Стационарное уравнение Шредингера

Стационарное уравнение шредингера

Стационарное уравнение Шредингера

ОПИСАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ЭЛЕКТРОНА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

1. Уравнение Шредингера

Для выполнения лабораторных работ 6 и 7 необходимо знакомство с основами квантовой механики. Остановимся на тех её положениях, которые непосредственно связаны с содержанием данных работ.

В них изучается поведение микрочастицы (электрона) в определенных внешних условиях. Это означает, что потенциальная энергия электрона U, Обусловленная его взаимодействием с окружающими объектами, является известной функцией координат: .

Требуется найти эволюцию состояния электрона во времени. В отличие от классической механики, состояние частицы в квантовой механике нельзя задавать, указывая её координаты и компоненты скорости (или импульса).

Состоянию частицы в момент времени T0 в квантовой механике ставят в соответствие Волновую функцию – функцию координат, вообще говоря, комплексную. Соответственно, эволюцию состояния описывает функция координат и времени .

Волновую функцию можно найти, решая дифференциальное уравнение в частных производных

, (1)

Называемое Временны́м уравнением Шредингера, где I – мнимая единица, ( H постоянная Планка), Ñ2 – оператор Лапласа (имеющий в декартовых координатах вид ), Т – масса частицы.

Уравнение (1) при заданном потенциале имеет бесконечное множество решений, соответствующих множеству возможных начальных состояний электрона.

Если задано и начальное состояние электрона , его эволюция определяется уравнением (1) однозначно.

2. Уравнение Шредингера для стационарных состояний

Среди решений уравнения (Б.1) особый интерес представляют волновые функции вида

, ω = Const (2)

Описывающие состояния, называемые Стационарными. Легко проверить, что волновая функция вида (2) будет решением уравнения Шредингера (1), если удовлетворяет уравнению

, (3)

Где . Постоянная E в (3) имеет смысл полной энергии частицы. Таким образом, в стационарных состояниях Е = СоNst, а зависимость волновой функции от времени описывается сомножителем , осциллирующим с частотой .

Уравнение (3) называется Уравнением Шредингера для стационарныхСостояний, или Стационарным уравнением Шредингера. Существенно, что стационарное уравнение Шредингера имеет физически приемлемые решения, вообще говоря, не для любых значений Е, А лишь для некоторого множества .

Находя такие решения, мы одновременно получаем и набор возможных значений энергии стационарных состояний электрона при заданных внешних условиях. О нахождении множества говорят как об определении Энергетического спектра, или Уровней энергии, или как о Квантовании энергии Частицы.

Физически приемлемыми в рассматриваемом круге задач считаются функции, однозначные и ограниченные во всей области их определения. Можно показать, что удовлетворяющие стационарному уравнению Шредингера (3) однозначные ограниченные функции, будут непрерывными и гладкими (т. е.

имеющими непрерывную первую производную) даже в тех точках, где претерпевает конечный разрыв (скачок).

3. Волновая функция и заключенная в ней информация

Как уже говорилось, волновая функция описывает состояние частицы. Это означает, что в заключена информация о распределениях вероятностей для всех физических величин (координат, проекций импульса, момента импульса и т. д.), относящихся к частице, для любого момента времени..

В частности, Плотность вероятности в точке с координатами Х,У,Z В момент времени T (т. е.

вероятность нахождения частицы в малом объеме в окрестности указанной точки, деленная на этот объем), пропорциональна квадрату модуля волновой функции

(4)

(звездочка обозначает комплексное сопряжение). Важную информацию о движении частицы дает выражающийся через вектор

, (5)

Называемый вектором плотности потока вероятности. Он указывает направление наиболее быстрого перемещения вероятности и дает скорость этого перемещения. Смысл величин (4) и (5) раскрывается в эксперименте, когда производится N Измерений над электроном в одном и том же состоянии.

Тогда при больших значениях N должно выполняться: DN¢ / N~ , DN¢¢ / N ~ J , где DN¢ число электронов, обнаруженных в единичном объеме вблизи точки (Х, у, z), а DN¢¢ – результирующее число электронов, прошедших за единицу времени в направлении вектора сквозь перпендикулярную к нему единичную площадку.

В связи с приведенной интерпретацией выражений (4) и (5) волновую функцию называют также Амплитудой вероятности.

Отметим, что для стационарных состояний выражения (4) и (5) не зависят от времени и что для вещественных векторРавен нулю.

4. Оптическая аналогия

Анализируя квантовомеханическую задачу, полезно сопоставлять ее, с одной стороны, с аналогичной задачей классической механики, а с другой – с некоторой оптической задачей. В классической механике аналогом, очевидно, будет задача о частице такой же массы, движущейся в силовом поле, характеризуемом той же потенциальной энергией , что и в исходной квантовой.

Выяснив характер движения классической частицы, можно лучше понять особенности ее квантовомеханического поведения.

Оптическим аналогом для квантовомеханической задачи с
E = Const будет, Как можно показать, задача о распространении монохроматической световой волны в неоднородной среде, для которой показатель преломления N Изменяется по закону

. (6)

Отметим, что длину волны при этом можно оценивать по соотношению де Бройля , где – импульс частицы, вычисленный согласно классической механике.

