,B,Dи Hявляются непрерывными функциямикоординат, то, рассматривая циркуляциюEи Hпо бесконечно малым контурам и потокивекторов Bи Dчерез поверхности, ограничивающиебесконечно малые объемы, можно от системыуравнений Максвелла в интегральнойформе перейти к системе уравненийМаксвелла в дифференциальной форме,характеризующих поле в каждой точкепространства:

1) ; (7.28)

2) ; (7.29)

3) ; (7.30)

4) . (7.31)

Физический смыслуравнений Максвелла в дифференциальнойформе аналогичен физическому смыслуэтих уравнений в интегральной форме.

7.5.3.Материальные уравнения

Уравнения Максвеллав интегральной и дифференциальнойформах не образуют полной замкнутойсистемы, позволяющей рассчитыватьэлектромагнитные процессы при наличииматериальной среды.

Поэтому системууравнений Максвелла необходимо дополнитьсоотношениями, связывающими векторыE,B,D,Hи j,которые являются независимыми.

Связьмежду ними определяется свойствамисреды и ее состоянием, причем векторыDи jвыражаются через вектор EB– через H.Эти уравнения называются уравнениямисостояния или материальными уравнениями.

Они описывают электромагнитные свойствасреды и для каждой конкретной средыимеют определенную форму. Для большинстваизотропных сред, вплоть до значительныхполей, уравнения состояния (материальныеуравнения) имеют простую линейную связь:

1.Первоеуравнение связывает векторы напряженностии индукции электрического поля:

, (7.32)

где (x,y,z)–диэлектрическая проницаемость среды;

0– диэлектрическая постоянная.

2.Второеуравнениесвязываетвекторы индукции и напряженностимагнитного поля:

, (7.33)

где (x,y,z)– магнитная проницаемость среды;

0– магнитная постоянная.

3.Третьеуравнение выражает закон Ома вдифференциальной форме

, (7.34)

где - удельная электропроводность;

jстр.– плотность так называемых стороннихтоков, т.е. токов, поддерживаемых любымисилами, кроме сил электрического поля(например, магнитным полем, диффузией).

Проницаемости и определяют тот вклад в электромагнитноеполе, который вносят связанные заряды,входящие в состав электрически нейтральныхатомов и молекул вещества.

Объемнаяплотность заряда и плотность тока jв материальных уравнениях – это плотностисвободных зарядов и токов, причемвспомогательные векторы Dи H,вводятся так, чтобы циркуляция вектораHопределялась только движением свободныхзарядов, а поток вектора D– плотностью распределения этих зарядовв пространстве. Материальныеуравнения используются при решенииуравнений Максвелла.

Из уравненийМаксвелла вытекает ряд законов сохранения:закон сохранения электрического заряда,закон сохранения электромагнитнойэнергии.

В частности, из уравнений иможнополучить уравнение непрерывности,представляющее собой закон сохраненияэлектрического заряда:полныйток, протекающий за единицу временичерез любую замкнутую поверхность S,равен изменению заряда внутри объемаV,ограниченного поверхностью S.Если ток через поверхность отсутствует,то заряд в объеме Vостается неизменным:

. (7.35)

Если энергияэлектромагнитного поля не переходит вдругие виды энергии, то, согласноуравнениям Максвелла, изменение энергиив некотором объеме за единицу времениравно потоку электромагнитной энергиичерез поверхность, ограничивающую этотобъем.

Если внутри объемаза счет энергии электромагнитного полявыделяется некоторое количество тепла,то закон сохранения энергии утверждаето том, что изменениеэнергии электромагнитного поля внекотором объеме Vравно сумме потока энергии электромагнитногополя и количества теплоты, выделившейсяв этом объеме:

, (7.36)

где w– энергия поля в единице объема;

Пn– проекция вектора Умова-Пойтинга нанаправление положительной нормали кповерхности dS;

Q– количество тепла, выделяемое в единицувремени.

Уравнения Максвеллаприводят к фундаментальному выводу оконечности скорости распространенияэлектромагнитных взаимодействий.

