Суперпозиция многих волн с равными амплитудами

Интерференция волн

Суперпозиция многих волн с равными амплитудами

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: интерференция света.

В предыдущем листке, посвящённом принципу Гюйгенса, мы говорили о том, что общая картина волнового процесса создаётся наложением вторичных волн. Но что это значит — «наложением»? В чём состоит конкретный физический смысл наложения волн? Что вообще происходит, когда в пространстве одновременно распространяются несколько волн? Этим вопросам и посвящён данный листок.

Сложение колебаний

Сейчас мы будем рассматривать взаимодействие двух волн. Природа волновых процессов роли не играет — это могут быть механические волны в упругой среде или электромагнитные волны (в частности, свет) в прозрачной среде или в вакууме.

Опыт показывает, что волны складываются друг с другом в следующем смысле.

Принцип суперпозиции. Если две волны накладываются друг на друга в определённой области пространства, то они порождают новый волновой процесс. При этом значение колеблющейся величины в любой точке данной области равно сумме соответствующих колеблющихся величин в каждой из волн по отдельности.

Например, при наложении двух механических волн перемещение частицы упругой среды равно сумме перемещений, создаваемых в отдельности каждой волной. При наложении двух электромагнитных волн напряжённость электрического поля в данной точке равна сумме напряжённостей в каждой волне (и то же самое для индукции магнитного поля).

Разумеется, принцип суперпозиции справедлив не только для двух, но и вообще для любого количества накладывающихся волн. Результирующее колебание в данной точке всегда равно сумме колебаний, создаваемых каждой волной по отдельности.

Мы ограничимся рассмотрением наложения двух волн одинаковой амплитуды и частоты. Этот случай наиболее часто встречается в физике и, в частности, в оптике.

Оказывается, на амплитуду результирующего колебания сильно влияет разность фаз складывающихся колебаний. В зависимости от разности фаз в данной точке пространства две волны могут как усиливать друг друга, так и полностью гасить!

Предположим, например, что в некоторой точке фазы колебаний в накладывающихся волнах совпадают (рис. 1).

Рис. 1. Волны в фазе: усиление колебаний

Мы видим, что максимумы красной волны приходятся в точности на максимумы синей волны, минимумы красной волны — на минимумы синей (левая часть рис. 1). Складываясь в фазе, красная и синяя волны усиливают друг друга, порождая колебания удвоенной амплитуды (справа на рис. 1).

Теперь сдвинем синюю синусоиду относительно красной на половину длины волны. Тогда максимумы синей волны будут совпадать с минимумами красной и наоборот — минимумы синей волны совпадут с максимумами красной (рис. 2, слева).

Рис. 2. Волны в противофазе: гашение колебаний

Колебания, создаваемые этими волнами, будут происходить, как говорят, в противофазе — разность фаз колебаний станет равна . Результирующее колебание окажется равным нулю, т. е. красная и синяя волны попросту уничтожат друг друга (рис. 2, справа).

Когерентные источники

Пусть имеются два точечных источника, создающие волны в окружающем пространстве. Мы полагаем, что эти источники согласованы друг с другом в следующем смысле.

Когерентность. Два источника называются когерентными, если они имеют одинаковую частоту и постоянную, не зависящую от времени разность фаз. Волны, возбуждаемые такими источниками, также называются когерентными.

Итак, рассматриваем два когерентных источника и . Для простоты считаем, что источники излучают волны одинаковой амплитуды, а разность фаз между источниками равна нулю. В общем, эти источники являются «точными копиями» друг друга (в оптике, например, источник служит изображением источника в какой-либо оптической системе).

Наложение волн, излучённых данными источниками, наблюдается в некоторой точке . Вообще говоря, амплитуды этих волн в точке не будут равны друг другу — ведь, как мы помним, амплитуда сферической волны обратно пропорциональна расстоянию до источника, и при разных расстояниях и амплитуды пришедших волн окажутся различными.

Но во многих случаях точка расположена достаточно далеко от источников — на расстоянии гораздо большем, чем расстояние между самими источниками. В такой ситуации различие в расстояниях и не приводит к существенному отличию в амплитудах приходящих волн.

Следовательно, мы можем считать, что амплитуды волн в точке также совпадают.

Условие максимума и минимума

Однако величина , называемая разностью хода, имеет важнейшее значение. От неё самым решительным образом зависит то, какой результат сложения приходящих волн мы увидим в точке .

