Связь вектора поляризации со связанными зарядами

Б) для отрицательных зарядов

Связь вектора поляризации со связанными зарядами

, (3.50)

где r+, r-, ri+, ri- — соответствующие радиус — векторы, определяющие положение суммарных и отдельно взятых положительных и отрицательных зарядов;

qi+, qi- — величина отдельно взятых зарядов.

Полярные молекулы — молекулы, у которых “центры зарядов” q+ и q- в отсутствие внешнего электрического поля не совпадают.

Собственный электрический момент полярных молекул:

, (3.51)

где l – радиус — вектор, соединяющий центры «тяжести» зарядов, направленный от отрицательного к положительному заряду.

Неполярные молекулы — молекулы, у которых в отсутствие внешнего электрического поля “центры зарядов” совпадают. При внесении неполярной молекулы во внешнее электрическое поле “центры зарядов” смещаются, она поляризуется, приобретает электрический дипольный момент, по величине пропорциональный напряженности внешнего электрического поля p ~ E.

Вращающий момент, действующий на диполь (молекулу) в однородном внешнем электрическом поле,стремится повернуть диполь так, чтобы его электрический дипольный момент был направлен по направлению внешнего электрического поля:

M = [pE]. (3.52)

Сила, действующая на диполь (молекулу) в неоднородном внешнем электрическом поле,либо втягивает диполь в область более сильного поля (ap/2):

, (3.53)

где a — угол между направлением электрического дипольного момента и вектором напряженности электрического поля.

Поляризация диэлектрика — процесс перераспределения связанных зарядов в диэлектриках во внешнем электрическом поле. Диэлектрик приобретает отличный от нуля электрический дипольный момент

. (3.54)

Виды поляризации диэлектриков:

1) деформационная наблюдается у диэлектриков, состоящих из неполярных молекул, заключающаяся в возникновении у молекул (атомов) индуцированного дипольного момента за счет деформации электронных орбит.

2) ориентационная, или дипольная, наблюдается у диэлектриков, состоящих из полярных молекул, заключающаяся в ориентации имеющихся дипольных моментов молекул (атомов) по направлению электрического поля.

3) ионная наблюдается у диэлектриков, имеющих ионную кристаллическую решетку, и заключается в смещении подрешетки положительных ионов вдоль поля, а отрицательных — против поля.

Вектор поляризации (поляризованность) — физическая величина, численно равная электрическому дипольному моменту единицы объема диэлектрика:

, (3.55)

где pi – дипольный момент одной молекулы.

Однородная поляризация – такая поляризация, которая возникает у однородных диэлектриков, при этом вектор поляризации одинаков по всему объему.

Неоднородная поляризация – такая поляризация, для которой не выполняются условия однородной поляризации.

Связь вектора поляризации с вектором напряженности внешнего электрического поля – для большинства диэлектриков, кроме так называемых сегнетоэлектриков, вектор поляризации пропорционален напряженности внешнего электрического поля:

P = ce0E, (3.56)

где c — диэлектрическая восприимчивость вещества, не зависящая от напряженности внешнего электрического поля. Она характеризует способность вещества к поляризации.

Связь между вектором поляризации и поверхностной плотностью связанных зарядов: поверхностная плотность связанных зарядов численно равна нормальной составляющей вектора поляризации в данной точке поверхности диэлектрика:

s’ = Pn, (3.57)

где s’ – поверхностная плотность связанных зарядов;

Pn – нормальная составляющая вектора поляризации.

Связь между вектором напряженности внешнего электрического поля и поверхностной плотностью связанных зарядов:

s’ = ce0En, (3.58)

где En – нормальная составляющая вектора напряженности внешнего электрического поля.

Вектор электрической индукции (электрического смещения) – векторная физическая величина, которая связана с вектором поляризации и напряженностью электрического поля соотношением:

D = e0E + P. (3.59)

Связь между вектором напряженности и вектором индукции электрического поля:

D = (1 + c)e0E = ee0E, (3.60)

где e = (1 + c) – относительная проницаемость среды, величина которой зависит от структуры и химического состава вещества, а также от давления, температуры и других внешних факторов. Она показывает, во сколько раз электрическое поле ослабевает, если оно создано в какой-либо среде.

Напряженность электрического поля внутри диэлектрика всегда меньше, чем в вакууме в e раз:

, (3.61)

где E0 – напряженность электрического поля в вакууме;

E – напряженность электрического поля в диэлектрике.

