Теорема Остроградского — Гаусса

Теорема Остроградского — Гаусса

Теорема Остроградского - Гаусса

Рассмотрим поле точечного заряда $q$, найдем поток вектора напряжённости ($\overrightarrow{E}$) через замкнутую поверхность $S$. Будем считать, что заряд находится внутри поверхности.

Поток вектора напряженности через любую поверхность равен количеству линий вектора напряженности, которые выходят наружу (начинаются на заряде, если $q>0$) или количеству линий $\overrightarrow{E}$входящих внутрь, если $q \[Ф_E=\frac{q}{{\varepsilon }_0}\ \left(1\right),\]

где знак потока совпадает со знаком заряда.

Теорема Остроградского — Гаусса в интегральной форме

Допустим, что внутри поверхности S находится N точечных зарядов, величины $q_1,q_2,\dots q_N.$ Из принципа суперпозиции мы знаем, что результирующая напряженность поля всех N зарядов может быть найдена как сумма напряженностей полей, которые создаются каждым из зарядов, то есть:

Следовательно, для потока системы точечных зарядов можно записать:

Используем формулу (1), получаем, что:

\[Ф_E=\oint\limits_S{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{S}}=\frac{1}{{\varepsilon }_0}\sum\limitsN_{i=1}{q_i\ }\left(4\right).\]

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Уравнение (4) значит, что поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, которые находятся внутри данной поверхности, деленой на электрическую постоянную.

Это теорема Остроградского — Гаусса в интегральной форме. Данная теорема является следствием закона Кулона.

Значение данной теоремы заключается в том, что она позволяет довольно просто вычислять электрические поля при различных распределениях зарядов.

Как следствие теоремы Остроградского — Гаусса надо сказать, что поток вектора напряженности ($Ф_E$) через замкнутую поверхность в случае при котором заряды находятся вне данной поверхности, равен нулю.

В том случае, когда можно не учитывать дискретность зарядов используют понятие объемной плотности заряда ($\rho $), если заряд распределен по объему. Она определена как:

\[\rho =\frac{dq}{dV}\left(5\right),\]

где $dq$ — заряд, который можно считать точечным, $dV$ — малый объем. (Относительно $dV$ необходимо сделать следующее замечание. Данный объем мал настолько, чтобы плотность заряда в нем можно было считать постоянной, но достаточно велик, чтобы не начала проявляться дискретность заряда). Суммарный заряд, который находится в полости, можно найти как:

\[\sum\limitsN_{i=1}{q_i\ }=\int\limits_V{\rho dV}\left(6\right).\]

В таком случае формулу (4) перепишем в виде:

\[\oint\limits_S{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{S}}=\frac{1}{{\varepsilon }_0}\int\limits_V{\rho dV}\left(7\right).\]

Теорема Остроградского — Гаусса в дифференциальной форме

Используя формулу Остроградского — Гаусса для любого поля векторной природы, с помощью которой осуществляется переход от интегрирования по замкнутой поверхности к интегрированию по объему:

\[\oint\limits_S{\overrightarrow{a}\overrightarrow{dS}=\intolimits_V{div}}\overrightarrow{a}dV\ \left(8\right),\]

где $\overrightarrow{a}-$вектор поля (в нашем случае это $\overrightarrow{E}$), $div\overrightarrow{a}=\overrightarrow{abla }\overrightarrow{a}=\frac{\partial a_x}{\partial x}+\frac{\partial a_y}{\partial y}+\frac{\partial a_z}{\partial z}$ — дивергенция вектора $\overrightarrow{a}$ в точке с координатами (x,y,z), которая отображает векторное поле на скалярное. $\overrightarrow{abla }=\frac{\partial }{\partial x}\overrightarrow{i}+\frac{\partial }{\partial y}\overrightarrow{j}+\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{k}$ — оператор набла. (В нашем случае будет $div\overrightarrow{E}=\overrightarrow{abla }\overrightarrow{E}=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}$) — дивергенция вектора напряженности. Следуя вышесказанному, формулу (6) перепишем как:

\[\oint\limits_S{\overrightarrow{E}\overrightarrow{dS}=\intolimits_V{div}}\overrightarrow{E}dV=\frac{1}{{\varepsilon }_0}\int\limits_V{\rho dV}\left(9\right).\]

Равенства в уравнении (9) выполняются для любого объема, а это осуществимо только, если функции, которые находятся в подынтегральных выражениях, равны в каждой токе пространства, то есть мы можем записать, что:

\[div\overrightarrow{E}=\frac{1}{{\varepsilon }_0}\rho \ \left(10\right).\]

Выражение (10) — теорема Остроградского — Гаусса в дифференциальной форме. Трактовка ее такова: заряды являются источниками электрического поля. Если $div\overrightarrow{E}>0$, то в этих точках поля (заряды положительные) мы имеем источники поля, если $div\overrightarrow{E}

Пример 1

Задание: Заряд равномерно распределен по объему, в этом объеме выделена кубическая поверхность, со стороной b. Она вписана в сферу. Найдите отношение потоков вектора напряженности сквозь эти поверхности.

