Сложение гармонических колебаний

Сложение гармонических колебаний

Сложение гармонических колебаний

Материальная точка может одновременно участвовать в несколь­ких колебаниях. В этом случае, чтобы найти уравнение и траекто­рию результирующего движения, следует сложить колебания. Наи­более просто выполняется сложение гармонических колебаний. Рас­смотрим две такие задачи.

Сложение гармонических колебаний, направленных по одной прямой. Пусть материальная точка одновременно участву­ет в двух колебаниях, происходящих вдоль одной линии. Анали­тически такие колебания выражаются следующими уравнениями:

Допустим, что частоты скла­дываемых колебаний одинаковы тогда результи­рующее смещение точки

Выполним такое сложение с по­мощью векторной диаграммы. Изо­бразим положение векторов и в начальный момент времени (рис. 5.9), углы между этими век­торами и осью ОХ равны начальным фазам слагаемых колебаний j01 и j02.

Вектор — амплитуда результирующего колебания. Так как и вращаются с одинаковой угловой скоростью, то и сумма их — вектор — будет вращаться с той же угловой скоро­стью, т. е.

результирующее движение является гармоническим с круговой частотой

(5.29)

Выразим амплитуду А этого колебания и начальную фазу j1 через заданные значения Применяя теорему косинусов к треугольнику, заштрихованному на рис. 5.9, получаем

Так как –cos b = -cos [p — (j02 — j01)] = cos (j02 — j01), то

(5.30)

Как видно из рис. 5.9, tg j равен отношению проекции на ось OY к проекции на ось ОХ, т. е. Ау /Ах. Учитывая, что проек­ция суммы равна сумме проекций, имеем

(5.31)

Таким образом, поставленная задача решена: по формулам (5.30) и (5.31) можно найти амплитуду и начальную фазу резуль­тирующего колебания. Из выражения (5.30) вытекают следую­щие частные случаи:

и тогда

т. е. амплитуда результирующего колебания равна сумме ампли­туд слагаемых колебаний, если разность начальных фаз равна четному числу p (рис. 5.10, а);

тогда

т. е. амплитуда результирующего колебания равна разности амп­литуд слагаемых колебаний, если разность начальных фаз равна нечетному числу p (рис. 5.10, б). В частности, при A1 = A2 имеем А = О, т. е. колебания нет (рис. 5.10, в).

Это достаточно очевидно: если материальная точка участвует одновременно в двух колеба­ниях, имеющих одинаковую амплитуду и совершающихся в противофазе, то точка неподвижна.

Если частоты складываемых ко­лебаний не одинаковы, то сложное колебание уже не будет гармо­ническим.

Интересен случай, когда частоты слагаемых колебаний мало отличают­ся друг от друга:

Результирующее колебание при этом подобно гармоническому, но с медлен­но изменяющейся амплитудой (ампли­тудная модуляция). Такие колебания называются биениями (рис. 5.11).

Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.Пусть материальная точка одновременно участвует в двух колебаниях: одно направлено вдоль оси ОХ, другое — вдоль оси OY. Колебания заданы следующими уравнениями:

(5.34)

Допустим, что частоты колебаний одинаковы, т. е.тогда

(5.35)

Уравнения (5.35) задают траекторию движения материальной точки в параметрической форме.

Если в эти уравнения подставлять разные значения t, то можно определить координаты х и у, а сово­купность координат и есть траектория.

Более наглядно траекторию можно представить в виде зависимости у = f(x), для получения ко­торой следует исключить время из уравнений (5.35).Произведя ма­тематические преобразования, получим уравнение эллипса:

(5.36)

Таким образом, при одновременном участии в двух взаим­но перпендикулярных гармонических колебаниях одинаковой частоты материальная точка движется по эллиптической траектории (рис. 5.12).

Из выражения (5.36)вытекают некоторые частные случаи:

Это каноническая форма уравнения эллипса, соответствующая симметричному расположению его относительно осей координат (рис. 5.13, а).Из (5.37) при А1 = А2 = R (рис. 5.13, б) получаем уравнение окружности радиусом R:

(5.38)

тогда

(5.39)

и после преобразований

(5.40)

Это уравнение прямой линии, в которую вырождается эллипс [рис. 5.14, а соответствует знаку « + » в уравнении (5.40); рис. 5.14, б— знаку «-»].

