Теоретическая механика твердого тела

Теоретическая механика твердого тела

Теоретическая механика твердого тела

В окружающем нас мире все явления можно представить в виде различной формы материи. Движение также можно представить в виде одной из форм существования материи. Оно подразумевает изменение материи во времени и пространстве.

Рисунок 1. Частные случаи движения твердого тела. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В настоящее время принято различать несколько основных видов движения:

  • механическое;
  • химическое;
  • биологическое.

Механическое движение – это самый простой вид движения, который призвана изучать наука через теоретические и практические методы. Его изучают в рамках науки механики.

Определение 1

Изменение положения физического тела в пространстве с течением времени относительно других тел называют механическое движение материального объекта.

Механическое движение по типу материальных объектов разделяют на:

  • небесную механику – она изучает движение звезд и иных небесных тел;
  • гидромеханику – изучает механические движения жидкости;
  • теорию упругости – изучает деформируемые упругие тела и их движение.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Определение 2

Под теоретической механикой твердого тела понимают науку о наиболее общих свойствах и законах механического движения.

Методы и объекты теоретической механики

Рисунок 2. Методы теоретической механики. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Основу теоретической механики составляют главные понятия и важнейшие положения, которые необходимо проверить и доказать опытными исследованиями. Поэтому этот раздел физики определяется с точки зрения теории. Для ее исследования используются такие абстрактные и дедуктивные методы, которые характерны только для математических дисциплин.

Из ряда аксиом и понятий постепенно формируются определенные выводы о движении тех или иных объектов. Для этого процесса необходимо использовать формальное логическое рассуждение. Подобные выводы складываются в теоремы.

Они представляют собой определенный свод правил, предоставленных для различных технических расчетов. Это необходимо для количественного изучения механического движения различных материальных объектов.

Отдельный материальный объект самостоятельно является некой моделью реальных материальных тел или может представлять определенную степень абстракции.

Если научиться рассматривать только те определяющие свойства изучаемого объекта и уходить от механических движений в широком понятии всех материальных тел, то мы придем к частному случаю.

Он будет иметь небольшое и несущественное значение в задаче поиска решения.

Углубленное изучение конкретных свойств движения материального твердого объекта может привести к положительному результату и создать различные модели материальных тел.

Пример 1

В качестве примера можно привести некое материальное тело с микроскопическими размерами. По отношению к нему другие объекты в виде твердых тел будут серьезно отличаться.

В этом случае, необходимо пренебречь размерами изучаемого тела и рассмотреть его в качестве простой точки.

Такое абстрактное нестандартное решение дает основу к пониманию понятий теоретической механики, а также усвоению понятия определенной материальной точки.

Заданная геометрическая точка, которая обладает определенной массой, будет считаться материальной точкой. При введении понятия абсолютно твердого тела также необходимо воспользоваться методам абстрагирования от реальных тел.

Абсолютно твердое тело – тело, расстояние между точками которого за время всего исследования оставалось в неизменном значении. Для удобства подобные тела принято называть просто твердыми телами.

Основные понятия теоретической механики

Рисунок 3. Основные понятия теоретической механики. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

К основным понятиям теоретической механики относят материальный объект, время и пространство. Под пространством учитывается такое пространство, где изучается движение материальных объектов. Оно должно обладать схожими свойствами, которые действуют вблизи земной поверхности. Похожие схемы в теории отражены в теоремах евклидовой геометрии и иных аксиомах.

Одной из особенностей пространства стали его характерные признаки. Они заключаются в зависимости расположения и движения материи в нем при неизменности актуальных свойств.

Это означает, что пространство всегда должно оставаться безграничным, трехмерным, быть однородным и одинаковым во всех точках и направлениях данной точки. В таком пространстве было бы невозможно обнаружить перемещение объектом материального мира.

Однако это можно сделать только при создании относительности одной точки к другой.

Определение 3

Телом отсчета является такое тело, по отношению к которому можно определить реальное положение иных тел в рассматриваемом пространстве. Его еще называют основным телом.

При математических расчетах вводится определенная система координат. Она поможет установить точное нахождение твердого тела в пространства. Однако недостающим звеном в этом процессе стало понятие времени. Его определяют, как и пространство. Оно априори является реальным воплощением материи и существует постоянно.

Время можно измерить и постичь при помощи определенных периодических процессов природы. Его отсчет ведется обычно с того момента, когда начинается процесс изучения движения. Время в теоретической механике представляется в виде абсолютной величины, которая не зависит от движения материи и своего расположения в пространстве.

Оно равномерно и одинаково для всех объектов во всех точках пространства, при этом течет одновременно.