Рис. 1

Решение:

Согласно теореме Гаусса поток ($Ф_E$) вектора напряженности $\overrightarrow{E}$ через замкнутую поверхность при равномерном распределении заряда по объему равен:

\[Ф_E=\frac{1}{{\varepsilon }_0}Q=\frac{1}{{\varepsilon }_0}\int\limits_V{\rho dV=\frac{\rho }{{\varepsilon }_0}\int\limits_V{dV}=\frac{\rho V}{{\varepsilon }_0}}\left(1.1\right).\]

Следовательно, нам необходимо определить объемы куба и шара, если шар описать вокруг этого куба. Для начала, объем куба ($V_k$) если сторона его b равен:

\[V_k=b3\left(1.2\right).\]

Найдем объем шара ($V_{sh}$) по формуле:

\[V_{sh}=\frac{1}{6}\pi D3\left(1.3\right),\]

где $D$ — диаметр шара и (так как шар описан вокруг куба), главная диагональ куба. Следовательно, нам необходимо выразить диагональ куба через его сторону. Это легко сделать, если использовать теорему Пифагора. Для вычисления диагонали куба, например, (1,5) нам сначала необходимо найти диагональ квадрата (нижнего основания куба) (1,6). Длина диагонали (1,6) равна:

\[d_{16}=\sqrt{b2+b2\ \ \ }\left(1.4\right),\]

В таком случает длина диагонали (1,5) равна:

\[{D=D}_{15}=\sqrt{b2+{(\sqrt{b2+b2\ \ \ })}2}=b\sqrt{3}\ \left(1.5\right).\]

Подставим в (1.3) найденный диаметр шара, получим:

\[V_{sh}=\frac{1}{6}\pi b3{\left(3\right)}{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\pi b3\left(1.6\right).\]

Теперь мы можем найти потоки вектора напряженности через поверхность куба, она равна:

\[Ф_{Ek}=\frac{\rho V_k}{{\varepsilon }_0}=\frac{\rho b3}{{\varepsilon }_0}\left(1.7\right),\]

через поверхность шара:

\[Ф_{Esh}=\frac{\rho V_{sh}}{{\varepsilon }_0}=\frac{\rho }{{\varepsilon }_0}\frac{\sqrt{3}}{2}\pi b3\ \left(1.8\right).\]

Найдем отношение $\frac{Ф_{Esh}}{Ф_{Ek}}$:

\[\frac{Ф_{Esh}}{Ф_{Ek}}=\frac{\frac{с}{\varepsilon_0}\frac{\sqrt{3}}{2} \pi b3}{\frac{сb3}{\varepsilon_0}}=\frac{\pi}{2}\sqrt{3}\ \approx 2,7\left(1.9\right).\]

Ответ: Поток через поверхность шара в 2,7 раза больше.

Пример 2

Задание: Докажите, что заряд проводника располагается на его поверхности.

Решение:

Используем для доказательства теорему Гаусса. Выделим в проводнике замкнутую поверхность произвольной формы около поверхности проводника (рис.2).

Рис. 2

Допустим, что заряды внутри проводника есть, запишем с теорему Остроградского — Гаусса для дивергенции поля имеем для любой точки поверхности S:

\[div\overrightarrow{E}=\frac{1}{{\varepsilon }_0}\rho \left(2.1\right),\]

где $\rho -плотность\ $внутреннего заряда. Однако поля внутри проводника нет, то есть $\overrightarrow{E}=0$, следовательно, $div\overrightarrow{E}=0\to \rho =0$. Теорема Остроградского — Гаусса в дифференциальной форме локальна, то есть, она записана для точки поля, мы специальным образом точку не выбирали, следовательно, плотность заряда равна нулю в любой точке поля внутри проводника.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/elektrostatika/teorema_ostrogradskogo_-_gaussa/

Теорема Остроградского-Гаусса

Теорема Остроградского - Гаусса

Экспериментально установленные закон Кулона и принцип суперпозиции позволяют полностью описать электростатическое поле заданной системы зарядов. Однако, свойства электростатического поля можно выразить в другой, более общей форме, не прибегая к представлению о кулоновском поле точечного заряда.

Введем новую физическую величину, характеризующую электрическое поле – поток вектора напряженности электрического поля. Понятие потока вектора аналогично понятию потока вектора скорости при течении несжимаемой жидкости.

Пусть в пространстве, где создано электрическое поле, расположена некоторая достаточно малая площадка , в пределах которой напряженность , т. е. электростатическое поле однородно.

Произведение модуля вектора на площадь и на косинус угла между вектором и нормалью к площадке называется элементарным потоком вектора напряженности через площадку (рис. 10.7):

, (10.8)

где — проекция поля нанаправление нормали .

Рассмотрим теперь некоторую произвольную замкнутую поверхность . В случае замкнутой поверхности всегда выбирается внешняя нормаль к поверхности, т. е. нормаль, направленная наружу области.

Если разбить эту поверхность на малые площадки, определить элементарные потоки поля через эти площадки, а затем их просуммировать, то в результате мы получим поток вектора напряженности через замкнутую поверхность (рис. 10.8):

. (10.9)

Рис. 10.7
Рис. 10.8

Теорема Остроградского-Гаусса утверждает: поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность прямо пропорционален алгебраической сумме свободных зарядов, расположенных внутри этой поверхности:

, (10.10)

где — алгебраическая сумма свободных зарядов, находящихся внутри поверхности , — объемная плотность свободных зарядов, занимающих объем .