Этоозначает, что при изменении плотностизаряда или тока, порождающих электромагнитноеполе, в некоторой точке пространствана расстоянии rот них поле изменится спустя время .

Вследствие конечной скоростираспространения электромагнитныхвзаимодействий, следовательно, возможносуществование электромагнитных волн,частным случаем которых является свет,что было впервые доказано Максвеллом.

Это заключениеназывают вторым основным положениемтеории Максвелла: электромагнитноеполе, возникнув в одном месте пространства,не остается локализованным в нем, араспространяется от этого места в видеэлектромагнитной волны. ВекторыEи Hэлектромагнитной волны взаимноперпендикулярны и перпендикулярнывектору скоростиv,с которой распространяется электромагнитнаяволна.

Источник: https://studfile.net/preview/2969511/page:32/

Уравнения Максвелла

Уравнение Максвелла

Уравнения Дж. Максвелла создают основу для предложенной им теории электромагнитных явлений, которая объяснила все известные в то время эмпирические факты, некоторые эффекты предсказала. Главным выводом теории Максвелла стало положение о существовании электромагнитных волн, которые распространяются со скоростью света.

Замечание

Уравнения, предложенные Максвеллом, в электромагнетизме играют роль подобную роли законов Ньютона в классической механике. Они явились обобщением экспериментальных законов и продолжением идей ученых (Кулона, Ампера, Фарадея и др.) изучавших электромагнетизм до Максвелла.

Замечание 1

Сам Максвелл предложил двадцать уравнений в дифференциальной форме с двадцатью неизвестными величинами. В современном виде мы имеем систему уравнений Максвелла благодаря немецкому физику Г. Герцу и англичанину О. Хэвисайду. С помощью этих уравнений можно описать все электромагнитные явления.

Система уравнений Максвелла

Определение 1

Систему уравнений Максвелла составляют:

\[rot\overrightarrow{H}=\overrightarrow{j}+\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}\left(1\right),\] \[rot\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\left(2\right),\] \[div\overrightarrow{B}=0\left(3\right),\] \[div\overrightarrow{D}=\rho \left(4\right).\]

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Выражения (1)-(4) называют полевыми уравнениями, они применимы для описания всех макроскопических электромагнитных явлений.

Иногда уравнения системы Максвелла группируют в пары, первую пару составляют из второго и третьего уравнения, вторую пару — из первого и четвертого уравнений.

При этом говорят, что в первую пару уравнений входят только основные характеристики поля ($\overrightarrow{E}\ и\ \overrightarrow{B}$), а во вторую пару — вспомогательные ($\overrightarrow{D}\ и\ \overrightarrow{H}$).

Каждое из векторных уравнений (1) и (2) эквивалентно трем скалярным уравнениям. Эти уравнения связывают компоненты векторов, которые находятся в левой и правой частях выражений. Так, в скалярном виде уравнение (1) представляется как:

В скалярном виде уравнение (2) запишем как:

Третье уравнение из системы Максвелла в скалярном виде:

Четвертое уравнение в скалярной форме примет следующий вид:

Для того чтобы рассмотреть конкретную ситуацию, систему уравнений (1)-(4) дополняют следующими материальными уравнениями, которые учитывают электромагнитные свойства среды:

Замечание 2

Необходимо отметить, что существует целый ряд явлений, в которых материальные уравнения существенно отличны от уравнений (5), например, если речь идет о нелинейных явлениях. В таких случаях получение материальных уравнений составляет отдельную научную задачу.

Физический смысл уравнений Максвелла

Уравнение (1) системы указывает на то, что двумя возможными источниками магнитного поля являются токи проводимости ($\overrightarrow{j}$) и токи смещения ($\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}$).

Уравнение (2) является законом электромагнитной индукции и отображает тот факт, что переменное магнитное поле — один из источников возникновения электрического поля.

Следующим источником электрического поля служат электрические заряды, что и отображает уравнение (4), которое является, по сути, законом Кулона.

