Связь между зарядом и потенциалом проводника

Связь между зарядом и потенциалом проводника

Связь между зарядом и потенциалом проводника

Рассмотрим систему, которая состоит из некоторого количества (N) заряженных стационарных проводников. Пространство между этими проводящими телами заполняет диэлектрик. Предположим, что в диэлектрике свободных зарядов нет. Нормировку потенциала примем на бесконечность ($\varphi \left(\infty \right)=0$).

Что такое потенциальные коэффициенты

Считаем, что в начале наблюдения заряд всех проводников равен нулю. Зарядим один из проводников (допустим i-й) на 1 Кл.

Так мы определим, причем однозначно, электрическое поле во всем пространстве ($\overrightarrow{E_{i\ }}\left(\overrightarrow{r}\right)\ и\ зная\ их\ связь\ через\ градиент\ {\varphi }_i(\overrightarrow{r})$).

Потенциал в месте нахождения проводника с номером j обозначим как: ${\varphi }_{ji}.$

Определение

Коэффициенты ${\varphi }_{ji}$ зависят исключительно от формы проводников, их местоположения, диэлектрической проницаемости среды между ними (диэлектрика). Такие коэффициенты называют потенциальными коэффициентами.

Так как уравнения электростатики по большей части линейные и однородные, то произвольная комбинация векторов напряженности и электрического смещения ($\overrightarrow{E_{i\ }}\left(\overrightarrow{r}\right),\ \overrightarrow{D_{i\ }}\left(\overrightarrow{r}\right)$) c постоянными коэффициентами $q_i$ удовлетворяют уравнениям вида:

\[\overrightarrow{E}\left(\overrightarrow{r}\right)=\sum\limitsN_{i=1}{q_i}\overrightarrow{E_{i\ }}\left(\overrightarrow{r}\right)\left(1\right),\] \[\overrightarrow{D}\left(\overrightarrow{r}\right)=\sum\limitsN_{i=1}{q_i}\overrightarrow{D_{i\ }}\left(\overrightarrow{r}\right)\left(2\right).\]

Потенциал проводника и потенциальные коэффициенты

Электростатические поля потенциальны, следовательно, вектор напряженности так же потенциален. В диэлектрике $div\overrightarrow{D}=0.$ В проводниках $\overrightarrow{E}=0.

\ $ Выражения $\overrightarrow{D}\ и\ \overrightarrow{E}$ могут быть рассмотрены как напряжённость и индукция какого-то электростатического поля. Заряды этого поля не могут находиться внутри диэлектрика, так как $div\overrightarrow{D}=0.

$ Необходимо выяснить физический смысл коэффициентов $q_i$, которые ранее мы ввели формально. По теореме Остроградского — Гаусса заряд на поверхности проводника с номером i равен:

\[Q_i=\oint\limits_{S_i}{\overrightarrow{D}d\overrightarrow{S}=\sum\limits_j{q_j\oint\limits_{S_i}{\overrightarrow{D_j}d\overrightarrow{S}=q_i}}}\oint\limits_{S_i}{\overrightarrow{D_i}d\overrightarrow{S}=q_i}\left(3\right).\]

На основании теоремы о единственности можно сказать, что уравнение (1) определяет электростатическое поле системы N проводников, заряды которых равны $q_1,q_2,\dots q_N.$ Потенциал поля при этом можно вычислить в соответствии с формулой:

\[\varphi \left(\overrightarrow{r}\right)=\sum\limitsN_{j=1}{q_j{\varphi }_j\left(\overrightarrow{r}\right)}\left(4\right).\]

Зададим точку на поверхности проводника номера i с помощью вектора $\overrightarrow{r}$, найдем потенциал проводника как:

\[{\varphi }_i=\sum\limitsN_{j=1}{q_j{\varphi }_{ij}\left(\overrightarrow{r}\right)}\left(5\right).\]

Решив уравнения (4) и (5) относительно $q_i$, получим, что:

\[q_i=\sum\limitsN_{i=0}{C_{ij}{\varphi }_j\left(6\right),}\]

где $C_{ij}$ — постоянные емкостные коэффициенты. Как и потенциальные коэффициенты они определяются только размерами, конфигурацией, расположением проводников и $\varepsilon $ среды.

Мы получили, что заряды проводников — линейные однородные функции их потенциалов, а потенциалы — линейные однородные функции зарядов. В случае однородного диэлектрика $C_{ij}\sim \varepsilon .$ Для конденсатора количество обкладок — 2. Тогда:

\[q_1=C_{11}{\varphi }_1+C_{12}{\varphi }_2,\ q_2=C_{21}{\varphi }_1+C_{22}{\varphi }_2\left(7\right),\]

где $q_1=-q_2$. Из уравнений (7) емкость конденсатора равна:

\[C=\frac{C_{11}C_{22}-C_{12}C_{21}}{C_{11}+C_{22}+C_{12}+C_{21}}\left(8\right).\]

Все потенциальные коэффициенты положительны. Емкостные коэффициенты с одинаковыми индексами положительны, с разными — отрицательны. Емкостные и потенциальные коэффициенты симметричны, то есть:

\[C_{ij}=C_{ji},\left(9\right),\] \[{\varphi }_{ij}={\varphi }_{ji}\left(10\right).\]

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Пример 1

Задание: Проводник заряжают, поднося к нему несколько раз пластинку, которая каждый раз имеет заряд $Q$. Предположим, что $q_1$- заряд, который остался на проводнике после того, как его зарядили в первый раз. Найдите заряд проводника после бесконечно большого количества операций по его зарядке.

