Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля

Теорема о циркуляции вектора

Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля

Предыдущая123456789101112Следующая

Циркуляцией вектора по задан­ному замкнутому контуру L называется следующий интеграл по этому контуру:

где — элемент длины контура, направленный вдоль обхода контура; — составляющая вектора в направлении касательной к контуру, с учетом выбранного направления обхода; α — угол между векторами и .

Теорема о циркуляции вектора(закон полного магнитного поля в вакууме): циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:

где — число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы.

Эта теорема справедлива только для поля в вакууме, поскольку для поля в веществе надо учитывать молекулярные токи. Каждый ток учитывается столько раз, сколько он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.

Пример: магнитное поле прямого тока.

Замкнутый контур представим в виде окружности радиуса . В каждой точке этой окружности вектор одинаков по модулю и направлен по касательной к окружности:

, отсюда

Сравним выражения для циркуляции векторов .

,

Принципиальное различие между этими формулами в том, что циркуляция вектора электростатического поля всегда равна нулю. Такое поле является потенциальным. Циркуляция вектора магнитного поля не равна нулю. Такое поле называется вихревым или соленоидальным.

19.Магнитное поле соленоида.

Соленоидомназывается свернутый в спираль изолированный проводник по которому течет электрический ток. Рассмотрим соленоид длиной l, имеющий N витков. Циркуляция вектора по замкнутому контуру ABCDA. охватывающему все N витков, равна

На участках АВ и CD контур перпендикулярен линиям магнитной индукции, следовательно Вi = 0.

Можно показать, что вне бесконечного соленоида магнитное поле B = 0 (удалив участок СВ на бесконечность, где магнитное поле соленоида равно нулю, поскольку магнитное поле каждого витка соленоида уменьшается с расстоянием ).

На участке DA контур совпадает с линией мапнитной индукции, внутри соленоида поле однородно ( ), поэтому

Магнитная индукция (бесконечного) соленоида в вакууме:

20.Магнитное поле тороида в вакууме.

Тороидом— называется кольцевая катушка с витками, намотанными на сердечник, имеющий форму тора, по которой течет ток.

Магнитное поле отсутствует вне тороида, а внутри его оно является однородным.

Линии магнитной индукции, как следует из соображений симметрии, есть окружности, центры которых расположены на оси тороида.

В качестве контура выберем одну такую окружность радиуса г. По теореме о циркуляции , где N—число витков тороида. Отсюда

21.Поток вектора магнитной индукции.

Потоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) через площадку dS называется скалярная физическая величина, равная

где — проекция вектора на направление нормали к площадке dS, α — угол между векторами и , — вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с направлением нормали к площадке.

Поток вектора может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от знака .

Поток вектора связывают с контуром по которому течет ток. Положительное направление нормали к контуру связано с направлением тока по правилу правого винта. Поэтому магнитный поток, создаваемый контуром с током через поверхность, ограниченную им самим, всегда положителен

Поток вектора магнитной индукции через произвольную поверхность S:

Если поле однородно и перпендикулярно ему расположена плоская поверхность с площадью S, то

Единица магнитного потока — вебер (Вб): 1 Вб — магнитный поток, проходящий сквозь плоскую поверхность площадью 1м2, расположенную перпендикулярно однородному магнитному полю, индукция которого равна 1Тл (1 Вб=1 Тл*м2).

22. Теорема Гаусса для магнитного поля в вакууме

Поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:

Эта теорема отражает факт отсутствия магнитных зарядов, вследствие чего линии магнитной индукции не имеют ни начала ни конца и являются замкнутыми.

23. Потокосцепление.

Магнитный поток через поверхность, ограниченную замкнутым контуром, называется потоносцеплениемΨ этого контура.

Потокосцепление контура, обусловленное магнитным полем тока в самом этом контуре, называется потокосцеплением самоиндукции.