Аналогия с оптикой позволяет во многих случаях, не решая уравнение Шредингера, предвидеть и объяснить качественно поведение y-функции, а следовательно и частицы.

5. Одномерные квантовомеханические задачи

Среди квантовомеханических задач выделяются своей простотой одномерные, т. е. такие, в которых U = U( X), а волновую функцию можно считать зависящей только от Х и T. В этих задачах волновые функции стационарных состояний имеют вид

(7)

А стационарное уравнение Шредингера сводится к уравнению в обыкновенных производных

(8)

Уравнение (8) решается особенно просто, когда ось X можно разбить на области, в каждой из которых потенциал U(X) принимает постоянные значения, а на границах соседних областей испытывает скачок. Такой потенциал называется Прямоугольным Из-за прямых углов на его графике.

Строго говоря, такие потенциалы не реализуемы, поскольку им соответствуют бесконечные силы в точках скачков потенциальной энергии. Все же прямоугольные потенциалы дают грубое представление о многих реальных системах, позволяя получать полезные результаты крайне простыми математическими методами.

В области, где потенциал UПостоянен, при EU стационарное уравнение Шредингера (8) сводится к уравнению

Где , а его общее решение имеет вид

, (9)

Где А И В – произвольные постоянные.

При этом, в соответствии с (9) и (7), зависящая от времени

Волновая функция , будет равна выражению

,

В котором первое слагаемое описывает волну, бегущую вправо, а второе – влево. При переходе от одной области к другой U изменяется и, следовательно, изменяется длина волны.

Существенно, что на границе между областями, как уже отмечалось, y(Х) и ее первая производная D Y / D x должны быть непрерывны.

Это приводит к двум уравнениям связи между амплитудными коэффициентами А и В для соседних областей.

6. Движение электрона в области потенциальной ступеньки

Рассмотрим случай, когда потенциал испытывает только один скачок (ПотенциальнаяСтупенька, рис. 1). Предположим, что электроны с некоторой энергией Е Приходят слева. Согласно классической механике электроны должны беспрепятственно проходить точку Х = 0, поскольку в этой точке они испытывает действие силы, направленной в сторону своего движения (ускоряющей силы).

Рис. 1

Используем, прежде всего, оптическую аналогию.

Согласно (6) при X= 0 происходит скачкообразное изменение показателя преломления N , а при падении света на поверхность раздела двух сред с различными N часть волны отражается от неё, а часть проходит во вторую среду.

Поэтому следует ожидать отражения в точке Х = 0 и для y-волны, а следовательно, отличной от нуля вероятности отражения электрона при падении на скачок потенциала как справа, так и слева.

Подтвердим эти предположения строгим расчетом на основе стационарного уравнения Шредингера (8). В области I, слева от скачка потенциала (т. е. при Х < 0) волновая функция y1(Х) согласно (9) будет, вообще говоря, суммой двух слагаемых

(где ; ), первое из которых соответствует падающему потоку электронов, а второе – потоку, отраженному от скачка. В области II за скачком потенциала (т. е. при Х >0) для случая, когда электроны падают только слева, решение содержит лишь одно слагаемое, соответствующее прошедшей волне

,

Где ; . Постоянные А, В И С Не могут быть заданы произвольно, поскольку их связывают условия непрерывности волновой функции и её первой производной в точке : и , где . Из этих условий легко найти, что коэффициенты В И С – амплитуды отраженной и прошедшей волн – связаны с амплитудой падающей волны А следующим образом:

, . (10)

Поскольку K2 >K1 , амплитуды отраженной и падающей волн имеют противоположные знаки. Это означает, что для падающей слева волны её фаза при отражении от скачка потенциала изменяется на π – происходит «потеря» полуволны.

Плотность потока электронов Г может быть выражена через их концентрацию Пе И скорость v: Г = NeV. Поскольку Пе ~ , а v ~ P ~ K, то Γ~ K|ψ|2. Доля электронов, которые проходят вправо, т. е. коэффициент прохождения DЕ,, равен отношению плотности прошедшего потока к плотности падающего:

.

Аналогично рассчитывается и коэффициент отражения:

.

Те же выражения получаются в результате подсчета коэффициентов и по формулам

, ,

Вытекающим непосредственно из определения вектора плотности потока вероятности .

Рис. 2

Легко проверить также, что и не изменятся, если электроны с энергией Е Направить из области II в область I. Отметим, однако, что в этом случае отражение будет происходить без изменения фазы, поскольку в выражении (10) для амплитуды отраженной волны В Волновые числа K1 и K2 поменяются местами.

Следует подчеркнуть, что свойство отражения частиц от скачков потенциала является чисто квантовомеханическим эффектом. Оно вытекает из волновых свойств материи и не имеет места в классической физике.

В заключение сформулируем квантовомеханическую задачу, позволяющую на примере одномерной прямоугольной симметричной потенциальной ямы (рис. 2) простыми методами рассмотреть квантование энергии электрона и дать качественное объяснение эффекта Рамзауэра.

В этой задаче потенциальная энергия электрона U (Х) задается в виде:

U2 >U1.

Величина L= 2 а – Ширина ямы, – её глубина.

