Симметрия волновой функции относительно перестановки электронов

Симметрия волновой функции относительно перестановки электронов

Симметрия волновой функции относительно перестановки электронов

Пусть система, содержит две одинаковые частицы. В стационарном состоянии волновая функция от времени не зависит, представим ее как: $\psi (q_1,\ q_2)$. При этом если не учитываются спины частиц $q_1$ — три пространственные координаты одной частицы, $q_2$ — координаты второй частицы. (Если требуется учесть спин, то к пространственным координатам добавляют спиновые координаты).

При перестановке местами частиц $1$ и $2$, получится волновая функция $\psi \left(q_2,\ q_1\right).$ Такая операция может быть представлена, как воздействие линейного оператора $\hat{P}$ на функцию $\psi (q_1,\ q_2)$. Такой оператор называется оператором перестановки:

Проведем перестановку еще раз, получим:

Из выражения (2) следует, что ${\hat{P}}2=1$, значит $\hat{P}=\pm 1.\ $Значит, допустимыми являются волновые функции видов:

Если волновая функция неизменна (3) при перестановке частиц, ее называют симметричной (это обозначено индексом $s$). Выражение (4) дает нам определение ассиметричной функции, такая функция у нас имеет индекс $a$. Она меняет знак в случае перестановки одинаковых частиц.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Данные результаты обобщаются для систем имеющих любое количество одинаковых частиц. Тогда симметрия или асимметрия проявляется при перестановке любых двух частиц.

Определение 1

Частицы, состояния которых описываю при помощи симметричных волновых функций, называются бозе-частицами (бозонами). Частицы, в описаниях которых применяют антисимметричные волновые функции — фермионы (частицы ферми).

Сделаем обобщение для системы из $N$ частиц. $\psi$ -функция для системы из $N$ частиц:

Электроны являются фермионами, следовательно, их состояния описываются при помощи антисимметричных волновых функций. В выражении (5) обозначаем совокупность всех координат и всех спиновых переменных как $q_i$ данных $N$ электронов.

Если рассмотреть систему невзаимодействующих фермионов, то антисимметричная волновая функция систему, состоящую из $N$ частиц, можно описать в виде:

Рисунок 1.

где $\psi_i\left(q_i\right)$ — волновые функции, описывающие поведение одной частицы. Волновая функция для множества частиц, записанная в виде (6) названа детерминантом Слэтера.

При использовании детерминантной записи перестановки частиц то же самое, что перестановки двух столбцов в определителе (6).

Мы помним, что перестановка столбцов изменит знак детерминанта, что будет соответствовать тому, что волновая функция является антисимметричной.

Если одинаковые электроны не взаимодействуют, то можно рассматривать не только состояние системы в целом, но и говорить о состоянии одной частицы.

Так, говорят: одна частица пребывает в состоянии $\psi_a,\ $а другая — в $\psi_b$.

В системе одинаковых фермионов, к которым относятся электроны, не может быть двух частиц, которые находились бы в одном и том же состоянии. Данный постулат называют принципом или запретом Паули.

В смысле ясности и точности принцип Паули проигрывает принципу антисимметрии волновых функций. Принцип Паули сформулирован для состояний отдельных частиц, тогда как принцип антисимметрии выполняется при наличии взаимодействия частиц. Принцип антисимметрии волновых функций фермионов иногда называют обобщенным принципом Паули.

Сформулируем требование: Система из $N$ электронов должна иметь определенный суммарный спин. Вспомним, что для одного электрона любой оператор, который действует на спиновую переменную можно представить как линейную комбинацию трех операторов: ${\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_z$. При этом выполняются равенства:

Рисунок 2.

где $r$ — система $3$ пространственных координат, $\sigma $ — спиновая переменная, принимающая два значения (например, $\sigma =1$ и $\sigma =-1$). Рассматривая волновую функцию как состоящую из двух компонент ($\psi \left(r,1\right)\ и\ \psi \left(r,-1\right)$) можно записать:

Рисунок 3.

При этом операторы:

будут удовлетворять перестановочным соотношениям:

Рисунок 4.

Перестановочные соотношения (10) определяют свойства момента количества движения (в единицах $\hbar $). Их можно считать операторами компонент собственного момента количества движения электрона. Если электронов много, то операторы ${\sigma }_{lx},{\sigma }_{ly},{\sigma }_{lz}$, действующие на спиновую переменную электрона с номером $l$ можно записать как:

Рисунок 5.

Операторы компонент спинового момента количества движения совокупности электронов (в единицах $\hbar $) выразим как:

Рисунок 6.