При сложении взаимно перпендикулярных колебаний разных частот получаются различные траектории материальной точки, названные фигурами Лиссажу.

Вид фигур Лиссажу зависит как от соотношения амплитуд А1 и А2, так и от отношения частот w1/w2 и разности начальных фаз j01 — j 02 слагаемых колебаний (рис. 5.15):

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/2_96165_slozhenie-garmonicheskih-kolebaniy.html

2. Сложение гармонических колебаний. Колебания. Физика. Курс лекций

Сложение гармонических колебаний

2.1. Сложение гармонических колебаний одного направления

2.2. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Одно и то же тело может одновременно участвовать в двух и более движениях. Простым примером является движение шарика, брошенного под углом к горизонту.

Можно считать, что шарик участвует в двух независимых взаимно перпендикулярных движениях: равномерном по горизонтали и равнопеременном по вертикали.

Одно и то же тело (материальная точка) может участвовать в двух (и более) движениях колебательного типа.

Под сложением колебаний понимают определение закона результирующего колебания, если колебательная система одновременно участвует в нескольких колебательных процессах. Различают два предельных случая – сложение колебаний одного направления и сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

2.1. Сложение гармонических колебаний одного направления

1. Сложение двух колебаний одного направления (сонаправленных колебаний)

можно провести с помощью метода векторных диаграмм (Рисунок 9) вместо сложения двух уравнений.

На Рисунке 2.1 показаны векторы амплитуд А1(t) и А2(t) складываемых колебаний в произвольный момент времени t, когда фазы этих колебаний соответственно равны и . Сложение колебаний сводится к определению . Воспользуемся тем фактом, что на векторной диаграмме сумма проекций складываемых векторов равна проекции векторной суммы этих векторов.

Результирующему колебанию соответствует на векторной диаграмме вектор амплитуды и фаза .

Рисунок 2.1 – Сложение сонаправленных колебаний.

Величина вектора А(t) может быть найдена по теореме косинусов:

.

Фаза результирующего колебания задается формулой:

.

Если частоты складываемых колебаний ω1 и ω2 не равны, то и фаза φ(t), и амплитуда А(t) результирующего колебания будут изменяться с течением времени. Складываемые колебания называются некогерентными в этом случае.

2. Два гармонических колебания x1 и x2 называются когерентными, если разность их фаз не зависит от времени:

.

Но так как , то для выполнения условия когерентности двух этих колебаний должны быть равны их циклические частоты .

Амплитуда результирующего колебания, полученного при сложении сонаправленных колебаний с равными частотами (когерентных колебаний) равна:

.

Начальную фазу результирующего колебания легко найти, если спроектировать векторы А1 и А2 на координатные оси ОХ и ОУ (см. Рисунок 9):

.

Итак, результирующее колебание, полученное при сложении двух гармонических сонаправленных колебаний с равными частотами, также является гармоническим колебанием .

3. Исследуем зависимость амплитуды результирующего колебания от разности начальных фаз складываемых колебаний.

Если , где n – любое целое неотрицательное число

(n = 0, 1, 2…), то , т.е. результирующая амплитуда будет минимальной. Складываемые колебания в момент сложения находились в противофазе. При результирующая амплитуда равна нулю .

Если , то , т.е. результирующая амплитуда будет максимальной. В момент сложения складываемые колебания находились в одной фазе, т.е. были синфазны. Если амплитуды складываемых колебаний одинаковы , то .

4. Сложение сонаправленных колебаний с неравными, но близкими частотами.

Частоты складываемых колебаний не равны , но разность частот много меньше и ω1, и ω2. Условие близости складываемых частот записывается соотношениями .

Примером сложения сонаправленных колебаний с близкими частотами является движение горизонтального пружинного маятника, жесткость пружин которого немного различна k1 и k2.

Пусть амплитуды складываемых колебаний одинаковы, а начальные фазы равны нулю . Тогда уравнения складываемых колебаний имеют вид: , .

Результирующее колебание описывается уравнением:

.

Получившееся уравнение колебаний зависит от произведения двух гармонических функций: одна – с частотой , другая – с частотой , где ω близка к частотам складываемых колебаний (ω1 или ω2).

Результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое колебание с изменяющейся по гармоническому закону амплитудой. Такой колебательный процесс называется биениями.