Уравнение (3) означает, что линии магнитной индукции не имеют источников (они либо замкнуты, либо уходят в бесконечность), что приводит к выводу об отсутствии магнитных зарядов, которые создают магнитное поле.

Материальные уравнения (5) — это соотношения между векторами поля и токами. Диэлектрические свойства среды заключены в диэлектрической проницаемости ($\varepsilon $). Магнитные свойства, которые описывает намагниченность, учтены в магнитной проницаемости ($\mu $). Проводящие свойства среды сосредоточены в удельной проводимости ($\sigma $).

Уравнения поля линейны и учитывают принцип суперпозиции.

Границы применимости уравнений Максвелла

Система уравнений Максвелла ограничена следующими условиями:

  1. Материальные тела должны быть неподвижны в поле.

  2. Постоянные $\varepsilon ,\ \mu ,\sigma $ могут зависеть от координат, но не должны зависеть от времени и векторов поля.

  3. В поле не должно находиться постоянных магнитов и ферромагнитных тел.

Если существует необходимость учета движения среды, то уравнения системы Максвелла оставляют неизменными, а движение учитывается в материальных уравнениях, которые становятся зависимыми от скорости среды и существенно усложняются.

Кроме прочего материальные уравнения перестают быть соотношениями между парами величин, как в (5). Например, плотность тока проводимости становится зависимой от индукции магнитного поля, а не только от напряженности электрического поля.

Замечание 3

Магнитное поле постоянных магнитов, например, можно описать, используя систему Максвелла, если известна намагниченность. Но, если заданы токи, то в присутствии ферромагнетиков описать поле при помощи данных уравнений не получится.

Пример 1

Задание: Докажите, что из уравнений Максвелла следует закон сохранения заряда.

Решение:

В качестве основания для решения задачи используем из системы Максвелла уравнение:

\[rot\overrightarrow{H}=\overrightarrow{j}+\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}\left(1.1\right).\]

Проведем операцию дивергирования в обеих частях выражения (1.1):

\[div\left(rot\overrightarrow{H}\right)=div\left(\overrightarrow{j}+\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}\right)\left(1.2\right).\]

Для выражения (1.2) в соответствии с теоремой равенстве нулю дивергенции ротора имеем:

\[div\left(rot\overrightarrow{H}\right)=0\ \left(1.3\right).\]

Следовательно, получаем:

\[0=div\left(\overrightarrow{j}\right)+div\left(\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}\right)\left(1.4\right).\]

Рассмотрим второе слагаемое в правой части. Мы можем поменять порядок дифференцирования, так как время и пространственные координаты независимы, то есть записать:

\[div\left(\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}\right)=\frac{\partial div(\overrightarrow{D)}}{\partial t}\left(1.5\right).\]

В соответствии с системой Максвелла мы знаем, что источниками электрических полей служат заряды или:

\[div\overrightarrow{D}=\rho \left(1.6\right).\]

Что позволяет нам записать уравнение (1.4) в виде:

\[0=div\left(\overrightarrow{j}\right)+\left(\frac{\partial \rho }{\partial t}\right)\left(1.7\right).\]

Что дает нам закон сохранения заряда, который записан в виде:

\[div\left(\overrightarrow{j}\right)=-\frac{\partial \rho }{\partial t}(1.8).\]

Данное уравнение называют уравнением непрерывности тока, оно содержит в себе закон сохранения заряда, что совершенно очевидно, если выражение (1.8), записать в интегральной форме:

\[\oint\limits_S{\overrightarrow{j}}d\overrightarrow{S}=-\frac{\partial }{\partial t}\int{\rho dV}(1.9).\]

тогда если области замкнуты и изолированы получаем:

\[\oint\limits_S{\overrightarrow{j}}d\overrightarrow{S}=0\to \int{\rho dV}=const.\]

Что требовалось доказать.

Пример 2

Задание: Покажите, что уравнения $rot\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}$ и $div\overrightarrow{B}=0$ , входящие в систему Максвелла не противоречат друг другу.