Например, найдем потокосцепление самоиндукции соленоида с сердечником с магнитной проницаемостью μ. Магнитный поток сквозь один виток соленоида площадью S равен . Полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида равен:

Потокосцепление контура, обусловленное магнитным полем тока, идущего в другом контуре, называется потокосцеплением взаимной индукции этих двух контуров.

24. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле.

Проводник длиной l (он может свободно перемещаться) с током I находится в однородном магнитном поле (см. рисунок). Поле направлено перпендикулярно плоскости рисунка — из-за чертежа. Сила Ампера F=IBl.

Под ее действием проводник переместился из положения 1 в положение 2.

Работа, совершаемая магнитным полем:

Использованы соотношения:

— площадь, пересекаемая проводником при его перемещении в магнитном поле; — поток вектора магнитной индукции, пронизывающий эту площадь. Таким образом,

Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимся проводником.

25. Работа по перемещению контура с током в магнитном поле.

Магнитное поле направпено перпендикулярно плоскости рисунка — за чертеж. Работа dA сил Ампера при перемещении контура ABCDA равна сумме работ по перемещению проводников и ,т.е.

При перемещении участка CDA силы Ампера направлены в сторону перемещения (образуют с направлением перемещения острые углы), поэтому > О

Силы, действующие на участок ABC контура, направлены против перемещения (образуют с направлением перемещения тупые углы), поэтому

В сумме

, или , или

Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, сцепленного с контуром (или на его потокосцепление).

Предыдущая123456789101112Следующая .

Источник: https://mylektsii.ru/3-19489.html

Токи смещения. Теорема о циркуляции магнитного поля переменных токов

Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля

Ток смещения или абсорбционный ток — величина, прямо пропорциональная скорости изменения электрической индукции.

Если переменное магнитное поле создает поле электрическое, то разумно предположить существование и обратного процесса: изменяющееся электрическое поле порождает поле магнитное. Такое явление действительно существует и носит не совсем обычное название ток смещения

По Максвеллу ток проводимости замыкается в конденсаторе током смещения

Точная формулировка

В вакууме, а также в любом веществе, в котором можно пренебречь поляризацией либо скоростью её изменения, током смещения (с точностью до универсального постоянного коэффициента) называется[3] поток вектора быстроты изменения электрического поля через некоторую поверхность[4] :

(СИ)

(СГС)

В диэлектриках (и во всех веществах, где нельзя пренебречь изменением поляризации) используется следующее определение:

(СИ)

(СГС),

где D — вектор электрической индукции (исторически вектор D назывался электрическим смещением, отсюда и название «ток смещения»)

Соответственно, плотностью тока смещения в вакууме называется величина

(СИ)

(СГС)

а в диэлектриках — величина

(СИ)

(СГС)

Теорема о циркуляции магнитного поля

Циркуляция магнитного поля постоянных токов по всякому замкнутому контуру пропорциональна сумме сил токов, пронизывающих контур циркуляции.

Теорема о циркуляции утверждает, что циркуляция вектора В магнитного поля постоянных токов по любому контуру L всегда равна произведению магнитной постоянной μ0на сумму всех токов, пронизывающих контур:

Циркуляцией вектора магнитной индукции В по заданному контуру называется интеграл

Система уравнений Максвелла.

Уравне́ния Ма́ксвелла — система уравнений в дифференциальной или интегральной форме, описывающих электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и сплошных средах.

Вместе с выражением для силы Лоренца, задающим меру воздействия электромагнитного поля на заряженные частицы, образуют полную систему уравнений классической электродинамики, называемую иногда уравнениями Максвелла — Лоренца.

Дифференциальная форма

Уравнения Максвелла представляют собой в векторной записи систему из четырёх уравнений, сводящуюся в компонентном представлении к восьми (два векторных уравнения содержат по три компоненты каждое плюс два скалярных) линейным дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка для 12 компонент четырёх векторных функций ( ):

Название СГС СИ Примерное словесное выражение
Закон Гаусса Электрический заряд является источником электрической индукции.
Закон Гаусса для магнитного поля Не существует магнитных зарядов
Закон индукции Фарадея Изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле.
Теорема о циркуляции магнитного поля Электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле

Жирным шрифтом в дальнейшем обозначаются векторные величины, курсивом — скалярные.