Если ввести вектор электрического смещения:

, (10.11)

то теорему Остроградского-Гаусса можно выразить через поток вектора через замкнутую поверхность :

. (10.12)

Из теоремы Остроградского-Гаусса (10.10), (10.12) следует, что поток не зависит от формы замкнутой поверхности (сфера, цилиндр, куб и т.п.), а определяется только суммарным зарядом внутри этой поверхности.

Используя теорему Остроградского-Гаусса, можно в ряде случаев легко вычислить напряженность электрического поля заряженного тела, если заданное распределение зарядов обладает какой-либо симметрией.

Рассмотрим задачу о вычисленииполя тонкостенного пологооднородно заряженного длинного цилиндра радиуса (тонкой бесконечной заряженной нити). Эта задача имеет осевую симметрию. Из соображений симметрии электрическое поле должно быть направлено по радиусу. Выберем замкнутую поверхность в виде цилиндра произвольного радиуса и длины , закрытого с обоих торцов (рис. 10.9).

Для поток вектора напряженности будет проходить через боковую поверхность цилиндра, площадь которой равна , так как поток через оба основания равен нулю.

Используя теорему Остроградского-Гаусса в форме (10.10), получим:

, (10.13)

где — заряд на единицу длины цилиндра (линейная плотность заряда).

Отсюда напряженность поля:

. (10.14)

Этот результат не зависит от радиуса R заряженного цилиндра, поэтому он применим и к полю тонкой бесконечной однородно заряженной нити.

Рис. 10.9

Для расчета напряженности поля внутри заряженного цилиндра выберем замкнутый цилиндр с < . Поскольку внутри этого цилиндра заряд отсутствует, то в соответствии с (10.13), поток и поле равны нулю.

Аналогичным образом можно применять теорему Остроградского-Гаусса для расчета электрического поля и в других задачах, когда распределение зарядов обладает какой-либо симметрией, например, относительно центра, плоскости или оси.

В каждом из таких случаев выбирают форму замкнутой гауссовой поверхности, исходя из симметрии задачи. Например, в случае центральной симметрии гауссову поверхность удобно выбирать в виде сферы с центром в точке симметрии.

При осевой симметрии замкнутую поверхность выбирают в виде цилиндра, замкнутого с обоих торцов (как в рассмотренном выше примере).

Рассмотрим еще один примерсимметричного распределения зарядов – расчет поля равномерно заряженной плоскости с поверхностной плотностью заряда (заряд, приходящийся на единицу площади) (рис. 10.10).

Рис. 10.10

В этом случае гауссову поверхность S целесообразно выбрать в виде цилиндра некоторой длины, закрытого с обоих торцов. Ось цилиндра направлена перпендикулярно заряженной плоскости, а его торцы расположены на одинаковом расстоянии от нее. В силу симметрии поле равномерно заряженной плоскости везде направлено по нормали к плоскости.

Применение теоремы Гаусса дает:

, . (10.15)

Используя теорему Остроградского-Гаусса и принцип суперпозиции, можно рассчитать напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными разноименно заряженными плоскостями (поле внутри плоского конденсатора)

, (10.16)

и напряженность поля равномерно заряженной сферы радиуса на расстоянии ≥ :

(10.17)

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/6_158467_teorema-ostrogradskogo-gaussa.html

Теорема Остроградского—Гаусса

Теорема Остроградского - Гаусса

Класс: 10

Цель урока:

Теорема Остроградского–Гаусса была установлена русским математиком и механиком Михаилом Васильевичем Остроградским в виде некоторой общей математической теоремы и немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом. Данная теорема может быть использована при изучении физики на профильном уровне, так как позволяет более рационально производить расчёты электрических полей.

Для вывода теоремы Остроградского–Гаусса необходимо ввести такие важные вспомогательные понятия, как вектор электрической индукции и поток этого вектора Ф.

Известно, что электростатическое поле часто изображают при помощи силовых линий. Предположим, что мы определяем напряжённость в точке, лежащей на границе раздела двух сред: воздуха(=1) и воды (=81). В этой точке при переходе из воздуха в воду напряжённость электрического поля согласно формуле уменьшится в 81 раз.

Если пренебречь проводимостью воды, то во столько же раз уменьшится число силовых линий. При решении различных задач на расчёт полей из-за прерывности вектора напряжённости на границе раздела сред и на диэлектриках создаются определённые неудобства.

Чтобы избежать их, вводится новый вектор , который называется вектором электрической индукции:

Вектор электрической индукции равен произведению вектора на электрическую постоянную и на диэлектрическую проницаемость среды в данной точке.

Очевидно, что при переходе через границу двух диэлектриков число линий электрической индукции не изменяется для поля точечного заряда (1).

В системе СИ вектор электрической индукции измеряется в кулонах на квадратный метр (Кл/м2). Выражение (1) показывает, что численное значение вектора не зависит от свойств среды. Поле вектора графически изображается аналогично полю напряжённости (например, для точечного заряда см. рис.1). Для поля вектора имеет место принцип суперпозиции:

Поток электрической индукции

Вектор электрической индукции характеризует электрическое поле в каждой точке пространства. Можно ввести ещё одну величину, зависящую от значений вектора не в одной точке, а во всех точках поверхности, ограниченной плоским замкнутым контуром.

