Соотношение между сторонами и углами треугольника

Урок 24. соотношения между сторонами и углами треугольника. неравенство треугольника — Геометрия — 7 класс — Российская электронная школа

Соотношение между сторонами и углами треугольника

Геометрия

7 класс

Урок № 24

Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Установление соотношений между сторонами и углами треугольника.
  • Формулирование неравенства треугольника.
  • Теоремы о сравнении сторон и углов треугольника, их применение при решении задач.
  • Проведение исследования о существовании треугольника с заданными элементами.

Тезаурус

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Против большего угла лежит большая сторона.

Основная литература:

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
  2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
  3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
  4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
  5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Ранее, на уроках геометрии, вы познакомились с различными фигурами, в том числе и с треугольником.

Сегодня мы продолжим изучать треугольники и рассмотрим соотношение между его элементами.

Теорема: В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Дано: ∆АВС.

AB > AC.

Доказать:

∠С > ∠В

Доказательство:

Отложим на стороне AB отрезок, равный стороне AC.

Так как AD < AB, то точка D лежит между точками A и B.

Следовательно, угол 1 является частью угла C и, значит,

∠C > ∠1.

Угол 2 – внешний угол треугольника BDC, поэтому ∠2 > ∠B (по свойству внешнего угла треугольника).

∠1 = ∠2 как углы при основании равнобедренного ∆ADC (по свойству равнобедренного треугольника).

→∠C > ∠1, ∠1 = ∠2, ∠2 > ∠B →∠C > ∠B.

Теорема доказана.

Справедлива и теорема, обратная данной. Против большего угла лежит большая сторона.

Дано: ∆АВС.

∠С > ∠В

Доказать:

AB > AC.

Доказательство:

Предположим, что АВ = АС или АВ < АС. Если АВ = АС → ∆АВС – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника) →∠С = ∠В (по свойству равнобедренного треугольника). Что противоречит условию, т. к. ∠С > ∠ В.

Если АВ < АС → ∠С < ∠В (по теореме доказанной выше: против большей стороны лежит больший угол) Что противоречит условию, т. к. ∠С > ∠В.

Поэтому наше предположение неверное → AB > AC.

Теорема доказана.

Докажем два следствия из этих теорем.

1 следствие. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Дано: ∆АВС – прямоугольный.

∠В = 90°

Доказать: АС > СВ.

Доказательство: ∠В > ∠А, т. к. ∠В = 90° ( по условию), ∠А –острый → АС > СВ (по обратной теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника: против большего угла лежит большая сторона).

Что и требовалось доказать.

Докажем второе следствие из этих теорем.

2 следствие:

Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный. Это следствие называется признак равнобедренного треугольника.

Дано: ∆АВС

∠А = ∠С

Доказать: ∆АВС – равнобедренный

Доказательство:

Докажем, что АВ = ВС.

Пусть АВ > ВС →∠С > ∠А (по теореме доказанной выше: против большей стороны лежит больший угол), противоречит условию, т. к. ∠А = ∠С . → АВ = ВС →∆АВС – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника).

Что и требовалось доказать.

Докажем теорему по соотношению между сторонами треугольника.

Теорема:

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Дано:

∆АВС

Доказать: АВ < АС + СВ.

Доказательство:

Продолжим сторону AC и отложим отрезок CD = BC.

∆BCD – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника) →∠1 = ∠2 (по свойству равнобедренного треугольника).

В ∆ABD: ∠ABD > ∠1 (так как угол 1 часть угла АВD), →∠ABD > ∠2 (так как ∠1 = ∠2).

Так как против большего угла лежит большая сторона (по теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника) → AB < AD, AD = AC + CD, т.к. CD = BC, поэтому AD = AC + CВ → AB < AC + СВ.

Что и требовалось доказать.

Сформулируем следствие из этой теоремы.

Для любых трёх точек A, B и C, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства: AB < AC + CB, AC < AB + BC, BC < BA + AC.

Решим задачу на доказательство, используя теоремы о соотношениях между углами и сторонами треугольника.

