Угловая скорость

Содержание
  1. § 1.28. Угловая скорость и угловое ускорение
  2. Угловая скорость
  3. Угловое ускорение
  4. Связь между линейной и угловой скоростями
  5. Связь линейного ускорения с угловым
  6. Угловое ускорение
  7. Основные понятия
  8. Закон равнопеременного вращения
  9. Практические примеры
  10. Кинематика(Вращательное движение)
  11. Угол поворота
  12. Соотношение между единицами угла
  13. Число оборотов
  14. Угловое перемещение
  15. Равномерное движение тела по окружности
  16. Равномерно ускоренное движение по окружности без начальной угловой скорости
  17. Равномерно ускоренное движение по окружности с начальной угловой скоростью
  18. Неравномерно ускоренное движение тела по окружности
  19. Мгновенная угловая скорость
  20. Средняя угловая скорость
  21. Вращательное движение тела, формулы
  22. Векторные величины, характеризующие вращательное движение тела
  23. �.�. ���������
  24. Угловая скорость: 4 главных формулы
  25. Как определить угловую скорость: что это за величина?
  26. Формула времени, за которое вращается точка по окружности заданного радиуса
  27. Угол поворота и период обращения
  28. Чему равна угловая скорость в конкретных случаях?
  29. Связь угловой и линейной скоростей
  30. Ускорение, момент и связь их с массой
  31. Шарнир как пример передачи импульса

§ 1.28. Угловая скорость и угловое ускорение

Угловая скорость

  • При движении точки по окружности радиус R, очевидно, — постоянная величина. Это позволяет ввести новые величины, наилучшим образом описывающие данное движение: положение характеризовать углом, а вместо обычных скоростей и ускорений ввести угловую скорость и угловое ускорение.

Угловая скорость

Проведем координатную ось X через центр окружности (начало координат), вдоль которой движется точка (рис. 1.86). Тогда положение точки А на окружности в любой момент времени однозначно определяется углом φ между осью X и радиусом-вектором , проведенным из центра окружности к движущейся точке. Углы будем выражать в радианах(1).

Рис. 1.86

При движении точки угол φ изменяется. Обозначим изменение угла за время Δt через Δφ. Для нахождения положения точки в любой момент времени надо знать угол φ0 в начальный момент времени t0 и определить, на сколько изменился угол за время движения (рис. 1.87):

φ = φ0 + Δφ.       (1.28.1)

Рис. 1.87

Пусть точка движется по окружности с постоянной по модулю скоростью. Тогда за любые равные промежутки времени радиус-вектор поворачивается на одинаковые углы.

Быстрота обращения точки определяется углом поворота радиуса-вектора за данный интервал времени.

Например, если радиус-вектор точки за каждую секунду поворачивается на угол 90° = , а другой точки — на угол 45 = , то мы говорим, что первая точка обращается быстрее второй в два раза.

Если при равномерном обращении за время Δt радиус-вектор повернулся на угол Δφ, то быстрота обращения определится углом поворота в единицу времени. Быстроту обращения характеризуют угловой скоростью.

Угловой скоростью при равномерном движении точки по окружности называется отношение угла Δφ поворота радиуса-вектора к промежутку времени Δt, за который этот поворот произошел.

Обозначим угловую скорость греческой буквой ω (омега). Тогда по определению(2)

В СИ(3) угловая скорость выражается в радианах в секунду (рад/с).

Радиан в секунду равен угловой скорости равномерно обращающейся точки, при которой за время 1 с радиус-вектор этой точки поворачивается на угол 1 рад.

Например, угловая скорость точки земной поверхности равна 0,0000727 рад/с, а точильного диска более 100 рад/с.

Угловую скорость можно выразить через частоту обращения, т. е. число оборотов за 1с. Если точка делает п оборотов в секунду, то время одного оборота равно .

Это время называют периодом обращенияи обозначают буквой Т. Таким образом, частота и период обращения связаны следующим соотношением:

T = .       (1.28.3)

Полному обороту точки на окружности соответствует угол Δφ = 2π. Поэтому, согласно формуле (1.28.2),

Частота обращения точек рабочих колес мощных гидротурбин составляет 1—10 с-1, винта вертолета — 4—6 с-1, ротора газовой турбины — 200—300 с-1.

Если при равномерном обращении точки угловая скорость известна, то можно найти изменение угла поворота Δφ за время Δt. Оно равно Δφ = ωΔt. С учетом этого формула (1.28.1) примет вид: φ = φ0 + ωΔt. Приняв начальный момент времени t0 равным нулю, получим, что Δt = t — t0 = t. Тогда угол поворота равен

По этой формуле можно найти положение точки на окружности в любой момент времени.

Угловое ускорение

В случае переменной угловой скорости вводится новая физическая величина, характеризующая быстроту ее изменения, — угловое ускорение:

Угловое ускорение равно производной угловой скорости по времени. Если β = const, то ω(t) = ω0 + β(t — t0), где ω0 — угловая скорость в начальный момент времени t0. При t0 = 0

Эта формула подобна формуле проекции скорости vx = v0x + axt при прямолинейном движении точки. Соответственно угол поворота

Эту формулу можно получить точно таким же способом, как и уравнение координаты при прямолинейном движении х =

Связь между линейной и угловой скоростями

Скорость точки, движущейся по окружности, часто называют линейной скоростью, чтобы подчеркнуть ее отличие от угловой скорости. Между линейной скоростью точки, обращающейся по окружности, и ее угловой скоростью существует связь.

