Расстояние между двумя параллельными прямыми в пространстве

Расстояние между двумя параллельными прямыми в пространстве

Расстояние между двумя параллельными прямыми в пространстве

Для наиболее полного понимания темы следует ознакомиться с основными определениями, поэтому давайте узнаем, что же такое параллельные прямые и с чем их едят, а также некоторую другую основную терминологию и теоремы, которые касаются данной темы.

Используемые термины и понятия

Определение 1

Расстояние — это мера удалённости, используемая для характеристики местоположения двух объектов относительно друг друга.

Иногда расстояние можно измерить с помощью измерительных приборов, например, линейки или штангенциркуля, в случае поездки на автомобиле расстояние можно вычислить через измеритель скорости. Но чаще всего приходится прибегать к каким-либо вычислениям.

Определение 2

Параллельные прямые в пространстве — это такие прямые, которые не имеют каких-либо совместных точек и при этом лежат в одной плоскости. То есть по сути выходит, что есть два необходимых критерия для того чтобы назвать пару прямых параллельными друг другу:

1) обе такие прямые можно поместить в некую одиночную плоскость 2) 2 параллели никогда не встретятся

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Не стоит путать такие прямые со скрещивающимися. Эти прямые также никогда не встречаются между собой, но рассматривая их, становится очевидно, что их нельзя расположить в одной плоскости.

Параллельные прямые можно встретить много где в окружающем нас мире: это и линии пола и потолка, и противопложные стороны поверхности стола, и стороны двери.

Теорема 1

Расстояние между такими прямыми есть не что иное, как длина перпендикуляра, опущенного из одной точки любой из двух изучаемых прямых, на другую. Эта длина всегда будет одинаковой вне зависимости от того, из какой точки проведёна линия под прямым углом.

Докажем теорему, приведённую выше.

Доказательство теоремы о расстоянии между параллельными прямыми

Рисунок 1. Расстояние между параллельными прямыми

Рассмотрим наши прямые, про которые заранее известно, что они параллельны, назовём их $l$ и $k$.

Выберем пару рандомных точек $X$ и $Y$, возлежащих на $l$, и опустим из них под прямым углом линии на $k$.

Здесь совсем неважно, где именно вы выберете точки, главное правило — они не должны совпадать друг с другом.

Точки пересечения построенных линий с прямой $k$ назовём $A$ и $B$.

Так как наши прямые параллельны, то по условию параллельности накрест лежащие углы $XBA$ и $BXY$ при гипотенузе $XB$ получившегося прямоугольника равны между собой. Гипотенуза в данном случае является секущей к исследуемым прямым.

Собираем всё вместе о треугольниках $XBA$ и $BXY$:

  1. У них есть общая сторона $XB$.
  2. Стороны этих треугольников $XY$ и $AB$ равны между собой.
  3. Значения углов $XBA$ $BXY$ тоже одинаковы, а сами по себе эти углы образованы сторонами, которые также равны между собой.

Из всего вышеперечисленного следует, что $XBA$ и $BXY$ являются равными по первому признаку равенства треугольников, и следовательно, длины перпендикуляров $XA$ и $YB$ равны.

Данное соотношение будет соблюдаться для любых произвольно выбранных точек $X$ и $Y$ — то есть длины перпендикуляров, опущенных с одной параллельной прямой на другую, всегда будут равны, что и требовалось доказать.

Доказанное утверждение справедливо как для параллельных прямых, рассматриваемых в планиметрии, так и для прямых, рассматриваемых в объёмном мире, так как 2 параллельные между собой прямые всегда образуют плоскость.

Задачи на определение расстояния между параллельными прямыми в объёмном мире

Мы с вами уже немного разобрались в теме, а это значит, что пришло время для задач с нахождением расстояния между параллельными прямыми в пространстве.

Пример 1

Найти расстояние между параллельными прямыми $l$ и $k$.

Рисунок 2. Параллельные прямые, образующие плоскость

Рассмотрим рисунок 2. По теореме, изложенной выше, кратчайшим расстоянием между двумя этими прямыми будет длина перпендикуляра, опущенного с одной прямой на другую, поэтому опустим из точки $X$ на прямую $k$ перпендикуляр, назовём его $h$. Длина этого перпендикуляра и будет решением нашей задачи.

