Теория упругих колебаний

упругие колебания — это… Что такое упругие колебания?

Теория упругих колебаний

Рис. 1. Примерные осциллограммы вынужденных колебаний и автоколебаний самолёта.

упру́гие колеба́ния летательных аппаратов — совокупность различной природы вибраций всего летательного аппарата или его частей как упругой деформируемой системы (конструкции), которые могут возникнуть в определённых условиях при эксплуатации летательного аппарата.

У. к. возникают и поддерживаются внешним по отношению к упругой системе источником энергии, связанным с самой системой. В зависимости от характера связей выделяют следующие основные виды У. к.: вынужденные колебания, автоколебания, параметрические колебания.

Вынужденные колебания возникают в системе от источника энергии, подающего периодические воздействия, по величине и характеру не зависящие от самой системы, то есть при односторонней связи. К такого рода У. к.

можно отнести вибрации летательного аппарата, возникающие при его полёте в турбулентной атмосфере, при его пробеге и разбеге, а также бафтинг оперения, акустические колебания и др.

Частный случай вынужденных колебаний — свободные колебания, происходящие при одноразовом действии на систему источника энергии, например при попадании летательного аппарата в неповторяющийся вертикальный порыв ветра.

Автоколебания имеют место при создании упругой системой периодических воздействий, поступлением которых из источника энергии система управляет сама. При этом тем или иным способом обеспечивается обратная связь между системой и источником У. к.

На летательном аппарате могут возникнуть различные виды автоколебаний — флаттер, шимми, вибрации при работе САУ и т. д. Как правило, автоколебания — наиболее опасный вид У. к.

, способный привести к спонтанному разрушению летательного аппарата.

Параметрические колебания возникают при периодическом изменении источником энергии параметров упругой системы. Чаще всего этим колебаниям подвержены вертолёты.

Возникновение У. к. на самолёте нежелательно, а при определённых видах колебаний недопустимо. В зависимости от вида У. к. существуют различные способы их предупреждения.

Уменьшения вынужденных колебаний до такой степени, при которой они не представляли бы непосредственной опасности для прочности летательного аппарата и не препятствовали бы нормальному, в течение заданного времени, его функционированию, достигают различными способами, зависящими от характера и природы внешних воздействий.

Для предотвращения автоколебаний стремятся создать такую конструкцию летательного аппарата, в которой были бы «оборваны» или резко ослаблены обратные связи.

Вероятный вид У. к. определяют по их осциллограммам, на которых виден характер нарастания вынужденных резонансных колебаний (огибающие — прямые, рис. 1, а) и автоколебаний (огибающие — экспоненты, рис. 1, б).

Каждый вид У. к.

классифицируют по основному типу деформаций, которые происходят на всём летательном аппарате или на его отдельных узлах (например, вынужденные поперечные колебания тяги управления, изгибно-крутильный флаттер крыла).

Для изучения У. к. и определения способов их устранения применяют экспериментальный и теоретический методы.

Эксперименты проводят на физических моделях с учётом законов механического подобия, либо исследуют реальный летательный аппарат в реальных условиях.

Теоретические методы основаны на создании математических моделей самой упругой системы (обычно модель с бесконечным числом степеней свободы) и способа передачи воздействия внешней среды на модель.

Математические модели описываются матричным уравнением вида:

, (1)

где L — дифференциальный оператор, моделирующий упругую систему, её массовые и инерционные характеристики и связи между ними, W — вектор деформаций, P — координата точки упругой системы, t — время, F — оператор, моделирующий механизм подвода энергии. Для вынужденных колебаний F зависит только от t.

При малых колебаниях операторы L и F — линейны относительно W и его производных. При исследовании У. к. различных летательных аппаратов используются различные математические модели.

Например, для самолёта с крылом большого удлинения математической моделью служит система скрещенных балок, каждая из которых моделирует крыло, фюзеляж, оперение и т. д. и является носителем упругих и массовых характеристик соответствующих частей самолёта; крыло малого удлинения моделируют пластиной и т. д.

Для полного описания движения упругой системы к уравнению (1) добавляют дополнительные условия: краевые, характеризующие условия её закрепления, и начальные, описывающие её состояние в момент начала движения.