При равномерном движении точки по любой траектории модуль скорости равен отношению пути s ко времени Δt, за которое этот путь пройден. Точка А, движущаяся по окружноcти радиусом R, за время Δt проходит путь, равный длине дуги (рис. 1.88): s = = ΔφR.

Модуль линейной скорости движения

Рис. 1.88

Итак, модуль линейной скорости точки, движущейся по окружности, равен произведению угловой скорости на радиус окружности:

Эта формула справедлива как для равномерного, так и для неравномерного движения точки по окружности.

Из выражения (1.28.9) видно, что чем больше радиус окружности, тем больше линейная скорость точки. Для точек земного экватора v = 463 м/с, а на широте Санкт-Петербурга — 233 м/с. На полюсах Земли v = 0.

Модуль ускорения точки, движущейся равномерно по окружности (центростремительное, или нормальное, ускорение) можно выразить через угловую скорость тела и радиус окружности. Так как а = = и v = ωR, то

Чем больше радиус окружности, тем большее по модулю ускорение имеет точка при заданной угловой скорости. Ускорение любой точки поверхности Земли на экваторе составляет 3,4 см/с2.

Связь линейного ускорения с угловым

С изменением угловой скорости точки меняется и ее линейная скорость. Нормальное ускорение связано согласно формуле (1.28.10) с угловой скоростью и не зависит, следовательно, от углового ускорения. Но тангенциальное ускорение, определяемое формулой (1.27.4), выражается через угловое ускорение:

Мы научились полностью описывать движение точки по окружности. При фиксированном радиусе окружности модуль скорости (линейная скорость) пропорционален угловой скорости, а нормальное ускорение пропорционально ее квадрату. Тангенциальное ускорение пропорционально угловому ускорению.

Упражнение 5

  1. Поезд движется по закруглению радиусом 200 м со скоростью 36 км/ч. Найдите модуль нормального ускорения.
  2. Тело брошено с поверхности Земли под углом 60° к горизонту. Модуль начальной скорости равен 20 м/с.

    Чему равен радиус кривизны траектории в точке максимального подъема?

  3. Определите радиус кривизны траектории снаряда в момент вылета из орудия, если модуль скорости снаряда равен 1 км/с, а скорость составляет угол 60° с горизонтом.
  4. Снаряд вылетает из орудия под углом 45° к горизонту.

    Чему равна дальность полета снаряда, если радиус кривизны траектории в точке максимального подъема равен 15 км?

  5. Сферический резервуар, стоящий на земле, имеет радиус R.

    При какой наименьшей скорости камень, брошенный с поверхности Земли, может перелететь через резервуар, коснувшись его вершины? Под каким углом к горизонту должен быть при этом брошен камень?

  6. Въезд на один из самых высоких в Японии мостов имеет форму винтовой линии, обвивающей цилиндр радиусом r. Полотно дороги составляет угол α с горизонтальной плоскостью.

    Найдите модуль ускорения автомобиля, движущегося по въезду с постоянной по модулю скоростью v.

  7. Точка начинает двигаться равноускоренно по окружности радиусом 1 м и за 10 с проходит путь 50 м.

    Чему равно нормальное ускорение точки через 5 с после начала движения?

  1. Поезд въезжает на закругленный участок пути с начальной скоростью 54 км/ч и проходит путь 600 м за 30 с. Радиус закругления равен 1 км. Определите модуль скорости и полное ускорение поезда в конце этого пути, считая тангенциальное ускорение постоянным по модулю.

  2. Груз Р начинает опускаться с постоянным ускорением а = 2 м/с2 и приводит в движение ступенчатый шкив радиусами г = 0,25 м и R = 0,50 м (рис. 1.89). Какое ускорение а1, будет иметь точка М через t = 0,50 с после начала движения?

    Рис. 1.89

  3. Маховик приобрел начальную угловую скорость ω = 2π рад/с. Сделав 10 оборотов, он вследствие трения в подшипниках остановился.

    Найдите угловое ускорение маховика, считая его постоянным.

  4. Маховое колесо радиусом R = 1 м начинает движение из состояния покоя равноускоренно. Через t1 = 10 с точка, лежащая на его ободе, приобретает скорость v1 = 100 м/с. Найдите скорость, а также нормальное, касательное и полное ускорения этой точки в момент времени t2 = 15 с.
  5. Шкив радиусом R = 20 см начинает вращаться с угловым ускорением β = 3 рад/с2. Через какое время точка, лежащая на его ободе, будет иметь ускорение а = 75 см/с2?
  6. Точка начинает обращаться по окружности с постоянным ускорением β = 0,04 рад/с2. Через какое время вектор ее ускорения будет составлять с вектором скорости угол а = 45°?

(1) Напомним, что радиан равен центральному углу, опирающемуся на дугу, длина которой равна радиусу окружности. 1 рад приблизительно равен 57°17'48″. В радианной мере угол равен отношению длины дуги окружности к ее радиусу: .

