Системы Ферми- и Бозе- частиц

Статистики Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна

Системы Ферми- и Бозе- частиц

В распределении Максвелла-Больцмана остается скрытой предпосылка осуществления этого распределения – различимости частиц.

Эта предпосылка с физической точки зрения ошибочна, потому что в природе нет различимых частиц, и все реально существующие частицы описываются либо распределением Ферми-Дирака, либо распределением Бозе-Эйнштейна.

Однако в наиболее часто встречающихся ситуациях классической физики распределения Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна практически совпадают с распределением Максвелла-Больцмана, которое благодаря этому является основным распределением классической статистической физики.

Основным понятием квантовой теории, которое играет главную роль в анализе распределения частиц по энергиям, является не понятие о дискретных уровнях энергии, а понятие о квантовых состояниях.

Квантовое состояние характеризуется некоторым набором чисел, называемых квантовыми. Некоторые из квантовых чисел могут быть связаны с энергией частицы, а другие с энергией частицы не связаны.

Имея одну и ту же энергию, частица может, вообще находиться в различных квантовых состояниях, потому что энергия является лишь одной из характеристик квантового состояния, но далеко не единственной. Различные энергии относятся к различным квантовым состояниям.

Частицы в соответствии с правилами поведения распределяются по квантовым состояниям, и в результате этого образуется распределение по энергиям. Частицы неразличимы между собой.

Подсчет числа состояний в статистике Ферми-Дирака. Различаем уровни энергии и различные состояния в пределах одной и той же энергии. Число различных состояний в пределах -го энергетического уровня , число этих состояний вообще различно для различных энергетических уровней.

В этой модели частицы представляются шариками, которые нужно разместить по различным состояниям. Причем в модели Бозе-Эйнштейна в каждом состоянии может быть любое число шаров, а в модели Ферми-Дирака в одном состоянии может быть только один шар. Шары неразличимы между собой.

Обозначим число шаров и проведем расчет числа возможных размещений шаров для модели Ферми-Дирака.

На каждом энергетическом уровне может находиться частиц, причем . Полное число частиц на всех уровнях равно . Прежде всего найдем число способов, сколькими не различимых между собой предметов могут быть размещены по местам. Ответ дается формулой, которая для рассматриваемых величин имеет вид: .

На каждом энергетическом уровне микросостояния независимы, и не играет роли, какие именно из частиц, находятся в каком именно состоянии, поэтому полное число состояний в совокупности всех энергетических уровней равно произведению числа микросостояний на каждом отдельном энергетическом уровне. — в произведении учитывает все возможные энергетические уровни.

— число микросостояний для модели Ферми-Дирака.

Удовлетворяя требование максимума числа микросостояний в равновесном состоянии, являющемся наиболее вероятным состоянием системы получаем формулу:

— распределения Ферми-Дирака, где — число частиц, приходящихся на одно квантовое состояние с энергией . Параметр . Параметр определяется нормировкой на полное число частиц, выражающей условие сохранения числа частиц: .

При очень малых значениях экспоненциальный член в знаменателе правой части должен быть значительно больше единицы. Поэтому единицей в знаменателе можно пренебречь и записать распределение в виде , где . Если теперь перейти к непрерывному спектру, то получится экспоненциальное распределение Максвелла-Больцмана.

Формулы статистики Ферми-Дирака переходят в формулы статистики Максвелла-Больцмана, когда среднее число частиц, приходящееся на одно квантовое состояние мало.

Подсчет числа состояний в распределении Бозе-Эйнштейна. В модели Бозе-Эйнштейна в каждом квантовом состоянии может находиться произвольное число неразличимых между собой частиц. Как и при выводе распределения Ферми-Дирака, используем понятия энергетических уровней и возможных состояний в пределах отдельного уровня.

При этом условии общее число различных распределений частиц по местам выражается формулой . Тогда общее число микросостояний на всех энергетических уровнях:

— число микросостояний для модели Бозе-Эйнштейна.

Рассуждая так же, как и при выводе распределения Ферми-Дирака получим формулу:

— распределения Бозе-Эйнштейна.

Эта формула переходит в распределение Максвелла-Больцмана в случае, когда среднее число частиц, приходящихся на одно квантовое состояние, достаточно мало.

Конкуренция между частицами при занятии состояний в статистике Ферми-Дирака чрезвычайно интенсивна, поскольку занятое какой-либо частицей состояние запрещено для других частиц.

Можно в определенном смысле говорить, что частица, занимающая некоторое состояние, отталкивает от этого состояния другие частицы, как бы удерживает из на некотором удалении от этого состояния.

Конкуренция между частицами ослабевает, когда число допустимых для них состояний много больше числа частиц.

В статистике Бозе-Эйнштейна такая конкуренция отсутствует: частица может занять некоторое состояние независимо от того. Занято ли оно другими частицами или свободно.

Ясно, что если конкуренция в статистике Ферми-Дирака ослабевает, то ее результаты должны приближаться к результатам статистике Бозе-Эйнштейна. Это наблюдается при малом среднем числе частиц, приходящихся на одно квантовое состояние.

В этом случае распределения Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна совпадают и сводятся к распределению Максвелла-Больцмана.

Дата добавления: 2019-10-16; просмотров: 76; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

ПОСМОТРЕТЬ ЁЩЕ:

Источник: https://helpiks.org/9-70393.html

Конденсат Бозе — Эйнштейна схлопнулся в присутствии ферми-газа

Системы Ферми- и Бозе- частиц

Ученые исследовалиповедение системы, в которой между атомами одного типа существуетвзаимодействие, обеспечиваемое другим типом атомов. В данном случае атомыпервого сорта находились в состоянии конденсата Бозе — Эйнштейна, а второго — ввиде вырожденного ферми-газа.

