Собственные значения и собственные функции операторов

Собственные функции операторА и собственные значения

Собственные значения и собственные функции операторов

Собственнаяфункция оператораопределяется уравнением

, (2.8)

где–собственноезначение оператора.Под действием оператора его собственнаяфункция восстанавливается с точностьюдо постоянного множителя, которыйназывается собственным значением.

Физическийсмысл собственного значения – еслисистема находится в состоянии ,то измерение величиныA,описываемой оператором ,дает однозначный результат.Собственные функции с разными собственнымизначениями взаимно ортогональны. Этоисключает возможность получить приизмерении неоднозначный результат.

Спектроператора– это множество его собственных значений.

Еслисчетное, тоспектрдискретный.

Еслиобразует непрерывный набор, тоспектрнепрерывный.

Еслиkразных собственных функций имеютодинаковые собственные значения, тоспектрkкратновырожден.

Коммутирующиеоператоры имеют одинаковый наборсобственных функций,соответствующие физические величиныодновременно имеют определенныезначения.

Доказательство:

Пусть– собственная функция,тогда

.

Действуемоператором на обе стороны равенства

.

Учитываемкоммутативность операторов

,

получаем

.

Следовательно,– собственная функция,пропорциональная:

.

Полученноеравенство означает, что – собственная функцияс собственным значением.

Операторкоординаты .Пусть– собственная функция с собственнымзначением,тогда

Верхнееравенство является определениемоператора координаты, нижнее –определением собственной функции исобственного значения. В результате

Сравниваемс фильтрующим свойством дельта-функции

,

находим

.

Функцияравна нулю во всех точках, кроме ,гдеx0– любое вещественное число, поэтомуспектр x0непрерывный.Вид функции согласуется с физическимсмыслом состояния – частица обнаруживаетсяв точке x0.В результате обоснована форма операторакоординаты.

Какпоказано далее условие ортонормированностидля непрерывного спектра имеет вид

.

Подстановка дает

.

Откуда,тогдасобственнаяфункция оператора координаты, иливолновая функция частицы, находящейсяв точке x0,есть

. (2.9)

Операторпроекции импульса .Уравнение на собственную функцию дает

Получилидифференциальное уравнение первогопорядка

.

Разделяемпеременные

,

интегрируем

,

находим

.

Результатсовпадает с координатной зависимостьюплоской волны де Бройля

, (1.11)

описывающейдвижение частицы с постоянным импульсом.В результате обоснована форма оператораимпульса. Поскольку p– любоевещественное число, то спектрнепрерывный.Условиеортонормированности для непрерывногоспектра

дает

.

Используя

,

находим .В результатесобственнаяфункция оператора импульса, иливолноваяфункция частицы, движущейся с импульсомp,равна

. (2.10)

ЭрмитовыЙ оператор

Дляобеспечения вещественности и однозначностирезультатов измерения физическойвеличины ее оператор должен бытьэрмитовым. Операция эрмитового сопряженияопределяется через интегральнуюквадратичную форму. Такая форма описывает,в частности, среднее значение измеряемойвеличины.

Эрмитовосопряженный операторобозначается значком «и определяется в виде

. (2.11)

Интегрированиепроводится по всему объему пространства,занятого частицей.

Свойстваэрмитового сопряжения

,

,

,

,. (2.12)

Действительно,

,

,

гдевыполнено эрмитовое сопряжение первогооператора, а затем второго оператора.

Эрмитовыйоператор неизменяется при эрмитовом сопряжении

. (2.13)

Из(2.11) получаем

. (2.14)

Свойстваэрмитова оператора:

1)Собственныезначения вещественные.

Доказательство:

В(2.14) полагаем ,где– собственная функция оператора,учитываем

, ,

получаем

.

Следовательно,

(2.15)

– измеряемаявеличина вещественна.

2)Собственныефункции, соответствующие разнымсобственным значениям, взаимноортогональны.

Доказательство:

Пусть

, ,,.

Из(2.14) при ,получаем

.