Для этого рассмотрим плоский замкнутый проводник (контур) с площадью поверхности S, помещённый в однородное электрическое поле. Нормаль к плоскости проводника составляет угол с направлением вектора электрической индукции (рис. 2).

Потоком электрической индукции через поверхность S называют величину, равную произведению модуля вектора индукции на площадь S и на косинус угла между вектором и нормалью :

Эта теорема позволяет найти поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность, внутри которой находятся электрические заряды.

Пусть вначале один точечный заряд q помещён в центр сферы произвольного радиуса r1 (рис. 3). Тогда ; . Вычислим полный поток индукции проходящий через всю поверхность этой сферы: ; (). Если возьмём сферу радиуса , то также Ф = q. Если проведём сферу , не охватывающую заряд q, то полный поток Ф = 0 (так как каждая линия войдёт в поверхность, а другой раз выйдет из неё).

Таким образом, Ф = q, если заряд расположен внутри замкнутой поверхности и Ф = 0, если заряд расположен вне замкнутой поверхности. Поток Ф от формы поверхности не зависит. Он также не зависит от расположения зарядов внутри поверхности.

Это значит, что полученный результат справедлив не только для одного заряда, но и для какого угодно числа произвольно расположенных зарядов, если только подразумевать под q алгебраическую сумму всех зарядов, находящихся внутри поверхности.

Теорема Гаусса:

поток электрической индукции через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме всех зарядов, находящихся внутри поверхности: .

Из формулы видно, что размерность электрического потока такая же, как и электрического заряда. Поэтому единицей потока электрической индукции служит кулон (Кл).

Примечание

: если поле неоднородно и поверхность, через которую определяют поток, не является плоскостью, то эту поверхность можно разбить на бесконечно малые элементы ds и каждый элемент считать плоским, а поле возле него однородным. Поэтому для любого электрического поля поток вектора электрической индукции через элемент поверхности есть: =. В результате интегрирования полный поток через замкнутую поверхность S в любом неоднородном электрическом поле равен: , где q – алгебраическая сумма всех зарядов, окружённых замкнутой поверхностью S. Выразим последнее уравнение через напряжённость электрического поля (для вакуума): .

Это одно из фундаментальных уравнений Максвелла для электромагнитного поля, записанное в интегральной форме. Оно показывает, что источником постоянного во времени электрического поля являются неподвижные электрические заряды.

Определим теперь с помощью теоремы Остроградского-Гаусса напряжённость поля для ряда случаев.

1. Электрическое поле равномерно заряженной сферической поверхности.

Сфера радиусом R. Пусть заряд +q равномерно распределён по сферической поверхности радиуса R. Распределение заряда по поверхности характеризуется поверхностной плотностью заряда (рис.4). Поверхностной плотностью заряда называют отношение заряда к площади поверхности, по которой он распределён. . В СИ .

Определим напряжённость поля:

а) вне сферической поверхности,
б) внутри сферической поверхности.

а) Возьмём точку А, отстоящую от центра заряженной сферической поверхности на расстоянии r>R. Проведём через неё мысленно сферическую поверхность S радиуса r, имеющую общий центр с заряженной сферической поверхностью.

Из соображения симметрии очевидно, что силовые линии являются радиальными прямыми перпендикулярными к поверхности S и равномерно пронизывают эту поверхность, т.е. напряжённость по всех точках этой поверхности постоянна по величине. Применим теорему Остроградского-Гаусса к этой сферической поверхности S радиуса r.

Поэтому полный поток через сферу равен N = E? S; N=E. С другой стороны . Приравниваем: . Отсюда: при r>R.

Таким образом: напряжённость, создаваемая равномерно заряженной сферической поверхностью, вне её такая же, как если бы весь заряд находился в её центре (рис.5).

б) Найдём напряжённость поля в точках, лежащих внутри заряженной сферической поверхности. Возьмём точку В отстоящую от центра сферы на расстоянии

Источник: https://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/532463/

Формула Остроградского-Гаусса

Теорема Остроградского - Гаусса

\(\circ\) Докажем сначала формулу Остроградского Гаусса в одном важном частном случае, когда область \(G\) еще и элементарна относительно всех трех координатных осей.

Напомним, что область \(G\) называется элементарной относительно оси \(z\), если найдутся две такие непрерывные в замыкании области \(\Omega \subset \boldsymbol{R}{2}\) функции \(\varphi(x, y)\) и \(\psi(x, y)\), что$$G = \{(x, y, z): \varphi(x, y) < z < \psi(x, y),\ (x, y) \ \in \Omega\}.onumber

$$

Применяя формулу сведения тройного интеграла к повторному, получаем$$\iiint\limits_{G} \frac{\partial R}{\partial z} (x, y, z)\ dx\ dy\ dz = \iint\limits_{\Omega} dx\ dy \int\limits_{\varphi(x, y)}{\psi(x, y)}\frac{\partial R}{\partial z} (x, y, z)\ dz =\\=\iint\limits_{\Omega} R(x, y, \psi(x, y))\ dx\ dy-\iint\limits_{\Omega} R(x, y, \varphi(x, y))\ dx\ dy =\\= \iint\limits_{\Sigma_{1}} R(x, y, z)\ dx\ dy+\iint\limits_{\Sigma_{2}} R(x, y, z)\ dx\ dy.\label{ref3}

$$

Здесь \(\Sigma_{1}\) — поверхность, являющаяся графиком функции \(\psi(x, y)\), a \(\Sigma_{2}\) — поверхность, являющаяся графиком функции \(\varphi(x, y)\).

