Тождественность микрочастиц

Тождественность микрочастиц

Тождественность микрочастиц

Все однотипные микрочастицы (электроны, протоны, нейтроны и т.д.) имеют абсолютно идентичные свойства. У них одинаковые массы, электрические заряды, спины и т.д. В этой связи появляется вопрос о том, как проводить отличии одной частицы от другой подобной. Рассмотрим систему из двух электронов.

Отметим в начальный момент наблюдения положения данных частиц. Каждому присвоим номер ($1$) и ($2$). В классической физике мы бы сказали, что электрон перемещается по определенной траектории. За движением электрона можно проследить.

Зная положение частицы, в какой — то момент времени, можно сказать, где она будет находиться позднее и определить какой это электрон (номер $1$ или номер $2$). Если мы поменяем местами и скоростями оба электрона, получаем новое состояние системы.

При этом новое состояние будет иметь те же свойства, что и первое, за исключением нумерации электронов. В классической интерпретации одинаковые частицы принципиально различимы (индивидуализированы).

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

В квантовой физике ситуация иная. Так как она отвергает классическое представление о движении частицы по траектории. Состояние системы частиц в квантовой механике описывается волновой функцией, которая имеет вероятностное толкование. В примере, относительно двух электронов, волновая функция зависит от времени и координат обоих электронов.

Обнаруживая в момент времен $t$ один из электронов, принципиально невозможно решить какой из присвоенных номеров имеет электрон. Принципиальная невозможность решения вопроса означает, что сам вопрос сформулирован неверно. Если два исследуемых электрона поменять местами, то результат обмена нельзя детектировать.

Значит, два состояния, которые эмпирически неразличимы, следует рассматривать как одно и то же состояние. Так поступают в квантовой физике.

Одинаковые частицы в квантовой механике принципиально неразличимы (обезличены). Следует говорить о состоянии системы одинаковых частиц в единстве, а не о состоянии отдельной частицы. Данное утверждение формулируют в виде принципа тождественности одинаковых частиц:

В системе из одинаковых микрочастиц выполняются только состояния, которые не изменяются при перестановке местами двух любых частиц.

Данный принцип в квантовой физике является новым и не вытекает из других ее положений, но можно показать, что он не противоречит всему ранее сказанному. Данный принцип подтверждается эмпирически.

Волновые функции, удовлетворяющие принципу тождественности

Как известно, состояние системы микрочастиц в квантовой физике описывают при помощи волновых функций. Резонным является вопрос о том, какие волновые функции удовлетворяют принципу тождественности одинаковых частиц. Вернемся к рассмотрению системы из двух одинаковых частиц.

Допустим, что волновая функция от времени не зависит и ее можно записать как: $\psi (q_1,\ q_2)$, где для бесспиновых частиц понимают под $q_1$ совокупность трех пространственных координат одной частицы, под $q_2$ координаты второй частицы.

(В том случае, если частица обладает спином, то к пространственным координатам добавляют спиновые координаты).

Если переставить местами частицы $1$ и $2$, то получают волновую функцию $\psi \left(q_2,\ q_1\right).$ Данную операцию можно представить как действие линейного оператора $\hat{P}$ на функцию $\psi (q_1,\ q_2)$, при этом оператор называют оператором перестановки:

Переставим исследуемые частицы второй раз, имеем:

Из выражения (2) следует, что ${\hat{P}}2=1$, значит $\hat{P}=\pm 1.\ $Следовательно, допускаются волновые функции следующих типов:

В случае (3) волновая функция при перестановке частиц не изменяется, ее называют симметричной (имеет индекс $s$). В случае (4) мы имеем асимметричную функцию, имеет индекс $a$. Она изменяет знак при перестановке однотипных частиц.

Данные результаты обобщаются для систем имеющих любое количество одинаковых частиц. Тогда симметрия или асимметрия проявляется при перестановке любых двух частиц.