Теорема Остроградского-Гаусса для потока вектора индукции электрического поля: поток вектора индукции электрического поля через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри этой замкнутой поверхности:

. (3.62)

Граничные условия на поверхности раздела «диэлектрик-диэлектрик»:

а) при переходе через границу раздела двух диэлектриков тангенциальная составляющая вектора E (Et) и нормальная составляющая вектора D (Dn) не претерпевают скачка (изменяются непрерывно):

Et1 = Et2; Dn1 = Dn2; (3.63)

б) при переходе через границу раздела двух диэлектриков нормальная составляющая вектора E (En) и тангенциальная составляющая вектора D (Dt) претерпевают скачок:

; . (3.64)

Внутренняя энергия диэлектриков во внешнем электрическом поле

, (3.65)

где функция U0(T,r) — внутренняя энергия диэлектрика при отсутствие в нем электрического поля.

Свободная энергия системы, которая связана с электризацией тел:

. (3.66)

Свободная энергия системы, которая зависит от напряженности электрического поля:

. (3.67)

Основные уравнения термодинамики диэлектриков:

dU = T×dS + E×dD/4p; (3.68)

dF = — S×dT + E×dD/4p; (3.69)

dФ = — S×dT — D×dE/4p; (3.70)

dI = T×dS — D×dE/4p. (3.71)

Уравнение состояния:

D =f(E,T,r), (3.72)

где r — плотность вещества диэлектрика.

Электрострикция – деформация диэлектрика во внешнем электрическом поле. В изотропных средах, в том числе в газах и жидкостях, изменение плотности под действием электрического поля:

, (3.73)

где A = — коэффициент пропорциональности, зависящий от сжимаемости и плотности вещества;

b — сжимаемость;

r — плотность;

e — диэлектрическая проницаемость.

Сегнетоэлектрики – кристаллические диэлектрики, обладающие в определенном интервале температур спонтанной (самопроизвольной) поляризацией, которая существенно изменяется под влиянием внешних воздействий.

Пироэлектрики – класс веществ, обладающих спонтанной поляризацией, т.е. электрическим дипольным моментом в отсутствие электрического поля.

Основные свойства сегнетоэлектриков:

1) диэлектрическая проницаемость их гораздо больше единицы e>>1;

2) диэлектрическая проницаемость сегнетоэлектриков зависит от напряженности внешнего электрического поля;

3) во внешнем электрическом поле сегнетоэлектрики поляризуются до насыщения;

4) во внешнем циклически изменяющемся электрическом поле ему присуще явление гистерезиса, сложная зависимость вектора поляризации от напряженности электрического поля;

5) по своему строению сегнетоэлектрики представляют скопление областей спонтанной поляризации — доменов, электрические дипольные моменты которых имеют хаотические ориентации;

6) при нагревании сегнетоэлектриков до определенной температуры Тк, они теряют все свои специфические свойства и превращаются в обычные полярные диэлектрики. Точка фазового перехода из состояния сегнетоэлектрика в состояние полярного диэлектрика называется точкой Кюри, а соответствующая ей температура Тк — температурой Кюри.

Закон изменения диэлектрической восприимчивости c вблизи температуры Кюри (закон Кюри-Вейса) имеет вид

, (3.74)

где А – некоторая константа;

T0 – температура Кюри-Вейса, близкая к температуре Кюри Tк.

Пьезоэлектрики – сегнетоэлектрики, у которых возникают перераспределение электрических зарядов при деформации в отсутствие электрического поля.

Прямой пьезоэлектрический эффект – процесс возникновения электрических зарядов в отсутствие электрического поля при деформации пьезоэлектрика.

Обратный пьезоэлектрический эффект – процесс появления механических деформаций у пьезоэлектрика под влиянием электрического поля.

Прямой пироэлектрический эффект– процесс появления электрических зарядов при изменении температуры пироэлектрика.

Обратный пироэлектрический эффект (электрокалорический эффект) – изменение температуры пироэлектрика под влиянием электрического поля.

Электреты – диэлектрики, которые длительное время сохраняют поляризованное состояние после снятия внешнего воздействия.

3.4. Энергия электрического поля

Энергия взаимодействия электрических зарядов

, (3.75)

где ji – потенциал, создаваемый всеми зарядами, кроме i-го, в точке нахождения заряда q.