В зависимости от полной энергии электрона E, Возникают три случая:

а) E>U2; б) U1 £E£U2; в) E

Источник: https://www.webpoliteh.ru/stacionarnoe-uravnenie-shredingera/

Уравнение Шрёдингера

Стационарное уравнение Шредингера

Согласно фольклору, столь распространенному среди физиков, случилось это так: в 1926 году физик-теоретик по имени Эрвин Шрёдингер выступал на научном семинаре в Цюрихском университете. Он рассказывал о странных новых идеях, витающих в воздухе, о том, что объекты микромира часто ведут себя скорее как волны, нежели как частицы.

Тут слова попросил пожилой преподаватель и сказал: «Шрёдингер, вы что, не видите, что всё это чушь? Или мы тут все не знаем, что волны — они на то и волны, чтобы описываться волновыми уравнениями?» Шрёдингер воспринял это как личную обиду и задался целью разработать волновое уравнение для описания частиц в рамках квантовой механики — и с блеском справился с этой задачей.

Тут необходимо сделать пояснение.

В нашем обыденном мире энергия переносится двумя способами: материей при движении с места на место (например, едущим локомотивом или ветром) — в такой передаче энергии участвуют частицы — или волнами (например, радиоволнами, которые передаются мощными передатчиками и ловятся антеннами наших телевизоров).

То есть в макромире, где живём мы с вами, все носители энергии строго подразделяются на два типа — корпускулярные (состоящие из материальных частиц) или волновые. При этом любая волна описывается особым типом уравнений — волновыми уравнениями.

Все без исключения волны — волны океана, сейсмические волны горных пород, радиоволны из далеких галактик — описываются однотипными волновыми уравнениями. Это пояснение нужно для того, чтобы было понятно, что если мы хотим представить явления субатомного мира в терминах волн распределения вероятности (см. Квантовая механика), эти волны также должны описываться соответствующим волновым уравнением.

Шрёдингер применил к понятию волн вероятности классическое дифференциальное уравнение волновой функции и получил знаменитое уравнение, носящее его имя.

Подобно тому как обычное уравнение волновой функции описывает распространение, например, ряби по поверхности воды, уравнение Шрёдингера описывает распространение волны вероятности нахождения частицы в заданной точке пространства. Пики этой волны (точки максимальной вероятности) показывают, в каком месте пространства скорее всего окажется частица.

Хотя уравнение Шрёдингера относится к области высшей математики, оно настолько важно для понимания современной физики, что я его все-таки здесь приведу — в самой простой форме (так называемое «одномерное стационарное уравнение Шрёдингера»).

Вышеупомянутая волновая функция распределения вероятности, обозначаемая греческой буквой ψ («пси»), является решением следующего дифференциального уравнения (ничего страшного, если оно вам не понятно; главное — примите на веру, что это уравнение свидетельствует о том, что вероятность ведёт себя как волна):

где x — расстояние, h — постоянная Планка, а m, E и U — соответственно масса, полная энергия и потенциальная энергия частицы.

Картина квантовых событий, которую дает нам уравнение Шрёдингера, заключается в том, что электроны и другие элементарные частицы ведут себя подобно волнам на поверхности океана.

С течением времени пик волны (соответствующий месту, в котором скорее всего будет находиться электрон) смещается в пространстве в соответствии с описывающим эту волну уравнением.

То есть то, что мы традиционно считали частицей, в квантовом мире ведёт себя во многом подобно волне.

Когда Шрёдингер впервые опубликовал свои результаты, в мире теоретической физики разразилась буря в стакане воды. Дело в том, что практически в то же время появилась работа современника Шрёдингера — Вернера Гейзенберга (см.

Принцип неопределенности Гейзенберга), в которой автор выдвинул концепцию «матричной механики», где те же задачи квантовой механики решались в другой, более сложной с математической точки зрения матричной форме.

Переполох был вызван тем, что ученые попросту испугались, не противоречат ли друг другу два в равной мере убедительных подхода к описанию микромира. Волнения были напрасны.

Сам Шрёдингер в том же году доказал полную эквивалентность двух теорий — то есть из волнового уравнения следует матричное, и наоборот; результаты же получаются идентичными. Сегодня используется в основном версия Шрёдингера (иногда его теорию называют «волновой механикой»), так как его уравнение менее громоздкое и его легче преподавать.

Однако представить себе и принять, что нечто вроде электрона ведёт себя как волна, не так-то просто. В повседневной жизни мы сталкиваемся либо с частицей, либо с волной. Мяч — это частица, звук — это волна, и всё тут. В мире квантовой механики всё не так однозначно.

На самом деле — и эксперименты это вскоре показали — в квантовом мире сущности отличаются от привычных нам объектов и обладают другими свойствами.

Свет, который мы привыкли считать волной, иногда ведёт себя как частица (которая называется фотон), а частицы вроде электрона и протона могут вести себя как волны (см. Принцип дополнительности).

Эту проблему обычно называют двойственной или дуальной корпускулярно-волновой природой квантовых частиц, причем свойственна она, судя по всему, всем объектам субатомного мира (см. Теорема Белла).