Решение:

Когда пластинку подносят к проводнику, заряд распределяется между двумя этими телами. Когда пластинку поднесли к проводнику в первый раз, проводник получил заряд $q_1$, на пластинка этот заряд потеряла, следовательно, у нее остался заряд $Q-q_1$.

В случае многократного повторения операции зарядки при следующих соприкосновениях проводника и пластинки его заряд практически изменяться не будет. Заряд пластинки не изменится так же, он останется равным Q.

Искомый заряд можно определить из пропорции:

\[\frac{q}{Q}=\frac{q_1}{Q-q_1}\left(1.1.\right).\]

Следовательно,

\[q=\frac{q_1Q}{Q-q_1}.\]

Ответ: Заряд проводника равен $q=\frac{q_1Q}{Q-q_1}.$

Пример 2

Задание: Три одинаковых металлических шарика находятся в вершинах равностороннего треугольника. Проводником (тонкой проволокой), который подключён удаленному заряженному телу, потенциал которого не известен, но постоянен, по очереди касаются каждого шарика. Заряды первых двух после касания стали равны${\ q}_1$ $\ $и $q_2$, каким будет заряд на третьем шаре? Считать шарики изолированными.

Решение:

Рис. 1

Так как потенциальные коэффициенты симметричны, то мы можем записать:

\[{\varphi }_{11}={\varphi }_{22}={\varphi }_{33}=A\ \left(2.1\right).\] \[{\varphi }_{12}={\varphi }_{21}={\varphi }_{23}=B\ \left(2.2\right).\]

При зарядке первого шарика он получает потенциал равный:

\[{\varphi }_1=Aq_{1\ }\left(2.3\right).\]

Когда происходит зарядка двух других шаров, потенциал первого шара изменяется, но в нашем случае это не имеет значения. При зарядке второго шара его потенциал будет:

\[{\varphi }_1=Aq_2+Bq_1\left(2.4\right).\]

Для третьего шарика имеем:

\[{\varphi }_1=Aq_3+B{(q}_1+q_2)\ \left(2.5\right).\]

Следовательно, из (2.2) — (2.4) получаем:

\[Aq_{1\ }=Aq_2+Bq_1=Aq_3+B{(q}_1+q_2)\ \left(2.6\right).\]

Выразим из (2.6) искомый заряд, получим:

\[q_3=\frac{q2_2}{q_1}.\]

Ответ: $q_3=\frac{q2_2}{q_1}.$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/elektrostatika/svyaz_mezhdu_zaryadom_i_potencialom_provodnika/

Читать ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ

Связь между зарядом и потенциалом проводника

1. Как показывает теоретический расчёт и подтверждает опыт, потенциал уединённого* проводника зависит от:

а) заряда, сосредоточенного на проводнике;

б) диэлектрической проницаемости среды, в которой находится проводник;

в) «геометрии» проводника – его размеров и формы.

2. Характер распределения заряда на проводнике определяется исключительно формой проводника и не зависит от величины заряда. Последнее означает, что каждая новая порция зарядов распределяется так же, как и предыдущая: если общий заряд проводника увеличился в п раз, то во столько же раз возрастает в каждой точке поверхности проводника и плотность зарядов σ.

Потенциал поля в любой точке наблюдения, в том числе и в точке на поверхности проводника, согласно принципу суперпозиции равен

 d      

s

dS   ,    (1.27.1)

0 r

где       – поверхностная плотность зарядов на площадке dS; r –расстояние от площадки dS до точки наблюдения; S – площадь внешней поверхности проводника.

Из этой формулы видно, что если поверхностная плотность зарядов в каждой точке проводника увеличится в некоторое число раз, то во столько же раз увеличится потенциал любой точки поля, и, стало быть, потенциал самого проводника. Мы обнаруживаем, таким образом, что потенциал уединённого проводника пропорционален сосредоточенному на проводнике заряду.

3. Отношение заряда проводника к его потенциалу для данного проводника есть величина постоянная, не зависящая ни от заряда, ни от потенциала. Следовательно, эта величина может служить характеристикой проводника. Она называется электроёмкостью или просто ёмкостью проводника.

Электроёмкость проводника – скалярная физическая величина, характеризующая связь между зарядом проводника и его потенциалом и численно равная заряду, который необходимо сообщить незаряженному проводнику, чтобы потенциал проводника стал равным единице:

С         q .        (1.27.2)

Здесь предполагается, что потенциал проводника отсчитывается относительно точек, в которых поле, созданное зарядом проводника, равно нулю, т.е. относительно бесконечности.