Введённые обозначения:

· — плотность стороннего электрического заряда (в единицах СИ — Кл/м³);

· — плотность электрического тока (плотность тока проводимости) (в единицах СИ — А/м²); в простейшем случае — случае тока, порождаемого одним типом носителей заряда, она выражается просто как , где — (средняя) скорость движения этих носителей в окрестности данной точки, — плотность заряда этого типа носителей (она в общем случае не совпадает с )[29]; в общем случае это выражение надо усреднить по разным типам носителей;

· — скорость света в вакууме (299 792 458 м/с);

· — напряжённость электрического поля (в единицах СИ — В/м);

· — напряжённость магнитного поля (в единицах СИ — А/м);

· — электрическая индукция (в единицах СИ — Кл/м²);

· — магнитная индукция (в единицах СИ — Тл = Вб/м² = кг•с−2•А−1);

· — дифференциальный оператор набла, при этом:

означает ротор вектора,

означает дивергенцию вектора.

Интегральная форма

При помощи формулы Остроградского — Гаусса и теоремы Стокса дифференциальным уравнениям Максвелла можно придать форму интегральных уравнений:

Название СГС СИ Примерное словесное выражение
Закон Гаусса Поток электрической индукции через замкнутую поверхность пропорционален величине свободного заряда, находящегося в объёме , который окружает поверхность .
Закон Гаусса для магнитного поля Поток магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю (магнитные заряды не существуют).
Закон индукции Фарадея Изменение потока магнитной индукции, проходящего через незамкнутую поверхность , взятое с обратным знаком, пропорционально циркуляции электрического поля на замкнутом контуре , который является границей поверхности .
Теорема о циркуляции магнитного поля Полный электрический ток свободных зарядов и изменение потока электрической индукции через незамкнутую поверхность пропорциональны циркуляции магнитного поля на замкнутом контуре , который является границей поверхности .

Введённые обозначения:

· — двумерная замкнутая в случае теоремы Гаусса поверхность, ограничивающая объём , и открытая поверхность в случае законов Фарадея и Ампера — Максвелла (её границей является замкнутый контур ).

· — электрический заряд, заключённый в объёме , ограниченном поверхностью (в единицах СИ — Кл);

· — электрический ток, проходящий через поверхность (в единицах СИ — А).

При интегрировании по замкнутой поверхности вектор элемента площади направлен из объёма наружу. Ориентация при интегрировании по незамкнутой поверхности определяется направлением правого винта, «вкручивающегося» при повороте в направлении обхода контурного интеграла по .



Источник: https://infopedia.su/3x82b4.html

����� ���-������ � ������� � ���������� ������� ��������� ��������

Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля

� 1820 ����, ����������� ������ ��� ������ ��� � ������ �����, � ���� ����������� ���������� ������������� �� �������� ��������� ����� ���������� �����, ���������� ����������, ��� ��������� �������� �������� �� ���������� ����������� ���� ����� ������� ����������� ������ �������� ���� �������� ������� ���������� � �����. ��� ������, ��� ��������� ���� ����������� �������� ������������ (�������� ��������� �����).

��������� ����, ��������� ������� ����������� � ���������� �����, ����� ����� ��������� ��������, ��� �� �������� ������������ ��� ��������� ����� ��������� ��������, ����������� ������ ����������� �������������.

�� ����, �������� � ���������� � ���������� ����� ����� ����������� ����������� ��������� ������ ������������ �������� dB, ������������� ������������ �������� dl ���������������� ���������� � ���������� ����� I.

����������� ��������� �������� ������������ ������� ���������� � ���������� �����, ���� ���������� ��� ������ �������. �� ����� �������� ����� ��������� ��������, ����������� �����������, �� ���� ����������� ����� ������������� ��������� ������� ����������.

