Равновесное тепловое излучение

1.1. Тепловое излучение

Равновесное тепловое излучение

Тепловое излучение — это электромагнитное излучение, испускаемое веществом за счет запасов его внутренней (тепловой) энергии.

Поэтому характеристики теплового излучения (интенсивность, спектральный состав) зависят от температуры излучающего вещества. Все прочие виды электромагнитного излучения существуют за счет других, не тепловых, форм энергии.

Тепловое излучение — единственный вид излучения, которое может находиться в термодинамическом равновесии с веществом и само быть при этом в состоянии термодинамического равновесия.

Ниже будет рассматриваться главным образом термодинамически равновесное тепловое излучение.

Предположим, что нагретое тело помещено в полость, стенки которой поддерживаются при некоторой постоянной температуре  Если в полости нет никакой среды (газа), то обмен энергией между оболочкой и телом происходит только за счет процессов поглощения, испускания и отражения теплового излучения веществом стенки полости.

С течением времени температура тела станет равной температуре оболочки и наступит динамическое равновесие — в единицу времени тело будет поглощать столько же энергии, сколько и излучать. Очевидно, что при этом и излучение, заполняющее полость, будет находиться в равновесии, как с телом, так и со стенками полости.

Допустим, что равновесие между телом и излучением нарушено и тело излучает энергии больше, чем поглощает. Тогда температура тела и его внутренняя энергия начнут убывать, что приведет к уменьшению излучаемой телом энергии.

Температура тела будет понижаться до тех пор, пока количество излучаемой телом энергии не станет равным количеству поглощаемой энергии. Если равновесие нарушится в другую сторону, то есть тело будет излучать меньше энергии, чем поглощает, то температура тела будет возрастать до тех пор, пока снова не установится равновесие.

Таким образом, нарушение равновесия между телом и тепловым излучением вызывает процессы, направленные в сторону восстановления равновесия.

Рис. 1.1. Нагретое тело в полости с идеально отражающими стенками

Представим теперь то же самое тело, помещенное внутри другой оболочки, отличающейся размерами, формой или материалом, из которого она сделана. Будем поддерживать ту же самую температуру оболочки.

В системе пойдут аналогичные процессы установления равновесия, в результате которых тело внутри оболочки нагреется до той же самой температуры Т. Для тела внутри оболочки ничего не изменилось: оно находится при той же самой температуре, что и прежде, и, следовательно, будет излучать ту же самую энергию.

Так как тело находится в равновесии с излучением внутри оболочки, мы приходим к выводу, что характеристики этого излучения не зависят от свойств оболочки, но лишь от ее температуры. Это «стандартное», термодинамически равновесное излучение называется излучением абсолютно черного тела.

  О том, откуда такое название и что такое абсолютно черное тело будет сказано ниже.  Равновесное излучение можно охарактеризовать плотностью энергии , зависящей только от температуры.

Плотность энергии — это количество энергии излучения, приходящееся на единицу объема.

Тепловое излучение состоит из электромагнитных волн разных частот. Полная плотность энергии складывается из плотностей энергий этих волн. Для более детальной характеристики излучения вводят дифференциальную величину — спектральную плотность энергии излучения . 

Спектральная плотность энергии излучения — это энергия излучения в единице объема, приходящаяся на единичный интервал частот.

Иными словами, если обозначить через  энергию излучения в единице объема, приходящуюся на волны с частотами от  до , то

В системе СИ спектральная плотность энергии измеряется в следующих единицах:

Плотность энергии есть сумма спектральных плотностей энергии по всем возможным частотам, то есть выражается интегралом

Итак, в полости, существует стандартное излучение с плотностью энергии . Рассмотрим теперь тело, находящееся с ним в равновесии.

Энергетическая светимость R (интегральная плотность потока энергии излучения) — равна энергии, испускаемой в единицу времени единицей поверхности излучающего тела по всем направлениям.
В системе СИ энергетическая светимость измеряется в :

Энергетическая светимость зависит от температуры тела. Тепловое излучение состоит из волн различных частот.

Для характеристики теплового излучения важно знать, какая энергия, в каком диапазоне частот излучается телом.

Поэтому вводят дифференциальную характеристику , называемую испускательной способностью тела, являющуюся  спектральной плотностью потока энергии излучения. 

Испускательная способность тела (спектральная плотность потока энергии излучения) — это количество энергии, испускаемой в единицу времени единицей поверхности тела в единичном интервале частот по всем направлениям.