На практике чаще всего нет возможности использования подручных методов типа линейки из-за невозможности исполнения чертежа в масштабе 1:1, поэтому обычно нужно найти расстояние между двумя параллельными прямыми в пространстве имея на руках функции, описывающие данные прямые.

Выше мы показали, что совсем неважно, где именно выбрать точку на одной из двух параллельных прямых, из которой нужно опустить перпендикуляр.

Поэтому в случае параллельности прямых эта задача фактически есть не что иное, как поиск расстояния между точкой, лежащей на одной из этих прямых, и другой прямой.

Формула для нахождения расстояния между параллельными прямыми $d$ и $k$ в один этап в пространстве следующая:

Определение 3

$ρ(d, k) = \frac{\sqrt{\begin{array}{|cc|} y_2 – y_1 & z_2 — z_1\\ m_1 & n_1 \\ \end{array}2 + \begin{array}{|cc|} x_2 – x_1 & z_2 — z_1\\ l_1 & n_1 \\ \end{array}2 + \begin{array}{|cc|} x_2 – x_1 & y_2 – y_1\\ l_1 & m_1 \\ \end{array}2}}{\sqrt{l_12 + m_12 + n_12}}$

В этой формуле $x_1, y_1, z_1$ — координаты нормального вектора прямой $d$, а $l, m, n$ — направляющий вектор этой прямой, его координаты — это знаменатели из канонических уравнений прямой в пространстве; $x_2, y_2, z_2$ — это координаты нормального вектора второй прямой.

Пример 2

Даны уравнения двух параллельных несовпадающих прямых:

Прямая $d$ задана уравнением $\frac{x + 1}{1}=\frac{y — 2}{3}=\frac{z + 4}{5}$,

а её параллель $k$ уравнением $\frac{x — 3}{1}=\frac{y + 1}{3}=\frac{z – 2}{5}$.

Найдите длину перпендикуляра, опущенного с одной прямой на другую.

Координаты нормального вектора для прямой $k$ $\{3;-1;2\}$, а для прямой $d$ $\{-1; 2; -4\}$. Координаты направляющего вектора для первой прямой $\{1; 3; 5\}$.

Подставим данные числа в обозначенную выше формулу:

$ρ(d, k) = \frac{\sqrt{\begin{array}{|cc|} 2 + 1 & -4 — 2\\ 3 & 5 \\ \end{array}2 + \begin{array}{|cc|} -1 – 3 & -4 — 2\\ 1 & 5 \\ \end{array}2 + \begin{array}{|cc|} -1 -3 & 2 + 1\\ 1 & 3 \\ \end{array}2}}{\sqrt{12 + 32 + 52}}$

$ρ(d, k) = \frac{\sqrt{\begin{array}{|cc|} 3 & -6\\ 3 & 5 \\ \end{array}2 + \begin{array}{|cc|} -4 & -6\\ 1 & 5 \\ \end{array}2 + \begin{array}{|cc|} -4 & 3\\ 1 & 3 \\ \end{array}2}}{\sqrt{35}} =\frac{ (15 +18)2 +(-20+6)2 +(-12-3)2}{\sqrt{35}}≈6,568$

Решение примера, приведённого выше, реализовано по формуле, полученной через векторное произведение, кому-то такой способ может показаться более просты, а кому-то наоборот — сложным.

Но в любом случае воспользовавшись обоими вариантами решения оба алгоритма легко можно проверить.

Алгоритм с векторным произведением рассмотрен нами ниже для этой же задачи, из него становится понятно, каким образом получена используемая выше формула.

Пример 3

Найдите расстояние между параллельными прямыми из задачи, изложенной выше, через векторное произведение.

В этом случае вычисление расстояния между прямыми осуществляется по формуле:

$ρ = \frac{\overline{M_0M_1}×\overline{s}}{|\overline{s}|}$,

где $M_0M_1$ — вектор, соединяющий 2 произвольных точки на двух параллельных прямых

Нормальные вектора для первой и второй прямых соответственно будут $\{3;-1;2\}$ и $\{-1; 2;-4\}$.