Мы должны понять, что в микромире наши обыденные интуитивные представления о том, какие формы может принимать материя и как она себя может вести, просто неприменимы. Сам факт, что мы используем волновое уравнение для описания движения того, что привыкли считать частицами, — яркое тому доказательство.

Как уже отмечалось во Введении, в этом нет особого противоречия. Ведь у нас нет никаких веских оснований полагать, будто то, что мы наблюдаем в макромире, должно с точностью воспроизводиться на уровне микромира.

И тем не менее дуальная природа элементарных частиц остается одним из самых непонятных и тревожащих аспектов квантовой механики для многих людей, и не будет преувеличением сказать, что все беды начались с Эрвина Шрёдингера.

См. также:

Источник: https://elementy.ru/trefil/21/Uravnenie_Shryodingera

Уравнение Шрёдингера – основное уравнение нерелятивистской квантовой механики. Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний

Стационарное уравнение Шредингера

Статистическое толкование волн де Бройля и соотношение неопределенностей Гейзенберга привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции Ψ(х, у, z, t), так как именно она, или, точнее, величина |Ψ|2, определяет вероятность пребывания частицы в момент времени t в объеме ΔV, т. е. в области с координатами х и х + dх, у и у + dу, z и z + dz.

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г. Э. Шредингером.

Уравнение Шрёдингера, как и все основные уравнения физики (например, уравнения Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла для электромагнитного поля), не выводится, а постулируется.

Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы.

Общее уравнение Шредингера имеет вид:

, (1)

где ? = h / (2π), m – масса частицы, Δ – оператор Лапласа , i – мнимая единица, U(x, y, z, t) – потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, Ψ(x, y, z, t) – искомая волновая функция частицы.

Уравнение (1) справедливо для любой частицы (со спином, равным 0), движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью, т. е. со скоростью υ«с.

Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию:

1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной;

2) производные должны быть непрерывны;

3) функция |Ψ|2 должна быть интегрируема (это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей ).

Уравнение (1) называют уравнением Шредингера, зависящим от времени.

Дли многих физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (1) можно упростить, исключив зависимость Ψ от времени, т.е. найти уравнение Шредингера для стационарных состояний – состояний с фиксированными значениями энергии.

Это возможно, если силовое поле, в котором частица движется, стационарно, т. е. функция U = U (х, у, z) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии.

В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде

. (2)

Уравнение (2) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний.

В это уравнение в качестве параметра входит полная энергия Е частицы.

В теории дифференциальных уравнений доказывается, что подобные уравнения имеют бесчисленное множество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл.

Для уравнения Шредингера такими условиями являются условия регулярности волновых функций: вол новые функции должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными.

Таким образом, реальный физический смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциями Ψ. Но регулярные решения имеют место не при любых значениях параметра Е, а лишь при определенном их наборе, характерном для данной задачи.

Эти значения энергии называются собственнымиРешения, которые соответствуют собственным значениям энергии, называются собственнымифункциямиСобственные значения Е могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд.

В первом случае говорят о непрерывном, или сплошном, спектре, во втором – о дискретном спектре.

Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками»

Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера применительно к частице в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками». Такая «яма» описывается потенциальной энергией вида (для простоты принимаем, что частица движется вдоль оси х)

где l — ширина «ямы», а энергия отсчитывается от ее дна (рис. 2).

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде:

. (1)

Рис. 2

По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружения (а следовательно, и волновая функция) за пределами «ямы» равна нулю. На границах «ямы» (при х = 0 и х = 1) непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль.

Следовательно, граничные условия в данном случае имеют вид:

Ψ (0) = Ψ (l) = 0. (2)

В пределах «ямы» (0 ≤ х ≤ 0) уравнение Шредингера (1) сведется к уравнению:

или . (3)

где k 2 = 2mE / ?2. (4)

Общее решение дифференциального уравнения (3):

Ψ (x) = A sin kx + B cos kx.

Так как по (2) Ψ (0) = 0, то В = 0. Тогда

Ψ (x) = A sin kx. (5)

Условие Ψ (l) = A sin kl = 0 (2) выполняется только при kl = nπ, где n – целые числа, т.е. необходимо, чтобы

k = nπ / l. (6)

Из выражений (4) и (6) следует, что:

(n = 1, 2, 3,…), (7)

т. е. стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях Еп, зависящих от целого числа п. Следовательно, энергия Еп частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» принимает лишь определенные дискретные значения, т. е. квантуется.

Квантованные значения энергии Еп называются уровнями энергии, а число п, определяющее энергетические уровни частицы, называется главным квантовым числом.

 Таким образом, микрочастица в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» может находиться только на определенном энергетическом уровне Еп, или, как говорят, частица находится в квантовом состоянии п.

Подставив в (5) значение k из (6), найдем собственные функции:

.

Постоянную интегрирования А найдем из условия нормировки, которое для данного случая запишется в виде:

.

В результате интегрирования получим , а собственные функции будут иметь вид:

(n = 1, 2, 3,…). (8)

Графики собственных функций (8), соответствующие уровням энергии (7) при n = 1,2,3, приведены на рис. 3, а. На рис. 3, б изображена плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от «стенок» ямы, равная ‌‌‌‌‌‌ Ψn(x)‌ 2 = Ψn(x)·Ψn*(x) для п = 1, 2 и 3.