(2) Когда точка движется неравномерно, то мгновенная угловая скорость определяется как предел отношения Δφ к Δt при условии, что Δt —> 0:

(3) СИ — Международная система единиц. В этой системе за единицу длины принят 1 м, за единицу времени — 1с. Подробнее о СИ будет рассказано в дальнейшем.

Источник: http://tepka.ru/fizika_10/37.html

Угловое ускорение

Угловая скорость

Система понятий кинематики включает в себя также такую величину как угловое ускорение тела. Дадим ей определение, рассмотрим основные аспекты с использованием примеров.

Основные понятия

Определение 1

Угловое ускорение – величина, характеризующая изменение скорости с течением времени.

Пусть рассматриваемый промежуток времени это: Δt=t1-t, а изменение угловой скорости составит Δω=ω1-ω, тогда числовое значение среднего углового ускорения за тот же интервал времени: ε=∆ω∆t=ε. Перейдем к пределу, когда Δt>0, тогда формула углового ускорения будет иметь вид: ε=lim∆t→0∆ω∆t=dωdt=d2φdt=ω˙=φ¨.

Определение 2

Числовое значение ускорения в заданный момент времени есть первая производная от угловой скорости или вторая производная от угла поворота по времени.

Размерность углового ускорения 1T2 (т.е. 1время2). Укажем также, в чем измеряется угловое ускорение: за единицу измерения стандартно принимается рад/с2 или иначе: 1с2(с-2).

Определение 3

Ускоренное вращение тела – это вращение, при котором угловая скорость (ее модуль) возрастает с течением времени.

Определение 4

Замедленное вращение тела – это вращение, при котором угловая скорость (ее модуль) убывает с течением времени.

В общем, довольно просто заметить, что, если ω и ε имеют одинаковые знаки, наблюдается ускоренное вращение, а, когда противоположные знаки – замедленное.

Рисунок 1. Вектор углового ускорения

Если мы представим угловое ускорение как вектор ε→=dω→dt, имеющий направление вдоль оси вращения, то в случае ускоренного вращения ε→ и ω→ совпадут по направлениям (левая часть
рисунка 1) и будут противоположны по направлениям в случае замедленного вращения (правая часть
рисунка 1).

Закон равнопеременного вращения

Определение 5

Равнопеременное вращение – вращение, при котором угловое ускорение во все время движения является постоянным (ε=const).

Выведем формульно закон равнопеременного вращения. Пусть в начальный момент времени t0 угол вращения равен ϕ=ϕ0; угловая скорость — ω=ω0 (т.е. ω0 является начальной угловой скоростью).

Выражение ε=dωdt=ω˙=φ¨ дает нам возможность сделать запись: dω=εdt. Проинтегрируем левую часть крайней записи в пределах от ω0 до ω, а правую – в пределах от 0 до t, тогда:

ω=ω0+εt, dφ=ω0dt+εtdt.

Проинтегрируем вторично и получим формулу, выражающую закон равнопеременного вращения:

Определение 6

Закон равнопеременного вращения: φ=φ0+ωt+εt22.

Вращение является равноускоренным, когда ω и ε имеют одинаковые знаки.

Вращение является равнозамедленным, когда ω и ε противоположны по знаку.

Угловое ускорение имеет связь с полным и тангенциальным ускорениями. Пусть некоторая точка вращается неравномерно по окружности с радиусом R, тогда: αr=εR. Нормальное ускорение имеет также связь с угловым: an=ω2R. Учтем это выражение и для полного ускорения получим: a=ar2+an2=Rε2+ω4 Для равнопеременного движения: ω=εt; an=ω2R=ε2t2R и a=Rε2+ε4t4=Rε1+ε2t4.

Практические примеры

Пример 1

На рисунке 2 заданы различные типы вращения гироскопа (волчка). С учетом соответствующих подписей необходимо указать, какой рисунок верно демонстрирует направление углового ускорения.

Рисунок 2

Решение

Правило буравчика (правого винта) связывает направление вращения и псевдовектор угловой скорости. Рисунки 2.1. и 2.3. показывают направление псевдовектора вверх, а рисунки 2.2. и 2.4. – вниз.

Когда угловая скорость возрастает, ее приращение и вектор ускорения совпадут с вектором угловой скорости (рисунки 2.1. и 2.4.). Когда угловая скорость будет уменьшаться, ее приращение и вектор ускорения окажутся противоположно направлены вектору угловой скорости (рисунки 2.2. и 2.3.). Таким образом, все рисунки демонстрируют верное направление углового ускорения.

Пример 2

Пусть задана некоторая материальная точка, совершающая движение по окружности с радиусом R. При этом выражение ϕ=αt3 отражает зависимость угла поворота от времени. Необходимо найти полное ускорение заданной точки как функцию времени.

Решение

Запишем выражения для угловой скорости и углового ускорения заданной точки:

ω=dφdt=3αt2; ε=6αt.

Полное ускорение запишем как:

a=ar2+an2=Rε2+ω4=R36a2t2+81a4t8=3atR4+9a2t6.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/fizika/kinematika/uglovoe-uskorenie/

Кинематика(Вращательное движение)

Угловая скорость

Законы, определяющие движение тела по окружности, аналогичны законам поступательного движения. Уравнения, описывающие вращательное движение, можно вывести из уравнений поступательного движения, произведя в последних следующие замены:

Если:
перемещение s — угловое перемещение (угол поворота) ?,
скорость u — угловая скорость ?,
ускорение a — угловое ускорение ?

