Расстояние от точки до прямой

Калькулятор онлайн.Вычисление расстояния от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой

Этот калькулятор онлайн вычисляет расстояние от точки до прямой заданной в каноническом виде (для трехмерного случая):
$$ \frac{x-x_0}{l} = \frac{y-y_0}{m} = \frac{z-z_0}{n} $$ и в виде общего уравнения прямой (для двухмерного случая):
$$ Ax+By+C=0 $$ а точка задана своими координатами.

Онлайн калькулятор для вычисления расстояния от точки до прямой не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.

А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Числа можно вводить целые или дробные. Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.

В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.

Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5 или так 1,3

Правила ввода обыкновенных дробей.

В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число. Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /

Ввод: -2/3 Результат: \( -\frac{2}{3} \)

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &

Ввод: -1&5/7 Результат: \( -1\frac{5}{7} \) Вычислить расстояние от точки до прямой Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать. Возможно у вас включен AdBlock.

В этом случае отключите его и обновите страницу.

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь. Через несколько секунд решение появится ниже.

Пожалуйста подождите  сек…

Наши игры, головоломки, эмуляторы: Игра «iChart»Создание островаЭмулятор
гравитацииГоловоломка «SumWaves»

Линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверхностей и определять заданием двух уравнений. В частности, каждую прямую линию можно рассматривать как пересечение двух плоскостей и соответственно этому определять заданием двух уравнений первой степени.

Пусть заданы некоторая прямоугольная система координат Oxyz и произвольная прямая L. Обозначим через \( \pi_1 \), и \( \pi_2 \) две различные плоскости, пересекающиеся по прямой L, заданные соответственно уравнениями
$$ \left\{ \begin{array}{l} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{array} \right. \qquad (1) $$

Два уравнения вида (1) совместно определяют прямую L в том и только в том случае, когда плоскости \( \pi_1 \), и \( \pi_2 \) не параллельны и не совпадают друг с другом, т.е. нормальные векторы этих плоскостей \( N_1(A_1;B_1;C_1) \) и \( N_2(A_2;B_2;C_2) \) не коллинеарны (коэффициенты A1, B1, C1 не пропорциональны коэффициентам A2, B2, C2).

Уравнения (1) называются общими уравнениями прямой.

Для решения задач уравнения (1) не всегда удобны, поэтому используют специальный вид уравнений прямой.

Пусть дана какая-нибудь прямая L и ненулевой вектор \( \vec{a} \), лежащий на данной прямой или параллельный ей. Вектор а называется направляющим вектором данной прямой. Выведем уравнения прямой, проходящей через данную точку \( M_0(x_0;y_0;z_0) \) и имеющей данный направляющий вектор \( \vec{a}(l;m;n) \)

Пусть \( M(x;y;z) \) — произвольная точка. Она лежит на прямой тогда и только тогда, когда вектор \( \vec{M_0M}(x-x_0; y-y_0; z-z_0) \) коллинеарен направляющему вектору \( \vec{a}(l;m;n) \), т.е. когда координаты вектора \( \vec{M_0M} \) пропорциональны координатам вектора \( \vec{a} \):
$$ \frac{x-x_0}{l} = \frac{y-y_0}{m} = \frac{z-z_0}{n} \qquad (2) $$

Уравнения (2) и являются искомыми. Они называются каноническими уравнениями прямой.

Для того чтобы составить канонические уравнения (2), если прямая L задана уравнениями (1), необходимо: 1) найти какую-нибудь точку \( M_0(x_0;y_0;z_0) \in L \); для этого следует задать числовое значение одной из неизвестных координат \( x_0, \; y_0, \; z_0 \) и подставить его вместо соответствующей переменной в уравнения (1), после этого две другие координаты определяются в результате совместного решения уравнений (1);

2) найти направляющий вектор \( \vec{a}(l;m;n) \). Так как прямая L определена пересечением плоскостей \( \pi_1 \) и \( \pi_2 \), то она перпендикулярна каждому из нормальных векторов \( \vec{N_1} \) и \( \vec{N_2} \).