Значение теоретической механики

Несмотря на то, что теоретическая механика представлена главным образом в виде абстрактных понятий и рассуждений, которые на практике не всегда можно доказать, ее значение весьма велико. Для теоретической механики работают первозданные законы Ньютона и Галилея.

Ее часто называют классической механикой. Она вступает в резкие споры с более поздними понятиями релятивистской механики, где за основу была взята концепция идей относительности, сформулированных известным физиком Альбертом Эйнштейном. Он связал по-новому пространство, время с материей.

С этой точки зрения классическая механика является предельным случаем релятивистской механики и может рассматривать и изучать явления с позиции небольших скоростей, однако эти заключения оказываются подвластными требованиям многих отраслей современной техники, поскольку дают наиболее точные результаты.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/mehanika_sploshnyh_sred/teoreticheskaya_mehanika_tverdogo_tela/

Статика – раздел теоретической механики

Теоретическая механика твердого тела

Изложены основные понятия статики – раздела теоретической механики. Рассмотрены законы равновесия точки и тела. Представлены свойства моментов сил относительно точки и оси. Рассмотрена сила тяжести и сила распределенной нагрузки.

Статика – это раздел теоретической механики, в котором изучаются условия равновесия материальных тел, находящихся под действием сил, а также методы преобразования сил в эквивалентные системы.

Под состоянием равновесия, в статике, понимается состояние, при котором все части механической системы покоятся относительно некоторой инерциальной системы координат. Одним из базовых объектов статики являются силы и точки их приложения.

Сила , действующая на материальную точку с радиус-вектором со стороны других точек – это мера воздействия других точек на рассматриваемую точку, в результате которой она получает ускорение относительно инерциальной системы отсчета. Величина силы определяется по формуле:
,
где m – масса точки – величина, зависящая от свойств самой точки. Эта формула называется вторым законом Ньютона.

Применение статики в динамике

Важной особенностью уравнений движения абсолютно твердого тела является то, что силы можно преобразовывать в эквивалентные системы.

При таком преобразовании уравнения движения сохраняют свой вид, но систему сил, действующую на тело можно преобразовать в более простую систему.

Так, точку приложения силы можно перемещать вдоль линии ее действия; силы можно раскладывать по правилу параллелограмма; силы, приложенные в одной точке можно заменять их геометрической суммой.

Примером таких преобразований является сила тяжести. Она действует на все точки твердого тела. Но закон движения тела не изменится, если распределенную по всем точкам силу тяжести заменить одним вектором, приложенным в центре масс тела.

Оказывается, что если мы к основной системе сил, действующих на тело, добавим эквивалентную систему, в которой направления сил изменены на противоположные, то тело, под действием этих систем, будет находиться в равновесии. Таким образом, задача по определению эквивалентных систем сил сводится к задаче на равновесие, то есть к задаче статики.

Основной задачей статики является установление законов преобразования системы сил в эквивалентные системы. Таким образом, методы статики применяются не только при изучении тел, находящихся в равновесии, но и в динамике твердого тела, при преобразовании сил в более простые эквивалентные системы.

Статика материальной точки

Рассмотрим материальную точку, которая находится в равновесии. И пусть на нее действуют n сил  ,  k = 1, 2, …, n.

Если материальная точка находится в равновесии, то векторная сумма действующих на нее сил равна нулю:
(1)   .

В равновесии геометрическая сумма сил, действующих на точку, равна нулю.

Геометрическая интерпретация.

Если в конец первого вектора поместить начало второго вектора , а в конец второго вектора поместить начало третьего , и далее продолжать этот процесс, то конец последнего, n-го вектора окажется совмещенным с началом первого вектора. То есть мы получим замкнутую геометрическую фигуру, длины сторон которой равны модулям векторов . Если все векторы лежат в одной плоскости, то мы получим замкнутый многоугольник.

Часто бывает удобным выбрать прямоугольную систему координат Oxyz. Тогда суммы проекций всех векторов сил на оси координат равны нулю:

Если выбрать любое направление, задаваемое некоторым вектором , то сумма проекций векторов сил на это направление равна нулю:
.
Умножим уравнение (1) скалярно на вектор :
.
Здесь – скалярное произведение векторов  и  .
Заметим, что проекция вектора на направление вектора определяется по формуле:
.

Момент силы относительно точки

Определение момента силы

Моментом силы , приложенной к телу в точке A, относительно неподвижного центра O, называется вектор , равный векторному произведению векторов и :
(2)   .

Геометрическая интерпретация

Момент силы равен произведению силы F на плечо OH.

Пусть векторы  и  расположены в плоскости рисунка. Согласно свойству векторного произведения, вектор перпендикулярен векторам  и  , то есть перпендикулярен плоскости рисунка. Его направление определяется правилом правого винта. На рисунке вектор момента направлен на нас. Абсолютное значение момента:
.
Поскольку  , то
(3)   .