Ограничения в выборе нулевого уровня потенциала снимаются (потенциал проводника можно отсчитывать относительно любой точки пространства), если оценивать изменение потенциала проводника, обусловленное изменением заряда проводника.

В этом случае

* Теоретически уединённый проводник – это проводник, удалённый от других тел на бесконечно большое расстояние. Практически проводник можно считать уединённым, если сообщаемый ему заряд не вызывает сколько-нибудь заметного смещения зарядов в ближайших к проводнику телах.

С         q  или С

dq ,      (1.27.3)

d

где       и d   – изменения потенциала, соответствующие изменениям заряда проводника на конечную (  q) и бесконечно малую (dq) величину. В этом случае электроёмкость проводника численно равна количеству электричества, на которое нужно изменить заряд проводника, (уменьшить или увеличить),

чтобы потенциал проводника изменился на единицу: если       1 , то С            q .

Определения (1.27.2) и (1.27.3) равноправны и не приводят к различию численного значения емкости рассматриваемого проводника.

4. Электроёмкость уединённого проводника, погруженного в безграничную изотропную среду, зависит только от диэлектрической проницаемости среды и геометрических факторов – формы внешней поверхности проводника и его линейных размеров.

5. Ёмкость не зависит от материала проводника, его температуры и агрегатного состояния, от размеров и формы внутренних замкнутых полостей. Ёмкость уединённого проводника не зависит также от

заряда и потенциала проводника (нельзя, следовательно, формулу С

q  читать: «ёмкость прямо про 

порциональна заряду проводника и обратно пропорциональна его потенциалу»!)

6. Расчёт ёмкости уединённых проводников сводится, в конечном счёте, к расчёту их потенциалов.

Рассмотрим в качестве примера расчёт ёмкости уединённого шара. Предположим, что шару сообщили заряд q. Этот заряд создаст в окружающем пространстве электрическое поле, напряжённость ко 

торого в произвольной точке равна E

q

4          0 r 2

, а на поверхности шара       q

0

( r0    – радиус шара).

Для расчёта потенциала шара воспользуемся связью потенциала с напряжённостью, т.е.     d

Тогда

Edr .

 Edr

r0

q          dr

2

r0

q           

4          0  

1 

 r0

q

4          0 r0

.           (1.27.4)

Разделив заряд шара q на его потенциал   , получим формулу ёмкости уединённого шара:

q

С         4          0 r0 .    (1.27.5)

Ёмкость уединённого шара, погруженного в изотропный безграничный диэлектрик, зависит только от радиуса шара и от диэлектрической проницаемости среды.

7. Из формулы С

q  устанавливаются единицы измерения ёмкости.

Единица ёмкости в системе СИ называется фарад (Ф).

Фарад – это ёмкость такого уединённого проводника, потенциал которого изменяется на 1 вольт при изменении заряда на 1 кулон:

1 Ф      1 Кл .

1 В

Подставив в формулу (1.27.5) единицы С (фарад) и r0 (метр), найдём, что единицей электрической постоянной  0 в системе СИ является «фарад на метр» (Ф/м), убедитесь в том, что Ф/м и Кл2/Н м2 – одно и то же.

Фарад – весьма крупная единица ёмкости. Чтобы составить представление о величине этой единицы, найдём радиус шара, который, находясь в вакууме (  = 1), обладал бы ёмкостью в 1 фарад.

Из (1.27.5) получаем

C         1 Ф

4          0          4 3,14 8,85 10 12 Ф м

9 109 м .

Ёмкостью в один фарад обладал бы уединённый проводящий шар радиусом 9 млн. км! (Ёмкость

Земного шара всего лишь 7,1 10–4 Ф).

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1.  Как распределяются заряды, сообщённые проводнику?

2.  Сформулируйте условия равновесия зарядов на проводнике.

3.  Чему равна напряжённость электрического поля вблизи поверхности заряженного проводника?

4.  В чём заключается явление электростатической индукции и каково его принципиальное отличие от явления поляризации?

5.  Чему равны напряжённость и потенциал внутри проводника, внесённого в электростатическое поле?

6.  Что называется электроёмкостью проводника? От каких факторов зависит электроёмкость?

7.  Дайте определение единицы измерения электроёмкости в системе СИ.

КОНДЕНСАТОРЫ.

ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Источник: http://vuzmen.com/book/1543-yelektrichestvo-i-magnetizm-barsukov-vi/31-127-svyaz-mezhdu-zaryadom-i-potencialom-uedinyonnogo-provodnika-yelektroyomkost.html

1.2. Потенциал заряженного проводника

Связь между зарядом и потенциалом проводника

Таккаквстатистическизаряженномпроводникенапряженностьполявнутрипроводникаравнанулю,то,используясвязьмеждунапряженно­стьюиразностьюпотенциаловэлектрическогополя

можносделатьвывод,чтоприЕ= О

Следовательно,весьобъемпроводникаявляетсяэквипотенциальным:потенциалвовсехточкахпроводника,включаяиточкиегоповерхности,постоянен.