Частицы, которые описываются симметричными волновыми функциями, называют бозе-частицами (бозонами). Частицы, которые описываются антисимметричными волновыми функциями, названы ферми — частицами (фермионами).

Принцип Паули

В системе тождественных фермионов не существует двух частиц, которые находятся в одном состоянии. Данной положение называют принципом (запретом) Паули. Данное предположение Паули выдвинул еще до возникновения квантовой механики. В следующем виде:

В атоме не может быть двух электронов, которые бы характеризовались одинаковыми четверками квантовых чисел. Принцип Паули выполняется относительно отдельных частиц, которые не взаимодействуют. Данный принцип использовался для обоснования периодической системы Менделеева, части закономерностей в спектрах.

Относительно бозонов нет подобных ограничений. В одном и том же состоянии может существовать любое количество бозонов.

Пример 1

Что такое детерминант Слэтера?

Решение:

Рассмотрим систему из $N$ —одинаковых микрочастиц. Волновая функция ($\psi$) такой системы должна подчинять принципу тождественности, то есть быть симметричной или асимметричной, то есть:

\[\psi\left(q_1,\dots ,q_i,{\dots ,q}_j\dots ,q_N\right)=\psi\left(q_1,\dots ,q_j,{\dots ,q}_i\dots ,q_N\right)\left(1.1\right).\]

Если частицы не взаимодействуют друг с другом, антисимметричная волновая функция, которая удовлетворяет принципу тождественности, может быть представлена в виде:

Рисунок 1.

где $\psi_i\left(q_i\right)$ — волновые функции для одной частицы. Много частичная волновая функция, представленная в виде (1.2) называется детерминантом Слэтера.

В такой записи перестановка микрочастиц местами эквивалентна перестановке пары столбцов в определителе (1.2).

Как известно, при подобной перестановке определитель изменяет знак, что значит — волновая функция асимметрична относительно перестановки любой пар частиц.

Пример 2

Охарактеризуйте состояние, которое в квантовой механике называют перепутанным.

Решение:

Допустим, что мы имеем систему из двух не взаимодействующих электронов. Волновую функцию такой системы $\psi\left(q_1,q_2\right)$ представим в виде выражения:

\[\psi\left(q_1,q_2\right)=\psi_1\left(q_1\right)\psi_2\left(q_2\right)\left(2.1\right),\]

где $\psi_1\left(q_1\right)$ — волновая функция одной частицы, $\psi_2\left(q_2\right)$ — волновая функция другой частицы. Выражение (2.1) принципу тождественности не удовлетворяет. Так как при перестановке частиц мы получим иное состояние:

\[\psi\left(q_2{,q}_1\right)=\psi_1\left(q_2\right)\psi_2\left(q_1\right)\left(2.2\right).\]

Но, для имеющихся волновых функций $\psi_1\left(q\right){\ и\ \psi}_2\left(q\right)$ можно создать две комбинации, которые удовлетворяют свойствам симметрии. Причем одна является симметричной относительно перестановки:

\[\psi_s\left(q_1,q_2\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\psi_1\left(q_1\right)\psi_2\left(q_2\right)+\psi_1\left(q_2\right)\psi_2\left(q_1\right)\right)\left(2.3\right),\]

другая асимметричной по отношению к перестановке электронов:

\[\psi_a\left(q_1,q_2\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\psi_1\left(q_1\right)\psi_2\left(q_2\right)-\psi_1\left(q_2\right)\psi_2\left(q_1\right)\right)\left(2.4\right).\]

Существенным свойством полученных состояний является то, что даже в отсутствии взаимодействия (в общем случае) $\psi$ — функция одинаковых частиц не представима как произведение волновых функций для отдельных частиц. Такое состояние, при котором выполняется условие:

\[\psi_{s(a)}\left(q_1,q_2\right)e {\varphi }_1\left(q_1\right){\varphi }_2\left(q_2\right)(2.5)\]

называют перепутанным.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/predmet_i_zadachi_atomnoy_fiziki/tozhdestvennost_mikrochastic/

Принципы неразличимости тождественных частиц. Фермионы и бозоны

Тождественность микрочастиц

       Если перейти от рассмотрения движения одной микрочастицы (одного электрона) к многоэлектронным системам, то проявляются особые свойства, не имеющие аналогов в классической физике.