Используя геометрию, можно дать другую интерпретацию момента силы. Для этого проведем прямую AH через вектор силы  . Из цента O опустим перпендикуляр OH на эту прямую. Длину этого перпендикуляра называют плечом силы. Тогда
(4)   .
Поскольку , то формулы (3) и (4) эквивалентны.

Таким образом, абсолютное значение момента силы относительно центра O равно произведению силы на плечо этой силы относительно выбранного центра O.

При вычислении момента часто бывает удобным разложить силу на две составляющие:
,
где . Сила проходит через точку O. Поэтому ее момент равен нулю. Тогда
. Абсолютное значение момента:

.

Компоненты момента в прямоугольной системе координат

Если выбрать прямоугольную систему координат Oxyz с центром в точке O, то момент силы будет иметь следующие компоненты:
(5.1)   ;
(5.2)   ;
(5.3)   .
Здесь – координаты точки A в выбранной системе координат:
.
Компоненты представляют собой значения момента силы относительно осей , соответственно.

Свойства момента силы относительно центра

Момент относительно центра O, от силы, проходящей через этот центр, равен нулю.

Если точку приложения силы переместить вдоль линии, проходящей через вектор силы, то момент, при таком перемещении, не изменится.

Момент от векторной суммы сил, приложенных к одной точке тела, равен векторной сумме моментов от каждой из сил, приложенных к этой же точке:
.

Тоже самое относится и к силам, чьи линии продолжения пересекаются в одной точке.

Если векторная сумма сил равна нулю:
, то сумма моментов от этих сил не зависит от положения центра, относительно которого вычисляются моменты:

.

Пара сил

Пара сил – это две силы, равные по абсолютной величине и имеющие противоположные направления, приложенные к разным точкам тела.

Пара сил характеризуется моментом , который они создают.

Поскольку векторная сумма сил, входящих в пару равна нулю, то создаваемый парой момент не зависит от точки, относительно которой вычисляется момент.

С точки зрения статического равновесия, природа сил, входящих в пару, не имеет значения. Пару сил используют для того, чтобы указать, что на тело действует момент сил, имеющий определенное значение .

Момент силы относительно заданной оси

Часто встречаются случаи, когда нам не нужно знать все компоненты момента силы относительно выбранной точки, а нужно знать только момент силы относительно выбранной оси.

Моментом силы относительно оси, проходящей через точку O – это проекция вектора момента силы, относительно точки O, на направление оси.

Свойства момента силы относительно оси

Момент относительно оси от силы, проходящей через эту ось равен нулю.

Момент относительно оси от силы, параллельной этой оси равен нулю.

Вычисление момента силы относительно оси

Момент силы относительно оси.

Пусть на тело, в точке A действует сила . Найдем момент этой силы относительно оси O′O′′.

Построим прямоугольную систему координат. Пусть ось Oz совпадает с O′O′′. Из точки A опустим перпендикуляр OH на O′O′′. Через точки O и A проводим ось Ox. Перпендикулярно Ox и Oz проводим ось Oy.

Разложим силу на составляющие вдоль осей системы координат:
.
Сила пересекает ось O′O′′. Поэтому ее момент равен нулю. Сила параллельна оси O′O′′. Поэтому ее момент также равен нулю. По формуле (5.

3) находим:
.

Заметим, что компонента направлена по касательной к окружности, центром которой является точка O. Направление вектора определяется правилом правого винта.

Условия равновесия твердого тела

В равновесии векторная сумма всех действующих на тело сил равна нулю и векторная сумма моментов этих сил относительно произвольного неподвижного центра равна нулю:
(6.1)   ;
(6.2)   .

Подчеркнем, что центр O, относительно которого вычисляются моменты сил можно выбирать произвольным образом. Точка O может, как принадлежать телу, так и находится за его пределами. Обычно центр O выбирают так, чтобы сделать вычисления более простыми.

Условия равновесия можно сформулировать и другим способом.

В равновесии сумма проекций сил на любое направление, задаваемое произвольным вектором , равна нулю:
.
Также равна нулю сумма моментов сил относительно произвольной оси O′O′′:
.

Иногда такие условия оказываются более удобными. Бывают случаи, когда за счет выбора осей, можно сделать вычисления более простыми.

Центр тяжести тела

Рассмотрим одну из важнейших сил – силу тяжести. Здесь силы не приложены в определенных точках тела, а непрерывно распределены по его объему. На каждый участок тела с бесконечно малым объемом ΔV, действует сила тяготения . Здесь ρ – плотность вещества тела, – ускорение свободного падения.