Энергия заряженного конденсатора (системы заряженных проводников)

. (3.76)

Просмотров 732 Эта страница нарушает авторские права

Источник: https://allrefrs.ru/4-44736.html

Векторы поляризованности и смещения

Связь вектора поляризации со связанными зарядами

В предыдущей статье было показано, что вследствие поляризации диэлектрика, т. е. смещения его связанных зарядов, изменяется напряженность электрического поля. Результирующее влияние диэлектрика на электрическое поле оценивают векторной величиной, называемой поляризованностью Р (вектором поляризации).

Средняя интенсивность поляризации Pср определяется как сумма дипольных моментов в единице объема диэлектрика, а чтобы найти поляризованность в данном месте поля, надо выбрать достаточно малый объем ΔV:

Единица измерения поляризованности

[P] = [ql/V] = Кл*м/м3 = Кл/м2.

Вектор поляризации направлен навстречу вектору напряженности электрического поля связанных зарядов Eп.(рис. 4.12).
Вектор поляризации для большинства диэлектриков (за исключением группы сегнетоэлектриков) пропорционален напряженности электрического поля:

P = kε0E    (1)

и его направление совпадает с направлением внешнего Eвн и результирующего Е полей (риc. 4.12).

Коэффициент kназывается электрической восприимчивостью диэлектрика и характеризует его способность поляризоваться.

При расчетах электрических полей в диэлектриках с различными диэлектрическими проницаемостями пользуются еще вектором электрического смещения.

Электрическое смещение D связано с напряженностью электрического ноля простым соотношением

D = εaE = εrε0E (2)

откуда можно определить единицу намерения электрического смещения:

которая такая же, как у вектора, поляризации и у поверхностной плотности зарядов на электродах.

Электрическое смещение и поверхностная плотность свободных зарядов численно одинаковы на поверхности всех проводящих тел, находящихся в электростатическом поле. Например, у внутренней поверхности пластины плоского конденсатора (рис. 4.8) напряженность однородного электрического поля, как и в любой точке однородного поля (4.10),

E = Q/εaS

а электрическое смещение в любой точке поля, в том числе и у металлической поверхности,

D = εaE = Q/S = σ, (2а)

т. е. совпадает с поверхностной плотностью заряда на пластине.

Из (2а) следует, что при заданной плотности поверхностных свободных зарядов на электродах электрическое смещение в однородном диэлектрике с диэлектрической проницаемостью εa не зависит от εa, а напряженность электрического поля зависит.

Поэтому можно сказать, что на напряженность электрического поля определяется и свободными (на электродах) и связанными (в диэлектриках) зарядами, т. е.

поляризацией диэлектрика, а электрическое смещение в однородном диэлектрике не зависит от связанных зарядов.

Связь между тремя векторными величинами, характеризующими электрическое поле в диэлектрике, выражается равенством

D = ε0E + P. (3)

Приняв во внимание (1) и (2), получим

D = ε0E + P = ε0E + ε0k = εrε0E (4)

откуда диэлектрическая проницаемость

εr = 1 + k,

а электрическая восприимчивость

Рис.1 Поле заряженного шара

k = (εr — 1).

Рассмотрим еще неоднородное электрическое поле заряженного металлическою шара (рис. 1), радиус которого Rш. Известно, что электрический заряд Q находится на поверхности такого шара. Поверхностная плотность заряда

σ = Q/S = Q/(4πRш2)

Поле металлического шара с зарядом Q совпадает вне шара с полем равного ему по значению точечного заряда Q, расположенного в центре шара (4.8); поэтому напряженность поля на расстоянии R от центра шара и в частности, у его наружной поверхности, т.е. при R = Rш,

E = Q/(4πεaR2) = Q/(4πεaRш2)

а электрическое смещение

D = εaE = Q/(4πRш2) = σ (4.16)

т. е. равно поверхностной плотности заряда.

Внутри металлического шара поля нет, как и во всяком проводнике в условиях электростатики , Поэтому потенциалы всех точек шара одинаковые, т. е. шар — эквипотенциальное тело, как и всякое металлическое тело в электростатическом поле.

Аналогично потоку вектора напряженности поля (4.7) применяется понятие потока вектора электрического смешения.

Поток вектора смещения ND в однородном поле равен произведению численного значения вектора смещения D и площадки S, во всех точках которой вектор смещения имеет одинаковое значение и направлен перпендикулярно к ней, т. е.