Мы воспользовались выражением поверхностного интеграла второго рода через двойной интеграл и тем, что поверхность \(\Sigma_{1}\) ориентирована внешними к \(\partial G\) нормалями, которые составляют с осью \(z\) острый угол, а на поверхности \(\Sigma_{2}\) внешние к \(\partial G\) нормали составляют с осью \(z\) тупой угол (рис. 56.1).

Добавляя к двум поверхностным интегралам в формуле \eqref{ref3} еще равный нулю интеграл \(\displaystyle\iint\limits_{\Sigma_{3}}R\ dx\ dy\) по куску цилиндрической поверхности, построенной на \(\partial G\), и замечая, что \(\partial G = \displaystyle\bigcup_{i=1}{3}\Sigma_{i}\), получаем$$\iiint\limits_{G} \frac{\partial R}{\partial z} (x, y, z)\ dx\ dy\ dz = \iint\limits_{\partial G} R\ dx\ dy.\label{ref4}

$$

Рис. 56.

1

Аналогично, воспользовавшись элементарностью области относительно осей \(x\) и \(y\), докажем, что$$\iiint\limits_{G} \frac{\partial P}{\partial x} dx\ dy\ dz = \iint\limits_{\partial G} P\ dy\ dz,\quad \iiint\limits_{G} \frac{\partial Q}{\partial y} dx\ dy\ dz = \iint\limits_{\partial G} Q\ dz\ dx.\label{ref5}$$

Складывая равенства \eqref{ref4} и \eqref{ref5}, получим формулу \eqref{ref2}.

Примерами областей, элементарных относительно всех трех координатных осей, являются шар, куб, симплекс (фигура, получающаяся при пересечении четырех полупространств (рис. 56.2)).

Рис. 56.

2

Точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) — вершины симплекса, треугольники \(ABC\), \(ABD\), \(ACD\) и \(BCD\) — грани симплекса.

Дальнейшая схема последовательного расширения класса областей, для которых справедлива формула \eqref{ref2}, такая же, как и при доказательстве формулы Грина на плоскости.

Будем называть область \(G\) объемно односвязной, если для любой ограниченной области \(\Omega\) из условия \(\partial \Omega \subset G\) следует, что и \(\Omega \subset G\). Для простоты будем говорить просто “односвязная область”.

Формулу \eqref{ref2} теперь можно обобщить на ограниченную односвязную область \(G\) с кусочно гладкой границей, которая кусочно гладкой перегородкой делится на две области, \(G_{1}\) и \(G_{2}\), элементарные относительно всех трех координатных осей.

При этом \(\partial G_{1} = \Sigma_{1} \cup \Sigma_{3}\), \(\partial G_{2} = \Sigma_{2} \cup \Sigma_{3}{-}\), \(\partial G = \Sigma_{1} \cup \Sigma_{2}\).

Если \(\partial G_{1}\) и \(\partial G_{2}\) ориентированы внешними нормалями, то \(\Sigma_{3}\) и \(\Sigma_{3}{-}\) ориентированы противоположно (рис. 56.3).

Рис. 56.

3

Применяя формулу \eqref{ref2} к каждой из областей \(G_{1}\) и \(G_{2}\), получаем$$\iiint\limits_{G_{1}} \operatorname{div}\ \boldsymbol{a}\ dx\ dy\ dz = \iint\limits_{\partial G_{1}} (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{n})\ dS = \iint\limits_{\Sigma_{1}} (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{n})\ dS+\iint\limits_{\Sigma_{3}} (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{n})\ dS,onumber$$$$\iiint\limits_{G_{2}} \operatorname{div}\ \boldsymbol{a}\ dx\ dy\ dz = \iint\limits_{\partial G_{2}} (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{n})\ dS = \iint\limits_{\Sigma_{2}} (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{n})\ dS+\iint\limits_{\Sigma_{3}{-}} (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{n})\ dS.onumber

$$

Складывая эти формулы и учитывая, что потоки через перегородку взаимно уничтожаются, получаем формулу \eqref{ref2} для области \(G\).

Далее индукцией формула \eqref{ref2} распространяется на односвязные области с кусочно гладкой границей, которые при помощи \(n\) непересекающихся гладких перегородок разбиваются на области, элементарные относительно всех трех координатных осей.

Примером таких областей являются выпуклые многогранники, возникающие как пересечение конечного числа полупространств. Их всегда можно представить как объединение симплексов.

Можно распространить формулу \eqref{ref2} и на произвольные многогранники — связные множества в \(\boldsymbol{R}{3}\), являющиеся объединением конечного числа симплексов, причем два симплекса могут пересекаться только по одной из граней и каждая грань может быть общей не более чем для двух симплексов.

