Системы сил теоретичесой механики

Тема 1.4. Система произвольно расположенных сил — Техническая механика

Системы сил теоретичесой механики

§1. Приведение пространственной системы сил к данному центру

Произвольной плоской системой сил называется совокупность сил, линии действия которых находятся в одной плоскости.

Теорема о параллельном переносе силы. Для переноса действующей на абсолютно твердое тело силы  из точки А (рис. 1, а) в точку О прикладываем в точке О силы   и  . Тогда сила   окажется приложенной в точке О и к ней будет присо­единена пара  () с моментом  , что можно показать еще так, как на рис. 1, б. При этом .

Рис.1. Произвольной плоской системой сил

Рассмотрим теперь твердое тело, на которое действует какая угодно система сил

 , ,…, (рис. 2, а). Выберем произволь­ную точку О за центр приведения и перенесем все силы системы в этот центр, присоединяя при этом соответствующие пары. Тогда на тело будет действовать система сил  . приложенных в центре О, и система пар, моменты которых будут равны  ,

Силы, приложенные в точке О, заменяются одной силой , при­ложенной в той же точке. 

При этом  или  .

Чтобы сложить все полученные пары, надо геометрически сло­жить векторы моментов этих пар. В результате система пар заме­нится одной парой, момент которой  или .

Величина , равная геометри­ческой сумме всех сил, называется главным вектором системы;

величина , равная геометрической сумме моментов всех сил отно­сительно центра О,

называется главным моментом системы отно­сительно этого центра.

Рис.2. Система сил

Таким образом мы доказали следующую теорему, любая система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно взятому центру О заменяется одной силой , равной главному вектору системы и приложенной в центре приведения О, и одной парой с моментом , равным главному моменту системы относительно центра О (рис. 2, б).

Векторы  и  обычно определяют аналитически, т.е. по их проекциям на оси координат.                                                                     

Выражения для Rx, Ry, Rz нам известны. Проекции век­тора  на оси координат будем обозначать Mx, My, Mz. По тео­реме о проекциях суммы векторов на ось будет  или, . Аналогично находятся величины My и Mz.                                        

Окончательно для определения проекций главного вектора  и главного момента  получаем формулы:

При этом главный вектор пространственной системы сил: R= ΣPi отличается от главного вектора плоской системы сил только наличием третьей компоненты, поэтому его модуль будет равен:

Главный момент пространственной системы сил: M0 = ΣM0(Pi) — это вектор, модуль которого находится аналогично:

где Mx , My , Mz — суммы моментов всех сил системы относительно соответствующих осей.

В зависимости от значений главного вектора и главного момента, а также от их взаимного расположения возможны следующие варианты приведения пространственной системы сил:

1) R = 0, M0 = 0 — система сил находится в равновесии;

2) R = 0, M0 ≠0 — система эквивалентна паре сил с моментом, равным главному моменту системы, который в этом случае не зависит от выбора центра приведения;

3) R0  ≠0, M0 = 0 — система эквивалентна равнодействующей R, равной и эквивалентной главному вектору системы R0 , линия действия которой проходит через центр приведения: R = R0,R~R0 ;

4) R0  ≠0, M0 ≠0 и R⊥ M0  — система эквивалентна равнодействующей R, равной главному вектору системы R0 , ее линия действия проходит на расстоянии d = |M0|/ R0 от центра приведения.

5) R≠ 0, M0 ≠0 и главный вектор R0  неперпендикулярен главному моменту M0  — система эквивалентна скрещивающимся силам или динаме.

При этом скрещивающимися называются силы, которые непараллельны и не лежат в одной плоскости, а динамой называется система, состоящая из силы и пары сил, плоскость которой перпендикулярна этой силе.

Динама, приложенная к твердому телу, стремится вызвать его винтовое  движение, которое представляет совокупность вращательного и поступательного движений.

Примечание: Для пространственной системы сил, как и для плоской, справедлива следующая Теорема Вариньона: Момент равнодействующей пространственной системы сил относительно произвольного центра (оси) равен геометрической (алгебраической) сумме моментов всех сил этой системы относительно данного центра (оси).

§2.Условия равновесия произвольной пространственной системы сил

Произвольную простран­ственную систему сил, как и плос­кую, можно привести к какому-нибудь центру О и заменить од­ной результирующей силой  и парой с моментом .

Рассуждая так, что для равновесия этой системы сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно было R = 0 и Mо = 0. Но векторы  и  могут обратиться в нуль только тогда, когда равны нулю все их проекции на оси координат, т. е.

когда  Rx = Ry = Rz = 0 и Mx= My = Mz = 0 или, когда дей­ствующие силы удовлетворяют условиям

ΣXi = 0;   ΣMx(Pi) = 0;

ΣYi = 0;   ΣMy(Pi) = 0;

ΣZi = 0;   ΣMz(Pi) = 0.