Решение:

За основу решения примем уравнение:

\[rot\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\left(2.1\right).\]

Возьмём дивергенцию от обеих частей уравнения:

\[div(rot\overrightarrow{E)}=-div(\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t})\left(2.2\right).\]

В соответствии с теоремой равенстве нулю дивергенции ротора имеем:

\[div(rot\overrightarrow{E)}=0.\]

Соответственно, получаем, что

\[div\left(\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\right)=\frac{\partial div\overrightarrow{B}}{\partial t}=0\to div\overrightarrow{B}=const.\]

Выражение $div\overrightarrow{B}=const$ не противоречит тому, что $div\overrightarrow{B}=0$.

Мы получили, что уравнения $rot\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}$ и $div\overrightarrow{B}=0$ совместны, что требовалось показать.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/uravneniya_maksvella/

Уравнения Максвелла — формулы и физический смысл

Уравнение Максвелла

Если в замкнутом контуре меняется магнитный поток, то по нему течёт электрический ток. В итоге возникает электродвижущая сила магнитной индукции. Происходит это из-за изменения магнитного поля.

Предположим, имеется магнит, у которого поток с течением времени увеличивается.

Если в поле поместить замкнутый проводник кольцевого типа, то по правилу Ленца в нём возникнет индукционный ток, противоположный магнитной силе через контур.

Ток — это направленное движение заряженных частиц. Сила, заставляющая их перемещаться, называется электрическим полем. Появляется она при изменении магнитного потока.

Отсюда можно сделать вывод, что электрическое поле существует всегда там, где есть изменяющееся магнитное, при этом оно имеет замкнутую форму. Этот вид силы и называли вихревым полем.

Когда вектор магнитной силы возрастает, то увеличивается и вихревое поле, а если убывает, то, соответственно, оно уменьшается.

Джеймс Клерк Максвелл предположил, что если меняющееся магнитное поле порождает электрическое, то этот процесс может быть и обратным. Его идея заключалась в том, что если имеется проводник с током, то вокруг него существует стационарное магнитное поле. На длине этого проводника он выбрал произвольные три точки равноудалённые от него на расстояние r.

В этих точках поле будет одинаковое. Максвелл предположил, что если проводник разорвать, то для того чтобы ток продолжал движение, нужно сохранить заряды. То есть фактически использовать конденсатор.

По мнению Максвелла, тогда в точке разрыва поле будет такое же, как и вокруг проводника. Между обкладками возникнет электрическая сила, так как на них происходит сохранение (накопление) зарядов.

Учитывая это, физик пришёл к выводу, что изменяющееся электрическое поле приводит к возникновению магнитного потока.

Так как на обкладках имеется заряд, то сила тока будет равняться I = dq / dt. Заряд можно связать с напряжением на обкладках конденсатора и электроёмкостью: q = C * U. Ёмкость же в вакууме определяется как E0 * S/ d, а напряжение — как E * d.

Подставив значения в формулу, Максвелл получил выражение: dq / dt = E0 * S * dE / dt.

Так как ток между обкладками не течёт, а перенос происходит полем, физик предложил ввести понятие фиктивный ток смещения. Плотность этого тока можно найти по формуле: j = E0 * dE / dt.

Это позволило упростить вычисления магнитной силы. Ток смещения и вихревое поле стали основой для создания системы уравнений.

Физическая суть

Электромагнитное поле представляет собой материю, с помощью которой заряженные элементарные частицы взаимодействуют между собой. В вакууме явление характеризуется напряжённостью E и магнитной индукцией B.

Эти параметры определяют силы, воздействующие на подвижные и неподвижные заряды.

Кроме них, значение электромагнитного поля определяется скалярным и векторным потенциалами и двумя дополнительными величинами: индукцией D и напряжённостью магнитных линий H.

Открытие в 1831 году Фарадеем закона электромагнитной индукции, устанавливающего зависимость между зарядом и намагниченностью у токоведущих тел, помогло Максвеллу сформулировать ряд уравнений, после названных его именем. Главное его исследование заключалось в исследовании тока смещения, равного по магнитному действию электрическому току.