Оказалось, что взаимодействие двух облаковприводит к появлению новой динамики. В частности, конденсат оказался вдополнительном потенциале, а определенное соотношение взаимодействий привело к егосхлопыванию в отдельные сгустки. Результаты опубликованы в журнале Nature.

С точки зрениясовременной теоретической физики любое взаимодействие обеспечивается за счетобмена реальными или виртуальными частицами из особой группы. В Стандартную модельвходят несколько типов частиц-переносчиков взаимодействий: фотон, глюон, Z- и W-бозоны.

Первый отвечаетза электромагнетизм, второй — за сильное взаимодействие, остальные — за слабоевзаимодействие. Гравитация теоретически должна допускать описание черезобмен виртуальными гравитонами, но соответствующая концепция квантовойгравитации еще не установлена.

Эту идею опосредованноговлияния легко проиллюстрировать примером из классической физики. Если одналодка покоится, а мимо нее проплывет судно, то создаваемые им волны приведутлодку в движение.

Аналогично происходят события и в мире элементарных частиц, только вомногих случаях объекты обмениваются не реальными частицами, а виртуальными,которые существуют лишь короткое время, чтобы не нарушать закон сохраненияэнергии.

Свойствачастиц-переносчиков определяют свойства самого взаимодействия и связанные с нимфеномены.

Так, отсутствие массы у фотона делает электромагнетизмдальнодействующей силой, а конечные массы Z- и W-бозонов ограничивают расстояния, на которомслабое взаимодействие может оказывать влияние, внутренностью атомных ядер.

Другим примером является сверхпроводимость, ключевую роль в которой играюткуперовские пары электронов, которые образуют за счет обмена квантами колебанийкристаллической решетки — фононами.

Все известныечастицы-переносчики являются бозонами, то есть обладают целым спином. Вопрекиэтому правилу, в работе Брайана де Сальво (Brian DeSalvo) и его коллег изЧикагского университета описывается иная ситуация, в которой взаимодействиемежду атомами цезия-133 зависит от окружающих атомов лития-6, которые относятсяк фермионам, то есть частицам с полуцелым спином.

Ученые пока не могутреализовать сильного взаимодействия в таком случае, поэтому для его наблюденияприходится охлаждать вещество до перехода в квантовое состояние.

Атомыцезия-133 в таком случае становятся конденсатом Бозе — Эйнштейна, так как ониявляются составными бозонами (суммарный спин всех протонов, нейтронов иэлектронов является целым числом), а литий-6 превращается в вырожденный ферми-газ.

Прямое взаимодействиемежду атомами цезия в такой системе существует и приводит к слабомуотталкиванию. Непосредственное взаимодействие между атомами лития отсутствует, таккак из-за справедливого для фермионов принципа запрета Паули такие частицы немогут занимать одинаковые квантовые состояния.

По этой же причине облако атомовлития оказывалось гораздо протяженнее облака атомов цезия. В то же время, взаимодействие между цезием и литием может быть как отталкивающим, так ипритягивающим, в зависимости от выбранных параметров.

Физики показали, чтоподобная смесь квантовых состояний приводит к появлению новых феноменов.

В одном экспериментефизики возбуждали периодические колебания в облаках атомов, находящихся вовнешнем электромагнитном потенциале ловушки. Оказалось, что присутствие литияменяло характерную для атомов цезия частоту.

Причина этого изменениязаключалось в том, что по мере смещения атомы цезия попадали в область с инойконцентрацией лития, то есть они фактических находились одновременно в двухпотенциалах: к потенциалу ловушки добавлялся связанный с распределениемплотности лития потенциал.

В рамках другогоэксперимента ученые настроили соотношение взаимодействий так, что между атомами цезия было небольшое отталкивание, которое было слегка слабее притяжения за счетвзаимодействия с атомами лития.

Суммарно получалось притяжение, котороеприводило к коллапсу конденсата Бозе — Эйнштейна, так как составляющим егобозонам ничто не запрещает занимать одинаковые квантовые состояния.

Врезультате одно облако разделялось на несколько меньших сгустков, которые называютсяпоследовательностью солитонов Бозе — Ферми.

Поведение конденсата в зависимости от наличия Ферми-газа и внешнего магнитного поля, которое управляет взаимодействием частиц в конденсате.

На верхней картинке суммарное взаимодействие преимущественно определяется отталкиванием в конденсате, поэтому добавление Ферми-газа существенно не влияет.

На второй эффективное взаимодействие меняется на притяжение, благодаря чему конденсат коллапсирует.

B. DeSalvo et al. / Nature, 2019

Подобные исследованияоткрывают возможность изучения новых состояний материи и уточнениятеоретических моделей существующих. В частности, второй эксперимент примерносоответствует взаимодействию Рудермана — Киттеля — Касуя — Иосиды (РККИ-обменноевзаимодействие), которое описывает воздействие магнитных ионов в металлах иполупроводниках посредством обменом электронами. Этот случай также относится кредкому типу, когда фермионы (электроны) выступают в роли частиц-переносчиковвзаимодействия. РККИ-обменное взаимодействие ответственно за многие магнитныесвойства редкоземельных элементов, в которых совокупность электронов проводимостис высокой точностью соответствует вырожденному ферми-газу. В частности, с этимсвязан эффект гигантского магнетосопротивления — основу функционированияжестких дисков. Также для подобных гибридных квантовых систем предсказываетсявозникновение других экзотических магнитных фаз.

