Теория нелинейных колебаний

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Теория нелинейных колебаний

Cтраница 1

Теория нелинейных колебаний получила существенное развитие в последние 50 лет.

Фундаментальное значение в теории нелинейных колебаний, в частности автоколебаний, принадлежит А. М.

Ляпунову Рё его последователям, Рє трудам которых РјС‹ неоднократно будем обращаться РІ С…РѕРґРµ изложения РєСѓСЂСЃР°.  [1]

Теория нелинейных колебаний, или нелинейная механика, посвящена изучению колебательных движений, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями.

Нелинейная механика дает иногда более точное представление о свойствах колебательных движений механических систем.

Как можно было заметить выше, линейные системы получаются в результате упрощения нелинейных.

Поэтому изучение линейных систем дает возможность сделать лишь некоторые заключения Рѕ свойствах малых движений, однако такое представление может оказаться лишь приближенным.  [2]

Теория нелинейных колебаний содержит важную информацию Рѕ периодических решениях, возникающих Р·Р° пределом устойчивости стационарного состояния.  [3]

Теория нелинейных колебаний твердых тел, находящихся РІ потенциальном поле СЃРёР», является интенсивно развивающимся разделом современной механики.  [4]

Р’ теории нелинейных колебаний известно явление так называемого захватывания или иначе принудительной синхронизации, заключающееся РІ том, что внешние периодические ьоздей-ствия РЅР° автоколебательную систему РјРѕРіСѓС‚, РІ известных пределах, изменять частоту Рё амплитуду автоколебаний. РџСЂРё этом автоколебания РїСЂРѕРёСЃС…РѕРґСЏС‚ СЃ частотой возмущающей силы Рё СЃ амплитудой, отличной РѕС‚ амплитуды свободных колебаний.  [5]

Р’ теории нелинейных колебаний получает более глубокое развитие рассмотрение колебаний динамических систем, позволяющее изучить явления, недоступные линейной теории колебаний.  [6]

Для теории нелинейных колебаний теория бифуркаций состояний равновесия Рё периодических движений представляет интерес РЅРµ только тем, что облегчает исследование конкретных систем, РЅРѕ Рё РІ первую очередь тем, что решает РІРѕРїСЂРѕСЃ Рѕ характере смены установившегося режима РїСЂРё медленном изменении параметров. Можно напомнить, что именно теория бифуркаций дала математическое описание РјСЏРіРєРѕРіРѕ Рё жесткого СЃРїРѕСЃРѕР±РѕРІ возникновения колебаний РІ ламповом генераторе Рё сделала эти понятия РѕРґРЅРёРјРё РёР· основных РІ теории нелинейных колебаний, Р° метод точечных отображений позволил решить РІРѕРїСЂРѕСЃ Рѕ РјСЏРіРєРѕРј Рё жестком возбуждении РІ многомерном случае. Методом точечных отображений была решена Рё аналогичная задача Рѕ возбуждении квазипериодических колебаний РІ автономной системе Рё обнаружен случай РјСЏРіРєРѕРіРѕ удвоения периода автоколебаний ( Р®, Р�.  [7]

Р’ теории нелинейных колебаний как РїРѕ постановке задач, так Рё РїРѕ методам исследования существенным образом различаются так наз. Рљ первым РёР· РЅРёС… относятся такие задачи, РІ Рє-рых удается выделить какие-либо малости ( напр.  [8]

Р’ теории нелинейных колебаний, небесной механике Рё РґСЂСѓРіРёС… областях естествознания рассматриваются системы обыкновенных дифференциальных уравнений СЃ постоянно действующими малыми возмущениями. Второй метод Ляпунова, следуя идеям Р“. Рќ. Дубошина Рё Р�. Р“. Малкина использования функции Ляпунова для некоторой укороченной системы, является эффективным РїСЂРё исследовании устойчивости движения такого СЂРѕРґР° систем РїСЂРё новых предположениях РѕР± РёС… динамических свойствах.  [9]

Р’ теории нелинейных колебаний широко применяется метод малого параметра. Дальнейшее развитие метода связано главным образом СЃ СЂСѓСЃСЃРєРёРјРё школами Рё направлениями исследований.  [10]

Развитый РІ теории нелинейных колебаний РїРѕРґС…РѕРґ Рє системам, РІ которых появляются различные периодические структуры, органически вошел РІ Р±СѓСЂРЅРѕ развивающиеся направления — синергетику. Это направление развивает общий РїРѕРґС…РѕРґ Рє качественным переходам РІ системах различной РїСЂРёСЂРѕРґС‹, которые можно описать СЃ помощью нелинейной динамической топологической теории.  [11]

Однако из теории нелинейных колебаний [4, 5] известно, что при данном виде среднего члена амплитуда не зависит от частоты.