Таким образом, для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил системы на каждую из координатных осей, а также суммы моментов всех сил системы относительно каждой из этих осей равнялись нулю.

Вопросы для самопроверки:

— Сформулируйте теорему о приведении произвольной системы сил к главному вектору и главному моменту.

— Запишите формулы для вычисления проекций главного момента на координатные оси.

— Приведите векторную запись условий равновесия произвольной системы сил.

— Запишите условия равновесия произвольной системы сил в проекциях на прямоугольные координатные оси.

— Сколько независимых скалярных уравнений равновесия можно записать для пространственной системы параллельных сил?

— Запишите уравнения равновесия для произвольной плоской системы сил.

— Каковы возможные случаи приведения произвольно расположенных и параллельных сил в пространстве?

— К какому простейшему виду можно привести систему сил, если известно, что главный момент этих сил относительно различных точек пространства:

а) имеет одно и то же значение не равное нулю;

б) равен нулю;

в) имеет различные значения и перпендикулярен главному вектору;

г) имеет различные значения и неперпендикулярен главному вектору.

— Каковы условия и уравнения равновесия пространственной системы сходящихся, параллельных и произвольно расположенных сил и чем они отличаются от условий и уравнений равновесия такого же вида сил  на плоскости?

— Какие уравнения и сколько их можно составить для уравновешенной пространственной системы сходящихся сил?

— Запишите систему уравнений равновесия пространственной системы сил?

— Каковы геометрические и аналитические условия приведения пространственной системы сил к равнодействующей?

— Сформулируйте теорему о моменте равнодействующей пространственной системы сил относительно точки и оси.

— Составьте уравнения линии действия равнодействующей.

— Запишите формулы для расчета главного вектора пространственной системы сходящихся сил?

— Запишите формулы для расчета главного вектора пространственной системы произвольно расположенных сил?

— Запишите формулу для расчета главного момента пространственной системы сил?

— Сформулируйте необходимые и достаточные условия равновесия плоской системы параллельных сил.

— Какие уравнения (и сколько) можно составить для уравновешенной произвольной плоской системы сил?

— Какие уравнения и сколько их можно составить для уравновешенной пространственной системы параллельных сил?

— Какие уравнения и сколько их можно составить для уравновешенной произвольной пространственной системы сил?

Источник: https://www.sites.google.com/site/tehmehprimizt/lekcii/teoreticeskaa-mehanika/statika/sistema-proizvolno-raspolozennyh-sil

Системы сил теоретичесой механики

Системы сил теоретичесой механики

Система сходящихся сил — это система таких сил, линии действия которых полностью сходятся в одной точке. Действие каждой силы на абсолютно твердое тело не меняется при переносе силы вдоль линии ее действия на иную точку тела.

Система сходящихся сил

Определение 1

Сила — мера механического взаимодействия материальных объектов. По своей природе сила — векторная величина и в общем случае она характеризуется:

  • направлением и линией действия;
  • численной величиной (модулем);
  • точкой приложения.

Пусть дана произвольная система сил, $(F_1,F_2… F_n)$, приложенных к твердому телу. Перенесем эти силы, как скользящие векторы, в точку пересечения линий их действия. Затем, пользуясь аксиомой о параллелограмм сил, найдем равнодействующую этих сил.

Равнодействующую $R$ такой системы сил можно определить графически и аналитически.

Графически равнодействующая сила определяется как замыкающая сторона многоугольника сил: $ \vec {R} = \sum \limits_{i=i}{n} = \vec {F_i}$

Аналитически равнодействующую силу можно определить по ее проекциями на оси прямоугольной системы координат. Здесь и далее применяем правую систему координат. По теореме о проекции векторной (Геометрической) суммы на оси координат получим:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

$ R_x = \sum \limits_{i=i}{n} = F_ix$

$ R_y = \sum \limits_{i=i}{n} = F_iy$

$ R_z = \sum \limits_{i=i}{n} = F_iz$

где $F_ix, F_iy, F_iy$ — проекции соответствующих сил на оси координат. Тогда модуль равнодействующей $R$ запишем в виде:

$R = \sqrt { (\sum \limits_{i=i}{n} = F_ix)2 + (\sum \limits_{i=i}{n} = F_iy)2 + (\sum \limits_{i=i}{n} = F_iz)2 }$

Или

$\sqrt {\sum \limits_{i=i}{n} = F_ix = 0}$

$\sqrt {\sum \limits_{i=i}{n} = F_iy = 0}$

$\sqrt {\sum \limits_{i=i}{n} = F_iz = 0}$

Направление равнодействующей силы определяется такими направляющими косинусами:

$cos {(R, t)} = \frac {Rx}{R}$

$cos {(R, j) } = \frac {Ry}{R}$

$cos {(R, k)} = \frac {Rz}{R}$

Условия равновесия системы сходящихся сил

Теорема 1

Для равновесия системы сходящихся сил (далее система сил) необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая сила была равна нулю: $R=0$

Необходимость условия равновесия следует из того, что заданная система сил, приложенных к твердому телу, эквивалентна одной силе — равнодействующей $Р$. Очевидно, что под действием одной силы тело будет находиться в равновесии только тогда, когда эта сила равна нулю, что следует из аксиомы о двух силы.