Чтобы получить энергетическую светимость тела, надо проинтегрировать испускательную способность по всем частотам:

В системе СИ испускательная способность тела (спектральная плотность потока энергии излучения) измеряется в Дж/м2:

Нагретое тело не только испускает энергию, но и поглощает ее. Для описания способности тела поглощать энергию падающего на его поверхность излучения вводится величина, которая так и называется: поглощательная способность.

Поглощательная способность  (спектральный коэффициент поглощения)— равна отношению энергии поглощенной поверхностью тела к энергии, падающей на поверхность тела. Обе энергии (падающая и поглощенная) берутся в расчете на единицу площади, единицу времени и единичный интервал частот.

Поглощательная способность равна той доли, которую — в заданном спектральном интервале  — поглощенная энергия излучения  составляет от падающей  энергии излучения. Другими словами:

Очевидно, что поглощательная способность тела является безразмерной величиной, не превышающей единицу.

Абсолютно черное тело — это тело, способное поглощать при любой температуре все падающее на него излучение всех частот.

Для абсолютно черного тела

Тел с такими свойствами в природе не бывает, это очередная физическая идеализация.

Рис. 1.2. Спектр излучения абсолютно чёрного тела (чёрная линия) при температуре 5250 °С хорошо моделирует излучение Солнца. Красным цветом показаны результаты измерений на уровне моря, жёлтым — в верхней атмосфере.

Будем поочередно помещать в полость различные тела. Все они находятся в одинаковых условиях, в окружении одного и того же излучения. Обозначим энергию, падающую в единицу времени на единицу поверхности тела в единичном интервале частот. Согласно определению поглощательной способности тело поглощает энергию   В состоянии равновесия эта энергия должна быть равна испущенной телом энергии:

(1.1)

Различные тела в полости имеют разную поглощательную способность, следовательно, у них будет и разная испускательная способность, так что отношение rw /аw не зависит от конкретного тела, помещенного в полость:

(1.2)

С другой стороны, испускательная способность тела не зависит от полости, в которую оно помещено, но лишь от свойств тела. Таким образом, функция есть универсальная функция частоты и температуры, не зависящая ни от свойств полости, ни от характеристик тела в ней. Соотношение (1.2) выражает закон Кирхгофа.

1.1 Походная фляга или закон Кирхгофа.

Отношение испускательной и поглощательной способности тела не зависит от природы тела. Для всех тел функция  есть универсальная функция частоты и температуры (функция Кирхгофа).

Строго говоря, сформулированное выше утверждение справедливо в условиях термодинамического равновесия, наличие которого здесь и ниже всегда предполагается.

Для абсолютно черного тела

откуда следует физическая интерпретация универсальной функции Кирхгофа : она представляет собой испускательную способность абсолютно черного тела, то есть

(Характеристики абсолютно черного тела будем помечать звездочкой, а само тело называть нередко просто «черным», а не абсолютно черным).

Рис. 1.3. Густав Роберт Кирхгоф (1824–1887)

Установим теперь связь между испускательной способностью черного тела и спектральной плотностью  стандартного излучения в полости (выше мы назвали его излучением черного тела).

Сравнивая размерности этих величин, видим, что отношение  имеет размерность скорости. Единственная величина, имеющая размерность скорости, которая ассо­циируется с электромагнитными волнами в вакууме, — это скорость света .

Поэтому искомое соотношение должно иметь вид

Найдем безразмерный коэффициент пропорциональности  в этой формуле. В качестве модели абсолютно черного тела возьмем замкнутую полость с небольшим отверстием s (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Полocть с небольшим отверстием — реализация черного тела

1.2. Как белое сделать черным. Natürlich!

Луч света, падающий внутрь этой полости через отверстие s, претерпевает многократное отражение. При каждом отражении стенки полости поглощают часть энергии.

Поэтому интенсивность луча света, выходящего из отверстия, во много раз меньше интенсивности входящего луча. Чем больше отношение площади полости к площади отверстия, тем ближе такое тело к абсолютно черному.

Поэтому отверстие в полости излучает как абстрактное черное тело.

С другой стороны, внутри полости существует равновесное тепловое излучение со спектральной плотностью U. Подсчитаем энергию dW0 , выходящую из отверстия площадью s в телесном угле  в направлении, заданном углом . Во-первых, в данном направлении за время  может выйти только энергия, содержащаяся в наклонном цилиндре с площадью основания s и длиной образующей с (рис. 1.5-1).