Такой вывод противоречит физике рассматриваемого процесса, поскольку инерционность стенки обязательно будет приводить Рє уменьшению амплитуды СЃ ростом частоты.  [12]

Боголюбова РІ теории нелинейных колебаний.  [13]

Ляпунова РІ теории нелинейных колебаний.  [14]

Возникший в теории нелинейных колебаний и тесно связанный с методами осреднения Н. М. Крылова и Н. Н.

Боголюбова, этот метод нашел чрезвычайно широкое применение в построении асимптотических решений обыкновенных дифференциальных уравнений.

Для приближенного решения уравнений СЃ частными производными Рё интегро-дифференциальных РѕРЅ употребляется реже, однако СЏСЃРЅРѕ, что РІ некоторых случаях РѕРЅ должен оказаться эффективнее, чем, например, метод сращивания внешних Рё внутренних асимптотических разложений.  [15]

Страницы:      1    2    3    4

Источник: https://www.ngpedia.ru/id506566p1.html

Теория колебаний

Теория нелинейных колебаний

по направлению 511500 — радиофизика

Предисловие.

Целью изучения дисциплины «Теория колебаний» является ознакомление с возможными видами движений в нелинейных колебательных системах, особенностями их развития и установления, характеристиками как стационарных, так и нестационарных процессов.

Для анализа идеализированных математических моделей исследуемых систем используются изучаемые в рамках этого курса приближенные аналитические и качественные методы решения уравнений.

В лабораторном практикуме студенты учатся конструированию реальных структур и овладевают экспериментальными методами их исследования.

1. Введение.

Предмет теории колебаний. Колебательные системы и явления в природе и технике, их классификация. Краткий исторический очерк. Задачи теории колебаний. Особенности движений в нелинейных детерминированных системах (регулярные и хаотические типы движений). Математические модели нелинейных колебательных систем различной природы. Обзор методов анализа линейных и нелинейных колебательных систем: аналитические, качественные и численные.

2. Элементы качественной теории дифференциальных уравнений.

Фазовое пространство, фазовая точка, фазовая траектория, уравнения движения, число степеней свободы, теорема Коши, интегральные кривые. Особые точки (точки покоя), типы особых точек. Понятие фазового портрета системы на примере идеального физического маятника — колебательное и вращательное движения, особые точки, сепаратриса, бифуркация. Маятник с трением — невозможность интегрирования уравнения движения. Методы построения фазовых траекторий. Метод изоклин, построение фазовых портретов идеального осциллятора, осциллятора с потерями, физического маятника с трением. Дельта-метод построения интегральной кривой. Понятие предельных циклов: инкрементные и декрементные области, предельный цикл. Понятие регулярного аттрактора.

3. Устойчивость стационарных состояний линейных и нелинейных систем.

Понятие устойчивости по Ляпунову. Условие устойчивости. Критерии устойчивости Рауса-Гурвица, Михайлова, Найквиста. Устойчивость стационарных вынужденных и самоподдерживающихся колебаний. Устойчивость амплитуды и фазы колебаний; условия устойчивости систем, амплитуда колебаний в которых не зависит от фазы, чередование устойчивых и неустойчивых амплитуд; прочность предельного цикла; характеристическй показатель Ляпунова; устойчивость «в малом» и «в большом». Устойчивость по Пуассону. Условия устойчивости в малом в общем случае.

4. Колебания в нелинейных пассивных (несамовозбуждающихся) системах.

4.1 Метод медленно меняющихся амплитуд.

4.2 Свободные колебания осциллятора с нелинейным трением и нелинейной жесткостью: электрический контур с нелинейным сопротивлением и нелинейной емкостью — схема, уравнение движения, запись в канонической форме, решение методом ММА, неизохронность, закон установления амплитуды, сравнение с линейным контуром. Фазовый портрет движения.

