Свойства векторов

11.1. Основные понятия и свойства

Свойства векторов

Вектором называется направленный отрезок. Если у отрезка AB его концы равноправны, то для вектора один из концов отрезка, например, A называется началом, а другой, то есть B, – концом. Обозначим вектор либо указанием концов отрезка, причем начало вектора ставится на первое место, либо строчной латинской буквой со стрелкой или чертой над буквами.

1
Рисунок 11.1.1.Отрезок AB
2
Рисунок 11.1.2.Вектор
3
Рисунок 11.1.3.Вектор

На рис. 11.1.1 изображен обычный отрезок AB, а на рис. 11.1.2 – вектор на рис. 11.1.3 – вектор

Векторы и называются одинаково направленными или сонаправленными, если лучи AB и CD одинаково направлены. Если лучи AB и CD противоположно направлены, векторы и называются противоположно направленными. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

4
Рисунок 11.1.4.Коллинеарные векторы

Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютную величину вектора обозначим Два вектора называются равными, если они одинаково направлены и равны по абсолютной величине. На рис. 11.1.5 вектор а вектор

5
Рисунок 11.1.5.Равенство векторов

Углом между ненулевыми векторами и называется угол BAC. Углом между любыми двумя ненулевыми векторами и называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами равен нулю.

Нулевым вектором  называется вектор, у которого начало совпадает с концом. Направление нулевого вектора не определено, а его модуль считается равным нулю. Вектор называется единичным, если его абсолютная величина равна единице.

Замечание 11.1

Любую пару векторов, один из которых равен нулевому вектору будем считать коллинеарными.

Теорема 11.1. 

Два вектора, сонаправленные с третьим вектором, сонаправлены.

Пусть данные векторы и сонаправлены с вектором Докажем, что сонаправлен с
6
Рисунок 11.1.6.К теореме 11.1

сонаправлен с Следовательно, прямые AB и MN – параллельны, и существует такая прямая l, перпендикулярная им обеим, что лучи AB и MN лежат в одной полуплоскости от l.

сонаправлен с Следовательно, прямые CD и MN параллельны, и существует прямая такая что лучи CD и MN лежат в одной полуплоскости.

Так как (AB) || (MN) и (CD) || (MN), то (AB) || (CD). и тогда по следствию 4.1 Тогда из двух полуплоскостей, которые образуются при разбиении плоскости прямыми l1 и l и содержат луч MN, одна содержит другую.

Пусть эта полуплоскость ограничена прямой l и содержит луч MN. Тогда она содержит лучи MN, AB и CD. Отсюда следует, что [AB) и [CD) лежат в одной полуплоскости от прямой l и лежат на параллельных прямых и, следовательно, одинаково направлены.

Отсюда векторы и сонаправлены. Теорема доказана.

Свойства равенства векторов:

  • каждый вектор равен самому себе;
  • если вектор равен вектору то равен
  • два вектора, равные третьему, равны.

Теорема 11.2. 

Пусть даны два вектора и не лежащие на одной прямой. Соединим начала A и C и концы B и D этих векторов. Если четырехугольник ABDC – параллелограмм, то и наоборот, если то четырехугольник ABDC – параллелограмм.

По свойству параллелограмма AB = CD и (AB) параллельна (CD). Кроме того, лучи AB и CD лежат по одну строну от прямой AC. Поэтому и сонаправлены. Значит, Обратно: пусть и прямые AB и CD не совпадают. Тогда эти прямые параллельны. Кроме того, Отсюда по признаку параллелограмма  ABDC – параллелограмм. Теорема доказана.
7
Рисунок 11.1.7.К теореме 11.2

Теорема 11.3. 

Если то

Пусть даны равные векторы и Если они не лежат на одной прямой, то согласно теореме 11.2 ABCD – параллелограмм иПусть и лежат на одной прямой. Введем на этой прямой координату x, и пусть числа     – координаты соответственно точек A, B, C, D. Тогда условие означает, что для этих координат выполнено равенство Отсюда следует, что , а это означает, что
8
Рисунок 11.1.8.К теореме 11.3

Замечание. Равенство |xB – xA| = |xD – xC| означает равенство длин отрезков AB и CD, т. е. AB = CD; совпадение знаков разностей и означает сонаправленность векторов и

Пусть на плоскости Oxy точка  – начало вектора а точка  – его конец.