����� �������, ����� ���-������ ��������� ����� �������� ��������� �������� � �� ������� (��������� ����� dl) ����������, � �������� ���������� ����� I, �� ������������ ���������� r �� ����� ������� ���������� � � ������������ ����������� ���������� �� ���������� ������� (�������� ����� ����� ���� ����� ������������ ���� � ������������ �� ������� ���������� � ����������� ����� ������������ ����� ����������):

���������������� �����������, ��� ����������� ������� ��������� �������� � ��������� ������������ �������� ������� ����� ��� ���������: ���� ����������� ��������������� �������� ��������� ��� ��� �������� ��������� � ������������ ����������� ���� I � ����������, �� ����������� �������� �������� ��������� ���������� ����������� ������� ��������� �������� B, ���������� �� ������� ����.

��������� ���� �������������� ���������� � �����, � ����� ����������� ���������� ������ ���-������ � ����, ������������ �� �������:

����, ���� ����������������, �� ���� �������, ������ ������� �� ��������� �������� ������� ���������� � ���������� ����� � ����� ��������� ����, �� ��������� ������� ��� ���������� �������� ���������� ���� ���������� � ����� �� ������������ ������� R �� ����.

����� �� �������, ��� ������ ������ ���-������, ����� ������������ ��������� �������� �� ���������� ����� ������������� ������������ � � ������������ ������ ������������, �������� ��������� �������� � ������ �������� ����� � ����� ��������� �� ��������� �������:

����������� ������� ��������� �������� ����� ��������� �� ������� ���������, ������ ������ �������� ����� ������� �� ����������� ���������� ����, � �������������� �������� ��������� ������� ����������� ������� ��������� ��������.

����� ������� ���������� ���������� ���� ����� ���������, ���� ������� �� �������� ��������� ������������ �����, ������ ���� �����������. ����� ����� ������������ �������� � ���������� ������� ��������� �������� (��� ������� ������ � ��������������). ��� ����� ����������� ������� ��������� ��������?

������� � ������������ ����� ��������� ������ ������������ �����, � ������ ������� ������������� ����������� ��� ������.

��� ������ ����� ������� ������� ����� ����� �������� ������� ��������� �������� � �� ����������� � ������� � ������ �����.

����� ����� ������������ ������ ������� �� ������������ ����� ���� �������� ������� � ��� � ����� ���������� ������� ��������� �������� � �� ������� �������:

�����������, ��� ����, ��������� ����� ��������� ��������� ����, ����� ���� ����������� ��������������� ������, ���� ��������� �� ��� ����� ���� �� ��� ���������.

�������� ������� � ����������: ���������� ������� ��������� �������� � ���������� ����� �� ���������� ������� �������� ����� ������������ ��������� ���������� ��0 �� ����� ���� ���������� �����, ������ ������ �������������.

��� ������� ������������� ����� ���� ����� � 1826 ����:

���������� ����������� ���� �������. ����� ���� I1 � I2 ����������� ������, �� ���������� ��� � ������ �������, ������ ����� ������� ������ �����. ������������� ���� ����� ����� ��� ���, ����������� ��������� �������� � �������� (�� ������� ���������) ��������� � ������������ ������ ���������� �������. ��� ������ �������� ������� � ���������� ������ ���:

� ����� ���� ������� � ���������� ������� ��������� �������� B ������� �� �������� ������������ ���������� ���� � ������ ���-������.

��� ������� ������� ������� ��� ��������� �������� ������� ���������� � ���������� �����. ������� ������ � ����� ����������, ������ ����� ������� �������� ������ ���������, ������ ��������� ��������������� ��������� �������.

����� �������, ����� ���������� ����� ����� �� ������ ����������, �� ���� � ����������. ��������� ������� ������������, �� ������ � ��������� �� ����������� � ����������, � ��� �������� �� �����������, ��������������, ����� ���� � �� �� � ����� ����� ������ ������� �. ������� � ���������� ��������� ���:

������ � ������� ������� ��� ��������� �������� �������������� ���������� � ���������� ����� (������ ������� ��� ���� ��������� ����). �������� ������� � ������� ������� � ���������� ����� ����� �������� ��������� �������� ������������ ������������ ���������� �����, ��� ������� ������� ����� �������������� �����.