Поэтому в качестве вектора \( \vec{a} \) можно взять любой вектор, перпендикулярный векторам \( \vec{N_1} \) и \( \; \vec{N_2} \), например их векторное произведение \( \vec{a}= \vec{N_1} \times \vec{N_2} \).

Так как координаты векторов \( \vec{N_1} \) и \( \vec{N_2} \) известны: \( \vec{N_1}(A_1;\;B_1;\;C_1), \;\; \vec{N_2}(A_2;\;B_2;\;C_2) \) , то по теореме найдем координаты вектора \( \vec{a} \):

\( \vec{a} = \left\{ \begin{vmatrix} B_1 & C_1 \\ B_2 & C_2 \end{vmatrix} \; ; \; \begin{vmatrix} C_1 & A_1 \\ C_2 & A_2 \end{vmatrix} \; ; \; \begin{vmatrix} A_1 & B_1 \\ A_2 & B_2 \end{vmatrix} \right\} = (l; m; n) \)

Иногда прямую полезно задавать не в виде канонических уравнений (2), а иначе. Пусть прямая L задана уравнениями (2). Обозначим через t каждое из равных отношений. Тогда
$$ \frac{x-x_0}{l} = \frac{y-y_0}{m} = \frac{z-z_0}{n} = t $$ откуда

$$ x=x_0+lt, \;\; y=y_0+mt, \;\; z=z_0+nt \qquad (3) $$

Равенства (3) называются параметрическими уравнениями прямой L, проходящей через точку \( M_0(x_0;y_0;z_0) \) и имеющей направляющий вектор \( \vec{a}(l;m;n) \).

В уравнениях (3) t рассматривается как произвольно изменяющийся параметр \( (-\infty < t < +\infty ) \) ; x, y, z - как функции от t.

При изменении t величины x, y, z изменяются, так что точка \( M(x;y;z) \) движется по данной прямой.

Параметрические уравнения удобны в тех случаях, когда требуется найти точку пересечения прямой с плоскостью. В самом деле, пусть непараллельные плоскость \( \pi \) и прямая \( L \) заданы соответственно уравнениями \( Ax + By + Cz + D = 0 \)

\( x=x_0+lt, \;\; y=y_0+mt, \;\; z=z_0+nt \)

Для определения точки пересечения прямой и плоскости подставим выражения для x, y, z из уравнений L в уравнение \( \pi \).

В результате преобразований получаем $$ t= -\frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D }{Al+Bm+Cn} $$ причем знаменатель дроби не равен нулю, так как плоскость не параллельна прямой.

Подставляя найденное значение t в уравнения прямой, находим искомую точку \( M(x;y;z) \) пересечения прямой \( L \) с плоскостью \( \pi \).

Рассмотрим две прямые \( L_1 \) и \( L_2 \), заданные соответственно уравнениями $$ \frac{x-x_1}{l_1} = \frac{y-y_1}{m_1} = \frac{z-z_1}{n_1} $$ $$ \frac{x-x_2}{l_2} = \frac{y-y_2}{m_2} = \frac{z-z_2}{n_2} $$ При любом расположении прямых \( L_1 \) и \( L_2 \) в пространстве один из двух углов между ними равен углу \( \varphi \) между их направляющими векторами \( \vec{a_1}(l_1;m_1;n_1) \) и \( \vec{a_2}(l_2;m_2;n_2) \), а второй угол равен \( 180\circ — \varphi \). Угол \( \varphi \) вычисляется по следующей формуле: $$ \cos \varphi = \frac{l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2}{\sqrt{l_12 + m_12 + n_12} \; \sqrt{l_22 + m_22 + n_22} } $$

Источник: https://www.math-solution.ru/math-task/lp-dist-point-line

Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой

Определение 1

Расстояние — это мера, характеризующая удалённость нескольких объектов друг относительно друга. Термин “расстояние” применим как в пространстве, так и на плоскости.