Докажем, что в произвольном треугольнике, если медиана и высота проведены из одной вершины, то эта медиана не меньше высоты, проведённой из то же вершины.

Дано: ∆АВС.

ВМ – медиана,

ВН – высота.

Доказать: ВМ ≥ ВН.

Доказательство:

Рассмотрим случай, когда АВ ≠ ВС. То ВМ и ВН не совпадают (т. к. по свойству равнобедренного треугольника, высота и медиана совпадают, если проведены к его основанию).

Рассмотрим ∆ВНМ – прямоугольный (по определению прямоугольного треугольника), т. к. ∠Н = 90°, при этом угол в 90° единственный в данном треугольнике (по теореме о сумме углов треугольника) → ∠Н – самый большой → ВМ > ВН (по обратной теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника).

Рассмотрим ещё случай АВ = ВС → ∆АВС – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника). То ВМ = ВН (по свойству равнобедренного треуголника, высота и медиана совпадают, если проведены к его основанию)→ ВМ ≥ ВН.

Что и требовалось доказать.

Разбор заданий тренировочного модуля.

1 Дано: ABC, равнобедренный, вычислите чему равна третья сторона треугольника, если две других равны 8 см и 4 см?

Объяснение: По определению равнобедренного треугольника, две его боковые стороны равны, следовательно это будет сторона равная 4 см или 8см.

Сторона 4см не может быть, т. к. 8см = 4 см + 4 см., что противоречит теореме о соотношениях между сторонами треугольника: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Предположим, что боковые стороны равны 8 см. Тогда, по теореме о соотношениях между сторонами треугольника, каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, получим следующее соотношение между сторонами треугольника:

4 см < 8 см + 8 см

8 см < 8 см + 4 см.

Соотношение верно, следовательно, третья сторона равна 8 см.

Ответ: третья сторона равна 8 см.

2. Дано: ∆АВК – равнобедренный, ВК – основание треугольника, его периметр равен 29 см, разность двух сторон равна 5 см, при этом один из его внешних углов – острый. Найдите длину боковой стороны АВ и основания ВК.

Объяснение: т. к.

по условию, один из внешних углов острый, то один из внутренних углов будет тупым, а это может быть, в равнобедренном треугольнике, только вершина над основанием треугольника (следствие из теоремы о сумме углов треугольника). → Основание ВК – самая длинная сторона треугольника АВК (по теореме о соотношении между углами и сторонами треугольника). → ВК – АВ = 5 см →ВК = 5см + АВ.

По определению равнобедренного треугольника, две его боковые стороны равны → АВ = АК. Периметр треугольника – сумма длин трёх его сторон.

Р∆АВК = АВ + АК + ВК = 29 см (по условию).

2АВ + ВК = 29 см

2АВ +5см + АВ = 29 см

3АВ = 24 см

АВ = 8 см, ВК = 8 + 5 =13 см.

Ответ: ВК = 13 см; АВ = 8 см.

Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/7307/conspect/

Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника

Соотношение между сторонами и углами треугольника

Теорема:

В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Доказательство:

1) Дано:АВС, АВАС.

   Доказать: СВ.

   Доказательство:

Отложим на стороне АВ отрезок АD, равный стороне АС.

 АDАВ, т.к. по построению АD = АС, а по условию АСАВ, значит, точка D лежит между точками А и В. Следовательно, 1 является частьюС, т.е.

С1. Угол 2 внешний угол DBC, поэтому 2В. АDС — равнобедренный с основанием DC, т.к.

по построению АD = АС, следовательно, 1 =2 (углы при основании).

Итак, С1, 1 =2, значит, С2, при этом 2В, следовательно, СВ.

2) Дано:АВС, СВ.

   Доказать: АВАС.

   Доказательство:

Предположим, что это не так. Тогда возможны два варианта:

  1. либо АВ = АС, тогда АВС — равнобедренный с основанием ВС, значит, С =В (как углы при основании), что противоречит условию: СВ.
  2. либо АВАС, тогда СВ, т.к. против большей стороны лежит больший угол (смотри 1 часть доказательства), что противоречит условию: СВ

Значит, наше предположение неверно, следовательно, АВАС. Что и требовалось доказать.