Из рисунка следует, что, например, в квантовом состоянии с п= 2 частица не может находиться в середине «ямы», в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях.

Такое поведение частицы указывает на то, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны.

Из выражения (7) вытекает, что энергетический интервал между двумя соседними уровнями равен:

. (9)

Например, для электрона при размерах ямы l = 10 –1 м (свободные электроны в металле), ΔЕn ≈ 10-35·n Дж ≈ 10 –16 n эВ, т.е. энергетические уровни расположены столь тесно, что спектр практически можно считать непрерывным. Если же размеры ямы соизмеримы с атомными (l ≈ 10 -10 м), то для электрона ΔЕn ≈ 10 –17n Дж ≈ 102n эВ, т.е. получаются явно дискретные значения энергии (линейчатый спектр).

Рис. 3

Таким образом, применение уравнения Шредингера к частице в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» приводит к квантованным значениям энергии, в то время как классическая механика на энергию этой частицы никаких ограничений не накладывает.

Кроме того, квантово-механическое рассмотрение данной задачи приводит к выводу, что частица «в потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» не может иметь энергию меньшую, чем минимальная энергия, равная π2 ?2 /(2т12). Наличие отличной от нуля минимальной энергии не случайно и вытекает из соотношения неопределенностей. Неопределенность координаты Δх частицы в «яме» шириной l равна Δх = l.

Тогда, согласно соотношению неопределенностей, импульс не может иметь точное, в данном случае нулевое, значение. Неопределенность импульса Δр ≈ h / l. Такому разбросу значений импульса соответствует кинетическая энергия Еmin ≈ (Δp)2/(2m) = ?2 / (2ml2). Все остальные уровни (п > 1) имеют энергию, превышающую это минимальное значение.

Из формул (9) и (7) следует, что при больших квантовых числах (n»1) ΔЕn / Eп ≈ 2/п «1, т. е. соседние уровни расположены тесно: тем теснее, чем больше п.

Если п очень велико, то можно говорить о практически непрерывной последовательности уровней и характерная особенность квантовых процессов — дискретность – сглаживается.

Этот результат является частным случаем принципа соответствия Бора (1923), согласно которому законы квантовой механики должны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классической физики.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/2_40870_uravnenie-shredingera--osnovnoe-uravnenie-nerelyativistskoy-kvantovoy-mehaniki-uravnenie-shredingera-dlya-statsionarnih-sostoyaniy.html

Уравнение Шредингера

Стационарное уравнение Шредингера

    Аналог классического волнового уравнения был предложен Э. Шредингером в 1925 г. Как и классическое уравнение, уравнение Шредингера связывает производные волновой функции по времени и координате. Уравнение Шредингера описывает поведение любых нерелятивистских систем.

На примерах частицы, находящейся в бесконечно глубокой яме, и гармонического осциллятора рассмотрены простейшие квантовые системы, получены дискретные спектры состояний.

Возможности описания динамики данных систем ограничены набором квантовых чисел, отражающих универсальные и внутренние симметрии квантовых систем.

4.1. Уравнение Шредингера 4.2. Частица в прямоугольной яме с бесконечными стенками 4.3. Гармонический осциллятор 4.4. Частица в поле с центральной симметрией 4.5. Орбитальный момент количества движения 4.6. Спин 4.7. Полный момент количества движения 4.8. Квантовые числа        Задачи

4.1. Уравнение Шредингера

    В квантовой физике изменение состояния частицы описывается уравнением Шредингера

(4.1)

где  – оператор Гамильтона – аналог классической функции Гамильтона

в которой  и  заменены операторами импульса x, y, z и координаты , , :

х →  = х,            y →  = y,          z →  = z,

(4.2)
Зависящее от времени уравнение Шредингера:где  – гамильтониан системы.Разделение переменных. Запишем Ψ(,t) = ψ()θ(t), где ψ является функцией координат, а θ – функция времени. Если  не зависит от времени, тогда уравнение ψ = iћψ принимает вид θψ = iћψθ илиЛевая часть является функцией только координат, а правая не зависит от переменной x. Поэтому обе части последнего уравнения должны быть равны одной и той же постоянной, которую обозначим EСледовательно,θ(t) = exp(−iEt/ћ),  ψ() = Eψ() и  Ψ(,t) = ψ()exp(−iEt/ћ).Уравнение ψ() = Eψ() называют стационарным уравнением Шредингера. Для одномерной системы с массой m в поле с потенциалом U(x) оно принимает вид:илиДля трехмерной системы с массой m в поле с потенциалом U():−(ћ2/2m)Δψ() + U()ψ() = Eψ(),где Δ – лапласиан.

    Так как уравнение Шредингера является линейным уравнением первого порядка по времени, то с его помощью по заданному значению волновой функции Ψ(x, y, z, 0) в момент времени t = 0 можно найти её значение в произвольный момент времени t − Ψ(x, y, z, t).

Уравнение Шредингера для стационарного состояния, когда потенциальная энергия частицы не зависит от времени, имеет вид

ψ() = Eψ().(4.3)

Это уравнение называют стационарным уравнением Шредингера.