Рис. 1.5. Тепловое излучение из отверстия в полости 

Объем такого цилиндра равен

Содержащаяся в нем энергия теплового излучения равна

Но не вся она распространяется под углом . Тепловое излучение распространяется по всем направлениям с равной вероятностью (рис. 1.5-2). Поэтому в телесный угол  попадет только часть энергии (мы обозначим эту долю как ), пропорциональная величине телесного угла

Так как полный телесный угол равен , имеем

(1.3)

Теперь осталось проинтегрировать  по углам  и , чтобы получить полную энергию , выходящую из отверстия полости. Обращаем внимание: излучение падает на отверстие только из левого полупространства, так что полярный угол меняется в пределах от нуля до  (угол  меняется как обычно от 0 до ). Интегрирование по  дает множитель , интегрируя по , окончательно получаем:

(1.4)

Разделив  на время  и площадь отверстия s, получим энергетическую светимость черного тела R*, а также искомый коэффициент пропорциональности

Итак, энергетическая светимость черного тела связана с плотностью энергии в полости соотношением 

(1.5)

Аналогичное соотношение справедливо для спектральных характеристик излучения черного тела:

(1.6)

Таким образом, универсальная функция   в законе Кирхгофа, представляющая собой испускательную способность черного тела, с точностью до множителя с/4 совпадает также со спектральной плотностью равновесного теплового излучения.

До сих пор мы относили спектральные характеристики теплового излучения к единичному интервалу частоты. Можно определить аналогичные характеристики, отнесенные к единичному интервалу длин волн. Так, черное тело испускает в интервале частот   энергию . Эту же энергию можно записать как . Интервалу частот  соответствует интервал длин волн . Учитывая соотношения

находим

(1.7)

где знак минус указывает на то, что с возрастанием частоты  длина волны  убывает. Поэтому в дальнейшем, в соотношениях связывающих длины интервалов, знак минус будем опускать. Таким образом,

(1.8)

или

(1.9)

Аналогичным образом можно записать выражения для спектральной плотности энергии.

Источник: https://online.mephi.ru/courses/physics/atomic_physics/data/course/1/1.1.html

Равновесное тепловое излучение

Равновесное тепловое излучение

Все тела способны излучать электромагнитные волны. Тела с высокими температурами могут светиться, а при обычной температуре они испускают только инфракрасные волны.

Определение 1

Тепловое излучение – это электромагнитное излучение, возникающее за счет внутренней энергии излучающего тела.

Такое излучение находится в зависимости от температуры тела и его оптических свойств. Только тепловое излучение может находиться в термодинамическом равновесии с веществом.

Образование равновесного теплового излучения происходит при помощи адиабатически изолированной системы, когда все тела системы обладают одинаковой температурой.

Состояние равновесия становится причиной для осуществления излучения и расхода телом энергии, которая не компенсируется за счет энергии, излучаемой другими телами данной системы, а поглощается телом.

Равновесное правило теплового излучения характеризуется правилом Прево:

Тепловое излучение и его характеристики

Определение 2

Находящиеся два тела при одинаковой температуре могут поглотить за определенный промежуток времени разные количества энергии, тогда их тепловое излучение будет неодинаковым.

Тело характеризуется относительной способностью к поглощению тепла, то есть монохроматическим коэффициентом поглощения или поглощательной способностью Av,T.

С его помощью возможно определение доли энергии dWpad, которая доставляется при помощи электромагнитных волн за единицу времени, приходящейся на единицу площади поверхности тела, поглощается телом dWpogl( предел нахождения частот волн от ν до ν+dν). Математическая запись выражения определения Aν,T выглядит таким образом:

Aν,T=dWpogldWpad (1).

Коэффициент является безразмерной величиной. Aν,T находится в зависимости от частоты излучения, температуры и материала тела, состояния поверхности и ее формы.

Распределение теплового излучения по частотам

Характеристики распределения энергии теплового излучения по частотам (спектру) – плотность энергетической освещенности тела Eν,T, излучательная способность тела Eλ,T. Существуют выражения, которые определяют данные величины, то есть:

Eν,T=dWdν (2) и Eλ,T=cλ2Eн,T (3),

Где dW является энергией теплового излучения единицы площади поверхности тела за единицу времени при частоте, находящейся в интервале от ν до ν+dν (длине волны от λ до λ+dλ). Излучательная способность тела зависит от частоты ν, температуры тела T, материала тела и его состояния поверхности.

При Aν,T=1 тело получило название черного. На самом деле существование абсолютно черных тел невозможно, но имеются тела, близкие к ним по оптическим свойствам (сажа в области видимого света). Есть модели абсолютно черного тела.

Она включает в себя маленькое отверстие в непрозрачной стенке замкнутой полости. Его излучение – это равновесное излучение, происходящее в изолированной области, стенки обладают постоянной температурой.