При использовании в качестве модели крыла прямой балки вектор деформации W имеет вид:

,

где f(х) — прогиб сечения x балки (P = x), φ(x) — угол её закручивания. Оператор L в случае малых колебаний имеет вид:

где EJ и GJp — соответственно жёсткости балки на изгиб и кручение; m, Jm — масса и массовый момент инерции единицы длины балки, σ — расстояние от центра масс сечения балки до её основания. Для вынужденных колебаний оператор

,

где fi(t) — заданные функции времени.

Для консольно защемлённой в стенку балки в месте её заделки (при x = 0) граничные условия имеют вид:

,

на её свободном конце:

.

Начальные условия обычно задаются при t = 0:

где ψi(x) — заданные функции. При σ≠0 балка совершает связанные изгибно-крутильные колебания. Если σ = 0, то оператор L = [W(x, t)] разделяется (балка совершает либо изгибные, либо крутильные колебания).

Если F(t) = 0, то вследствие начальной деформации наступает автономное движение системы, называемое свободными колебаниями. Тогда решение уравнения (1) имеет вид:

W(P, t) = ∑AkWk(P)cos(ωkt + αk). (2)

Каждое слагаемое в выражении (2) представляет собой так называемую стоячую волну и называется k-м собственным колебанием или k-м тоном колебаний. При собственном колебании все точки упругой системы движутся синхронно.

Матрица Wk(P) — форма (точнее собственная форма) k-го колебания, ωk — его частота. Значения ωk образуют дискретную, бесконечно возрастающую последовательность. На рис.

 2 показаны формы первых трёх крутильных (φ1, φ2, φ3) и двух тонов изгибных (f1, f2) колебаний крыла постоянного сечения, защемлённого по бортовой нервюре.

Собственная частота и форма колебаний являются внутренними характеристиками упругой системы, определяются только её структурой и не зависят от начальных условий, которые влияют на амплитуду Ak и фазу колебаний αk.

С математической точки зрения частота ωk и форма Wk(Р) являются k-ми собственными значениями и функциями некоторой краевой задачи, определяемой выражением L = [W(P1, t)] и условиями закрепления. Существует ряд методов решения задачи.

Всякое свободное колебание представляется рядом собственных колебаний. Выражение (2) описывает движение некоторой идеальной упругой системы, в которой не учтены силы внутреннего трения конструкции, то есть движение происходит в среде как бы без сопротивления. В реальной конструкции свободные колебания будут затухающими.

Вектор деформаций W в этом случае определяется выражением:

. (3)

Каждое слагаемое в выражении (3) — k-й тон колебаний — характеризуется декрементом затухания δk и частотой колебаний ωk. В отличие от идеальной системы колебания отдельных сечений конструкции сдвинуты по фазе на γk(P); обычно .

Если F(t)≠0, то упругая система совершает так называемые вынужденные колебания, являющиеся суммой достаточно быстро затухающих свободных колебаний, описываемых выражением (3), и незатухающих (вынужденных), определяемых видом F(t).

Особо важным случаем является тот, когда упругая система совершает резонансные колебания: F(t) = Вcospt, где В — вектор возмущения. На такое возмущение система отвечает гармоническим же колебанием с той же частотой, но сдвинутым относительно возмущения по фазе.

В этом случае имеет место следующая зависимость амплитуды A какого-либо сечения упругой системы (рис. 3) от частоты p возмущающего воздействия. Частоты ω1*, ω2*,… и т. д.

, при которых амплитуда точки A принимает максимальные значения, называются резонансными частотами первого, второго, k-го тонов колебаний системы, а соответствующие им амплитуды A1, A2,… и т. д. — резонансными амплитудами. Частоты ωk*, ωk и ω — различные физические величины, хотя их значения обычно близки между собой.

Деформации при резонансной частоте в десятки и даже в сотни раз превосходят те значения деформаций, которые имели бы место при статическом приложении такой же силы. Поэтому, если упругая система испытывает гармоническое внешнее воздействие с частотой, совпадающей с собственной частотой, возникают весьма интенсивные колебания конструкции, которые могут привести к её разрушению. При резонансных колебаниях деформации сдвинуты по фазе относительно возмущения на π/2.

Совокупность резонансных амплитуд всех точек упругой системы при этом образует так называемую форму k-го тона резонансных колебаний, весьма близкую к соответствующей форме собственных колебаний системы.

При экспериментальных исследованиях У. к. определяют именно резонансные частоты и формы колебаний. Степень близости их к полученным расчётным колебаниям собственной формы и частотам служит критерием правильности выбора математической модели упругой системы.