Координатами вектора  называются числа Для обозначения того, что вектор имеет координаты и используют запись Длина отрезка равна и равна по определению абсолютной величине вектора Радиус-вектором точки M (x; y) плоскости Oxy называется вектор с началом в точке O (0, 0) и концом в точке M (x; y).

Теорема 11.4. 

Если два вектора равны, то равны и их соответствующие координаты.

Пусть и – равные векторы, где     – концы отрезков AB и CD. Если и не лежат на одной прямой, то из равенства векторов следует, что четырехугольник ABCD – параллелограмм (см. теорему 11.2). Тогда x2 – x1 = x4 – x3, y2 – y1 = y4 – y3, и теорема доказана.
9
Рисунок 11.1.9.К теореме 11.4

Если векторы лежат на одной прямой l, рассмотрим прямую и вектор на ней, равный данным. Пусть Так как и равны и лежат на параллельных прямых, из предыдущего пункта   С другой стороны и аналогично   Сравнивая равенства, получаем требуемое x2 – x1 = x4 – x3, y2 – y1 = y4 – y3.

Теорема 11.5. 

Если у двух векторов соответствующие координаты равны, то эти векторы равны.

Пусть и – два различных вектора, причем и Пусть координаты соответственно точек A, B, C и D. Тогда Из этих равенств следует, что  
  1. Если и не лежат на одной прямой, то последние равенства означают, что диагонали параллелограмма ABCD при пересечении делятся пополам. Тогда ABDC – параллелограмм, и отсюда по теореме 11.2
  2. Если и лежат на одной прямой l, рассмотрим прямую и вектор на ней, равный Пусть – координаты соответственно точек M и N. Тогда по теореме 11.4   Так как векторы и не лежат на одной прямой, и их координаты равны, то по доказанному в предыдущем пункте С учетом того, что по выбору, по свойству 3 равенства векторов два вектора и равные третьему вектору равны, т. е. Теорема доказана.

Математика, Аннглийский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: online подготовка к ЕГЭ на College.ru, библиотека ЭОРов и обучающие программы на Multiring.ru.

Источник: https://mathematics.ru/courses/planimetry/content/chapter11/section/paragraph1/theory.html

Свойства векторов

Свойства векторов

Перед тем как вводить свойства векторов, введем, непосредственно, понятие вектора, а также понятия их сложения, умножения на число и их равенства.

Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок. Введем следующее определение.

Определение 1

Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.

Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу — его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.

Определение 2

Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.

Обозначение: Двумя буквами: $\overline{AB}$ — (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).

Одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).

Введем еще несколько понятий, связанных с понятием вектора.

Чтобы ввести определение равенства двух векторов, сначала нужно разобраться с такими понятиями, как коллинеарность, сонаправленность, противоположная направленность двух векторов, а также длину вектора.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Определение 3

Два ненулевых вектора будем называть коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой или на прямых, параллельных друг другу (рис.2).

Определение 4

Два ненулевых вектора будем называть сонаправленными, если они удовлетворяют двум условиям:

  1. Эти векторы коллинеарны.
  2. Если они будут направлены в одну сторону (рис. 3).

Обозначение: $\overline{a}↑↑\overline{b}$

Определение 5

Два ненулевых вектора будем называть противоположно направленными, если они удовлетворяют двум условиям:

  1. Эти векторы коллинеарны.
  2. Если они направлены в разные стороны (рис. 4).

Обозначение: $\overline{a}↑↓\overline{d}$

Определение 6

Длиной вектора $\overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.

Обозначение: $|\overline{a}|$

Перейдем к определению равенства двух векторов

Определение 7

Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям:

  1. Они сонаправлены;
  2. Их длины равны (рис. 5).

Осталось ввести понятие сложения векторов, а также их умножения на число.

Определение 8

Суммой векторов $\overline{a+b}$ будем называть вектор $\overline{c}=\overline{AC}$, который построен следующим образом: От произвольной точки A отложем $\overline{AB}=\overline{a}$, далее от точки $B$ отложем $\overline{BC}=\overline{b}$ и соединим точку $A$ c точкой $C$ (рис. 6).