4.3 Вынужденные колебания осциллятора с нелинейной жесткостью при силовом воздействии: контур с нелинейной емкостью, дифференциальное уравнение, решение методом ММА, построение резонансной кривой, областей устойчивости.

4.4 Движения осциллятора с нелинейной жесткостью при параметрическом возбуждении: примеры параметрических колебательных систем, механизм возбуждения, частоты и условия возбуждения.

Дифференциальное уравнение, уравнение и зоны Матье, решение методом ММА для первой зоны, построение резонансных кривых для идеального контура и контура с потерями и различным характером нелинейности, устойчивость вынужденных колебаний.

4.5 Сравненительный анализ свойств линейного и нелинейного контуров при силовом и параметрическом возбуждении.

5. Автоколебательные системы.

5.1. Автономные системы с одной степенью свободы. Типы автоколебательных систем. Автогенератор на туннельном диоде, аппроксимация характеристики диода для мягкого и жесткого режимов возбуждения. Уравнение Ван-дер-Поля, качественное построение фазовых портретов при малом и большом значении затухания регенерированной системы.

Автогенератор с жестким режимом возбуждения — схема, уравнение движния, решение методом ММА, стационарные амплитуды, исследование устойчивости для самовозбуждающейся и несамовозбуждающейся системы. Неточность метода ММА. Поправка к частоте (влияние гармоник на частоту автоколебаний). Необходимость отыскания высших приближений.

5.2. Метод Н.Н. Боголюбова. Точность метода, определение коэффициентов для первого и второго приближений.

5.3. Установление амплитуды и частоты колебаний в автоколебательной системе с мягким режимом возбуждения: постановка задачи, решение во втором приближении методом Боголюбова, решение уравнения для амплитуды, исследование установления амплитуды и частоты (двойной ход частоты).

5.4. Неавтономные автоколебательные системы с одной степенью свободы. Возможные случаи — синхронизация на основном тоне, на гармониках и на субгармониках, параметрическое возбуждение — резонанс n-го рода.

Синхронизация на основном тоне — схема генератора на туннельном диоде с внешним источником гармонической ЭДС, уравнение Ван-дер-Поля с правой частью, решение в первом приближении, построение резонансных кривых, расчет и построение областей устойчивости по амплитуде и фазе, полосы синхронизации. Явление захватывания, синхронизация гашением.

Резонанс второго рода (частный случай резонанса n-го рода), схема, уравнение движения с учетом квадратичного члена аппроксимации динамической вольтамперной характеристики, решение методом ММА, стационарная амплитуда, построение резонансной кривой, устойчивость.

6. Многочастотные колебательные системы.

6.1. Варианты многочастотных пассивных и активных систем — пассивные: многоконтурные и распределенные; активные: многоконтурные генераторы, автогенераторы с запаздывающей обратной связью, с распределенными параметрами, системы взаимосвязанных одночастотных автогенераторов.

Математическое описание различных многочастотных систем обыкновенными нелинейными дифференциальными уравнениями, дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом, интегральными уравнениями, дифференциальными уравнениями в частных производных с нелинейными граничными условиями.

Применение метода Лапласа к составлению математической модели нелинейной системы с большим числом степеней свободы.

6.2. Спектрально-временной метод.

6.3.Автоколебательные системы с запаздывающей обратной связью: примеры структур, простейшая схема, баланс амплитуд и фаз, эквидистантное и неэквидистантное распределение собственных частот, уравнения движения. Решение задачи для одночастотной области возбуждения. Возможные режимы работы двух-, трехчастотных систем. Тор (квазипериодический аттрактор).

6.4. Системы взаимносинхронизированных автогенераторов, варианты их соединений в ансамбли, межансамблевые соединения. Сложность аналитического решения задач. Подходы к анализу устойчивости. Взаимная синхронизация двух одинаковых автогенераторов, — схема, уравнение, роль цепи связи, решения для стационарного режима при чисто резистивной и при чисто реактивной связи.

7. Хаос в динамических системах.

7.1. Экспоненциальная неустойчивость по Ляпунову. Эволюция фазового объема для устойчивых и неустойчивых по Ляпунову траекторий. Понятие странного аттрактора. Типы странных аттракторов: грубые — гиперболические, аттрактор Лоренца, квазигиперболические, хаотические нестранные, странные нехаотические.