Еслиудалитьпроводникизэлектрическогополя,наведенныезарядыисчезают,частипроводникасновастановятсянезаряженными.

    1. Электроемкостьпроводника

Присообщенииуединенномупроводнику(т.е.проводнику,ненаходя­щемусявэлектрическомполеивблизикоторогонетдругихпроводников),зарядаqегопотенциализменяетсянавеличину.Опытпоказывает,чтомеждуqивсегдасуществуетпрямопропорциональнаязависи­мостьq~ отношениеq/дляданногопроводникаестьвеличинапостоянная.ЭтавеличинаобозначаетсябуквойСиноситназваниеэлектроемкости(емкости)проводника

Электроемкостьпроводникачисленноравнатомузаряду,которыйизме­няетпотенциалпроводниканаединицу.Действительно,при= 1,С= q.

Электроемкостьпроводниказависитотегоразмеровиформы,носо­вершеннонезависитотвеществасамогопроводника,Вчастности,сплошнойиполыйпроводникиодинаковойформыиодинаковыхразмеровимеютодинаковыеэлектроемкости.Однако,еслипроводникнаходитсявдиэлектрике,тоегоэлектроемкостьзависитотсвойствэтойсреды.

ВсистемеСИзаединицуэлектроемкостипринимаетсятакаяемкостьпроводника,прикоторойизменениезарядана1 Кулонсопровождаетсяизменениемпотенциалана1 Вольт,т.е.

Фарадаоченькрупнаяединицаэлектроемкости,поэтомунапрактикепользуютсямикро-ипикофарадами.

1.4. Взаимная емкость. Конденсаторы

Есливблизиданногопроводникапоместитьдругойзаряженныйпроводник,емкостьпервогоувеличиваетсяпосравнениюсемкостьюуединенногопроводника.Этообъясняетсятем,чтоподдействиемполя,созданногозаряженнымпроводником,наподнесенномкнемупроводникепроисходитперераспределениезарядов(рис.1.1).

Рис.1.1.Влияниеблизостипроводниковнаемкостьданногопроводника

Причемнаближнемкзаряженномупроводникуконцерасполагаетсязаряды,познакупротивоположныезарядупроводникаq.Онинесколькоослабятполе,создаваемоезарядомq.Поэтомупотенциалзаряженногопроводникауменьшаетсяпоабсолютнойвеличине.Аэтоозначаетувеличениеемкостипроводника.

Практическийинтереспредставляетсистемаиздвухблизкорасполо­женныхпроводниковсравнымиповеличине,нопротивоположнымипознакузарядами.ТогдавеличинаемкостиС,называемаявзаимнойемко­стьюдвухпроводников,равна

гдеq- заряднаодномизпроводниковсистемы,—разностьпотен­циаловмеждупроводниками.

Особенноважнымдляпрактикиявляетсясистемадвухпроводников,называемаяконденсатором.

Конденсатор-дваразноименнозаряженныхпроводника,разделенныхдиэлектриком,расположенныхтак,чтосоздаваемоеимиэлектрическоепо­лепрактическиполностьюсосредоточеномеждуэтимипроводниками.

Электроемкостьконденсаторапредставляетсобойвзаимнуюем­костьегообкладок.

Длявыводаформулыемкостивведемследующиеобозначения:S- площадьпластаны;d- расстояниемеждупластинами(d2«S,прита­кихусловияхполемеждуобкладкамиконденсатораможносчитатьодно­родным);q- зарядоднойизпластин(q= S);—разностьпотен­циаловмеждупластинами(рис.1.2).

Рис. 1.2. Схема включения конденсатора

ЕмкостьконденсатораСравна

Так как ,где-напряженностьполямеждуобкладкамиконденсатора,то

(1.7)

Где-относительнаядиэлектрическая проницаемость средымежду обкладкамиконденсатора; — электрическаяпостоянная, в системе СИ =8,85 10-12Ф/м

Емкостьконденсаторазависитотформыиразмеровегообкладок,отрасстояниямеждунимииотдиэлектрика,разделяющегообкладки.

Емкостьцилиндрическогоконденсатора

гдеR1иR2- радиусывнутреннегоивнешнегоцилиндров;-длинаци­линдров.

Емкостьсферическогоконденсатора

гдеR1и R2- радиусы сфер, образующих конденсатор.

Сопоставляяформулы(1.7), (1.8) и(1.9), видно,чтоэлектроемкостьлюбогоконденсаторапрямопропорциональнадиэлектрическойпро­ницаемостисредыиопределяетсяформойигеометрическимиразмерамиобкладок.

Каждыйконденсатор,кромеэлектроемкости,характеризуетсяещеипробивнымнапряжением,т.е.разностьюпотенциаловмеждуобкладками,прикоторойпроисходитэлектрическийразрядчерезслойдиэлектрикавконденсаторе(пробойдиэлектрика).