Угол поворота

Во всех уравнения вращательного движения углы задаются в радианах, сокращенно (рад).

Если 
? — угловое перемещение в радианах, 
s — длина дуги, заключенной  между сторонами угла поворота, 

r — радиус, 

то по определению радиана

Соотношение между единицами угла

Обратите внимание: Наименование единицы радиан (рад) обычно указывается в формулах только в тех случаях, когда ее можно спутать с градусом. Поскольку радиан равен отношению длин двух отрезков 
(1рад = 1м/ 1м = 1), он не имеет размерности.

Соотношение между угловой скоростью, угловым перемещением и временем для всех видов движения по окружности наглядно видны на графике угловой скорости (зависимость ? от t). Поэтому графику можно определить, какой угловой скоростью обладает тело в тот или иной момент времени и на какой угол с момента начала движения оно повернулось (он характеризуется площадью под кривой).

Кроме того, для представления соотношений между названными величинами используют график углового перемещения (зависимость ? от t) и график углового ускорения (зависимость ? от t).

Число оборотов

Характеристикой всех видов вращения является число оборотов n или равноценная ей характеристика — частота f. Обе величины характеризуют число оборотов в единицу времени.

Единица СИ частоты (или числа оборотов)

В технике число оборотов обычно измеряется в оборотах в минуту (об/мин) = 1/мин.

Таким образом, величина, обратная числу оборотов, есть продолжительность одного оборота.

Если 
n — число оборотов, 
f — частота, 
T — продолжительность одного оборота, период, 
? — угловое перемещение, 
N — полное число оборотов, 
t — время, продолжительность вращения, 
? — угловая частота, 
то

Угловое перемещение

Угловое перемещение равно произведению полного числа оборотов на 2?:

Равномерное движение тела по окружности

Говорят, что тело движется по окружности равномерно, если его угловая скорость постоянна, т.е. тело за равные промежутки времени поворачивается на один и тот же угол.

? — угловая скорость (постоянная в течение времени t)
? — угловое перемещение
t — время поворота на угол ?

Поскольку на графике угловой скорости площадь прямоугольника соответствует угловому перемещению, имеем:

или

Постоянная угловая скорость — есть отношение углового перемещения (угла поворота) ко времени, затраченному на это перемещение.

Единица СИ угловой скорости:

Равномерно ускоренное движение по окружности без начальной угловой скорости

Тело начинает двигаться из состояния покоя, и его угловая скорость равномерно возрастает.

? — мгновенная угловая скорость тела в момент времени t
? — угловое ускорение, постоянное в течение времени t
? — угловое перемещение тела за время t, (? в радианах)
t — время

Поскольку на графике скорости угловое перемещение равно площади треугольника, имеем:

Или

Поскольку вращение тела начинается из состояния покоя, изменение угловой скорости ?? равно достигнутой в результате ускорения угловой скорости ?. Поэтому формула принимает следующий вид:

или

Равномерно ускоренное движение по окружности с начальной угловой скоростью

Начальная скорость тела, равная ?0 в момент t = 0, изменяется равномерно на величину ??. (Угловое ускорение при этом постоянно.)

?0 — начальная угловая скорость
? — конечная угловая скорость
? — угловое перемещение тела за время t в радианах
t — время
? — угловое ускорение постоянное в течение времени t

Поскольку на графике скорости угловое перемещение соответствует площади трапеции под кривой скорости, имеем:

Так как площадь трапеции равна сумме площадей образующих ее треугольника и прямоугольника, получаем:

откуда

Далее из графика скорости следует

Совместив формулы мы получим

После преобразования получаем выражение, не содержащее времени:

Неравномерно ускоренное движение тела по окружности

Движение тела по окружности будет неравномерно ускоренным, если изменение угловой скорости происходит не пропорционально времени, т. е. если угловое ускорение не остается постоянным. В этом случае и угловая скорость и угловое ускорение являются функциями времени.

Связь величин ?, ? и ? представлена на соответствующих графиках.

Мгновенная угловая скорость

Полный угол поворота тела в любой момент времени можно определить по графику углового перемещения. Чем круче график, тем больше в данный момент времени мгновенная угловая скорость.? — угол между касательной и осью времени t ? — мгновенная угловая скорость ? — угловое перемещение к моменту времени t

или

Мгновенной угловой скоростью называется первая производная функции ? = ?(t) по времени.

Обратите внимание:
1) чтобы вычислить мгновенную угловую скорость ?, необходимо знать зависимость углового перемещения от времени.

2) формула углового перемещения при равномерном движении тела по окружности и формула углового перемещения при равномерно ускоренном движении по окружности без начальной угловой скорости являются частными случаями формулы (2) соответственно для ? = 0 и ? = const.

Из формул следует:

Проинтегрировав обе части выражения, получим

Угловое перемещение есть интеграл по времени от угловой скорости.

Обратите внимание:
Для вычисления углового перемещения ? необходимо знать зависимость угловой скорости от времени.