К излучению в полости такого тела относят сумму фотонов с энергией εi, равняющейся:

εi=hнi (4).

при наличии импульса:

pi=рνic (5), где h=1,05·10-34 Дж·с, νi является частотой электромагнитной волны, с=3·108 мс – скоростью света в вакууме.

Определение 3

Совокупность фотонов, находящихся в полости абсолютно черного тела, получила название фотонного газа.

Происходит непрерывное рождение и уничтожение фотонов. Отсюда следует, что при выводе их распределения по энергиям не существует ограничения в постоянстве. Уравнения для распределения фотонов по энергиям запишется таким образом:

nεi=1expβεi-1 (6), где β=1kT, k выражает постоянную Больцмана.

Формула распределения фотонов по частотам выражается как:

dnv=ν2Vπ2c31expβhν-1dν (7).

Запись энергии фотона hν,отсюда значение спектральной плотности энергии ωv получит вид:

ωv=hvVdnvdv=hv3π2c31expβhv-1 (8).

Выражение (8) обрело имя Планка.

Пример 1

Найти максимум спектральной плотности излучения.

Решение

Нахождение максимума спектральной плотности излучения происходит из уравнения вида:

ωv=hvVdnvdv=hv3π2c31expβhv-1 (1.1).

Произведем вычисления максимума, используя шкалу длин волн λ. Необходимо перейти от частот (1.1) к λ с применением соотношения. Получаем, что:

λ=2πcv (1.2).

Зафиксируем выражение вида:

ωvdн=-нλ2πcdλλ2 (1.3).

Учитывая 1.3, вид формулы распределения плотности энергии излучения по длинам волн изменится:

ωλ=1λ51exp2πchrTλ-1 (1.4).

Отсутствие постоянных множителей необходимо во избежание загромождения вычисления. Их наличие никак не повлияет на результат нахождения максимума. Максимум плотности излучения находится из условия экстремума, то есть:

∂ωλ∂λ=0 (1.5).

Далее необходимо найти производную от (1.4) по длине волны и приравнять выражение к нулю:

Tλmax=2πhc4,97·k=0,0029 К·м (1.6).

Ответ: максимум спектральной плотности находится в зависимости от температуры тела и рассчитывается по Tλmax=0,0029 К·м. Формулу (1.6) считают законом Вина с 0,0029=b, являющейся постоянной Вина.

Пример 2

Значение температуры одного абсолютно черного тела равняется T1. Оно считается источником теплового излучения. Необходимо определить температуру другого тела T2 при условии равнения длины волны, отвечающей за максимум его спектральной плотности излучения, на ∆λ больше, чем длина волны, соответствующей максимуму излучательной способности первого источника.

Решение

Для основы решения применяется закон Вина, который был получен в предыдущем задании, то есть:

Tλmax=b (2.1).

Необходимо записать выражения (2.1) для обоих источников излучения, причем выразить длину волны. Получаем:

λ1=bT1, λ2=bT2 (2.2).

По условию имеем:

λ2-л1=λ (2.3).

Произведем подстановку (2.2) в (2.3) и преобразуем получившееся выражение:

∆λ=bT2-bT1→∆λ+bT1=bT2→∆λT1+bT1=bT2→T2=bT1∆λT1+b.

Ответ: искомая температура второго тела T2=bT1∆λT1+b.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/fizika/termodinamika/ravnovesnoe-teplovoe-izluchenie/

Распределение теплового излучения по частотам

Характеристиками распределения энергии теплового излучения по частотам (по спектру) служат спектральная плотность энергетической светимости тела ($E_{u ,T}$) и излучательная способность тела ($E_{\lambda ,T}$). Выражения, определяющие эти величины имеют вид:

\[E_{u ,T}=\frac{dW}{du }\ (2)\]

и

\[E_{\lambda ,T}=\frac{с}{{\lambda }2}E_{н,T}\ \left(3\right),\]

где $dW$- энергия теплового излучения единицы площади поверхности тела, в единицу времени при частоте, которая находится в интервале от $u $ до $u $+d$u $ (длине волны от $\lambda $ до $\lambda $+d$\lambda $). Излучательная способность тела зависит от частоты ($u $), температуры тела (T), материала тела, состояния поверхности.

Если $A_{u ,T}=1$ тело называют абсолютно черным. В действительности абсолютно черных тел не существует, однако, есть тела близкие к абсолютно черному телу по оптическим свойствам (например, сажа, в области видимого света). Существуют модели абсолютно черного тела.