Докажем достаточность этого условия. Для этого покажем, что когда равнодействующая сила равна нулю, то система сил находится в равновесии. Заданная система сил эквивалентна равнодействующей, равной нулю.

Из определения уравновешенной (эквивалентной нулю) системы сил, ее можно отбросить, не нарушая состояния системы. Тогда на тело не действуют никакие силы, и оно по первому закону Ньютона находится в равновесии.

Поскольку

$ \vec{R} = \sum \limits_{i=i}{n} = \vec{F_i} = 0$

то многоугольник сил должен быть замкнутым, то есть конец последней силы $F$ совпадает с началом первой силы, $F_1$, что выражает условие равновесия системы сил в графической форме.

Векторной части равенства соответствуют три скалярные части равенства:

$R_x=0$,

$R_y=0$,

$R_z=0$, которые с учетом формул, перепишем в виде

$ \sum \limits_{i=i}{n} = F_ix = 0$

$ \sum \limits_{i=i}{n} = F_iy = 0$

$ \sum \limits_{i=i}{n} = F_iz = 0$

Эти данные являются условиями равновесия системы сил в аналитической форме и формулируются так: для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций сил были взаимно перпендикулярные оси и равны нулю.

В случае равновесия системы сил, лежащих в одной плоскости, например, $0xy$, получим

$ \sum \limits_{i=i}{n} = F_ix = 0$

$ \sum \limits_{i=i}{n} = F_iy = 0$

Условия равновесия называются также уравнениями равновесия. С их помощью определяются неизвестные величины при решении конкретных задач. Если неизвестными силами являются реакции связей, то их количество не должно превышать числа уравнений равновесия, иначе задача будет статически неопределенной и решить ее методами теоретической механики не получится.

Преобразование произвольной системы сил

Теорема 2

Силу, которая приложена к твердому телу, можно перенести параллельно в иную точку тела, прибавляя силу с периодом, равным периоду переносимой силы касательно точки, куда она переносится.

Указанное преобразование – это сходящаяся сумма и система сил моментов пар сил. Взаимодействие системы сил, которые заменяют действие суммарной силы, и взаимодействие моментов — называется суммарным моментом.

Общий суммарный вектор $R$ — это основной вектор системы сил.

Общий cуммарный момент $M_o (F_k)$ — это основной момент системы сил.

Таким образом, произвольная система сил в тождественном преобразовании приводится к главному моменту системы сил и главному вектору.

Аналитически главный момент и главный вектор системы сил определяются через их проекции на общей оси координат:

$R = \sqrt { \sum \limits_{i=i}{n} R_kx_2 +\sum \limits_{i=i}{n} R_ky_2 + \sum \limits_{i=i}{n} R_kz_2 }$

$M = \sqrt { \sum \limits_{i=i}{n} M_kx_2 + \sum \limits_{i=i}{n} M_ky_2 + \sum \limits_{i=i}{n} M_kz_2 }$

Условия для равновесия систем сил

Равновесие системы сил. Все воздействие системы сил схоже с действием одной равнодействующей силы. Для процесса равновесия тела нужно, чтобы равнодействующая была равна нулю $R=0$.

Из формулы говориться о том, что $R = \sqrt { (\sum \limits_{i=i}{n} = F_kx_2) + (\sum \limits_{i=i}{n} = F_ky_2) + (\sum \limits_{i=i}{n} = F_kz_2) }$

Для процесса равновесия пространственной системы для сил достаточно и необходимо, чтобы общая сумма проекций сил на оси $X, Y, Z$ была равна нулю $sum {F_kx} = 0$, $\sum {F_ky} = 0$, $\sum {F_kz} = 0$.

Для процесса равновесия плоской системы сил нужно, чтобы сумма проекций сил на оси $X, Y$ была равна нулю

$\sum {F_kx} = 0$, $\sum {F_ky} = 0$.

Равновесие произвольной системы сил. Общее воздействие произвольной системы сил равно действию главного момента и главного вектора. Для процесса равновесия достаточно выполнения и необходимо условия: $R = 0$, $M_0 (F_k)=0$

Для процесса равновесия произвольной системы сил достаточно и необходимо, чтобы общие суммы проекций для всех сил на оси $X, Y, Z$ и общей суммы моментов сил касательно осей $X, Y,Z$ равнялись нулю:

$\sum {F_kx} = 0$, $\sum {F_ky} = 0$, $\sum {F_kz} = 0$.