Строго говоря, результирующее колебание в общем случае не является гармоническим колебанием.

Абсолютное значение косинуса взято потому, что амплитуда – величина положительная. Характер зависимости хрез.при биениях показан на Рисунке 2.2.

Рисунок 2.2 – Зависимость смещения от времени при биениях.

Амплитуда биений медленно меняется с частотой . Абсолютное значение косинуса повторяется, если его аргумент изменяется на π, значит и значение результирующей амплитуды повторится через промежуток времени τб, называемый периодом биений (см. Рисунок 12). Величину периода биений можно определить из следующего соотношения:

.

Величина — период биений.

Величина есть период результирующего колебания (Рисунок 2.4).

2.2. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

1. Модель, на которой можно продемонстрировать сложение взаимно перпендикулярных колебаний, представлена на Рисунке 2.3. Маятник (материальная точка массой m) может совершать колебания по осям ОХ и ОУ под действием двух сил упругости, направленных взаимно перпендикулярно.

Рисунок 2.3

Складываемые колебания имеют вид:

.

Частоты колебаний определяются как , , где , -коэффициенты жесткости пружин.

2. Рассмотрим случай сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковыми частотами , что соответствует условию (одинаковые пружины). Тогда уравнения складываемых колебаний примут вид:

Когда точка участвует одновременно в двух движениях, ее траектория может быть различной и достаточно сложной. Уравнение траектории результирующего колебаний на плоскости ОХУ при сложении двух взаимно перпендикулярных с равными частотами можно определить, исключив из исходных уравнений для х и y время t:

.

Вид траектории определяется разностью начальных фаз складываемых колебаний, которые зависят от начальных условий (см. § 1.1.2). Рассмотрим возможные варианты.

а) Если , где n = 0, 1, 2…, т.е. складываемые колебания синфазные, то уравнение траектории примет вид:

(Рисунок 2.3 а).

Рисунок 2.3.аРисунок 2.3 б

б) Если (n = 0, 1, 2 …), т.е. складываемые колебаний находятся в противофазе, то уравнение траектории записывается так:

(Рисунок 2.3б).

В обоих случаях ( а, б) результирующее движение точки будет колебание по прямой, проходящей через точку О. Частота результирующего колебания равна частоте складываемых колебаний ω0, амплитуда определяется соотношением:

.

Угол, который прямая (траектория) составляет с осью ОХ, можно найти из уравнения:

(знак «плюс» – случай а, знак «минус» – случай б).

Результатом сложения взаимно перпендикулярных колебаний (случай а и б) является колебание, которое называется линейно поляризованным.

в) Если (n = 0, 1, 2 …), то уравнение траектории результирующего движения примет вид:

.

Это уравнение эллипса, его оси совпадают с осями координат ОХ и ОУ, а размеры его полуосей равны и (Рисунок 2.4 ).

Рисунок 2.4

Точка в результате участия в двух взаимно перпендикулярных колебаниях описывает эллипс за время, равное периоду складываемых колебаний .

3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний с кратными частотами.

Складываются взаимно перпендикулярные колебания, частоты которых не равны , но , , где a и b – целые числа.

Периоды колебаний вдоль осей ОХ и ОУ соответственно равны и . Отношение периодов .

Траектория точки, участвующей во взаимно перпендикулярных колебаниях с кратными частотами, — замкнутая кривая, форма которой зависит от соотношения амплитуд, частот и начальных фаз складываемых колебаний. Такие замкнутые траектории называются фигурами Лиссажу.

Источник: https://siblec.ru/estestvennye-nauki/kolebaniya/2-slozhenie-garmonicheskikh-kolebanij

1.4. Сложение колебаний одного направления

Сложение гармонических колебаний

Может случиться так, что осциллятор принимает участие в двух одинаково направленных колебаниях с разными амплитудами, частотами и начальными фазами. Рассмотрим сложение таких колебаний.

Сложение колебаний с одинаковыми частотами

Для простоты рассмотрим сначала случай, когда частоты складываемых колебаний одинаковы. Общие решения складываемых гармонических колебаний имеют вид:

(1.34)

где x1, x2 — переменные, описывающие колебания, A1, A2 — их амплитуды, а  ,  — начальные фазы. Результирующее колебание

удобно найти с помощью векторной диаграммы. Этот метод использует аналогию между вращением и колебательным процессом.