Данные операторы удовлетворяют перестановочным соотношениям (10). Из них следует, что оператор:

будет коммутировать с каждым из операторов $s_x$, $s_y,\ s_z$. Собственные значения этого оператора равны $s(s+1)$, где $s$ — равна половине целого неотрицательного числа. При известном $s$, собственные значения каждого из операторов $s_x$, $s_y,\ s_z$ изменяются как:

Требование, чтобы система из $N$ электронов имела определённый результирующий спин, можем записать как:

Пример 1

Задание: Покажите, что принцип запрета выражается в виде свойства антисимметрии волновой функции.

Решение:

Рассмотрим систему из двух электронов. Допустим, что положение электрона $1$ определяется координатой $x_1$, положение электрона $2$ определяется координатой$\ x_2.$ При этом волновая функция для подобной системы будет записана как: $\psi \left(x_1,\ x_2\right).\ \ $Переставим частицы местами и запишем свойство антисимметрии волновой функции:

\[\psi \left(x_1,\ x_2\right)=-\psi \left(x_2,\ x_1\right)\left(1.1\right).\]

Если оба электрона находятся в одном месте, то:

\[x_1=x_2=x_0\left(1.2\right).\]

при этом волновая функция имеет вид: $\psi \left(x_0,\ x_0\right)$. Так как для фермионов выполняется условие (1.1), то имеем:

\[\psi \left(x_0,\ x_0\right)=-\psi \left(x_0,\ x_0\right)\left(1.3\right).\]

Из всех чисел такому выражению может удовлетворять только ноль.

Получается, что волновая функция системы из двух электронов, которая подчиняется принципу антисимметрии, равна нулю, когда координаты электронов одинаковы (в том числе и спины), следовательно, два электрона не могут даже находиться слишком близко. Получаем, что свойство антисимметрии волновой функции в данном случае эквивалентно принципу запрета.

Пример 2

Задание: В системе фермионов при перемене местами частиц волновая функция изменяет знак, это значит, что изменяется состояние системы?

Решение:

Изменение знака волновой функции на противоположный перемены состояния системы не означает, так как физический смысл в квантовой механике имеет не сама волновая функция, а квадрат ее модуля.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/predmet_i_zadachi_atomnoy_fiziki/simmetriya_volnovoy_funkcii_otnositelno_perestanovki_elektronov/

Принцип неразличимости одинаковых частиц в квантовой механике. Симметричные и антисимметричные волновые функции. Фермионы и Бозоны

Симметрия волновой функции относительно перестановки электронов

Современная трактовка корпускулярно-волнового дуализма может быть выражена словами: для атомного объекта существует потенциальная возможность проявлять себя, в зависимости от внешних условий, либо как волна, либо как частица, либо промежуточным образом. Именно в этой потенциальной возможности различных проявлений свойств, присущих микрообъекту, и состоит дуализм волна — частица.

Принцип неразличимости тождественных частиц. Фермионы и бозоны

Если перейти от рассмотрения движения одной микрочастицы (одного электрона) к многоэлектронным системам, то проявляются особые свойства, не имеющие аналога в классической физике.

Пусть квантово-механическая система состоит из одинаковых частиц, например электронов.

Все электроны имеют одинаковые физические свойства — массу, электрический заряд, спин и другие внутренние характеристики (например, квантовые числа). Такие частицы называют тождественными.

Необычные свойства системы одинаковых тождественных частиц проявляются в фундаментальном принципе квантовой механики — принципе неразличимости тождественных частиц, согласно которому невозможно экспериментально различить тождественные частицы.

В классической механике даже одинаковые частицы можно различить по положению в пространстве и импульсам.

Если частицы в какой-то момент времени пронумеровать, то в следующие моменты времени можно проследить за траекторией любой из них.

Классические частицы, таким образом, обладают индивидуальностью, поэтому классическая механика систем из одинаковых частиц принципиально не отличается от классической механики систем из различных частиц.

В квантовой механике положение иное. Из соотношения неопределенностей вытекает, что для микрочастиц вообще неприменимо понятие траектории; состояние микрочастицы описывается волновой функцией, позволяющей вычислять лишь вероятность (|y|2) нахождения микрочастицы в окрестностях той или иной точки пространства.

Если же волновые функции двух тождественных частиц в пространстве перекрываются, то разговор о том, какая частица находится в данной области, вообще лишен смысла: можно лишь говорить о вероятности нахождения в данной области одной из тождественных частиц.

Таким образом, в квантовой механике тождественные частицы полностью теряют свою индивидуальность и становятся неразличимыми.