����� �� ����������� ������ �������� ���������� ������� � ���������� �������� ���������� ���������� ���� ������ ������������ ������� �������������.

��������, ������� ������������ �������, ���������� ����� � ����� �� ��������� ������ � ����� �������, � ������ ������ N. ����� ��������� �������� ��� ����� ������������ ���������� ������ ������� � �� ����� ������������ ����� ��������������� (���� � ������) ����������.

���� �������� ����� �� ����������� ������� ��������� �������� �� ���������� ��� �������, �� ��������, ��� ��� ��������� ����� �� ������� ������� (� ������������ � �������� ���������). ���������� ���� �� ����� (�������� ������� ������) ��������� �������� ������ �������, � ������� �� � �������� �������� ������� �������� r. ����� ������� � ���������� ��� ������� ������� ��������� ���:

� ��������� �������� ���� ������ ������� ����� �����:

��� ������ ������������ �������, ��� ��������� ���� ����������� ��������� �� ����� �� �������, ����� �������� ��������� ��������� �������� ������ ��� ���������� �������� ��������� � ������ ����� ������ �� ������� ����� � n:

���������� ������ ���������� ������� ��������, ��� ��������� ���� ��������� ��������� ������. �������� ������� � ���������� � ���������� �������������� �������.

����� ������ ��������� �������� ���� �������� �� ���� �������� ������ �� ������� 2 (�� ����� ����� L). ����������� �������� n — ������ ������ �� ������� ������, ������� ����� ��� ������� � ����������, ������� � ����� ���������� � ������ �� ����, ��� � ��� ����� ������ ������������ �������:

Источник: http://ElectricalSchool.info/spravochnik/electroteh/2111-zakon-bio-savara-i-teorema-o-cirkulyacii.html

Physics1 — Стр 3

Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля

Вопрос40. Свободные незатухающие электромагнитные колебания в колебательном контуре. Дифференциальное уравнение незатухающих колебаний, его решение и анализ (закон сохранения энергии).

Свободные незатухающие электромагнитные колебания можно получить в электрической цепи, состоящей из последовательно соединенных конденсатора емкостью С, катушки индуктивностью L и резистора сопротивлением R:

Такую электрическую цепь называют колебательным контуром, потому что в ней могут происходить периодические изменения электрического заряда и разности потенциалов на обкладках конденсатора, а также электрического тока в цепи.

Периодические колебания перечисленных физических величин достаточно вызвать даже при кратковременном подключении конденсатора колебательного контура к источнику постоянного тока.

Однако, из-за потерь электрической энергии, связанной с нагреванием катушки и резистора, имеющих электрическое сопротивление R, колебания в контуре будут затухающими.

Свободные незатухающие электромагнитные колебания можно получить только в идеализированном случае, когда можно пренебречь электрическим сопротивлением (R 0) контура. Такие свободные незатухающие колебания называют еще собственными электромагнитными колебаниями. Можно доказать, что в колебательном контуре происходят гармонические колебания заряда, согласно закону: , (1) или , (2)

где : q — мгновенное значение заряда конденсатора; q0 — амплитудное значение электрического заряда; w0 — собственная частота колебаний в контуре.

Форма записи (через cos или sin) не имеет значения, так как отличие будет определяться лишь начальными условиями, а именно различной начальной фазой колебаний.

Зная связь между зарядом конденсатора и разностью потенциалов на его обкладках: С=q/U, (3) можно аналогично записать гармонические колебания разности потенциалов: U=U0cos(w0t) , (4) или U=U0sin(w0t+pi/2), (5) где: U — мгновенное значение напряжения на обкладках конденсатора;

U0 — амплитудное значение напряжения; w0 — собственная частота колебаний в контуре.

Продифференцировав (1)получим, Сила тока является первой производной от электрического заряда по времени:I=q/t .