Направляющий вектор для обеих прямых совпадает, его координаты $s=\{1;3;5\}$

Найдём векторную разность между нормальными векторами, которая будет координатами вектора $M_0M_1$

$\overline{M_0M_1} = \overline{r_2} — \overline{r_2} = \{3;-1;2\} — \{-1; 2;-4\} = \{4; -3; 6\}$

Теперь необходимо высчитать векторное произведение вектора $\overline{M_0M_1}$ на вектор $\overline{s}$:

$\overline{M_0M_1} ×\overline{s} = \begin{array}{|ccc|} i & j & k \\ 4 & -3 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \\ \end{array} = i \begin{array}{|cc|} -3 & 6\\ 3 & 5 \\ \end{array} + j \begin{array}{|cc|} 4 & 6\\ 1 & 5 \\ \end{array} + k \begin{array}{|cc|} 4 & -3\\ 1 & 3 \\ \end{array} = -33i + 14j + 15k = \{-33; 14; 15\}$

$|\overline{M_0M_1} ×\overline{s}| =\sqrt{(-33)2 + 142 + 152} = \sqrt{1510} ≈ 38,859$

А сейчас пришла очередь определить длину направляющего вектора $s$:

$|\overline{s}| = \sqrt{12 + 32 + 52} = 5, 916$

В результате конечный ответ составит:

$ρ = \frac{ 38,859}{ 5, 916} = 6,568$

Источник: https://spravochnick.ru/geometriya/sootnoshenie_mezhdu_storonami_i_uglami_treugolnika/rasstoyanie_mezhdu_dvumya_parallelnymi_pryamymi_v_prostranstve/

Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми. урок. Геометрия 7 Класс

Расстояние между двумя параллельными прямыми в пространстве

Этот видеоурок будет полезен тем, кто хочет самостоятельно изучить тему «Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми». В ходе урока вы сможете узнать о том, как можно рассчитать расстояние от точки до прямой. Затем учитель даст определение расстояния между параллельными прямыми.

В текущем уроке мы познакомимся с понятием «расстояние» в целом. Также мы конкретизируем данное понятие в случае вычисления расстояния между двумя точками, точкой и прямой, параллельными прямыми

Рассмотрим рисунок 1. На нём изображены 2 точки А и В. Расстоянием между двумя точками А и В является отрезок, имеющий концы в заданных точках, то есть отрезок АВ

Рис. 1. АВ – расстояние между точками

Примечательно, что расстоянием нельзя считать кривую или ломаную линии, соединяющих две точки. Расстояние – это кратчайший путь от одной точки к другой. Именно отрезок АВ является наименьшим из всех возможных линий, соединяющие точки А и В

Рассмотрим рисунок 2, на котором изображена прямая а, и точка А, не принадлежащая данной прямой. Расстоянием от точки А до прямой будет длина перпендикуляра АН.

Рис. 2. АН – расстояние между точкой и прямой

Важно заметить, что АН – кратчайшее расстояние, так как в треугольнике АМН данный отрезок является катетом, а произвольный иной отрезок, соединяющий точку А и прямую а (в данном случае – это АМ) будет являться гипотенузой. Как известно, катет всегда меньше гипотенузы

Обозначение расстояния:

Рассмотрим параллельные прямые a и b, изображённые на рисунке 3

 Рис. 3. Параллельные прямые a и b

Зафиксируем две точки на прямой и опустим из них перпендикуляры на параллельную ей прямую bДокажем, что если ,

Проведём отрезок АМ для удобства доказательства. Рассмотрим полученные треугольники АВМ и АНМ. Поскольку , а , то . Аналогично, . У данных прямоугольных треугольников () сторона АМ – общая. Она является гипотенузой в обоих треугольниках. Углы АМН и АМВ являются внутренними накрестлежащими при параллельных прямых АВ и НМ и секущей АМ. По известному свойству, .

Из всего выше изложенного следует, что . Из равенства треугольников следует, что  АН = ВМ

Итак, мы доказали, что на рисунке 3 отрезки АН и ВМ равны. Это значит, что расстоянием между параллельными прямыми является длина их общего перпендикуляра, при чём выбор перпендикуляра может быть произвольным. Таким образом,

Верно и обратное утверждение: множество точек, которые находятся на одном и том же расстоянии от некоторой прямой, образуют прямую, параллельную данной

Закрепим наши знания, решим несколько задач

Пример 1: Задача 272 из учебника «Геометрия 7-9». Автор —  Атанасян Л.С.