Получение конденсата Бозе — Эйнштейна открыло новую эпоху в изучении квантовых явлений, исследования в этой области очень активны. Недавно мы писали о другой работе этого же коллектива ученых, которым удалось поймать фермионы в ловушку при помощи бозе-конденсата. В другом исследовании ученые при помощи этого необычного состояния материи получили сверхтекучесть при комнатной температуре.

Тимур Кешелава

Источник: https://nplus1.ru/news/2019/04/03/bose-fermi-soliton

Распределения Бозе – Эйнштейна и Ферми – Дирака

Системы Ферми- и Бозе- частиц

В случае дискретного спектра энергии частицы нас, как и прежде, будет интересовать среднее число частиц в заданном i-ом квантовом состоянии с энергией Зависимость величины от энергии определяет распределение по состояниям частиц квантового идеального газа с дискретным спектром энергии. В квантовой статистической физике показывается, что эта зависимость имеет вид

(3.22)

где μ – уже упоминаемый выше химический потенциал частицы. Функция (3.22) называется функцией распределения Ферми- Дирака частиц по энергиям в случае дискретного спектра.

Так как в случае фермионов каждое состояние может быть либо занято, либо свободно, – в среднем занято не больше, чем один раз ( ). Поскольку экспонента – величина положительная, то из (3.

22) следует, что так что распределение Ферми – Дирака удовлетворяет принципу Паули: в каждом квантовом состоянии может находиться не более одного фермиона с определенным направлением спина.

Заметим, что величина изменяется в тех же пределах что и вероятность, поэтому функцию (3.22) можно рассматривать как вероятность заполнения уровня энергии .

При абсолютном нуле температуры распределение Ферми – Дирака имеет вид

Действительно, при показатель степени экспоненты стремится к а сама экспонента – к нулю; при показатель степени экспоненты и сама экспонента стремятся к , а функция – нулю. График такого распределения показан на рис. 3.6. На рис. 3.6 видно, что при абсолютном нуле температуры все уровни вплоть до уровня с энергией заняты электронами, а все вышележащие уровни свободны.

Последний заполненный уровень энергии при абсолютном нуле температуры называется уровнем (или энергией) Ферми (обозначают ). Следовательно, химический потенциал μ фермионов – это энергия Ферми.

При температуре химический потенциал – это уровень энергии, средняя заполненность которого равна одной второй: Можно сказать также, что уровень Ферми – это уровень, вероятность заполнения которого равна

В случае бозонов среднее число частиц в квантовом состоянии с энергией определяется как

(3.23)

Эта функция называется распределением Бозе – Эйнштейна по энергии частиц в случае дискретного спектра.

Рис. 3.6

Как видим, распределение Бозе – Эйнштейна отличается от распределения Ферми – Дирака только знаком перед единицей в знаменателе. Видим также, что величина может принимать любые значения. Так и должно быть. Поскольку бозоны принципу Паули не подчиняются и число их в каждом состоянии не ограничено. Химический потенциал бозонов

Если то единицей в формулах (3.22) и (3.23) можно пренебречь; различия между распределениями Ферми – Дирака и Бозе – Эйнштейна исчезают, и оба распределения переходят в распределение Больцмана (3.8). При этом Указанное выше условие выполняется при высоких температурах.

В случае непрерывного спектра энергии, как и прежде, можно пользоваться квазиклассическим приближением.

Наличие спина учитывается тем, что в число параметров состояния частицы включается спиновое магнитное квантовое число Теперь вместо среднего числа частиц на i-ом энергетическом уровне вводится среднее число частиц с энергией, заключенной в интервале от до Имеем Величина определяется в виде (3.18) или (3.20), в которых вместо теперь следует писать – значение энергии из интервала от до Число состояний отвечающих данному энергетическому интервалу, определяется выражением (3.4). Наличие спина у частицы приводит к увеличению числа состояний в раз, так как при одной и той же энергии частицы возможно ориентации ее спина. Поэтому в правой части выражения (3.4) следует поставить множитель . С учетом этого будем иметь

(3.24)

где знак плюс соответствует распределению Ферми – Дирака, а минус – распределению Бозе – Эйнштейна.

При и соотношение (3.25) принимает вид.

Сравнивая это выражение с выражением (3.14), видим, что оно переходит в формулу распределения Максвелла – Больцмана по кинетической энергии, если положить

откуда получаем выражение химического потенциала

где – концентрация газа. Условие можно заменить условием из которого следует условие

(3.25)

Мы пришли к критерию применимости классической статистики Максвелла к идеальному газу. Как видим, оно выполняется тем точнее, чем меньше концентрация газа и чем выше его температура. При выполнении обратного неравенства идеальный газ меняет свои свойства; он становится вырожденным, и его следует описывать с помощью квантовых статистик.

Рис. 3.7

Опыт показывает, что обычные молекулярные газы в широком интервале концентраций и температур удовлетворяют условию (3.25) и, следовательно, допускают классическое или квазиклассическое описание.