Пусть квантово-механическая система состоит из одинаковых частиц, например электронов. Все электроны имеют одинаковые физические свойства – массу, электрический заряд, спин и другие внутренние характеристики (например квантовые числа).

Такие частицы называют тождественными.

       Необходимые свойства системы одинаковых тождественных частиц проявляются в фундаментальном принципе квантовой механики – принципе неразличимости тождественных частиц, согласно которому невозможно экспериментально различить тождественные частицы.

       В классической механике даже одинаковые частицы можно различить по положению в пространстве и импульсам.

Если частицы в какой-то момент времени пронумеровать, то в следующие моменты времени можно проследить за траекторией любой из них.

Классические частицы, таким образом, обладают индивидуальностью, поэтому классическая механика систем из одинаковых частиц принципиально не отличается от классической механики систем из различных частиц.

       В квантовой механике положение иное.

Из соотношения неопределенности вытекает, что для микрочастиц вообще неприменимо понятие траектории; состояние микрочастицы описывается волновой функцией, позволяющей лишь вычислять вероятность нахождения микрочастицы в окрестностях той или иной точки пространства.

Если же волновые функции двух тождественных частиц в пространстве перекрываются, то разговор о том, какая частица находится в данной области, вообще лишен смысла: можно говорить лишь о вероятности нахождения в данной области одной из тождественных частиц.

Таким образом, в квантовой механике тождественные частицы полностью теряют свою индивидуальность и становятся неразличимыми. Следует подчеркнуть, что принцип неразличимости тождественных частиц не является просто следствием вероятной интерпретации волновой функции, а вводится в квантовую механику как новый принцип, как указывалось выше, является фундаментальным.

       Принимая во внимание физический смысл величины , принцип неразличимости тождественных частиц можно записать в следующем виде:

,(8.1.1)

       где и – соответственно, совокупность пространственных и силовых координат первой и второй частиц. Из выражения (8.1.1) вытекает, что возможны два случая:

       т.е. принцип неразличимости тождественных частиц ведет к определенному свойству симметрии волновой функции.

Если при перемене частиц местами волновая функция не меняет знака, то она называется симметричной,если меняет – антисимметричной.

Изменение знака волновой функции не означает изменения состояния, т.к. физический смысл имеет лишь квадрат модуля волновой функции.

       В квантовой механике доказывается, что характер симметрии волновой функции не меняется со временем. Это не является доказательством того, что свойства симметрии или антисимметрии – признак данного типа микрочастиц.

       Установлено, что симметрия или антисимметрия волновых функций определяется спином частиц.

В зависимости от характера симметрии все элементарные частицы и построенные из них системы (атомы, молекулы) делятся на два класса: частицы с полуцелым спином (например электроны, нейтроны и протоны) описываются антисимметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Ферми–Дирака; эти частицы называются фермионами.

Частицы с нулевым, или целочисленным, спином (например фотоны, мезоны) описываются симметричными функциями (волновыми) и подчиняются статистике Бозе–Эйнштейна; эти частицы называются бозонами.

       Сложные частицы (например атомные ядра), составленные из нечетного числа фермионов, являются фермионами (суммарный спин – полуцелый), а из четногобозонами (суммарный спин – целый).

       Зависимость характера симметрии волновых функций системы тождественных частиц от спина частиц теоретически обоснована швейцарским физиком В. Паули, что явилось еще одним доказательством того, что спины являются фундаментальной характеристикой микрочастиц.

