Теория колебаний

История развития теории механических колебаний

Теория колебаний

Теория механических колебаний является одновременно и разделом механики и частью общей теории колебаний, которая является частью прикладной математики и математической физики и связана с наиболее сложным математическим аппаратом.

Первой задачей теории колебаний стала задача о колебаниях математического маятника, решением которой занимался Г. Галилей. Теорию колебаний физического маятника разработал Х. Гюйгенс и на основании ее создал маятниковые часы (1657 г.).

Механика Ньютона послужила основой для решения многих частных задач теории колебаний. Большой вклад в ее основы внес Л. Эйлер, который в работе «Корабельная наука» заложил основы теории статической устойчивости и теории малых колебаний.

Д'Аламбер в своих многочисленных трудах рассмотрел отдельные задачи, такие как колебания маятника, плавающего тела, пружины и т.д. Ш.

Кулон использовал крутильные колебания проволоки для определения жесткости своих знаменитых крутильных весов.

Среди задач первого периода на колебания упругих тел особое место занимает задача о поперечных колебаниях натянутой струны. Экспериментальные исследования были проведены И. Бекманом и М. Мерсенном.

Установленные ими закономерности были теоретически подтверждены Бруком Тейлором, который свел задачу к системе с одной степенью свободы и пользуется решением соответствующего дифференциального уравнения.

В развернувшейся позже острой полемике между д'Аламбером, Эйлером, Д.

Бернулли и Лагранжем не только была решена эта задача, но и сформировались понятия периода и частоты колебаний, формы колебаний, вошел в обиход термин малые колебания, сформулирован принцип суперпозиции решений, сделаны попытки разложения решения в тригонометрический ряд.

Для развития механики важным результатом стало применение принципа д’Аламбера для записи дифференциальных уравнений движения, а для математики – решение дифференциальных уравнений в частных производных и уточнение важнейшего в анализе понятия – функции.

Таким образом, в течение XVIII века в теории колебаний были выработаны основные физические схемы и разъяснены принципы, существенные для математического анализа проблем. Однако ученые, рассматривая только частные случаи, не создали единой теории колебаний. Основой для создания теории малых (линейных) колебаний стала «Аналитическая механика» Лагранжа.

В ней Лагранж получил уравнение частот в общем виде. Вместе с тем он повторяет ошибку, допущенную д'Аламбером в 1761 г., о том, что кратные корни векового уравнения соответствуют неустойчивому решению, так как якобы при этом в решении появляются вековые или секулярные члены, содержащие t не под знаком синуса или косинуса.

В связи с этим и д'Аламбер, и Лагранж считали, что уравнение частот не может иметь кратных корней (парадокс д'Аламбера – Лагранжа).

Достаточно было Лагранжу рассмотреть хотя бы сферический математический маятник или колебания стержня, сечение которого является, например, круглым или квадратным, чтобы убедиться, что кратные частоты в консервативных механических системах возможны.

Научный авторитет д'Аламбера и Лагранжа был так высок, что эту ошибку повторили и Лаплас, и Пуассон, а исправили ее только лишь спустя почти 100 лет независимо друг от друга в 1858 г. К. Вейерштрасс и, через несколько месяцев, в 1859 г. – Осип Иванович Сомов(1815–1876).

О. И. Сомов внес большой вклад в развитие теории колебаний дискретных систем. Он показал, что корни векового уравнения вещественны и положительны. Кратные корни в нем возможны и не приводят к неустойчивости движения, так как речь идет не об одном уравнении, а о системе уравнений.

Следующим важным шагом в развитии теории колебаний были работы Рэлея, особенно его фундаментальный труд «Теория звука» ‑ первое систематическое изложение общего учения о колебаниях. Рэлею принадлежит ряд фундаментальных теорем линейной теории колебаний.

Задачи о колебаниях континуальных систем близки к задачам сопромата и теории упругости. Из них наиболее практически важной была задача о поперечных колебаниях бруса. Первым ее для бруса постоянного сечения исследовал Даниил Бернулли, а полностью решил Леонард Эйлер.

Большой интерес к колебаниям пластин появился после знаменитых опытов Хладни. Уравнения колебаний пластины вывела Софи Жермен, которая, однако, допустила серьезную ошибку, правильное решение было получено Лагранжем.