$\sum {M_kx (F_x)} = 0$, $\sum {M_ky (F_x)} = 0$, $\sum {M_kz (F_x)} = 0$.

Для процесса равновесия произвольной плоской системы сил достаточно и необходимо, чтобы общая сумма проекций основного вектора на оси $X, Y$, и сумма моментов (алгебраическая) сил относительно центра $О$ равнялись нулю:

$\sum {F_kx} = 0$, $\sum {F_ky} = 0$, $\sum {M_o (F_x)} = 0$.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/teoreticheskaya_mehanika/sistemy_sil_teoretichesoy_mehaniki/

Силы в теоретической механике

Системы сил теоретичесой механики

Дано определение силы, действующей на материальную точку. Показано, что в теоретической механике, в задачах на определение движения твердых тел, силы являются скользящими векторами и системы сил можно преобразовывать в более простые эквивалентные системы. Показано, что получить эквивалентную систему, можно решая задачу статики, в которой к старой системе добавляется новая система сил.

В инерциальной системе отсчета, не взаимодействующие между собой, материальные точки движутся с постоянными скоростями. Пусть – радиус-вектор одной из свободных точек. Тогда вектор ее скорости есть постоянный вектор, не зависящий от времени t.

Следовательно его проекции на оси прямоугольной системы координат являются постоянными, не зависящими от времени величинами: . Если мы определим вектор ускорения точки:
,
то он равен нулю: .

Это означает, что его проекции на оси координат равны нулю: .

Как показывает опыт, можно создать условия, при которых материальные точки будут взаимодействовать друг с другом. Тогда их скорости не будут постоянными – движение при взаимодействии является ускоренным.

У рассматриваемой нами точки, вектор скорости будет зависеть от времени, а вектор ускорения будет отличен от нуля. Тогда удобно ввести новую векторную физическую величину, пропорциональную вектору ускорения точки. Такую величину называют силой.

Она определяется по формуле:
,
где m – еще одна физическая величина, называемая массой точки.

Сила , действующая на материальную точку с радиус-вектором со стороны других точек – это мера воздействия других точек на рассматриваемую точку, в результате которой она получает ускорение относительно инерциальной системы отсчета. Величина силы определяется по формуле:
(1)   ,
где m – масса точки – величина, зависящая от свойств самой точки.

Формула (1) называется вторым законом Ньютона. По существу, она является определением новой физической величины – силы.

Такое определение согласуется с нашим жизненным опытом, согласно которому, чем больше мы прилагаем усилий, тем быстрее разгоняется груз (например, при толкании ядра в легкой атлетике).

Однако, в отличие от жизненного опыта, формула (1) дает строгое математическое определение.

Изучая движения материальных точек, мы можем экспериментально определить их ускорения, а затем по формуле (1) найти зависимость силы от положений точек системы. Так мы устанавливаем законы, описывающие взаимодействие материальных точек.

Изучая и систематизируя экспериментальные данные, мы получаем правила, которые позволяют нам определять зависимость силы от времени и от координат в сложных случаях, основываясь на более простых.

Так если нам известна зависимость вектора от времени и от координат: , то формула (1) представляет собой систему дифференциальных уравнений:

Решая ее, можно найти закон движения точки.

Сила – это векторная величина

В формуле (1):   ,   m есть скаляр, то есть число, не зависящее от координат и времени. Ускорение    есть вектор. Тогда сила является вектором. Это означает, что если мы выберем прямоугольную систему координат , то сила имеет три проекции на ее оси: .

То есть, в математическом смысле, сила определяется тремя числами – тремя компонентами или проекциями на оси координат. Разумеется, если мы будем рассматривать движение в плоскости, то есть в двухмерном пространстве, то в нем прямоугольная система координат имеет только две оси .

Тогда и сила, как и любой вектор в этой системе, имеет только две проекции (или компоненты).

Поскольку сила – это вектор, то к ней применимы все формулы, применяемые к векторам в аналитической геометрии.

Скользящие векторы

Теперь рассмотрим абсолютно твердое тело. Законы его движения имеют более сложный вид. Они описываются двумя векторными уравнениями:
(2)   ;
(3)   .
Здесь – ускорение центра масс тела; M – его масса; – момент импульса тела относительно произвольно выбранного центра C; – внешние силы, действующие на тело, приложенные в точках .

Вместо того, чтобы пытаться в лоб решать эти уравнения, давайте попробуем вывести некоторые закономерности, заключенные в этих уравнениях. Для этого упростим задачу. Рассмотрим тело в некоторый момент времени t. И пусть, для этого момента времени, нам известны действующие на него силы и точки их приложения .