Пусть – масса бесконечно малого участка тела. И пусть точка Ak определяет положение этого участка. Найдем величины, относящиеся к силе тяжести, которые входят в уравнения равновесия (6).

Найдем сумму сил тяжести, образованную всеми участками тела:
,
где – масса тела. Таким образом, сумму сил тяжести отдельных бесконечно малых участков тела можно заменить одним вектором силы тяжести всего тела:
.

Найдем сумму моментов сил тяжести, относительно произвольным способом выбранного центра O:

.
Здесь мы ввели точку C, которая называется центром тяжести тела. Положение центра тяжести, в системе координат с центром в точке O, определяется по формуле:
(7)   .

Итак, при определении статического равновесия, сумму сил тяжести отдельных участков тела можно заменить равнодействующей
,
приложенной к центру масс тела C, положение которого определяется формулой (7).

Положение центра тяжести для различных геометрических фигур можно найти в соответствующих справочниках. Если тело имеет ось или плоскость симметрии, то центр тяжести расположен на этой оси или плоскости.

Так, центры тяжести сферы, окружности или круга находятся в центрах окружностей этих фигур.

Центры тяжести прямоугольного параллелепипеда, прямоугольника или квадрата также расположены в их центрах – в точках пересечения диагоналей.

Распределенная нагрузка

Равномерно (А) и линейно (Б) распределенная нагрузка.

Также встречаются подобные силе тяжести случаи, когда силы не приложены в определенных точках тела, а непрерывно распределены по его поверхности или объему. Такие силы называют распределенными силами или распределенными нагрузками.

Равномерно распределенная нагрузка q (рисунок А). Также, как и в случае с силой тяжести, ее можно заменить равнодействующей силой величины , приложенной в центре тяжести эпюры. Поскольку на рисунке А эпюра представляет собой прямоугольник, то центр тяжести эпюры находится в ее центре – точке C: |AC| = |CB|.

Линейно распределенная нагрузка q (рисунок В). Ее также можно заменить равнодействующей. Величина равнодействующей равна площади эпюры:
.
Точка приложения находится в центре тяжести эпюры. Центр тяжести треугольника, высотой h, находится на расстоянии от основания. Поэтому .

Силы трения

Трение скольжения. Пусть тело находится на плоской поверхности. И пусть – сила, перпендикулярная поверхности, с которой поверхность действует на тело (сила давления).

Тогда сила трения скольжения параллельна поверхности и направлена в сторону, препятствуя движению тела. Ее наибольшая величина равна:
,
где f – коэффициент трения.

Коэффициент трения является безразмерной величиной.

Трение качения. Пусть тело округлой формы катится или может катиться по поверхности. И пусть – сила давления, перпендикулярная поверхности, с которой поверхность действует на тело.

Тогда на тело, в точке соприкосновения с поверхностью, действует момент сил трения, препятствующий движению тела. Наибольшая величина момента трения равна:
,
где δ – коэффициент трения качения.

Он имеет размерность длины.

Использованная литература:
С. М. Тарг, Краткий курс теоретической механики, «Высшая школа», 2010.

Источник: https://1cov-edu.ru/mehanika/statika/

Открытое образование: Онлайн-курс

Теоретическая механика твердого тела

  • 9 недель
  • 3 зачётных единицы

Лекции представляют собой строгое, целостное и компактное изложение основных задач и методов теоретической механики.

По онлайн-курсу возможно получение сертификата.

В курсе рассматриваются: кинематика точки и твёрдого тела (причём с разных точек зрения предлагается рассмотреть проблему ориентации твердого тела), классические задачи динамики механических систем и динамики твердого тела, элементы небесной механики, движение систем переменного состава, теория удара, дифференциальные уравнения аналитической динамики.

В курсе представлены все традиционные разделы теоретической механики, однако особое внимание уделено рассмотрению наиболее содержательных и ценных для теории и приложений разделов динамики и методов аналитической механики; статика изучается как раздел динамики, а в разделе кинематики подробно вводятся необходимые для раздела динамики понятия и математический аппарат.

Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. – 3-е изд. – М.: Физматлит, 2001.Журавлёв В.Ф. Основы теоретической механики. – 2-е изд. – М.: Физматлит, 2001; 3-е изд. – М.: Физматлит, 2008.

Маркеев А.П. Теоретическая механика. – Москва – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2007.

Требования

Курс рассчитан на студентов владеющих аппаратом аналитической геометрии и линейной алгебры в объеме программы первого курса технического вуза.

Программа курса

1. Кинематика точки1.1. Задачи кинематики. Декартова система координат. Разложение вектора по ортонормированному базису. Радиус-вектор и координаты точки. Скорость и ускорение точки. Траектория движения.1.2. Естественный трёхгранник.