В равностороннем треугольнике АВС проведена биссектриса АD. Расстояние от точки D до прямой АС равно 6 см. Найти расстояние от точки А до прямой ВС

Рис. 4. Чертёж к примеру 1

Решение:

Равносторонним треугольником называется треугольник с тремя равными сторонами (а значит, и с тремя равными углами, то есть – по 600). Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного, поэтому все свойства, присущие равнобедренному треугольнику, распространяются и на равносторонний. Поэтому АD – не только биссектриса, но ещё и высота, стало быть AD ⊥BC

Поскольку расстояние от точки D до прямой АС – это длина перпендикуляра, опущенного из точки D на прямую АС, то DH – данное расстояние. Рассмотрим треугольник АНD. В нём угол Н = 900, так как DH – перпендикуляр к АС (по определению расстояния от точки до прямой). Кроме этого, в данном треугольнике катет DH лежит против угла , поэтому AD =  (см) (По свойству)

Расстояние от точки А до прямой ВС – это длина опущенного на прямую ВС перпендикуляра. По доказанному AD ⊥BC, значит, .

Ответ: 12 см.

Пример 2: Задача 277 из учебника «Геометрия 7-9». Автор —  Атанасян Л.С.

Расстояние между параллельными прямыми a и b равно 3 см, а расстояние между параллельными прямыми a и c равно 5 см. Найдите расстояние между параллельными прямыми b и c

Решение:

Рис. 5. Чертёж к примеру 2 (первый случай)

Поскольку , то = 5 – 3 = 2 (см).

Однако данный ответ неполный. Существует и другой вариант расположения прямых на плоскости:

Рис. 6. Чертёж к примеру 2 (второй случай)

В данном случае .

Ответ: 2 см, 8 см.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

  1. Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов (Источник).
  2. Репетитор по математике (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

  1. № 280, 283. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г.,       Юдина  И. И. под редакцией Тихонова А. Н. Геометрия 7-9 классы. М.: Просвещение. 2010 г.
  2. Сумма гипотенузы СЕ и катета СК прямоугольного треугольника СКЕ равна 31 см, а их разность равна 3 см. найдите расстояние от вершины С до прямой КЕ
  3. На основании АВ равнобедренного треугольника АВС взята точка М, равноудалённая от боковых сторон. Докажите, что СМ – высота треугольника АВС
  4. Докажите, что все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной

Источник: https://interneturok.ru/lesson/geometry/7-klass/sootnosheniya-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnikov/rasstoyanie-ot-tochki-do-pryamoy-rasstoyanie-mezhdu-parallelnymi-pryamymi

Расстояние между двумя параллельными прямыми – определение и примеры нахождения

Расстояние между двумя параллельными прямыми в пространстве
Прямая, плоскость, их уравнения

В этой статье дано определение расстояния между двумя параллельными прямыми на плоскости и в трехмерном пространстве, а также разобран метод координат, позволяющий вычислять расстояние между параллельными прямыми. Сначала приведена необходимая теория, после чего приведены подробные решения примеров и задач, в которых находится расстояние между двумя параллельными прямыми.

Расстояние между двумя параллельными прямыми – определение

Определение расстояния между двумя параллельными прямыми дается через расстояние от точки до прямой.

Расстояние между двумя параллельными прямыми – это расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

Для наглядности изобразим две параллельные прямые a и b, отметим на прямой а произвольную точку М1, опустим перпендикуляр из точки М1 на прямую b, обозначив его H1. Отрезок М1H1 соответствует расстоянию между параллельными прямыми a и b.

Приведенное определение расстояния между двумя параллельными прямыми справедливо как для параллельных прямых на плоскости, так и для прямых в трехмерном пространстве. Более того, такое определение расстояния между двумя параллельными прямыми принято не случайно. Оно тесно связано со следующей теоремой.

Все точки одной из двух параллельных прямых удалены на одинаковое расстояние от другой прямой.

Рассмотрим параллельные прямые a и b. Отметим на прямой a точку М1, опустим из нее перпендикуляр на прямую b. Основание этого перпендикуляра обозначим как H1.

Тогда длина перпендикуляра М1H1 есть расстояние между параллельными прямыми a и b по определению.