Средняя угловая скорость

Средняя угловая скорость для некоторого интервала времени

Среднее число оборотов определяется аналогично формуле:

Вращательное движение тела, формулы

При вращательном движении твердого тела все элементы его массы, не лежащие на оси вращения, совершают движение по окружности. Аналогично и материальная точка, находящаяся на расстоянии r > 0 от оси вращения, также совершает движение по окружности, как и любое тело, достаточно удаленное от оси вращения.Линейное перемещение Sл, линейная скорость uл и линейное ускорение aл при таком движении связаны между собой обычными для поступательного движения соотношениями.

Кроме того, эти величины связаны определенным образом с угловым перемещением ?, угловой скоростью ? и угловым ускорением ?.

Sл Uл aл r d ? ? ? f
перемещение тела по траектории,метр
скорость тела при движении по траектории,метр / секунда
ускорение данного тела при движении по траектории,метр / секунда2
радиус траектории,метр
диаметр траектории,метр
угловое перемещение тела,радиан
угловая скорость тела,радиан / секунда
угловое ускорение тела,радиан / секунда2
частота,Герц

Примечание:Формулы справедливы для постоянных, мгновенных и средних величин, во всех случаях движения тела по окружности.

Векторные величины, характеризующие вращательное движение тела

Угловая скорость и угловое ускорение тела являются векторными величинами. Эти векторы направлены вдоль оси вращения (аксиальные векторы), а их длина определяет величину соответствующих характеристик вращательного движения. Направление векторов определяется по правилу буравчика, т. е. совпадает с направлением поступательного движения буравчика, рукоятка которого движется в том же направлении, что и тело.

Определение:Если тело участвует одновременно в нескольких вращательных движениях, то результирующая угловая скорость определяется по правилу векторного (геометрического) сложения:

Величина результирующей угловой скорости определяется по аналогии с формулой (Сложение движений):

или, если оси вращения перпендикулярны друг другу

Примечание: Результирующее угловое ускорение определяется аналогичным образом. Графически результирующую можно найти как диагональ параллелограмма скоростей или ускорений.

Источник: https://www.nivasposad.ru/school/homepages/belousova/2015-2016/konkurs/shebarshin_pavel_v/html/kinematikavrashenie.html

�.�. ���������

Угловая скорость
      ��� ��� ����������, ������������ ��������� ��������� �������� ���� ������ ����������� ��� ���������� ����� ��� ��������, ��� ������� ��� ����� ���� �������� � ����������, ���������������� � ����������� ������, ���������� ���� ��������, � ��������� ����������, ������ ������� ����� �� ���� ���.

      ���������� ������� ����, ������� ��������� ������ ����������� ��� (���. 1.6). ����� ��������� ����� ����� ���� ����� ��������� ���������� ������ ��������, ������ ������� ����� �� ��� ��������. ����� ��������� ����� �������� �� ���������� ������� R.

�� ��������� ����� ���������� ������� Δt ������� ����� Δφ.

      ������� ��������� �������� ���������� ������, �������� ������ ������ ����������� ���� �������� ���� �� ������� � ������������ ����� ��� �������� �� ������� ������� �����:

                                                                                   (1.18)

      ������� ��������� ������� �������� ������ � ������� (���/�).

      ����� �������, ������ ω ���������� ����������� � �������� ��������. ���� ω=const, �� �������� ���������� �����������.

      ������� �������� ����� ���� ������� � �������� ��������� υ ������������ ����� . ����� �� ����� Δt ����� �������� �� ���� ���������� ����� ���� Δs. ����� �������� �������� ����� ����� �����:

                   (1.19)

      ��� ����������� �������� ��� ����� ���������������� �������� �������� � ��������, �� ������� ����� ���� ��������� ���� ������ ������, �.�. �������������� �� ���� 2π:
      ����� ������ ��������, ����������� ����� ��� ����������� �������� �� ����������, � ������� ������� ���������� �������� ��������:
������
      ��� �������������� �������������� �������� ���� �������� ������� �������� ���������. ������� ���������� ���������� ��������� ��������, ������ ������ ����������� ������� �������� �� �������:

                                                                                                             (1.20)

      ��� �������� ���� ������ ����������� ��� ������ �������� ��������� ��������� ����� ��� �������� � ������� ������� ������� �������� (���. 1.7); ��� ���������� �������� ������ ε ��������� � �� �� �������, ��� � ω (dω/dt > 0), � � ��������������� ������� ��� ����������� �������� (dω/dt < 0).

      ������� �������������� � ���������� ������������ ��������� ����� A ������������ ���� ����� ������� �������� � ������� ���������:

                   (1.21)

                                           (1.22)

      � ������ ���������������� �������� ����� �� ���������� (ε=const):
��� ω0 — ��������� ������� ��������.       �������������� � ������������ �������� �������� ���� �������� ���� ����������� ������ ��� ��������. � ����� ������ �������� �������� ���� ����� ���� ������ �������. ������ � ������������� �������� ������������, ��� ����� ������� �������� �������� ���� ����� ����������� ��� ������������ ��������������� � ������������� ��������.       �������������� ��������� ��������������� � ������������� �������� ������� � ����. 1.1.