Следствие 1

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Следствие 2

Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).

Советуем посмотреть:

Теорема о сумме углов треугольника

Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

Неравенство треугольника

Некоторые свойства прямоугольных треугольников

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Уголковый отражатель

Расстояние от точки до прямой

Расстояние между параллельными прямыми

Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам

Построение треугольника по трем его сторонам

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 236, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 244, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 246, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 252, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 253, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 15, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 336, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 339, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 524, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1036, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

© budu5.com, 2020

Пользовательское соглашение

Copyright

Нашли ошибку?

Связаться с нами

Источник: https://budu5.com/manual/chapter/3428

Урок по геометрии для 7 класса «Соотношение между сторонами и углами треугольника»

Соотношение между сторонами и углами треугольника

Конспект урока по введению новых знаний Ушаковой Натальи Владимировны. Учителя математики МАОУ СОШ№31 г. Сыктывкара

Тема урока:Соотношения между сторонами и углами треугольника

Тип урока: изучение нового материла

Цели урока:

Образовательная:

  1. Изучить теоремы о соотношении между сторонами и углами треугольника и их применение при решении задач.

  2. Совершенствовать навыки решения задач на применение теоремы о сумме углов треугольника и свойстве внешнего угла треугольника.

  3. Уметь приобретать новые знания, используя различные подходы.

Развивающая:

  1. Способствовать развитию познавательных и исследовательских умений учащихся, повышению культуры общения.

  2. Развивать математическую речь учащихся в процессе выполнения устной работы по воспроизведению теоретического материала.

  3. Развивать у школьников самостоятельность мышления в ходе проведения дифференцированной индивидуальной работы.

Воспитательная:

  1. В ходе проведения работы в парах на уроке воспитывать в учащихся умение слушать своего товарища, чувство взаимопомощи и взаимоподдержки.

  2. Способствовать повышению активности учащихся на уроке, повышению грамотности устной и письменной речи.

Формы организации познавательной деятельности: Фронтальная, индивидуальная, работа в парах.

Обеспечение:

  1. Учебник для общеобразовательных учреждений «Геометрия 7-9». Авторы: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев Л.С. и др. – М.: Просвещение, 2003

  2. Интернет – ресурсы:

  • мультимедийная презентация

Оборудование:

    1. Мультимедийный проектор, экран

    2. Модели треугольников

    3. Карточки с заданиями

    4. Лист усвоения материала

    5. Анкета «Рефлексия»

План урока

п/п

Этапы урока

Время

1

Организационный момент.

2 мин

2

Актуализация знаний.

Выполнение заданий на повторение:

    1. Вспоминаем теорию.

    2. Применяем теорию на практике.

10 мин

3

Изучение нового материала:

  1. Исследование;

  2. Теорема, доказательство.

17 мин

4

Закрепление изученного материала. Решение задач.

8 мин

5

Постановка домашнего задания.

2 мин

6

Подведение итогов. Лист усвоения материала.

3 мин

7

Рефлексия. Анкета «Рефлексия»

3 мин

Ход урока

Собирает нас звонок 
На замечательный урок! 
Подравнялись, тихо встали, 
Глазки на меня подняли! 
Здравствуйте ребята садитесь!
2.Актуализация знаний. Повторим изучено

Задание 1 Определить вид треугольника.

У вас на партах лежат модели треугольников, по моему хлопку поднимите модель того треугольника, о котором шла речь.

— Мы дочери одной матери. Живём в одном семействе, но силы и свойства у нас разные (говорят треугольники).

1 треугольник: Я очень правильная фигура. У меня все углы и стороны равны. (равносторонний)

2 треугольник: А я тоже имею две равные стороны, а потому у меня два равных угла при основании. (равнобедренный)

3 треугольник: Вот у меня, например все стороны и углы разные. (разносторонний)

4 треугольник: — Зато я имею прямой угол. Вот какие мы сильные и важные! (прямоугольный)

5,6 треугольник: — Подумаешь , расхвастались, мы тоже из вашего семейства. У меня, например, все уголки острые (остроугольный), а у моего друга есть один тупой угол (тупоугольный). Но все мы обладаем замечательным свойством, которое ребята сейчас расскажут.