Определение 9

Произведением вектора $\overline{a}$ на $k∈R$ будем называть вектор $\overline{b}$ который будет удовлетворять условиям:

  1. $|\overline{b}|=|k||\overline{a}|$;
  2. $\overline{a}↑↑\overline{b}$ при $k≥0$ и, $\overline{a}↑↓\overline{b}$ при $k

Свойства сложения векторов

Введем свойства сложения для трех векторов $\overline{α}$, $\overline{β}$ и $\overline{γ}$:

  1. Коммутативность сложения векторов:

    $\overline{α}+\overline{β}=\overline{β}+\overline{α}$

  2. Ассоциативность трех векторов по сложению:

    $(\overline{α}+\overline{β})+\overline{γ}=\overline{α}+(\overline{β}+\overline{γ})$

  3. Сложение с нулевым вектором:

    $\overline{α}+\overline{0}=\overline{α}$

  4. Сложение противоположных векторов

    $\overline{α}+(\overline{-α})=\overline{0}$

Все эти свойства можно легко проверить с помощью построений таких векторов с помощью определения 8. В двух первых сравнением построенных векторов с правой и левой частей равенства, а в третьем и четвертом с помощью построения вектора с левой стороны.

Свойства умножения вектора на число

Введем свойства умножения для двух векторов $\overline{α}$, $\overline{β}$ и чисел $a$ и $b$.

  1. $a(\overline{α}+\overline{β})=a\overline{α}+a\overline{β}$
  2. $\overline{α}(a+b)=\overline{α}a+\overline{α}b$
  3. $(ab)\overline{α}=a(b\overline{α})=b(a\overline{α})$
  4. $1\cdot \overline{α}=\overline{α}$

Все эти свойства можно легко проверить с использованием определений 8 и 9. В двух первых сравнением построенных векторов с правой и левой частей равенства, в третьем сравнением всех векторов, входящих в равенство, и в четвертом с помощью построения вектора с левой стороны.

Пример задачи

Пример 1

Провести сложение векторов

$2\overline{AB}+(2\overline{BC}+3\overline{AC})$

Решение.

Используя свойство сложения 2, получим:

$2\overline{AB}+(2\overline{BC}+3\overline{AC})=(2\overline{AB}+2\overline{BC})+3\overline{AC}$

Используя свойство умножения на число 1, получим:

$(2\overline{AB}+2\overline{BC})+3\overline{AC}=2(\overline{AB}+\overline{BC})+3\overline{AC}=2\overline{BC}+3\overline{AC}=5\overline{AC}$

Ответ: $5\overline{AC}$.

Источник: https://spravochnick.ru/geometriya/vektory/svoystva_vektorov/

Вектор. Основные свойства

Свойства векторов

>> Лекции >> Аналитическая геометрия >> Основные свойства векторов

Определение Упорядоченную совокупность ( x1, x2, … , x n ) n вещественных чисел называют n-мерным вектором, а числа xi ( i = 1,…,n) — компонентами, или координатами, вектора.

Пример. Если, например, некоторый автомобильный завод должен выпустить в смену 50 легковых автомобилей, 100 грузовых, 10 автобусов, 50 комплектов запчастей для легковых автомобилей и 150 комплектов для грузовых автомобилей и автобусов, то производственную программу этого завода можно записать в виде вектора (50, 100, 10, 50, 150), имеющего пять компонент.

Обозначения. Векторы обозначают жирными строчными буквами или буквами с чертой или стрелкой наверху, например, a или . Два вектора называются равными, если они имеют одинаковое число компонент и их соответствующие компоненты равны.

https://www.youtube.com/watch?v=KBL2m6Wrhcw

Компоненты вектора нельзя менять местами, например, (3, 2, 5, 0, 1) и (2, 3, 5, 0, 1) разные вектора.
Операции над векторами. Произведением вектора x = (x1, x2 , … ,xn) на действительное число λ называется вектор λ x = (λ x1, λ x2, … , λ xn).

Суммой векторов x = (x1, x2, … ,xn) и y = (y1, y2 , … ,yn) называется вектор x + y = (x1 + y1, x2 + y2, … , x n+ + yn).