Учитывая(2.15), находим

.

Привыполняетсяусловиеортогональности

. (2.16)

– состоянияипри измерении не совместимы.

Источник: https://studfile.net/preview/2567179/page:2/

Математический аппарат квантовой механики. Самосопряжённые (эрмитовы) операторы. Собственные функции и собственные значения, страница 2

Собственные значения и собственные функции операторов

В частном случае  из последнего выражения получим

                                        (1.20).

Подынтегральное выражение в формуле (1.20) неотрицательно, а сам интеграл не равен 0, откуда следует , что и доказывает действительность собственных значений. С учётом последнего при   из (1.19) получим условие ортогональности (1.

16). В заключение, отметим без доказательства, что волновые функции вырожденных состояний вообще говоря не ортогональны, но из них всегда могут быть построены линейные комбинации, которые будут удовлетворять условию ортогональности.

Собственные функции , принадлежащие дискретному спектру собственных значений, могут быть нормированы на единицу. Добавляя к (1.16) условие нормировки (1.2), получим условие ортонормированности собственных функций

                                          (1.21)

где    — символ Кронекера.

Собственные функции линейного самосопряженного оператора являются линейно независимыми. Это означает, что равенство будет иметь место только, если все Сk=0. В этом нетрудно убедиться, если умножить это равенство на при произвольном значении l , проинтегрировать по всему пространству и учесть условие (1.21).

В теории линейных операторов доказывается, что собственные функции эрмитовых операторов не только линейно независимы, но образуют полную систему линейно независимых функций.

Последнее утверждение означает, что произвольную квадратично интегрируемую волновую функцию , можно представить в виде линейной комбинации собственных функций эрмитового оператора:

                                             (1.22)

(сравните с разложением (1.7).  Считая волновую функцию  нормированной на 1 и подставляя в условие нормировки (1.2) разложение (1.22) получим критерий полноты набора собственных функций

и окончательно

                                                   (1.23).

Для нахождения коэффициентов разложения (1.22), домножим это разложение на функцию  и проинтегрируем по всему пространству:

.

Окончательно получим

                                          (1.24).

Полученные для дискретного спектра выражения, после небольшой модификации могут быть распространены и на случай непрерывного спектра собственных значений оператора. Особенностью собственных функций , принадлежащих непрерывному спектру собственных значений , является то, что интеграл от квадрата их модуля расходится

В таком случае значение интеграла будет пропорционально (но не равно!) вероятности нахождения частицы на отрезке [a,b]. Ясно также, что отношение вероятности пребывания частицы на любом конечном участке пространства к вероятности его пребывания во всем пространстве равно нулю. Это означает, что в состояниях непрерывного спектра частица находится на бесконечности.

Для функций непрерывного спектра вместо выражения (1.21) получим условие ортонормированности в виде

                                    (1.25), где  — дельта-функция Дирака. Дельта-функция Дирака задаётся условием

                                           (1.26)

и интегрально нормируется на единицу

                                                 (1.27).

Разложение произвольной функции по полному набору собственных функций оператора с непрерывным спектром даётся формулой

                                          (1.28), а условие полноты приобретает вид

                                                  (1.29).

При этом коэффициенты разложения  в формуле (1.28) по-прежнему определяются формулой (1.24) при соответствующей замене нижних индексов.

В заключение докажем две небольшие, но очень важные теоремы.

Теорема 1. Если операторы имеют общие собственные функции, то они коммутируют.

Пусть  — общая собственная функция операторов и , так что  и .

Обозначим величину , которая называется коммутатором операторов и  как . Тогда

.

Такой же результат будет получен и при действии коммутатора на произвольную функцию, что становится очевидным, если разложить эту функцию по набору общих собственных функций указанных операторов. Это означает, что данные операторы коммутируют – теорема доказана.

Теорема 2. Если операторы коммутируют, то они имеют общие собственные функции.