Возьмем общее решение (1.23) для гармонического колебания. Выберем ось 0x. Из точки 0 отложим вектор длиной A, образующий с осью 0x угол . Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью , то проекция конца этого вектора будет перемещаться по оси 0x от +A до –A, причем величина проекции будет изменяться по закону

(1.35)

Таким образом, проекция конца вектора на ось 0x будет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени (рис. 1.12).

Рис. 1.12. Векторная диаграмма для общего решения (1.23)

Применим теперь эту технику к сложению колебаний (1.34). Представим оба колебания с помощью векторов А1 и А2  Возьмем их векторную сумму (рис. 1.13)

Рис. 1.13. Векторная диаграмма для сложения одинаково направленных колебаний одинаковой частоты

Проекция вектора А1 на ось 0x равна сумме проекций соответствующих векторов

Таким образом, вектор А представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью , так что результирующее движение будет гармоническим колебанием с частотой , амплитудой A и начальной фазой a. Согласно теореме косинусов:

(1.36)

В частности, если фазы складываемых колебаний равны или отличаются на величину, кратную   (то есть ), то амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд

Если же складываемые колебания находятся в противофазе (то есть ), то


Биения

В этом разделе мы рассмотрим случай сложения одинаково направленных гармонических колебаний с разными частотами. На практике особый интерес представляет случай, когда складываемые колебания мало отличаются по частоте. Как мы увидим, в результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой, называемые биениями.

Биения — это периодическое изменение амплитуды колебаний, возникающее при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами.

Для простоты рассмотрим случай, когда амплитуды складываемых колебаний равны A, а начальные фазы обоих колебаний равны нулю. Частоты складываемых колебаний равны, соответственно,  и . Итак,

(1.37)

Складываем эти выражения и учитываем известную формулу тригонометрии:

(1.38)

Если  то в аргументе второго косинуса мы можем пренебречь сдвигом частоты:

(1.39)

Кроме того, множитель в скобках меняется медленно по сравнению с . Поэтому результирующее колебание x можно рассматривать как модулированное гармоническое колебание с частотой w, эффективная амплитуда  которого изменяется со временем по закону (1.40) (рис. 1.14):

(1.40)

Подчеркнем, что в строгом смысле такое колебание не является гармоническим, и еще раз напомним, что, согласно определению, колебание гармоническое, если оно происходит по закону , причем все три его параметра:  строго постоянны во времени.

Рис. 1.14. Биения при сложении колебаний с близкими частотами 

Частота пульсаций амплитуды (ее называют частотой биений) равна разности частот складываемых колебаний. Период биений равен

(1.41)

1.12 Биения на экране осциллографа

1.13 Биения: осциллограф и динамик

1.14 «Двойной» маятник: запись песком картины биений


Колебания двух связанных осцилляторов

Приведем поучительный пример системы, в которой возникают биения. Рассмотрим два груза массой m, которые могут колебаться под действием двух одинаковых пружин с коэффициентами жесткости k. Пусть грузы соединены также мягкой пружиной с коэффициентом жесткости K

Источник: https://online.mephi.ru/courses/physics/optics/data/course/1/1.4.html

26 Сложение гармонических колебаний

Сложение гармонических колебаний

Частобывает так, что материальная точкаодновременно участвует в несколькихколебательных движениях. Сложить дваили несколько колебаний – значит найтизакон, которому подчиняется результирующеедвижение, найти траекторию этогодвижения.

Сложениеколебаний в общем случае производитсяаналитически, но в ряде случаев можетбыть осуществлено геометрически, припомо-

щитак называемого вектораамплитуды.

Векторамплитуды- это вектор, модуль которого равенамплитуде рассматриваемого колебания.

Есливектор амплитуды привести во вращениевокруг точки 0,взятой на оси ,с угловой скоростью(рис.48),то проекция конца этого вектора на осьбудет совершать гармонические колебанияс цик-лической частотой:

,

где- угол, образованный вектором амплитудыи осьювначальный момент времени.

Такимобразом, при помощи вектора амплитудыможно построить геометрическую модельгармонических колебаний, в которойособые характеристики гармоническогодвижения иполучают простой геометрический смысл.