Докажем, что равно , где М2 – произвольная точка прямой a, отличная от точки M1, а H2 – основание перпендикуляра, проведенного из точки М2 на прямую b. Доказав этот факт, мы докажем и саму теорему.

Так как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны (об этом говорилось в статье параллельные прямые, параллельность прямых), то , а прямая M2H2, перпендикулярная прямой b по построению, перпендикулярна и прямой a. Тогда треугольники М1H1H2 и М2М1H2 прямоугольные, и, более того, они равны по гипотенузе и острому углу: М1H2 – общая гипотенуза, . Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, поэтому, . Теорема доказана.

Следует заметить, что расстояние между двумя параллельными прямыми является наименьшим из расстояний от точек одной прямой до точек другой прямой.

К началу страницы

Итак, нахождение расстояния между параллельными прямыми сводится к нахождению длины перпендикуляра, проведенного из некоторой точки одной из прямых на другую прямую. При этом подбирается метод, позволяющий это расстояние отыскать. Выбор метода зависит от условий конкретной задачи.

В некоторых случаях можно использовать теорему Пифагора, в других — признаки равенства или подобия треугольников, определения синуса, косинуса или тангенса угла и т.п.

Если же параллельные прямые заданы в прямоугольной системе координат, то расстояние между заданными параллельными прямыми можно вычислить методом координат. На нем и остановимся.

Сформулируем условие задачи.

Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат, заданы две параллельные прямые a и b и требуется найти расстояние между этими прямыми.

Решение этой задачи строится на определении расстояния между параллельными прямыми — чтобы найти расстояние между двумя заданными параллельными прямыми нужно:

  • определить координаты некоторой точки М1, лежащей на прямой a (или на прямой b);
  • вычислить расстояние от точки М1 до прямой b (или a).

С определением координат точки М1, лежащей на какой-нибудь из заданных параллельных прямых, проблем не возникнет, если, конечно, Вам знакомы основные виды уравнения прямой на плоскости и уравнения прямой в пространстве. Для нахождения расстояния от точки М1 до нужной из заданных параллельных прямых Вам будет полезна информация из раздела нахождение расстояния от точки до прямой.

В частности, если в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости прямую a задает общее уравнение прямой вида , а прямую b, параллельную прямой a, — общее уравнение прямой , то расстояние между этими параллельными прямыми можно вычислить по формуле .

Покажем вывод этой формулы.

Возьмем точку , которая лежит на прямой a, тогда координаты точки М1 удовлетворяют уравнению , то есть, справедливо равенство , откуда имеем .

Если , то нормальное уравнение прямой b имеет вид , а если , то нормальное уравнение прямой b имеет вид . Тогда при расстояние от точки до прямой b вычисляется по формуле , а при — по формуле

То есть, при любом значении С2 расстояние от точки до прямой b можно вычислить по формуле . А если учесть равенство , которое было получено выше, то последняя формула примет вид . На этом вывод формулы для вычисления расстояние между двумя параллельными прямыми, заданными общими уравнениями прямых вида и завершен.

Разберем решения примеров.

Начнем с нахождения расстояния между двумя параллельными прямыми, заданными в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости.

Найдите расстояние между параллельными прямыми и .

Очевидно, что прямая, которой соответствуют параметрические уравнения прямой на плоскости вида , проходит через точку .

Искомое расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию от точки до прямой . Вычислим его.

Получим нормальное уравнение прямой, которой отвечает уравнение прямой с угловым коэффициентом вида . Для этого сначала запишем общее уравнение прямой: . Теперь вычислим нормирующий множитель: .

Умножив на него обе части последнего уравнения, имеем нормальное уравнение прямой: . Искомое расстояние равно модулю значения выражения , вычисленного при .

Итак, расстояние между заданными параллельными прямыми равно

Второй способ решения.

Получим общие уравнения заданных параллельных прямых.

Выше мы выяснили, что прямой соответствует общее уравнение прямой . Перейдем от параметрических уравнений прямой вида к общему уравнению этой прямой:

Коэффициенты при переменных x и y в полученных общих уравнениях параллельных прямых равны, поэтому мы сразу можем применить формулу для вычисления расстояния между параллельными прямыми на плоскости: .

.