(6) Поэтому гармонические колебания силы тока в колебательном контуре будут происходить по закону: i=I0sin(w0t)=I0cos(w0t+pi/2), (7) где: i — мгновенное значение тока в контуре;

I0 = q0 w0 — амплитудное значение тока; w0 — собственная частота колебаний в контуре.

Циклическая частота w0 называется собственной частотой электромагнитных колебаний, она зависит только от параметров колебательного контура, а именно — от емкости конденсатора С и индуктивности L: . (8) Период собственных электромагнитных колебаний, соответственно, вычисляется по формуле: . (9)

Эта формула была впервые получена английским ученым В.Томсоном и называется формулой Томсона.

Физические процессы, происходящие в колебательном контуре, сопровождается непрерывными преобразованиями одного вида энергии в другой, а именно: энергия электрического заряда конденсатора превращается в энергию магнитного поля катушки и наоборот. При этом, в полном соответствии с законом сохранения и превращения энергии, полная энергия в колебательном контуре остается величиной постоянной: , (10)

где: U и J — соответственно напряжение на обкладках конденсатора и сила тока в контуре в любой момент времени; U0 и J0 — амплитудные (максимальные) значения этих же величин.

Первое – энергия магнитного поля в катушке, второе – энергия м. поля в конденсаторе

Вопрос41. Вынужденные электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Явление резонанса.

Вынужденными колебаниями называют такие колебания, которые вызываются действием на систему внешних сил, периодически изменяющихся с течением времени. В случае электромагнитных колебаний такой внешней силой является периодически изменяющаяся э.д.с. источника тока.

Отличительные особенности вынужденных колебаний: вынужденные колебания — незатухающие колебания; частота вынужденных колебаний равна частоте внешнего периодического воздействия на колебательную систему, т.е., в данном случае, равна частоте изменения э.д.с. источника тока.

Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты изменения э.д.с. источника тока. Для вынужденных колебаний характерно явление электрического резонанса, при котором амплитуда вынужденных колебаний становится максимальной. Это физическое явление наблюдается при совпадении частоты изменения э.д.с. источника тока с собственной частотой колебаний данного контура, т.е.: , (1)

где: i — мгновенное значение тока, т.е. его значение в момент времени t = 0; J0 — амплитудное или максимальное значение силы тока; w — частота изменения тока, численно равная частоте изменения э.д.с.

источника тока. Мгновенным или амплитудным значениями тока и напряжения на практике пользоваться неудобно.

Амперметры и вольтметры в цепи переменного тока измеряют так называемые действующие или эффективные значения

переменного тока, которые связаны с амплитудными значениями тока по формулам:

, (4) . (5) Действующими значениями силы тока и напряжения переменного тока называют значения этих величин для такого постоянного тока, который на том же активном сопротивлении выделяет за время, равное периоду Т переменного тока, такое же количество теплоты, как и данный переменный ток.

Источником переменного тока является генератор переменного тока, физический принцип действия которого основан на равномерном вращении с угловой скоростью w плоской рамки площадью S, состоящей из N витков, в однородном магнитном поле с индукцией В. При этом рамку пронизывает переменный магнитный поток:

, (6) где: Ф0 — максимальное значение магнитного потока; a — угол между нормалью к рамке и вектором магнитной индукции В; w — угловая скорость вращения рамки.

Они возникают при действии на систему внешней периодически изменяющейся силы (вынуждающей силы) , (22) где — круговая частота вынуждающей силы.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний с учетом затухания запишется в виде: m(d2x/dt2) = -kx — r(dx/dt) + Fmcos t.

Перепишем это уравнение в виде: . (23)

Бета=Сопротивление деленное на 2*индуктивность

Таким образом, получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решением такого уравнения будет , где — общее решение однородного уравнения (23), (т. е. уравнения (23) с правой частью, равной нулю). Согласно (17)

и с течением времени . Поэтому .

Из решения (23) =>, что (24) где , (25) . (26)

Из анализа (25) следует, что хотя амплитуда вынуждающей силы Fm, остается постоянной, амплитуда А вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы.