Пусть  и пусть — собственная функция оператора с собственным значением g, т.е.  Подействуем на обе стороны равенства слева оператором . Тогда по условию теоремы получим

Из последнего равенства видно, что функция также является собственной функцией оператора  , причём с тем же собственным значением g. Если это значение является невырожденным, то функции  и  должны совпадать с точностью до постоянной, т.е. , где k – константа.

Таким образом, собственная функция оператора является одновременно и собственной функцией оператора , что и требовалось доказать. Заметим, что при наличии вырождения данная теорема, вообще говоря, не верна.

Однако из собственных функций, принадлежащих одному собственному значению всегда можно построить линейные комбинации, которые будут общими собственными функциями коммутирующих операторов.

Источник: https://vunivere.ru/work55367/page2

Собственные значения и собственные функции операторов

Собственные значения и собственные функции операторов

Физический смысл имеют те решения уравнения Шредингера:

которые удовлетворяют естественным (стандартным) условиям. Согласно им волновая функция должна быть конечной, однозначной, непрерывной и гладкой во всем пространстве, даже в точках разрыва потенциальной энергии. Решения, которые удовлетворяют данным требованиям, возможны не при любых значениях $E$, а только при некоторых, которые обозначим: $E_1,E_2,\dots ,\ E_n.$

Значения энергии ($E_1,E_2,\dots ,\ E_n.$), при которых уравнение (1) имеет необходимые решения, называют собственными значениями. При этом функции $\Psi_1,\ \Psi_2,\ \dots ,\ \Psi_n$, которые являются решениями уравнения (1) при $E=E_1,E=E_2,\dots ,E=\ E_n$ называют собственными функциями, принадлежащими собственным значениям. В этом состоит сущность общего принципа квантования.

Собственные значения энергии $E$ принимают за возможные значения энергии в соответствующих стационарных состояниях. Данные значения могут быть дискретными или непрерывными, при этом возникает дискретный или непрерывный энергетический спектр.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Рассмотрим уравнение вида:

где $\hat{A}$ — линейный оператор, $a$ — число, $\Psi$ — функция. В данном случае действие оператора есть умножение функций на число. Такие функции называют собственными функциями рассматриваемого оператора $\hat{A}.$ Решения уравнения (2) существуют только для специальных значений $a$, которые называют собственными значениями оператора $\hat{A}$. Уравнение (2) при этом записывают как:

где $a_n$ — собственные значения, $\Psi_n$ — собственные функции, соответствующие собственным значениям. Каждая из этих функций предполагается нормированной так, что:

Итак, значения, которые может принимать данная физическая величина в квантовой механике, называют собственными значениями. Совокупность собственных значений — спектр собственных значений рассматриваемой величины.

Если система находится в каком-то состоянии, которое характеризует волновая функция $\Psi$, то проведение измерения некоторой величины $a$, относящейся к исследуемой системе, даст одно из собственных значений $a_n.$

Собственные значения всех операторов физических величин принимают исключительно действительные значения.

Совокупность собственных функций составляет полную систему, это значит, что любое состояние системы $\Psi$ представимо в виде единственного и однозначного разложения в ряд по собственным функциям:

где ${\left|C_n\right|}2$ — вероятность того, что при измерении физической величины, которая соответствует оператору $\hat{A}$ будет соответствовать измерение $A_n$ для волновой функции $\Psi_n.$

Среднее значение физической величины

Среднее значение любой физической величины ($\left\langle A\right\rangle $) в квантовой механике определяется из вероятностного смысла волновой функции:

Аналогов такого усреднения в классической физике нет. В ней часто проводят усреднение по времени для некоторой величины.

Для большого количества частиц проводят усреднения по ансамблю, как например, вычисляют среднюю скорость движения молекул в веществе.

В рассматриваемом нами случае усреднение производится по квантовому состоянию микрообъекта в фиксированный момент времени. Провести подобное усреднение эмпирически весьма затруднительно.