На плоскости введена прямоугольная система координат Oxy и даны уравнения двух параллельных прямых и . Найдите расстояние между указанными параллельными прямыми.

Канонические уравнения прямой на плоскости вида позволяют сразу записать координаты точки М1, лежащей на этой прямой: . Расстояние от этой точки до прямой равно искомому расстоянию между параллельными прямыми. Уравнение является нормальным уравнением прямой, следовательно, мы можем сразу вычислить расстояние от точки до прямой : .

Второй способ решения.

Общее уравнение одной из заданных параллельных прямых нам уже дано . Приведем каноническое уравнение прямой к общему уравнению прямой: . Коэффициенты при переменной x в общих уравнениях заданных параллельных прямых равны (при переменной y коэффициенты тоже равны — они равны нулю), поэтому можно применять формулу, позволяющую вычислить расстояние между заданными параллельными прямыми: .

Осталось рассмотреть пример нахождения расстояния между параллельными прямыми в трехмерном пространстве.

Очевидно, прямая проходит через точку . Вычислим расстояние от этой точки до прямой — оно даст нам искомое расстояние между параллельными прямыми.

Прямая проходит через точку . Обозначим направляющий вектор прямой как , он имеет координаты . Вычислим координаты вектора (при необходимости смотрите статью координаты вектора по координатам точек): . Найдем векторное произведение векторов и :

Теперь осталось применить формулу, позволяющую вычислить расстояние от точки до прямой в пространстве: .

расстояние между заданными параллельными прямыми равно .

  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
  • Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Некогда разбираться?

Закажите решение

К началу страницы

Источник: http://www.cleverstudents.ru/line_and_plane/distance_between_parallel_lines.html

Расстояние между параллельными прямыми

Расстояние между двумя параллельными прямыми в пространстве

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Рассмотрим параллельные прямые и .

Отметим точку А на прямой и проведем из этой точки перпендикуляр АВ к прямой .

Отметим точку Х на прямой и докажем, что расстояние от точки Х до прямой равно АВ. Проведем из точки Х перпендикуляр ХУ к прямой .

ХУ , следовательно, ХУ (т.к. прямая перпендикулярная к одной из параллельных прямых перпендикулярна и ко второй из них).

Рассмотрим АВУ и АХУ: В =Х = 900, т.е. АВУ и АХУ прямоугольные, АУ — общая гипотенуза,  1 = 2 (т.к.

они накрест лежащие при пересечении параллельных прямых и секущей АУ), следовательно, АВУ =АХУ (по гипотенузе и острому углу), ХУ = АВ.

Точка Х находится на расстоянии АВ от прямой , а так как эту точку мы выбрали произвольно, все точки каждой из двух параллельных прямых и равноудалены от другой прямой. Что и требовалось доказать.

Из доказанной выше теоремы следует, что расстояние между параллельными прямыми — это наименьшее расстояние (перпендикуляр) от каждой точки одной из этих прямых до другой прямой.

Замечание 1

Все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудаленные от нее, лежат на прямой параллельной данной.

Доказательство:

Дано: прямая , А, С, АВ, СE, АВ = СЕ.

Доказать: А, С и .

Доказательство:

По аксиоме параллельных прямых через точку А проходит единственная прямая параллельная прямой . Проведем через точку А прямую параллельную .

По теореме, доказанной выше, все точки, лежащие на прямой равноудалены от точек прямой .

Предположим, что точка С не лежит на прямой , тогда расстояние от точки С до прямой   будет больше или меньше, чем расстояние АВ.

Но по условию АВ = СЕ, следовательно, получили противоречие, значит, наше предположение неверно и А, С, при этом по построению . Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от нее, есть прямая, параллельная данной прямой.

Советуем посмотреть:

Теорема о сумме углов треугольника

Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника

Неравенство треугольника

Некоторые свойства прямоугольных треугольников

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Уголковый отражатель

Расстояние от точки до прямой

Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам

Построение треугольника по трем его сторонам

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 279, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 280, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 281, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 282, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 284, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 295, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 18, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 20, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 443, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1095, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

© budu5.com, 2020

Пользовательское соглашение

Copyright

Нашли ошибку?

Связаться с нами

Источник: https://budu5.com/manual/chapter/3445

Booksm
Добавить комментарий