Источник: http://ens.tpu.ru/posobie_fis_kusn/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F%20%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0.%20%D0%90%D1%82%D0%BE%D0%BC%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D0%B8%20%D1%8F%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0.%20%D0%A4%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0%20%D1%8D%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%86/08-1.htm

7.5. Неразличимость тождественных частиц

Тождественность микрочастиц

Две частицы тождественны, если все их физические свойства в точности совпадают, что исключает возможность экспериментально различать их.

В классической теории всегда предполагается, что мы можем в принципе проследить за движением частиц и сказать, какая из них куда полетела. Поэтому в классической теории даже тождественные частицы в принципе различимы.

В квантовой механике это не так: принцип неопределенности не позволяет прослеживать траектории и, стало быть, неразличимость частиц имеет принципиальный характер и влияет на результат вычислений.

Пусть, например, система из двух частиц описывается гамильтонианом (оператором энергии)

и пусть система находится в состоянии с волновой функцией

.

Введем оператор

переставляющий частицы местами, то есть обменивающий их радиусы-векторы:

.(7.31)

Математически тождественность частиц выражается в инвариантности (неизменности) гамильтониана относительно операции перестановки

этих частиц, что в квантовой механике записывается как условие коммутации операторов

то есть

.(7.32)

Это условие обеспечивает физическую неразличимость частиц, поскольку тогда волновая функция  будет также решением уравнения Шредингера с тем же значением  энергии. Действительно, если

и мы подействуем на обе части этого уравнения оператором коммутации

то получим

.

Из-за условия коммутации мы можем пронести оператор коммутации через гамильтониан:

и наше уравнение примет вид

.

Но мы помним, что коммутирование операторов с гамильтонианом означает сохранение их собственных значений. Найдем собственные значения р оператора коммутации. Для этого надо решить уравнение

.(7.33)

С учетом определения (7.31) оператора коммутации, записываем это уравнение в виде

.(7.34)

Снова подействуем на обе части (7.34) оператором перестановки частиц:

.(7.35)

Из (7.34) и (7.35) получаем, что

(7.36)

то есть . Таким образом, оператор коммутации может иметь только два собственных значения. При p = 1 волновая функция симметрична относительно операции перестановки частиц:

.

При p = –1 имеем антисимметричную волновую функцию:

.

Таким образом, мы получили важный результат:

Волновые функции системы двух тождественных частиц могут быть либо четными, либо нечетными относительно операции перестановки частиц местами. 

Справедливо обобщение этого результата:

Состояния системы тождественных частиц либо симметричны, либо антисимметричны относительно перестановки любых двух из них.

Какое состояние реализуется — зависит от природы рассматриваемых частиц.

Частицы с симметричными состояниями называются бозонами, с антисимметричными — фермионами.

Ранее этими именами мы называли частицы с целым и полуцелым спинами, соответственно. В релятивистском уравнении Дирака, в отличиe от уравнения Шредингера, спин частиц возникает автоматически. Существует фундаментальная теорема Паули:

Частицы с полуцелым спином (s = 1/2, 3/2 и т. д.) описываются антисимметричными волновыми функциями, а с целым (s = 0, 1, 2 и т. д.) — симметричными.

Эта теорема о связи спина со статистикой является следствием объединения квантовой механики с теорией относительности.

Обратимся для примера к состоянию двух атомных электронов. В пренебрежении взаимодействием между ними волновая функция распадается на произведение волновых функций каждого электрона по отдельности:

.

Индексы i, j обозначают здесь полный набор квантовых чисел (n, l, m, s), которыми одно состояние отличается от другого. Меняя электроны местами, приходим к состоянию с той же энергией, описываемому волновой функцией

.

Поэтому в силу принципа суперпозиции возможны состояния, описываемые любой линейной комбинацией этих двух функций, причем все они будут иметь ту же энергию. Однако мы теперь знаем, что для электронов со спином s = 1/2 физический смысл имеет лишь антисимметричная комбинация

.(7.37)

Если состояния электронов одинаковы (i = j, то есть совпадают все квантовые числа), то

.

Мы снова пришли к принципу Паули:

Не может быть двух электронов в одном состоянии.