Следует подчеркнуть, что принцип неразличимости тождественных частиц не является просто следствием вероятностной интерпретации волновой функции, а вводится в квантовую механику как новый принцип, который, как уже указывалось, является фундаментальным.

Принимая во внимание физический смысл величины ||2, принцип неразличимости тождественных частиц можно записать в виде

(226.1)

где x1 и х2 — соответственно совокупность пространственных и спиновых координат первой и второй частиц. Из выражения (226.1) вытекает, что возможны два случая:

т. е. принцип неразличимости тождественных частиц ведет к определенному свойству симметрии волновой функции. Если при перемене частиц местами волновая функция не меняет знака, то она называется cимметричной, если меняет — антисимметричной.

Изменение знака волновой функции не означает изменения состояния, так как физический смысл имеет лишь квадрат модуля волновой функции. В квантовой механике доказывается, что характер симметрии волновой функции не меняется со временем.

Это же является доказательством того, что свойство симметрии или антисимметрии — признак данного типа микрочастиц.

Установлено, что симметрия или антисимметрия волновых функций определяется спином частиц. В зависимости от характера симметрии все элементарные частицы и построенные из них системы (атомы, молекулы) делятся на два класса.

Частицы с полуцелым спином (например, электроны, протоны, нейтроны) описываются антисимметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Ферми — Дирака; эти частицы называются фермионами. Частицы с нулевым или целочисленным спином (например, p-мезоны, фотоны) описываются симметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна; эти частицы называются бозонами.

Сложные частицы (например, атомные ядра), составленные из нечетного числа фермионов, являются фермионами (суммарный спив — полуцелый), а из четного — бозонами (суммарный спин целый).

Зависимость характера симметрии волновых функций системы тождественных частиц от спина частиц теоретически обоснована швейцарским физиком В. Паули (1900—1958), что явилось еще одним доказательством того, что спин является фундаментальной характеристикой микрочастиц.

Принцип Паули. Распределение электронов в атоме по состояниям

Если тождественные частицы имеют одинаковые квантовые числа, то их волновая функция симметрична относительно перестановки частиц.

Отсюда следует, что два одинаковых фермиона, входящих в одну систему, не могут находиться в одинаковых состояниях, так как для фермионов волновая функция должна быть антисимметричной. Обобщая опытные данные, В.

Паули сформулировал принцип, согласно которому системы фермионов встречаются в природе только в состояниях, описываемых антисимметричными волновыми функциями (квантово-механическая формулировка принципа Паули).

Из этого положения вытекает более простая формулировка принципа Паули, которая и была введена им в квантовую теорию (1925) еще до построения квантовой механики: в системе одинаковых фермионов любые два из них не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии. Отметим, что число однотипных бозонов, находящихся в одном и том же состоянии, не лимитируется.

Напомним, что состояние электрона в атоме однозначно определяется набором четырех квантовых чисел:

Распределение электронов в атоме подчиняется принципу Паули, который может быть использован в его простейшей формулировке: в одном и том же атоме не может быть более одного электрона с одинаковым набором четырех квантовых чисел п, l, ml и тs т. е.

где Z(п, l, ml, тs) — число электронов, находящихся в квантовом состоянии, описываемом набором четырех квантовых чисел: п, l, ml, тs. Таким образом, принцип Паули утверждает, что два электрона, связанные в одном и том же атоме, различаются значениями по крайней мере одного квантового числа.

Согласно формуле (223.8), данному n соответствует n2 различных состояний, отличающихся значениями l и ml. Квантовое число тs может принимать лишь два значения (± ½). Поэтому максимальное число электронов, находящихся в состояниях, определяемых данным главным квантовым числом, равно

Совокупность электронов в многоэлектронном атоме, имеющих одно и то же главное квантовое число n, называют электронной оболочкой. В каждой из оболочек электроны распределяются по подоболочкам, соответствующим данному l.

Поскольку орбитальное квантовое число принимает значения от 0 до n–1, число подоболочек равно порядковому номеру n оболочки. Количество электронов в подоболочке определяется магнитным и магнитным спиновым квантовыми числами: максимальное число электронов в подоболочке с данным l равно 2(2l+1).

Обозначения оболочек, а также распределение электронов по оболочкам и подоболочкам представлены в табл. 6.

Таблица 6

Применение уравнения Шредингера к частице в потенциальном ящике и к линейному гармоническому осциллятору. Уровни энергии и волновые функции. Нулевая энергия колебаний. Возможность прохождения частицы через потенциальный барьер в квантовой механике (тунельный эффект). Автоэлектронная эмиссия.