Рис. 3. Усиление колебаний в точке P

В ситуации на рис. 3 разность хода равна длине волны .

Действительно, на отрезке укладываются три полных волны, а на отрезке — четыре (это, конечно, лишь иллюстрация; в оптике, например, длина таких отрезков составляет порядка миллиона длин волн).

Легко видеть, что волны в точке складываются в фазе и создают колебания удвоенной амплитуды — наблюдается, как говорят, интерференционный максимум.

Ясно, что аналогичная ситуация возникнет при разности хода, равной не только длине волны, но и любому целому числу длин волн.

Условие максимума. При наложении когерентных волн колебания в данной точке будут иметь максимальную амплитуду, если разность хода равна целому числу длин волн:

(1)

Теперь посмотрим на рис. 4. На отрезке укладываются две с половиной волны, а на отрезке -три волны. Разность хода составляет половину длины волны (d=\lambda /2[/math]).

Рис. 4. Гашение колебаний в точке P

Теперь нетрудно видеть, что волны в точке складываются в противофазе и гасят друг друга — наблюдается интерференционный минимум. То же самое будет, если разность хода окажется равна половине длины волны плюс любое целое число длин волн.

Условие минимума.
Когерентные волны, складываясь, гасят друг друга, если разность хода равна полуцелому числу длин волн:

(2)

Равенство (2) можно переписать следующим образом:

.

Поэтому условие минимума формулируют ещё так: разность хода должна быть равна нечётному числу длин полуволн.

Интерференционная картина

А что, если разность хода принимает какое-то иное значение, не равное целому или полуцелому числу длин волн? Тогда волны, приходящие в данную точку, создают в ней колебания с некоторой промежуточной амплитудой, расположенной между нулём и удвоенным значением 2A амплитуды одной волны. Эта промежуточная амплитуда может принимать все значения от 0 до 2A по мере того, как разность хода меняется от полуцелого до целого числа длин волн.

Таким образом, в той области пространства, где происходит наложение волн когерентных источников и , наблюдается устойчивая интерференционная картина — фиксированное не зависящее от времени распределение амплитуд колебаний. А именно, в каждой точке данной области амплитуда колебаний принимает своё значение, определяемое разностью хода приходящих сюда волн, и это значение амплитуды не меняется со временем.

Такая стационарность интерференционной картины обеспечивается когерентностью источников. Если, например, разность фаз источников будет постоянно меняться, то никакой устойчивой интерференционной картины уже не возникнет.

Теперь, наконец, мы можем сказать, что такое интерференция.

Интерференция — это взаимодействие волн, в результате которого возникает устойчивая интерференционная картина, то есть не зависящее от времени распределение амплитуд результирующих колебаний в точках области, где волны накладываются друг на друга.

Если волны, перекрываясь, образуют устойчивую интерференционную картину, то говорят попросту, что волны интерферируют. Как мы выяснили выше, интерферировать могут только когерентные волны. Когда, например, разговаривают два человека, то мы не замечаем вокруг них чередований максимумов и минимумов громкости; интерференции нет, поскольку в данном случае источники некогерентны.

На первый взгляд может показаться, явление интерференции противоречит закону сохранения энергии — например, куда девается энергия, когда волны полностью гасят друг друга? Но никакого нарушения закона сохранения энергии, конечно же, нет: энергия просто перераспределяется между различными участками интерференционной картины. Наибольшее количество энергии концентрируется в интерференционных максимумах, а в точки интерференционных минимумов энергия не поступает совсем.

На рис. 5 показана интерференционная картина, созданная наложением волн двух точечных источников и . Картина построена в предположении, что область наблюдения интерференции находится достаточно далеко от источников. Пунктиром отмечена ось симметрии интерференционной картины.

Рис. 5. Интерференция волн двух точечных источников

Цвета точек интерференционной картины на этом рисунке меняются от чёрного до белого через промежуточные оттенки серого. Чёрный цвет — интерференционные минимумы, белый цвет — интерференционные максимумы; серый цвет — промежуточное значение амплитуды, и чем больше амплитуда в данной точке, тем светлее сама точка.

Обратите внимание на прямую белую полосу, которая идёт вдоль оси симметрии картины. Здесь расположены так называемые центральные максимумы. Действительно, любая точка данной оси равноудалена от источников (разность хода равна нулю), так что в этой точке будет наблюдаться является интерференционный максимум.