Предельный переход от многогранников к произвольной односвязной области с кусочно гладкой границей требует преодоления некоторых нетривиальных технических трудностей. \(\bullet\)

Источник: https://univerlib.com/mathematical_analysis/field_theory/ostrogradsky_gauss_formula/

Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля

Теорема Остроградского - Гаусса

Электростатическое поле – это особый вид материи, с помощью которой происходит взаимодействие заряженных тел.

Закон Кулона:сила взаимодействия F между двумя неподвижными точечными зарядами q1 и q2 прямопропорциональна величинам этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними:

, где (e0 – электрическая постоянная);

e – диэлектрическая проницаемость среды, показывающая во сколько раз сила взаимодействия зарядов в данной среде меньше, чем в вакууме.

Элект­рические поля, которые создаются неподвижными электрическими зарядами, называ­ются электростатическими.

Напряженность электростатического поля в данной точке есть физическая величина , определяемая силой, действующей на пробный точечный положительный заряд q0 , помещенный в эту точку поля, то есть:

.

Электростатическое поле может быть изображено графически с помощьюсиловых линий.Силовая линия — это такая линия, касательная в каждой точке к которой совпадает по направлению с вектором напряженности электростатическго поля в данной точке (рис. 1, 2).

Если поле создается точечным зарядом, то силовые линии – это радиальные прямые, выходящие из положительного заряда (рис. 2, а), и входя­щие в отрицательный заряд (рис. 2, б).

Рис. 1 Рис. 2

С помощью силовых линий можно характеризовать не только направление, но и величину напряженности электростатического поля, связывая ей с густотой силовых линий. Большей густоте силовых линий соответствует большая величина напряженности (рис. 1, 2).

Количественно числу силовых линий, прони­зывающих единичную площадку, расположенную перпендикулярно силовым линиям, ставится в соответствие величина напряженности электростатического поля.

В этом случае определенному заряду q, создающему поле, соответствует определенное число N силовых линий, выходящих (для ) из заряда или входящих (для ) в заряд, а именно: .

Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную площадку S характкризуется числом силовых линий, пронизывающих данную площадку S.

Если площадка S перпендикулярна силовым линиям (рис. 3), то поток ФЕ вектора напряженности через данную площадку S : .

Рис. 3 Рис. 4

Если же площадка S расположена неперпендикулярно силовым линиям электро-статического поля (рис. 4), то поток вектора через данную площадку S :

,

где α – угол между векторами напряженности и нормали к площадке S.

Для того, чтобы найти поток ФЕ вектора напряженности через произвольную поверхность S, необходиморазбить эту поверхность на элементарные площадки dS (рис. 5),определить элементарный поток dФЕ через каждую площадку dS по формуле:

,

а затем все эти элементарные потоки dФЕ сложить, что приводит к интегрированию:

,

где α – угол между векторами напряженности и нормали к данной элементарной площадке dS .

Если ввести вектор (рис. 5) как вектор, равный по величине площади площадки dS и направленный по вектору нормали к площадке dS , то величина , где a – угол между векторами и может быть записана в виде скалярного произведения векторов и , то есть, как , а полученное соотношение для потока вектора примет вид:

.

Теорема Остроградского — Гаусса для электростатического поля.

Теорема Остроградского — Гаусса для электростатического поля связывает между собой величину потока ФЕ вектора напряженности электростатического поля в вакууме через произвольную замкнутую поверхность S с величинойзаряда q, заключенного внутри данной замкнутой поверхности S (рис. 6).

Поскольку все силовые линии, выходящие из заряда (для ) или входящие в заряд (для ), пронизываютпроизвольную замкнутую поверхность S, охватывающую этот заряд (рис. 6), то величина потока ФЕ вектора через эту поверхность S будет определяться числом N силовых линий выходящих из заряда (для ) или входящих в заряд (для ):

.

Это соотношение есть теорема Остроградского-Гауссадля электростатического поля.

Таккак поток считается положитель­ным, если силовые линии выходят из поверхности S, и отрицательным для линий, входящих в поверхность S, то в случае, если внутри произвольной замкнутой поверхности S находится не один, а несколько (n) разноименных зарялов, то теорема Остроградского — Гаусса для электростатического поля формулируется следующим образом:

поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме через произ­вольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на e0:

.

Тема 2. Работа сил электростатического поля. Потенциал

Если в электростатическом поле, создаваемом точечным зарядом q, перемещается другой пробный заряд q0из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории (рис. 7), то при этом совершается работа сил электростатического поля.

Элементарная работа dA силы на элементарном перемещении равна: .

Из рисунка 7 видно, что .

Тогда ( ).

Работа А при перемещении заряда q0 вдоль траектории от точки 1 до точки 2:

, то есть работа при перемещении заряда из точки 1 в

точку 2 в электростатическом поле не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной и конечной точек. Поэтому электростатическое полеточечного заряда является потенциальным.

Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда q0из точки 1 в точку 2, выражается следующим образом:

,

где φ1 и φ2потенциалы электростатического поля в точках 1 и 2.

Потенциал электростатического поля определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной С, то есть для поля точечного заряда q:

.

Тогда , .

Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом поле определяется работой, совершаемой силами электростатического поля, при перемещении пробного точечного заряда q0из точки 1 в точку 2 :

.

Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля

Напряженность и потенциал φ электростатического поля связаны между собой следующим образом:

= – grad φ

или , где

– единичные векторы координатных осей Ох, Оy, Оz, соответственно.