Такой моделью, наиболее совершенной является маленькое отверстие в непрозрачной стенке замкнутой полости. Излучение абсолютно черного тела — это равновесное излучение, которое происходит в замкнутой полости, ее стенки имеют постоянную температуру.

Излучение в полости такого тела — сумма фотонов с энергией (${\varepsilon }_i$) равной:

\[{\varepsilon }_i=\hbar н_i\ \left(4\right).\]

и импульсом:

\[p_i=\frac{\hbar {u }_i}{c}\ \left(5\right),\]

где $\hbar =1,05{\cdot 10}{-34}Дж\cdot с$, ${u }_i$- частота электромагнитной волны, с=$3{\cdot 10}8\frac{м}{с}$- скорость света в вакууме Совокупность фотонов, которые находятся в полости абсолютно черного тела называют фотонным газом. Фотоны непрерывно рождаются и уничтожаются. Следовательно, при выводе распределения фотонов по энергиям нет ограничения о постоянстве фотонов. Таким образом, выражение для распределения фотонов по энергиям имеет вид:

\[\left\langle n({\varepsilon }_i)\right\rangle =\frac{1}{{exp \left(\beta {\varepsilon }_i\right)\ }-1}\ \left(6\right),\]

где $\beta =\frac{1}{kT}$, k — постоянная Больцмана.

Распределение фотонов по частотам имеет вид:

\[dn_{u }=\frac{{u }2V}{{\pi }2c3}\frac{1}{{exp \left(\beta \hbar u \right)\ }-1}du \ \left(7\right).\]

Энергия фотона равна $\hbar u $, поэтому спектральная плотность энергии ($w_{u }$) имеет вид:

\[w_{u }=\frac{\hbar u }{V}\frac{dn_{u }}{du }=\frac{{\hbar u }3}{{\pi }2c3}\frac{1}{{exp \left(\beta \hbar u \right)\ }-1}\ (8)\]

Формула (8) носит имя Планка.

Пример 1

Задание: Найти максимум спектральной плотности излучения.

Решение:

Максимум спектральной плотности излучения можно найти, если в качестве основы для решения использовать уравнение:

\[w_{u }=\frac{\hbar u }{V}\frac{dn_{u }}{du }=\frac{{\hbar u }3}{{\pi }2c3}\frac{1}{{exp \left(\beta \hbar u \right)\ }-1}\ \left(1.1\right).\]

Вычислим максимум по шкале длин волн ($\lambda $). Для этого от частот в (1.1) перейдем к $\lambda $ используя соотношение:

\[\lambda =\frac{2\pi с}{u }\ \left(1.2\right).\]

Тогда можно записать следующее выражение:

\[w_{u }dн=-н_{\lambda }2\pi c\frac{d\lambda }{{\lambda }2}\ \left(1.3\right).\]

С учетом (1.3) выражение для распределения плотности энергии излучения по длинам волн примет вид:

\[w_{\lambda }\sim \frac{1}{{\lambda }5}\frac{1}{{exp \left(\frac{2\pi c\hbar }{kT\lambda }\right)\ }-1}\ \left(1.4\right).\]

В формуле не указаны постоянные множители, для того, чтобы не загромождать вычисления, так как они не повлияют на результат при нахождении максимума. Максимум плотности излучения найдем из условия экстремума, а именно:

\[\frac{\partial w_{\lambda }}{\partial \lambda }=0\ \left(1.5\right).\]

Найдем производную от (1.4) по длине волны, приравняем ее к нулю, получим:

\[T{\lambda }_{max}=\frac{2\pi \hbar c}{4,97\cdot k}=0,0029\ (К\cdot м)(1.6)\]

Ответ: Максимум спектральной плотности излучения зависит от температуры тела и может быть рассчитан по формуле $T{\lambda }_{max}=0,0029\ К \cdot м$. Формула (1.6) является законом Вина, где $0,0029=b$ — постоянная Вина.

Пример 2

Задание: Одно абсолютно черное тело имеет температуру $T_1$.Это тело является источником теплового излучения. Как определить температуру другого тела ($T_2$), если длина волны, отвечающая максимуму его спектральной плотности излучения, на $\Delta \lambda $ больше длины волны, соответствующей максимуму излучательной способности первого источника.