Учитель: каким же общим свойством обладают углы любого треугольника?

Ученики: Сумма углов треугольника равна 1800.

Задание 2 проверим теоретические знания

У вас на партах лежат карточки с заданием, вам предложены различные суждения, вам надо определить Верно или Не верно! Задание: после каждого суждения поставить букву В или Н.

  1. Треугольник является объемной фигурой. (н)

  2. Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой и соединенных попарно прямыми. (н)

3) Если в треугольнике две стороны равны, то треугольник называется равнобедренным. (в)

4) Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.(в)

5) ) В треугольнике углы при основании равны (н)

6) Треугольник, у которого один угол тупой, называется прямоугольным. (н)

7) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой. (в)

8) Внешний угол треугольника равен сумме двух других не смежных с ним. (в)

9) Сторона прямоугольного треугольника, лежащего против прямого угла называется гипотенузой. (в)

10) Стороны прямоугольного треугольника, образующие острый угол, называются катетами. (н)

Из выделенных букв составить слово

А вы знаете, чем известен Герон? Ещё в древности стали вводить некоторые знаки для обозначения геометрических фигур. Древнегреческий учёный Герон (1 век до н.э) впервые применил знак вместо слова треугольник.

Теперь поменяйтесь с соседом по парте листочками будем проверять. Критерии оценивания 1- ошибка ставим –«5», 2-3- «4»,4-5-«3». Прверим! У кого 5 поднимите красный треугольник, 4 синий, 3 жёлтый.

Задание 3 Применение знаний на практике. Решить задачи.

Давайте устроим небольшое соревнование по колонкам. Условия соревнований: за каждый правильный полный ответ 1 балл, отвечает один учащийся остальные могут помочь. 2,3 колонка-судьи.

3.Изучение нового материала.

Вы довольно много знаете о треугольниках Молодцы! Но, для того, чтобы определить тему сегодняшнего урока, я предлагаю превратиться в исследователей. Объектом нашего исследования будут треугольники. У вас на партах лежат листочки с треугольниками, Нашли? Работаем в парах. Давайте познакомимся с планом исследования.

  1. Измерить длины сторон треугольника;

  2. Определить наибольшую сторону;

  3. Измерить углы треугольников;

  4. Определить наибольший угол;

  5. Выявить закономерность расположения сторон и углов в каждом отдельном треугольнике.

  6. Сделать вывод.

На исследование у вас 7 минут.

Цель: 1) выяснить как соотносятся стороны и углы в треугольнике.

2) сформулировать теорему о соотношении между сторонами и углами треугольника

3) сформулировать тему урока

Дождаться когда получатся выводы, обсудить с ребятами какие выводы получились.

— Как расположен выбранный вами угол по отношению к выбранной стороне?

-А вы согласны?(Спросить раза три)

— Исходя из полученных выводов сформулировать тему урока.

Физкультминутка: Поднимите руки наверх, руками покажите прямой угол, тупой угол, развёрнутый угол, острый угол.

А теперь откройте учебник на стр72

Перепишите теорему себе в тетрадь, а теперь разберёмся с доказательством. (Док-во теоремы на доске)

  1. Закрепление изученного материала. Задачи выходят решать к доске.

Решить задачи

З

В

адача 1Задача 2

N

4

6

1100

М

K

400

А

С

5

Укажите наибольшую и наименьшую Сравните углы ∆АВС

стороны ∆MNK

Задача 3 с учебника № 237.

1) п.32 прочитать (до следствия1);

2) Выучить теорема с доказательством;

3) Докать обратную теорему

4) Решить задачу№ 236

  1. Подведём итоги Лист усвоения материала(приложение 1)

  2. Рефлексия

А теперь пришло время подвести итоги. Дайте оценку себе и уроку в целом используя лист рефлексии. (приложение 2) Кто готов выставить с уверенностью оценку 5, 4, 3.