Разложение скорости и ускорения в осях естественного трехгранника (теорема Гюйгенса).

1.3. Криволинейные координаты точки, примеры: полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат.

Составляющие скорости и проекции ускорения на оси криволинейной системы координат.

2. Способы задания ориентации твердого тела2.1. Твердое тело. Неподвижная и связанная с телом системы координат.2.2. Ортогональные матрицы поворота и их свойства. Теорема Эйлера о конечном повороте.2.3.

Активная и пассивная точки зрения на ортогональное преобразование. Сложение поворотов.

2.4. Углы конечного вращения: углы Эйлера и «самолетные» углы.

Выражение ортогональной матрицы через углы конечного вращения.

3. Пространственное движение твердого тела3.1. Поступательное и вращательное движения твердого тела. Угловая скорость и угловое ускорение.3.2. Распределение скоростей (формула Эйлера) и ускорений (формула Ривальса) точек твердого тела.

3.3. Кинематические инварианты. Кинематический винт. Мгновенная винтовая ось.

4. Плоскопараллельное движение
4.1. Понятие плоскопараллельного движения тела. Угловая скорость и угловое ускорение в случае плоскопараллельного движения. Мгновенный центр скоростей.

5. Сложное движение точки и твердого тела5.1. Неподвижная и движущаяся системы координат. Абсолютное, относительное и переносное движения точки.5.2.

Теорема о сложении скоростей при сложном движении точки, относительная и переносная скорости точки. Теорема Кориолиса о сложении ускорений при сложном движении точки, относительное, переносное и кориолисово ускорения точки.

5.3.

Абсолютные, относительные и переносные угловая скорость и угловое ускорение тела.

6. Движение твердого тела с неподвижной точкой (кватернионное изложение)6.1. Понятие о комплексных и гиперкомплексных числах. Алгебра кватернионов. Кватернионное произведение. Сопряженный и обратный кватернион, норма и модуль.6.2.

Тригонометрическое представление единичного кватерниона. Кватернионный способ задания поворота тела. Теорема Эйлера о конечном повороте.

6.3. Связь между компонентами кватерниона в разных базисах. Сложение поворотов.

Параметры Родрига-Гамильтона.

7. Экзаменационная работа

8. Основные понятия динамики.8.1 Импульс, момент импульса (кинетический момент), кинетическая энергия.8.2 Мощность сил, работа сил, потенциальная и полная энергия.8.3 Центр масс (центр инерции) системы. Момент инерции системы относительно оси.8.

4 Моменты инерции относительно параллельных осей; теорема Гюйгенса–Штейнера.8.5 Тензор и эллипсоид инерции. Главные оси инерции. Свойства осевых моментов инерции.

8.6 Вычисление момента импульса и кинетической энергии тела с помощью тензора инерции.

9. Основные теоремы динамики в инерциальных и неинерциальных системах отсчёта.9.1 Теорема об изменении импульса системы в инерциальной системе отсчета. Теорема о движении центра масс.9.

2 Теорема об изменении момента импульса системы в инерциальной системе отсчета.9.3 Теорема об изменении кинетической энергии системы в инерциальной системе отсчета.9.4 Потенциальные, гироскопические и диссипативные силы.

9.

5 Основные теоремы динамики в неинерциальных системах отсчета .

10. Движение твёрдого тела с неподвижной точкой по инерции.10.1 Динамические уравнения Эйлера.10.2 Случай Эйлера, первые интегралы динамических уравнений; перманентные вращения.10.3 Интерпретации Пуансо и Маккулага.

10.4 Регулярная прецессия в случае динамической симметрии тела.

11. Движение тяжёлого твёрдого тела с неподвижной точкой.11.1 Общая постановка задачи о движении тяжелого твердого тела вокруг.неподвижной точки. Динамические уравнения Эйлера и их первые интегралы.11.

2 Качественный анализ движения твердого тела в случае Лагранжа.11.3 Вынужденная регулярная прецессия динамически симметричного твердого тела.11.4 Основная формула гироскопии.

11.

5 Понятие об элементарной теории гироскопов.

12. Динамика точки в центральном поле.12.1 Уравнение Бине.12.2 Уравнение орбиты. Законы Кеплера.12.3 Задача рассеяния.

12.4 Задача двух тел. Уравнения движения. Интеграл площадей, интеграл энергии, интеграл Лапласа.

13. Динамика систем переменного состава.13.1 Основные понятия и теоремы об изменении основных динамических величин в системах переменного состава.13.2 Движение материальной точки переменной массы.

13.3 Уравнения движения тела переменного состава.