Пример 1

Рассмотрим небольшую иллюстрацию.

Рисунок 1.

Мы видим на рисунке 2 точки. Необходимо найти расстояние между ними.

Для выполнения данной задачи необходимо использовать любой измерительный инструмент, например, линейку.

Рисунок 2.

Необходимо приложить его начало к одной из точек, а конец к другой, и списать полученное с линейки число.

Также для измерения можно использовать, например, циркуль. С помощью него можно даже измерять толщину складок жира, прикладывая циркуль после снятия замера к линейке.

Определение 2

Очень часто для обозначения расстояния используют греческую букву $ρ$.

Перейдём к рассмотрению частного случая: поиску расстояния между точкой и прямой.

Расстояние между точкой и прямой

Рассматривая прямую и точку, не возлежащую на ней, следует помнить, что они всегда образуют плоскость по одной из основных аксиом объёмной геометрии, поэтому рассматривать эту задачу можно как одну из планиметрических.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Рисунок 3. Точка и не проходящая через неё прямая — служат характеристиками плоскости

Теорему, об образовании одной-единственной плоскости точкой и прямой можно вывести из аксиомы, в которой говорится, что три точки описывают плоскость.

Дело в том, что на любой прямой всегда можно отметить 2 произвольные несовпадающие точки, а некая третья точка у нас уже дана. Вот и всё доказательство теоремы.

Определение 3

Расстояние между точкой и прямой — это перпендикуляр, который опускают с этой прямой в рассматриваемую точку.

Рассмотрим, что же такое расстояние от точки до прямой на примере задачи ниже.

Расстояние от точки до прямой на плоскости

Пример 2

Рисунок 4. Найти расстояние от точки до прямой

Найдите расстояние от $l$ до $X$.

Опустим из точки $X$ перпендикуляр на прямую $l$. Также на прямой отметим любую точку, не совпадающую с точкой пересечения перпендикуляра из точки $X$ с прямой $l$, назовём её $Z$.

У нас получился прямоугольный треугольник $XYZ$.

Гипотенуза в этом треугольнике, как мы знаем, лежит напротив прямого угла, причём гипотенуза является самой длинной стороной, значит, кратчайшим путём между точкой и прямой будет $YX$, являющийся перпендикуляром.

Причём длина $XY$ всегда будет меньше длины $XZ$ вне зависимости от того, где именно на прямой поставить точку $Z$.

Одной из наиболее частых задач по данной теме на плоскости и в пространстве является определение расстояния от прямой до точки по координатам точки и уравнению прямой.

На практике обычно не очень удобно заниматься таким построением в масштабе 1:1, поэтому обычно поиск кратчайшей длины между точкой и прямой осуществляется аналитически.

Рассмотрим решение такой задачи на плоскости.

Пример 3

Дано уравнение некой прямой $m$: $y= 3x + 2$ и точка $M$, не возлежащая на ней, её икс и игрек $(2;0)$.

Определить расстояние между точкой и прямой.

Опускаем перпендикуляр из точки $M$ на прямую $m$.

Теперь, для того чтобы высчитать его длину, нужно найти координаты пересечения перпендикуляра, опущенного из точки $M$ с прямой $m$. Назовём точку их пересечения $D$.

Для того чтобы найти точку пересечения перпендикуляра, опущенного из нашей точки на прямую $m$, необходимо сначала получить уравнение этого перпендикуляра.

Для этого перепишем уравнение прямой $m$ в общем виде: $3x-y+2=0$.

При записи в такой форме не трудно увидеть, что нормальный вектор этой прямой имеет координаты $(3;-1)$.

Нормальный вектор для этой прямой является направляющим для перпендикуляра.

Также нам известно, что этот перпендикуляр проходит через точку $M$ с координатами $(2;0)$.