Знак минус в приведенной формуле означает, что вектор напряженности электростатического поля направлен в сторону максимального убывания потенциала j .

Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля используютсяэквипотенциальные поверхности,то естьповерхности, во всех точках которых потенциал j имеет одно и то же значение.

Например, для поля, созданного точечным зарядом q, потенциал j определяется выражением: , а эквипотенциальными поверхностями являются кон­центрические сферы (рис. 8).

Из этого рисунка видно, что в случае точечного заряда силовые линии поля (штриховые линии на рисунке) нормальны (перпендикулярны) к эквипотенциальным поверхностям (сплошные линии на рисунке).

Это свойство нормального взаимного расположения силовых линий и эквипотенциальных поверхностей электростатического поля является общим для любых случаев электростатического поля.

Таким образом, зная расположение силовый линий электростатического поля, можно построить эквипотенциальные поверхности этого электростатического поля и, наоборот, по известному расположению эквипотенциальных поверхностей электростатического поля можно построить силовые линии электростатического поля.

Магнитное поле

Тема 3. Магнитное поле. Закон Био-Савара-Лапласа

Электрический ток создает поле, действующее на магнитную стрелку. Стрелка ориентируется по касательной к окружности, лежащей в плоскости, перпендикуляной к проводнику с током (рис. 9).

Основной характеристикой магнитного поля является вектор индукция . Принято, что вектор индукция магнитного поля направлен в сторону север-ного полюса магнитной стрелки, помещенной в данную точку поля (рис. 9).

По аналогии с электрическим полем, магнитное поле также может быть изображено графически с помощью силовых линий (линий индукции магнитного поля).

Силовая линия – это такая линия, касательная к которой в каждой точке совпадает по направлению с вектором индукции магнитного поля.

Силовые линии магнитного поля, в отличие от силовых линий электростатического поля, являются замкнутыми и охватывают проводники с током.

Направление силовых линий задается правилом правого винта (правилом буравчика): головка винта, ввинчиваемого по направлению тока, враща­ется в направлении линий Рис. 9

магнитной индукции (рис. 9).

Для нескольких источников магнитного поля согласно принципу суперпозиции магнитных полей индукция результирующего магнитного поля равна векторной сумме индукций всех отдельных магнитных полей:

.

Вектор индукции магнитного поля, создаваемого проводником с током , можно определить с помощью закона Био-Савара-Лапласа.При этомнеобходимо учесть то, что закон Био-Савара-Лапласапозволяет найти модуль и направление лишьвектора индукции магнитного поля, создаваемого элементом проводника с током .

Поэтому для определения вектора индукции магнитного поля, создаваемого проводником с током , необходимо первоначально разбить этот проводник на элементы проводника , для каждого элемента с помощью закона Био-Савара-Лапласа найти вектор индукции , а затем, используя принцип суперпозиции магнитных полей, сложить векторно все найденные вектора индукции .

Закон Био-Савара-Лапласав векторной форме:

,

где – индукция магнитного поля в точке M, заданной радиусом-вектором , проведенным от начала вектора до этой точки (рис. 10);

– векторное произведение векторов и ;

– магнитная постоянная,

– магнитная проницаемость среды.

Направление вектора перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и , (рис. 10), и совпадает с касательной к силовой линии магнитного поля. Это направление может быть найдено по правилу правого винта: направление враще­ния головки винта дает направление вектора , если поступательное движение винта соответ­ствует направлению тока в элементе проводника.

В скалярном виде закон Био-Савара-Лапласа:

,

где – угол между векторами и .

Магнитное поле линейного тока.Для нахождения величины индукции магнитного поля, созданного прямым проводником с током бесконечной длины (рис. 11), необходимо разбить весь проводник на элементы , для каждого элемента проводника с током I найти вектор индукции , а затем векторно сложить все найденные .

В произвольной точке М, удаленной от оси проводника на расстояние b, векторы от всех элементов тока имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа («к нам»). Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей, в результате чего получено следующее выражение для модуля вектора в точке М:

.

Предыдущая12345678910Следующая

Дата добавления: 2016-01-29; просмотров: 6041; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

ПОСМОТРЕТЬ ЁЩЕ:

Источник: https://helpiks.org/6-69249.html

Теорема Остроградского – Гаусса

Теорема Остроградского - Гаусса

Строгий вывод теоремы Остроградского – Гаусса довольно сложен, мы сделаем ее вывод для частного случая, который достаточно убедительно поддается обобщению.

Теорема Остроградского – Гаусса позволяет определить поток вектора напряженности от любого количества зарядов.

Для начала определим поток вектора напряженности через шаровую поверхность, в центре которой будет располагаться точечный заряд.

По формуле, которая была рассмотрена в более ранней статье (формула 1), при En = Ecos α, для шаровой поверхности (cos α = 1) поток вектора напряженности будет иметь вид:

Использовав формулу напряженности (формула 4) найдем:

Отсюда следует, что из каждого точечного заряда выходит поток вектора напряженности, который равен значению q/εε0.

Из обобщения данного положения выводится теорема Остроградского – Гаусса для общего случая – полный поток вектора напряженности через замкнутую произвольной формы поверхность равен алгебраической сумме электрических зарядов, заключенных внутри этой поверхности, поделенной на абсолютную диэлектрическую проницаемость εа = εε0, то есть:

Где: n – количество зарядов, qi – заряд, заточенный внутри поверхности.