Гомоклиническая траектория и структура. Качественные характеристики хаотических движений: временная и спектральная характеристика, автокорреляционная функция, сечение Пуанкаре.

Количественные характеристики хаотических движений: спектр характеристических показателей Ляпунова, размерность странного аттрактора, энтропия Колмогорова-Синая.

7.2 Бифуркации состояний равновесия. Бифуркации устойчивых предельных циклов. Бифуркации устойчивых предельных торов. Бифуркации странных аттракторов. Сценарии возникновения хаотических движений: Ландау (1944), Ландау-Хопфа (1948), Рюэля-Такенса (1971), Фейгенбаума (1978), Помо-Манневиля (1979).

7.3. Примеры физических систем с динамическим хаосом: эксперимент Бенара и модель Лоренца. Радиофизические системы: автогенератор с 1.

5 степенями свободы, цепь Чуа, модифицированный генератор с инерционной нелинейностью, генератор Ван-дер-Поля с запаздыванием и при внешнем периодическом воздействии.

Полубесконечная цепочка однонаправленно связанных генераторов Ван-дер-Поля. Синхронизация и управление хаотическими режимами колебаний.

Примерный перечень лабораторных работ

  • Угловая модуляция.
  • Преобразование частоты.
  • Синхронизация автогенераторов.
  • Резонанс второго рода.
  • Блокинг-генератор.
  • RC-генератор.
  • Автоколебательные системы с запаздывающей обратной связью.
  • Автогенератор хаотических колебаний с 1.5 степенями свободы.

Литература

  1. Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. М.: Наука, 1988. — 390 с.
  2. Капранов М.В., Кулешев В.Н., Уткин Г.М. Теория колебаний в радиотехнике. М.: Наука, 1984. — 319 с.
  3. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984. — 431 с.
  4. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. — 408 с.
  5. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981. — 568 с.
  6. Владимиров С.Н., Майдановский А.С., Новиков С.С. Нелинейные колебания многочастотных автоколебательных систем. Томск: изд-во Томск. ун-та, 1993. — 203 с.
  7. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.: Наука, 1980. — 360 с.
  8. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987. — 424 с.
  9. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.
  10. Дмитриев А.С., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 1989. — 280 с..
  11. Мун Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров. М.: Мир, 1990. — 312 с.

Программу составил А.С. Майдановский, доцент (Томский университет).

Источник: http://fumo.phys.msu.ru/ArxivOldSite_UMS_Physics/programs/trf3.htm

Нелинейные колебания — это… что такое нелинейные колебания?

Теория нелинейных колебаний

— колебания в физич. системах, описываемые нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений

где содержит члены не ниже 2-й степени по компонентам вектора — вектор-функция времени — малый параметр (либо и ). Возможные обобщения связаны с рассмотрением разрывных систем, воздействий с разрывными характеристиками (напр.

, типа гистерезиса), запаздывания и случайных воздействий, интегро-дифференциальных и дифференциально-операторных уравнений, колебательных систем с распределенными параметрами, описываемыми дифференциальными уравнениями с частными производными, а также с использованием методов оптимального управления нелинейными колебательными системами. Основные общие задачи Н. к.

: отыскание положений равновесия, стационарных режимов, в частности периодич. движений, автоколебаний и исследование их устойчивости, проблемы синхронизации и стабилизации Н. к.

Все физич. системы, строго говоря, являются нелинейными. Одна из наиболее характерных особенно—стей Н. к.- это нарушение в них принципа суперпозиции колебаний: результат каждого из воздействий в присутствии другого оказывается иным, чем в случае отсутствия другого воздействия.

Квазилинейные системы — системы (1) при . Основным методом исследования является малого параметра метод. Прежде всего это метод Пуанкаре — Линдштедта определения переодич.

решений квазилинейных систем, аналитических по параметру при его достаточно малых значениях, либо в виде рядов по степеням (см. [1] гл. IX), либо в виде рядов по степеням и — добавок к начальным значениям компонент вектора (см. [1] гл. III).

О дальнейшем развитии этого метода см., напр., в [2] — [4].

Другим из методов малого параметра является метод осреднения. Вместе с тем в исследование квазилинейных систем проникали и новые методы: асимптотич. методы (см. [5], [6]), метод К-функций (см. [7]), базирующийся на фундаментальных результатах А. М. Ляпунова — Н. Г. Четаева, и др.