Среднее значение по квантовому состоянию величины координаты частицы можно определить как:

Дисперсия физической величины

Подобно теории вероятности в квантовой физике вводят дисперсию среднего значения координаты. Она определяет разброс полученных при измерении величин относительно среднего значения исследуемой координаты. Дисперсию при этом определяют как:

где $\left\langle x2\right\rangle =\int\limits_V{\Psi*\left(\overrightarrow{r},t\right)x2 \Psi\left(\overrightarrow{r},t\right)dV}$ среднее значение квадрата координаты частицы.

Аналогичное выражение можно использовать для дисперсии величины импульса:

где квадрат вредней величины импульса равен:

Сделав обобщение, можно записать, что дисперсия некоторой величины $A$, которая определяет разброс результатов измерений по отношению к среднему, можно найти как:

Отметим, что дисперсия величины $A$ в собственном состоянии равна нулю, что означает физическая величина, имеет определенное значение, которое точно определено и равно собственному значению оператора $\hat{A}.$

Пример 1

Задание: Используя уравнение $\hat{A}\Psi=A \Psi,$ найдите $\Psi$-функцию состояния, в котором проекция импульса на ось $X$ имеет определенную величину $p_x$.

Решение:

Используем выражение для оператора импульса:

\[{\hat{p}}_x=-i\hbar \frac{\partial }{\partial x}(1.1)\]

подставим его в уравнение:

\[\hat{A}\Psi=A\Psi (1.2)\]

вместо оператора $\hat{A}$, имеем:

\[-i\hbar \frac{\partial }{\partial x}\Psi=p_x \Psi\left(1.3\right)\to \frac{\partial \Psi}{\Psi}=i\frac{p_x}{\hbar }\partial x\to {\ln \left(\Psi\right)\ }=i\frac{p_x}{\hbar }x.\]

Уравнению (1.3) удовлетворяет функция:

\[\Psi=e{i\frac{p_xx}{\hbar }}.\]

Данная функция удовлетворяет естественным условиям, то есть искомая функция найдена.

Ответ: $\Psi=e{i\frac{p_xx}{\hbar }}.$

Пример 2

Задание: Какова средняя кинетическая энергия частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме с непроницаемыми стенками ($0

Решение:

Проведем нормирование функции $\Psi\left(x\right).$Найдем коэффициент $A$. Для этого запишем:

\[\int\limitsl_0{\Psi2dx}=A2\int\limitsl_0{x2{\left(l-x\right)}2dx}=\frac{A2l5}{30}\to A2=\frac{30}{l5}\left(2.1\right).\]

Величина средней кинетической энергии определяется как:

\[\left\langle E_k\right\rangle =\int\limitsl_0{\Psi*}\left({\hat{E}}_k \Psi\right)dx\left(2.2\right),\]

где

\[\left({\hat{E}}_k \Psi\right)=-\frac{{\hbar }2}{2m}\frac{{\partial }2 \Psi}{\partial x2}=-\frac{{\hbar }2}{2m}\frac{{\partial }2}{\partial x2}\left(Ax\left(l-x\right)\right)=\frac{{\hbar }2}{2m}2A=\frac{{\hbar }2}{m}A\left(2.3\right).\]

Подставим результат выражения (2.3), стоящий в правой части в формулу (2.2), имеем:

\[\left\langle E_k\right\rangle =\int\limitsl_0{Ax\left(l-x\right)}\frac{{\hbar }2}{m}Adx=A2\frac{{\hbar }2}{m}\left[\int\limitsl_0{xldx-\int\limitsl_0{x2}}dx\right]=\frac{30}{l5}\frac{{\hbar }2}{m}\left(\frac{l3}{2}-\frac{l3}{3}\right)=\frac{5}{l2}\frac{{\hbar }2}{m}.\]

Ответ: $\left\langle E_k\right\rangle =\frac{5}{l2}\frac{{\hbar }2}{m}.$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/predmet_i_zadachi_atomnoy_fiziki/sobstvennye_znacheniya_i_sobstvennye_funkcii_operatorov/

И собственные значения

Собственные значения и собственные функции операторов

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Квантовая механика, не ограниченная полуклассическим приближением, строится на совершенно другом основании, чем классическая физика. Состояние частицы описывается функцией, множество состояний образует гильбертого пространство функций. Измеряемая физическая величина описывается линейным оператором, действующим в гильбертовом пространстве.