Распределения Ферми – Дирака и Бозе – Эйнштейна в случае непрерывного спектра изображены на рис. 3.7. Здесь же показано и распре-

деление Максвелла – Больцмана. При больших значениях аргумента , когда среднее число частиц, приходящихся на каждое со- стояние с энергией , оказывается много меньше единицы, оба квантовых распределения переходят в классическое распределение Максвелла – Больцмана

Рис. 3.8

На рис. 3.8 приведены зависимости от температуры средней кинетической энергии поступательного движения частиц – классического газа (1), бозе-газа (2) и ферми-газа (3). Как видим, в области вырождения, т.е.

в области состояний, в которых проявляются квантовые свойства газа, и, следовательно, возникают отступления его от распределения Максвелла – Больцмана, средняя энергия поступательного движения частиц не является линейной функцией температуры (кривые 2 и 3).

При этом поступательное движение бозе-частиц прекращается раньше, чем температура принимает значение абсолютного нуля. Наоборот, ферми-частицы сохраняют некоторую энергию и при абсолютном нуле, называемую нулевой энергией.

В области вырождения определение температуры как меры средней энергии поступательного движения молекул газа уже не верно. При высоких температурах все три кривые сливаются в одну – все распределения переходят в распределение Максвелла – Больцмана.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/16_44717_raspredeleniya-boze--eynshteyna-i-fermi--diraka.html

Понятие о квантовых статистиках Бозе – Эйнштейна и Ферми – Дирака. Энергия Ферми. Уровень Ферми

Системы Ферми- и Бозе- частиц

Бозоны и фермионы.

Электроны и другие частицы, у которых Msz равно нечетному числу ±½ħ, называются фермионами или частицами с полуцелым спином. Система тождественных фермионов описывается антисимметричной полной волновой функцией.

Частицы, у которых Msz равно нулю или целому числу ±½ħ, называются бозонными или частицами с целым спином. Система тождественных бозонов описывается симметричной волновой функцией. К бозонам относятся и фотоны,

Принцип Паули выражает особенность поведения системы тождественных фермионов: в данной системе тождественных фермионов любые два из них не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии.

Бозоны не подчиняются принципу Паули. Для бозонов характерно то, что вероятность возникновения бозона в состоянии, в котором уже имеется n частиц, пропорциональна n. Таким образом, бозоны любят накапливаться в одном состоянии, в отличие от фермионов.

В соответствии с этим различают две квантовые статистики: Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна.

Понятие о квантовых статистиках Бозе – Эйнштейна и Ферми – Дирака. Энергия Ферми. Уровень Ферми.

Основная задача квантовых статистик состоит в нахождении функции распределения частиц системы по тем или иным параметрам – координатам, импульсам, энергиям и т.п., а также отыскании средних значений этих параметров, характеризующих состояние всей системы частиц.

Функция распределения Бозе-Эйнштейна имеет вид

где — среднее число частиц, находящихся в состоянии с номером i, Ei – энергия частицы в этом состоянии, μ – так называемый химический потенциал, представляющий собой изменение энергии системы, приходящееся на одну частицу. Для систем с переменным числом частиц (к числу которых относятся системы фотонов и фононов) μ = 0. Поэтому для них справедливо распределение вида

Функция распределения Ферми-Дирака имеет вид

Для фермионов характерно никогда не занимать состояния, в котором уже находится одна частица.

Конденсация Бозе-Эйнштейна

Замедление атомов с использованием охлаждающей аппаратуры позволяет получить сингулярное квантовое состояние, известное как конденсат Бозе, или Бозе — Эйнштейна. Результатом усилий Бозе и Эйнштейна стала концепция Бозе газа, подчиняющегося статистике Бозе — Эйнштейна, которая описывает статистическое распределение тождественных частиц с целым спином, называемых бозонами.

Бозоны, которыми являются, например, и отдельные элементарные частицы — фотоны, и целые атомы, могут находиться друг с другом в одинаковых квантовых состояниях. Эйнштейн предположил, что охлаждение атомов — бозонов до очень низких температур заставит их перейти (или, по-другому, сконденсироваться) в наинизшее возможное квантовое состояние.

Результатом такой конденсации станет возникновение новой формы вещества.

Этот переход возникает ниже критической температуры, которая для однородного трёхмерного газа, состоящего из невзаимодействующих частиц без каких-либо внутренних степеней свободы, определяется формулой

{\displaystyle T_{c}=\left({\frac {n}{\zeta (3/2)}}\right){2/3}{\frac {h{2}}{2\pi mk_{B}}},}

где Tc {\displaystyle T_{c}} — критическая температура, n{\displaystyle n} — концентрация частиц, m {\displaystyle m} — масса, {\displaystyle h}h — постоянная Планка, {\displaystyle k_{B}}kb — постоянная Больцмана,  ζ(3 / 2) {\displaystyle \zeta } — дзета-функция Римана, = 2,61{\displaystyle \zeta (3/2)=2{,}6124\ldots }.

Сверхпроводимость — квантовое явление. Оно характеризуется также эффектом Мейснера, заключающемся в полном вытеснении магнитного поля из объёма сверхпроводника. Существование этого эффекта показывает, что сверхпроводимость не может быть описана просто как идеальная проводимость в классическом понимании.

Сверхтеку́честь — способность вещества в особом состоянии (квантовой жидкости), возникающем при температурах, близких к абсолютному нулю (термодинамическая фаза), протекать через узкие щели и капилляры без трения.

                        Билет №10.

См фоки на телефоне

Бозоны и фермионы.

Электроны и другие частицы, у которых Msz равно нечетному числу ±½ħ, называются фермионами или частицами с полуцелым спином. Система тождественных фермионов описывается антисимметричной полной волновой функцией.