Операторы в квантовой механике. Эрмитовы операторы. Изображение физических величин операторами. Собственные функции и собственные значения операторов. Основные постулаты квантовой механики. Средние значения и вероятности определенных значений механических величин.

Операторы момента импульса и его проекции.

Источник: https://poisk-ru.ru/s22019t14.html

41

Симметрия волновой функции относительно перестановки электронов

41. Принциптождественности частиц. Свойствасимметрии волновых функций относительноперестановки тождественных частиц.Фермионы и бозоны. Принцип Паули.

В природе имеетсябольшое число микрочастиц. Частицыодного сорта обладают разными энергиями,разной скоростью и импульсами, но ониимеют одну массу, заряд, спин и т.д. впределах ошибки измерений. При изучениичастиц одного сорта всегда возникалвопрос: “Все ли частицы одинаковы?”

1. Имеется ли вчастицах одного сорта хотя бы парачастиц, имеющих различный параметр(хотя бы один).

2. Частицы данногосорта тождественны по всем параметрам.

Многочисленныеэксперименты подтвердили именно вторуюситуацию. В эксперименте не нашлось ниодной пары частиц разных хотя бы поодному параметру.

Дадимквантово-механическое описание этогофакта:

Рассмотрим системуN– тождественных частиц, тогда

(1)

под обобщеннойкоординатой каждой частицы будемпонимать три обычные координаты испиновую координату

(2)

запишем :

(3)

-оператор кинетической энергии i– й частицы

-оператор потенциальной энергиивзаимодействия i– й и k— й частицы

— потенциальнаяэнергия системы частиц во внешнем поле

Оператор полнойэнергии системы N– тождественных частиц зависит откоординат каждой частицы и в общемслучае от времени

(3’)

В квантово-механическомописании мы использовали вторую ситуацию,т.е. считали, что частицы одного сортаобладают одинаковой массой, спином идр. В общем случае положение отождественности микрочастиц одногосорта можно сформулировать на основеинвариантности гамильтониана относительноперестановки каких-либо двух частиц.

Принциптождественности:

Если гамильтониансистемы частиц не меняется при перестановкелюбой пары частиц, то данная системачастиц тождественна. Аналитически этоможно записать следующим образом:

(4)

Введенный признактождественности микрочастиц на языкегамильтониана отражается па свойствахволновой функции, описывающих состояниемикрочастиц. Введем оператор перестановкидвух частиц:

— переставляет i– ю и k– ю частицы

(5)

Подействуемоператором перестановки дважды наволновую функцию:

в результатеполучили ту же самую волновую функцию,т.е.

— собственнаяфункция оператора квадрата перестановки

1(единица) –собственное значение оператора квадратаперестановки (6)

(7)

подействуем справаоператором перестановки еще раз:

— число, котороеможно вносить и выносить из оператораперестановки

используя (7),получим

(8)

— собственноезначение оператора квадрата перестановки

из (6) видно, что (9)

тогда (10)

1.

(11)

видим, что волноваяфункция получается симметричнойотносительно перестановки двух частиц.

Частицы, волноваяфункция которых не меняет знак приперестановке любой пары частиц, называютсябозе-частицами.

2.

(12)

получилиантисимметричную волновую функцию.

Частицы, волноваяфункция которых меняет знак приперестановке любой пары частиц, называютсяферми-частицами.

Т.к. возможны двасобственных значения оператораперестановки, в природе возможны частицыдвух сортов. Их назвали бозе- иферми-частицами.

Существует теоремао связи спина со статистикой частицы.Из этой теоремы следует:

Бозе-частицыявляются частицами с целочисленнымспином. Это значит, что спин частицыможет быть равен 0 или кратен постояннойПланка (S=0,S=).

Пример бозе-частиц:фотоны, фононы, -мезоны.

Ферми-частицамиобладают полуцелым спином ()

Пример ферми-частиц:электроны, протоны, нейтроны, Σ-гиперон().

Принцип Паули былсформулирован в квантовой механике наоснове спектроскопических данных.Первая формулировка принципа Паули:

В одном состояниине может находиться более одногоэлектрона (частицы).

Если будемрассматривать электрон в связномсостоянии, то волновая функцияхарактеризуется n,l,m,ms:

n= 1, 2 …

l=

m=

ms=

В свободномсостоянии:

Принцип Паулиможно сформулировать следующим образом:

В одном квантовомсостоянии не может быть двух или болееэлектронов, описываемых одним и тем женабором квантовых чисел.