Основные положения:

Состояние частицы описывается волновой функцией.

Физическая величина описывается оператором.

Собственные значения оператора являются возможными результатами измерения величины. Разложение волновой функции по ортонормированному базису собственных функций оператора дает вероятности возможных результатов измерения соответствующей физической величины.

Волновая функция и энергия частицы получаются в результате решения уравнения Шредингера.

Квантовая механика в общем случае не дает однозначных результатов для характеристик частицы, но лишь вероятности тех или иных результатов, которые удовлетворяют соотношениям неопределенностей.

ВОЛНОВАЯ функция

Состояние частицы выражает комплексная функция Y (пси), являющейся амплитудой вероятности обнаружения частицы:

.

Физический прибор – детектор частиц регистрирует . Физический смысл:

вероятность обнаружения частицы в момент t в объеме около точки ;

плотность вероятности – вероятность обнаружения частицы в момент t в единичном объеме около точки r.

Условие нормировки

.

Волновая функция:

1) Определена с точностью до постоянного фазового множителя;

состояния и , где , физически не различимы;

2) Квадратично интегрируема, – существует;

3) Удовлетворяет принципу суперпозиции – если возможны состояния и , то возможно состояние

,

где – комплексные числа, определяющие вероятность обнаружения состояний 1 и 2.

ОператорЫ

Физической величине A сопоставляется линейный оператор . Исключением является время, которое считается параметром. Подразумевается, что правее оператора находиться функция, на которую он действует.

Оператор координаты

, . (2.1)

Оператор проекции импульса

, . (2.2)

Свойства линейных операторов:

1) Умножение на число с

. (2.3)

2) Линейность

, (2.4)

где и – числа.

3) Сложение операторов

. (2.5)

4) Умножение на оператор

. (2.6)

Операторы в общем случае не перестановочны при их перемножении, например:

,

.

Перестановочное соотношение, или коммутатор операторов:

.

Операторы и коммутируют, если . Примеры:

, ,

. (2.7)

Собственные функции операторА

и собственные значения

Собственная функция оператора определяется уравнению

, (2.8)

собственное значение оператора. Т.е. под действием оператора его собственная функция восстанавливается с точностью до постоянного множителя, который называется собственным значением.

Физический смысл – если система находится в состоянии , то измерение величины A, описываемой оператором , дает однозначный результат .

Спектр оператора – это множество его собственных значений .

Если счетное, то спектр дискретный.

Если образует непрерывный набор, то спектр непрерывный.

Если k разных собственных функций имеют одинаковые собственные значения, то спектр k-кратно вырожден.

Коммутирующие операторы имеют одинаковый набор собственных функций, соответствующие физические величины одновременно имеют определенные значения.

Доказательство:

Пусть – собственная функция , тогда

.

Действуем оператором на обе стороны равенства

.

Учитываем коммутативность операторов

,

получаем

.

Следовательно, – собственная функция , пропорциональная :

.

В результате – собственная функция с собственным значением .

Оператор координаты. Пусть – собственная функция с собственным значением , тогда

Верхнее равенство записано по определению оператора координаты, нижнее – по определению собственной функции. В результате

Сравниваем с фильтрующим свойством дельта-функции

,

находим

.

Функция равна нулю во всех точках, кроме , x0 – любое вещественное число, спектр x0 непрерывный. Вид функции согласуется с физическим смыслом состояния, что оправдывает выбор формы оператора координаты.

Как показано далее условие ортонормированности для непрерывного спектра имеет вид

.

Подстановка дает

.

Откуда , тогда собственная функция оператора координаты, или волновая функция частицы, находящейся в точке x0 оси x:

. (2.9)

Оператор импульса. Уравнение на собственную функцию дает

Получили дифференциальное уравнение первого порядка

.