Частицы, у которых Msz равно нулю или целому числу ±½ħ, называются бозонными или частицами с целым спином. Система тождественных бозонов описывается симметричной волновой функцией. К бозонам относятся и фотоны,

Принцип Паули выражает особенность поведения системы тождественных фермионов: в данной системе тождественных фермионов любые два из них не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии.

Бозоны не подчиняются принципу Паули. Для бозонов характерно то, что вероятность возникновения бозона в состоянии, в котором уже имеется n частиц, пропорциональна n. Таким образом, бозоны любят накапливаться в одном состоянии, в отличие от фермионов.

В соответствии с этим различают две квантовые статистики: Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна.

Понятие о квантовых статистиках Бозе – Эйнштейна и Ферми – Дирака. Энергия Ферми. Уровень Ферми.

Основная задача квантовых статистик состоит в нахождении функции распределения частиц системы по тем или иным параметрам – координатам, импульсам, энергиям и т.п., а также отыскании средних значений этих параметров, характеризующих состояние всей системы частиц.

Источник: https://cyberpedia.su/19x2506.html

Статистика Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака

Системы Ферми- и Бозе- частиц

III. ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ

Изучаемые в курсе классической молекулярной статистической физики частицы, можно было рассматривать как упругие шарики. При этом каждую из тождественных частиц можно было отличить от других – как бы «пронумеровать», отследить траекторию каждой из них. При рассмотрении поведения коллектива таких частиц можно пользоваться распределением Максвелла и Больцмана (рисунок).

Особая природа квантовых частиц не позволяет отличить их друг от друга. Если две тождественные частицы (с одинаковыми массами, зарядом, спином и т.д.

) взаимодействуют, то мы не можем никаким способом выяснить, какая из двух частиц была первая, а какая вторая. Т.е.

в квантовой физике постулирован принцип неразличимости тождественных частиц: тождественные частицы экспериментально различить принципиально невозможно.

Рассмотрим состояние системы из двух частиц. Это состояние описывается волновой функцией ψ(x1,x2), где (x1 и x2 – совокупность пространственных и спиновых координат соответственно первой и второй частицы). Если частицы поменять местами, то возможны два варианта:

1) состояние системы частиц не изменится, что можно записать математически: (10.1)

Волновые функции, обладающие таким свойством, называются симметричными.

2) состояние системы изменится так, что волновая функция изменит знак: (10.2)

Такие волновые функции называются антисимметричными.

Можно показать, что симметрия волновых функций определяется спином частиц. Симметричными волновыми функциями описываются системы частиц, имеющих целочисленный спин (в том числе и нулевой спин). Такими частицами являются, например, фотоны.

Антисимметричными волновыми функциями описываются системы частиц с полуцелым спином. Одна из таких частиц уже рассмотрена в предыдущих лекциях – это электрон.

Именно для частиц с полуцелым спином выполняется принцип запрета Паули – в одной и той же квантовой системе не может быть двух частиц, находящихся в одинаковых состояниях.

Напомним, что квадрат волновой функции задает вероятность обнаружить частицу в данной точке в данный момент времени, или в нашем случае – с заданным спином в точке с заданными координатами. Тогда принцип неразличимости можно выразить следующим образом:

(10.3)

Не зависимо от того, симметричными или антисимметричными волновыми функциями обладают частицы, если они поменяются местами, в эксперименте мы этого не заметим – частицы являются неразличимыми. Вывод же функции распределения Больцмана основан на том, что каждая частица имеет индивидуальность.

В 1924 г. индийский физик Ш. Бозе обнаружил, что поведение фотонов не подчиняется распределению Больцмана. Он предложил новую функцию распределения для фотонов, которую Эйнштейн позднее обобщил на частицы, имеющие массу. Это функция известна как распределение Бозе-Эйнштейна и имеет вид:

(10.4)

где k – постоянная Больцмана.

Значение функции f(E) указывает, какова вероятность встретить частицу, имеющую энергию E, то есть она отражает распределение частиц по энергиям.

Частицы, подчиняющиеся статистике Бозе-Эйнштейна, называются бозонами. Параметр распределения μ, входящий в (10.4), называется химическим потенциалом.

Он является функцией макроскопических параметров состояния коллектива частиц, в частности температуры. Бозонами являются фотоны, фононы, мезоны и др.

Волновые функции бозонов при любых обстоятельствах остаются симметричными (формула 10.1).

Кривые распределения Максвелла-Больцмана,

Бозе-Эйнштейна, и Ферми-Дирака

Если число частиц в системе не постоянно, то можно показать, что μ = 0 и функция распределения будет иметь вид:

(10.4')

Такая ситуация реализуется, например, для коллектива фотонов в замкнутой полости. Фотоны непрерывно поглощаются и излучаются стенками полости, т.е. число частиц постоянно меняется.

С помощью распределения Бозе-Эйнштейна можно выяснить, какое количество частиц n в системе имеет энергию E. Зависимость количества частиц от значения энергии показана на рисунке (10.1) и выражается формулой:

(10.5)

Видно, что как и в случае классических частиц, в случае бозонов их число в каждом из энергетических состояний не ограничивается единицей. При этом расчеты показывают, что вероятность обнаружить две частицы с одинаковой энергией больше, чем вероятность появления одной такой частицы.

Вероятность появления бозона в состоянии с конкретной энергией будет тем больше, чем больше уже имеется подобных частиц с указанной энергией. Присутствие бозона в конкретном квантовом состоянии увеличивает вероятность того, что в этом состоянии будут находиться другие бозоны того же типа.