������� 1.1

       ������� ������

  • ����� ������, ������� ������� �������������� ������������� �������� � �������, ���������� ��� ���������� ��� ��������, ���������� ���������. ������������ �������� (�������� �������-�������) ������� ������ �������� ���������������� ���, �������� ������� ���� �� ��������� �� ��������� ����� � �������.
  • ���������� � ������ ��������, ��������� �������� �������� �������� �������� ��� ��� ������������ ������, �������� ��� �������� �����������.
  • � �������� ��� �������� �������� ��� � ����������� �� ������� ���������� ����� ������������ ��������� ���������� ������: ������������ �����, ��������� ������� ����, ��������� ������� ����, ��������� ��������� ����.
  • �������� ��� ���������� � ������������ � �� �������. ������� ��� �������� �������� ������������ ����� ���� �����, � ����� ������ ������������ ��� ����� ���������� � � ����� ������� ������� ��� ��������� �� ��� ���� ���������. ������������ ���� �������, ��������� � ��� ������� ��������� � ������������������ ����� ����� ����� ���������� �������� �������.
  • ������ Δr=r-r0, ����������� �� ���������� ��������� ���������� ����� � ��������� �� � ������ ������ ������� ���������� �������� �����������. �����, ����������� ���������� ������������ ������ (�����) ������������ ��������� ������� ������� ���������� ����������� ��������. � ����������� �� ����� ���������� ��������� �������������������������� ��������. ����� ������� ����������, ����������� ������������ ������ �� ������ ���������� �������, ���������� ������ ����.
  • �������� � ��� ��������� ���������� ��������, ������� ������������� �������� �������� � ��� ����������� � ������ ������ �������. ���������� �������� ������������ ������ ����������� �������-������� ���������� ����� �� �������: ������ ���������� �������� ��������� �� ����������� � ���������� � ������� ��������. ������ ���������� �������� ������������ ����� ����� ������ ����������� ����� �� ���� �� �������:
  • ��������� � ��������� ���������� �������� ��� �������������� �������������� ��������. ��� ���������� �������� ��������� �������� �� ������ � �����������. ���������� ��������� — ��������� ��������, ������ ������ ����������� �������� �� �������:�������������� ������������ ��������� ������������� �������� ��������� �������� �� �������� (���������� �� ����������� � ���������� ��������):���������� ������������ ��������� ������������� �������� ��������� �������� �� ����������� (���������� � ������ �������� ����������):������ ��������� ��� ������������� �������� � �������������� ����� �������������� � ���������� ������������:
  • ��������� ��������, ������������ ������ ����������� ���� �������� ���� �� �������, ���������� ������� ���������: ������ ω ��������� ����� ��� �������� �� ������� ������� �����.
  • ��� ����������� �������� �����, �� ������� ����� ���� ��������� ���� ������ ������, �.�. �������������� �� ���� 2π, ���������� �������� ��������:������� �������� � ����� ������ ��������, ����������� ����� ��� ����������� ��� �������� �� ���������� � ������� �������:
  • ������� ��������� � ��� ��������� ���������� ��������, ������������ ������ ����������� ������� �������� �� �������: ��� ���������� �������� ���� ������ ����������� ��� ������ ε ����������� �������ω, ��� ����������� � ���������������� ���.
  • ����� ����� ��������� (����� ���� s, ����������� ������ �� ���������� ������� R, �������� �������� v, �������������� ��������� , ���������� ��������� an) � �������� ���������������� (���� �������� φ, ������� �������� ω, ������� ��������� ε) ���������� ���������� ���������:

      ������� ��� ������������ � ����������

  1. ��� �������� ��������� �������� ��������? ������ ��������� ��������?
  2. ��� ����� ���������� ������? ����� ���������� ������ ���������� �������� ��� �������� �������� ������������ ��������?
  3. ��� ������������ ����� ������� �������? ��� ���������� �������� �����������?
  4. ����� �������� ���������� ��������������? ������������?
  5. ��� ������������� �������� � ���������? ����� ����������� ������� �������� � �������� ���������, ���������� �������� � ����������� ���������.
  6. ��������� ��������� ���������� �������� ����, ���������� ������������� �� ��������� v0 � ��������� ������. ������������� ������� �� ���������.
  7. ��� ������������� �������������� � ���������� ������������ ���������? ������ �� ������?
  8. ��� ����� ���������������� �������� � ����������� �� �������������� � ���������� ������������ ���������?
  9. ��� ���������� ������� ��������� � ������� ����������? ��� ������������ �� �����������?
  10. ������ ��������� ������� ����� ����� �������� � ������� �������������� ��������?

      ������� ������� �����

      ������ 1. ����������� �������������� �������, ���������� ����, ��� ������� ���� ������� � ���������, ���� ������������ ������ ������� ���� ����� 1/4 ��������� ��� ������ (���. 1.8).

      ����: h = 1/4s.
      �����: α.
�������       ������������ ��������� �������� ���� v0x = v0cosα, v0y = v0sinα;
      �����: α=450.

      ������ 2. ���� ��������� ������ ����������� ��� �� ������, ����������� �������� φ = 10 + 20t — 2t2. ����� �������� ������� ��������� �����, ����������� �� ���������� 0,1 � �� ��� �������� ��� ������� ������� t=4 � (���. 1.9).