Существенно нелинейные системы, в к-рых отсутствует заранее предписываемый малый параметр . Для систем Ляпунова

где

причем среди собственных чисел -матрицы нет кратных корню — аналитич.

вектор-функция х, разложение к-рой начинается с членов не ниже 2-го порядка, и имеет место аналитический первый интеграл специального вида, А. М. Ляпунов (см. [8] § 42) предложил метод отыскания периодич.

решений в виде ряда по степеням произвольной постоянной с(за к-рую может быть принято начальное значение одной из двух крнтич. переменных либо ).

Для систем, близких к системам Ляпунова,

где того же вида, что и в (2), — аналитич. вектор-функция и малого параметра , непрерывная и -периодическая по t, также предложен метод определения периодич. решений (см. [4] гл. VIII).

Системы типа Ляпунова (2), в к-рых матрица имеет lнулевых собственных значений с простыми элементарными делителями, два — чисто мнимых собственных значения и не имеет собственных значений, кратных — такая же, как и в (2), могут быть сведены к системам Ляпунова (см. [9] IV.2). Исследовались также Н. к.

в системах Ляпунова и в т. н. системах Ляпунова с демпфированием, а также решалась общая задача о перекачке энергии в них (см. [9] гл. I, III, IV).

Пусть существенно нелинейная автономная система приведена к жорданову виду ее линейной части

где вектор по предположению имеет хотя бы одну ненулевую компоненту; , равны нулю или единице соответственно при отсутствии пли наличии непростых элементарных делителей матрицы линейной части,- коэффициенты; множество значений вектора с целочисленными компонентамп таково:

Тогда существует нормализующее преобразование:

приводящее (3) к нормальной форме дифференциальных уравнений

и такое, что , если . Таким образом, нормальная форма (5) содержит лишь резонансные члены, т. е. коэффициенты могут быть отличны от нуля лишь для тех , для к-рых выполнено резонансное уравнение

играющее существенную роль в теории колебаний. Сходимость и расходимость нормализующего преобразования (4) исследована (см. [10] ч. I, гл. II, III); дано вычисление коэффициентов (посредством их симметризации) (см. [9] § 5.3). В ряде задач о Н. к. существенно нелинейных автономных систем оказался эффективным метод нормальных форм (см. [10], [9] гл. VI-VIII).

Из других методов исследования существенно нелинейных систем применяются метод точечных отображений (см. [2], [11]), стробосконич. метод [12] и функционально-аналитич. методы [13].

Качественные методы Н. к. Исходными здесь являются исследования вида интегральных кривых нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, проведенные А. Пуанкаре (Н. Poincare, см. [14]). Приложения для задач Н. к., описываемых автономными системами 2-го порядка см. в [2], [15].

Изучены [16] вопросы существования периодич. решений и их устойчивости в большом для многомерных систем; рассмотрены [13] почти периодические Н. к. Приложения теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при нек-рых производных к задачам релаксационных Н. к. см.

в [17].

Важные аспекты Н. к. и лит. см. в статьях Возмущений теория, Колебаний теория.

Лит.:[1] Пуанкаре А., Избр. труды, пер. с франц., т. 1, М., 1971; [2] Андронов А. А., Витт А. А., Xайкин С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959; [3] Булгаков Б. В., Колебания, М., 1954; [4] Малкин И. Г., Некоторые задачи теории нелинейных колебаний, М., 1956: [5] Боголюбов Н. Н., Избр. труды, т. 1, К., 1969; [б] Боголюбов Н. Н.

, Митропольский Ю. А., Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, 4 изд., М-, 1974; [7] Каменков Г. В., Избр. труды, т. 1-2, М., 1971-72; [8] Ляпунов А. М., Собр. соч., т. 2, М.- Л., 195В, с. 7-263; [9] Старжинский В. М., Прикладные методы нелинейных колебаний, М., 1977; [10] Брюно А. Д., «Тр. Моск. матем. об-ва», 1971, т. 25, с.

119-262; 1972, т. 26, с. 199-239; [11] Неймарк Ю. И., Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний, М., 1972; [12] Мinorsky N., Introduction to non-linear mechanics, Ann Arbor, 1947; [13] Красносельский М. А., Бурд В. Ш., Колесов Ю. С, Нелинейные почти периодические колебания, М., 1970; [14] Пуанкаре А.