Следовательно, мы можем записать его уравнение:

$\frac{x-2}{3} = \frac{-y}{1}$

Для того чтобы найти координаты точки пересечения перпендикуляра $MD$ с прямой $m$, необходимо решить систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{x-2}{3} = \frac{-y}{1} \\ 3x-y+2=0 \\ \end{cases}$

Для этого выражаем $y$ из второго уравнения:

$\begin{cases} \frac{x-2}{3} = \frac{-y}{1} \\ y= 3x+2 \\ \end{cases}$

И затем подставляем его в первое:

$\frac{x-2}{3} = -3x-2$

Избавляемся от знаменателя, умножив всё на $3$:

$x – 2 + 9x + 6 = 0$

$10x + 4 = 0$

$10x = -4$

$x = -0,4$

Подставляем полученный икс во второе уравнение:

$y= (-0,4 \cdot 3) + 2$

$y = 0,8$

То есть точка пересечения перпендикуляра с прямой $m$ имеет координаты $(-0,4;0,8)$.

Теперь найдём длину $MD$:

$MD = \sqrt{(-0,4)2 + 0,82} = \sqrt{0,8} ≈ 0.89$

Ответ: расстояние между точкой и прямой равно $0,89$.

Расстояние от точки до прямой в пространстве

При определении расстояния от точки до прямой в пространстве можно воспользоваться следующей формулой:

Замечание 1

$ρ = \frac{\sqrt{\begin{array}{|cc|} y_1 – y_0 & z_1 — z_0\\ m_1 & n_1 \\ \end{array}2 + \begin{array}{|cc|} x_1 – x_0 & z_1 — z_0\\ l_1 & n_1 \\ \end{array}2 + \begin{array}{|cc|} x_1 – x_0 & y_1 – y_0\\ l_1 & m_1 \\ \end{array}2}}{\sqrt{l_12 + m_12 + n_12}}$

В этой формуле $x_0, y_0, z_0$ — координаты точки, $x_1, y_1, z_1$ — координаты нормального вектора заданной прямой, а $l_1, m_1, n_1$ — координаты направляющего вектора прямой.

Эта формула также выведена из построений, аналогичных построением при решении подобной задачи на плоскости, но выглядит она более тяжеловесно.

Однако, этого не стоит пугаться, так как довольно удобно пользоваться.

Но, возможно, что новичкам перед её использованием придётся ознакомиться с тем, как высчитывать определитель матрицы.

Рассмотрим задачу с использованием этой формулы.

Пример 4

Дана прямая $w$ $\frac{x-5}{1}=\frac{y+1}{2} =\frac{z-4}{4}$ и точка $K$ c координатами $(1;2;3)$.

Найдите расстояние от $w$ до $K$ в пространстве.

Направляющий вектор для заданной прямой имеет координаты ${1;2;4}$, а нормальный вектор — ${5;-1;4}$.

Подставим все эти числа в формулу для нахождения расстояния:

$ρ = \frac{\sqrt{\begin{array}{|cc|} -1 — 2 & 4 — 3\\ 2 & 4 \\ \end{array}2 + \begin{array}{|cc|} 5 – 1 & 4-3\\ 1 & 4 \\ \end{array}2 + \begin{array}{|cc|} 5 – 1 & -1 – 2\\ 1 & 2 \\ \end{array}2}}{\sqrt{12 + 22 + 42}} = \frac{\sqrt{\begin{array}{|cc|} -3 & 1\\ 2 & 4 \\ \end{array}2 + \begin{array}{|cc|} 4 & 1\\ 1 & 4 \\ \end{array}2 + \begin{array}{|cc|} 4 & -3\\ 1 & 2 \\ \end{array}2}}{\sqrt{21}} = \frac{\sqrt{(-12-2)2 + (16-1)2 + (8+3)2}}{\sqrt{21}} = \frac{\sqrt{542}}{\sqrt{21}} ≈ 5,080$

Расстояние между прямой и точкой в данном случае составит $5,080$.

Источник: https://spravochnick.ru/geometriya/sootnoshenie_mezhdu_storonami_i_uglami_treugolnika/rasstoyanie_ot_tochki_do_pryamoy/

Booksm
Добавить комментарий