Остальные белые полосы и все чёрные полосы слегка искривлены; можно показать, что они являются ветвями гипербол. Однако в области, расположенной на большом расстоянии от источников, кривизна белых и чёрных полос мало заметна, и выглядят эти полосы почти прямыми.

Интерференционный опыт, изображённый на рис. 5, вместе с соответствующим методом расчёта интерференционной картины называется схемой Юнга. Эта схема лежит в основе знаменитного
опыта Юнга (речь о котором пойдёт в теме Дифракция света). Многие эксперименты по интерференции света так или иначе сводятся к схеме Юнга.

В оптике интерференционную картину обычно наблюдают на экране. Давайте ещё раз посмотрим на рис. 5 и представим себе экран, поставленный перпендикулярно пунктирной оси.
На этом экране мы увидим чередование светлых и тёмных интерференционных полос.

На рис. 6 синусоида показывает распределение освещённости вдоль экрана. В точке O, расположенной на оси симметрии, находится центральный максимум. Первый максимум в верхней части экрана, соседний с центральным, находится в точке A. Выше идут второй, третий (и такдалее) максимумы.

Рис. 6. Интерференционная картина на экране

Расстояние , равное расстоянию между любыми двумя соседними максимумами или минимумами, называется шириной интерференционной полосы. Сейчас мы займёмся нахождением этой величины.

Пусть источники находятся на расстоянии друг от друга, а экран расположен на расстоянии от источников (рис. 7 ). Экран заменён осью ; начало отсчёта , как и выше, отвечает центральному максимуму.

Рис. 7. Вычисление координат максимумов

Точки и служат проекциями точек и на ось и расположены симметрично относительно точки . Имеем: .

Точка наблюдения может находиться на оси (на экране) где угодно. Координату точки
мы обозначим . Нас интересует, при каких значениях в точке будет наблюдаться интерференционный максимум.

Волна, излучённая источником , проходит расстояние:

. (3)

Теперь вспомним, что расстояние между источниками много меньше расстояния от источников до экрана: . Кроме того, в подобных интерференционных опытах координата точки наблюдения также гораздо меньше . Это означает, что второе слагаемое под корнем в выражении (3) много меньше единицы:

.

Раз так, можно использовать приближённую формулу:

(4)

Применяя её к выражению (4), получим:

(5)

Точно так же вычисляем расстояние, которое проходит волна от источника до точки наблюдения:

. (6)

Применяя к выражению (6) приближённую формулу (4), получаем:

. (7)

Вычитая выражения (7) и (5), находим разность хода:

. (8)

Пусть — длина волны, излучаемой источниками. Согласно условию (1), в точке будет наблюдаться интерференционный максимум, если разность хода равна целому числу длин волн:

Отсюда получаем координаты максимумов в верхней части экрана (в нижней части максимумы идут симметрично):

При получаем, разумеется, (центральный максимум). Первый максимум рядом с центральным соответствует значению и имеет координату .Такой же будет и ширина интерференционной полосы:

.

Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/fizika/interferenciya-voln/

Принцип суперпозиции. Групповая скорость

Суперпозиция многих волн с равными амплитудами

      Если свойства среды не изменяются под действием возмущений, создаваемых волной, то к ним применим принцип суперпозиции (наложения волн)при распространении в такой среде нескольких волн, каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды равно геометрической сумме смещений частиц.

      Строго монохроматическая волна представляет собой бесконечную во времени и пространстве последовательность «горбов» и «впадин».

. (5.4.1)

      Фазовая скорость этой волны

                                          или  .                                                     

      С помощью такой волны нельзя передавать сигнал, так как в любой точке волны все «горбы» одинаковы. Сигнал должен отличаться, быть знаком (меткой) на волне. Но тогда волна уже не будет описываться уравнением (5.4.1).

      Сигнал (импульс) можно представить (согласно теореме Фурье) в виде суперпозиции гармонических волн с частотами, заключенными в некотором интервале . Суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, называется волновым пакетом или группой волн(рис. 5.2).

Рис. 5.2

      Выражение для группы волн:

. (5.4.2)

      Этот волновой пакет может быть суммой двух волн с мало отличающимися частотами (рис. 5.3).

Рис. 5.3

      Там, где фазы совпадают, наблюдается усиление амплитуды, где нет – гашение (результат интерференции).