Источник: https://online.mephi.ru/courses/physics/atomic_physics/data/course/7/7.5.html

Принцип тождественности одинаковых микрочастиц. Симметричные и антисимметричные состояния тождественных микрочастиц. Фермионы и бозоны

Тождественность микрочастиц

Принцип тождественности одинаковых микрочастиц. Симметричные и антисимметричные состояния тождественных микрочастиц. Фермионы и бозоны.

Основа квантовой статистики – принципиальная неразличимость одинаковых частиц.

Перестановка местами двух квантовых частиц не приводит к новому микросостоянию. Волновые ф-ии должны быть симметричными или антисимметричными по отношению к перестановке любой пары частиц, причем первый случай имеет место для частиц с целым спином, а второй с полуцелым.

Для системы частиц, описывающейся антисимметричными ф-ями справедлив принцип Паули: в каждом квантовом состоянии может находиться одновременно не более одной часицы. Статистика, основанная на этом принципе, называется статистикой Ферми-Дирака. Частицы , подчиняющиеся этой статистике – фермионы.

К их числу относят все частицы с полуцелым спином. Статистика Бозе-Эйнштейна, ктр. подчиняются частицы с целым спином. Частицы подчиняющиеся этой статистике – бозоны. Не выполняется принцип Паули; вероятность Р возникновения бозона в состоянии, в ктр.

уже имеется n частиц, пропорциональна n. Обе статистики подчиняются принципу тождественности одинаковых микрочастиц.

Статистика Бозе-Эйнштейна. Функция распределения Бозе-Эйнштейна. Свойства бозе-частиц. Сверхтекучесть гелия II.

Функция распределения имеет вид где -среднее число частиц, находящихся в состоянии с номером i, -энергия частицы в этом состоянии, -хим. потенциал, определяемый из условия, что сумма всех равна полному числу N частиц в системе , причем . Для систем с переменным числом частиц (сист. фотонов и фононов)

Частице подчиняющиеся этому распределению – бозоны (частицы обладающие нулевым или целым спином). Для статистики Бозе-Эйнштейна не выполняется принцип Паули; вероятность Р возникновения бозона в состоянии, в ктр. уже имеется n частиц, пропорциональна n. Т.о. бозоны «любят» накапливаться в одном состоянии – они являются «коллективистами».

Сверхтекучесть гелия II. —?

Работа выхода электрона из металла. Термоэлектронная эмиссия. Формула Ричардсона и Ричардсона –Дашмена.

Наименьшая энергия, которую необходимо сообщить эл-ону для того чтобы удалить его из твердого или жидкого тела в вакуум, называется работой выхода. Ее обозначают , где -величина называемая потенциалом выхода.

Работа выхода электрона из металла определяется выражением: . (в предположении что температура металла равна 0 К (-полная работа выхода )). При других температурах работу выхода также определяют как разность глубины потенциальной ямы и уровня Ферми.

Работа выхода сильно зависит от состояния пов-ности металла.

При температурах отличных от абсолютного нуля, имеется некоторое кол-во эл-нов энергия которых достаточна для того чтобы преодолеть потенциальный барьер на границе металла. При повышении температуры их кол-во растет. Испускание эл-онов нагретым металлом называется термоэлектронной эмиссией.

Ее исследование осуществляется с помощью вакуумного диода, в котором находятся 2 электрода-катод и анод. Катод нагревается током от внешней батареи, а на оба электрода подается напряжение от анодной батареи. При постоянном токе накала катода ВАХ диода имеет вид на рисунке.

С ростом Uа все больше электронов отсасывается электр. полем к аноду и при определенном значении Uа все вылетевшие из катода эл-оны получают возможность достигнуть анода. Дальнейший рост Uа не может увеличить силу анодного тока-ток дастигает насыщения. Ток насыщения-характеризует эмиссию.