Исследуя (25) на экстремум, можно показать, что только при резонансной частоте

амплитуда вынужденных колебаний достигает максимальной величины: . (28)

Это явление называется резонансом. На рис. 11 приведена зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы , которая определяется формулой (25); (откуда: при = 0 находим , а при имеем , что объясняется инерционностью колебательной системы).

Явление резонанса, состоящее в резком увеличении амплитуды колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к резонансной частоте, широко используется в технике. Его следует учитывать при конструировании машин, кораблей, самолетов и т.д.

Необходимо, чтобы их резонансные частоты не совпадали с частотой вынуждающих внешних воздействий.

решение уравнения

Вопрос42.Обобщение закона электромагнитной индукции. Вихревое электрическое поле. Первое уравнение Максвелла.

Вихревое электрическое поле – электрическое поле, созданное изменяющимся магнитным полем. Не связано с зарядами, поэтому силовые линии являются замкнутыми.

Первое уравнение Максвеллаявляется обобщением закона электромагнитной индукции, которое в интегральной форме имеет вид. Из выражения для магнитного потока следует →.

Интеграл в правой части является функцией только от времени.

Неравенство нулю циркуляции вектора напряженности электрического поля по замкнутому контуру означает, что возбуждаемое переменным магнитным полем электрическое поле является вихревым, как и само магнитное поле.

Первое уравнение Максвелла – электростатическое поле создается неподвижными зарядами

Из ТРЕТЬЕГО уравнения Максвелла следует, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле. По теореме Стокса в векторном анализе, где ротор вектора Е выражается определителем

что позволяет записать первое уравнение Максвелла в дифференциальном виде

Источник: https://studfile.net/preview/1977822/page:3/

Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля

Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля

Линии индукции магнитного поля, которое возникает вокруг постоянного тока, который течет по прямолинейному длинному проводнику — концентрические окружности с центрами на линии тока.

Интеграл вида $\oint\limits_L{\overrightarrow{B}d\overrightarrow{l}}\ $- циркуляция вектора $\overrightarrow{B}$ по замкнутому контуру L.

Найдем $\oint\limits_L{\overrightarrow{B}d\overrightarrow{l}}$ по некоторому замкнутому контуру вокруг тока I (рис. 1).

Рис. 1

Линии магнитной индукции лежат в плоскостях перпендикулярных линии тока I, контур L выбираем в плоскости одной из линий $\overrightarrow{B}.$ Используем рис.1, получим:

Обозначим $\left(\widehat{\overrightarrow{B}d\overrightarrow{l}}\right)=\alpha $, тогда имеем:

По условию магнитное поле создает бесконечно длинный прямой проводник с током, индукцию поля которого мы знаем, и запишем в точке на расстоянии r от проводника как:

Подставим (3) и (2) в формулу (1), получим:

Теперь найдем циркуляцию вектора магнитной индукции, используя (4), получим:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

где использовано то, что для замкнутого контура, который окружает начало координат:

Из полученного результата в (5) видим, что циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру вокруг тока не зависит от вида контура и определена только силой тока. В том случае если контур ток не охватывает, то циркуляция вектора индукции равна нулю.

Тогда теорема о циркуляции для нескольких токов формулируется следующим образом:

Теорема

Циркуляция индукции магнитного поля постоянных токов по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, которые пронизывают этот контур.

В математическом виде данная формулировка выглядит как уравнение:

\[\oint\limits_L{\overrightarrow{B}d\overrightarrow{l}}=м_0\sum\limitsn_{k=1}{I_k=м_0I\left(7\right),}\]

где через I — обозначают полный ток (алгебраическая сумма всех токов, охватываемых контуром). Теорема о циркуляции еще называется законом полного тока.

Надо иметь в виду, что циркуляция вектора $\overrightarrow{B}$ по замкнутому контуру равна нулю не только в случае отсутствия токов, которые пронизывают заданный контур, но и если токи текут в противоположных направлениях и в сумме дают ноль.