      Чтобы суперпозицию можно было считать группой волн, необходимо условие .

      Дисперсияэто зависимость фазовой скорости в среде от частоты.

      В недиспергирующей среде все плоские волны, образующие пакет, распространяются с одинаковой фазовой скоростьюυ.Очевидно, что в данном случае скорость перемещения пакета совпадает со скоростью υ.

В диспергирующей среде каждая волна диспергирует со своей скоростью, пакет с течением времени расплывается, его ширина увеличивается.

Если дисперсия невелика, то расплывание не происходит слишком быстро и пакету можно приписать скорость u(рис. 5.4).

Рис. 5.4

      Скорость, с которой перемещается центр пакета (точка с максимальным значением А), называетсягрупповой скоростьюu.

      В диспергирующей среде . Вместе с движением самого пакета происходит движение «горбов» внутри пакета. «Горбы» перемещаются со скоростью υ, а пакет в целом с u.

      Рассмотрим это подробнее на примере суперпозиции двух волн с одинаковой амплитудой и разными длинами волн l.

      Уравнения волн (при начальной фазе ) можно записать так:

   и  ,

      здесь ;     , т.к.     .

      Пусть , соответственно .

      Сложим колебания, применив преобразования для суммы косинусов:

, (5.4.3)

, т.к. , то

. (5.4.4)

      Множитель в квадратных скобках изменяется с изменением t и x значительно медленнее, чем второй множитель. Следовательно, выражение (5.4.4) можно рассматривать как уравнение плоской волны с амплитудой

.

      Результирующая амплитуда получается в результате сложения, следовательно будут максимумы и минимумы амплитуды. Максимум амплитуды будет определяться условием

                                              ,                                                   

      где m = 0, 1, 2, …,xmax– координата максимума амплитуды.

      Каждый из этих максимумов можно рассматривать как центр соответствующей группы волн. Решив это уравнение относительно xmax, получим:

;     (2mp = const).

      Так как  – фазовая скорость, то  – групповая скорость. С такой скоростью перемещается максимум амплитуды. В пределе выражение для групповой скорости:

. (5.4.5)

      Это выражение справедливо для центра группы произвольного числа волн. Выражению для групповой скорости можно придать другой вид. Т.к   , следовательно

                                               .                                                     

      Выразим  через длину волны l:

;   ;   ,

       , тогда получим

. (5.4.6)

      Из этой формулы следует, что в диспергирующей среде, в зависимости от знака , групповая скорость может быть больше или меньше фазовой.

      В отсутствие дисперсии  и   . Максимум интенсивности приходится на центр группы волн. Поэтому скорость переноса энергии равна групповой скорости.

      Понятие групповой скорости применимо только при условии, что поглощение энергии волны в среде невелико. При значительном затухании волн понятие групповой скорости утрачивает смысл. Это случай из области аномальной дисперсии (рассмотрим позже).

Источник: http://ens.tpu.ru/POSOBIE_FIS_KUSN/%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B1%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%B8%20%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8B.%20%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F%20%D0%B8%20%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F%20%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/05-4.htm

Суперпозиция многих волн с равными амплитудами

Суперпозиция многих волн с равными амплитудами

Определение 1

В том случае, если среда, где распространяются волны, линейна (свойства среды неизменны при прохождении света), к волнам можно применить принцип суперпозиции. Его смысл заключен в следующем:

При распространении в линейной среде совокупности волн, каждая волна распространяется так, словно других волн нет, результат можно найти как сумму отдельных колебаний.

Допустим, что у нас имеется $N$ колебаний с одинаковыми амплитудами ($a$), фаза колебаний отличается на величину $\delta $. В результате суперпозиции колебания можно представить как:

Выражение (1) можно записать в экспоненциальном виде как:

Далее значок $Re$ будем опускать, считая, что физический смысл имеет только действительная часть комплексной функции. В правой части выражения (2) имеем геометрическую прогрессию из N членов:

Следовательно, получаем:

где $\hat{A}=a\frac{1-e{iN\delta }}{1-e{i\delta }}(5)$ — комплексна амплитуда, ее можно представить как:

$\alpha $ — начальная фаза колебания. Произведение: $\hat{A}\cdot {\hat{A}}*=A2.$ Используем выражение (5) для нахождения квадрата амплитуды, получим:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Нам известно, что интенсивность света (I) прямо пропорциональна квадрату амплитуды, то есть $I\sim A2$, следовательно, можно записать:

