Скорость и ускорение в сферических координатах

Кинематика точки (неподвижная система координат). Скорость и ускорение точки в естественной системе координат. Скорость и ускорение точки в полярных координатах

Скорость и ускорение в сферических координатах

§ 2.1. Кинематикаточки (неподвижная система координат).

 Скорость и ускорение точки в декартовых координатах

Положение точки М0 определяемрадиус-вектором . Если точка движетсяотносительно системы  отсчета Oxyz, то ее координаты будут функциями времени

Скорость и ускорение точки М в некоторый момент   времени :

Обозначим через S длину дуги траектории,отсчитываемой с соответствующим знаком от первоначального положения точки натраектории :

Тогда, очевидно,   

Годограф.  Кначалу неподвижной системы координат О приложим вектор ОР, равный по величине инаправлению скорости движущейся точки. При движении точки М по ее траекторииточка Р описывает некоторую кривую, называемую годографом скорости точки М.Очевидно, скорость точки годографа Р равна по определению ускорению точки М.

§ 2.2. Скорость иускорение точки в естественной системе координат

Определим орт, онкасателен к траектории. Составим отношение .Вектор dt ортогонален к орту t, так как 

;     где k-кривизнатраектории, R-радиус кривизны траектории.

Третийорт  определим как

Определим скорость и ускорение точки в естественнойсистеме координат :

;   т.е. 

т.е. 

Из последних соотношений получим формулу :      

§2. 3. Скорость иускорение точки в полярных координатах

    Положение точки на плоскости известно, если заданы радиус-вектор и полярный угол  какфункции времени :

Введем единичный вектор   , направленный по радиус-вектору от полюса О к точке М. Тогда  Для скорости получаем :

     Для производной повремени от единичного вектора имеем :

    После этого для скороститочки в полярных координатах получаем :

Таким образом радиальная и трансверсальнаясоставляющие вектора скорости имеют вид :

     Для ускорения легкополучить :

§2. 4. Скорость иускорение точки в цилиндрических  и сферических координатах

  Положение точки М в пространстве определяют заданием трех еецилиндрических координат как функций времени:

Разложение векторов скорости и ускорения на составляющие, параллельные осям цилиндрической системы координат  Or, Op, Oz выразится в следующей форме:

где — единичные векторы, направленные по осямцилиндрической системы координат. Оси Or и Op расположеныв одной плоскости с осями Ox и Oy.

Представимрадиус-вектор  точки М как суммудвух векторов, т.е.

 Скорость точки получим дифференцированием радиус-вектора  по времени:

    Первое слагаемое в этом выражении вычислялось при выводе скорости точки вполярных координатах. Во втором слагаемом постоянный по модулю и направлениюединичный вектор можно вынести за знакпроизводной. В итоге для скорости получается следующее разложение насоставляющие осям цилиндрической системы координат:

т.еимеем  Так как составляющие  скорости, параллельныеосям цилиндрической системы координат, взаимно перпендикулярны, то для модуляскорости имеем:

    Ускорение точки получим дифференцированием по времени вектора скорости:

   Первое слагаемое в этом выражении вычислялось при выводе ускорения в полярныхкоординатах. Во втором слагаемом орт оси z выносим за знакпроизводной. Получим выражение для ускорения точки в составляющих, параллельныхосям цилиндрической системы координат:

 Скорость и ускорение точки в сферических координатах

    Сферическими координатами точки М являются величины . Координатной линией для  rявляется прямая (r) с базисным ортом ,координатной линией для  служит параллель сферыс базисным ортом  и координатной линией — меридиан сферы с базисным ортом .

Базисные векторы оказались ортогональными. Декартовыкоординаты x,y,z точки М через сферическиевыражаются следующими зависимостями :

    Для скорости и ускоренияаналогично цилиндрическим координатам (либо через коэффициенты Ламэ ) можнополучить следующие выражения :

Источник: https://vunivere.ru/work24832

Скорость и ускорение в сферических координатах

Скорость и ускорение в сферических координатах

Движение точки в пространстве можно считать заданным, если известны законы изменнеия трех ее декартовых координат x, y, z как функции времени.

Однако в некоторых случаях пространственного движения материальных точек (например, в областях, ограниченных поверхностями различной формы) использование уравнений движения в декартовых координатах неудобно, так как они становятся слишком громоздкими.

В таких случаях можно выбрать другие три независимых скалярных параметра $q_1,{\ q}_2,\ \ q_3$, называемых криволинейными, или обобщенными координатами, которые также однозначно определяют положение точки в пространстве.