Пространство векторов. Nмерное векторное пространствоRn определяется как множество всех n-мерных векторов, для которых определены операции умножения на действительные числа и сложение.

Экономическая иллюстрация. Экономическая иллюстрация n-мерного векторного пространства: пространство благ (товаров).

Под товаром мы будем понимать некоторое благо или услугу, поступившие в продажу в определенное время в определенном месте.

Предположим, что существует конечное число наличных товаров n; количества каждого из них, приобретенные потребителем, характеризуются набором товаров

x = (x1, x2, …, xn),

где через xi обозначается количество i-го блага, приобретенного потребителем. Будем считать, что все товары обладают свойством произвольной делимости, так что может быть куплено любое неотрицательное количество каждого из них. Тогда все возможные наборы товаров являются векторами пространства товаров C = { x = (x1, x2, … , xn) xi ≥ 0, i =1,…,n}.

Линейная независимость. Система e1, e2, … , em n-мерных векторов называется линейно зависимой, если найдутся такие числа λ1, λ2, …

, λm, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что выполняется равенство λ1 e1 + λm em = 0; в противном случае данная система векторов называется линейно независимой, то есть указанное равенство возможно лишь в случае, когда все λ1=λ2=…=λm=0.

Геометрический смысл линейной зависимости векторов в R3, интерпретируемых как направленные отрезки, поясняют следующие теоремы.

Теорема 1. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.

Теорема 2. Для того, чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны (параллельны).

Теорема 3. Для того, чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны (лежали в одной плоскости).

Левая и правая тройки векторов.

Тройка некомпланарных векторов a, b, c называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, c в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. B противном случае a, b, c левая тройка. Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаковоориентированными.

Базис и координаты. Тройка e1, e2,e3 некомпланарных векторов в R3 называется базисом, а сами векторы e1, e2,e3 — базисными. Любой вектор a может быть единственным образом разложен по базисным векторам, то есть представлен в виде

а = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3,                                                                            (1.1)

числа x1, x2, x3 в разложении (1.1) называются координатами вектора a в базисе e1, e2,e3 и обозначаются a(x1, x2, x3).

Ортонормированный базис. Если векторы e1, e2,e3 попарно перпендикулярны и длина каждого из них равна единице, то базис называется ортонормированным, а координаты x1, x2, x3 — прямоугольными. Базисные векторы ортонормированного базиса будем обозначать i, j, k.

Будем предполагать, что в пространстве R3 выбрана правая система декартовых прямоугольных координат {0, i, j, k}.

Векторное произведение. Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор c, который определяется следующими тремя условиями:

1. Длина вектора c численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b, т. е.
c
= |a||b| sin (ab).

2. Вектор c перпендикулярен к каждому из векторов a и b.

3. Векторы a,b и c, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку.

Для векторного произведения c вводится обозначение c = [ab] или
c = a × b.

Если векторы a и b коллинеарны, то sin(ab) = 0 и [ab] = 0, в частности, [aa] = 0. Векторные произведения ортов: [ij]= k, [jk] = i, [ki]= j.

Если векторы a и b заданы в базисе i, j, k координатами a(a1, a2, a3), b(b1, b2, b3), то

Смешанное произведение. Если векторное произведение двух векторов а и b скалярноумножается на третий вектор c, то такое произведение трех векторов называется смешанным произведением и обозначается символом ab c.

Если векторы a, b и c в базисе i, j, k заданы своими координатами
a(a1, a2, a3), b(b1, b2, b3), c(c1, c2, c3), то

.

Смешанное произведение имеет простое геометрическое толкование — это скаляр, по абсолютной величине равный объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах.

Если векторы образуют правую тройку, то их смешанное произведение есть число положительное, равное указанному объему; если же тройка a, b, c — левая, то a b c0.

Имеем систему уравнений для нахождения x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x2 + y2 + z2 = 0.

Из первого и второго уравнений системы получим z = -4/3 x, y = -5/6 x. Подставляя y и z в третье уравнение, будем иметь: x2 = 36/125, откуда
x = ± . Используя условие a b c >0, получим неравенство

С учетом выражений для z и y перепишем полученное неравенство в виде: 625/6 x > 0, откуда следует, что x>0. Итак, x = , y = -, z =-.