Принципиальное отличие распределённых реальных упругих систем от идеальных заключается в том, что число резонансных частот конечно. Начиная с некоторого порядкового номера тона, колебания невозможно возбудить. По этой причине все У. к. самолёта происходят на низших тонах.

Летящий летательный аппарат является не закреплённой упругой системой, поэтому он может совершать колебания и как твёрдое тело (то есть иметь так называемые нулевые тона).

Так как летательный аппарат имеет вертикальную плоскость симметрии, то уравнение (1) распадается на два независимых; одно из них описывает происходящие в вертикальной плоскости симметричные колебания, другое — связанные колебания в горизонтальной и вертикальной плоскостях.

При анализе собственных колебаний летательный аппарат их располагают в порядке возрастания собственных частот и именуют первым, вторым… k-м тонами колебаний. При каждом тоне в той или иной степени деформируется весь летательный аппарат.

Каждому тону присваивается название, которое характеризует его «происхождение», то есть определяется, какой вид деформаций и какая часть самолёта играет в его формировании основную роль. Так различают тоны, соответствующие изгибу крыла, кручению крыла, кручению фюзеляжа и т. д.

(хотя при этих тонах в той или иной степени деформируется вся конструкция). Совокупность тонов колебаний с указанием их названий образует так называемый частотный паспорт летательного аппарата. Составление частотного паспорта — основная и часто определяющая задача при изучении У. к.

Решение проблем У. к. стимулировало развитие методов математического анализа, аэродинамики, строительной механики летательного аппарата и других областей науки, потребовало создания специальной измерительной аппаратуры, методов экспериментальных исследований и измерений. Отдельные вопросы стали самостоятельными научными дисциплинами (аэроупругость, усталостные вибрации и др.).

Большой вклад в разработку теории У. к., методов их экспериментального исследования и способов их устранения внесли советский учёные И. В. Ананьев, Е. П. Гроссман, М. В. Келдыш, М. В. Марин, Л. С. Попов, А. Л. Резник, А. Ф. Селихов, С. П. Стрелков, Г. М. Фомин и др.

Литература:Келдыш М. В., Гроссман Е. П., Марин Н. И., Вибрации на самолёте, М., 1942;

Ананьев И. В., Тимофеев П. Г., Колебания упругих систем в авиационных конструкциях и их демпфирование, М., 1965.

Я. М. Пархомовский.

Рис. 2. Формы тонов колебаний крыла, защемлённого по бортовой нервюре.

Рис. 3. Примерный вид резонансной кривой.

Энциклопедия «Авиация». — М.: Большая Российская Энциклопедия. Свищёв Г. Г.. 1998.

Источник: https://avia.academic.ru/5009/%D1%83%D0%BF%D1%80%D1%83%D0%B3%D0%B8%D0%B5_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B1%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F

Теория упругих колебаний

Теория упругих колебаний

Теория колебаний представляет собой обширный раздел физики, который охватывает радиотехнику, электродинамику, механику и оптику.

Существенное значение указанная гипотеза имеет для прикладных задач стабильности и прочности материальных веществ. Известно, что конструкции, рассчитанные с достаточным запасом на статическую устойчивость, разрушались и деформировались от систематически действующих сил окружающей среды.

Все твердые реальные тела обладают сильным сопротивлением к дальнейшему сжатию и растяжению. На практике подобные случаи в виде сдавливания сплошных тел весьма малы.

Перемещение точек материальных частиц при деформациях, сопоставимых с их объемами, можно изучить на примере пружин с жестким сопротивлением $(Q)$, который пропорционален их искажениям $(х)$, то есть $Q = kx$, где $k$ — постоянная величина, называемый упругостью пружины

Частота упругих колебаний

Определение 1

Процесс увеличения амплитуды при совпадении диапазона собственных вибраций и периодичности изменений возмущающей силы называется в физике резонансом.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Подобные колебательные перемещения различают по количеству степеней свободы.

Коэффициент степеней свободы – это число самоуправляющихся координат, которые определяют положение системы. Выделяют вынужденные и свободные вибрации.

Свободные колебания — ϶ᴛᴏ движения, совершаемые элементами той или иной среды, освобожденной от воздействий внешних факторов.

Определение 2

Вынужденные вибрационные явления – колебания, осуществляемые под влиянием изменяющихся с течением времени внешних сил.