14. Теория импульсивных движений.14.1 Основные понятия и аксиомы теории импульсивных движений.14.2 Теоремы об изменении основных динамических величин при импульсивном движении.14.3 Импульсивное движение твёрдого тела.14.4 Соударение двух твёрдых тел.

14.5 Теоремы Карно.

15. Контрольная работа

Результаты обучения

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

  • Знать:
    • основные понятия и теоремы механики и вытекающие из них методы изучения движения механических систем;
  • Уметь:
    • корректно формулировать задачи в терминах теоретической механики;
    • разрабатывать механико-математические модели, адекватно отражающие основные свойства рассматриваемых явлений;
    • применять полученные знания для решения соответствующих конкретных задач;
  • Владеть:
    • навыками решения классических задач теоретической механики и математики;
    • навыками исследования задач механики и построения механико-математических моделей, адекватно описывающих разнообразные механические явления;
    • навыками практического использования методов и принципов теоретической механики при решении задач: силового расчета, определения кинематических характеристик тел при различных способах задания движения, определения закона движения материальных тел и механических систем под действием сил;
    • навыками самостоятельно овладевать новой информацией в процессе производственной и научной деятельности, используя современные образовательные и информационные технологии;

01.00.00 Математика и механика

Источник: https://openedu.ru/course/mipt/THMECH/

Теоретическая механика

Теоретическая механика твердого тела

Теоретическая механика

Электронный учебный курс для студентов очной и заочной форм обучения

Составитель: к.т.н., доцент кафедры теоретической и прикладной механики Каримов Ильдар

Самостоятельно изучать теоретическую механику нелегко. Но нет ничего невозможного.
Используя возможности компьютерных технологий, Вы, мы надеемся, сможете облегчить и сделать более плодотворным свой труд.

Изучая последовательно, шаг за шагом лекции, разбирая решение примеров, выполняя расчетно-графические работы, проверяя свои знания по предложенным вопросам и задачам, консультируясь у вашего преподавателя, Вы освоите теоретическую механику

. . . и . . . сдадите экзамен ! ! !

Настоящий учебный курс теоретической механики разработан для студентов очной и заочной формы образования, изучающих теоретическую механику в объёмах, предусмотренными Государственными образовательными стандартами высшего профессионального образования второго поколения (квалификация — инженер).

дисциплины: Механическое движение как одна из форм движения материи. Предмет механики. Теоретическая механика и её место среди естественных и технических наук. Механика как теоретическая база ряда областей современной техники. Объективный характер законов механики. Основные исторические этапы развития механики.

Связь механики с общественным производством и её роль в решении народнохозяйственных задач. Основные понятия статики: абсолютно твердое тело, сила, эквивалентные системы сил, равнодействующая, уравновешенная система сил, силы внешние и внутренние. Исходные положения (аксиомы) статики. Связи и реакции связей.

Основные виды связей: гладкая плоскость, поверхность и опора, гибкая нить, цилиндрический шарнир (подшипник), сферический шарнир (подпятник), невесомый стержень; реакции этих связей.Система сходящихся сил. Геометрический и аналитический способы сложения сил. Сходящиеся силы. Равнодействующая сходящихся сил. Геометрическое условие равновесия системы сходящихся сил.

Аналитические условия равновесия пространственной и плоской систем сходящихся сил. Теорема о равновесии трех непараллельных сил Теория пар сил. Момент силы относительно точки (центра) как вектор. Пара сил. Момент пары сил как вектор. Теоремы об эквивалентности пар. Сложение пар, произвольно расположенных в пространстве. Условия равновесия, системы пар.

Приведение произвольной системы сил к данному центру. Теорема о параллельном переносе силы. Основная теорема статики о приведении системы сил к данному центру. Главный вектор и главный момент системы сил. Система сил, произвольно расположенных на плоскости (плоская система сил). Алгебраическая величина момента силы. Вычисление главного вектора и главного момента плоской системы сил.

Частные случаи приведения: приведение к паре сил, к равнодействующей и случай равновесия. Аналитические условия равновесия плоской системы сил.

Три вида условий равновесия: а) равенство нулю сумм проекций сил на две координатные оси и суммы их моментов относительно любого центра; б) равенство нулю сумм моментов сил относительно двух центров и суммы их проекций на одну ось; в) равенство нулю сумм моментов сил относительно трех центров. Условия равновесия плоской системы; параллельных сил. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей.

(Сосредоточенные и распределённые силы. Силы, равномерно распределённые по отрезку прямой, и их равнодействующая.) Реакция жесткой заделки. Равновесие системы тел. Статически определимые и статически неопределимые системы. Равновесие при наличии сил трения. Коэффициент трения. Предельная сила трения. Угол и конус трения. (Трение качения; коэффициент трения качения.