Источник: https://www.mathelp.spb.ru/book1/vector.htm

Линейная зависимость векторов

Определение.Векторы называются линейнозависимыми,если существует такая линейная комбинация,при не равных нулю одновременно i, т.е. .

Еслиже только при i= 0 выполняется ,то векторы называются линейно независимыми.

Свойство1. Еслисреди векторов есть нулевой вектор, то эти векторылинейно зависимы.

Свойство2. Если ксистеме линейно зависимых векторовдобавить один или несколько векторов,то полученная система тоже будет линейнозависима.

Свойство3. Системавекторов линейно зависима тогда и толькотогда, когда один из векторов раскладываетсяв линейную комбинацию остальных векторов.

Свойство4. Любые 2коллинеарных вектора линейно зависимыи, наоборот, любые 2 линейно зависимыевекторы коллинеарны.

Свойство5. Любые 3компланарных вектора линейно зависимыи, наоборот, любые 3 линейно зависимыевекторы компланарны.

Свойство6. Любые 4вектора линейно зависимы.

Система координат

Дляопределения положения произвольнойточки могут использоваться различныесистемы координат. Положение произвольнойточки в какой- либо системе координатдолжно однозначно определяться.

Понятиесистемы координат представляет собойсовокупность точки начала отсчета(начала координат) и некоторого базиса.Как на плоскости, так и в пространствевозможно задание самых разнообразныхсистем координат.

Выбор системы координатзависит от характера поставленнойгеометрической, физической или техническойзадачи. Рассмотрим некоторые наиболеечасто применяемые на практике системыкоординат.

Декартова система координат

Зафиксируемв пространстве точку О и рассмотримпроизвольную точку М.

Векторназовем радиус- вектором точки М. Еслив пространстве задать некоторый базис,то точке М можно сопоставить некоторуютройку чисел – компоненты ее радиус-вектора.

Определение.Декартовойсистемой координатв пространстве называется совокупностьточки и базиса. Точка называется началомкоординат.Прямые, проходящие через начало координатназываются осямикоординат.

1-яось – ось абсцисс

2-яось – ось ординат

3-яось – ось апликат

Чтобынайти компоненты вектора нужно изкоординат его конца вычесть координатыначала.

Еслизаданы точки А(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2),то =(x2– x1,y2– y1,z2– z1).

Определение.Базис называется ортонормированным,если его векторы попарно ортогональныи равны единице.

Определение.Декартова система координат, базискоторой ортонормирован называетсядекартовойпрямоугольной системой координат.

Пример.Даны векторы(1;2; 3), (-1;0; 3), (2;1; -1) и (3;2; 2) в некотором базисе. Показать, чтовекторы ,и образуютбазис и найти координаты вектора в этом базисе.

Векторыобразуют базис, если они линейнонезависимы, другими словами, если уравнения, входящие в систему:

линейнонезависимы.

Тогда.

Этоусловие выполняется, если определительматрицы системы отличен от нуля.

Длярешения этой системы воспользуемсяметодом Крамера.

1=

;

2=

3=

Итого,координаты вектора вбазисе ,,: { -1/4, 7/4, 5/2}.

Прииспользовании компьютерной версии“Курса высшейматематики”можно запустить программу, котораяпозволит разложить любой вектор полюбому новому базису, т.е. решитьпредыдущий пример для любых векторов ,,,.

Длязапуска программы дважды щелкните позначку:

Воткрывшемся окне программы введитекоординаты векторов и нажмитеEnter.

Примечание:Для запуска программы необходимо чтобына компьютере была установлена программаMaple(WaterlooMapleInc.)любой версии, начиная с MapleVRelease4.

Длинавектора в координатахопределяется как расстояние междуточками начала и конца вектора. Еслизаданы две точки в пространстве А(х1,y1,z1),B(x2,y2,z2),то .

Еслиточка М(х, у, z)делит отрезокАВ в соотношении /,считая от А, то координаты этой точкиопределяются как:

Вчастном случае координаты серединыотрезканаходятся как:

x= (x1+ x2)/2; y= (y1+ y2)/2; z= (z1+ z2)/2.

Источник: https://studfile.net/preview/5615845/page:8/

Booksm
Добавить комментарий