Решение:

Используем в качестве основы для решения закон Вина, полученный в предыдущей задаче, а именно:

\[T{\lambda }_{max}=b\ \left(2.1\right).\]

Запишем уравнение (2.1) для первого и второго источников излучения, выразив при этом длину волны:

\[{\lambda }_1=\frac{b\ }{T_1},\ {\lambda }_2=\frac{b\ }{T_2}\left(2.2\right).\]

Из условия задачи имеем:

\[{\lambda }_2-л_1=\triangle \lambda \ \left(2.3\right).\]

В таком случае подставим в (2.3) уравнения (2.2), получим:

\[\triangle \lambda =\frac{b\ }{T_2}-\frac{b\ }{T_1}\to \triangle \lambda +\frac{b\ }{T_1}=\frac{b\ }{T_2}\to \frac{\triangle \lambda T_1+b}{T_1}=\frac{b\ }{T_2}\to T_2=\frac{bT_1}{\triangle \lambda T_1+b}\]

Ответ: Температур второго тела $T_2$=$\frac{bT_1}{\triangle \lambda T_1+b}$.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/termodinamika/ravnovesnoe_teplovoe_izluchenie/

2.2. Равновесное тепловое излучение

Равновесное тепловое излучение

Лабораторнаяработа №12

ОПРЕДЕЛЕНИЕПОСТОЯННОЙ СТЕФАНА-БОЛЬЦМАНА ПРИ ПОМОЩИОПТИЧЕСКОГО ПИРОМЕТРА

1.ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИРАБОТЫ

1.1. Изучить законытеплового излучения.

1.2. Ознакомитьсяс методами оптической пирометрии.

1.3. Определитьпостоянную Стефана-Больцмана.

1.4.Построить график зависимости lgW= f(lgT)и определить тангенс угла наклона даннойпрямой.

2.ТЕОРИЯ

2.1. Тепловоеизлучение тел

Тепловымизлучением тел называетсяэлектромагнитное излучение, возникающееза счет той части внутренней энергиитела,котораясвязана с тепловым движением его частиц.

Основнымихарактеристиками теплового излучениятел нагретых до температуры Tявляются энергетическая светимость,спектральная плотность энергетическойсветимости и коэффициент монохроматическогопоглощения.

1.ЭнергетическаясветимостьR(T)количествоэнергии, излучаемой в единицу временис единицы поверхности тела, во всеминтервале длин волн. Зависитот температуры, природы и состоянияповерхности излучающего тела. ВсистемеСИ R(T)имеетразмерностьВт/м2.

2.Спектральнаяплотность энергетической светимостиr(,Т)=dW/dколичествоэнергии, излучаемое единицей поверхноститела, в единицу времени в единичноминтервале длин волн (вблизи рассматриваемойдлины волны ).Т.е.

эта величина численно равна отношениюэнергии dW,испускаемой с единицы площади в единицувремени в узком интервале длин волн отдо+d,к ширине этого интервала. Она зависитот температуры тела, длины волны, а такжеот природы и состояния поверхностиизлучающего тела.

ВсистемеСИ r(,T)имеетразмерностьВт/м3.

ЭнергетическаясветимостьR(T)связана со спектральной плотностьюэнергетической светимости r(,T)следующим образом:

(1)

3.Все тела не только излучают,но и поглощаютпадающие на их поверхность электромагнитныеволны.

Дляопределения поглощательной способностител по отношению к электромагнитнымволнам определенной длины волны вводитсяпонятиекоэффициентамонохроматического поглощенияотношениевеличины поглощенной поверхностью телаэнергии монохроматической волны квеличине энергии падающей монохроматическойволны:

(2)

Коэффициентмонохроматического поглощения являетсябезразмерной величиной, зависящей оттемпературы и длины волны.Он показывает,какая доля энергии падающеймонохроматическойволны поглощается поверхностью тела.Величина(,T)может принимать значения от 0 до 1.

Еслисоздать некоторую оболочку, непрозрачнуюдля электромагнитных волн, и будемподдерживать ее при постояннойтемпературе, то внутри ее установитсяравновесие.Вся энергия,излучаемая внутренней поверхностьюоболочки, будет ею же и поглощаться.

Излучение вадиабатически замкнутой системе (необменивающейся теплотой с внешнейсредой) называется равновесным.

Если создатьмаленькоеотверстие в стенке полости состояниеравновесия измениться слабо и выходящееиз полости излучение будет соответствоватьравновесному излучению.

Еслив такоеотверстие направить луч,то послемногократных отражений и поглощенияна стенкахполости онне сможет выйти обратно наружу.Это значит,что длятакого отверстия коэффициент поглощения(,T)= 1.

Рассмотреннаязамкнутая полость с небольшим отверстиемслужит одной из моделей абсолютночерного тела.

Абсолютночерным теломназываетсятело, которое поглощает все падающеена него излучение независимо отнаправления падающего излучения, егоспектрального состава и поляризации(ничего не отражая и не пропуская).