Если в единицу времени с единицы поверхности катода вылетает N эл-онов, то плотность тока насыщения будет равна Изменяя плотность тока насыщения при различной силе тока накала можно найти кол-во эл-онов, вылетающих с единицы пов-ности при разных температурах. -формула Ричардсона-Дешмана. А=конст.

График этой ф-ции- ветвь параболы в первой плоскости. Формула Ричардсона отличается только наличием вместо .

Статистика Ферми-Дирака. Функция распределения Ферми-Дирака. Вырожденный электронный газ. Энергия ферми.

При абсолютном нуле в каждом из состояний, энергия которых не превышает , находится один электрон; в состояниях с электроны отсутствуют. Находим ф-цию распределения при температуре, отличной от абсолютного нуля. Рассматриваются неупругие столкновения равновесного электронного газа с атомом примеси, внедренным в кристаллич. решетку металла.

При нахождении получается выр-е Это функция(Ферми-Дирака) распределения эл-онов по состояниям с различной энергией. Параметр называется химическим потенциалом. Имеющий размерность энергии, его часто обозначают и называют уровнем Ферми или энергией Ферми. Смысл ф-ции распред.

:Величина представляет собой среднее число эл-онов находящихся в состоянии с энергией .. Это выр-е лежит в основе статистики Ферми-Дирака. Частицы подчиняющиеся этой статистике называют фермионами. К их числу относят все частицы с полуцелым спином (е,р,n) Фермионы никогда не занимают состояния, в котором уже находится одна частица.

При абсолютном нуле если и если. Тогда при 0К уровень ферми совпадает с верхним заполненным эл-онами уровнем Независимо от температуры при ф-я равна ½ Следовательно уровень Ферми совпадает с тем энергоуровнем, вероятность заполнения которого равна половине.

Поведение электронного газа зависит от соотношения между температурой кристалла и температурой Ферми, равной .Есть 2 предельных случая: 1) -газ вырожденный 2) -газ невырожденный

Квантовая теория свободных электронов в металле. Плотность электронных состояний.

Согласно модели свободных эл-онов валентные эл-оны могут свободно перемещаться по кристаллу. Именно они обуславливают электронную проводимость металла. Рассмотрим образец-куб со стороной L, в нем движутся эл-оны совершенно свободно.

Ур-е Шредингера для своб эл-она с учетом U=0: , вид его решения где k-волновой вектор эл-она связанный с энергией соотношением . Условие нормировки пси-ф-ции (при интегрировании по объему куба L3 ) запишется: .

Полагая С вещественным получим для него значение

Тогда и должна удовлетвор граничным условиям ее периодичности по x,y,z, с периодом L. Это выполняется при значениях компонент волнового вектора равных: ,,, n-целые (0,1,2..) Отсюда

Замена х на х+L или у на у+L оставляет ф-ю без изменений. Таким образом значения волнового вектора квантуются, значит и квантуется и энергия электрона проводимости в металле. Состояние электрона проводимости определяется зн-ем волнового вектора к, и спиновым квантовым числом .

Состояние можно задать четырьмя квантовыми числами ,,,.Энергия эл-она определяется суммой квадратов n. Одной и той же сумме квадратов соответствуют несколько различных комбинаций чисел , поэтому уровни энергии являются вырожденными.

Плотность состояний, т е число состояний, приходящееся на единичный интервал энергии имеет вид:

Предельный переход квантовых статистических распределений Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна в классическое распределение Максвелла-Больцмана.

При больших энергиях т.е. при , единицей в знаменателе ф-ции распред. Ферми-Дирака можно пренебречь, тогда распределение эл-онов по состояниям с разной энергией принимает вид: , т. е. переходит в ф-ю распред Больцмана, где Для ф-ции распред Бозе-Эйнштейна: все также.

Каталог: baumanka -> sem-04
baumanka -> Построение границ d разбиения

Достарыңызбен бөлісу:

Источник: https://dereksiz.org/princip-tojdestvennosti-odinakovih-mikrochastic-simmetrichnie.html

Booksm
Добавить комментарий