Скорость точки М при задании ее движения в криволинейных координатах определится в виде векторной суммы составляющих скоростей, параллельных координатным осям:

\[\overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial q_1}\dot{q_1}+\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial q_2}\dot{q_2}+\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial q_3}\dot{q_3}=v_{q_1}\overline{e_1}+v_{q_2}\overline{e_2}\ +v_{q_3}\overline{e_3}\]

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Проекции вектора скорости на соответствующие координатные оси равны: $v_{q_i}=\overline{v\ }\cdot \overline{e_i}=H_i\dot{q_i}\ \ ,\ \ i=\overline{1,3}$

Здесь $H_i=\left|{\left(\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial q_i}\right)}_M\right|$ — параметр, который называется i-м коэффициентом Ламе и равен значению модуля частной производной от радиус-вектора точки по i-ой криволинейной координате, вычисленной в данной точке М. Каждый из векторов $\overline{e_i}$ имеет направление, соответствующее направлению движения точки конца радиус-вектора $r_i$ при возрастании i-й обобщенной координаты. Модуль скорости в ортогональной криволинейной системе координат можно рассчитать по зависимости:

\[v=\sqrt{v2_{q_1}+v2_{q_2}+v2_{q_3}}=\sqrt{H2_1{\dot{q_1}}2+H2_2{\dot{q_2}}2+H2_3{\dot{q_3}}2}\]

В приведенных формулах значения производных и коэффициентов Ламе вычисляют для текущего положения точки М в пространстве.

Координатами точки в сферической системе координат являются скалярные параметры r, ${\mathbf \varphi },\ {\mathbf \theta }$, отсчитываемые так, как показано на рис. 1.

Рисунок 1. Вектор скорости в сферической системе координат

Система уравнений движения точки в данном случае имеет вид:

\[\left\{ \begin{array}{c}r=r(t) \\ \varphi =\varphi (t \\ \theta =\theta (t \end{array}\right.\]

На рис. 1 изображены радиус-вектор r, проведенный из начала координат, углы ${\mathbf \varphi }$ и ${\mathbf \theta }$, а также координатные линии и оси рассматриваемой системы в произвольной точке М траектории.

Видно, что координатные линии $({\mathbf \varphi })$ и $({\mathbf \theta })$ лежат на поверхности сферы радиусом r. Данная криволинейная система координат также является ортогональной.

Декартовы координаты могут быть выражены через сферические координаты так:

\[x=rcos\varphi sin\theta ;\ \ y=rsin\varphi cos\theta ;\ \ z=rcos\theta \ \ \]

Тогда коэффициенты Ламе: $H_r=1;\ \ H_{\varphi }=rsin\varphi ;\ \ H_0=r$ ; проекции скорости точки на оси сферической системы координат $v_r=\dot{r\ \ };$ $v_{\theta }=r\dot{\theta }$; $\ v_{\varphi }=r\dot{\varphi }sin\theta $, а модуль вектора скорости

\[v=\sqrt{v2_r+v2_{\varphi }+v2_{\theta }}=\sqrt{{\dot{r}}2+r2{\dot{\varphi }}2+r2{\dot{\theta }}2}\]

Ускорение точки в сферической системе координатат

\[\overrightarrow{a}=a_r{\overrightarrow{e}}_r+a_{\varphi }{\overrightarrow{e}}_{\varphi }+a_{\theta }{\overrightarrow{e}}_{\theta },\]

проекции ускорения точки на оси сферической системы координат

\[a_r=\dot{r}-r\left({\dot{\theta }}2+{\dot{\varphi }}2{sin}2\varphi \right); a_{\varphi }=r\ddot{\varphi }{sin \varphi \ }+2r\dot{\varphi }\left({sin \theta \ }+\dot{\theta }{cos \theta \ }\right);\] \[a_{\theta }=r\ddot{\theta }-r{\dot{\varphi }}2{sin \theta \ }{cos \theta \ }+2\dot{r}\dot{\theta }\]

Модуль ускорения $a=\sqrt{a2_r+a2_{\varphi }+a2_{\theta }}$

Задача 1

Точка движется по линии пересечения сферы и цилиндра согласно уравнениям: r = R, $\varphi $ = kt/2, $\theta $ = kt/2 , (r, $\varphi $, $\theta $ — сферические координаты). Найти модуль и проекции скорости точки на оси сферической системы координат.

Решение

Найдём проекции вектора скорости на оси сферических координат:

\[v_r=\dot{r}=0;;\ \ v_{\varphi }=r\dot{\varphi }sin\theta =R\frac{k}{2}{sin \frac{kt}{2}\ };;\ \ \ v_{\theta }=r\dot{\theta }=R\frac{k}{2}\]

Модуль скорости $v=\sqrt{v2_r+v2_{\varphi }+v2_{\theta }}=R\frac{k}{2}\sqrt{{sin}2\frac{kt}{2}+1}$

Задача 2

Используя условие задачи 1, определить модуль ускорения точки.