Одним из самых ярких примеров систем с данным свойством являются лазеры.

https://www.youtube.com/watch?v=44nzUJRTtH8

Однако поведение электронов и других частиц, подчиняющихся принципу Паули (см. раздел 8), не удовлетворяло и этому условию. Для таких частиц итальянский физик Э. Ферми и англичанин П. Дирак создали еще одно распределение:

(10.6)

Выражение (10.6) называется функцией распределения Ферми-Дирака. Химический потенциал μ для фермионов называют иногда энергией Ферми.

Частицы, подчиняющиеся статистике Ферми-Дирака, называются фермионами – такими частицами являются электроны, протоны, нейтроны, нейтрино, лептоны, кварки. Волновые функции фермионов всегда антисимметричны.

Поскольку из-за существования спинового квантового числа каждому значению энергии соответствует два возможных состояния, то зависимость числа частиц от того, какой энергией обладают эти частицы, имеет вид:

(10.7)

Эта функция представлена на рисунке. Видно, что число фермионов в любом состоянии не может быть больше единицы, то есть в состоянии с данной энергией – не больше двух, но обязательно с антипараллельными спинами.

Можно все состояния разделить на две группы – занятые состояния и свободные. Свободные состояния всегда расположены выше уровня Ферми. Энергия Ферми системы слабо зависит от температуры. Например, отличие энергии Ферми при комнатной температуре и при температуре, близкой к абсолютному нулю составляет всего 0.002%.

Из рисунка видно, что число частиц, соответствующих уровню Ферми равно единице, то есть уровень заполнен наполовину. Этот факт отражает физический смысл уровня Ферми – вероятность заполнения этого уровня равна 1/2 (или 50%).

То есть все уровни, расположенные выше уровня Ферми, будут свободными; все уровни, расположенные ниже – заполненными.

В энергетическом спектре всегда существует промежуточная область энергий между свободными и занятыми состояниями. Ширина этой области по порядку величины равна нескольким кТ (для комнатной температуры кТ составляет величину порядка 0.025 эВ).

В этой области происходит переход от заполненных уровней к пустым. При низких температурах этот переход очень резок, так что все нижние уровни, вплоть до некоторого, полностью заняты, а все верхние – совсем пусты. В этом случае кривая, аналогичная изображенной на рис. 10.

1, будет иметь очень резкий спад.

Итак, распределение Ферми-Дирака математически отражает суть поведения частиц с полуцелым спином: присутствие фермиона в конкретном квантовом состоянии запрещает другим фермионам находиться в том же состоянии.

Необходимо заметить, что при низких температурах распределения Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака переходят в классическое распределение Максвелла-Больцмана.

Источник: https://studopedia.su/13_22199_statistika-boze-eynshteyna-i-fermi-diraka.html

Системы Ферми- и Бозе- частиц

Системы Ферми- и Бозе- частиц

В соответствии с принципом тождественности частиц все имеющиеся в мире частицы можно разделить на бозоны и фермионы.

Так как принцип тождественности, сформулированный Паули говорит о том, что волновые функции совокупности тождественных частиц могут быть симметричными или антисимметричными относительно перестановки двух произвольных частиц, при этом бозонам ставят в соответствие симметричные $\Psi$- функции, а ферми-частицам — антисимметричные. В математической записи вышесказанное означает:

где $q_1,\dots ,q_i,{\dots ,q}_j\dots ,q_N$ — координаты $N$ частиц, перестановка реализуется для частиц $i\ и\ j$. При этом $\alpha =+1$ для бозонов, и $\alpha =-1$ для ферми-частиц. В том и другом случаях выполняется равенство:

Выражение (2) означает, что частицы невозможно отметить (они не различимы).

Для классификации микрочастиц применяют простое правило: фермионы имеют полуцелый спин. (Спин — собственный механический момент количества движения, это внутренне свойство частиц). Если быть более точными, то не сам спин, а проекцию спина на выделенное направление, например, ($Z$) ($s_z$):

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

бозоны — нулевой или целый спин.

Фермионы подчиняются принципу запрета Паули и статистике Ферми — Дирака. Самым известным представителем фермионов является электрон.

Квантовые свойства и законы статистики для систем тождественных частиц начинают становиться существенными при температурах ниже температуры вырождения ($T_0$).

Эта температура, при которой длина волны де Бройля, которая соответствует энергии теплового движения микрочастиц, сравнима с расстоянием между частицами.

Если температуры рассматриваемых систем больше, чем $T_0$, то квантовые свойства не являются существенными.

Функция распределения Ферми — Дирака

Допустим, что система фермионов представима в виде идеального газа, который находится в состоянии равновесия при температуре $T$.

Функция распределения Ферми — Дирака ($f(E)$) определяет вероятность нахождения фермиона в состоянии с энергией $E$. Для температуры $T$ ее можно записать как:

где $\mu $ — химический потенциал, $k_B$ — постоянная Больцмана. Вероятность того, что уровень энергии при $E=\ \mu $ при любой температуре, заполнен равна $\frac{1}{2}$ (то есть $f\left(E=\mu \right)=\frac{1}{2}$).