В формуле (7) знак тока учитывается по правилу правого винта. Этот закон мы получили для прямого бесконечного проводника, но он справедлив и для произвольного тока.

Дифференциальная форма теоремы о циркуляции

Пусть S — поверхность, которую охватывает контур L. Положительная нормаль к поверхности связана с направлением обхода контура L правилом правого винта. Силу полного тока, который течет через поверхность S можно записать как:

\[I=\int\limits_S{\overrightarrow{j}d\overrightarrow{S}(8)},\]

где $\overrightarrow{j}$ — объёмная плотность тока. В таком случае теорему о циркуляции запишем как:

\[\oint\limits_L{\overrightarrow{B}d\overrightarrow{l}}={\mu }_0\int\limits_S{\overrightarrow{j}d\overrightarrow{S}\left(9\right).}\]

По теореме Стокса можно записать, что:

\[\oint\limits_L{\overrightarrow{B}d\overrightarrow{l}}=\int\limits_S{rot\overrightarrow{B}d\overrightarrow{S}}\left(10\right).\]

Следовательно, запишем:

\[\int\limits_S{(rot\overrightarrow{B}-{\mu }_0\overrightarrow{j})d\overrightarrow{S}}=0\left(11\right).\]

Равенство (11) выполняется для любой поверхности, следовательно, подынтегральное выражение также равно нулю:

\[rot\overrightarrow{B}-{\mu }_0\overrightarrow{j}=0\to rot\overrightarrow{B}={\mu }_0\overrightarrow{j}\ \left(12\right).\]

Равенство (12) дифференциальная форма теоремы о циркуляции. Она справедлива для произвольного поля в каждой точке.

Напомним, что теорема о циркуляции в виде (7) и (12) записана для поля в вакууме и стационарных токов.

Пример 1

Задание: Тороид имеет каркас в виде тора и на него намотан проводник, по которому течет ток. Магнитное поле данной конфигурации токов сосредоточено в основном внутри тороида. Поле имеет осевую симметрию.

Силовые линии магнитного поля тороида представляют собой окружности с центром на оси тороида. Используя теорему о циркуляции, найдите магнитное поле внутри тороида (рис.2) (B(r)). Если сила тока в нем равна I.

N — число витков тороида.

Рис. 2

Решение:

В качестве контура циркуляции выберем силовую линию в виде окружности радиуса r (рис.2). Запишем, что циркуляция вектора индукции магнитного поля вдоль выбранной окружности равна:

\[\oint\limits_L{\overrightarrow{B}d\overrightarrow{l}}=B2\pi r\ \left(1.1\right).\]

Тогда теорема о циркуляции предстанет в виде:

\[B2\pi r={\mu }_0NI\left(2.1\right),\]

где $N$ — число витков с током. Выразим модуль вектора индукции, получим:

\[B=\frac{{\mu }_0NI}{2\pi r}.\]

Ответ: $B=\frac{{\mu }_0NI}{2\pi r}.$

Пример 2

Задание: Какова циркуляция вектора индукции вдоль контура, который охватывает токи $I_1=5\ A,\ I_2=6\ A$, $I_3=10\ A$, если первые два тока текут в одном направлении, третий в противоположном.

Решение:

По теореме о циркуляции:

\[\oint\limits_L{\overrightarrow{B}d\overrightarrow{l}}=\sum{I_k\left(2.1\right).}\]

Для нашего случая имеем:

\[\oint\limits_L{\overrightarrow{B}d\overrightarrow{l}}=I_1+\ I_2-I_3\left(2.2\right).\]

Проведем вычисление, получим:

\[\oint\limits_L{\overrightarrow{B}d\overrightarrow{l}}=5+6-10=1\ \left(Тл\cdot м\right).\]

Ответ: $\oint\limits_L{\overrightarrow{B}d\overrightarrow{l}}=1Тл•м.$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/postoyannoe_magnitnoe_pole/teorema_o_cirkulyacii_vektora_indukcii_magnitnogo_polya/

Booksm
Добавить комментарий