1. Сложение двух гармонических колебаний одинаковой циклической частоты, происходящих вдоль одной прямой

Пусть;;.

Складываемыеколебания описываются уравнениями:

; (26.1)

. (26.2)

Таккак колебания происходят вдоль однойпрямой (вдоль оси ),то результирующее смещение в любоймомент времени равно алгебраиче-

скойсумме смещений и:

(26.3)

Выполнимэто сложение геометрически, с помощьювекторов амплитуды и.На рисунке 49 изображены положениявекторов амплитуды в начальный моментвремени. Вектор результирующей амплитудыравен геометрической сумме векторови.

Проекцииконца вектора определяет результирующее смещение вначальный момент времени. Так как обавектора,и,вращаются в процессе колебаний с однойи той же угловой скоростью,с такой же скоростью будет вращаться ивектор результирующей амплитуды.Следовательно, результирующее колебаниепредставляет собой гармоническоеколебание той же частоты и происходитвдоль той же прямой. Из рисунка 49 видно,что

,

дляпроизвольного момента времени:

, (26.4)

гдеи- амплитуда и начальная фаза результирующегоколебания. Изпо теореме косинусов получаем:

или

(26.5)

таккак

(26.6)

Амплитударезультирующего колебания зависит отразности фаз ()слагаемых колебаний. Если (), гдетои,т.е. если разность фаз равна четномучислу,колебания усиливают друг друга. Если, тои,т.е.

еслиразность фаз равна нечетному числу ,колебания максимально ослабляют другдруга. В зависимости от разности фазамплитуда колебания может приниматьлюбые значения, лежащие в интервале:

.

2. Сложение двух гармонических колебаний со слегка

отличающимисячастотами, происходящих вдоль однойпрямой

Пусть , причем«(или),

и .

Уравнения слагаемыхколебаний:

.

Как и в предыдущемслучае,

(26.7)

Таккак векторы амплитуды складываемых колебанийбудут вращаться с неодинаковыми угловымискоростями. Это приведёт к тому, чтовектор результирующей амплитуды будетпульсировать по величине. Последнеевидно из формулы (26.5), если в неё вместоподставить:так как эта величина монотонно возрастает,вектор амплитуды результирующегоколебания будет периодически изменяться.

Применивформулы для суммы косинусов, преобразуем(26.7):

(26.8)

Множитель,выделенный вертикальными чертами,изменяется с течением времени гораздомедленнее, чем второй множитель. Завремя,

втечение которого второй множительсовершит полное колебание, первый почтине изменится (так как по условию «).Это позволяет рассматривать колебание(26.8) как гармоническое колебание счастотой,амплитуда которого изменяется попериодическому закону:

(26.9)

(взятмодуль этого выражения, так как амплитуда– величина положительная). Гармоническиеколебания с периодически изменяющейсяамплитудой называются биениями.

Найдёмчастоту пульсаций амплитуды или частотубиений, Так как период абсолютногозначения косинуса равен ,то частота пульсаций определится изсоотношения:откуда

(26.10)

гдеи-частоты слагаемых колебаний. Мы видим,что чем меньше отличаются частотыслагаемых колебаний, тем меньше частотабиений. На рисунке 50 изображён графикбиений.

Рис.50

3. Сложениевзаимно перпендикулярных гармоническихколебаний

Пустьматериальная точка одновременноучаствует в двух колебаниях, происходящихвдоль координатных осей и,причём

,,:

(26.11)

Длянахождения траектории результирующегодвижения из этих уравнений нужноисключить время. Разделив второеуравнение на первое, получим

или(26.12)

Траектория– прямая, проходящая через началокоординат и наклоненная к оси под углом, тангенс которого равен(рис.51,а).

Точкабудет совершать гармоническое колебаниевдоль этой прямой:

,

где- амплитуда колебания.

Рис.51

2.Пусть теперь ;;

,:

,

Разделиводно уравнение на другое, получимуравнение прямой с отрицательнымтангенсом угла наклона (рис.51,б):

. (26.13)

Пусть,наконец, ;;;

Перепишем эти уравнения в виде

возведёмв квадрат и почленно сложим:

(26.14)

Полученноеуравнение есть уравнение эллипса,приведенное к координатным осям. Полуосиэтого эллипса равны соответствующимамплитудам колебаний и(рис.52). Приэллипс вырождается в окружность. Еслиразность фаз слагаемых колебаний равнато движение точки по эллипсу (или поокружности) будет происходить по часовойстрелке.