При $T=0K$ функция $f\left(E\right)$ представлена как ступенька. Величина химического потенциала при $T=0K$ имеет специальное название — энергия Ферми ($E_F$). Все состояния c энергиями ${E

Из-за теплового движения микрочастиц при $T >0K$ функция $f\left(E\right)$ размыта в окрестности $E_F.$

В области низких температур ($k_BT\ll \mu $) функция распределения Ферми — Дирака около $E=\mu $ можно охарактеризовать линейной зависимостью, разложив $f\left(E\right)$ в ряд Тейлора, ограничиваясь нулевым и первым членами разложения:

Функция распределения Бозе — Эйнштейна

Зависимость среднего количества квантов $\left\langle N\right\rangle $ возбуждения от температуры и энергии, которую имеет квант, определяет функцию распределения Бозе — Эйнштейна:

В общем случае для бозонов справедлива функция распределения вида:

где $\left\langle N\right\rangle $ — среднее количество микрочастиц, находящихся в состоянии с энергией $E$, $\mu $ — термохимический потенциал, который определен изменением полной энергии системы (W), если изменяется количество частиц в системе ($N_{sist}$), то есть:

Напомним, что количество бозонов не ограничивается для любого квантового состояния.

В случае бозонов при $T\ll \frac{\hbar \omega }{k_B}$ (низкие температуры) среднее количество квантов в состоянии возбуждения и энергия квантового осциллятора малы, тогда можно использовать для расчетов формулу:

при этом энергия квантового осциллятора равна:

Пример 1

Покажите, что вероятность того, что состояние, имеющее энергию $E_F+\delta ,$ занято такая же, как вероятность того, что состояние с энергией $E_F-\delta $ свободно. Рассмотреть систему фермионов. Газ считать вырожденным.

Решение:

Выражение которое следует доказать запишем следующим образом:

\[f\left(E_F+\delta \right)=1-f\left(E_F-\delta \right)\left(1.1\right).\]

В качестве основы для решения задачи используем выражение для функции распределения Ферми — Дирака:

\[f\left(E\right)=\frac{1}{{\exp \left(\frac{E-\mu }{k_BT}\right)\ }+1}\left(1.2\right).\]

Подставим вместо величины $E,$ рассматриваемые нами энергии, получим:

\[f\left(E_1\right)=\frac{1}{{\exp \left(\frac{E_F+\delta -\mu }{k_BT}\right)\ }+1}\ \ и\ \left(E_2\right)=\frac{1}{{\exp \left(\frac{E_F-\delta -\mu }{k_BT}\right)\ }+1}\ (1.3).\]

Используем формулы (1.3), подставив их в (1.1), имеем:

\[\frac{1}{{\exp \left(\frac{E_F+\delta -\mu }{k_BT}\right)\ }+1}=1-\frac{1}{{exp \left(\frac{E_F-\delta -\mu }{k_BT}\right)\ }+1}\left(1.4\right).\]

Так как газ считают вырожденным, то $\mu =E_F$ ($E_F$ — энергия Ферми), следовательно $E_F+\delta -\mu =\delta $, $E_F-\delta -\mu =-\delta $. Учитывая данное условие, перепишем выражение (1.4), имеем:

\[\frac{1}{{\exp \left(\frac{\delta }{k_BT}\right)\ }+1}=1-\frac{1}{{exp \left(\frac{-\delta }{k_BT}\right)\ }+1}=\frac{{exp \left(\frac{-\delta }{k_BT}\right)\ }+1-1}{{exp \left(\frac{-\delta }{k_BT}\right)\ }+1}=\frac{{exp \left(\frac{-\delta }{k_BT}\right)\ }}{{exp \left(\frac{-\delta }{k_BT}\right)\ }+1}=\frac{{exp \left(\frac{-\delta }{k_BT}\right)\ }{exp \left(\frac{\delta }{k_BT}\right)\ }}{\left({exp \left(\frac{-\delta }{k_BT}\right)\ }+1\right){exp \left(\frac{\delta }{k_BT}\right)\ }}=\frac{1}{1+{exp \left(\frac{\delta }{k_BT}\right)\ }}\left(1.4\right).\]

Так, в (1.4) мы получили тождество.

Пример 2

Особенность распределения бозе — частиц — это то, что если один бозон из-за каких — либо причин рассеется в некоторое состояние, то вероятность рассеяния второй подобной частицы (из-за других причин), в аналогичное состояние увеличивается в два раза, в сравнении с вероятностью рассеяния не тождественных частиц. Объясните данное явление.

Решение:

Пусть мы имеем $N$ тождественных бозонов, которые находятся в некотором состоянии. Вероятность того, что еще одна частица придет в это же состояние увеличена в $(N+1)$ раз в сравнении с вероятностью, которая имелась бы если бы частицы были не тождественны.

Данное явление можно уподобить интерференции $N$ когерентных волн, которые имеют одинаковую амплитуду и интенсивность, равную $I$. При этом напряженность суммарного поля пропорциональна количеству волн, интенсивность $(N2I$), и она растет в сравнении с интенсивностью одной волны в${\ N}2$ раз.

Добавка в виде еще одной волны дает интенсивность ${(N+1)}2I$. Если волны некогерентны, то их интенсивность была бы $(N+1)I$. Получается, что добавок в виде одной волны (к имеющимся $N$ когерентным волнам) ведет к росту интенсивности в $(N+1)$ раз (если сравнить с некогерентными волнами).

Такой эффект лежит в основе бозе — конденсации.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/predmet_i_zadachi_atomnoy_fiziki/sistemy_fermi-_i_boze-_chastic/

Статическое описание квантовой системы. Распределение Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака

Системы Ферми- и Бозе- частиц

Квантовая статистика —раздал статистической физики, исследующий системы, кото­рые состоят из огромного числа частиц, подчиняющихся законам квантовой механики.