Дальнейшее развитие теории колебаний континуальных систем связано с развитием теории упругости в основном представителями французской математической школа.

В течение XIX века были разработаны аналитические методы расчетов колебаний различных твердых тел геометрически правильной формы.

Из всех ученых можно отметить труды Пуассона, Кирхгоффа и основоположника Российской школы теории упругости А. Н. Динника.

Промышленная революция XVIII века, связанная с появлением и развитием паровой машины вызвала прогресс механики и выделение прикладной механики в отдельную дисциплину.

Однако вплоть до конца 19 века расчеты на прочность велись в статической постановке, так как машины были еще маломощными и тихоходными.

Что касается практических задач теории колебаний, то если не считать нескольких случаев обрушения мостов, в эпоху становления техники человечество не сталкивалось с явлением резонанса и даже само понятие резонанс трактовалось вплоть до начала XX века как явление акустическое.

Однако к концу XIX века, с ростом скоростей и уменьшением габаритов машин пренебрегать колебаниями стало невозможно. Многочисленные аварии, происходившие от наступления резонанса или усталостного разрушения при колебаниях, заставили инженеров обратить на них внимание.

Самой прогрессивной отраслью во второй половине 19-го столетия стало кораблестроение. Одной из первых масштабных задач прикладной теории колебаний стала задача о крутильных колебаниях пароходных валов.

Первым эту проблему рассматривал немецкий инженер Герман Фрам, статья которого положила основу обширной теме исследования этой проблемы, одной из важнейших в развитии теории колебаний.

Из множества предложенных методов наиболее распространенными стали методы М. Толле и В. П. Терских.

Второй важнейшей задачей является задача о поперечных колебаниях корпусов кораблей. При ее решении впервые использовались почти все методы исследования колебаний континуальных систем, в том числе Ритца и Бубнова – Галеркина.

Развитие техники в начале XX века, особенно турбо- и двигателестроения, появление облегченных конструкций расширило круг задач динамической прочности. Все чаще проблемы вибраций становятся решающими в вопросах прочности машин. Советских ученых и инженеров эти проблемы коснулись в 1930-е гг.

с началом индустриализации страны. Большой вклад в развитие прикладной теории колебаний внесли украинские ученые академики С. В. Серенсен, Г. С. Писаренко. В. О. Кононенко, в том числе сотрудники ХПИ академик А. П. Филиппов, профессоры И. М. Бабаков, С. И. Богомолов, Е. Г. Голоскоков, Л. И.

Штейнвольф и многие другие.

Особое место занимает Киевская научная школа нелинейной механики, сформировавшаяся в 1920-е гг. и получившая мировое признание. Ее основоположники школы академики Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов создали новое научное направление – нелинейную механику.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/18_29154_istoriya-razvitiya-soprotivleniya-materialov-i-teorii-uprugosti.html

Теория колебаний

Теория колебаний

Определение 1

Колебательным движением принято называть всякое изменение состояния, характеризуемое определенной степенью цикличности параметров физических тел, определяющих этот процесс.

Всем природным явлениям свойственны колебания: ветры образовывают колебания и волны на поверхности воды; пульсирует сияние звезд; с высоким уровнем периодичности вращаются вокруг своей оси планеты Солнечной системы; внутри любого живого организма постоянно происходят ритмично повторяющиеся, разнообразные процессы.

В физике на данный момент выделяются электромагнитные и механические колебания. Посредством распространяющихся колебательных волн в виде плотности и давления воздуха, ощущаемых человеком как звук, а также сверхскоростных колебаний электромагнитных полей, воспринимаемых как свет, возможно получать огромный поток информации о внешнем мире.

Наглядными примерами колебательного процесса в механике являются колебания струн, маятников, мостов и т.д.

Замечание 1

Колебания будут периодическими, если начальные значения физических параметров, изменяющихся в определенной среде, систематически повторяются через одинаковые промежутки времени.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Простейшим видом указанных вибраций выступают гармонические колебания, при которых превращение колеблющихся показателей со временем осуществляется по гипотезе синуса (или косинуса):

$X = A sin( \omega t + \phi_0)$

История становления теории колебаний

Гипотеза механических колебаний является не только разделом механики, а и частью общей теории колебательных процессов, которые непосредственно связаны с физикой, прикладной математикой и с наиболее сложным геометрическим аппаратом.