Так как в стационарном состоянии

Ψ(,t) = ψ()exp(−iEt/ћ)(4.4)

и вероятность найти частицу в момент t в точке x, y, z пропорциональна |Ψ(,t)|, то она ~ |ψ(x,y,z)|2, т.е. не зависит от времени. Аналогично, вероятность обнаружить значение физической величины, характеризующей систему, также не изменяется со временем, поскольку выражается через квадрат модуля волновой функции.

4.2. Частица в одномерной прямоугольной яме с бесконечными стенками

    Потенциальная энергия U(x) в прямоугольной яме удовлетворяет следующим условиям:

(4.5)
Рис.4.1. Прямоугольная яма с бесконечными стенками

Частица находится в области 0 ≤ x ≤ L. Вне этой области ψ(x) = 0. Уравнение Шредингера для частицы, находящейся в области 0 ≤ x ≤ L

(4.6)

Волновая функция, являющаяся решением уравнения (4.9), имеет вид

ψ(x)= Аsin kx + Bcos kx,(4.7)

 где k = (2mE/ћ2)1/2. Из граничных условий ψ(0) = 0, ψ(L) = 0 и условий непрерывности волновой функции следует

 kL = nπ,   n = 1, 2, 3, … , то есть внутри потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками устанавливаются стоячие волны, а энергия состояния частиц имеет дискретный спектр значений En

  n = 1, 2, 3, …(4.9)

    Частица может находиться в каком-то одном из множества дискретных состояний, доступных для неё.
    Каждому значению энергии En соответствует волновая функция ψn(x), которая с учетом условия нормировки

имеет вид

(4.10)

    В отличие от классической, квантовая частица в прямоугольной яме не может иметь энергию
E < ћ2π2/(2mL2). Состояния частицы ψn в одномерном поле бесконечной потенциальной ямы полнос­тью описывается с помощью одного квантового числа n. Спектр энергий дискретный.

 Рис. 4.2. Уровни энергии и волновые функции частицы Ψ в бесконечной прямоугольной яме. Квадрат модуля волновой функции |Ψ|2 определяет вероятность нахождения частицы в различных точках потенциальной ямы.

4.3. Гармонический осциллятор

    Положение уровней частицы в потенциальной яме зависит от вида потенциальной ямы. В одномерной потенциальной яме гармонического осциллятора потенциальная энергия имеет вид

(4.11)

В этом случае одномерное уравнение Шредингера имеет вид

(4.12)

Допустимые значения полной энергии определяются формулой

En = ћω0(n + 1/2),    n = 0, 1, 2,(4.13)

В отличие от бесконечной прямоугольной ямы, спектр уровней гармонического осциллятора эквидистантный.
    С увеличением массы частицы или размеров области ее локализации квантовое описание частицы переходит в классическое.

Одномерная прямоугольная яма шириной L:  n = 1, 2, …Одномерный гармонический осциллятор:En = ћω0(n + 1/2),    n = 0, 1, 2,

4.4. Частица в поле с центральной симметрией

    В сферических координатах стационарное уравнение Шредингера для частицы в центральном потенциале U(r) имеет вид

(4.14)

    Решение уравнения (4.14) записываются в виде произведения радиальной и угловой функций

ψ(r,θ,φ) = Rnl(r)Ylm(θ,φ),(4.15)

где радиальная функция Rnl(r) и угловая функция Ylm(θ,φ), называемая сферической, удовлетворяют уравнениям

2Ylm(θ,φ) = ћ2l(l +1)Ylm(θ,φ)(4.16)

или

Ylm(θ,φ) = ћ2l(l +1)Ylm(θ,φ) (4.17)

Уравнение (4.16) определяет возможные собственные значения l и собственные функции Ylm(θ,φ) оператора квадрата момента 2. Уравнение (4.

17) определяет собственные значения энергии Е и радиальные собственные функции Rnl(r), от которых зависит энергия системы (рис. 4.3).

    Схема уровней (последовательность и абсолютные значения энергий) зависит от радиальной функции Rnl(r), которая в свою очередь определяется потенциалом U(r), в котором находится частица.

Рис. 4.3. Радиальное распределение вероятности нахождения электрона в кулоновском поле протона (атом водорода). Расстояния даны в боровских радиусах
r0 = ћ2/mee2 ≈ 0.529·108 cм.

Решения уравнения существуют лишь при определенных значениях квантовых чисел n (радиальное квантовое число), l (орбитальное квантовое число) и m (магнитное квантовое число).     Возможные энергетические состояния системы (уровни энергии) определяются числами n и l и в случае сферически симметричных состояний не зависят от квантового числа m. Число n может быть только целым: n = 1, 2, …, ∞.  Число l может принимать значения 0, 1, 2, …, ∞.

4.5. Орбитальный момент количества движения

    Собственные значения L2 и Lz являются решением уравнений

2Ylm(θ,φ) = L2Ylm(θ,φ)     и       zYlm(θ,φ) = LzYlm(θ,φ).

Они имеют следующие дискретные значения

   L2 = ћ2l(l + 1), где l = 0, 1, 2, 3, …,
Lz = ћm,  где m = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…, ± l.