ND = DS. (6)

При неоднородном поле произвольную поверхность площадью S разбивают на элементарные, в пределах каждой на которых смещение одинаково; так что поток вектора
смещения через такую элементарную площадку

dND = Dn dS.

где Dn— нормальная составляющая вектора смещения (перпендикулярная к элементарной площадке).

Поток вектора смещения через произвольную замкнутую поверхность находится суммированием элементарных потоков:
Так как D = εaE и соответственно Dn = εaEn, то поток вектора смещения

В частности, в случае шаровой поверхности

Таким образом, поток вектора электрического смещения через шаровую поверхность равен заряду, расположенному внутри поверхности.

Полученное выражение ND = Q справедливо для замкнутой поверхности любой формы, охватывающей заряд как в однородной среде с εr = const, так и в среде, диэлектрическая проницаемость которой неодинакова в различных участках среды, например в двухслойном конденсаторе.

На поверхности шара,

ND = D*4πRш2

откуда определяется электрическое смещение у поверхности шара: что согласуется с (5).

D = ND/(4πRш2 ) = Q/(4πRш2 )

Источник: https://electrikam.com/vektory-polyarizovannosti-i-smeshheniya/

Связь вектора поляризации со связанными зарядами

Связь вектора поляризации со связанными зарядами

В том случае, если диэлектрик не поляризован, то объемная и поверхностная плотности связанных зарядов равны нулю. В результате процесса поляризации поверхностная плотность всегда отлична от нуля, а объемная лишь иногда.

Между поляризованностью (вектором поляризации $\overrightarrow{P}$) и поверхностной плотностью связанных зарядов ($\sigma $) существует несложная связь. Для того, чтобы ее найти, рассмотрим плоскопараллельную пластину из однородного диэлектрика, которая находится в электростатическом поле (рис.1). Выделим в этой пластине элемент объема в виде тонкого цилиндра.

Его ось будет параллельна вектору напряженности поля. Основания цилиндра имеют площадь $\triangle S$, они совпадают с поверхностями цилиндра.

Рис. 1

Величина выделенного объема равна:

где $l$ — высота цилиндра, $\alpha $ — угол между направлением вектора напряженности и вектором внешней нормали к поверхности с положительным зарядом. Дипольный момент выделенного объема равен:

Рассматриваемый объем эквивалентен диполю, заряды которого равны $q=\pm {\sigma }_{sv}\triangle S$ и плечо равно l. Электрический момент этого диполя равен $p_e={\sigma }_{sv}\triangle Sl$. $P=p_e$, значит:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Из формулы (3) мы видим искомое выражение, которое связывает поверхностную плотность связанных зарядов и модуль вектора поляризации:

где $P_{n\ }$ — проекция вектора поляризации на внешнюю нормаль к соответствующей поверхности. В нашем случае (рис.1) $P_{n\ }>0$ для правой поверхности, где ${\sigma }_{sv}>0$, для левой: $P_{n\ }

Поверхностная плотность связанных зарядов

Формула (4) справедлива в самом общем случае, когда неоднородный диэлектрик любой формы находится в неоднородном электрическом поле. Под $P_{n\ }$ в таком случае понимают нормальную составляющую вектора, который берется близко к элементу поверхности, для которого определяют поверхностную плотность связанных зарядов.

Итак, поверхностная плотность связанных зарядов на границе раздела двух диэлектриков равна:

\[{\sigma }_{sv}=P_{1n\ }-P_{2n}=-\overrightarrow{n_{12}}\left(\overrightarrow{P_2}-\overrightarrow{P_1}\right)\left(5\right),\]

где $\overrightarrow{n_{12}}$ — единичный вектор нормали, который направлен из первого диэлектрика во второй.

Плотность объемных связанных зарядов так же связана с вектором поляризации, а именно:

\[{\rho }_{sv}=-div\overrightarrow{P}\left(6\right).\]

Формула (6) имеет следующий смысл: Точки с положительной дивергенцией вектора поляризации служат источниками поля вектора $\overrightarrow{P}$, из таких точек линии поля расходятся. Точки с отрицательной дивергенцией $\overrightarrow{P}$ служат стоками поля вектора поляризации, к этим точкам линии сходятся.

Это означает, что при поляризации диэлектрика связанные заряды, которые имею знак плюс, смещаются в направлении вектора $\overrightarrow{P}$, вернее, в направлении линий его поля. Отрицательные заряды смещаются в противоположном направлении.