, О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, пер. с франц., М. -Л., 1947; [15] Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А., Введение в теорию нелинейных колебаний, М., 1976; [16] Плисе В. А., Нелокальные проблемы теории колебаний, М. -Л., 1964; [17] Мищенко Е. Ф., Розов Н. X.

, Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания, М., 1975.

В. М. Старжинский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.

Источник: https://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3386/%D0%9D%D0%95%D0%9B%D0%98%D0%9D%D0%95%D0%99%D0%9D%D0%AB%D0%95

Теория нелинейных колебаний

Теория нелинейных колебаний

Теория нелинейных колебаний начала активно применяться и развиваться в течение последних 50 лет. Основополагающее значение в указанной гипотезе, в частности в концепции автоматических вибраций, принадлежит российскому ученому. М. Ляпунову и его сторонникам, работы которых смогли доказать необходимость использования нелинейных методов в решении сложных задач.

Замечание 1

Теория нелинейных колебаний (или нелинейного механического перемещения частиц среды) направлена на исследование нестабильных колебательных движений, описываемых в физике в виде дифференциальных уравнений.

Данная сфера в механике предоставляет более точное представление о характеристиках вибрационных движений автоматических систем. В итоге линейные формулы получаются путем упрощения нелинейных.

Поэтому рассмотрение подобных колебаний дает возможность сделать только определенные заключения о свойствах кратковременных движений, которые могут быть лишь приближенными.

Несмотря на это, теория нелинейных вибраций включает важные сведения о систематических решениях, появляющихся за рамками стабильности стационарного состояния.  

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Способы проявления нелинейных эффектов

Нелинейные процессы могут формироваться посредством разнообразных методов. Классический и наглядный пример — это нелинейная спираль, в которой возобновляющая сила непосредственно зависит от начального растяжения. В случае параллельной нелинейности (одинаковый итог при растяжении и сжатии) формула движения частиц любого пространства принимает вид:

$\chi + 2 \gamma \chi + \alpha \chi + \beta \chi3 = f (t)$

Если на систему периодически воздействует внешняя сила, то в классической гипотезе полагают, что и конечный отклик станет цикличным. Резонанс нелинейного явления при малой частоте отклика заключается в его соответствии с плотностью элементов концепции. При постоянном перемещении вынуждающей силы возникает амплитуда соответствующих частот, в котором вероятны разные значения сдвига частиц.

Существуют и другие комплексные решения, такие, как супергармонические и субгармонические вибрации. Если обязывающая сила имеет целостный вид, то другие колебания становятся более высокими. Гипотеза нелинейного резонанса основывается на предположении, что систематическое влияние предполагает создание периодического отклика.

Самоформирующиеся колебания представляют собой иной важный класс нелинейных процессов. Это вибрационные движения, которые формируются в системах без цикличных внешних периодических сил или воздействий.

Парадигма гипотезы нелинейных колебаний

Теория нелинейных движений стала заменой закона электрических вибраций Ван дер Поля. Последняя была генетически взаимосвязана с созданием принципов гипотезы радиотехнического прибора – лампового распределителя. В таком генераторе, функционирующем с определенным «трением» (т.е.

будучи неконсервативной концепцией), постепенно появляются незатухающие колебательные перемещения. Это значит, что система включает источник внутренней энергии (или в систему систематически поступает питание извне). Однако в данном аспекте речь не идет о принужденных вибрациях.

Ламповое устройство самостоятельно генерирует цикличные самовозбуждающиеся колебания.

Такие процессы возникают и функционируют за счет универсальной конструкции генератора, включающего, кроме колебательного усилитель и контура, связанных с ударной линией обратной связи.

Оставляя нерешенным вопрос о парадигме указанной гипотезы Ван дер Поля, возможно примерно описать концепцию, которая наблюдалась в трудах Мандельштама, Андронова и их последователей в конце 20-х гг.

Замечание 2

В качестве первого и основного элемента в работах ученых выступают «символические обобщения» – математические уравнения, которые определяют и описывают универсальные научные закономерности. В современной физике – это в основном дифференциальные формулы.