где $I_0=Кa2$ — интенсивность одного луча. Если дважды взять предел функции $\frac{sin2\left(\frac{N\delta }{2}\right)}{sin2\left(\frac{\delta }{2}\right)}$ при $\delta \to 2\pi m$, то можно получить при $\delta =2\pi m$:

Формула (9) определяет главные максимумы интенсивности. Их положение определяет условие:

где $m$ — порядок главного максимума. В пространстве между соседними главными максимумами расположен $N-1$ минимум. В промежутках между этими минимумами лежат $N-2$ вторичных максимума. Большую интенсивность имеют вторичные максимумы, которые расположены ближе всех к главному минимуму.

Пример 1

Определите, во сколько раз интенсивность вторичного максимума, ближайшего к главному отличается от интенсивности главного максимума при суперпозиции большого количества волн одинаковой амплитуды.

Решение:

Вторичные максимумы расположены между $N-1$ минимумами. Чем ближе вторичный максимум к главному, тем больше его интенсивность. Так, вторичный максимум, который является самым близким к главному, находится между первым ($k'=1$) и вторым минимумами ($k'=2$). Минимумы отвечают условию разницы фаз:

\[\delta =2\pi \frac{k'}{N}\ \left(k'=1,2,\dots ,N-1\right)\left(1.1\right).\]

Тогда необходимые нам минимумы отвечают значениям $\delta $:

\[\delta =\frac{2\pi }{N}\ и\ \frac{4\pi }{N}.\]

Что означает, что вторичному максимуму соответствует значение:

\[\delta =\frac{3\pi }{N}\left(1.2\right).\]

Для нахождения интенсивности в этом максимуме применим формулу зависимости $I\left(\delta \right)$, подставим соответствующее значение $\delta $ из (1.2):

\[I\left(\delta =\frac{3\pi }{N}\right)=Кa2\frac{sin2\left(\frac{N\delta }{2}\right)}{sin2\left(\frac{\delta }{2}\right)}=Кa2\frac{sin2\left(\frac{N\frac{3\pi }{N}}{2}\right)}{sin2\left(\frac{\frac{3\pi }{N}}{2}\right)}=Кa2\frac{sin2\left(\frac{3\pi }{2}\right)}{sin2\left(\frac{3\pi }{2N}\right)}\left(1.3\right).\]

При большом количестве волн ($N$) можно считать, что $\frac{3\pi }{2N}\to 0$, можно положить $sin\frac{3\pi }{2N}\approx \frac{3\pi }{2N}$, в этом случае выражение (1.3) можно представить как:

\[I\left(\delta =\frac{3\pi }{N}\right)=Кa2\frac{1}{{\left(\frac{3\pi }{2N}\right)}2}=\frac{Кa2N2}{{\left(\frac{3\pi }{2}\right)}2}\left(1.4\right).\]

Интенсивность главного максимума равна:

\[I=Кa2N2\left(1.5\right).\]

Найдем искомое отношение интенсивностей ($\frac{I}{I\left(\delta =\frac{3\pi }{N}\right)}$):

\[\frac{I}{I\left(\delta =\frac{3\pi }{N}\right)}=Кa2N2:\frac{Кa2N2}{{\left(\frac{3\pi }{2}\right)}2}={\left(\frac{3\pi }{2}\right)}2\approx 22,18\]

Ответ: Интенсивность заданного максимума в $22$ раза слабее.

Пример 2

В промежутке между двумя главными максимумами интенсивности (при $m=0$ и $m=1$) лежат $N-1$ минимум, если мы имеем суперпозицию $N$ волн с одинаковыми амплитудами. Каким значениям $\delta $ отвечают их положения?

Решение:

В качестве основы для решения задачи используем формулу:

\[I\left(\delta \right)=I_0\frac{sin2\left(\frac{N\delta }{2}\right)}{sin2\left(\frac{\delta }{2}\right)}\left(2.1\right)\]

В промежутке от $m=0$ до $m=1$(максимумы нулевого и первого порядков) $\delta $ изменяется $0\le \delta \le 2\pi $. Соответственно $0\le \frac{\delta }{2}\le \pi $. Знаменатель в выражении (2.1) $sin2\left(\frac{\delta }{2}\right)e 0$ во всех точках кроме концов отрезка.