Как следствие, в местах положительной дивергенции вектора поляризации имеется избыток отрицательных связанных зарядов, а в местах с отрицательной дивергенцией $\overrightarrow{P}$ — избыток положительных зарядов.

Пример 1

Задание: Пластины плоского конденсатора заряжены с поверхностной плотностью заряда ?. Между пластинами конденсатора находятся две диэлектрические пластины, проницаемость которых равна ${\varepsilon }_1$ и ${\varepsilon }_2$. Они плотно прилегают друг к другу. Определить плотности связанных зарядов пластин из диэлектрика на границе их раздела ($\sigma '$).

Решение:

Рис. 2

Основой для решения задачи служит уравнение — граничное условие для перехода вектора поляризации через границу двух диэлектриков:

\[{\sigma }_{sv}=P_{1n\ }-P_{2n}\left(1.1\right).\]

Напряженности поля равны, вне диэлектрика:

\[E_{vak}=\frac{\sigma }{{\varepsilon }_0}\left(1.2\right),\]

внутри первого диэлектрика:

\[E_1=\frac{\sigma }{{\varepsilon }_1{\varepsilon }_0}\left(1.3\right),\]

внутри второго диэлектрика:

\[E_2=\frac{\sigma }{{\varepsilon }_2{\varepsilon }_0}\left(1.4\right).\]

Зная, что вектор поляризации в случае изотропного диэлектрика связан с напряженностью соотношением:

\[P={\varepsilon }_0\varkappa E\ \left(1.5\right).\]

Используя (1.3), (1.4) и (1.5) запишем:

\[P_1=\frac{{\varkappa }_1\sigma }{{\varepsilon }_1}\left(1.6\right),\] \[P_2=\frac{{\varkappa }_2\sigma }{{\varepsilon }_2}\left(1.7\right).\]

Найдем поверхностные плотности связанных зарядов для первого диалектика (верхняя) свободная поверхность:

\[{\sigma }_{sv1}=-P_1=-\sigma \left(1-\frac{1}{{\varepsilon }_1}\right)\left(1.8\right).\]

для второго диалектика (нижняя) свободная поверхность:

\[{\sigma }_{sv2}=P_2=-\sigma \left(1-\frac{1}{{\varepsilon }_2}\right)\left(1.9\right).\]

На границе раздела двух диэлектриков получим, что поверхностная плотность зарядов равна:

\[{\sigma }_{sv}=-у_{sv1}-у_{sv2}=\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{\varepsilon_1 \varepsilon_2}\sigma \left(1.10\right).\]

Ответ: ${\sigma }_{sv}=\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{\varepsilon_1 \varepsilon_2}у.$

Пример 2

Задание: Бесконечная пластина из однородного, изотропного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью$\ \varepsilon $ заряжена равномерно сторонними зарядами, объемная плотность распределения этого заряда равна $\rho $. Толщина пластины 2а. Найдите объемную плотность связанных зарядов. Диэлектрическая проницаемость вещества вне пластины равна единице.

Решение:

Для бесконечной пластины диэлектрика напряженность поля зависит от одной координаты. Допустим, что ось X направлена перпендикулярно к плоскости пластины и ее начало совпадает с центром слоя диэлектрика. Напряженность бесконечной пластины легко находится из теоремы Остроградского — Гаусса и она равна:

\[\left\{ \begin{array}{c}E=\frac{\rho x}{{\varepsilon \varepsilon }_0},|x| a \end {array}\right.\left(2.1\right),\]

где $\sigma$=$\rho \cdot a$ — поверхностная плотность заряда

Используя уравнение:

\[P={\varepsilon }_0\varkappa E\ \left(2.2\right).\]

Найдем модуль вектора поляризации:

\[\left\{ \begin{array}{c}P=\frac{\rho \varkappa x}{\varepsilon},|x| a \end{array}\right.\left(2.3\right),\]

Объемная плотность связанных зарядов равна:

\[{\rho }_{sv}=-div\overrightarrow{P}\left(2.4\right).\]

Для нашего случая (2.4) преобразуется в:

\[{\rho }_{sv}=-\frac{dP}{dx}=-\frac{\rho \varkappa}{\varepsilon },\]

где $\varepsilon =1+\varkappa ,\ \to \varkappa =\varepsilon -1$.