Разделяем переменные

,

интегрируем

,

находим

.

Результат совпадает с координатной зависимостью плоской волны де Бройля

, (1.11)

описывающей движение частицы с постоянным импульсом. Это оправдывает выбор формы оператора импульса. Ограниченность вероятности |Ψр(x)|2 при любых x требует вещественности р, в результате спектр непрерывный. Условие ортонормированности для непрерывного спектра

дает

.

Используя

,

находим . Тогда собственная функция оператора импульса, или волновая функция частицы, движущейся с импульсом p вдоль оси x, равна

. (2.10)

ЭрмитовыЙ оператор

Оператор физической величины должен быть эрмитовым. Это обеспечивает вещественность и однозначность результатов измерения величины. Для определения операции эрмитового сопряжения используется квадратичная форма с оператором под интегралом. Такая форма выражает в частности среднее значение измеряемой величины.

Эрмитово сопряжение + для оператора определяется в виде

, (2.11)

где интегрирование проводится по всему объему пространства, занятого системой.

Источник: https://megaobuchalka.ru/3/19866.html

Операторы. Собственные функции и собственные значения

Собственные значения и собственные функции операторов

АТОМНАЯ ФИЗИКА. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ.

Глава 3. Элементы квантовой механики

Операторы. Собственные функции и собственные значения.

Операторы в квантовой механике.

Рассмотрим теперь еще одну возможную интерпретацию уравнений (в 4) и (в 5).

Когда волновая функция известна, соответствующий импульс частицы или его компоненту мы получаем, взяв частную производную от волновой функции по :

.

Принято говорить, что компоненте импульса отвечает дифференциальный оператор

.

Аналогичное утверждение справедливо и для и компонент.

Соответственно, оператор, отвечающий энергии, имеет вид

.

Операторы, или правила, по которым производятся действия над какими-либо функциями (действуя на одну функцию, они порождают другую), можно представлять различными способами.

Матрицы Гейзенберга являются одним определенным способом представления операторов.

Другим представлением служит набор дифференциальных коэффициентов (операций дифференцирования), соответствующих компонентам импульса и энергии.

В квантовой механике любой динамической переменной, любой физической величине приводится в соответствие оператор.

Т.о., оператор – это правило, по которому любой выбранной функции приводится в соответствие другая функция :

(3.1.1)

Операциям возведения в степень, однократного и многократного дифференцирования, умножения на некоторую функцию и т.д. можно сопоставить соответствующие операторы. Примерами операторов могут служить ранее встречавшиеся .

Оператор пишется всегда слева и действует на функцию, которая стоит справа от него.

Оператор действует на все, что стоит справа от него (если нет скобок).

Линейные операторы.

В квантовой механике применяются линейные операторы, чтобы не нарушался принцип суперпозиции состояний. Свойство линейных операторов:

(1.2)

где С1, С2 — произвольные постоянные.

Примерами линейных операторов могут служить единичный оператор: , оператор умножения на число : .

Среди операторов, действующих на волновые функции , связанные (ассоциированные) с частицей, можно выделить два особенно важных типа линейных операторов:

1. операторы вида , действие которых состоит в умножении волновой функции на функцию

2. дифференциальные операторы .

Напротив, оператор, сопоставляющий некоторой функции её куб, не является линейным оператором.

Используя линейные операторы, можно получить другие линейные операторы с помощью алгебраических операций умножения оператора на постоянную величину, сложения операторов, умножения операторов.

Примеры:

1) оператор координаты – оператор умножения: ;

2) оператор проекции импульса – дифференциальный оператор: ;

3) оператор полной энергии – гамильтониан:

4) типичным примером линейного оператора, полученного путем умножения и суммирования линейных операторов, является оператор Лапласа:

.

Можно ввести и другие операторы, например, момента импульса, проекции момента импульса, спина и т.д.

Собственные функции и собственные значения.

Итак, каждой физической величине сопоставляется линейный оператор , который, действуя на волновую функцию , зависящую от координат , переводит её в другую функцию .