Дляпредотвращенияэтогоявлениярасстояниеdмеждуобкладкамиконденсаторанеследуетделатьменьшеdminопределяемогоравенством

гдеЕпроб-максимальноедопустимоезначениенапряженностиполядляданногодиэлектрика.

ПриЕ> Епробтоквдиэлектрикедостигаеточеньбольшихзначенийиприводиткразрушениюдиэлектрика.Припостоянномрасстояниимеждуобкладкамикконденсаторунельзяприкладыватьразностьпотенциалов,большуюнекоторогозначения

называемогопробивным напряжением данногоконденсатора. Пробивное напряжениезависим от толщины диэлектрика, егосвойств и формы об­кладокконденсатора.

Источник: https://studfile.net/preview/3015380/page:2/

Лекция № 2.§ 2 – 1 Потенциал электрического поля

Связь между зарядом и потенциалом проводника

Как уже отмечалось, пробный заряд в электрическом поле обладает потенциальной энергией. Однако величина этой энергии зависит от величины заряда q. Для того, чтобы можно было охарактеризовать само поле, условились относить величину потенциальной энергии заряда q к величине этого заряда.

Эту величину принято называть потенциалом электрического поля. Здесь необходимо напомнить, что само определение потенциальной энергии содержит в себе неоднозначность, т.к. эта энергия определена с точностью до некоторой постоянной.

Для однозначной характеристики электрического поля принято определять эту постоянную при удалении заряда q на бесконечность. Считается, что два за-ряда, удаленные друг от друга на бесконечность, не взаимодействуют, т.е. их энергия взаимодействия и, следовательно, постоянная равны нулю.

Поэтому можно сказать, что по-тенциалом электрического поля j называется работа по перемещению единичного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность.Из выражения для работы А следует, что потенциал j равен

j =

Потенциал – величина скалярная, он удовлетворяет принципу суперпозиции, т.е. потенциал от суммы зарядов равен сумме потенциалов от каждого заряда в отдельности. Если заряд q равный 1 Кулону, перемещается из одной точки поля в другую, то соответствующую работу называют разностью потенциалов или напряжением U, т.е.

Dj =U = ;

где R1 и R2 соответствуют начальному и конечному положению единичного положитель-ного зваряда. Единицей напряжения, как известно, служит один Вольт. При перемещении произвольного заряда q величина совершаемой работы увеличивается в q раз.

Связь между потенциалом и напряженностью электрического поля.

Связь между потенциалом и напряженностью поля легко установить из выражения для элементарной работы dA. Так dA можно записать через напряженность поля Е и перемещение dl: dA = qEcosbdl, где b — угол между Е и dl. С другой стороны, используя определение потенциала, работа dA = qdj . Из этих выражений следует, что dj = Ecosbdl =

= El dl, и

j = .

Обратная связь между напряженностью и приращением потенциала должна иметь вид , однако следует отметить, что напряженность поля – вектор.

Поэтому производная должна иметь смысл производной по направлению. Для положительного заряда вектора напряженности положительны и направлены от заряда и в сторону умень-шения потенциала.

Поэтому перед производной необходимо поставить знак минус, т.е.

.

Из этого выражения видно, что величина производной зависит от угла между Е и dl. Так для направления, перпендикулярного Е , проекция El равна нулю; наоборот, для направле-ния вдоль Е производная по dl максимальна и равна Е, т.е.

в направлении Е .

Термин «производная по направлению» становится более понятным в применении к прямо-угольным координатам. Рассматривая поочередно проекции Е на оси x,y и z можно напи-сать:

где i, j, и k — единичные вектора вдоль осей x, y и z соответственно. Сам вектор Е нахо-дится как сумма:

E = Ех + Еу + Еz .

В теории поля производная по направлению наибольшего изменения функции называется градиентом (grad ), т.е. связь между напряженностью и потенциалом имеет вид:

E = — grad j.

В направлении, перпендикулярном вектору Е, величина производной от потенциала рав-на нулю, т.е. в этом направлении потенциал остается постоянным.

Линии или поверхности, соединяющие точки с одинаковыми потенциалами, принято называть эквипотенциальны-ми. Примером топологии эквипотенциалей может служить рис.2 предыдущей лекции.

Соотношение Е = — Dj ¤Dl показывает, что напряженность поля можно измерять в единицахВольт / метр.

§ 2 – 2 Проводники в электрическом поле.

Статический заряд на проводниках распределяется так, чтобы поле внутри проводника было бы равно нулю. В противном случае возникновение электрического поля приведет к движению зарядов. Напомним, что проводники (металлы) характеризуются наличием сво-бодных электронов.

Нас же интересует статический случай, когда движение зарядов уже прекратилось. Поэтому заряды могут располагаться только на поверхности проводника, причем так, чтобы эта поверхность была эквипотенциальной, иначе при наличии разности в проводнике опять возникнет электрический ток.