В середине отрезка $\left[0,\pi \right]$ знаменатель максимален, и равен $1$. Выражение в числителе на отрезке $\left[0,2\pi \right]\ $принимает значения $0\le \frac{N\delta }{2}\le N\pi $. В точках $\pi ,2\pi ,\ \dots (N-1)\pi $ числитель выражения (2.1) равен нулю. Это есть минимумы интенсивности.

При этом $\delta $ определятся как:

\[\delta =2\pi \frac{k'}{N},\ \left(k'=1,2,\dots N-1\right).\]

Ответ: $\delta =2\pi \frac{k'}{N},\ \left(k'=1,2,\dots N-1\right).$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/optika/superpoziciya_mnogih_voln_s_ravnymi_amplitudami/

Вопр 4.1 принцип суперпозиции волн. Стоячие волны

Суперпозиция многих волн с равными амплитудами

Принцип суперпозиции волн заключается в следующем: в линейных средах волны распространяются независимо друг от друга, то есть волна не изменяет свойства среды, и другая волна распространяется так, будто первой волны нет. Это позволяет вычислять итоговую волну как сумму всех волн, распространяющихся в данной среде.

При сложении двух или более синусоидальных волн результирующая волна в общем случае уже не будет синусоидальной.

Стоячие волны

Когда две одинаковые волны с равными амплитудами и периодами распространяются навстречу друг другу, то при их наложении возникают стоячие волны. Стоячие волны могут быть получены при отражении от препятствий

1.в стоячей волне не происходит перенос энергии, а лишь перекачка из Wp в Wk

2.фаза стоячей волны = wt

3.в бегущей волне амплитуда постоянна а в стоячей в разный момент времени разная

4.2 явление интерференции, условие интерференции, перераспределение энергии, особенности интерференции в оптике

Явление интерференции возникает при наложении когерентных волн.

Когерентные волны — это волны, имеющие одинаковые частоты, постоянную раз-ность фаз, а колебания происходят в одной плоскости.

Постоянное во времени явление взаимного усиления и ослабления колебаний в разных точках среды в результате наложения когерентных волн называется

интерференцией. В результате в пространстве образуется устойчивая картина чередования областей усиленных и ослабленных колебаний

Распределение энергии при интерференции.

Наличие минимума в точке С означает: энергия W сюда не поступает.

Наличие максимума в точке С означает: происходит увеличение за счет перераспределения энергии в пространстве. Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды, ТО при увеличении амплитуды в 2 раза энергия увеличивается в 4 раза. Это означает, что в точку С поступает энергия в 4 раза больше энергии одного вибратора при условии: энергии вибраторов равны.

Интерференция присуща волнам любой природы (механическим, электромагнитным).

Необходимые условиядля наблюдения интерференции:

1) волны должны иметь одинаковые (или близкие) частоты, чтобы картина, получающаяся в результате наложения волн, не менялась во времени (или менялась не очень быстро, что бы еѐ можно было успеть зарегистрировать);

2) волны должны быть однонаправленными (или иметь близкое направление); складываемые волны должны иметь одинаковые волновые векторы (или близконаправленные).

Волны, для которых выполняются эти два условия, называются КОГЕРЕНТНЫМИ. Первое условие иногда называют временной когерентностью, второе —

пространственной когерентностью.

4.3 связь максимумов и минимумов интерференции с разностью фаз.

Максимум интерференционной картины будет наблюдаться при условии синфазного сложения колебаний волн источников

что синфазное сложение колебаний имеет место при условии кратности оптической разности хода целому числу длин волны в среде :

Аналогичным образом можно найти положения минимумов интерференционной

картины двух источников,определяемые координатами , если положить оптическую разность хода кратной нечѐтному числу полуволн:

где — произвольное целое число, равное .

рассматриваемой интерференционной картине положения соседних интерференционных максимумов и минимумов находятся на

одинаковом расстоянии друг от друга и не зависят от того, насколько эти максимумы удалены от центра интерференционной картины. Это свойство максимумов и минимумов позволяет определить ширину интерференционной полосы.

• Связь разности фаз Δφ колебаний с оптической разностью хода волн

Δφ=2πΔ/λ..

• Условие максимумов интенсивности света при интерференции

Δ=±kλ (k=0,l,2,3, …).

• Условие минимумов интенсивности света при интерференции

Δ=±(2k+1) (λ/2).