Уравнение (2) не зависит от точек приложения Ak сил. Для его составления требуется знать только проекции сил на оси координат . А вот в уравнение (3) входят точки приложения. Они входят в виде векторов, проведенных из некоторого центра C в точку Ak. Причем входят в виде векторного произведения .

Согласно одному из свойств, векторное произведение векторов, имеющих одинаковое направление, равно нулю. Поэтому . Тогда если к вектору прибавить любой вектор, параллельный , то векторное произведение не изменится:
.
Здесь – произвольная постоянная, имеющая размерность м/Н.

Отсюда следует важный вывод. Если точку приложения силы переместить на любое расстояние вдоль линии действия силы, то уравнения движения твердого тела не изменятся.

В связи с этим, вместо обычного в математическом определении вектора, можно ввести новый математический объект, называемый скользящим вектором.

Скользящий вектор по существу есть множество, состоящее из двух векторов – самого вектора силы (так называемый образующий вектор) и его точки приложения относительно выбранного центра системы отсчета . В связи с этим, приводим следующие определения.

Скользящий вектор – это множество, состоящее из образующего вектора и точки его приложения, обладающее тем свойством, что точку приложения можно перемещать вдоль прямой, проведенной через образующий вектор. То есть два скользящих вектора считаются равными, если равны образующие векторы и точки их приложения расположены на прямой, проходящей через них.

Наряду со скользящим вектором, мы можем ввести понятия закрепленных и свободных векторов.

Закрепленный вектор – это множество, состоящее из образующего вектора и точки его приложения. Два фиксированных вектора считаются равными только в том случае, если равны их образующие векторы и совпадают точки приложения. Закрепленный вектор также называют связанным или фиксированным вектором. Свободный вектор – это множество, состоящее из образующего вектора и точки его приложения. Два свободных вектора считаются равными, если равны образующие векторы, не зависимо от точек приложения.

Таким образом, свободный вектор не зависит от точки приложения, и является просто вектором. Для справок также приведем определение вектора.

Вектор в трехмерном пространстве – это три числа, называемые компонентами, связанные с предварительно выбранной прямоугольной системой координат, которые при поворотах этой системы вокруг ее центра O, и при отражении осей, преобразуются по тому же закону, что и координаты произвольной точки A, не совпадающей с O. Компоненты вектора также называются проекциями вектора на оси координат.

Если мы рассматриваем деформации в телах, то все приложенные силы нужно рассматривать как связанные векторы, поскольку внутренние напряжения и деформации зависят от точек приложения сил.

Но если мы считаем тело абсолютно твердым, и нам нужно определить только траекторию его движения, то, как показано выше, силы являются скользящими векторами.

То есть в теоретической механике мы можем обращаться с силами более свободно, чем при решении других задач – точки приложения сил можно перемещать вдоль линий их действия.

Таким образом, в теоретической механике, над силами мы можем выполнять следующие преобразования.
1) Переносить точку приложения силы на любое расстояние вдоль линии ее действия.

2) Раскладывать силу по правилу параллелограмма на две или более сил, каждая из которых приложена в той точке, что исходная сила – то есть можно заменить исходную силу на несколько сил, векторная сумма которых равна исходной.

3) Несколько сил, приложенных к одной точке можно объединять в одну, применяя правило параллелограмма – то есть можно заменить несколько сил, приложенных в одной точке их векторной суммой, приложенной в той же точке.

Такие преобразования называются эквивалентными преобразованиями сил. А системы, полученные в результате таких преобразований, называются эквивалентными системами сил. На странице «Аксиомы статики» приводится иллюстрация подобных преобразований. См.

«Пример решения задачи, используя аксиомы статики». Таким образом, в теоретической механике, силы являются некоторыми расчетными величинами. Их можно преобразовывать для того, чтобы получить более простую систему сил и упростить уравнения движения тел.

Рассмотрим следующий пример. Пусть мы имеем тело, на которое действует сила тяжести Земли. Эта сила приложена ко всем точкам. На любую малую часть тела, массой , действует сила тяжести , где – ускорение свободного падения. То есть на тело действует система сил, равномерно распределенных по его объему. Решать уравнения движения с такими силами неудобно.

Поэтому в начале, проще выполнить эквивалентные преобразования. В результате таких преобразований все силы тяжести малых элементов тела можно заменить одной силой , приложенной к центру масс тела с радиус-вектором . Тем самым мы пришли к уравнениям движения, в которых на тело действует одна сила.

Естественно, что это не реальная сила, действующая в центре масс, а расчетная величина, эквивалентная распределенным по объему тела силам.