Ответ: ${\rho }_{sv}=-\frac{с(\varepsilon -1)}{\varepsilon}.$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/elektrostatika/svyaz_vektora_polyarizacii_so_svyazannymi_zaryadami/

Связь поляризации и связанных зарядов

Связь вектора поляризации со связанными зарядами

Рассмотрим в однородном изотропном диэлектрике с неполярными молекулами воображаемую площадку S

Пусть в единице объема диэлектрика имеется n одинаковых частиц с зарядом +е и n одинаковых частиц с зарядом – е. Если поле в пределах диэлектрика однородно, то при включении поля все положительные заряды сместятся в направлении каком то там

Перенос отрицательного заряда в одном направлении эквивалентен переносу такого же по величине положительного заряда в противоположном направлении. Поэтому можно считать, что при включении поля через площадку S переносится в направлении вектора Р положительный заряд

Q=enSl1+enSl2=en(l1+l2)S

заряд, проходящий при включении поля через площадку S в направлении вектора Р, равен Q=PS

(15.4)

14. Поляризация и плотность связанных зарядов.

Рассмотрим внутри диэлектрика две воображаемые площадки S1 и S2, причем S1= S2=S. Площадки предполагаем перпендикулярными к Е и отстоящими друг от друга на Dx (рис. 31). До включения поля суммарный заряд, заключенный в цилиндрическом объеме с основанием S и высотой Dx, равен нулю.

При включении поля через площадку S1 входит внутрь цилиндра положительный заряд q1 = P1S (см. (15.4)), P1 – модуль вектора Р в сечении S1.

Одновременно через S2 выходит из цилиндра положительный заряд q2 == P2S (Р2 – модуль вектора Р в сечении S2). В результате в рассматриваемом объеме оказывается избыточный связанный положительный заряд

(15.5)

Если диэлектрик поляризован однородно (Рf(x,y,z)), то P1 = Р2 и избыточный связанный заряд равен нулю.

Однако, если диэлектрик поляризуется неоднородно, P1 ≠ Р2.

Причинами неоднородной поляризации могут быть как неоднородности диэлектрика, так и неоднородности поля Е, связанные с присутствием свободных зарядов в месте неоднородности.

Пусть степень поляризации диэлектрика изменяется только в направлении оси х, совпадающей с направлением Е (рис. 31).

Тогда P1 – Р2 представляет собой приращение DР, которое получает модуль вектора Р при смещении вдоль оси х на Dх.

Поскольку DР ¹ 0, в объеме величиной SDx возникает избыточный заряд

Разделив этот заряд на объем цилиндра SDx, получим объемную плотность связанных зарядов в сечении с координатой х (Dx полагаем малым):

Устремив Dx к нулю, получим

(15.6)

В общем случае, когда Р не совпадает по направлению с осью х и зависит не только от х, но и от координат y и z, для r' получается формула

(15.7)

В случае Рх = Р, Рy = Рz =0 (15.6) есть частный случай (15.7).

Полученное соотношение оказывается справедливым и для диэлектриков с полярными молекулами.

Из выражения (15.5) для избыточного связанного заряда, заключенного в рассматриваемом объеме, вытекает еще одно важное соотношение. Найдем поток вектора Р через поверхность цилиндра, изображенного на рис. 31.

Поток через боковую поверхность равен нулю, так как вектор Р касателен к этой поверхности. Нормальная составляющая Р для площадки S2 равна модулю вектора Р в сечении 2, т. е. Р2.

Поэтому для потока через S2 получается значение P2S (S1 = S2 = S).

Нормальная составляющая Р для площадки S1 равна –P1 (направления внешней нормали к S1 и вектора Р противоположны), так что соответствующий поток равен – P1S. Тогда, полный поток вектора Р через поверхность цилиндра равен

Сопоставив полученное нами выражение с правой частью формулы (15.5), приходим к соотношению между избыточным связанным зарядом, заключенным внутри цилиндра, и потоком вектора Р через поверхность цилиндра:

(15.8)

Избыточный заряд, заключенный в некотором объеме, равен алгебраической сумме находящихся в этом объеме связанных зарядов: .

Поэтому (15.8) можно записать в виде

(15.9)

Можно доказать, что (15.9) справедлива для поверхности любой формы, при произвольной зависимости вектора Р от координат х, у, z, а также для полярных и неполярных диэлектриков.

Теперь выясним, что происходит на поверхности поляризованного диэлектрика. Пусть для начала внешняя плоская грань диэлектрика перпендикулярна к вектору Р (рис. 32,а).