    Для характеристики состояний с различными значениями орбитального момента l обычно используют следующие обозначения:

Спектроскопические названия орбитальных моментов l

l = 0s-состояние
l = 1p-состояние
l = 2d-состояние
l = 3f-состояние
l = 4g-состояние
l = 5h-состояние
и. т. д.

    Состоянию с l = 0 отвечает сферически симметричная волновая функция. В тех случаях, когда l ≠ 0  волновая функция не имеет сферической симметрии. Симметрия волновой функции определяется симметрией сферических функций Ylm(θ,φ).

Имеет место интересное квантовое явление, когда решение сферически симметричной задачи (потенциал описывает сферически симметричную систему) приводит к состояниям, не обладающим сферической симметрией.

Таким образом, симметрия уравнений не обязательно должна отражаться в симметрии каждого отдельно взятого решения этих уравнений, а лишь во всей совокупности этих решений.
    Для частицы, находящейся в сферически симметричном потенциале, величина орбитального момента количества движения L:

(4.18)

    Обычно, для упрощения, когда говорят о величине орбитального момента количества движения, называют этой величиной квантовое число l, имея в виду, что между l и L имеется однозначная связь (4.18).

Рис. 4.4 Возможные ориентации вектора при квантовом числе l = 2.

    Так как величина l может принимать только целочисленные значения 0, 1, 2, 3,…, то и орбитальный момент количества движения L квантуется. Например, для частицы с l = 2 момент количества движения

Источник: http://nuclphys.sinp.msu.ru/sem2/sem04.html

Стационарное уравнение Шредингера

Стационарное уравнение Шредингера

Определение 1

Основное уравнение квантовой механики было предложено Э. Шредингером в $1926$ г. Его значение в квантовой физике аналогично значению уравнению движения И. Ньютона.

Уравнение Шредингера не выводится, оно постулируется. Его истинность доказывается тем, что полученные с его помощью результаты хорошо согласуются с экспериментами, проводимыми в рамках атомной и ядерной физики.

Уравнение Шредингера можно представить в следующем виде:

\[-\frac{\hbar }{i}\frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{{\hbar }2}{2m}\triangle \Psi+U\left(x,y,z,t\right)\Psi\left(1\right),\]

где $\hbar =\frac{h}{2}=1,05\cdot {10}{-34}Дж\cdot с\ $- постоянная Планка, $m$ — масса частицы, $U\left(x,y,z,t\right)$- потенциальная энергия частицы в силовом поле в котором перемещается частица, $\triangle =\frac{\partial2}{\partial x2}+\frac{\partial2}{\partial y2}+\frac{\partial2}{\partial z2}$ — оператор Лапласа, $\Psi=\Psi(x,y,z,t)$ — волновая функция частицы, $i=\sqrt{-1}$ — мнимая единица.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Уравнение (1) является справедливым для любой частицы, которая движется со скоростью много меньшей скорости света ($v\ll c,\ где\ c\ $— скорость света в вакууме). Уравнение Шредингера дополняют условиями, которые накладываются на волновую функцию $\Psi\ (x,y,z,t)$:

  1. Данная функция должна быть конечной, непрерывной и однозначной.

  2. Производные от этой функции ($\frac{\partial \Psi}{\partial x},\ \frac{\partial \Psi}{\partial y},\frac{\partial \Psi}{\partial z},\frac{\partial \Psi}{\partial t}$) должны быть непрерывны.

  3. Функция ${\left|\Psi\right|}2$ должна быть интегрируемой, что означает, интеграл $\iiint\limits{\infty }_{-\infty }{{\left|\Psi\right|}2dxdydz}$ должен быть конечным. В самом простом случае данное условие сводится к условию нормировки вероятностей. Это условие связано с тем, что физическим смыслом обладает не сама волновая функция, а ${\left|\Psi\right|}2$.

Значение вышеперечисленных условий в том, что с их помощью не решая уравнения Шредингера, только изучая возможные решения, можно делать ряд важных выводов об энергии и других параметрах рассматриваемой частицы.

Уравнение (1) называют временн$\acute{ы}$м уравнением Шредингера, так как оно содержит производную от волновой функции по времени.

Для большого числа явлений, которые происходят в микромире можно использовать стационарную волновую функцию (независящую от времени) и соответственно стационарное уравнение Шредингера. Такое уравнение имеет смысл для задач, в которых потенциальная энергия не зависит от времени ($U=U\left(x,y,z\right)$).

Решение уравнения (1) найдем в виде:

Подставим выражение (2) в уравнение Шредингера (1), получим:

Разделим обе части выражения (3) на произведение функций $\varphi \Psi$, имеем:

В уравнении (4) левая часть — функция только координат, правая — только времени. Равенство возможно только в случае, если обе части уравнения равны некоторой постоянной. Обозначим ее $-E$ и запишем:

Уравнение (6) называют стационарным уравнением Шредингера. Оно является важным уравнением в квантовой механике и играет основную роль в атомной физике. Функции $\Psi$, которые удовлетворяют уравнению Шредингера при известной U, называют собственными функциями. Величины $E$ при которых существуют решения уравнения Шредингера (6) называют собственными значениями.

Уравнение (5) можно проинтегрировать. Получим:

где ${\varphi }_0=\varphi_0\left(0\right)$- значение $\varphi (t)$ в начальный момент времени (t=0).