Примеры интерференции: двулучевая интерференция, интерференция при отражении от тонких пластинок, кольца Ньютона, многолучевая интерференция.

Двулучевая интерференция:

Под двулучевой интерференцией понимают интерференционную картину, возникающую при сложении двух световых волн одинаковой частоты. Расщепление первоначальной волны от источника на две и последующее их сведение на экране — общий признак всех двулучевых интерференционных схем.

Интерференция при отражении от тонких пластинок:

При падении световой волны на тонкую прозрачную пластинку или пленку происходит отражение от обеих поверхностей пластинки. В результате возникают когерентные световые волны, которые могут интерферировать.

Пусть на прозрачную плоскопараллельную пластинку падает параллельный пучок света.

Пластинка отбрасывает вверх два когерентных параллельных пучка света, из которых один образуется за счет отражения от верхней поверхности пластинки, второй — вследствие отражения от нижней поверхности.

При входе в пластинку и при выходе из нее второй пучок претерпевает преломление. Кроме этих двух пучков пластинка отбросит вверх пучки, возникающие 'в результате трех-, пяти- и т. д. кратного отражения от поверхностей пластинки.

Интерференция в плоскопараллельной пластине:

Свет, приходящий в точку наблюдения Р, можно рассматривать как свет от двух мнимых изображений источника S в двух гранях пластинки. Интерференционная картина в пределах достаточно малой площади экрана состоит из почти параллельных интерференционных полос. Разность хода в данном интерференционном расположении есть:

Здесь h — толщина пластинки, n — показатель преломления, r — угол преломления. Дополнительное слагаемое λ/2 возникает из-за разных условий отражения света на двух гранях пластинки.

Кольца Ньютона

Кольцевые полосы равной толщины, наблюдаемые в воздушном зазоре между соприкасающимися выпуклой сферической поверхностью линзы малой кривизны и плоской поверхностью стекла

Общий центр колец расположен в точке касания. В отраженном свете центр темный, так как при толщине воздушной прослойки, на много меньшей, чем длина волны , разность фаз интерферирующих волн обусловлена различием в условиях отражения на двух поверхностях и близка к π. Толщина h воздушного зазора связана с расстоянием r до точки касания

Здесь использовано условие . При наблюдении по нормали темные

полосы, как уже отмечалось, соответствуют толщине , поэтому для радиуса m-

го темного кольца получаем

(m = 0, 1, 2, …).

Если линзу постепенно отодвигать от поверхности стекла, то интерференционные

кольца будут стягиваться к центру. При увеличении расстояния на картина принимает прежний вид, так как место каждого кольца будет занято кольцом следующего порядка. С помощью колец Ньютона можно сравнительно простыми средствами приближенно определить длину волны света.

Многолучевая интерференция:

При наложении двух когерентных световых пучков образуются интерференционные полосы, в которых распределение интенсивности описывается функцией I~cos2(kΔ/2)

(Δ— разность хода пучков). Максимумы и минимумы интенсивности, т.е. светлые и темные полосы, в двух лучевой интерференционной картине имеют одинаковую ширину. При наложении большого числа пучков распределение интенсивности в интерференционной картине существенно иное.

Амплитуда световых колебаний в максимумах интенсивности, где сложение колебаний происходит в одинаковой фазе, в n раз больше, а интенсивность в n2 раз больше, чем от одного пучка (при условии, что когерентные пучки имеют одинаковую или почти одинаковую интенсивность). Но полная энергия, приходящаяся на одну интерференционную полосу, лишь в n раз больше, чем в одном пучке.

Увеличение интенсивности в максимумах в n2 раз возможно только в случае существенного перераспределения потока энергии в пространстве: при прежнем расстоянии между светлыми полосами их ширина должна быть примерно в n раз меньше этого расстояния. Благодаря образованию узких максимумов, т.е.

резких светлых полос, разделенных широкими темными промежутками, многолучевая интерференция получила важное практическое применение. Большое число когерентных световых пучков может возникнуть в результате дифракция при прохождении плоской волны через экран с одинаковыми регулярно расположенными отверстиями (метод деления волнового фронта).

Распределение интенсивности в такой многолучевой интерференционной картине будет рассмотрено на примере дифракционной решетки. Здесь мы изучим интерференцию при многократных отражениях света от двух параллельных поверхностей (метод деления амплитуды).



Источник: https://infopedia.su/10x4ea4.html

Booksm
Добавить комментарий