В отличие от исходных положений классической статистической физики, в которой тождественные частицы различимы (частицу можно отличить от всех таких же частиц), квантовая статистика основывается на принципе неразличимости тождественных ча­стиц. При этом оказывается, что коллективы частиц с целым и полуцелым спинами подчиняются разным статистикам.

Понятие о квантовой статистике Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака

Одним из важнейших «объектов» изучения квантовой статистики, как и классической, является идеальный газ. Это связано с тем, что во многих случаях реальную систему можно в хорошем приближении считать идеальным газом.

Состояние системы невза­имодействующих частиц задается с помощью чисел заполненияNi — чисел, указывающих степень заполнения квантового состояния частицами системы, состоящей из многих тождест­венных частиц.

Для систем частиц, образованных бозонами — частицами с нулевым или целым спином, числа заполнения могут принимать любые целые значения: 0, 1, 2, … . Для систем частиц, образованных фермионами — частицами с полуцелым спином , числа заполнения могут принимать лишь два значения: 0 для свободных состояний и 1 для занятых.

Сумма всех чисел заполнения должна быть равна числу частиц системы. Квантовая статистика позволяет подсчитать среднее число частиц в данном квантовом состоянии, т. е. определить средние числа заполнения áNiñ.

Идеальный газ из бозонов —бозе-газ — описываетсяквантовой статистикой Бозе — Эйнштейна. Распределение бозонов по энергиям вытекает из так называемого большого канонического распределения Гиббса (с переменным числом частиц) при условии, что число тождественных бозонов в данном квантовом состоянии может быть любым:

(1)

Это распределение называетсяраспределением Бозе — Эйнштейна. Здесь áNiñ — сред­нее число бозонов в квантовом состоянии с энергией Ei, k — постоянная Больцмана, Т—термодинамическая температура, m—химический потенциал;m не зависит от энергии, а определяется только температурой и плотностью числа частиц

Идеальный газ из фермионов —ферми-газ — описываетсяквантовой статистикой Ферми — Дирака. Распределение фермионов по энергиям имеет вид

(2)

где áNiñ — среднее число фермионов в квантовом состоянии с энергией Еi, m — хи­мический потенциал.

В отличие от (1) m может иметь положительное значение (это не приводит к отрицательным значениям чисел áNiñ). Это распределение называется распределением Ферми — Дирака.

Если >>1, то распределения Бозе — Эйнштейна (1) и Ферми — Дирака (2) переходят в классическое распределение Максвелла — Больцмана:

(3)

где

(4)

Таким образом, при высоких температурах оба «квантовых» газа ведут себя подобно классическому газу.

Вырожденный электронный газ в металлах. Энергия и уровень Ферми.

Система частиц называетсявырожденной, если ее свойства существенным образом отличаются от свойств систем, подчиняющихся классической статистике. Поведение как бозе-газа, так и ферми-газа отличается от классического газа, они являются вырожденными газами. Вырождение газов становится существенным при весьма низ­ких температурах и больших плотностях.

Параметром вырождения называется вели­чина А. При АТ0, то поведение системы частиц (газа) описывается классическими за­конами.

Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми — Дирака. Если m0 химический поте­нциал электронного газа при Т=0 К, то, согласно, среднее число áN(E)ñ электронов в квантовом состоянии с энергией Е равно

(1)

Для фермионов (электроны являются фермионами) среднее число частиц в квантовом состоянии и вероятность заселенности квантового состояния совпадают, так как кван­товое состояние либо может быть не заселено, либо в нем будет находиться одна частица. Это означает, что для фермионов áN(E=f(E), где f(E) — функция рас­пределения электронов по состояниям.

При T=0 К функция распределения áN(E)ñ = 1, если Em0. График этой функции приведен на рис. 1, а. В области энергий от 0 до m0 функция áN(E)ñ равна единице.

При E=m0 она скачкообразно изменяется до нуля. Это означает, что при Т=0К все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния с энергией E=m0, заполнены электронами, а все состояния с энергией, большей m0, свободны.

Следовательно, m0 есть не что иное, как максималь­ная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при 0 К. Эта максимальная кинетическая энергия называетсяэнергией Ферми и обозна­чается ЕF (ЕF=m0).

Поэтому распределение Ферми — Дирака обычно записывается в виде

(2)

Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называетсяуровнем Ферми. Уровню Ферми соответствует энергия Ферми ЕF, которую имеют электроны на этом уровне.

Уровень Ферми, очевидно, будет тем выше, чем больше плотность электронного газа. Работу выхода электрона из металла нужно отсчитывать не от дна «потенциальной ямы», как это делалось в классической теории, а от уровня Ферми, т. е.

от верхнего из занятых электронами энергетических уровней.

Для металлов при не слишком высоких температурах выполняется неравенство kT ЕF — больше нуля. В тепловом движении участвует лишь небольшое число электронов, например при комнатной температуре Т»300 К и температуре вырождения T0=3×104 К, — это 10–5 от общего числа электронов.

Если (Е–ЕF)>> («хвост» функции распределения), то единицей в знаменателе можно пренебречь по сравнению с экспонентой и тогда распределение Фер­ми — Дирака переходит в распределение Максвелла — Больцмана. Таким образом, при (Е–ЕF)>>kT, т.е. при больших значениях энергии, к электронам в металле применима классическая статистика, в то же время, когда (Е–ЕF)

Источник: https://megalektsii.ru/s12816t6.html

Booksm
Добавить комментарий