Для определения смысла величины $E$ в стационарном уравнении Шредингера уравнение (6) сравнивают с волновым уравнением:

где $v2_{faz}$ — фазовая скорость волн в квадрате. Для синусоидальных волн ($S=A\left(r\right)e{-i2\pi u (t-\frac{r}{v_{faz}})},\ \ где\ u \ —\ частота\ волны$):

уравнение (8) записывается как:

К волнам де Бройля, которые связаны с движущимися частицами, можно применять уравнение (9). Для длины волны де Бройля известно соотношение:

где $v_{faz}$- фазовая скорость волн де Бройля, $u $ — частота волн де Бройля. Подставим вместо $\frac{u }{v_{faz}}$ в уравнение (10) в соответствии с (11) величину $\frac{mv}{h}$, вместо $S$ волновую функцию, получим:

$\frac{mv2}{2}=E-U$ — кинетическая энергия частицы, где $E$ — ее полная энергия. Выражение $\frac{4{\pi }2m2v2}{h2}$ перепишем как:

Значит в уравнении (12) имеем:

Мы получили уравнение (14) тождественное со стационарным уравнением Шредингера. Рассуждения, приведенные выше, подчеркивают волновой характер уравнения Шредингера. Надо отметить, что представление полной энергии ($E$) как суммы потенциальной и кинетической энергии в квантовой механике имеет ограниченный характер.

Уравнение Шредингера находится в согласии с предположением о связи полной энергии ($E$) частицы с частотой волн де Бройля. Решение уравнения Шредингера можно записать в виде:

Так, состояние частицы в рассматриваемый момент времени можно описать периодической функцией времени, имеющей циклическую частоту ($\omega =\frac{E}{\hbar }$), которая определена полной энергией частицы.

Пример 1

Задание: На пути электронного пучка, имеющего энергию $E$, расположен потенциальный барьер высоты $U$ ($U >E$) (рис.1). Какова относительная вероятность пребывания электрона в области $2$ на расстоянии x от границы областей $1$ и $2$ ($\epsilon$)?

Рисунок 1.

Решение:

В задаче следует найти отношение плотности вероятности нахождения электрона в точке $x$ к плотности вероятности его нахождения на границе областей. В задаче имеется высокий потенциальный барьер бесконечной ширины.

Все падающие на барьер электроны отражаются от него, но существует вероятность, что электрон попадет в область $2$.

Для нахождения вероятности обнаружения электрона в области $2$ надо решить уравнение Шредингера вида:

\[\triangle \Psi+\frac{2m}{{\hbar }2}\left(E-U\right)\Psi=0\left(1.1\right).\]

Для одномерного случая, который мы имеем для нашей задачи уравнение (1.1) примет вид:

\[\frac{{\partial }2\Psi}{\partial x2}-\frac{2m}{{\hbar }2}\left(E-U\right)\Psi=0\left(1.2\right).\]

Решение данного уравнения функция:

\[\Psi\left(x\right)=Ce{kx}+De{-kx}\left(1.3\right),\]

где $C$ и $D$ постоянные. Однако, из (1.3) при $x\to \infty ,$ то$\ \Psi\to \infty $, что не допустимо, следовательно, $C=0$. Получаем:

\[\Psi\left(x\right)=De{-kx}=De{-\frac{\sqrt{2m(U-E)x}}{\hbar }}\left(1.4\right).\]

Используя (1.4) найдем плотность вероятности нахождения частицы в точке x как:

\[{p=\left|\Psi(x)\right|}2=D2e{-\frac{2\sqrt{2m\left(U-E\right)x}}{\hbar }}\left(1.5\right).\]

Плотность вероятности, исходя из (1.5) на границе ${p_0=\left|\Psi (0)\right|}2=D2$. Тогда относительная вероятность ($\epsilon$) равна:

\[\epsilon=\frac{{\left|\Psi(x)\right|}2}{{\left|\Psi(0)\right|}2}=e{-\frac{2\sqrt{2m\left(U-E\right)x}}{\hbar }}.\]

Ответ: $\epsilon=e{-\frac{2\sqrt{2m\left(U-E\right)x}}{\hbar }}.$

Пример 2

Задание: Запишите уравнение Шредингера для электрона в водородоподобном атоме.

Решение:

Для написания необходимого уравнения следует вспомнить формулу, определяющую потенциальную энергию, которой обладает электрон в водородоподобном атоме, находящийся на орбите радиуса r:

\[U=-\frac{Zq2_e}{4\pi {\varepsilon }_0r}\left(2.1\right).\]

Уравнение для электрона в водородоподобном атоме должно быть стационарным и его можно записать как:

\[\triangle \Psi+\frac{2m_e}{{\hbar }2}\left(E+\frac{Zq2_e}{4\pi {\varepsilon }_0r}\right)=0.\]

Ответ: $\triangle \Psi+\frac{2m_e}{{\hbar }2}\left(E+\frac{Zq2_e}{4\pi {\varepsilon }_0r}\right)=0.$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/predmet_i_zadachi_atomnoy_fiziki/stacionarnoe_uravnenie_shredingera/

Booksm
Добавить комментарий