Частота колебаний имеют следующую запись:

$v = \frac {1}{T}$

$\omega = 2 \pi v = 2 \pi \frac {1}{T}$

Период $T$ указанных вибраций представляет собой промежуток времени между двумя соседними максимальными деформациями от положения начального равновесия.

При расчете на стабильность динамических сооружений принципам резонанса уделяется особое внимание. Стремительное увеличение амплитуды колебательных движений автоматически приводит к разрушению конструкций даже при несущественной разрушающей силе.

Для того чтобы избежать неблагоприятных последствий, можно задействовать два конструктивных подхода:

  1. При проектировании сооружений необходимо добиваться значительного отличия частоты вибраций системы от повторений изменений вынуждающей силы.
  2. Уменьшить или стабилизировать колебания при резонансе возможно посредством увеличения параметра затухания, то есть за счет постепенного рассеивания внутренней энергии.

Колебания упругой системы

Замечание 1

Если любую упругую систему вывести из положения статического баланса, а затем предоставить самой себе, то все частицы ее придут в колебательное движение благодаря действию внутренних пружинистых сил. Такие вибрации, как ранее уже упоминалось, называются собственными или свободными.

В теории упругих колебаний возмущающая сила является центробежным элементом инерции, которая возникает в результате циклического вращения неуравновешенных объемов эксцентриков.

Указанный компонент в колебательной системе представляет собой периодическую часть, изменяющуюся по закону косинуса или синуса во времени Частота вынужденных вибрационных процессов в этом случае равна диапазону возмущающей силы.

Амплитуда таких колебаний будет равна:

$A = \frac {S_max}{\sqrt {(\omega2 — \theta2)2 + 4 \theta2 u2}}$, где:

  • $S$ – основное значение саморегулируемых элементов;
  • $m$ – объем колеблющихся частиц;
  • $h$ – показатель затухания вибраций, определяемый опытным путем по указанной формуле.

Теория упругих волн в среде

Определение 3

Упругие волны − стабильные возмущения, которые распространяются в жидкой, твёрдой и газообразных пространствах, например, возникающие в твердой земной оболочке при землетрясениях процессы, ультразвуковые и звуковые эффекты.

При распределении таких волн в окружающей среде формируются различные механические деформации сдвига и сжатия, переносящиеся колебательными движениями из одной точки пространства в другую. При этом отмечается неконтролируемый перенос внутренней энергии упругих искажений в отсутствие общего потока вещества.

Любая гармоническая эластичная волна определяется:

  • амплитудой вибрационного смещения компонентов среды и их направлениями;
  • колебательным темпом частиц;
  • изменчивой механической интенсивностью и деформацией (которые в основном являются тензорными параметрами);
  • амплитудой вибраций элементов среды;
  • длиной и размером волны;
  • групповой и фазовой скоростями;
  • принципами распределения сдвигов и напряжений по волновому фронту.

В газах и жидкостях, обладающих упругостью объема, но не имеющих стабильность формы, могут возникать только продольные волны сжатия и растяжения, где вибрации частиц пространства происходят в сторону распространения волновых процессов.

В равномерной, изотропной твёрдой среде могут формироваться упругие волны только двух типов – сдвиговые и продольные. В продольных – хаотичное движение элементов параллельно движению распространения волны, а деформация являются комплексом всестороннего сдвига или сжатия.

В сдвиговых волнах наблюдается перемещение частиц, которые распределяются перпендикулярно направлению волны, а искажения представляют собой растяжение. В безграничном пространстве циркулируют указанные волны трёх видов – сферические, плоские и цилиндрические.

Их отличительная характеристика − самостоятельность групповой и фазовой скоростей от частоты и геометрических свойств упругой волны. Начальная скорость в данном случае имеет такой вид:

$C_l = \sqrt {\frac {K + \frac {4}{3}G}{\rho}}$

здесь $G$ – основной модуль деформаций, где величины для разных пространств передвигаются в пределах от нескольких единиц до тысяч м/с.

В теории упругих колебаний все механические напряжения будут пропорциональны искажениям (Гука закон).

Если диапазон деформации в твердом веществе превосходит границу эластичности материала, в волне возникают пластические сдвиги и её называют упругопластическим элементом.

Аналогом подобных волн в газах жидкостях выступают частицы, так называемой, конечной частоты, скорость распространения которых напрямую зависит от размера деформации.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/teoriya_kolebaniy/teoriya_uprugih_kolebaniy/

Booksm
Добавить комментарий