Здесь мы разбили тело на материальные точки, каждая из которых имеет массу и положение в пространстве, задаваемое радиус-вектором . Тогда – масса тела. Суммирование выполняется по всем точкам, составляющим тело.

Статика и эквивалентные преобразования сил

Снова рассмотрим уравнения движения твердого тела:
(2)   ;
(3)   .
Пусть в момент времени t нам известны внешние силы , действующие на тело. Далее мы можем попытаться упростить систему сил, сведя ее эквивалентными преобразованиями к новой системе .

В следующий момент времени, силы могут измениться и нам потребуется выполнять новые эквивалентные преобразования. В этом, конечно, ничего хорошего нет. Но, возможно, нам удастся найти эквивалентные преобразования аналитическим способом, то есть получить аналитическое выражение для новых сил , пригодное для любого момента времени.

Тогда вместо (2) и (3) мы получим систему уравнений с более простой системой сил:
(2′)   ;
(3′)   .

Теперь из уравнений (2) и (3) вычтем уравнения (2′) и (3′):
(4)   ;
(5)   .
Но это есть ни что иное, как уравнения статики, в которых к исходной системе сил добавили эквивалентную систему, изменив направления на противоположные.

Отсюда следует вывод, что для получения эквивалентной системы сил, нужно к исходной системе, добавить новую систему сил так, чтобы тело находилось в равновесии. Тогда эквивалентная система будет совпадать с новой, в которой направления сил заменены на противоположные.

Единицы измерения силы

В СИ единицей измерения силы является Ньютон. Обозначается Н. Международное обозначение N. Сила F с абсолютным значением в 1 Ньютон обозначается так:
F = 1 Н. Из уравнения (1) получаем:

.

В СГС единицей измерения силы является дин. Обозначается дин. Международное обозначение dyn.
;   .

В МКГСС единицей измерения силы является килограмм-сила. Это основная единица этой системы (наряду с метром и секундой). Обозначается кгс или кГ. Международное обозначение kgf или kgF.
.

Олег Одинцов.     : 05-09-2019

Источник: https://1cov-edu.ru/mehanika/statika/sily/

Пространственная система сил — руководство по решению задач теоретической механики

Системы сил теоретичесой механики

Смотрите также решения задач по теме «Пространственная система сил» в онлайн решебниках Яблонского и Мещерского.

При решении задач, приведенных в этой главе, необходимо использовать не две оси координат, которые всегда можно расположить в одной плоскости – в плоскости рисунка, иллюстрирующего задачу, а три взаимно перпендикулярные оси.

Эти оси нельзя расположить в одной плоскости и при изображении пространственной системы сил на рисунке надо использовать одну из принятых в машиностроительном черчении аксонометрических проекций (ГОСТ 2.305–68. Изображения – виды, разрезы, сечения).

На рис. 145 показано изображение трех взаимно перпендикулярных плоскостей в изометрической проекции. Пересечение двух вертикальных плоскостей определяет положение вертикальной оси z, пересечением обеих вертикальных плоскостей с горизонтальной определяются положения двух горизонтальных осей х и у.

На рис. 146 представлены те же три взаимно перпендикулярные плоскости в диметрической проекции, а на рис. 147 – в фронтальной диметрическои проекции. На каждом рисунке справа показано положение осей при изображении соответствующей проекции.

Если при решении задач, в которых рассматривается пространственная система сил, трудно представить взаимное расположение сил или их расположение относительно выбранных осей координат, то следует изготовить из плотной бумаги модель трех пересекающихся под прямым углом плоскостей, а линии пересечения плоскостей выделить цветными линиями и обозначить их соответственно х, у и z. В такой модели трех взаимно перпендикулярных осей можно помещать модели систем сил, рассматриваемых в задаче, изготовленные из пластилина, проволочек и спичек.

§ 18. Правило параллелепипеда сил

Простейшую пространственную систему сходящихся сил образуют три силы, приложенные к одной точке.

Для сложения таких трех сил применяется правило параллелепипеда (рис. 148). Если даны силы P1, P2 и P3, то заменяющая их действие равнодействующая R по модулю и направлению соответствует диагонали АЕ параллелепипеда, ребра которого AB, АС и AD соответствуют трем силам.

В частном случае, который наиболее характерен для решения практических задач, три данные силы P1, P2 и P3 взаимно перпендикулярны и тогда при их сложении образуется прямоугольный параллелепипед (рис. 149).

В этом случае модуль равнодействующей
R = sqrt(P12 + P22 + P32)а направление R относительно каждой из составляющих сил можно найти по формулам

cos α1 = P1/R; cos α2 = P2/R; cos α3 = P3/R.