Дляабсолютно черного тела, спектральнаяплотностьэнергетической светимости являетсянекоторой универсальной функцией длиныволны и температуры f(,T)и не зависит от его природы.

Всетела в природе частично отражают падающеена их поверхность излучениеи поэтомуне относятся к абсолютно черным телам.Если коэффициентмонохроматического поглощения телаодинаков длявсехдлин волн и меньшеединицы ((,T)= Т= const

Источник: https://studfile.net/preview/4293583/

Тепловое равновесное излучение. парадокс больцмана

Равновесное тепловое излучение

Рассмотрим некоторое тело, находящееся в тепловом равновесии с излучением. Это значит следующее. Представим себе сначала несколько тел, нагретых до различной температуры, и для определенности поместим эти тела в полость, окруженную оболочкой с идеально отражающими стенками (рис. 5).

Рис. 5.

Рис. 6.

Даже если внутри этой полости будет абсолютный вакуум, тела будут обмениваться между собой энергией посредством электромагнитного излучения.

При этом в результате такого теплообмена более нагретые тела будут охлаждаться, так как они испускают больше энергии, чем получают от окружающих тел, а менее нагретые тела – нагреваться, потому что они получают больше, чем отдают.

Поскольку электромагнитные волны, излучаемые телами, распространяются с конечной скоростью, то пространство между телами будет заполнено энергией излучения. Опыт показывает, что в конце концов всегда устанавливается стационарное состояние (рис. 6), при котором все тела приобретают одинаковую температуру, т.е.

поглощают в единицу времени ровно столько энергии, сколько и отдают, а плотность излучения в пространстве между телами достигает некоторой определенной величины, зависящей от температуры. Такое стационарное состояние и называется в данном случае равновесным.

Пусть  – энергия, излученная 1 см поверхности данного тела в малом интервале длин волн , а  – доля энергии падающего излучения, которое поглощается телом в этом интервале. Кирхгоф сумел доказать, что отношение  зависит только от длины волны  и температуры , и на его значение не влияют никакие другие характеристики тела (например, внутренняя структура или форма тела):

                                                                                                                 (1)

Таким образом, в формуле (1)  – некоторая универсальная функция, зависящая только от длины волны и температуры.

Интересно, что Кирхгоф получил уравнение (1), доказав, что его невыполнение приводит к возможности существования вечного двигателя.

Новизна его теоремы заключалась не только в самом содержании, но и в достоверности и общности доказательства, основанного на молодой еще тогда термодинамике.

Далее, из условия равновесности и чисто геометрических соображений, легко показать (не будем на этом останавливаться), что функция  очень просто связана с плотностью равновесного электромагнитного излучения , приходящегося на единичный интервал длин волн, которое установится в полости. А именно,  и  оказываются пропорциональными друг другу:

Задача, которую сформулировал и не смог решить Кирхгоф, состояла в экспериментальном и теоретическом определении универсальной функции , или, что фактически то же самое, функции .

Экспериментальное определение этих функций при заданной температуре во всем диапазоне длин волн было очень трудной задачей, на решение которой понадобилось 40 лет. Схематически графики этих знаменитых кривых представлены на рис. 7.

Рис. 7. Зависимость спектральной плотности равновесного излучения от длины волны.

Параллельно экспериментальным исследованиям предпринимались попытки теоретического определения функции . После постановки задачи Кирхгофом понадобилось примерно четверть века, чтобы осознать, что наблюдаемое явление равновесия между излучением и веществом принципиально противоречит всей классической физике.

Это можно пояснить простым примером. Предположим, что в нашу полость помещен кусок железа и его поверхность зачернена так, что он поглощает практически все падающее на него излучение (рис. 4).

Известно с полной определенностью, что такой кусок при температуре 0 °С будет излучать с каждого квадратного сантиметра поверхности энергию  в секунду, а при тепловом равновесии — одновременно и поглощать из окружающего пространства ровно такое же количество энергии в секунду.

Используя пропорциональность  и , тогда легко вычислить, что в той части пространства внутри полости, которая не занята частицами вещества, равновесная плотность энергии при 0 °С будет равна всего лишь .

В то же время плотность тепловой энергии внутри самого куска железа при той же температуре равна приблизительно , т.е. в  раз больше плотности энергии излучения (рис. 8). Эта тепловая энергия заключается в колебаниях атомов железа около положения равновесия.

Таким образом, приходим к поразительному выводу: при термодинамическом равновесии между колеблющимися атомами вещества и электромагнитным излучением почти вся энергия сосредоточена в колеблющихся атомах, и лишь ничтожная ее часть приходится на долю излучения, находящегося с ними в равновесии.