Ван дер Поль, в первую очередь, следовал уравнениям, описывающим принцип работы простого лампового распределителя:

$\frac {d2x}{dt2} — \mu (1 – 2×2) \frac {dx}{dt} = x = 0$

Здесь $x$ – общий параметр (в случае генератора – сила и энергия тока), $t$ – определённый период времени, а нелинейный элемент $\frac{x}{dt}$ демонстрирует работу электронной лампы.

Значимую роль в истории теории нелинейных вибраций сыграл так называемый способ припасовывания (позднее названный законом структурно-линейной аппроксимации).

Собственно, в начале 1927 года Мандельштам смог более тщательно проанализировать стабильность колебательных движений, получаемых по указанному принципу. Метод припасовывания и на сегодняшний день широко применяется в гипотезе нелинейных колебаний.

Идеология теории нелинейных процессов

Идеология рассматриваемой гипотезы, прежде всего, характеризует особенности автоколебаний.

Понятия этих явлений были введены Л.В. Андроновым в научных статьях 1928–1929 гг. Фактически с механическими вибрациями имел дело и Ван дер Поль, описывая колебательные движения в ламповом генераторе, но он не так и не смог представить специального термина для них.

В работах Андронова «символическим обобщением» в итоге стало дифференциальное уравнение, по отношению к которому формула Ван дер Поля представляет собой только частный случай. Запись подобной эквивалентности выглядит следующим образом:

$\frac {d2x}{dt2} + \frac { 2dx}{dt + \omega2 x} = f (\frac {x,dx}{dt})$

Идеология появляется вместе с парадигмой, но она распространяется значительно дальше. Идеологические процессы – это выражения и слова, значения которых определяются посредством аналогий, примеров и иллюстраций. Одним из главных признаков использования термина в идеологии является некое размывание его сути. Понятие условно выходит за границы собственной сферы применения.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/teoriya_kolebaniy/teoriya_nelineynyh_kolebaniy/

Разработка в юности теории нелинейных колебаний Л.И. Мандельштамом

Теория нелинейных колебаний

По окончании гимназии в 1897 г. (с медалью) Л.И. Мандельштам поступил на математическое отделение физико-математического факультета Новороссийского университета. Однако здесь Л.И. пробыл недолго: уже в 1899 г. он в связи со студенческими волнениями был исключён из университета.

В этом же году по совету родителей Л.И. поехал продолжать образование за границу, в Страсбург, где поступил на физико-математический факультет университета, причем выбор этого города определился тем, что его дядя А.Г.

Гурвич был тогда там ассистентом известного антрополога, профессора анатомии Швальбе.

Этот выбор оказался чрезвычайно благоприятным для научного формирования Л.И. В то время в Страсбургском университете собрались крупные научные силы, в частности в области физико-математических наук.

Лекции по математике читали выдающиеся математики: аналитик Генрих Вебер, ученик одного из крупнейших математиков прошлого столетия Римана и автор классического труда Дифференциальные уравнения математической физики, а также геометр Райе — продолжатель Понселе.

Экстраординариусом по математике был также хороший математик и блестящий лектор Крацерю. Кафедру физики в то время занимал профессор Фердинанд Браун. Он состоял также директором образцового для того времени физического института, основанного знаменитым экспериментатором Кундтом. Ф.

Браун уже тогда был известен своими работами в области термодинамики (принцип Брауна — Ле Шателье) и электрических явлений и особенно широко — в измерительной физике как создатель электрометра Брауна и катодной трубки Брауна — этого незаменимого в настоящее время орудия исследования быстро меняющихся процессов, сыгравшего столь исключительную роль в развитии телевидения и радиолокации. Кафедру теоретической физики занимал видный теоретик и прекрасный лектор Эмиль Кон, автор широко известного курса Электромагнитное поле.

Все эти обстоятельства, а также исключительные условия для научных исследований в Страсбургском физическом институте, привлекшие туда в своё время наших выдающихся физиков Б.Б. Голицына, П.Н. Лебедева, Л.А. Эйхенвальда, Д.А. Гольдгаммера, В.А. Ульянина и др. (а впоследствии, уже во время пребывания там Л.И., с апреля 1900 г.

, когда я приехал в Страсбург, — П.П. Лазарева, И.С. Щегляева и др.), создали в Страсбурге особо благоприятную атмосферу науки и истинного духа исследования. Как только Л. И.