Работы Ньютона стали основой для комплексного решения многих серьезных задач гипотезы колебаний. Среди заданий первого этапа на вибрации упругих физических тел лидирующее место занимает проблема поперечных движений натянутой струны. Научно-экспериментальные исследования были успешно проведены такими учеными, как И. Бекманом и М. Мерсенном.

Данная задача была решена в развернувшемся позже остром конфликте между Д. Бернулли, д'Аламбером и Лагранжем.

В результате полемики исследователей сформировались понятия частоты и периода колебательных процессов, их формы, появился термин “малые колебания”, разработан принцип суперпозиции, сделаны первые попытки разложения решения в тригонометрической системе.

Для становления механики важным итогом стало использование принципы д’Аламбера, посредством которых удалось записать дифференциальные формулы движения материальных тел.

Таким образом, на протяжении XVIII столетия в гипотезе колебаний были сформулированы ключевые физические модели и определены методы, значимые для математического изучения проблем.

Дальнейшее развитие рассмотренной теории напрямую связано с развитием принципа упругости.

В течение XIX века были озвучены и внедрены на практике аналитические способы расчетов колебательных движений различных физических веществ геометрически корректной формы.

Систематизация колебательных процессов

На сегодняшний день классификация теории колебания состоит из таких разделов:

  1. Свободные колебания — происходят при отсутствии переменного внутреннего влияния, без получения внешней энергии извне. Такие процессы могут происходить только в автономных системах.
  2. Вынужденные колебания – встречаются в неавтономных концепциях, и их основами выступают нестабильные внешние воздействия.
  3. Параметрические колебания – происходят, когда точка подвеса физического маятника совершает движение в строго вертикальном направлении, в результате чего получаются параметрические вибрации вокруг шарнира. На горизонтальный стержень в долевом направлении влияет периодическая величина, вызывая систематически повторяющиеся колебания самой опоры
  4. Автоколебания (самообразующиеся движения). В таких колебательных процессах источники имеют изменчивую природу, и при этом сами элементы системы включены в это действие.

Кинематику периодических колебательных процессов возможно записать в виде процесса, который характеризуется единственной скалярной переменной $u(t)$, выступающей, например, перемещением. Тогда выполняется условие: $u (t + l) = u(t)$

Другой, не менее важной особенностью периодического колебательного явления считается частота колебаний: $f = \frac {1}{T} (C{-1})$

Процесс распределения колебаний в окружающей среде

Замечание 2

Если в упругую сферу поместить небольшое колеблющееся тело (источник колебательных процессов), то соседние с ним элементы поверхности тоже начнут вибрировать в аналогичном ритме.

Колебания мельчайших частиц передаются посредством сил упругости соседним компонентами и т.д. Через определенное время данное явление охватывает абсолютно всю среду.

Распространение вибраций называется в физике волной, ключевое свойство которой заключается в том, что именно здесь происходит плавный перенос энергии без движения самого вещества.

Волны в основном различаются по тому, как начальные возмущения в среде ориентированы согласно направлению их итогового распределения. Если колебательные движения частиц осуществляются в том же направлении, что и распространение энергетических компонентов, волны становятся продольными.

Если же колебания элементов перпендикулярны стороне распространения внутренней энергии, то такие волновые частицы называются поперечными. Продольные волны формируются в итоге деформаций растяжения или сжатия, а поперечные — возникают при искажении сдвига.

В твердых физических телах упругие силы появляется при изменениях величин сжатия, растяжения и сдвига, поэтому в таких случаях могут быть как поперечные, так и продольные волны.

В газах и жидкостях упругие силы образовываются только при сжатии и не меняются при сдвиге, поэтому в указанных элементах механические волны являются только продольными.

Уравнение волны – это формула, которая позволяет установить смещение любой материальной точки в любой период времени.