Напряженность поля вблизи поверхности можно найти по теореме Гаусса, выбирая на ней достаточно малый элемент площади так, чтобы поле сохраняло свою однородность. Можно выбрать этот элемент так же, как и при вычислении поля от заряженной плоскости (см. рис.

6) с той лишь разницей, что поток через основание параллелпипеда, лежащее внутри проводника, будет равнен нулю ( поля внутри проводника нет). С учетом этого

.

Рис.9. Поле на остриях. По поверхности проводника заряды, вообще говоря, располагаются неравномерно. Так на острых концах наблюдается повышенная концентрация зарядов, при-водящая к увеличению напряженности поля иногда до таких значений, что окружающий острия воздух иони-зируется, и возникает кистевой разряд (огни Св. Эльма

на топах мачт судов во время бури).

Суть этих явлений в том, что элемент площади dS заряженного тела создает поле как снаружи, так и внутри тела, по поле, направленное внутрь, компенсируется действием соседних участков ( поле внутри проводника равно нулю). Если кривизна поверхности мала ( см. рис.9), то суммарное поле соседей dES тоже мало, но с увеличением кривизны оно возрастает так, что для его компенсации на выбран-

ном элементе dS должно скапливаться больше зарядов.

На незаряженном проводнике, помещенном в электрическое поле, происходит индук-ция зарядов. При этом заряды на ближнем и дальнем концах проводника по отношению к источнику поля имеют разные знаки так, что при исчезновении поля суммарный заряд на проводнике снова оказывается равным нулю. Это явление известно как электростатическая индукция.

Однако внешнее поле не может проникнуть внутрь проводника, что используется для так называемой электростатической экранировки: экранируемый объект обшивается ме-таллическими листами. Обратное, ввобще говоря, неверно: если внутри металлической по-лости по каким-либо причинам возникли заряды, то их действие распространяется за метал-лический экран.

Чтобы этого не происходило, экран требуется заземлить.

§ 2 – 3 Электроемкость.

Между зарядом и потенциалом проводника существует определенная взаимосвязь. Коэффициент пропорциональности между ними носит название электроемкости или прос-то емкости: Сj =q. Беря приращение от обеих частей, имеем: СDj =Dq или CU =Dq. Отсюда

. Единицей емкости является фарада (1F) .1F = ; 10-6 фарады = 1 мкф (микрофарада), 10-12 фарады = 1 пкф (пикофарада). Величину емкости любого проводника легко определить, деля величину заряда проводника на его потенциал. Так металлический шар радиуса R, несущий заряд Q, имеет потенциал

Следовательно, его емкость С равна С = 4pe0R.

Как видно из этой формулы, электроемкость пропорциональна размерам провод-ника,и для получения больших емкостей требуются гигантские размеры проводников. Даже Земля имеет емкость чуть больше 600 мкф.

Поэтому для практических целей используется система из двух противоположно заряженных пластин, называемая конденсатором. Геометрически это может быть плоская, цилиндрическая или шаровая конфигурация.

Самый простой случай – это плоский конденсатор. Как уже было показано, напряженность

Рис.10. К расчету емкости плоского конденсатора. поля от бесконечной заряженной пластины определяется формулой , где s = Q/S – заряд на единицу площади. Если пластины расположены достаточно близко друг к другу, так что поле сосредоточено в области между ними, то, как это видно из рис.10, поля от каждой пластины складываются в области между пластинами и уничтожаются в области снаружи плас-

тин. В этом случае в области между пластинами напряженность поля равна E = s/e0 и не зависит от расстояния (поле является однородным). Напряжение между пластинами U = Ed, где d – расстояние между пластинами. Поэтому емкость плоского конденсатора Сплс равна

Сплс =

Забегая немного вперед, можно обобщить это выражения для случая, когда область между пластинами заполнена диэлектриком с диэлектрической проницаемостью e, .

Известны и другие формы конденсаторов. Так, например, цилиндрические обкладки, разделенные слоем стекла, образуют так называемую лейденскую банку. В экспериментах по наблюдению фотоэффекта часто используется шаровой конденсатор. Не так давно, когда в радиотехнике использовались отдельные детали, был популярен трубчатый конденсатор.

Соединение конденсаторов.

Рис.11.Соединение конденсаторов. Конденсаторы можно соединять параллельно и последова-тельно друг с другом. В первом случае заряды на всех пла-стинах складываются и складываются емкости, тогда как потенциалы всех пластин одинакового знака оказываются одинаковыми: ; для последовательного соединения заряды на всех конден-саторах одинаковы, а складываются в этом случае напря-жения: ; ; . В частности, для двух последовательно соединенных кон-денсаторов общая емкость определяется как:

Энергия заряженного конденсатора.

Пусть имеется конденсатор емкости С, заряженный до напряжения U. Для того, чтобы перенести на него добавочный заряд dQ требуется совершить работу dA = UdQ; но в кон-денсаторе заряд и напряжение связаны соотношением Q = CU, дифференцируя которое, получим dQ =CdU. Тогда dA =CUdU, и полная работа, которую надо совершить для заряда конденсатора

.