Решение

Найдём проекции вектора ускорения на оси сферических координат:

\[a_r=\dot{r}-r\left({\dot{\theta }}2+{\dot{\varphi }}2{sin}2\varphi \right)=R\frac{k2}{4}\left(1+{sin}2\frac{kt}{2}\right)\] \[a_{\varphi }=r\ddot{\varphi }{sin \varphi \ }+2r\dot{\varphi }\left({sin \theta \ }+\dot{\theta }{cos \theta \ }\right)=-R\frac{k2}{2}{sin \frac{kt}{2}\ }\] \[a_{\theta }=r\ddot{\theta }-r{\dot{\varphi }}2{sin \theta \ }{cos \theta \ }+2\dot{r}\dot{\theta }=-R\frac{k2}{4}{sin \theta {cos \frac{kt}{2}\ }\ }\]

Модуль ускорения $a=\sqrt{a2_r+a2_{\varphi }+a2_{\theta }}=R\frac{k2}{4}\sqrt{4+{sin}2\frac{kt}{2}}$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/kinematika/skorost_i_uskorenie_v_sfericheskih_koordinatah/

Сферическое движение. Углы Эйлера. Угловая скорость и угловое ускорение при сферическом движении твёрдого тела

Скорость и ускорение в сферических координатах

Сферическое движение (движение твёрдого тела вокруг неподвижной точки) — движение абсолютно твёрдого тела, при котором оно имеет одну неподвижную точку. При движении вокруг неподвижной точки О каждая из точек твёрдого тела описывает в пространстве сферическую поверхность, центром которой является точка О.

При описании законов сферического движения принято пользоваться координатами, получившими название углов Эйлера:

— угол собственного вращения;

— угол прецессии;

— угол нутации.

Угловая скорость — векторная физическая величина, характеризующая скорость вращения тела. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота тела в единицу времени:

Угловое ускорение — псевдовекторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости твёрдого тела. При вращении тела вокруг неподвижной оси, угловое ускорение по модулю равно

Определение скоростей и ускорений точек твёрдого тела, совершающего сферическое движение.

Скорости точек твёрдого тела в сферическом движении определяют по формуле Эйлера: -вектор угловой скорости, -радиус-вектор данной точки относительно неподвижной оси.

Модуль скорости равен: , h-кратчайшее расстояние точки до мгновенной оси вращения.

Ускорение точки в сферическом движении равно геометрической сумме вращательного и осестремительного ускорения.

Общий случай движения свободного твёрдого тела, Уравнения движения. Скорость и ускорение точки.

Скорость любой точки твёрдого тела равна геометрической сумме скорости полюса и скорости это точки во вращательном движении тела вокруг полюса.

— скорость точки

— скорость полюса

— скорость точки во вращательном движении вокруг полюса

Ускорение точки свободного твёрдого тела равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения этой точки в её движении вокруг полюса.

— ускорение точки

-ускорение начала подвижной системы координат

-скорость точки

— угловое ускорение тела в подвижной системе координат

Уравнения, определяющие положение движущейся точки в зависимости от времени, называются уравнениями движения. Наиболее удобный способ задания движения точки — естественный способ.

Сложное движение твёрдого тела. Сложение вращений тела вокруг пересекающихся осей. Кинематические уравнения Эйлера.

Движение твёрдого тела называют сложным, если тело одновременно участвует как минимум в двух движениях. Относительным движением твёрдого тела называют его движение относительно подвижной системы координат. Переносным движением твёрдого тела называют его движение вместе с подвижной системой координат относительно неподвижной.

При сложении вращений вокруг пересекающихся осей получаем вращательное движение, происходящее вокруг мгновенной оси вращения, с абсолютной угловой скоростью, равной геометрической сумме угловых скоростей составляющих вращение.

Сложение вращений тела вокруг параллельных осей. Пара мгновенных вращений.

Сложение вращений тела вокруг параллельных осей:

· Вращения имеют одинаковые направления. Сложение двух одинаково направленных вращений вокруг параллельных осей приводит к одному вращению вокруг параллельной мгновенной оси вращения с угловой скоростью, равной сумме угловых скоростей составляющих вращений.

· Вращения имеют противоположные направления с неравными угловыми скоростями. Сложение двух противоположно направленных вращений с неравными угловыми скоростями приводит к одному вращению вокруг параллельной мгновенной оси вращения с угловой скоростью, равной разности угловых скоростей составляющих вращений.

Пара вращений.Парой вращений называют совокупность двух вращений твёрдого тела вокруг параллельных осей с равными и противоположно направленными угловыми скоростями.

Метод Виллиса.

Метод Виллиса применяют для определения угловых скоростей зубчатых механизмов, в которых имеются зубчатые колёса, вращающиеся относительно подвижных осей.

Метод Виллиса основан на теории сложения вращений вокруг параллельных осей. Зубчатые колёса учасвуют в двух движениях:

1) В относительном вращении зубчатых колёс по отношению к водилу.

2) В переносном вращении вместе с водилом вокруг его оси.

При расчёте определяют зависимость между относительными угловыми скоростями, которые равны разности абсолютных и переносных угловых скоростей. В этом случае отношение между относительными угловыми скоростями обратно пропорциональны радиусам колём или числу зубьев, взятые со знаком минус, если зацепление внешнее, и со знаком плюс, если зацепление внутреннее.



Источник: https://infopedia.su/9x65ed.html

Booksm
Добавить комментарий