Сформулировав свою систему, физик смог связать электрическое и магнитное поле с зарядом и током. Физический смысл уравнений Максвелла заключается в том, что электромагнитное поле рассматривалось им как самостоятельный объект, в котором передача энергии происходит колебанием от точки к точке с конечной скоростью. При этом в вакууме она определяется скоростью света.

С точки зрения математики, для описания процессов учёный использовал векторный анализ, выраженный через инвариантную форму, использующую кватернионы Гамильтона. Написанные им уравнения неохотно принимались учёным советом Лондонского Королевского общества. Это происходило из-за того, что они не были похожи ни на одно из описаний известных ранее.

Тем не менее система Максвелла получила признание и стала фундаментальной в области электродинамики. При этом её справедливость получила подтверждение не только в микромире, ни и в области квантовой физики.

Основным следствием открытия стало понятие о скорости распространения электромагнитных волн и создании теории света. По сути, эта система теории волн в науке об электромагнетизме играет роль сопоставимую с законами Ньютона в области механики или с теоремами в электродинамике.

Дифференциальная запись

Открытие в проводящих телах тока смещения позволило Максвеллу вывести четыре уравнения, на основе которых была создана теория электромагнитных явлений. Обычно в физике математическая запись процессов не зависит от системы единиц, но в термодинамике это не так. Всё дело в том, что при записи в различных системах изменяются коэффициенты (постоянные).

Например, в системе единиц, используемой в описании квантовой теории поля, скорость света и электромагнитная константа равна единице. Поэтому уравнения не будут иметь ни одной постоянной. Для записи используют две системы: СГС — симметричная гауссова, и СИ — Международная система единиц.

В этих двух стандартах система уравнений Максвелла может быть описана словесно и математически следующим образом:

  1. В качестве источника электрической индукции выступает заряженная частица. В СГС: ∇ * D = 4*p* ρ; в СИ: ∇ * D = 4* ρ.
  2. В электромагнитном поле магнитных зарядов нет. В обеих системах формула выглядит одинакового: ∇ * B = 0.
  3. При изменении величины магнитной индукции возникает электрическое вихревое поле. В СГС: ∇ * E = — δ B / c * δ t; в СИ: ∇ * E = — δ B / δ t.
  4. Вихревое магнитное поле появляется из-за изменений электрической индукции и тока. В СГС: ∇ * H = 4 pj / c + δ D / c * δ t; в СИ: ∇ * H = j + δ D / δ t.

Это классические четыре закона описывающие природу и условия возникновения электромагнитного поля. Первая гипотеза связывает напряжённость с индукцией и является выражением теоремы электромагнитной индукции.

Вторая доказывает отсутствие объектов, генерирующих магнитное поле. Третья устанавливает зависимость между током смещения и проводимостью, создающейся в магнитном поле.

Четвёртая объясняет, что источником вектора электрической индукции служит сторонний заряд.

Указанные уравнения представляют собой запись в дифференциальной форме. При этом каждое из них эквивалентно скалярным уравнениям. В этой форме они имеют следующий вид:

  1. (δEy / δx) — (δEx / δy) = — δBx / δt;
  2. (δBx / δx) — (δEy / δy) + (δBz / δz) = 0;
  3. (δHy / δx) — (δHx / δy) = jz + δDx / δt;
  4. (δDx / δx) — (δDy / δy) + (δDz / δz) = ρ.

Для того чтобы воспользоваться этими постулатами для расчёта полей, нужно уравнения дополнить граничными правилами объединяющим электрическую индукцию (D), плотность электрического тока (j), напряжённость (E). Эти положения имеют вид: D = e0*e*E; B = m0*m*H; j = δ*E. Совокупность этих соотношений позволяет сделать вывод об основе электродинамики сред, находящихся в спокойном состоянии.

Интегральная форма

Запись уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной форме позволяет рассчитать электромагнитное поле в любой среде.