Если оператор воспроизводит функцию с точностью до множителя

,

то функцию называют собственной функцией оператора , а множитель собственным значением оператора .

Т.о., значения, которые может принимать физическая величина, называют в квантовой механике её собственными значениями, а об их совокупности говорят как о спектре собственных значений данной величины.

В классической механике величины пробегают, вообще говоря, непрерывный ряд значений.

В квантовой механике тоже существуют физические величины (примером могут служить координаты), собственные значения которых заполняют непрерывный ряд. В таком случае говорят о непрерывном спектре собственных значений.

Однако в квантовой механике, наряду с такими величинами, существуют и другие, собственные значения которых образуют дискретный набор. Это означает, что спектр собственных значений дискретный.

Т.о., спектр собственных значений может быть дискретным, сплошным (непрерывным) или смешанным.

Если спектр дискретный, то собственные значения и собственные функции можно пронумеровать

(1.)

где n — немой значок, соответствующий номеру решения.

Физический смысл: собственные значения описывают в квантовой механике такие состояния, в которых данная физическая величина имеет определенное значение .

Примеры.

  1. Оператор координаты .

.

Решение существует при всех , т.е. спектр собственных значений непрерывный.

  1. Оператор проекции импульса.

собственная функция оператора импульса.

Очевидно, что спектр собственных значений оператора импульса непрерывный, поскольку имеем решения при всех значениях .

  1. Оператор энергии – гамильтониан.

.

В зависимости от потенциальной функции система может иметь как дискретный спектр энергий (определенные уровни энергии), так и непрерывный.

Правила действия с операторами (алгебра операторов).

1. принцип суперпозиции.

;

2. свойство коммутативности

3. сложение операторов

;

4. умножение оператора на число эквивалентно умножению на это число результата действия оператора:

5. произведение линейных операторов обладает ассоциативным свойством:

;

и свойством дистрибутивности:

Однако!

В отличие от суммы, произведение двух операторов не коммутативно.

В этом состоит очень важное различие между алгеброй линейных операторов и алгеброй чисел. Произведение не обязательно тождественно произведению . В первом случае сначала оператор действует на функцию , а затем оператор действует на функцию и дает окончательный результат.

Во втором случае операции и переставлены между собой.

Разность двух произведений операторов называется коммутатором операторов и .

Коммутатор обозначается символом

.

Если указанная разность равна нулю, говорят, что операторы коммутируют

,

и наоборот.

Примеры.

Рассмотрим совместное действие операторов, вычислив их коммутаторы.

1. координаты и проекции импульса .

,

т.е. операторы и коммутируют.

Коммутируют между собой все операторы дифференцирования

2. координаты и проекции импульса .

,

т.е. операторы и не коммутируют.

Физический смысл:

физические величины, которым соответствуют некоммутирующие операторы, никогда не могут быть одновременно точно измерены – канонически сопряженные величины;

физические величины, чьи операторы коммутируют, могут быть одновременно точно измерены.

Дата добавления: 2015-08-08; просмотров: 3170; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

ПОСМОТРЕТЬ ЁЩЕ:

Источник: https://helpiks.org/4-59970.html

Собственные функции и собственные значения операторов

Собственные значения и собственные функции операторов

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

В квантовой механике каждой динамической переменной (координате, импульсу, энергии и т.д.) ставится в соответствие линейный самосопряженный оператор. Оператором наз. правило или закон, согласно которому функции , из некоторого класса функций, ставится в соответствие другая функция φ.

Операторы обозначаются символом , например, , , и т.д. Говорят, что оператор действует на функцию f или оператор переводит функцию

f в φ :

(1)

Например, = ; .

Действуя оператором на функцию, получим:

, .

Оператор определен на некотором классе функций. Оператор считается заданным, если указано не только правило, с помощью которого он преобразует одну функцию в другую, но и то множество функций, на которые действует этот оператор. Например, оператор дифференцирования определен на классе дифференцируемых функций.