Данный принциппозволяет качественно правильнообъяснить заполняемость атомных оболочекэлектронами, т.е. понять строение атомови распределение электронов в таблицеМенделеева.

Однако, даннаяформулировка несколько упрощена, т.к.с точки зрения квантовой механикинепонятно как в системе большого числаэлектронов рассматривать квантовоесостояние, соответствующее одномуэлектрону.

Также непонятно, как в этосостояние (состояние одного электрона)помещать другой электрон. При этомобразуется двухэлектронная система ипервоначальное состояние электронадолжно измениться за счет межэлектронноговзаимодействия.

Можно освободиться отэтих неясностей, дав третью формулировку:

Знаем, что электроны- ферми-частицы. Можно производитьпроцесс измерения квантовых чисел.

Этозначит, что при измерении квантовогочисла nмы измеряем полную энергию, при измеренииквантового числаlизмеряем квадрат орбитального моментаимпульса, при измерении m– проекциюмомента импульса, а при измерении ms– проекциюспина. А для свободного электрона будемизмерять три квантовых числаи .

В системе изодинаковых ферми-частиц в результатеизмерения полного набора квантовыхчисел не может быть получено два и болееодинаковых набора, относящихся котдельным ферми-частицам в один и тотже момент времени.

Докажем принципПаули:

Будем доказыватьдля системы двух ферми-частиц:

В результатеизмерения полного набора квантовыхчисел у первого электрона, получимволновую функцию

— в связном состоянии,

— в свободномсостоянии,

— в связном состоянии,

— в свободномсостоянии.

В результатеизмерения полного набора квантовыхчисел у второго электрона, получимволновую функцию

,- волновые функции, соответствующегооператора полной энергии, т.е. составляютсистему ортонормированных функций илиполную систему ортогональных функций.

Поэтому системуфункций двух ферми-частиц можемпредставить как суперпозицию ортогональныхфункций, т.е. разложить в ряд по полнойсистеме ортогональных функций:

(1)

— волновая функциясистемы двух ферми-частиц, а волновыефункции ферми-частиц антисимметричны.

(2)

(3)

в этом разложении- коэффициенты разложения, а — вероятность обнаружить первую частицув состоянии n1, вторую частицу – в состоянии n2

Под n1для связного состояния понимаем .

Под n2также понимаем .Т.е. спектр дозволенных значений квантовыхчисел первой частицы совпадает соспектром дозволенных значений второйчастицы. А т.к. суммы n1и n2пробегают один и тот же ряд значений,то индексы суммирования можно менятьместами. Это значит, что

(3’)

(4)

Рассмотрим случай,когда n1=n2=n,тогда

(5)

Следовательно,вероятность обнаружить два одинаковыхнабора квантовых чисел при измерениидвух наборов квантовых чисел равнанулю. Такое событие невозможно, т.е.принцип Паули доказан.

  1. Построение волновых функций системы ферми-частиц.

Рассмотрим двеферми-частицы: состояние первой частицыописывается волновой функцией ,второй частицы — .

Эти волновыефункции являются собственными волновымифункциями соответствующих операторовполной энергии и составляют полнуюсистему ортогональных функций, тогдаволновую функцию системы двух ферми-частицможем представить как суперпозициюортогональных функций, т.е. разложитьв ряд по полной системе ортогональныхфункций:

рассмотрим суммупо n1и получим две суммы: по n1>n2 и n1< n2(n1и n2пробегают один и тот же ряд значений,следовательно их можно поменять местами)

(1)

Данное выражениеговорит о том, что в состоянии n1может находиться первая частица, а всостоянии n2– вторая. Однако, может быть и наоборот.

Если мы возьмемквадрат модуля этого выражения, тоинтеграл от квадрата модуля первогослагаемого будет численно равен интегралуот квадрата модуля второго слагаемого.При интегрировании будут возникатьперекрестные слагаемые.

(1’)

(2)

При решенииконкретных физических задач с хорошейточностью можно считать, что если перваячастица находится в квантовом состоянии,характеризующемся набором n1,то при помещении в это состояние частицы, характеризующейся набором квантовыхчисел n2,состояние первой частицы не изменится,т.е. в системе двух ферми-частиц неучитывается случай взаимодействия этихчастиц между собой.

(3)

2. Построениеволновых функций системы бозе-частиц

Рассмотрим двебозе-частицы:

состояние первойчастицы описывается волновой функцией,второй частицы — .Эти волновые функции ортонормированны:

(4)

(5)

А если не учитыватьвзаимодействие бозе-частиц между собой,то

(6)

Источник: https://studfile.net/preview/2419728/

Booksm
Добавить комментарий