Действительно,в момент времени точка имеет координаты:

(рис.52)

Впоследующем уменьшается, аyстановитсяотрицательным. Это соответствуетдвижению по часовой стрелке. Нетрудноубедиться в том, что если (или,что то же самое), движение происходитпротив часовой стрелки.

Привсех других разностях фаз (но при )получаются эллипсы, не приведённые косями.

Присложении взаимно перпендикулярныхгармонических колебаний с неодинаковымициклическими частотами результирующеедвижение будет происходить по сложнымтраекториям, называемым фигурамиЛиссажу. Форма фигур Лиссажу зависитот соотношения частот складываемыхколебаний и разности их начальных фаз.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯЗАДАЧ

Пример1. Материальнаяточка массой m= 5 г совершает гармонические колебания счастотой . Амплитуда колебаний

А = 3 см. Определить:1) скорость в момент времени, когда смещениех= 1,5 см;2)максимальнуюсилу ,действующую на точку,

3) полную энергиюколеблющейся точки.

Решение. 1) Уравнениегармонических колебаний имеет вид

гдех– смещение колеблющейся точки отположения равновесия, А– амплитуда колебания, — фаза колебания,- начальная фаза,

круговая(циклическая) частота, t– время.

Формулу скоростиполучим, взяв первую производную повремени от смещения,

Чтобывыразить скорость через смещение, надоисключить из этих выражений время. Дляэтого возведём оба уравнения в квадрат,разделим первое на ,второе наи сложим:

или

Решивпоследнее уравнение относительно ,найдём

Подставив в этовыражение числовые значения величин,получим

Знак “плюс” соответствует случаю, когданаправление скорости совпадает сположительным направлением оси х-ов.Знак “минус” соответствует случаю,когда направление скорости совпадаетс отрицательным направлением оси х-ов.

2) Силу, действующую на точку, найдем повторому закону Ньютона: гдеа– ускорение точки, которое получим,если возьмём производную по времени отскорости:

или

Получаем .

Максимальноезначение силы

Подставив числовыезначения величин, найдем

3) Полная энергия колеблющейся точки естьсумма кинетической и потенциальнойэнергий, вычисленных для любого моментавремени. В том числе она равна максимальнойкинетической энергии, когда потенциальнаяравна нулю, т.е.

,

где , тогда

После подстановки числовых значений получим

ВОПРОСЫ ДЛЯСАМОПРОВЕРКИ

1.Что такое колебания? Какие колебанияназываются свободными, гармоническими?

2. Дайте определение амплитуды колебаний,фазы, периода, частоты, циклическойчастоты колебаний.

3. В чём заключается идея метода вращающегосявектора амплитуды?

4. Выведите формулыдля скорости и ускорения гармоническиколеблющейся точки как функции времени.

5. От чего зависитамплитуда и начальная фаза гармоническихмеханических колебаний?

6. Выведите ипрокомментируйте формулы для кинетической,потенциальной и полной энергии пригармонических колебаниях.

7. Чему равно отношение полной энергиигармонического колебания к максимальномузначению возвращающей силы, вызывающейэто колебание?

8. Что называется гармоническим осциллятором,пружинным маятником, физическиммаятником, математическим маятником?

9. Выведите формулу для периодов колебанийпружинного, физического и математическогомаятников.

10. Что такое приведённая длина физическогомаятника?

11. Сформулируйтеи поясните теорему Штейнера.

12. Какова траекторияточки, участвующей одновременно в двухвзаимно перпендикулярных гармоническихколебаниях с одинаковыми периодами?Когда получается окружность, прямая?

13. Что такое биения?Чему равна частота биений, период?

14. Запишите дифференциальное уравнениезатухающих колебаний и его решение.Проанализируйте их.

15. Как изменяетсячастота собственных колебаний сувеличением массы колеблющегося тела?

16. По какому закону изменяется амплитудазатухающих колебаний? Являются лизатухающие колебания периодическими?

17. Почему частотазатухающих колебаний должна быть меньшечастоты собственных колебаний системы?