) Система сил, произвольно расположенных в пространстве (пространственная система сил). Момент силы относительно оси и его вычисление. Зависимость между моментами силы относительно центра и относительно оси, проходящей через этот центр. Аналитические формулы для вычисления моментов силы относительно трех координатных осей.

Вычисление главного вектора и главного момента пространственной системы сил. (Частные случаи приведения пространственной системы сил: приведение к паре сил, к равнодействующей, к динамическому винту и случай равновесия.) Аналитические условия равновесия произвольной пространственной системы сил. Условия равновесия пространственной системы параллельных сил.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей относительно оси. Некоторые приемы определения координат центра тяжести. Центры тяжести некоторых однородных линий, плоских фигур и тел. Кинематика. Введение в кинематику. Предмет кинематики. Пространство и время в классической механике. Относительность механического движения. Система отсчета. Задачи кинематики. Кинематика точки.

Векторный способ задания движения точки. Траектория точки. Скорость точки как производная её радиуса-вектора по времени. Ускорение точки как производная от её скорости по времени. Координатный способ задания движения точки (в прямоугольных декартовых координатах). Определение траектории точки. Определение скорости и ускорения точки по их проекциям на координатные оси.

Естественный способ задания движения точки. Естественный трехгранник. Алгебраическая величина скорости точки. Определение ускорения точки по его проекциям на оси естественного трехгранника; касательное и нормальное ускорения точки. (Скорость и ускорение точки в полярных координатах.) Кинематика твердого тела. Поступательное движение. Поступательное движение твердого тела.

Теорема о траекториях, скоростях и ускорениях точек твердого тела при поступательном движении. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси (вращательное движение). Уравнение (или закон) вращательного движения твердого тела. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела. Законы равномерного и равнопеременного вращения.

Скорость и ускорение точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Векторы угловой скорости и углового ускорения тела. Выражение скорости точки вращающегося тела и ее касательного и нормального ускорений в виде векторных произведений. Плоскопараллельное (плоское) движение твердого тела. Плоское движение твердого тела и движение плоской фигуры в её плоскости.

Уравнения движения плоской фигуры. Разложение движения плоской фигуры на поступательное вместе с полюсом и вращательное вокруг полюса. Независимость угловой скорости и углового ускорения фигуры от выбора полюса. Определение скорости любой точки плоской фигуры как геометрической суммы скорости полюса и скорости этой точки при вращении фигуры вокруг полюса.

Теорема о проекциях скоростей двух точек фигуры (тела). Мгновенный центр скоростей. Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей. Определение ускорения любой точки плоской фигуры как геометрической суммы ускорения полюса и ускорения этой точки при вращении фигуры вокруг полюса. (Понятие о мгновенном центре ускорений.

) Сложное движение точки и твердого тела, или составное движение. Абсолютное и относительное движения точки; переносное движение. Относительная, переносная и абсолютная скорости и относительное, переносное и абсолютное ускорения точки. Теорема о сложении скоростей. Теорема Кориолиса о сложении ускорений. Модуль и направление кориолисова ускорения. Случай поступательного переносного движения.

Динамика. Введение в динамику. Предмет динамики. Основные понятия и определения: масса, материальная точка, сила. Силы, зависящие от времени, от положения точки и от её скорости. Законы классической механики или законы Галилея — Ньютона. Инерциальная система отсчета. Задачи динамики. Динамика точки. Решение первой и второй задач динамики.

Дифференциальные уравнения движения свободной и несвободной материальной точки в декартовых координатах. Уравнения в проекциях на оси естественного трехгранника. Две основные задачи динамики для материальной точки. Решение первой задачи динамики. Решение второй задачи динамики. Начальные условия. Постоянные интегрирования и их определение по начальным условиям.

Примеры интегрирования дифференциальных уравнений движения точки. Несвободное и относительное движения точки. (Несвободное движение материальной точки. Дифференциальные уравнения движения точки по заданной гладкой неподвижной кривой. Определение закона движения и реакции связи.) Относительное движение материальной точки.

Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки; переносная и кориолисова силы инерции. Принцип относительности классической механики. Случай относительного покоя. Введение в динамику механической системы. Механическая система. Классификация(задаваемые) и реакции связей; силы внешние и внутренние. Свойства внутренних сил. Масса системы.

Центр масс; радиус-вектор и коор-динаты центра масс. Моменты инерции. Момент инерции твердого тела относительно оси; радиус инерции. Моменты инерции тела относительно плоскости и полюса. Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей, или теорема Гюйгенса.