      ����: φ = 10 + 20t — 2t2; R=0,1 �; t=4 �.
      �����: a.

�������

      �����: � = 1,65 �/�2.

      ������ ��� ���������������� �������

  1. �������� ���� ������������ ����� ����������� ���������� �����������: x1 = 20 + 2t — 4t2x2 = 2 + 2t + 0,5t2. � ����� ������ ������� �������� ���� ����� ����� �����������? ���� ����� �������� � ��������� ����� � ���� ������?
  2. � ������ 1000 � ������ ���� ��� ��������� ��������. ������������ � ������ 1100 � ������ ������ ���� � ��������� ��������� ���������. ��� ���� ��������� ����� � ���� � ��� �� ������ �������. ����������� �������������� �������, ����� ��������� �������� ������� ����.
  3. ������������ ������� ������ ����� ���� �� ��������� 10 �/�, ����� �������� ���� �� ��������� 6 �/� � ���������� ����� ���� �� ��������� 2 �/�. ���� ����� ������� �������� �������������?
  4. ��� ������� �� ��������� 10 �/� �� ����� 400 � ���������. �� �������� ������������� �������, �����: �) �� ����� ������ ���������� ���? �) �� ����� ���������� �� ����� �������� ��� ������ �� �����? �) ������� ������� ��� ����� � ��������?
  5. ������, ��������� �������������, ���� �� ����� ����� 0,5 � �� ���������� 5 � �� ����������� �� ����� ��������. �� �������� ������������� �������, ����������: �) � ����� ������ ������ ������? �) ���� ����� ��������� �������� �����? �) � ����� ��������� ������ ���� �� �����? �) ����� ���� ���������� ���������� ����� � ���������� � ����� ��� ������� �� �����?
  6. ������ �������� R=0,1 � ��������� ���, ��� ����������� ������� �������� �� ������� �������� ���������� ω = 2At + 5Bt4, ��� =2 ���/�2 � �=1 ���/�5. ���������� ������ ��������� ����� ����� ������ ����� t=1 � ����� ������ �������� � ����� ��������, ��������� ������� �� ��� �����.
  7. ������� �������� ������ ��� ���������������� �������� �� t=1 ��� ����������� �� 300 �� 180 ��/���. ����������: �) ������� ��������� ������; �) ����� ������ ��������, ��������� ������� �� ��� �����.
  8. ���� �������� R=10 �� ��������� ������ ����������� ��� ���, ��� ����������� ���� �������� ������� ����� �� ������� �������� ���������� φ = A + Bt + Ct2 + Dt3 ( = 1 ���/�, = 1 ���/�2, D = 1 ���/�3). ���������� ��� ����� �� ����� ������ � ����� ������ ������� ����� ������ ��������: �) �������������� ���������; �) ���������� ���������; �) ������ ���������.
  9. ������, �������� ��������������, �������� ������� �������� 20 ���/� ����� 10 �������� ����� ������ ��������. ����� ������� ��������� ������.
  10. ������, �������� ��������������, ������ 1 ��� ����� ������ �������� ����������� ��������, ��������������� ������� 720 ��/���. ����� ������� ��������� ������ � ����� �������� �� ��� ������.

Источник: http://csfm.volgatech.net/elearning/Nurgaliev/text/1.3.html

Угловая скорость: 4 главных формулы

Угловая скорость

Иногда применительно к автомобилям всплывают вопросы из математики и физики. В частности, одним из таких вопросов является угловая скорость. Она имеет отношение как к работе механизмов, так и к прохождению поворотов. Разберёмся же, как определить эту величину, в чём она измеряется и какими формулами тут нужно пользоваться.

Как определить угловую скорость: что это за величина?

С физико-математической точки зрения эту величину можно определить следующим образом: это данные, которые показывают, как быстро некая точка осуществляет оборот вокруг центра окружности, по которой она движется.

Эта, казалось бы, чисто теоретическая величина, имеет немалое практическое значение при эксплуатации автомобиля. Вот лишь несколько примеров:

  • Необходимо правильно соотносить движения, с которыми вращаются колёса при повороте. Угловая скорость колеса автомобиля, движущегося по внутренней части траектории, должна быть меньше, чем у внешнего.
  • Требуется рассчитывать, насколько быстро в автомобиле вращается коленвал.
  • Наконец, сама машина, проходя поворот, тоже имеет определённую величину параметров движения – и от них на практике зависит устойчивость автомобиля на трассе и вероятность опрокидывания.

Формула времени, за которое вращается точка по окружности заданного радиуса

Для того, чтобы рассчитывать угловую скорость, используется следующая формула:

ω = ∆φ /∆t

Где:

  • ω (читается «омега») – собственно вычисляемая величина.
  • ∆φ (читается «дельта фи») – угол поворота, разница между угловым положением точки в первый и последний момент времени измерения.
  • ∆t
    (читается «дельта тэ») – время, за которое произошло это самое смещение. Точнее, поскольку «дельта», это означает разницу между значениями времени в момент, когда было начато измерение и когда закончено.

Приведённая выше формула угловой скорости применяется лишь в общих случаях. Там же, где речь идёт о равномерно вращающихся объектах или о связи между движением точки на поверхности детали, радиусом и временем поворота, требуется использовать другие соотношения и методы. В частности, тут уже будет необходима формула частоты вращения.