Сумма или разность операторов означает

В общем случае , но если последовательность действия операторов не имеет значения, т.е. , то говорят, что эти операторы коммутируют или эти операторы коммутативны. Если операторы не коммутативны. Кроме коммутативных и некоммутативных операторов существуют антикоммутативные операторы: .

Произведение 2-х одинаковых операторов: , n раз : .

В квантовой механике большую роль играют линейные самосопряженные (эрмитовы) операторы. Свойство линейности означает, что

Здесь и – постоянные

и функции, на которых определен оператор .

Условие линейности операторов можно записать так:

Операторы могут иметь векторный характер. В квантовой механике часто встречается оператор набла:

— орт-векторы (единичные).

Произведение 2-х векторных операторов строится как скалярное произведение векторов:

=

Оператор , для которого выполняется следующее равенство, наз. самосопряженным или эрмитовым:

От функций и требуется, чтобы оператор был определен на них и интегралы, входящие в это выражение, существовали.

Знак * означает комплексное сопряжение. Например, для выражения

Для получения комплексной сопряженности числа, содержащего мнимую единицу, нужно заменить на — : .Вещественный оператор при комплексном сопряжении остается неизменным.

Собственные функции и собственные значения операторов

Когда в результате действия оператора на функцию, она не меняется или изменяется лишь на некоторый множитель, например, , то говорят, что – это собственное значение оператора , а функция — собственная функция оператора .

Условие, при котором оператор оставляет функцию f неизменной, с точностью до постоянного множителя, можно записать в виде: (1).

Здесь – постоянная, зависящая от вида оператора и функции. Очевидно, что не всякая функция f будет удовлетворять условию (1) и не при всяких значениях . Значения , при которых уравнение (1) имеет отличные от нуля решения, называются собственными значениями оператора .

Набор собственных значений называется спектром собственных значений оператора . Спектр может быть непрерывным и дискретным. Он является непрерывным, если уравнение (1) имеет решение при всех значениях в некотором промежутке. Спектр собственных значений может быть смешанным, т.е. состоять из непрерывных и дискретных значений.

Каждому собственному значению оператора соответствует собственная функция . В этом случае, говорят, что собственная функция принадлежит собственному значению . Если каждому собственному значению оператора принадлежит несколько различных функций , то говорят, что этот спектр -кратно вырожден.

Рассмотрим несколько важных свойств собственных значений и собственных функций.

Теорема 1: Если оператор самосопряженный, то его собственные значения вещественны.

Теорема 2: Собственные функции и самосопряженного оператора , принадлежащие разным собственным значениям и ,ортогональны между собой:

. (2)

В случае дискретного спектра интеграл имеет конечное значение.

Если вместо функции выберем функцию , то имеем . Замена функции на таким способом называется нормированием функции , а коэффициент — коэффициентом нормировки.

Функция называется нормированной. Собственные функции дискретного спектра всегда можно считать нормированными.

Условие ортогональности и нормировки вместе можно записать следующим образом:

(4)

— символ Кронекера.

Возможны случаи, когда разные собственные функции принадлежат одинаковым собственным значениям, т.е. имеет место вырождение. Вырожденные функции вообще говорят не ортогональны.

Теорема 3: Если несколько собственных функций принадлежат одинаковым собственным значениям, то любая линейная комбинация из этих функций является решением того же операторного уравнения и с тем же собственным значением.

Теорема 4: Если 2 оператора и имеют общую полную систему собственных функций, они коммутируют.

Теорема 5: Если 2 оператора и коммутируют, то они имеют общие собственные функции.

Теорема 6: Система собственных функций операторного уравнения полна. Это значит, что любую функцию , определенную в той же области переменных и подчиненную тем же граничным условиям, что и собственные функции дискретного спектра оператора , можно представить в виде ряда из этих собственных функций:

Дата добавления: 2015-11-23; просмотров: 2395 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов

Источник: https://lektsii.org/4-10807.html

Booksm
Добавить комментарий