Эта работа превращается в энергию электрического поля конденсатора .

Если учесть, что объем конденсатора V = Sd, то можно говорить о плотности энергии w, где

w = . Подставляя в последнюю формулу выражение для емкости плоского конденсатора и учитывая, что U = Ed = sd/e0 , находим:

w = .

Последнее выражение характеризует плотность энергии электрического поля.

Диэлектрики.

Дата добавления: 2019-07-26; просмотров: 77; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

ПОСМОТРЕТЬ ЁЩЕ:

Источник: https://helpiks.org/9-66389.html

При соединении проводников с различными потенциалами происходит выравнивание потенциалов

Связь между зарядом и потенциалом проводника

.

19.1. Проводники и их классификация

Проводники — вещества хорошо проводящие электрический ток, т.е. обладающие высокой электропроводностью ( малым удельным электросопротивлением )— r£ 10-6 + 10-4 Ом м .

К проводникам относятся: металлы и их сплавы, графит, некото­рые окислы и сернистые соединения металлов, электролиты и плазма.

Носителями зарядов в проводниках являются:

1) в металлах и их сплавах — квазисвободные электроны прово­димости;

2) в электролитах — положительные и отрицательные ионы;

3) в плазме — свободные электроны и ионы.

Все проводники можно подразделить на проводники первого и второго рода.

Проводники первого рода — металлы и их сплавы, графит, неко­торые окислы и сернистые соединения металлов.

Проводники второго рода — электролиты (растворы солей кислот и щелочей).

Отличительными особенностями проводников первого рода являют­ся:

1) электрический ток в них представляет собой — упорядоченное движение квазисвободных электронов проводимости, при этом никаких химических изменений в проводниках не происходит;

2) кристаллическое строение — последовательность правильно вложенных групп ионов, образующих пространственную кристаллическую решетку, в межузельном пространстве которой находятся квазисвобод­ные электроны проводимости.

19.2. Электростатическое поле в полости идеального проводника и у его поверхности. Электростатическая защита. Распределение зарядов в объеме проводника и по его поверхности

В отсутствие внешнего электрического поля заряды узлов крис­таллической решетки металлических проводников скомпенсированы за­рядами квазисвободных электронов проводимости. В поле на электроны проводимости действуют силы

F = q- E,

в результате происходит перераспределение электрических зарядов в объёме проводника (электростатическая индукция), которое приводит к появлению внутри проводника » собственного » электрического поля с напряженностью E' противоположного с Eo направления. Поэтому ус­ловием перераспределения ( движения ) электрических зарядов в объ­ёме проводника может служить выражение

E = Eo + E' ≠ 0,

где E — напряженность результирующего электрического поля: внешне­го и » собственного».

Перераспределение электрических зарядов в объёме проводника приводит к искажению внешнего электрического поля.

При

E= Eo + E' = 0 2.3

перераспределение электрических зарядов внутри проводника прекращается, поэтому выражение (2.3) называют условием равновесия зарядов в проводнике. Отсюда: не скомпенсированные электрические заряды ( в заряженном ) проводника могут находиться только на его поверхности.

Доказать приведенное утверждение можно воспользовавшись теоремой Остроградского — Гаусса:

Так как, внутри проводника

E= 0, то En = 0 и EndS = 0,

следовательно,

Sqi = 0 .

Между поверхностной плотностью заряда проводника и напряженностью электрического поля вблизи его поверхности существует связь, которую можно установить из следующих рассуждений: поверхностная плотность заряда проводника

(2.5)

В случае равномерного распределения заряда по поверхности проводника и его однородности

Поток вектора напряженности электрического поля E через замкнутую цилиндрическую поверхность, перпендикулярную некоторой площадке dS поверхности проводника

Ф' = Ф'o + Ф''o + Ф'б + Ф''б,

но так как внутри проводника E = 0, то Ф''о и Ф''б внутри проводника равны нулю. Ф'б тоже равен нулю, ибо En в любой точке боковой поверхности равна нулю. Следовательно

Ф' = Ф'o = E'n dS

Однако, согласно теореме Остроградского — Гаусса,

В нашем случае можно принять q = dq = d dS. 2.10

Таким образом

E’ndS = , (2.11)

откуда

E’ = , (2.12)

т.е. напряженность электрического поля вблизи поверхности проводника пропорциональна поверхностной плотности его заряда.

Надо отметить, что у выпуклых частей проводника эквипотенциальные поверхности расположены ближе одна от другой, чем у вогнутых, следовательно, у выпуклых частей проводника напряженность электрического поля и поверхностная плотность электрических зарядов больше, чем у вогнутых. Особенно велики они на остриях.

В результате вблизи выпуклых частей проводника возникает ионизация и движение ионов и молекул газа, возникает так называемый » электрический ветер «. Заряд проводника при этом уменьшается он как бы стекает с поверхности проводника. Такое явление называют истечением заряда с поверхности проводника ( с острия ).