Ключевыми характеристиками волн выступают:

  • длина — расстояние между двумя соседними точками волны, расположенными в одинаковой фазе, например, между двумя минимумами и максимумами силового возмущения;
  • период – время, за которое происходит полный цикл колебательного движения.

Длина волны непосредственно связана с периодом и записывается в виде такого соотношения:

$\lambda = vT = \frac {V}{u}$ или $\omega = 2 \pi u$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/teoriya_kolebaniy/

Основные понятия теории колебаний

Теория колебаний

Колебания — это процессы, которые имеют какую либо степень повторяемости во времени.

Свободные (собственные) колебания — это колебания, которые предоставляют сами себе системы, вызванные первоначальным кратковременным внешним возбуждением.

Колебательная система — это такая система, которая способная производить свободные колебания.
Колебательная система соответствует следующим условиям:

  • необходимо положение устойчивого равновесия;
  • необходим фактор, не позволяющий системе остановиться в положении равновесия в процессе колебаний;
  • трение в системе должно быть небольшим, а собственная частота колебательной системы обусловливается только параметрами системы.

Амплитуда колебаний — это максимальное значение величины (для механических колебаний это смещение), которая совершает колебания.

Период колебаний — это самый маленький отрезок времени, через который система совершает колебания, снова возвращается в исходное состояние, т. е. в начальный момент.

Частота колебаний — это физическая величина, равная числу колебаний, которые совершаются в единицу времени.

Циклическая частота — это характеристика гармонических колебаний, совершаемых за

Фаза колебаний — это аргумент функции, который периодически изменяется.

Затухающие колебания — это собственные колебания, у которых амплитуда уменьшается со временем, что обусловлено потерями энергии колебательной системой.

Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания — это характеристика быстроты уменьшения амплитуды в случае механических колебаний, где энергия убывает за счет действия сил трения и других сил сопротивления.

Декремент затухания — это количественная характеристика быстроты затухания колебаний, которая определяется натуральным логарифмом отношения двух последовательных максимальных отклонений

, колеблющейся величины в одну сторону:

Декремент затухания — величина, обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда убывает в: е раз е = 2,71828). Промежуток времени, необходимый для этого, называется временем релаксации.Дифференциальное уравнение малых затухающих колебаний системы:

Вынужденные колебания — это колебания, которые возникают под действием внешней периодической силы.Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:

Резонанс — это процесс резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении циклической частоты

, вынуждающей силы к собственной циклической частоте колебательной системы.

Автоколебания — это незатухающие колебания физической системы, которые способны существовать без воздействия на нее внешних сил.

Автоколебательная система — это физическая система, где имеет место существовать автоколебания.
Автоколебательная система состоит из следующих частей:

  • колебательная система, в которой параметры определяют частоту автоколебаний;
  • источник энергии, который способствует поддержанию колебаний;
  • клапан, который регулирует поступление энергии в колебательную систему;
  • положительная обратная связь, которая способна управлять клапаном в колебательной системе.

Обратная связь — это воздействие результатом какого-либо процесса на его протекание.Обратная связь бывает:

положительная — это связь, которая приводит к увеличению отклонения;

отрицательная — это связь, которая приводит к уменьшению отклонения;

Периодические колебания — это колебания, которые имеют изменяющиеся значения физических величин, но которые повторяются через равные отрезки времени.

Смещение — это физическая величина, которая является характеристикой колебаний, равная отклонению тела от положения равновесия в данный момент времени.

Математический, физический, пружинный маятники
Математический маятник — это тело малых размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой ничтожно мала по сравнению с массой тела. В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести

уравновешивается силой натяжения нити .

Составляющая силы тяжести при отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол ф

, где знак «минус» означает, что касательная составляющая на- правлена в сторону, противоположную отклонению маятника. Второй закон Ньютона для математического маятника запишется: , где x — линейное смещение маятника от положения равно- весия по дуге окружности, l — радиус.

Угловое смещение будет равно

Для малых колебаний математического маятника второй законНьютона записывается в виде:

Если математический маятник совершает малые колебания, то он является гармоническим осциллятором. Собственная частота малых колебаний математического маятника:

Период малых колебаний математического маятника определяется:

Физический маятник — это тело, которое является твердым, производящее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, которая не является центром масс этого тела, или горизонтальной оси.