18. Что такое коэффициент затухания,декремент затухания, логарифмическийдекремент затухания?

19. При каких условиях наблюдаетсяапериодическое движение?

20. Что такое вынужденные колебания?Запишите дифференциальное уравнениевынужденных колебаний и его решение.

21. От чего зависит амплитуда вынужденныхколебаний? Запишите выражение дляамплитуды и фазы при резонансе.

22. Нарисуйте, проанализируйте резонансныекривые для амплитуды смещения и скорости.В чём их отличие?

23. Чему равен сдвиг фазы между смещениеми вынуждающей силой при резонансе?

24. Что называетсярезонансом? Какова его роль?

Источник: https://studfile.net/preview/4084869/page:22/

Суммирование однонаправленных гармонических колебаний

Сложение пары гармонических колебаний вида:

$s_1=A_1 \sin (\omega_1 t+\varphi_1) (1)$ и $ s_2=A_2 \sin (\omega_2 t+\varphi_2) (2)$

можно выполнить, если воспользоваться методом векторных диаграмм.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Рисунок 2. Метод векторных диаграмм. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 2 показывает векторы $\vec A_1(t)$ и $\vec A_2(t)$ амплитуд соответствующих колебаний в момент времени $t$. Фазы этих колебаний в обозначенный момент времени равны:

$Ф_1=\omega_1 t+\varphi_1 (3)$ и $Ф_2=\omega_2 t+\varphi_2 (4)$.

Суммарному колебанию $s=s_1+s_2$ соответствует вектор:

$A(t)=A_1(t)+A_2(t)$.

проекция вектора $s$ на ось $Y$ равна:

$s=A(t)\sin(Ф(t))(5).$

Используя теорему косинусов, получим:

$A2(t)=A_12+A_22+2A_1A_2\cos (Ф_2(t)-Ф_1(t))(6),$

$tg ( Ф(t))=\frac{A_1\sin(Ф_1(t))+A_2\sin(Ф_2(t))}{ A_1\cos(Ф_1(t))+A_2\cos(Ф_2(t))}(7).$

Когерентные и некогерентные гармонические колебания

Определение 1

Пару колебательных процесса называют когерентными в том случае, если их течение согласовано во времени, при этом разность их фаз не изменяется:

$Ф_2(t)-Ф_1(t)=(\omega_2-\omega_1)t+(\varphi_2-\varphi_2)=const (8).$

Из выражения (8) следует, что гармонические колебания будут когерентными, если

  • их круговые частоты будут одинаковыми:

    $\omega_2=\omega_1=\omega.$

  • в каждый момент времени разность фаз когерентных колебаний равна разности фаз их начальных колебаний:

    $ Ф_2(t)-Ф_1(t)=(\varphi_2-\varphi_2).$

Сложение двух гармонических однонаправленных когерентных колебаний дают колебание с той же круговой частотой $\omega$, что исходные колебания, при этом имеем:

$s=s_1+s_2=A\sin(\omega t+\varphi_0)(9),$

где $A2=A_12+A_22+2A_1A_2\cos (\varphi_2-\varphi_1)$;

$tg \varphi_0=\frac{A_1\sin (\varphi_1)+ A_2\sin (\varphi_2)}{ A_1\cos (\varphi_1)+ A_2\cos (\varphi_2)}$.

Амплитуда суммарных колебаний изменяется в зависимости от разности начальных фаз:

от $A=|A_1-A_2|$ при $\varphi_2-\varphi_1=\pm (2n+1)\pi$

до $A=A_1+A_2$ при $\varphi_2-\varphi_1=\pm 2n\pi$,

где $n=0,1,2…$ — целое положительное число или ноль.

При $\varphi_2-\varphi_1=\pm 2n\pi$ колебания происходят в одной фазе (колебания называют софазными).

Если $\varphi_2-\varphi_1=\pm (2n+1)\pi$ колебания происходя в противофазе.

Если складываются гармонические колебания с разными циклическими частотами (некогерентные колебания), получаются негармонические колебания. Векторы амплитуд $A_1$ и $A_2$ вращаются с разными угловыми скоростями, построенный на них параллелограмм постоянно искажается, его диагональ изменяет длину и совершает вращения с изменяющейся угловой скоростью.