Так же как и правило параллелограмма (см. § 1, 5 и 6), правило параллелепипеда можно использовать не только при сложении сил, но и при разложении данной силы на три составляющие. Наиболее часто производят разложение силы на составляющие, действующие по трем взаимно перпендикулярным направлениям.

Задача 107. Три цепи одинаковой длины l соединены вместе кольцом А (рис. 150, а). Оставшиеся свободными концы цепей закреплены в трех точках…

Задача 108. Найти усилия в стержне АВ и цепях АС и AD, поддерживающих груз Q весом 42 кГ, если АВ=145 см, АС=80 см, AD=60 см. Плоскость прямоугольника CADE…

§ 19. Проекция силы на три взаимно перпендикулярные оси. Определение равнодействующей системы пространственных сил, приложенных к точке

Если требуется определить проекции силы Р на три взаимно перпендикулярные оси (рис.

 152), то обычно силу проектируют сначала на одну из плоскостей (например, горизонтальную), а уже затем на оси, расположенные в этой плоскости.

При этом нужно обратить внимание на то, что в отличие от проекций силы на оси, являющихся скалярами, проекция силы на плоскость (Pxy на рис. 152) – величина векторная (Е. М. Никитин, § 38).

Легко заметить, что на трех взаимно перпендикулярных проекциях можно построить прямоугольный параллелепипед, диагональю которого является проектируемый вектор.

Из рис. 152 видно, что проекция на горизонтальную плоскость
Pxy = P cos α,поэтому

X = P cos α cos αx; Y = P cos α cos αy и Z = P cos φz.

Если же известны углы φx и φy (на рисунке они не показаны), образуемые вектором Р с осями х и у, то его проекции на эти оси соответственно равны
X = P cos φx и Y = P cos φy.

При помощи проекций сил на три оси легко определить равнодействующую системы сил, приложенных к точке.

Для этого необходимо:

1) выбрать расположение осей так, чтобы проекции всех сил определились простейшим образом;

2) найти проекции всех сил на каждую из осей;

3) сложить проекции всех сил на каждую из осей и найти таким образом три проекции искомой равнодействующей на оси:
XR = ∑ Xi; YR = ∑ Yi и ZR = ∑ Zi;

4) определить модуль равнодействующей R:
R = sqrt(XR2 + YR2 + ZR2);

5) определить направление равнодействующей, найдя какие-либо два угла из трех:
cos φx = XR/R; cos φy = YR/R; cos φz = ZR/R.

Задача 109. На одну из вершин куба действуют пять сил таким образом, что три силы направлены вдоль ребер, сходящихся в этой вершине; четвертая сила направлена…

§ 20. Равновесие пространственной системы сходящихся сил

Если система сходящихся сил уравновешена, то ее равнодействующая R=0, а это означает, что и проекции равнодействующей на три взаимно перпендикулярные оси равны нулю (XR=0, YR=0, ZR=0). Отсюда образуются три уравнения равновесия:
∑ Xi = 0;
∑ Yi = 0;
∑ Zi = 0.

При помощи этих уравнений и решаются задачи на равновесие пространственной системы сходящихся сил.

Уравнений равновесия – три, следовательно, статически определимой является такая пространственная система сходящихся сил, в которой неизвестных сил не более трех.

Задача 110. Груз, масса которого m=500 кГ, подвешен на кронштейне ABCD, состоящем из трех стержней 1, 2 и 3. Стержни 1 и 2 образуют в месте соединения прямой…

Задача 111. Переносный кран, поднимающий груз массой m=2000 кг, устроен так, как указано на рис. 155, a; AB=AD=AE=2 м; угол DAE=120°, плоскость…

§ 21. Момент силы относительно оси

Чтобы определить момент силы Р относительно заданной или выбранной оси, например оси z (рис. 157), необходимо выполнить следующие операции:

1) расположить плоскость Н перпендикулярно оси z;

2) определить проекцию силы Р на плоскость H – найти PH;

3) из точки пересечения оси с плоскостью (из точки О) провести перпендикуляр к направлению проекции PH и определить длину этого перпендикуляра OA – плечо силы PH;

4) определить знак момента, придерживаясь такого правила: посмотрим на плоскость Н со стороны положительного направления оси, если увидим, что проекция PH поворачивает плечо против хода часовой стрелки, значит момент имеет положительный знак; а если проекция PH поворачивает плечо по часовой стрелке (как это показано, например, на рис. 157), момент имеет отрицательный знак;

5) находим числовое значение момента силы Р относительно оси; для этого PH – модуль проекции силы Р на плоскость, перпендикулярную к оси, умножаем на плечо OA.

Таким образом (см. рис. 157)
Mz(P) = -PH * OA.

Момент силы относительно оси, так же как и момент силы относительно точки, измеряется по Международной системе (СИ) в ньютон-метрах (Н*м), а по технической системе (МКГСС) – в кГ*м.