Первые два уравнения, включающие интегралы, получаются путём преобразования дифференциальных форм по произвольной поверхности и применения теоремы Стокса, ограничивающей поверхность.

Вторые же два путём интегрирования по произвольному объёму с дальнейшим их упрощением по теореме Остроградского — Гаусса, по ограниченной поверхности в замкнутом объёме.

Выглядят они следующим образом:

  1. ∫ D * ds = 4 pQ. Это закон Гаусса устанавливающий, что поток электрической индукции сквозь ограниченную поверхность зависит от величины свободного заряда, существующего в объёме формирующимся этой поверхностью.
  2. ∫ B * ds = 0. Теорема для магнитного поля сообщающая, что сила линий магнитной индукции через ограниченную поверхность равна нулю.
  3. ∫ E * dl = — d / dt*c ∫ B * ds. Свойство Фарадея обозначающее, что поток магнитной индукции, проходя через замкнутую поверхность пропорционален вращению электрического поля в контуре ограничивающим поверхность.
  4. ∫ H * dl = 4pI / c + (d / dt) ∫ D * ds. Правило циркуляции магнитного поля. Электрический ток свободных частиц и колебания электромагнитной индукции зависят от размера и движения магнитного потока, ограниченного контуром l.

В этих уравнениях буквой S обозначается замкнутое пространство двухмерной поверхности определяющей границы объёма V или контура l. При этом Q является электрическим зарядом, находящимся в замкнутом объёме площадью S и равным: Q = ∫p * dV, а I — электрическим током, протекающим сквозь S и определяющимся из уравнения: I = ∫j * ds.

Нужно отметить, что вектор потока по ограниченной поверхности считается направленным из объёма. Вращение же находится согласно правилу правого винта по незамкнутой площади. В уравнениях величины E, B, D и H являются равнозначными значениями, определяющимися в результате решения системы.

Значение уравнений

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля объясняет все электромагнитные явления. Её применяют при полном анализе полей при известных распределениях токов и заряженных частиц. Часто уравнения называют материальными, подчёркивая индивидуальные свойства занимающей пространство среды: D = e * e0 * E, B = m * m0 * H, J = E .

Формулы физика подтверждают существование электромагнитных волн. Иначе говоря, предпологают возможность электрического поля излучать энергию вне зависимости от присутствия электрических зарядов и токов. Из всего многообразия применения уравнений можно выделить основные четыре:

  1. Нахождение характеристик электрического и магнитного поля по известному распределению заряженных частиц и токов. То есть это теория электромагнитного поля (ЭМП) примирительная к любой системе зарядов и токов. Она обобщает электрические и магнитные явления.
  2. Изучение макроскопических полей. Уравнения Максвелла применимы к макрозарядам и макротокам. Их можно использовать в среде, где расстояния от источника излучения до зафиксированной точки намного превышает периоды внутренних явлений.
  3. Теоремы Максвелла раскрывают внутренний механизм процессов в среде, описываемых тремя фундаментальными характеристиками: ε, μ и σ.
  4. Используя теорию, являющуюся близкодейственной, можно описать электрические и магнитные взаимодействия, возникающие в электромагнитном поле распространяющимся с ограниченной скоростью.

Система включает в себя все основные законы электрического и магнитного поля с учётом такого важного параметра, как электромагнитная индукция.

Теоретическое исследование физика позволило утверждать, что свет представляет собой электромагнитные волны и существования токов смещения в магнитном поле.

То есть изменение ЭМП без движения электрических зарядов. Благодаря этому стало возможным находить полный ток.

Максвеллом было найдено четыре важных закономерности, заключающиеся в том, что электрический заряд образует электрическое поле, колебания магнитных волн порождает электрические вихри, магнитных зарядов быть не может, изменение индукции приводит к появлению вихревого магнитного потока. Эти теоретические суждения после были подтверждены экспериментально и позволили получить картину распространения свободной энергии электромагнитной волны в пространстве.

Источник: https://nauka.club/fizika/uravneniya-maksvella.html

Booksm
Добавить комментарий