При включении поля все отрицательные заряды сместятся относительно положительных зарядов влево (против Р) на одинаковую величину l = l1+ l2 (рис. 30).

В результате в поверхностном слое толщины l останутся только положительные заряды, дающие в сумме q’изб = enSl (на противоположной грани образуется такой же по величине отрицательный заряд).

Разделив q’изб на S, получим поверхностную плотность связанного заряда: s’ = enl. Но eln есть модуль вектора поляризации Р, поэтому

(15.10)

Перейдем к случаю, когда нормаль n к внешней плоской грани диэлектрика образует с вектором Р произвольный угол a (рис. 32,6). В этом случае объем косого цилиндра, равный

Рис. 32.

Slcosa свободен от отрицательных зарядов. Содержащийся в нем избыточный заряд равен . Разделив этот заряд на S и учтя, что , получим

(15.11)

где Pn – проекция вектора Р на внешнюю нормаль к поверхности диэлектрика. При a = 0 проекция Pn равна Р, и мы приходим к формуле (15.10).

Формула (15.11) дает не только величину, но и знак поверхностного связанного заряда.

В тех точках поверхности, где угол между внешней нормалью n и вектором Р острый, Pn > 0 и s’ положительна..

В тех точках, где n и Р образуют тупой угол, Pn < 0 и s ' отрицательна. Выразив согласно (15.2) Р через æ и Е, приходим к формуле

(15.12)

где En – нормальная составляющая напряженности поля внутри диэлектрика. В соответствии с (15.12) в тех местах, где линии напряженности выходят из диэлектрика (En > 0), на поверхности выступают положительные связанные заряды, там же, где линии напряженности входят в диэлектрик (En

Источник: https://cyberpedia.su/14x93e3.html

Вектор поляризации. Его связь с поверхностной плотностью связанных зарядов

Связь вектора поляризации со связанными зарядами
⇐ ПредыдущаяСтр 26 из 42Следующая ⇒

 Вектор поляризации.

Количественное

описание производится с

помощью

вектора

поляризации.

Когда внешнего поля нет, суммарный дипольный момент

равен нулю (исключение составляют сегнетоэлектрики, электреты). Под влиянием внешнего электрического поля возникает поляризация, которую характеризуем дипольным моментом единицы объема — вектором

поляризации P :

p

V

P 

(2.2.1)

V

Здесь

p дипольный

момент

молекулы.

Размерность

вектора

поляризации

равна

P

q

,

которая

L2

совпадает с размерностью напряженности электрического поля.

Естественно, что вектор поляризации зависит от внешнего поля, как и наведенный поляризационный заряд (связанный). Поляризация приводит к появлению индукционного связанного заряда на поверхности, а иногда и в объеме. Вектор поляризации зависит от связанного заряда.

Связь между вектором поляризации и поверхностной плотностью заряда.

Рассмотрим диэлектрик, имеющий форму косого параллелепипеда, и поместим его в однородное электрическое поле E (рис. 2.4). На боковых гранях появятся поляризационные заряды с плотностью '.

Если S — площадь боковой грани, то диэлектрик приобретает дипольный момент, равный ' Sl , где l -вектор длины параллелепипеда, направленный вдоль электрического поля или, что то же, от отрицательных зарядов к положительным.

Тогда вектор поляризации равен:

P  S l

(2.2.2)
V

Здесь объем параллелепипеда определяется как

S –

+

E

V  SlCos, который можно выразить через

n

S +

скалярное произведение

вектора

нормали к

E

+

боковой грани и вектора l

:

V  S l ,n

(2.2.3)

+ n

Умножим (2.2.2) скалярно на вектор нормали и,

l

воспользовавшись (2.2.3), получим:

S

Рис. 2.4.

Pn 

l ,n

(2.2.4)

V

Итак, получаем связь между поверхностной плотностью поляризационного заряда и нормальной

составляющей вектора поляризации Pn:
 Pn  Pn (2.2.5)

Это соотношение справедливо как для положительного, так и отрицательного зарядов. Отметим, что можно интерпретировать уравнение (2.2.5) следующим образом: связанный заряд на поверхности появляется при включении внешнего поля как заряд проходящий (смещаемый) изнутри объема через его поверхность.

⇐ Предыдущая21222324252627282930Следующая ⇒

Рекомендуемые страницы:

Источник: https://lektsia.com/15xb878.html

Booksm
Добавить комментарий