Спросить почему 5 по анкете.

Окончен урок, и выполнен план.

Спасибо, ребята, огромное вам.

За то, что упорно и дружно трудились,

И знания точно уж вам пригодились

Рефлексия Приложение 2

«Я»: Как работал? Допускал ли ошибки?___________________________

____________________________________________________________________

«Мы»: насколько мне помогали одноклассники, учитель, а я – им?_________________________________________________________________

«Дело»: понял ли материал? Узнал ли больше? ____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

Я ставлю себе за урок оценку__________________________________________

Я ставлю оценку учителю_____________________________________________

Мне понравилось на уроке____________________________________________

Мне не понравилось на уроке _________________________________________

Рефлексия

«Я»: Как работал? Допускал ли ошибки?___________________________

____________________________________________________________________

«Мы»: насколько мне помогали одноклассники, учитель, а я – им?_________________________________________________________________

«Дело»: понял ли материал? Узнал ли больше? ____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

Я ставлю себе за урок оценку__________________________________________

Я ставлю оценку учителю_____________________________________________

Мне понравилось на уроке____________________________________________

Мне не понравилось на уроке _________________________________________

Лист усвоения материала приложение 1

Рисунок 1 Рисунок 2

АВ = 40 см ВС = 50 см АС = 70 см

В

В

А

С

А

С

Какая сторона треугольника самая большая? ___ Градусная мера какого угла треугольника

самая маленькая?__________

Лист усвоения материала

Рисунок 1 Рисунок 2

АВ = 40 см ВС = 50 см АС = 70 см

В

В

А

С

А

С

Какая сторона треугольника самая большая? ___ Градусная мера какого угла треугольника

самая маленькая?__________

Задание 2 проверим теоретические знания

  1. Треугольник является объемной фигурой

  2. Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой и соединенных попарно прямыми.

3) Если в треугольнике две стороны равны, то треугольник называется равнобедренным.

4) Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.

5) Если в треугольнике два угла по 60о, то этот треугольник тупоугольный.

6) Треугольник, у которого один угол тупой, называется прямоугольным.

7) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

8) Внешний угол треугольника равен сумме двух других не смежных с ним.

9) Сторона прямоугольного треугольника, лежащего против прямого угла называется гипотенузой.

10) Стороны прямоугольного треугольника, образующие острый угол, называются катетами.

Задание 2 проверим теоретические знания

  1. Треугольник является объемной фигурой

  2. Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой и соединенных попарно прямыми.

3) Если в треугольнике две стороны равны, то треугольник называется равнобедренным.

4) Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудьуглом этого треугольника.

5) Если в треугольнике два угла по 60о, то этот треугольник тупоугольный.

6) Треугольник, у которого один угол тупой, называется прямоугольным.

7) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

8) Внешний угол треугольника равен сумме двух других не смежных с ним.

9) Сторона прямоугольного треугольника, лежащего против прямого угла называется гипотенузой.

10) Стороны прямоугольного треугольника, образующие острый угол, называются катетами.

а) ∆MNO- остроугольный б) — прямоугольный в)∆DEF — тупоугольный

наибольшая сторона___ наибольшая сторона___ наибольшая сторона___

наибольший угол______ наибольший угол______ наибольший угол______

а) ∆MNO- остроугольный б) — прямоугольный в)∆DEF — тупоугольный

наибольшая сторона___ наибольшая сторона___ наибольшая сторона___

наибольший угол______ наибольший угол______ наибольший угол______

а) ∆MNO- остроугольный б) — прямоугольный в)∆DEF — тупоугольный

наибольшая сторона___ наибольшая сторона___ наибольшая сторона___

наибольший угол______ наибольший угол______ наибольший угол______

а) ∆MNO- остроугольный б) — прямоугольный в)∆DEF – тупоугольный

наибольшая сторона___ наибольшая сторона___ наибольшая сторона___

наибольший угол______ наибольший угол______ наибольший угол______

Источник: https://infourok.ru/material.html?mid=39508

Booksm
Добавить комментарий