Для успешного решения задач и облегчения составления уравнений моментов относительно осей нужно иметь в виду три частных случая, в которых момент силы относительно оси равен нулю (рис. 158):

Случай 1-й (рис. 158, а). Сила Р или линия ее действия пересекает ось; в этом случае плечо OA=0, поэтому PH*OA=0.

Случай 2-й (рис. 158, б). Линия действия силы Р параллельна оси; в этом случае PH=0, поэтому PH*OA=0.

Случай 3-й (рис. 158, в). Линия действия силы Р совпадает с осью; в этом случае и PH=0 и плечо OA=0.

Задача 113. К вершинам квадрата ABCD (AB=AD=2 м), расположенного в горизонтальной плоскости, приложены силы P1, P2, P3 и…

§ 22. Равновесие произвольной пространственной системы сил

Произвольную пространственную систему сил, так же как и плоскую, можно привести к одной точке и заменить главным вектором Rгл и главным моментом Mгл. Только в этом случае линия действия главного вектора может находиться не в плоскости действия главного момента.

Если Rгл=0 и Mгл=0, то система сил уравновешена и отсюда образуется система шести уравнений равновесия:
∑ Xi = 0;
∑ Yi = 0;
(1) ∑ Zi = 0;
∑ Mx(Pi) = 0;
∑ My(Pi) = 0;
∑ Mz(Pi) = 0.

Первые три уравнения (уравнения проекций) получены из условия Rгл=0. Если главный вектор равен нулю, то и алгебраические суммы проекций всех сил на каждую из осей также равны нулю.

Последние три уравнения (уравнения моментов) получены из условия Mгл=0. Если главный момент системы сил равен нулю, то алгебраические суммы моментов сил относительно каждой из осей равны нулю.

Для облегчения составления уравнений равновесия тело, равновесие которого рассматривается, целесообразно изображать вместе с действующими на него силами в проекциях на три основные плоскости, т. е. изображать вид спереди, вид сверху и один боковой вид – вид слева или вид справа (см. задачи 115, 116 и 117).

В частном случае линии действия сил, образующих пространственную систему, могут оказаться параллельными. Тогда одну из осей (например, ось z) выгодно расположить параллельно силам (рис. 160), а две другие оси расположатся в плоскости, перпендикулярной к линиям действия сил.

Легко понять, что для уравновешенной пространственной системы параллельных сил вместо шести уравнений можно составить лишь три: алгебраическую сумму проекций сил на ось, параллельную данным силам, и два уравнения моментов относительно двух других осей. Остальные уравнения превратятся в тождество вида 0=0.

В соответствии с расположением осей (см. рис. 160) уравнения равновесия имеют вид:
∑ Zi = 0;
(2) ∑ Mx(Pi) = 0;
∑ My(Pi) = 0.

Для пространственной системы параллельных сил можно составить лишь три уравнения равновесия, поэтому, чтобы задача была статически определимой, в ней должно содержаться не более трех неизвестных сил.

Задача 114. На рис. 161 схематично изображена трехколесная платформа для перевозки грузов. На платформе лежит груз Р=8 кн таким образом, что его вес…

В следующих задачах рассматриваются системы сил, произвольно расположенные в пространстве.

Задача 115. Квадратная крышка весом 400 н удерживается приоткрытой на 60° над горизонтальной плоскостью противовесом Q (рис. 162). Определить, пренебрегая…

Задача 116. На вал 1 ворота намотана веревка, удерживающая груз Q (рис. 164). Радиус колеса 2 ворота в четыре раза больше радиуса вала. Веревка, прикрепленная…

Задача 117. Деревянный брус прямоугольного поперечного сечения b=20 см и h=25 см жестко заделан в стене таким образом, что выступающая из стены часть бруса…

Одной из типичных задач, в которых применяются уравнения равновесия пространственной системы сил, является задача определения реакций опор вала какой-либо машины.

Задачи этого типа можно решать так же, как задачи 115 или 116, т. е. при помощи проекций вала вместе с векторами заданных и искомых сил на три взаимно перпендикулярные плоскости.

Но в некоторых случаях оказывается более рациональным несколько иной прием решения, основанный на приведении сил к оси вала.

В качестве примера для такого решения возьмем вал одного из многочисленных видов редукторов (редуктором называется механическое устройство для передачи мощности от двигателя, вал которого вращается с большой скоростью, к рабочей машине, вал которой имеет скорость вращения, в несколько раз меньшую).

Задача 118. На вале редуктора жестко укреплены два зубчатых колеса: коническое 1 и цилиндрическое 2 (рис. 169, а). Левая цапфа вала опирается на…

Источник: http://exir.ru/termeh/prostranstvennaya_sistema_sil.htm

Booksm
Добавить комментарий