Угловая скорость измеряется в самых разных единицах. В теории часто используется рад/с (радиан в секунду) или градус в секунду. Однако эта величина мало что означает на практике и использоваться может разве что в конструкторской работе. На практике же её больше измеряют в оборотах за секунду (или минуту, если речь идёт о медленных процессах). В этом плане она близка к частоте вращения.

Угол поворота и период обращения

Гораздо более часто, чем угол поворота, используется частота вращения, которая показывает, сколько оборотов делает объект за заданный период времени. Дело в том, что радиан, используемый для расчётов – это угол в окружности, когда длина дуги равна радиусу.

Соответственно в целой окружности находится 2 π радианов. Число же π – иррациональное, и его нельзя свести ни к десятичной, ни к простой дроби. Поэтому в том случае, если происходит равномерное вращение, проще считать его в частоте.

Она измеряется в об/мин – оборотах в минуту.

Если же дело касается не длительного промежутка времени, а лишь того, за который происходит один оборот, то здесь используется понятие периода обращения. Она показывает, как быстро совершается одно круговое движение. Единицей измерения здесь будет выступать секунда.

Связь угловой скорости и частоты вращения либо периода обращения показывает следующая формулы:

ω = 2 π / T = 2 π *f,

где:

  • ω – угловая скорость в рад/с;
  • T – период обращения;
  • f – частота вращения.

Получить любую из этих трёх величин из другой можно с помощью правила пропорций, не забыв при этом перевести размерности в один формат (в минуты либо секунды)

Чему равна угловая скорость в конкретных случаях?

Приведём пример расчёта на основе приведённых выше формул. Допустим, имеется автомобиль. При движении на 100 км/ч его колесо, как показывает практика, делает в среднем 600 оборотов за минуту (f = 600 об/мин). Рассчитаем угловую скорость.

Для начала переведем об/мин в об/с. Для этого разделим 600 на 60 (число секунд в минуте) и получим 10 об/с . Попутно мы получили и период обращения: эта величина является обратной по отношению к частоте и при измерении в секундах 0,1 с.

Далее используем формулу:

ω = 2 π *f

Поскольку точно выразить π десятичными дробями невозможно, результат примерно равен будет 62,83 рад/с.

Связь угловой и линейной скоростей

На практике часто приходится проверять не только ту скорость, с какой изменяется угловое положение у вращающейся точки, но и скорость её самой применительно к линейному движению.

В приведённом выше примере были сделаны расчёты для колеса – но колесо движется по дороге и либо вращается под действием скорости автомобиля, либо само ему эту скорость обеспечивает.

Значит, каждая точка на поверхности колеса помимо угловой будет иметь и линейную скорость.

Рассчитать её проще всего через радиус. Поскольку скорость зависит от времени (которым будет период обращения) и пройденного расстояния (которым является длина окружности), то, учитывая приведённые выше формулы, угловая и линейная скорость будут соотноситься так:

V = ωR

Где:

  • V – линейная скорость;
  • R – радиус.

Из формулы очевидно, что чем больше радиус, тем выше и значение такой скорости. Применительно к колесу с самой большой скоростью будет двигаться точка на внешней поверхности протектора (R максимален), но вот точно в центре ступицы линейная скорость будет равна нулю.

Ускорение, момент и связь их с массой

Помимо приведённых выше величин, с вращением связано ещё несколько моментов. Учитывая же, сколько в автомобиле крутящихся деталей разного веса, их практическое значение нельзя не учесть.

Равномерное вращение – это важная вещь. Вот только нет ни одной детали, которая бы всё время крутилась равномерно. Число оборотов любого крутящегося узла, от коленвала до колеса, всегда в конечном итоге растёт, а затем падает.

И та величина, которая показывает, насколько выросли обороты, называется угловым ускорением.

Поскольку она производная от угловой скорости, измеряется она в радианах на секунду в квадрате (как линейное ускорение – в метрах на секунду в квадрате).

С движением и её изменением во времени связан и другой аспект – момент импульса. Если до этого момента мы могли рассматривать только чисто математические особенности движения, то здесь уже нужно учитывать то, что каждая деталь имеет массу, которая распределена вокруг оси.

Он определяется соотношением начального положения точки с учётом направления движения – и импульса, то есть произведения массы на скорость.

Зная момент импульса, возникающий при вращении, можно определить, какая нагрузка будет приходиться на каждую деталь при её взаимодействии с другой

Шарнир как пример передачи импульса

Характерным примером того, как применяются все перечисленные выше данные, является шарнир равных угловых скоростей (ШРУС) . Эта деталь используется прежде всего на переднеприводных автомобилях, где важно не только обеспечить разный темп вращения колёс при повороте – но и при этом их управляемость и передачу на них импульса от работы двигателя.

Конструкция этого узла как раз и предназначена для того, чтобы:

  • уравнивать между собой, как быстро вращаются колёса;
  • обеспечивать вращение в момент поворота;
  • гарантировать независимость задней подвеске.

В результате все формулы, приведённые выше, учитываются в работе ШРУС.

Источник: http://motorstory.ru/operation/instructions-operation/uglovaya-skorost-4-glavnyx-formuly/

Booksm
Добавить комментарий