Пару гармонических колебаний, имеющих разные круговые частоты можно приближенно считать когерентными только на малом отрезке времени, в течение которого разность фаз колебаний изменяется на малую величину.

Определение 2

Сумму двух гармонических колебаний с разными, но близкими по величине круговыми частотами называют биениями.

Биения – это негармоническое колебание.

Суммирование взаимно перпендикулярных гармонических колебаний

Точка $N$ совершает одновременно два колебания. Они имеют одинаковые круговые частоты. Одно из них происходит вдоль оси $X$, другое вдоль оси $Y$. Их законы запишем как:

$x=A_1\sin (\omega t+\varphi_1) (10)$ и

$y=A_2\sin (\omega t+\varphi_2) (11),$

где $x$ и $y$ — декартовы координаты точки N.

Уравнение траектории движения точки N при этом:

$\frac{x2}{A_12}+\frac{y2}{A_22}-\frac{2xy}{A_1A_2}\cos (\varphi_2-\varphi_1)=\sin2 (\varphi_2-\varphi_1) (12)$.

Траектория движения точки имеет форму эллипса. Точка $M$ описывает данный эллипс за период суммируемых колебаний. Такие движения точки называют эллиптически поляризованными колебаниями.

Ориентация этого эллипса в плоскости $XOY$ и его размеры зависят от амплитуд складываемых колебаний $A_1$ и $A_2$ и разности начальных фаз $\varphi_2-\varphi_1$.

При $\varphi_2-\varphi_1=(2n+1)\frac{\pi}{2}$, где $n=0,\pm 1, \pm 2…$ оси эллипса будут совпадать с осями $OX$ и $OY$, при этом величины его полуосей равны $A_1$ и $A_2$:

$\frac{x2}{A_12}+\frac{y2}{A_22}(13).$

Если помимо прочего, $A_1=A_2$, то траекторией точки $N$ является окружность. При этом движение точки $N$ называют поляризованными циркулярно колебаниями (колебаниями которые поляризованы по кругу).

При $\varphi_2-\varphi_1=n\pi$ где $n=0,\pm 1, \pm 2…$, эллипс вырожден в отрезок прямой, при этом:

$y=\pm (\frac{A_2}{A_1})x (14),$

где знак плюс в выражении (14) при четных значениях $n$, то есть если складываются синфазные колебания; минус ставят при нечетных значения $n$, то есть если складываются колебания в противофазе. Такие колебания точки $N$ называют линейно поляризованными.

При линейно поляризованных колебаниях точка $N$ совершает гармонические колебания с частотой суммируемых колебаний и амплитудой, равной:

$A=\sqrt{A_12+A_22}$

вдоль прямой линии, которая составляет с осью $OX$ угол:

$\beta = arctg(\frac{A_2}{A_1}\cos (pi))(15).$

Пусть взаимно нормальные колебания, имеющие циклические частоты $p\omega$ и $q\omega$, где $p$ и $q$ — целые числа:

$x=A_1\sin (p\omega t+\varphi_1)$ и $y=A_2\sin (q\omega t+\varphi_2) (16).$

Координаты $x$ и $y$ точки $N$, которая совершает колебания, одновременно повторяется спустя одинаковые отрезки времени $T_0$, равные общему минимальному кратному:

$T_1=\frac{2\pi}{p\omega}$ и $T_2=\frac{2\pi}{q\omega}$ периодов вдоль осей $OX$ и $OY$. Следовательно, траекторией точки $N$ является замкнутая кривая. Форма этой кривой связана с соотношением между:

  • амплитудами,
  • частотами,
  • начальными фазами

суммируемых колебаний. Эти траектории точки $N$, выполняющей гармонические колебания в двух взаимно нормальных плоскостях одновременно, называют фигурами Лиссажу.

Фигуры Лиссажу можно вписать в прямоугольник:

  • с центром, совпадающим с началом координат;
  • сторонами параллельными осям координат ($OX$ и $OY$) и находящимися по обе стороны от них на расстояниях равных $A_1$ $A_2$;
  • отношение частот суммируемых колебаний определяет количество касаний соответствующей им фигуры Лиссажу со стороной прямоугольника, параллельной оси $OY$ и со стороной, параллельной оси $OX$.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/garmonicheskie_kolebaniya/slozhenie_garmonicheskih_kolebaniy/

Booksm
Добавить комментарий