Примеры вычисления моментов инерции: моменты инерции однородного тонкого стержня, тонкого круглого кольца или полого цилиндра и круглого диска или сплошного круглого цилиндра. (Формула для вычисления момента инерции относительно оси любого направления. Центробежные моменты инерции.) Общие теоремы динамики Теорема о движении центра масс.

Дифференциальные уравнения движения механической системы. Теорема о движении центра масс механической системы. Закон сохранения движения центра масс. Теорема об изменении количества движения. Количество движения материальной точки. Элементарный импульс силы. Импульс силы за конечный промежуток времени и его проекции на координатные оси.

Теорема об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной и конечной формах. Количество движения механической системы; его выражение через массу системы и скорость её центра масс. Теорема об изменении количества движения механической системы в дифференциальной и конечной формах. Закон сохранения количества движения механической системы.

(Понятие о теле и точке переменной массы. Уравнение Мещерского. Формула Циолковского.) Теорема об изменении момента количества движения. Момент количества движения материальной точки относительно центра и относительно оси. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки. Центральная сила. Сохранение момента количества движения материальной точки в случае центральной силы.

(Понятие о секторной скорости. Закон площадей.) Главный момент количества движения, или кинетический момент механической системы относительно центра и относительно оси. Кинетический момент вращающегося твердого тела относительно оси вращения. Теорема об изменении кинетического момента механической системы. Закон сохранения кинетического момента механической системы.

(Теорема об изменении кинетического момента механической системы в относительном движении по отношению к центру масс.) Теорема об изменении кинетической энергии. Кинетическая энергия материальной точки. Элементарная работа силы; аналитическое выражение элементарной работы. Работа силы на конечном перемещении точки её приложения. Работа силы тяжести, силы упругости и силы тяготения.

Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки в дифференциальной и конечной формах. сил, действующих на механическую систему: силы активные. Кинетическая энергия механической системы. Формулы для вычисления кинетической энергии твердого тела при поступательном движении, при вращении вокруг неподвижной оси и в общем случае движения (в частности при плоско-параллельном движении).

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной и конечной формах. Равенство нулю суммы работ внутренних сил в твердом теле. Работа и мощность сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси. Понятие о силовом поле. Потенциальное силовое поле и функция. Выражение проекций силы через силовую функцию. Поверхности равного потенциала.

Работа силы на конечном перемещении точки в потенциальном силовом поле. Потенциальная энергия. Примеры потенциальных силовых полей: однородное поле тяжести и поле тяготения. Закон сохранения механической энергии. Динамика твердого тела. Динамические уравнения поступательного движения твердого тела. Динамическое уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Физический маятник.

Динамические уравнения плоского движения твердого тела. Динамические и кинематические уравнения Эйлера. Принцип Даламбера. Принцип Даламбера для материальной точки; сила инерции. Принцип Даламбера для механической системы. Приведение сил инерции точек твердого тела к центру; главный вектор и главный момент сил инерции.

Определение динамических реакций подшипников при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси. Случай, когда ось вращения является главной центральной осью инерции тела. Принцип возможных перемещений и общее уравнение динамики. Связи, налагаемые на механическую систему. Возможные (или виртуальные) перемещения материальной точки и механической системы. Число степеней свободы системы.

Идеальные связи. Принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики. Уравнения движения системы в обобщённых координатах (уравнения Лагранжа). Обобщённые координаты системы; обобщённые скорости. Выражение элементарной работы в обобщённых координатах. Обобщённые силы и их вычисление; случай сил, имеющих потенциал. Условия равновесия системы в обобщённых координатах. Дифференциальные уравнения движения системы в обобщённых координатах, или уравнения Лагранжа 2-го рода. Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил; функция Лагранжа (кинетический потенциал). Элементы теории удара. Явление удара. Ударная сила и ударный импульс. Действие ударной силы на материальную точку. Теорема об изменении количества движения механической системы при ударе. Прямой центральный удар тела о неподвижную поверхность; упругий и неупругий удары. Коэффициент восстановления при ударе и его опытное определение. Прямой центральный удар двух тел. Теорема Карно. Основные определения колебательного движения. Малые свободные колебания системы. Свободные колебания системы с учетом сил сопротивления движению. Вынужденные колебания системы. Влияние сопротивления на вынужденные колебания. Гироскопы. Свободный гироскоп. Прецессия гироскопа под действием внешних сил. Угловая скорость прецессии. Нутации. Гироскопические силы, их природа и проявление. Волчки. Устойчивость вращения симметричного волчка. Явление удара. Прямой центральный удар двух тел. Удар по вращающемуся телу.

email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

Строительная механика   Сопротивление материалов

Прикладная механика  Детали машин  Теория машин и механизмов

Источник: http://www.teoretmeh.ru/

Booksm
Добавить комментарий