Поверхностное распределение зарядов на проводниках используется для передачи заряда от одного проводника к другому, в устройстве электростатических машин для получения больших разностей потенциала.

Условие E = 0 внутри проводника используется для устройства электростатической защиты приборов от влияния внешних электрических полей. Клетка Фарадея С этой целью достаточно поместить прибор внутрь проводника — экрана.

Так как

E1 = E cosa =

внутри проводника, что возможно при

E = 0 , то

Таким образом, весь объём проводника, при условии равновесии заряда, является эквипотенциальным.

Поверхность такого проводника также является эквипотенциальной, так как при перемещении по ней в каждой точке E l, т.е. cosa = 0, a, следовательно,

2.15

Это означает, что при соединении проводников с различными потенциалами, происходит выравнивание потенциалов на проводниках, за счет переноса зарядов от одних проводников к другим, до тех пор пока у всех проводников потенциал не станет одним и тем же.

Равенство потенциала на всех соединенных между собой проводниках используется для экспериментального определения потенциала в различных точках электрического поля.

19.3. Электроемкость уединенного проводника и ее физический смысл. Коэффициенты емкости и взаимной емкости проводников

Опыты показывают, что изменение заряда проводника приводит к изменению его потенциала, а отношение изменения зарядаq к изменению потенциала f для данного проводника остается величиной постоянной. Следовательно, каждый проводник можно характеризовать отношением

или , 2.16

которое и называется электроемкостью уединенного проводника.

В выражении (19.16) k — коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц измерения физических величин. В системе СИ: k = 1,

или 2.17

Таким образом, электроемкость уединенного проводника это физическая величина, численно равная количеству электричества, на которое необходимо изменить заряд проводника, чтобы его потенциал изменился на единицу. В этом и заключается физический смысл электроемкости уединенного проводника.

При q = 0, j = 0, а ∆q пропорционально ∆j, то и q j, следовательно,

2.18

В системе СИ 2.19

Экспериментальные данные говорят о том, что электроемкость (емкость ) проводника зависит только от формы его поверхности, линейных размеров, расположения проводника относительно других проводников и диэлектрической проницаемости среды окружающей проводник.

https://www.youtube.com/watch?v=OH5UN-AZfQc

За единицу емкости принимается емкость такого проводника, потенциал которого изменяется на единицу при изменении его заряда на единицу.

В системе СИ единицей емкости является 1 Ф (Фарада).

1 Ф = 1 Кл/В = 10-6 мкФ = 10-12 пФ.

19.4. Конденсаторы и их емкость

Отдельно взятые проводники обладают малой емкостью. Увеличить емкость проводника можно приблизив к нему другой проводник. Полученное устройство называют конденсатор.

Конденсаторы, принебольших потенциалах способны накапливать ( «конденсировать» ) значительные по величине заряды. Образующие конденсатор проводники называют обкладками или пластинами.

На обкладках конденсаторов накапливаются равные по величине но противоположные по знаку заряды.

Под электроемкостью (емкостью) конденсатора подразумевают физическую величину, численно равную отношению величины заряда одного знака к разности потенциалов между обкладками:

2.20

Емкость конденсаторов измеряется в тех же единицах, что и емкость проводника.

Величина емкости конденсатора определяется его геометрическими размерами, формой и диэлектрической проницаемостью среды, заполняющей пространство между обкладками.

Наибольшее распространение получили плоские, цилиндрические и сферические конденсаторы.

19.4.1. Емкость плоского конденсатора

Плоский конденсатор представляет собой две пластины, расположенные на некотором расстоянии друг от друга, пространство между которыми заполнено слоем диэлектрика.

Если площадь одной из обкладок S , а заряд на ней q ,то нап­ряженность электрического поля между обкладками

,

но

,

где d — расстояние между обкладками, следовательно

,

откуда

Из (2.24) видно, что емкость плоского конденсатора действи­тельно зависит от его геометрических размеров и диэлектрической проницаемости среды, заполняющей пространство между обкладками, кроме того из нее можно получить размерность диэлектрической проницаемости вакуума:

2.25

[ ] =

19.4.2. Цилиндрический конденсатор

Цилиндрический конденсатор представляет собой устройство из двух цилиндрических обкладок, имеющих общую ось ( коаксиальных ), разделенных слоем диэлектрика цилиндрической формы.

Электрическое поле такого конденсатора представляет собой суперпозицию двух полей цилиндрических поверхностей, имеющих равные по величине, но противоположные по знаку заряды.

Напряженность такого электрического поля

Разность потенциалов между обкладкам

2.27

где R1 и R2 — соответственно радиусы внутренней и внешней обкладок.

Таким образом

При d = R2 — R1

Источник: https://studopedia.ru/13_13550_ispolzuya-teoremu-ostrogradskogo--gaussa-legko-pokazat-chto-napryazhennost-elektricheskogo-polya-vblizi-provodnika-opredelyaetsya-poverhnostnoy-plotnostyu-zaryadov-na-ego-poverhnosti.html

Booksm
Добавить комментарий