Рис. 8. Железное тело в полости с абсолютно отражающими стенками в состоянии теплового равновесия.

Именно этот факт является совершенно непонятным с точки зрения классической физики. Это становится очевидным, если прибегнуть к следующей известной аналогии.

Представим себе простую механическую модель рассмотренного нами опыта: на поверхности воды, налитой в какой-нибудь резервуар, плавают пробки, соединенные пружинами, так что пробки могут колебаться около положения равновесия. Если привести эти пробки в колебания, то они будут отдавать свою энергию воде, на поверхности которой появятся волны.

Вследствие вязкости эти волны будут затухать, так что их энергия будет постепенно превращаться в тепло. Очевидно, что окончательный результат опыта будет состоять в том, что пробки прекратят колебания, а вся их энергия будет передана окружающей среде.

Невозможно представить, чтобы в конечном состоянии пробки находились в интенсивном колебании, а среда не получила бы никакой энергии.

Но именно это имеет место в случае равновесия между нагретым материальным телом и излучением, когда почти вся энергия сосредоточена в колебаниях атомов, роль которых в механической аналогии играют пробки, а на излучение, т.е. «окружающую среду», приходится лишь ничтожная доля энергии.

Можно указать и конкретный закон классической физики, который здесь нарушается – это теорема о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Вспомним, что согласно этой теореме на каждую степень свободы любой физической системы, находящейся в равновесии при температуре , приходится средняя кинетическая энергия, равная , где  – постоянная Больцмана.

В рамках классической физики эта теорема применима абсолютно к любой физической системе в равновесном состоянии, в том числе и к системе, которая состоит из куска железа и электромагнитного излучения. В данном случае число степеней свободы вещества равно , где  – число атомов железа.

Естественно, для макроскопического тела число  огромно, но конечно. С другой стороны, электромагнитное поле с точки зрения классической физики представляет собой систему с бесконечным числом степеней свободы.

Грубо говоря, это связано с тем, что для описания электромагнитного поля в каждый момент времени необходимо задать вектор напряженности электрического поля  и вектор магнитной индукции  в каждой точке полости . Поскольку число точек бесконечно, то бесконечно и число степеней свободы поля, т.е.

число величин  и , которые необходимо задать для однозначного определения конфигурации поля в данный момент времени. То же самое можно объяснить и немного иначе. Электромагнитное поле в полости можно представить как суперпозицию плоских монохроматических волн, каждая из которых характеризуется определенной амплитудой, направлением распространения и длиной волны.

При этом в полости могут в принципе возбуждаться электромагнитные волны, в том числе и со сколь угодно малой длиной волны. При таком подсчете число независимых величин, характеризующих электромагнитное поле, также, очевидно, бесконечно. А это и есть число степеней свободы поля.

Таким образом, с точки зрения классической физики в задаче Кирхгофа мы имеем дело с равновесной системой, состоящей из двух подсистем: поглощающего и излучающего тела, число степеней свободы которого конечно, и находящегося с ним в равновесии электромагнитного поля, число степеней свободы которого бесконечно. Ясно, что для такой системы теорема о равнораспределении энергии по степеням свободы может быть выполнена только в том случае, если подавляющая часть энергии будет сосредоточена в электромагнитном поле, т.е. будет существовать в виде излучения. Таким образом, с точки зрения классической физики, равновесное состояние куска железа с окружающим его излучением наступит, когда атомы железа отдадут полю практически всю энергию. Это подтверждается точным теоретическим расчетом: в рамках классической физики для функции  получается:

                                                                                                             (2)

(См. рис. 9). Поскольку  — плотность энергии излучения в единице объёма, приходящаяся на единичный интервал длин волн, то полная энергия  равновесного теплового излучения в единице объема определяется интегралом

Но этот интеграл равен бесконечности! Таким образом, согласно классической теории энергия равновесного излучения в полости оказывается бесконечной. Это согласуется с теоремой о равномерном распределении энергии по степеням свободы, но с физической точки зрения, очевидно, абсурдно.

Подчеркнём ещё раз, что наблюдаемая в опыте картина прямо противоположна выводам классической физики: на самом деле почти вся энергия в равновесном состоянии сосредоточена внутри атомов вещества. Это противоречие называется парадоксом Больцмана.

Рис. 9. Зависимость спектральной плотности равновесного излучения от длины волны при T = 5000 K. Нижняя кривая получена экспериментально, а верхняя – теоретически по формуле классической физики (2)

Источник: https://ido.tsu.ru/schools/physmat/data/res/SPF/uchpos/text/2_2.html

Booksm
Добавить комментарий