Второй закон Ньютона для физического маятника принимает вид:

Собственная частота малых колебаний физического маятника:

Период малых колебаний физического маятника определяется:

Круговая частота свободных колебаний физического маятника определяется выражением:

Центр качания физического маятника — это точка, где необходимо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы его период колебаний оставался постоянным.

Физический маятник обладает следующим замечательным свойством: если физический маятник подвесить за центр качания, то его период колебаний будет постоянным, а прежняя точка подвеса станет новым центром качания.

Пружинный маятник — это колебательная система, которая состоит из груза, подвешенного к абсолютно упругой пружине.

Пружинный маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой:

, где k — коэффициент жесткости.

Период пружинного маятника определяется:

Уравнение движения пружинного маятника при этом имеет вид:

источник

Источник: https://kob-alt.ru/noosferologiya/osnovnyie-ponyatiya-teorii-kolebaniy/

5. Теория колебаний 5

Теория колебаний

Федеральноеагентство по образованию

ГОУВПО “Уральский государственныйтехнический университет – УПИ”

М.Г.Валишев, А.А. Повзнер

ФИЗИКА

Часть4

КОЛЕБАНИЯИ ВОЛНЫ

Учебноепособие

Научныйредактор – проф., д-р физ.-мат. наук Ф.А.Сидоренко

Екатеринбург

2006

УДК534.01 (075.8)

ББК22.213я 73

В15

Рецензенты:кафедра общейфизики Российского государственногопрофессионально–педагогическогоуниверситета, проф., д-р физ.-мат. наук

А.Д.Ивлиев; проф., д-р физ.-мат. наук, В.Е.Сидоров (Уральский государственныйпедагогический университет)

Авторы: М.Г. Валишев, А.А. Повзнер

В15 Физика. Часть 4. Колебания и волны.:учеб. пособие /М.Г. Валишев, А.А.Повзнер.Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2006. 90 с.

ISBN5-321-00893-0

Учебное пособиенаписано на основе конспекта лекцийкурса общей физики, читаемого в течениемногих лет студентам различных техническихспециальностей УГТУ-УПИ.

Пособиесоставлено в соответствии с утвержденнойпрограммой по физике для студентов,обучающихся по естественнонаучным итехническим направлениям и специальностям.

Библиогр.:Табл.1. Рис. 54.

УДК 534.01 (075.8)

ББК 22.213я 73

ISBN5-321-00893-0

 ГОУВПО “Уральский государственный

техническийуниверситет – УПИ”, 2006

 М.Г.Валишев, А.А. Повзнер, 2006

ОГЛАВЛЕНИЕ

5.1. Введение 5

5.2. Условия возникновения колебаний в системе. Таблица аналогий между механическими и электромагнитными колебаниями 6

5.3. Общие дифференциальные уравнения, описывающие колебания в произвольной системе 8

5.4. Механические незатухающие гармонические колебания в замкнутой системе 9

5.5. Квазиупругая сила. Математический и физический маятники. Гармонический осциллятор 11

5.6. Гармонические электромагнитные колебания в закрытом идеальном колебательном контуре 13

5.7. Сложение гармонических колебаний 14

5.7.1. Векторная диаграмма. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты 14

5.7.2. Сложение N гармонических колебаний одного направления, одинаковой амплитуды и частоты, начальные фазы которых образуют арифметическую прогрессию 16

5.7.3. Биения 17

5.7.4. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу 18

5.7.5. Модулированные колебания 21

5.8. Спектральное представление различных сигналов 22

5.9. Затухающие колебания 26

5.9.1. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний, его решение 26

5.9.2. Характеристики, вводимые для описания затухающих колебаний 27

5.10. Вынужденные колебания 29

5.10.1. Уравнения вынужденных колебаний, их решения 29

5.10.2. Резонансные кривые для амплитуды напряжения на конденсаторе, для амплитуды смещения в механической системе. Явление резонанса 31

5.10.3. Резонансные кривые для амплитуды силы тока в контуре, для амплитуды скорости материальной точки в механической системе 32

5.10.4. Разность фаз колебаний между силой тока и напряжениями на конденсаторе, индуктивности и активном сопротивлении колебательного контура. Фазовые резонансные кривые 33