В системе Гаусса данное уравнения будет иметь вид:

Для потока вектора электрического смещения ND (вектора индукции) можно получить аналогичную формулу:

То есть, поток индукции через замкнутую произвольную поверхность равен алгебраической сумме электрических зарядов, которые охватываются этой поверхностью.

Если взять какую-то замкнутую поверхность, которая не охватывает заряд q, то каждая линия напряженности (или индукции) будет пересекать ее дважды – один раз она войдет в поверхность, а другой раз выйдет из нее. Из – за этого явления алгебраическая сумма линий индукции, проходящих через замкнутую поверхность, количество которых определяет полный поток индукции ND через эту поверхность будет равна нулю (ND = 0).

Прежде чем рассмотреть несколько частных случаев применения теоремы Остроградского – Гаусса для определения напряженностей различных электростатических полей, введем понятие о плотности зарядов.

Линейная плотность заряда – это физическая величина, которая характеризует распределение заряда вдоль линии (нити) или тонкого цилиндрического тела и численно равная отношению заряда к длине элемента нити:

А при равномерном распределении заряда по всей длине линейная плотность:

В СИ единицей измерения линейной плотности заряда τ будет 1 Кл/м.

Если заряд dq распределен по какому-то объему dV, то очевидно, что объемная плотность заряда будет численно равна соотношению заряда к элементу объема:

А при равномерном распределении заряда:

В системе СИ измеряется в 1 Кл/м3.

В случаях, когда заряд dq распределяется по поверхности dS и глубина его проникновения пренебрежительно мала, то поверхностная плотность заряда будет определена соотношением:

А в случае если заряд q по площади S распределен равномерно, то:

В системе СИ поверхностная плотность измеряется в Кл/м2.

Давайте вычислим напряженность электростатического поля, которое создано равномерно заряженной сферической поверхностью.

Предположим, что сферическая поверхность имеет радиус R и равномерно распределенный заряд q, то есть поверхностная плотность σ в любой точке сферы будет одинакова.

Выберем точку А, которая находится от центра сферы на расстоянии r (рисунок ниже):

Через точку А мысленно проведем новую сферическую поверхность S, симметричную заряженной сфере.

В данном случае через поверхность S поток вектора напряженности будет равен:

По теореме Гаусса NE = q/εε0. Отсюда следует, что при r>R:

Если сравнить данное соотношение с формулой напряженности поля точечного заряда, можно сделать вывод, что вне заряженной сферы напряженность поля такова, как если бы весь имеющийся заряд сферы был сосредоточен в ее центре.

Для точек, которые находятся на поверхности заряженной сферы с имеющимся радиусом R, по аналогии с уравнением (7) можно записать:

Если провести через точку В, которая находится внутри сферической заряженной поверхности, сферу S/ с радиусом r/R.

Через эту поверхность поток вектора напряженности будет равен:

По теореме Гаусса:

Приравняв правые части этих уравнений получим:

Из формулы (4а) находим, что линейная плотность заряда цилиндра равна:

Использовав это равенство, найдем:

Теперь давайте определим напряженность поля, которое создается равномерно заряженной бесконечной плоскостью.

Если предположить, что данная плоскость имеет бесконечную протяженность и заряд на единицу плоскости равен σ. Из законов симметрии следует вывод, что поле направлено всюду перпендикулярно плоскости, и если не существует никаких других внешних зарядов, то одинаковыми по своей величине должны быть поля по обе стороны плоскости.

Если ограничить часть заряженной плоскости 1 воображаемым прямоугольным ящиком 2 (Гауссова поверхность) таким образом, чтобы ящик был рассечен пополам (рисунок ниже).

Обе грани ящика, которые имеют определенную площадь S, должны быть расположены параллельно заряженной плоскости. Вектору Е равен суммарный поток вектора напряженности, умноженному на площадь первой грани S, плюс поток вектора Е через противоположную грань. Через остальные грани поток напряженности будет равен нулю, так как их не пересекают линии напряженности.

Повторив предыдущие рассуждения и применив теорему Остроградского – Гаусса, получим следующее выражение:

Но Е = Е1 = Е2. В таком случае напряженность поля бесконечной равномерной плоскости будет равна:

Координаты точки, в которой определяется напряженность поля, не входят в формулу (12). Отсюда следует вывод, что в бесконечной равномерно заряженной плоскости электростатическое поле будет однородным, а его напряженность в любой точке поля одинакова.

И, наконец, давайте определим напряженность поля, которое создается двумя бесконечными параллельными плоскостями, с одинаковыми плотностями и разноизменно заряженными.

Из рисунка выше видно, что между двумя бесконечными параллельными плоскостями, имеющими поверхностные плотности зарядов –σ и +σ, напряженность поля равна сумме напряженностей полей, которые создаются обеими пластинами, то есть:

Векторы Е вне пластин направлены противоположно друг другу и взаимно уничтожаются. Поэтому напряженность электрического поля в пространстве, которое окружает пластины, будет равно нулю (Е = 0).

Источник: https://elenergi.ru/teorema-ostrogradskogo-gaussa.html

Booksm
Добавить комментарий