попал в эту благоприятную обстановку, так резко отличавшуюся от условий в Новороссийском университете того времени, почти внезапно расцвели редкие качества его ума и таланта. Этому в значительной мере способствовало то обстоятельство, что профессор Ф.

Браун, который был не только выдающимся физиком, но и прекрасным учителем и человеком, очень скоро обратил внимание на выдающиеся способности Л.И. предоставил ему полную возможность для научной работы. […]

Время до 1907 г., которое может быть названо первым страсбургским периодом научной деятельности Л.И., было для него годами расширения знаний, научного роста и созревания его таланта. В это время окончательно сформировались все основные черты его как учёного. Л.И.

очень много работал, основательно изучил классический трактат Релея Теория звука, работы Лоренца по электронной теории, Кинетическую теорию газов Больцмана, читал сочинения Гельмгольца, Герца и других классиков физики. Исключительно одарённый математически, Л.И.

основательно изучал также различные разделы математики — теорию дифференциальных уравнений, теорию вероятностей, к которой он всегда чувствовал особое влечение. Наряду с этим его глубоко интересовали история физика, философия науки, теория познания. Он основательно познакомился с английскими философами. Особое значение для Л.И.

имел замечательный английский физик Релей. Изумительная разносторонность этого учёного, глубина анализа, несравненное уменье выделить существенную сторону вопроса, наглядно и выпукло показать его физическую сущность, дать теорию, пользуясь простейшим, но вполне адекватным аппаратом, — все эти качества творений Релея отвечали стремлениям и особенностям ума Л.И.

и вызывали в нем особый резонанс, были ему конгениальны. И действительно, в характере ума Л.И. было много общего с Релеем, и не случайно, что пути их научного творчества часто шли параллельно и неоднократно перекрещивались. Не подлежит никакому сомнению, что атмосфера электромагнитных колебаний, в которую попал Л.И.

, вступая в научную жизнь, сыграла очень большую роль в формировании основных направлений его научной деятельности и определила тот колебательный подход, который так характерен для его творчества. […]

В Страсбурге же завязалось знакомство Л.И., перешедшее в дружбу, с известным специалистом в области механики и прикладной математики профессором Рихардом Мизесом, переехавшим туда в 1909 г. из Брюнна и занявшим в Страсбургском университете кафедру прикладной математики. Л.И.

часто беседовал с Мизесом, прекрасным математиком с острым умом, который также находил удовольствие в строгих построениях и в установлении тонких логических различении.

Дискуссия о роли аксиоматики в логическом обосновании механики и точных наук, в частности статистической физики, базирующейся на теории вероятности, большим знатоком которой являлся Мизес, удовлетворяла потребности ума Л. И. в полной ясности мысли. Всё это наряду с мыслями А.

Пуанкаре, изложенными в его прекрасной книге La science et I'hypothese, немало помогло Л.И. полностью разобраться и создать в последние годы, уже в Москве, законченное и внутренне непротиворечивое логическое обоснование статистической физики.

Но Л.И. был не только продолжателем Релея в области линейных колебаний. Под его руководством возникло новое направление в теории колебаний, уже получившее самое широкое признание. Это направление связано с изучением нелинейных колебаний. У Релея им посвящены только отрывочные замечания.

Серьёзный интерес к нелинейным колебаниям появился у физиков тогда, когда радиотехника начала овладевать процессами, происходящими в устройствах, содержащих электронные лампы. Электрический ток в вакууме не подчиняется закону Ома.

Поэтому в отличие от явлений, изучавшихся классической теорией колебаний, эти процессы в том числе важнейший из них — генерация незатухающих колебаний (автоколебания), могут быть описаны лишь нелинейными дифференциальными уравнениями; отсюда и название — нелинейные колебания. Первые (частично неопубликованные) исследования Л.И. Мандельштама и Н.Д. Папалекси о самовозбуждении и об автоколебаниях лампового генератора были начаты ими ещё в Одессе в 1918-1920 гг. Примерно в те же годы разработка теории автоколебаний была начата в ряде других стран.

Папалекси Н.Д., Леонид Исаакович Мандельштам, в Сб.: Академик Л.И. Мандельштам. К 100-летию со дня рождения / Ред. коллегия М.А. Леонтович и др., М., Наука, 1979 г., с. 6-7, 10, 19 и 34.

Источник: https://vikent.ru/enc/3655/

Booksm
Добавить комментарий