5.10.5. Переменный электрический ток 37

5.10.6. Энергетика резонанса. Некоторые примеры проявления и применения резонанса в природе и технике 39

5.11. Нелинейные системы. Автоколебания 40

5.12. Параметрические колебания. Параметрический резонанс 43

5.13. Нормальные колебания (моды). Связанные колебательные системы 45

6. Теория волновых процессов 48

6.1. Волны в упругой среде 48

6.1.1. Характеристики волновых процессов 48

6.1.2. Уравнение волны. Уравнение плоской гармонической волны. Волновое уравнение. Уравнение сферической волны 50

6.1.3. Энергия упругой волны. Объемная плотность энергии. 53

Вектор Умова 53

6.1.4. Стоячие волны. Колебания струны 56

6.1.5. Интерференция волн 58

6.1.6. Волновой пакет. Групповая скорость. Дисперсия волн 60

6.1.7. Звуковые волны. Скорость упругих волн в различных средах 63

6.1.8. Эффект Доплера для упругих и электромагнитных волн 65

6.2. Электромагнитные волны 70

6.2.1. Волновые уравнения для электромагнитной волны (ЭМВ). Уравнение плоской монохроматической ЭМВ. 70

6.2.2. Свойства ЭМВ 71

6.2.3. Давление ЭМВ. Опыты П.Н. Лебедева, подтверждающие электромагнитную природу света 77

6.2.4. Излучение ЭМВ 78

6.2.5. Опыты с ЭМВ 83

6.2.6. Ударные волны. Уединенные волны 86

Различныевиды движений и процессов, происходящихв природе, можно классифицироватьпо-разному. По одной из таких классификацийпринято выделять колебательные движения(колебания), частный случай колебательныхдвижений – периодические колебания, исамый простой вид периодических колебаний– это гармонические колебания.

Кколебательнымдвижениям(колебаниям)относят такие движения, которыехарактеризуютсятой или иной степенью повторяемости вовремени описывающих их величин.

К колебательным процессам можно,например, отнести механические колебаниягруза пружинного и математическогомаятников, автоколебания ыхсвязок при разговоре, электромагнитныеколебания силы тока, заряда, напряжения,вектора магнитной индукции магнитного поля катушки в колебательномконтуре, периодические колебания цветапродуктов некоторых химических реакций и т.д.

На Рис. 5.1,а в качестве примераколебательного движения приведеназависимость от времениtсмещения х груза (материальной точки) пружинногомаятника от положения равновесия.

Рис.5.1

Кпериодическимколебаниямотносятколебания,при которых описывающие их величиныповторяются через промежуток времени,называемый периодом Т(рис. 5.1,б). При гармоническихколебаниях (ГК)эти величиныизменяются по гармоническому закону,т.е. по закону синуса или косинуса(рис. 5.1,в).

ГК,как наиболее простые колебания, играютособую роль среди других видов колебаний.

Оказывается, что при достаточно общихусловиях, которые обычно выполняютсяв физических задачах, любой сложныйпроцесс, описываемый какой-либопериодической или непериодическойфункцией времени f(t), можно представить в виде совокупностиконечного или бесконечного набора гармонических колебаний разной частоты,т.е. представить его в виде ряда илиинтеграла Фурье (см. § 5.8).

Этопозволяет, например, предложить общуюметодику анализа различных временныхпроцессов по их частотному спектру,методику воздействия сигналов на любыесистемы по изменению их частотногоспектра и т.д.

Междуразличными видами колебаний, такимикак механические, электромагнитные,химические и т.д., происходящих в замкнутых и открытых системах, существуют многообщего.

Поэтому, в этом разделе нарядус рассмотрением отдельных видов колебанийизучается и то, что их объединяет, аименно: общиедля них понятия(период Т,амплитуда А,фаза колебаний φи т.д.),дифференциальныеуравнения и их решения.

В связи с этим широкое применение в этомразделе находит методаналогий,при котором результаты, полученные прирассмотрении одного вида колебаний,используются для описания и другихвидов колебаний.

Источник: https://studfile.net/preview/1871508/

Booksm
Добавить комментарий